De Geometria non- Euclides liber. Pascal Wissink & Jelmer Mulder

Transcriptie

1 De Geometria non- Euclides liber Pascal Wissink & Jelmer Mulder

2 I Wat is niet-euclidische Meetkunde? Om uit te leggen wat niet-euclidische meetkunde, een specifieke tak in de wiskunde, precies inhoudt is het nodig om eerst te definiëren wat dan wel Euclidische meetkunde is. Immers is de Euclidische meetkunde al veel ouder dan de niet-euclidische meetkunde en kan deze laatste vorm van meetkunde worden opgevat als een speciale tak van geometrie in tegenstelling tot de Euclidische, alledaagse meetkunde. Eerst zullen we dan ook een reisje maken door de geschiedenis van de Euclidische meetkunde met zijn eigenschappen voordat we ons überhaupt met niet-euclidische meetkunde gaan bezig houden. Vervolgens zullen we de grondleggers en de geschiedenis van de niet-euclidische meetkunde bespreken en bekijken hoe deze interessante vorm van wiskunde nou eigenlijk is ontstaan en wat deze precies inhoudt. I.1 Euclidische meetkunde I.1.1 Euclides & zijn werken Euclidische meetkunde is de meetkunde zoals beschreven door Euclides. Euclides (Grieks: was een Griekse wiskundige die leefde circa 300 voor Christus. Hij was leraar in Alexandrië waar hij werkte aan het door Ptolemaeus I gestichte museum. Vandaag de dag wordt hij als een van de grondleggers van de hedendaagse meetkunde beschouwd, omdat hij de eerste was die de meet- en rekenkundige kennis van zijn tijd systematiseerde in dertien boeken, de zogenaamde Elementen (Stoicheia, Gr.: ). Naast deze boeken heeft hij tevens andere boeken geschreven waaronder Optica (een scriptie die betrekking heeft tot perspectief), Data, de Verdeling van figuren en een monochord-indeling (een wiskundige theorie). Echter is het voorgaand beschreven boek, de Elementen, toch wel te beschouwen als zijn magnum opus. In dit boek staat een collectie van axioma s, theorieën, postulaten en bewijzen met betrekking tot vierkanten, cirkels, scherpe hoeken, gelijkbenige driehoeken en dergelijke; er wordt respectievelijk een voorstelling gegeven van vlakke meetkunde (boek 1-6), rekenkunde (boek 7-10) en de ruimtemeetkunde (boek 11-13). In het laatste boek, boek 13, construeert hij de vijf bekende regelmatige veelvlakken tetraëder, kubus, oktaëder, dodecaëder en icosaëder (zie nevenstaande figuur) en bewijst ook dat er geen andere bestaan. Veel van de door hem geformuleerde theorieën in dit boek worden nog steeds dezer dagen onderwezen aan leerlingen en studenten overal ter wereld sinds menselijk heugenis is het boek als een standaard gaan gelden en is sinds zijn uitgave een ongekend succes. Echter behoefte de hedendaagse wiskunde meer precisie, wat Euclides methodologie niet bood; 2

3 daarom gaat de moderne axiomatische behandeling van de meetkunde terug op David Hilbert in Zijn gehele werk (als de volgende titel al doet vermoeden) is heruitgegeven in Opera omnia door H. Menge en J.L. Heiberg (in acht delen, geschreven met aanvullingen van 1899). De eerste druk van de Elementen stamt echter al uit 1482, voorafgaand door vele handgeschreven kopieën. Een ander noemenswaardig en amusant feitje is dat Euclides de alom bekende term bestaande uit de woorden quod erat demonstrandum (q.e.d., wat bewezen moest worden ) voor het eerst geïntroduceerd heeft (evenals de minder bekende quod erat faciendum (q.e.f., wat te construeren was )) die teneinde van zijn bewijzen bij wijze van slotwoord waren vernoemd en hedendaags worden gebruikt om aan te geven dat een bewijs beëindigd is. (q.e.f. wordt overigens gebruikt om aan te geven dat een wiskundig vraagstuk is opgelost). Dit terzijde, laten we in de volgende paragraaf verder ingaan op zijn meesterwerk de Elementen. Figuur 2: Euclides I.1.2 De Elementen: de vijf axioma s, 23 definities en vijf postulaten In Euclides boek de Elementen worden verscheidene basisconcepten van de huidige wiskunde beschreven. In zijn eerste boek worden 23 definities 1, vijf axioma s 2 en vijf postulaten 3 weergegeven. Uit elk van deze worden zogenaamde proposities 4 afgeleid. Figuur 3: de eerste pagina van Euclides Elementen 1 Definitie: een nauwkeurige omschrijving van een begrip 2 Axioma: niet bewezen en naar men aanneemt geen bewijs behoevende uitspraak of eigenschap, a priori als waarheid aangenomen 3 Postulaat: aan te nemen grondstelling: basisaanname; werkhypothese 4 Propositie: stelling 3

