Praktische opdracht Wiskunde B Fractals
|
|
- Ruben Brabander
- 4 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Praktische opdracht Wiskunde B Fractals Praktische-opdracht door een scholier 2136 woorden 4 juli ,9 36 keer beoordeeld Vak Wiskunde B Inleiding Voor wiskunde B-1 moesten we in groepjes van 2 of 3 personen een Praktische Opdracht maken over het wiskundige verschijnsel fractals. We kregen hierbij een folder uitgereikt met daarin informatie over fractals en de onderzoeksvraag. In deze folder stonden ook verschillende voorbeelden van fractals, zodat je een idee kreeg wat het was. Ik had er zelf namelijk nog nooit van gehoord, en ook mijn andere groepsleden wisten niet wat het was. Ook kregen we een vel waarop verschillende deelvragen stonden waarvan we er minstens één moesten opnemen in ons verslag. Op dit vel stonden ook verschillende websites waar wij veel aan hebben gehad, omdat je toch een aanknoopspunt moet hebben. Als je echter eventjes zocht op het internet bleek er een schat aan informatie te zijn over dit onderwerp. Er zijn ook veel programma s te vinden op internet, waarmee je zelf fractals kunt maken, dit is best leuk om een keer te zien. Uiteindelijk moesten we dus minstens 2 deelvragen verzinnen die een onderdeel waren van de hoofdvraag. Wij hebben er 3 gemaakt en de deelvraag die was gegeven. Onderzoeksvraag: Hoe ontstaan fractals en wat is hun functie in de natuur? Deelvragen: 1. Wat is de geschiedenis en oorsprong van fractals? 2. Wie is de peetvader van de fractals?* 3. Wat is de dimensie van een fractal? 4. Wat zijn de meest voorkomende toepassingen van fractals in de natuur? *: Dit is de gegeven deelvraag door de leraar. Wij hopen dat u met plezier onze Praktische Opdracht zult lezen en wij hopen dat wij hem voldoende hebben uitgewerkt. Met vriendelijke groet, Frank Rose-Marie Michael De geschiedenis en oorsprong van Fractals Sinds mensenheugenis kampen wiskundigen met complexe problemen en formules. Naargelang hun kennis toenam, groeide ook de complexiteit van hun problemen. Niet-lineaire problemen, nietevenwichtige systemen en dynamische systemen deden hun intrede in de wiskunde. Chaos werd een begrip op zich en niet iets dat men moest proberen te vermijden. Fractals legden hier de basis om deze complexe niet-lineaire problemen te beschrijven. De naam fractal is afgeleid van het Latijnse woord Pagina 1 van 5
2 frangere wat breken betekent en dus onmiskenbaar verwijst naar de gebroken dimensie van deze figuren. Een van de bekendste en eerste wetten over deze verschijnselen was van de Belgische wiskundige Pierre François Verhulst in verband met de wisseling van bevolkingsaantallen in Afhankelijk van de groeiratio groeide een bevolking naar verschillende stadia. Verhulst had een niet-lineair model ontwikkeld dat het dynamische gedrag kon voorstellen. Jaren later, in 1963 werd de theorie van Verhulst toepasbaar bewezen voor een groot domein van fenomen: hydrodynamica (turbulente stromingen), laserfysica, kinetica van chemische reacties. Experimenten bevestigden het model van Verhulst. Verhulst legde hiermee dus de basis van de fractals, al wist hij dat zelf niet. Fractals zijn namelijk ook heel dynamisch en kunnen heel goed verbanden aantonen, en dat wilde Verhulst ook. Toen gebeurde alles nog op papier en in het hoofd van de wetenschappers. Later deed echter de computer zijn intrede. Voornamelijk de mogelijkheid om zeer snel en accuraat grafieken te genereren was iets dat de wetenschappers wisten te gebruiken. Het is trouwens een volwaardige onderzoekstak geworden. Namelijk de onderzoeksgroep computergraphics. Deze onderzoeksgroep onderzoekt de tekeningen van een computers en probeert daar de verbanden uit te halen, zij doen dit met behulp van fractals. Verhulst had eigenlijk orde gebracht in chaos door de grens tussen chaos en orde in kaart te brengen. Maar ook dit had hij zelf niet door. Door