2 Lijn door P met gegeven richtingscoëfficiënt

Transcriptie

1 Lineariseren Wisnet-HBO update april 008 Inleiding Hieronder zijn twee grafieken getekend van de zelfde functie f := x x x met de raaklijn in het punt x =. raaklijn_y = x+ 5 0 x f(x) The tangent at x= raaklijn_y = x+.0.. x f(x) The tangent at x= f := x x x Bij de grafiek in de rechterfiguur is sterk ingezoomd. Je ziet dus dat als je heel dicht bij een punt van de grafiek blijft, de grafiek in de buurt van dat punt BENADERD kan worden door een stukje rechte lijn. We noemen dat lineariseren. Lijn door P met gegeven richtingscoëfficiënt Als je een lijn moet opstellen door een punt P, met richtingscoëfficiënt rc = Maak eerst een met rc =: y = x Verschuif deze lijn vervolgens één naar rechts:

2 y = x Daarna nog naar boven verschuiven: y = x Haakjes wegwerken: y = x Herleiden: y = x Voorbeeld opstellen raaklijn Gegeven is de functie f x = x x. Maak de raaklijn in het punt op de grafiek waarvoor geldt x =. Werkvoorbereiding Gegeven is de functie f x = x x. Maak de raaklijn in het punt op de grafiek waarvoor geldt x = We hebben het punt op de grafiek nodig waardoorheen de raaklijn moet gaan: Vul daarom het punt in de functie in: x = y = f = = Het raakpunt is dus (,). De richtiingscoëfficiënt van de raaklijn is gelijk aan de helling van de functie in betreffende punt van de grafiek. Voor de helling van de functie heb je de afgeleide nodig. f x = x x f' x = x De helling van de raaklijn aan de functie in betreffende punt waar x = is: f' = = De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is dus rc =.. Raaklijn Gegeven is de functie f x = x x. Maak de raaklijn in het punt op de grafiek waarvoor geldt x = De lijn door punt (,) met richtingscoëfficiënt rc =. y = x Herleiden: y = x Voorbeeld opstellen raaklijn Gegeven is de functie f x = x x. Maak de raaklijn in het punt op de grafiek waarvoor geldt x =. oplossing

3 Gegeven is de functie f x = x x. Maak de raaklijn in het punt op de grafiek waarvoor geldt x = Bereid eerst een en ander voor in een tabel: f x = f = x x =5 f' x = x f' = = Punt = P = (,5) richtingscoëfficiënt rc = y = x lijn door P y = x 5 herleiden raaklijn y = x 5 Voorbeeld opstellen raaklijn Gegeven is de functie f =sin x. Lineariseer de functie in het punt x = raaklijn_y =.6*x x f(x) The tangent at x =. 5. oplossing Gegeven is de functie f =sin x.

4 Lineariseer de functie in het punt x =.. f x = sin x f. = sin. = 0.90 f' x = cos x f'. = cos. = 0.6 Punt = P =., 0.90 richtingscoëfficiënt rc = 0.6 lijn door P herleiden raaklijn y =0.6 x y =0.6 x y =0.6 x Voorbeeld opstellen raaklijn zonder rekenmachine Gegeven is de functie f = sin x. Lineariseer de functie in het punt x =. raaklijn_y = 6*x*cos(7)+*sin(7)-8*cos(7) f(x) The tangent at x= 6. oplossing

5 Gegeven is de functie f = sin x. Lineariseer de functie in het punt x =. f x = sin x f = sin 7 f' x = 6 cos x f' = 6 cos 7 Punt = P =, sin 7 richtingscoëfficiënt rc =6 cos 7 y =6 cos 7 x lijn door P y =6 cos 7 x sin 7 herleiden raaklijn y =6 x cos 7 8 cos 7 sin 7 7 Voorbeeld opstellen raaklijn met rekenmachine Gegeven is de functie f = sin x. Lineariseer de functie in het punt x =. raaklijn_y =.556*x f(x) The tangent at x =.0 7. oplossing 5

6 Gegeven is de functie f = sin x. Lineariseer de functie in het punt x =. f x = sin x f = sin 7 =.97 f' x = 6 cos x f' = 6 cos 7 =.5 Punt = P =, sin 7 =,.97 richtingscoëfficiënt rc =6 cos 7 =.5 y =6 cos 7 x =.5 x lijn door P y =6 cos 7 x sin 7 = y =.5 x.97 herleiden raaklijn y =.5 x Samenvatting Voor het opstellen van de raaklijn in een punt van de grafiek van een functie heb je de afgeleide van de functie nodig voor de richtingscoëfficiënt van de raaklijn. De afgeleide van de functie in het betreffende punt is namelijk de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in dat punt. Als je verder nog de coördinaten van het punt weet, is het opstellen van de raaklijn niet moeilijk meer. Stel het punt heeft coördinaten: x p, f x p De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is dan rc = f' x p y = f ' x p x x p f x p 8. Met de verschuivingsregel Begin met een met rc = f' x p Verschuif daarna deze lijn naar het punt P = x, f x p p. 6

7 9 Oefeningen om zelf te doen Probeer met je rekenmachine het goede antwoord te krijgen. 9. Gegeven is de functie f =sin x. Lineariseer de functie in het punt x = antwoord y :=.8 x 0.0 Gegeven is de functie f = x x x. Lineariseer de functie in het punt x = antwoord y :=.870 x 9.6 Gegeven is de functie f = x x. Lineariseer de functie in het punt x =. 9.. antwoord y := 0.00 x Gegeven is de functie f = x a x. Lineariseer de functie in het punt x =. Hierin is a een constante. 9.. antwoord y :=.600 a x a 7