4 Euclides axioma s, ondersteund door voorbeelden luiden als volgt: 1. Dingen die gelijk zijn aan hetzelfde zijn ook gelijk aan elkaar. V.b.: a=c, b=c a=b 2. Als je bij gelijke dingen gelijke voegt, dan zijn de totalen gelijk V.b.: a=b a+c=d b+c=e }d = e 3. Als je van gelijke dingen gelijke afneemt, dan zijn de resten gelijk V.b.: a=b a-c=d b-c=e }d = e 4. Dingen, die op elkaar passen, zijn gelijk V.b.: 5. Het geheel is groter dan het deel V.b.: a,b is een getal a met een fractioneel deel b a > b In dit boek beschreef hij, zoals bovenstaand vermeld, tevens een aantal definities. Je zou kunnen zeggen dat deze definities nodig waren om in de wiskunde basisvormen te kunnen omschrijven; dat betekend dat een bepaalde definitie een bepaalde omschrijving hoort en we zo allen over hetzelfde geometrische verschijnsel (met bijbehorende eigenschappen) spreken als we een voorwerp benoemen. Er zijn 23 definities beschreven in zijn boek, mede noodzakelijk om een bepaling te geven aan de postulaten (z.o.z.); enkelen hiervan zijn: o Een punt is, wat geen deel heeft. o Een lijn is een breedteloze lengte. o De uiteinden van een lijnstuk zijn punten. o Een rechte lijn is een lijn die gelijk ligt met de punten erop. o Parallel zijn lijnen die in hetzelfde vlak gelegen zijn en die, wanneer naar weerszijden tot in het oneindige verlengd, elkaar aan geen van beide zijden snijden. Naast deze axioma s en definities heeft Euclides ook in zijn eerste boek vijf postulaten opgesteld. De eerste vier spreken voor zichzelf, echter de laatste staat in schril contrast met zijn voorgangers. Hierover later meer. Onthoudt dat, volgens Euclides, geen van alle postulaten kunnen worden bewezen en ook geen bewijs behoeven (net als de eerder beschreven axioma s) omdat ze als zodanig worden beschouwd in de wereld waarin wij leven. Het zijn uitgangspunten waarop de meetkunde (althans, de Euclidische) is gebaseerd. Velen dachten hier echter anders over bij het zien van het vijfde postulaat 4

5 1. Van een punt naar een ander punt kun je een rechte lijn trekken. V.b.: 2. Je kunt een lijnstuk verlengen tot een rechte lijn. V.b.: 3. Je kunt een cirkel tekenen met een gegeven straal en middelpunt. V.b.: 4. Alle rechte hoeken zijn aan elkaar gelijk. V.b.: 5. Als bij een rechte lijn, die twee rechte lijnen snijdt, de som van de binnenhoeken aan dezelfde kant, kleiner is dan de som van twee rechte hoeken, dan zullen de twee rechte lijnen tot in het oneindige verlengd elkaar ontmoeten aan de kant, waar de hoeken zijn, waarvan de som kleiner is dan twee rechte hoeken. In moderne bewoordingen: Als twee rechte lijnen k en m gesneden worden door een derde rechte lijn l, en de binnenhoeken A en Baan één kant van l samen minder zijn dan 180º, dan snijden k en m elkaar aan diezelfde kant van l. V.b.: A+B < 2 x 90 lijnen k & m zullen, in het oneindig verlengd, elkaar ooit snijden aan de rechterkant van l. Postulaten 1 en 3 zijn niks anders dan het standaard fundament van elke geometrische constructie, tot het midden van de 19 e eeuw. Men kan beweren dat deze simpelweg zijn gebaseerd op praktische menselijke ervaringen. Het tweede postulaat laat zien dat elke rechte lijn niet terminaal is en de ruimte ervan onbegrensd is. In zijn tiende definitie beschrijft Euclides dat een hoek recht is als deze gelijkt aan zijn aanliggende hoek. Dus beschrijft het vierde postulaat de homogeniteit van het vlak: in welke richtingen en door welke punten twee loodlijnen ook worden getrokken, de hoek die ze vormen is gelijk en wordt recht genoemd. Ook over dit postulaat kan worden beweerd dat het gebaseerd is op alledaagse ervaringen. Zoals je wellicht hebt vernomen en zoals eerder vermeldt wijkt het vijfde postulaat enigszins af van de voorgaande vier: terwijl de eerste twee paren postulaten heldere beschrijvingen zijn van aannemelijke basisprincipes die geen bewijs behoeven, is de laatste een uitzondering op deze regel. We gaan op dit postulaat dan ook verder in. 5