hem was er wel ineens veel meer duidelijkheid over niet-lineaire processen, zoals bevolkingsgroei. Het was dan ook in zekere zin de oorsprong van de chaostheorie. In 1980 slaagde Benoit Mandelbrot erin de principes achter de verschillende scenario's bloot te leggen. Deze verzameling wordt dan ook tegenwoordig de Mandelbrot-verzameling genoemd. Voor de wiskundigen is de verzameling heel belangrijk: de Mandelbrot-verzameling belichaamd namelijk een principe van een overgang van orde naar chaos in een zeer algemene zin. Wie was de peetvader van de fractals en vertel kort iets over hem. De peetvader van de fractals wordt toch meestal wel Benoit Mandelbrot genoemd. Hij was wel niet de eerste die de fractals echt ontdekt heeft, dat was immers Helge von Koch. Deze Helge von Koch heeft namelijk het eerste figuur uitgevonden, dat een dimensie heeft tussen de 1 en de 2. Deze figuur, die de kromme van Koch genoemd wordt, is eigenlijk een lijn, maar hij de uiteinden komen zo dicht bij elkaar dat het bijna een vlak is. Door steeds de zelfde bewerking te herhalen, wordt een lijn bijna een vlak. Mandelbrot heeft er echter veel meer ermee gedaan, hij heeft ook een hele collectie Mandelbrot-figuren, de Mandelbrot-set. Hij is de grondlegger van een nieuwe tak van de wiskunde: de fractale geometrie. De Mandelbrot-set bestaat onder ander uit een fractal, die een rand heeft, die zo oneindig gedetailleerd is en daardoor een dimensie heeft die tussen de 1 en 2 ligt. In 1980 kwam Mandelbrot voor het eerst met een ontdekking, hij ontdekte toen namelijk de principes, waardoor de chaos theorie bloot kwam te liggen. Dit werd de basis voor de nieuwe tak van de wiskunde de fractaal meetkunde. De figuren van Mandelbrot in de Mandelbrot-set zijn zo ontzettend gecompliceerd dat je ze zo niet begrijpt. Je moet elke keer inzoomen om er een verband in te zien. Dit verband is de scheidingslijn tussen chaos en orde. Deze collectie is voor wiskundigen dus heel belangrijk. De Mandelbrot-figuren zijn elke keer kopienen van zichzelf alleen in een groter vak. Op verschillende website kan je steeds verder inzoomen op een figuur, uit de Mandelbrot-set, en dan zie je pas dat het echt tot het oneindige doorgaat. Dit is ook de basis van alle fractals, steeds herhaling van dezelfde bewerking. Op de website kun je op een heel bekende figuur van Mandelbrot; het appelmannetje, Pagina 2 van 5
3 steeds verder inzoomen. Dit is er mooi en dan zie je pas hoe ver het gaat. De dimensie van een fractal De perfecte punt heeft nul dimensies, geen lengte en geen breedte. Een perfecte lijn heeft 1 dimensie,alleen de lengte. Een perfect vlak heeft 2 dimensies, lengte en breedte. En een ruimte heeft 3 dimensies, lengte, breedte en hoogte. Als je uitgaat een Koch curve begin je met een dimensie 1, het figuur begint er echter steeds meer als een vlak uit te zien. Als voorbeeld om dit uit te leggen gebruiken wij een andere fractal een andere fractal van Sierspinski, de zeef van Sierspinski. Deze gaat uit van een driehoek, die in 4 gelijke delen wordt gesplitst. Het middelste stuk wordt weggelaten en dit wordt met de nu verkregen driehoeken herhaald. Van elke originele driehoek blijven 3 kleinere driehoeken over waarvan de zijden 2 keer zo klein zijn. Aan de vermenigvuldigingsfactor wordt de letter N toegeschreven, die is dus in dit geval 3. De verkleiningsfactor noemen we K. Bij fractals is dit uiteraard gelijk aan de vergrotingsfactor maar in de formule gaan we uit van de verkleiningsfactor omdat dit geen negatieve dimensies geeft. Door de uit- en inzoommogelijkheden van een fractal maakt dit niks uit. Dit leidt tot de volgende formule: N = KD log N = log KD D log K = log N D = D is de dimensie van de fractal. Bij de Sierspinski-driehoek betekent dit dus dat D = = 1,58 Op dezelfde manier is het ook te berekenen wat de dimensie van het Sierspinski-tapijt te berekenen. Dit blijkt dan neer te komen op een dimensie van 1,89. Het verschil in dimensies wordt veroorzaakt door het verschil in de snelheid waarmee de oppervlakte afneemt. Even terugkomend op het tapijt van Sierspinski, dat is een vierkant, verdeeld in 9 even grote vierkantjes. Daarvan is de middelste weggehaald. K=3, N=8 D=log8/log3=1,89 Zo heb je ook de spons van Menger, het tapijt van Sierspinski in 3D: Simpeler voorgesteld: Je neemt een kubus (linker plaatje), verdeelt de kubus in 27 gelijke kubussen en laat 7 kubussen weg (het middelste plaatje). De figuur die zo ontstaat, bestaat uit 20 kleinere kubussen (middelste plaatje). Nu nogmaals met elke kubus die zojuist ontstaan is: verdeel de kubus in 27 gelijke kubussen en haal er 7 weg, enz, enz. (rechter plaatje). Wat is nu de dimensie van deze fractal? K = 3 (steeds 3 keer zo kleine kubusjes) N=20 (steeds 20 over van de originele) D = = log20/log3 ~ 2,7268 Dus de dimensie van de spons van Menger is 2,72. En dan nu de beroemde Koch curve. De kromme ontstaat door steeds elk lijnstuk in drie gelijke stukken te verdelen. Het middelste stuk wordt weggelaten en er worden twee evengrote lijnstukken toegevoegd. Daardoor word elke keer de lengte van elk lijnstuk 3 keer zo klein, maar de totale lengte van de "kromme" 4/3 keer zo groot. K=3 (steeds 3 keer zo kleine lijnstukjes), N=4 (steeds 4 over van de eerst 3 lijnstukjes), D=log4/log3=1,26 Meest voorkomende toepassingen van fractals in de natuur Hoewel men het op het op het eerste zicht niet zou zeggen zijn vele zaken uit de natuur voorstelbaar via Pagina 3 van 5
4 fractals. We gaan hier enkele aanhalen en ze een beetje toelichten. Landschappen kunnen door fractals zeer goed worden voorgesteld. Fractals kunnen ook gebruikt worden om eigenschappen van landschappen te berekenen, zoals de kustlijn van Groot-Brittannië. Bepaalde slakkenhuizen van dieren kunnen ook door fractals worden voorgesteld. Meestal gaat het dan om de logaritmische spiraal. Dit is wel geen echte fractal, maar het is toch ook een wiskundige benadering van de werkelijkheid. Ook bepaalde fenomenen uit de natuur zijn zeer goed voorstelbaar door fractals, bijvoorbeeld de bliksem. Landschappen Landschappen kun je op verschillende manieren benaderen. In de eerste methode starten we met een grote basisdriehoek. Op elk hoekpunt kiezen we willekeurig een hoogte. We verdelen deze driehoek dan in vier deeldriehoeken. Hierdoor ontstaan drie nieuwe hoekpunten.daar wordt opnieuw de hoogte van bepaald via interpolatie van zijn onmiddellijke buren.. Deze procedure herhalen we. Dit levert ons in een volgende stap 16 kleinere driehoeken en 9 nieuwe hoekpunten waarvan we de hoogte weer op dezelfde manier bepalen. Onderstaande figuur geeft een overzicht : Een andere methode werkt niet via driehoeken, maar met vierkanten. Elke nieuw vierkant is half zo klein als het voorgaande. Hierbij wordt de hoogte van het middelpunt berekend door interpolatie over zijn vier dichtste buren: zijn eigen hoekpunten. Ook hier kijken we verder over steeds kleinere vierkanten. Een voorbeeld van het resultaat wordt gegeven in de volgende figuur: Kustlijn Als men de lengte een kustlijn wilt berekenen doet men dat meestal via de Kromme van Koch (zie startvraag 1). De lengte hiervan is simpel afleidbaar uit zijn constructie. Als we stellen dat de lengte van een nulde orde kromme 1 is, dan is de lengte van de eerste orde kromme 4 maal 1/3 of 4/3. Voor een tweede orde zijn dit dan 16 lijnstukken van lengte 1/9. De totale lengte van de Koch kromme is dus : (4/3) n = (n is de hoeveelste kromme) Zoals je ziet de uitkomst als je lang doorgaat oneindig, en dat kan natuurlijk niet als men kijkt naar kustlijnen. Daarom klopt het ook niet helemaal. Het zijn maar benaderingen. In de werkelijkheid bereken we via geografische kaarten die we hebben hoelang de kustlijn is. Hoe beter de kaart is hoe beter de benadering. In de volgende afbeelding zie je een voorbeeld daarvan. Aantal zijden Nauwkeurigheid (km) Lengte (km) De startvragen 1. Hoe lang is het gebroken lijnstuk van K1? 2. Hoe lang is het gebroken lijnstuk van K2? Pagina 4 van 5
5 3. Geef een uitdrukking in N voor de lengte van het gebroken lijnstuk bij de n-de orde benaderingen Kn. 1. K0: K1: K2: K3: K100: Antwoorden K0 wordt voorgesteld als K1 is dan: 1/3 x 4 = 4/3 2. K2 is dan (1/3)² x 4² = 16/9 3. Kn is dan (1/3) n x 4 n = (4/3) n Conclusie Wij hebben geconcludeerd dat er in de natuur tal van fractals te vinden zijn. Fractals zijn moeilijk te beschrijven en hebben de tijd nodig wil je ze begrijpen. Mandelbrot, Julia, en Koch zijn naar ons idee de belangrijkste personen in de geschiedenis van de fractals. Zij zijn er zeer diep op in gegaan en hebben veel ontdekt. Fractals ontstaan uit de herhaalde toepassing van wiskundige formules die complexe getallen bevatten zoals sinus en cosinus. Zo ontstaan de kromme van Koch en de driehoek van Sierpinski. Fractals komen niet of bijna niet volledig in de natuur voor. Wel worden ze gebruikt om schattingen te maken van een lengte of oppervlak. Bronvermelding Encarta Pagina 5 van 5
Praktische-opdracht door een scholier 2835 woorden 21 januari keer beoordeeld. Wiskunde B
Praktische-opdracht door een scholier 2835 woorden 21 januari 2006 7 43 keer beoordeeld Vak Wiskunde B Inleiding Voor onze praktische opdracht van wiskunde hebben wij het onderwerp fractal en dimensie
Nadere informatieFractale dimensie. Eline Sommereyns 6wwIi nr.9
Fractale dimensie Eline Sommereyns 6wwIi nr.9 Inhoudstabel Inleiding... 3 Gehele dimensie... 4 Begrip dimensie... 4 Lengte, breedte, hoogte... 4 Tijd-ruimte... 4 Fractale dimensie... 5 Fractalen... 5 Wat?...
Nadere informatiePraktische opdracht Wiskunde B Fractals
Praktische opdracht Wiskunde B Fractals Praktische-opdracht door een scholier 3499 woorden 4 juli 2004 5,2 39 keer beoordeeld Vak Wiskunde B Inleiding De opdracht was simpel: maak een werkstuk over Fractals.
Nadere informatieExploraties met GeoGebra
9 Fractalen Exploraties met GeoGebra Een fractaal is een meetkundige figuur waarin een zelfde motief zich steeds op kleinere schaal herhaalt. Men spreekt in dat verband over de bloemkoolstructuur of de
Nadere informatieNumb3rs 409: graphic
Numb3rs 409: graphic Keuzeopdracht voor wiskunde Een verrijkende opdracht over gebroken dimensies, de Cantor-verzameling, Hausdorff-dimensie Voorkennis: rekenen met machten en logaritmen Inleiding In deze
Nadere informatie5 Eenvoudige complexe functies
5 Eenvoudige complexe functies Bij complexe functies is zowel het domein als het beeld een deelverzameling van. Toch kan men in eenvoudige gevallen het domein en het beeld in één vlak weergeven. 5.1 Functies
Nadere informatieZESDE KLAS MEETKUNDE
ZESDE KLAS MEETKUNDE maandag 1. Het vierkant. Eigenschappen. 2. Vierkanten tekenen met passer en lat vanuit zeshoek 3. Vierkanten tekenen met passer en lat binnen cirkel 4. Vierkanten tekenen met passer
Nadere informatieHet leek ons wel een interessante opdracht, een uitdaging en een leuke aanvulling bij het hoofdstuk.
Praktische-opdracht door een scholier 2910 woorden 3 mei 2000 5,2 46 keer beoordeeld Vak Wiskunde Wiskunde A1 - Praktische Opdracht Hoofdstuk 2 1. Inleiding We hebben de opdracht gekregen een praktische
Nadere informatiewiskunde B pilot havo 2015-II
wiskunde B pilot havo 05-II Veilig vliegen De minimale en de maximale snelheid waarmee een vliegtuig veilig kan vliegen, zijn onder andere afhankelijk van de vlieghoogte. Deze hoogte wordt vaak weergegeven
Nadere informatie5 keer beoordeeld 4 maart Wiskunde H6, H7, H8 Samenvatting
4,4 Samenvatting door Syb 954 woorden 5 keer beoordeeld 4 maart 2018 Vak Wiskunde Methode Getal en Ruimte Wiskunde H6, H7, H8 Samenvatting HOOFDSTUK 6 Procenten, Diagrammen en Kansrekening (10 en 100 zijn
Nadere informatie3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.
3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld
Nadere informatieDeel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB
Deel 3 havo De hoeveelheid leerstof is gebaseerd op drie lesuren per week. Met drie lesuren is het in ieder geval mogelijk om de basisstof van tien hoofdstukken door te werken, eventueel met de verkorte
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen HAVO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 0 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor
Nadere informatieTussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo
Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Domein A: Inzicht en handelen Subdomein A1: Vaktaal wiskunde 1. vmbo passende vaktaal voor wiskunde herkennen en gebruiken voor het ordenen van het eigen denken
Nadere informatieOpdracht: pretparktycoon
Opdracht: pretparktycoon 120 Doel: ik leer omgaan met een budget en kan daarbij de invloed van inkomsten en uitgaven juist interpreteren. pen, kleurpotloden, vel ruitjespapier, pc met internetaansluiting,
Nadere informatieAanvullende tekst bij hoofdstuk 1
Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Wortels uit willekeurige getallen In paragraaf 1.3.5 hebben we het worteltrekalgoritme besproken. Dat deden we aan de hand van de relatie tussen de (van tevoren gegeven)
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 24 juni uur
Examen VWO 2009 tijdvak 2 woensdag 24 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een
Nadere informatieOok de volledige spiraal van de stroken van lengte 1, 3, 5,, 99 past precies in een rechthoek.
Een spiraal In deze opgave bekijken we rechthoekige stroken van breedte en oneven lengte:, 3, 5,..., 99. Door deze stroken op een bepaalde manier aan elkaar te leggen, maken we een spiraal. In figuur is
Nadere informatieDomein A: Inzicht en handelen
Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het
Nadere informatieRekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl )
Tussendoelen Rekenen en wiskunde Rekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl ) vmbo = Basis Inzicht en handelen Vaktaal wiskunde Vaktaal wiskunde gebruiken voor het ordenen van het eigen denken en voor uitleg aan
Nadere informatieR. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet.
R. Van Nieuwenhuyze Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@gmail.com Van Nieuwenhuyze Roger Probleemoplossend werken in de tweede graad
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatief : z z 2 + c. x n = 1 2 z n dan krijgen we z n+1 = z 2 n + a 2 a2 4 De parameter c correspondeert dus met a middels c = a 2 a2 4
Juliaverzamelingen en de Mandelbrotverzameling In de eerste twee colleges hebben we gezien hoe het itereren van een eenvoudige afbeelding tot ingewikkelde verschijnselen leidt. Nu gaan we dit soort afbeeldingen
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatieEEN ONDERZOEK NAAR VERTAKKINGSFRACTALS
PROFIELWERKSTUK VWO GEBROKEN DIMENSIES EEN ONDERZOEK NAAR VERTAKKINGSFRACTALS MATTHIJS WESTERA - 1 - So, nat ralists observe, a Flea Hath smaller Fleas that on him prey, And these have sammler yet to bite
Nadere informatie1 Coördinaten in het vlak
Coördinaten in het vlak Verkennen Meetkunde Coördinaten in het vlak Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er niet uitkomt, ga je gewoon naar de Uitleg, maar bekijk het probleem
Nadere informatieVoorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 16 mei uur
Wiskunde B Profi (oude stijl) Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Woensdag 6 mei 3.30 6.30 uur 20 0 Voor dit eamen zijn maimaal 9 punten te behalen; het eamen bestaat uit 7 vragen.
Nadere informatieJe moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.
6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel
Nadere informatieOpen priemproblemen. Jan van de Craats
Open priemproblemen Jan van de Craats Misschien denk je dat over priemgetallen, de bouwstenen van het rekenen, wel zo ongeveer alles bekend is. Dat er op dat terrein geen onopgeloste vraagstukken meer
Nadere informatieInhoud. 1 Ruimtefiguren 8. 4 Lijnen en hoeken 148. 2 Plaats bepalen 60. 5 Negatieve getallen 198. 3 Rekenen 100
1 BK deel 1 Voorkennis 1 Aan de slag met wiskunde 6 1 Ruimtefiguren 8 1.1 Wiskundige ruimte guren 10 1.2 Vlakken, ribben en hoekpunten 14 1.3 Kubus en vierkant 17 1.4 Balk en rechthoek 24 1.5 Cilinder
Nadere informatie1.1 Rekenen met letters [1]
1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 28 mei uur
Eamen VWO 2008 tijdvak woensdag 28 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Dit eamen bestaat uit 9 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde
Vlaamse Wiskunde Olympiade 2003-2004: tweede ronde De tweede ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord
Nadere informatieSum of Us 2014: Topologische oppervlakken
Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Inleiding: topologische oppervlakken en origami Een topologisch oppervlak is, ruwweg gesproken, een tweedimensionaal meetkundig object. We zullen in deze tekst
Nadere informatieParacetamol in het bloed
Paracetamol in het bloed Paracetamol is een veelgebruikte pijnstiller, die in tabletvorm te koop is. Voor volwassenen zijn er tabletten die 500 mg paracetamol bevatten. Na het innemen van een tablet wordt
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1 vwo 2008-I
Eindeamen wiskunde B vwo 008-I Landing In deze opgave bekijken we een eenvoudig wiskundig model van de baan van een vliegtuig bij de landing. Een vliegtuig vliegt op een hoogte van 8 km. Op een afstand
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1
wiskunde B Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag 3 mei 3.3 6.3 uur 5 Voor dit eamen zijn maimaal 87 punten te behalen; het eamen bestaat uit vragen. Voor elk vraagnummer is
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Examen HAVO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit examen
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 havo 2003-II
Eindeamen wiskunde 1- havo 00-II Lichaam met zeven vlakken In figuur 1 is een balk D.EFGH getekend. Het grondvlak D is een vierkant met een zijde van cm. De ribbe G is cm lang. Door uit de balk de twee
Nadere informatieRekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl )
Tussendoelen Rekenen en Rekenen en ( bb kb gl/tl ) vmbo = Basis Inzicht en handelen Vaktaal Vaktaal herkennen en voor het ordenen van herkennen en voor het ordenen van herkennen en voor het ordenen van
Nadere informatieEindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II
Pompen of... Een cilindervormig vat met een hoogte van 32 dm heeft een inhoud van 8000 liter (1 liter = 1 dm 3 ). figuur 1 4p 1 Bereken de diameter van het vat. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.
Nadere informatieA. 54e B. 55e C. 56e D. 57e
Opgave 1 De Internationale Wiskunde Olympiade (IWO) is een jaarlijkse wiskundewedstrijd voor middelbare scholieren. Het is de oudste internationale wetenschapsolympiade. De eerste IWO werd gehouden in
Nadere informatieWisknutselen in de klas: creatief met wiskunde
Wisknutselen in de klas: creatief met wiskunde Florine Meijer, Wisknutsels Inleiding Creativiteit en wiskunde, gaat dat samen? Kan je wiskunde doen en tegelijk knippen en plakken, of haken, breien en borduren?
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 havo 2002-II
Pompen of... Een cilindervormig vat met een hoogte van 32 dm heeft een inhoud van 8000 liter (1 liter = 1 dm 3 ). figuur 1 4p 1 Bereken de diameter van het vat. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.
Nadere informatiewiskunde B havo 2015-II
Veilig vliegen De minimale en de maximale snelheid waarmee een vliegtuig veilig kan vliegen, zijn onder andere afhankelijk van de vlieghoogte. Deze hoogte wordt vaak weergegeven in de Amerikaanse eenheid
Nadere informatieVlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde
Vlaamse Wiskunde lmpiade 2007-2008: tweede ronde 1 Jef mit cola met whisk in de verhouding 1 : In whisk zit 40% alcohol Wat is het alcoholpercentage van de mi? () 1, (B) 20 (C) 25 () 0 (E) 5 2 ver jaar
Nadere informatiewiskunde A vwo 2019-II
OVERZICHT FORMULES Differentiëren naam van de regel functie afgeleide somregel s( x) f( x) g( x) s' ( x) f'x ( ) g'x ( ) verschilregel s( x) f( x) g( x) s' ( x) f'x ( ) g'x ( ) productregel px ( ) f( x)
Nadere informatie16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i
16.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 2: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 =
Nadere informatiewiskunde B havo 2016-I
wiskunde B havo 06-I Blokkendoos maimumscore De inhoud van de vier cilinders samen is π,5 0 = 50π ( 5) (cm ) De inhoud van de binnenruimte van de doos is ( 0 5 5 =) 50 (cm ) De inhoud van de overige blokken
Nadere informatieVoorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 31 mei uur
wiskunde B,2 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag 3 mei 3.30 6.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 89 punten te behalen; het examen bestaat uit 20 vragen. Voor elk
Nadere informatieExamen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 19 juni 13.30 16.30 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 85 punten te behalen; het examen bestaat uit
Nadere informatieExamen VMBO-KB. wiskunde CSE KB. tijdvak 1 dinsdag 15 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VMBO-KB 2018 tijdvak 1 dinsdag 15 mei 13.30-15.30 uur wiskunde CSE KB Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 26 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 74 punten te behalen.
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde A. tijdvak 2 dinsdag 18 juni 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 2019 tijdvak 2 dinsdag 18 juni 13:30-16:30 uur wiskunde A Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen. Voor
Nadere informatieUitwerkingen van opgaven in Zebra nr 10
Uitwerkingen van opgaven in Zebra nr 0 In Zebra nummer 0 Fractals, meetkundige figuren in eindeloze herhaling, tweede en derde druk door Igor Hoveijn en Jan Scholtmeijer uitgegeven door Epsilon Uitgaven
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo 2010 - I
Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde C (pilot) tijdvak 1 woensdag 22 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 2013 tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur wiskunde C (pilot) Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 22 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen.
Nadere informatieObject 1:
Project Wiskunde & Schoonheid Wat is schoonheid? En waarom vinden we bepaalde dingen mooi? Wat is de Gulden Snede? En wat heeft die te maken met de Fibonacci-rij? Wat heeft wiskunde met schoonheid te maken?
Nadere informatieComplex houdt dan weer in dat we op het complexe vlak werken, met complexe getallen.
The Fractal Project Inleiding: De opzet van dit project is het onderzoeken van de eigenschappen van de mandelbrot-fractal, meer bepaald de eigenschappen van de bollen die aan de buitenkant ervan zitten.
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2005-I
Inademen Bij controlemetingen aan de ademhaling wordt men gevraagd om diep uit te ademen en vervolgens gedurende vijf seconden zo diep mogelijk in te ademen. Tijdens het inademen is de hoeveelheid verse
Nadere informatieExamen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
Wiskunde B,2 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Woensdag 6 mei 3.30 6.30 uur 20 0 Voor dit examen zijn maximaal 9 punten te behalen; het examen bestaat uit 8 vragen.
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 14 mei uur
Examen HAVO 204 tijdvak woensdag 4 mei.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen HAV 0 tijdvak woensdag 0 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage.. Dit eamen bestaat uit 0 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatie8.1 Rekenen met complexe getallen [1]
8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 14 mei uur
Examen HAVO 014 tijdvak 1 woensdag 14 mei 1.0-1.0 uur wiskunde B Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een
Nadere informatieleeftijd kwelder (in jaren)
Kwelders De vorm van eilanden, bijvoorbeeld in de Waddenzee, verandert voortdurend. De zee spoelt stukken strand weg en op andere plekken ontstaat juist nieuw land. Deze nieuwe stukken land worden kwelders
Nadere informatieTrillingen en geluid wiskundig
Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Radialen 3 Uitwijking van een harmonische trilling 4 Macht en logaritme 5 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Sinus van een hoek
Nadere informatie1BK2 1BK6 1BK7 1BK9 2BK1
Kern Subkern Leerdoel niveau BK begrippen vmbo waar in bettermarks 1.1.1. Je gebruikt positieve en negatieve getallen, breuken en decimale getallen in hun onderlinge samenhang en je ligt deze toe binnen
Nadere informatie(ont)wikkelen. Aantal keer gevouwen Aantal lagen papier
(ont)wikkelen versie 0.5 [4--008] pagina (ont)wikkelen vouwen Wist je dat je een blad papier niet meer dan zeven (misschien acht) keer kunt dubbelvouwen? Om dit te controleren kun je met een stuk papier
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1 vwo 2005-I
Eindeamen wiskunde B vwo 5-I Inademen Bij controlemetingen aan de ademhaling wordt men gevraagd om diep uit te ademen en vervolgens gedurende vijf seconden zo diep mogelijk in te ademen. Tijdens het inademen
Nadere informatieTitel: De titel moet kort zijn en toch aangeven waar het onderzoek over gaat. Een subtitel kan uitkomst bieden. Een bijpassend plaatje is leuk.
Het maken van een verslag voor natuurkunde Deze tekst vind je op www.agtijmensen.nl: Een voorbeeld van een verslag Daar vind je ook een po of pws verslag dat wat uitgebreider is. Gebruik volledige zinnen
Nadere informatieReferentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen
Referentieniveaus uitgelegd De beschrijvingen zijn gebaseerd op het Referentiekader taal en rekenen'. In 'Referentieniveaus uitgelegd' zijn de niveaus voor de verschillende sectoren goed zichtbaar. Door
Nadere informatieopdracht 1 opdracht 2. opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 2014 x y toename
Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 014 1 Parabolen herkennen opdracht 1. x - -1 0 1 3 y 4 1 0 1 4 9-3 -1 + 1 + 3 +5 toename tt + + + + a) + b) De toename is steeds een nieuwe rand. De randen
Nadere informatieHet oplossen van kwadratische vergelijkingen met de abc-formule
Het oplossen van kwadratische vergelijkingen met de abc-formule door Pierre van Arkel Dit verslag is een voorbeeld hoe bij wiskunde een verslag er uit moet zien. Elk schriftelijk verslag heeft een titelblad.
Nadere informatie10 20 30 leeftijd kwelder (in jaren)
Kwelders De vorm van eilanden, bijvoorbeeld in de Waddenzee, verandert voortdurend. De zee spoelt stukken strand weg en op andere plekken ontstaat juist nieuw land. Deze nieuwe stukken land worden kwelders
Nadere informatieHoofdstuk 2: Grafieken en formules
Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde
Nadere informatieEindexamen wiskunde B havo 2011 - I
Overlevingstijd Als iemand in koud water terecht komt, daalt zijn lichaamstemperatuur. Als de lichaamstemperatuur is gedaald tot 30 ºC ontstaat een levensbedreigende situatie. De tijd die verstrijkt tussen
Nadere informatieEindexamen wiskunde b 1-2 VWO I
Eindexamen wiskunde b -2 VWO 200 - I Boottocht In een cirkelvormig meer liggen twee eilandjes, M en. We beschouwen de eilandjes als punten. M ligt precies in het midden van het meer. Zie figuur. figuur
Nadere informatiePraktische opdracht Wiskunde A Formules
Praktische opdracht Wiskunde A Formules Praktische-opdracht door een scholier 2482 woorden 15 juni 2006 5,5 40 keer beoordeeld Vak Wiskunde A Inleiding Formules komen veel voor in de economie, wiskunde,
Nadere informatieLesbrief GeoGebra. 1. Even kennismaken met GeoGebra (GG)
Lesbrief GeoGebra Inhoud: 1. Even kennismaken met GeoGebra 2. Meetkunde: 2.1 Punten, lijnen, figuren maken 2.2 Loodlijn, deellijn, middelloodlijn maken 2.3 Probleem M1: De rechte van Euler 2.4 Probleem
Nadere informatieTips en trucs bij Surfer
Tips en trucs bij Surfer Frits Beukers, email: f.beukers@uu.nl 18 maart 2016 Surfer, te downloaden van https://imaginary.org/program/surfer, is een mooi programma, maar je zult merken dat het lukraak invoeren
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2005-I
Inademen ij controlemetingen aan de ademhaling wordt men gevraagd om diep uit te ademen en vervolgens gedurende vijf seconden zo diep mogelijk in te ademen. Tijdens het inademen is de hoeveelheid verse
Nadere informatie1. Orthogonale Hyperbolen
. Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies
Nadere informatieToevalsfractals en schalingslimieten in percolatie
Samenvatting Toevalsfractals en schalingslimieten in percolatie De titel van dit proefschrift is Random fractals and scaling limits in percolation. Vermoedelijk werpt deze titel geen (of anders een heel
Nadere informatieJunior Wiskunde Olympiade : tweede ronde
Junior Wiskunde Olympiade 2015-2016: tweede ronde 1. ls de wieken van een windmolen op hun hoogste punt komen, dan reikt hun uiteinde tot een hoogte van 105 meter. Op hun laagste punt ligt het uiteinde
Nadere informatieWerkblad Cabri Jr. Vermenigvuldigen van figuren
Werkblad Cabri Jr. Vermenigvuldigen van figuren Doel Het onderzoeken van de vermenigvuldigingsafbeelding (homothetie) en het bekijken van de relaties tussen het origineel en het beeld van een meetkundige
Nadere informatieLees de inleiding Bestudeer de het probleemaanpak ABC Los de wiskundige problemen op Maak de eindtoets. Uit het examenprogramma:
Lees de inleiding Bestudeer de het probleemaanpak ABC Los de wiskundige problemen op Maak de eindtoets Uit het examenprogramma: Subdomein A2: Onderzoeksvaardigheden "De kandidaat kan een gegeven probleemsituatie
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatieMeetkunde. MBO Wiskunde Niveau 4 - Leerjaar 1, periode 3
Meetkunde MBO Wiskunde Niveau 4 - Leerjaar 1, periode 3 LOCATIE: Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal DOMEINEN: Bouwkunde, Werktuigbouw, Research Instrumentmaker LEERWEG: BOL - MBO Niveau 4 DATUM:
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 woensdag 28 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 2008 tijdvak woensdag 28 mei 3.30-6.30 uur wiskunde,2 ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 20 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 82 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord
Nadere informatieWat doen we ermee? Een gesprek over de aanloop naar de moeilijke opgaven Fokke Munk 1
Wat doen we ermee? Een gesprek over de aanloop naar de moeilijke opgaven 29-11-2018 Fokke Munk 1 programma Voorstellen Positiebepaling Keus voor drie soorten contexten: snelheid, inhoud en schaal Analyse
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1 vwo 2004-II
Brandstofverbruik Een schip maakt een tocht over een rivier van P naar Q en terug. De afstand tussen P en Q is 42 km. Van P naar Q vaart het schip tegen de stroom in (stroomopwaarts); op de terugreis vaart
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor
Nadere informatie1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209.
1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2009, probleem 1; Kangoeroewedstrijd
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2008-I
Landing In deze opgave bekijken we een eenvoudig wiskundig model van de baan van een vliegtuig bij de landing. en vliegtuig vliegt op een hoogte van 8 km. Op een afstand van 00 km van het vliegveld (horizontaal
Nadere informatie2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax
00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten
Nadere informatieRekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A
Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk
Nadere informatie