6 I.1.3 Het parallellenpostulaat Het vijfde postulaat, ook wel het parallellenpostulaat genoemd, trok ook de aandacht van andere wiskundigen, wat leidde tot verwoedde discussies; indien je dit postulaat namelijk anders kiest krijg je, zoals later zou blijken, een geheel ander soort meetkunde. De Griekse commentator Proclus Diadochus ( voor Christus) vertelt ons dat het postulaat al vanaf het begin werd aangevallen. Proclus schreef een commentaar op de elementen en bespreekt hierin een aantal pogingen om het vijfde postulaat uit de eerste vier af te leiden. Hij bekritiseerde in het bijzonder Ptolemeus afleiding, die naar zijn zeggen incorrect was... en vervolgens geeft hij echter zelf ook een incorrecte afleiding! Verder schreef hij over het befaamde postulaat: Dit postulaat lijkt te zijn doorgehaald uit de gezamenlijke postulaten; dit omdat het slechts een theorie is.... Ook Euclides zelf had gemengde gevoelens over het postulaat. Dit blijkt uit het feit dat hij niet eerder van dit postulaat gebruik maakte tot Propositie I. 29. De bewering lijkt immers ook meer op een propositie dan op een werkelijk postulaat. Het vermoeden ontwikkelde zich dat het vijfde postulaat overbodig is doordat deze uit de vier voorgaande postulaten af te leiden zou zijn of te vervangen is door een eenvoudiger postulaat dat tot dezelfde meetkunde leidt. Er zijn talloze pogingen gedaan om het postulaat te herformuleren, doch leverde dit geen nieuwe waarheden op maar slechts verklaringen die lijken op het postulaat zelf. Enkele van deze formuleringen zijn: o Er bestaat een paar niet congruente driehoeken. o Er bestaat een paar rechte lijnen dat overal gelijke afstanden van elkaar heeft. o Voor elke drie niet op een lineaire lijn liggende punten bestaat er een doorkruisende cirkel. o Als drie hoeken van een vierhoek rechte hoeken zijn, is de vierde hoek ook een rechte hoek. o Als een rechte lijn een van twee parallelle lijnen snijdt, zal hij ook de andere snijden. o Twee rechte lijnen die beiden parallel zijn aan een derde zijn ook parallel aan elkaar. o Twee rechte lijnen die elkaar snijden kunnen niet beiden parallel zijn aan een derde. o Er is geen maximum limiet voor de oppervlakte van een driehoek. Allen zijn slechts intuïtieve formuleringen die het originele vijfde postulaat niet hebben kunnen vervangen, ondanks ze naar zeggen zijn afgeleid uit de vier voorgaande postulaten. Nu weten we dat het echter onmogelijk is om het vijfde postulaat af te leiden uit de eerste vier. In een doorbraak in de moeilijkheid met betrekking tot het vijfde postulaat lost de Engels wiskundige John Playfair het probleem op door het vijfde postulaat te herformuleren, nadat een dergelijke versie eerder was vermeldt door de eerder beschreven Proclus. Deze formulering die stamt uit 1795 en bekend staat als Playfairs axioma (voor het eerst beschreven door Playfair in een commentaar op de Elementen) luidt als volgt: Door een gegeven punt buiten een rechte lijn gaat precies één rechte die evenwijdig is aan die lijn. Deze formulering volgt uit Euclides vijfde postulaat en kwam tot stand door gebruik te maken van de eerder beschreven definitie van Euclides over parallelle lijnen (zie ook pagina 3): Parallel zijn lijnen die in hetzelfde vlak gelegen zijn en die, wanneer aan weerszijden tot in het oneindige verlengd, elkaar aan geen van beide zijden snijden. 6

7 Met behulp van Playfair s herformulering bleek wel te bewijzen dat twee niet parallelle lijnen die gesneden worden door een andere rechte lijn elkaar (indien oneindig verlengd) zullen snijden. Het bewijs voor Propositie I.29, waarbij gebruik wordt gemaakt van dit axioma, zal verderop worden gegeven. We zullen zien dat dit bewijs een beter inzicht geeft in zowel het axioma als het parallellenpostulaat. Maar eerst vragen we ons af waarom de herformulering van Playfair zoveel betekent in de wiskunde, en waarom Euclides specifieke vijfde postulaat zó n belangrijke rol speelt in onze wiskunde dat het de consternatie begrijpelijk maakt. Want, zoals zal blijken: I.1.4 De stelling van Pythagoras behoeft het parallellenpostulaat Dit is een van de theorieën die volgt uit de herformulering van het parallellenpostulaat, en laat zien waarom de herformulering zo belangrijk was. We onderscheiden hierin een aantal punten. We hebben ten eerste Playfairs axioma, die noodzakelijk is om de stelling van Pythagoras te kunnen bewijzen: 1. Door een gegeven punt buiten een rechte lijn gaat precies één rechte die evenwijdig is aan die lijn. En de stelling van Pythagoras, die als volgt luidt: 2. In een rechthoekige driehoek geldt dat het kwadraat van de hypotenusa gelijk is aan de som van de kwadraten van de twee andere zijden. De bewijzen voor de stelling van Pythagoras hebben eigenschappen waaruit blijkt dat nummer 2, de stelling van Pythagoras, nummer 1, Playfair s axioma (of een gelijke), behoeft. Immers hebben de drie hoofdvormen van gebruikte bewijzen voor Pythagoras allemaal elementen waarbij gebruik wordt gemaakt van het axioma. Een van deze bewijzen maakt gebruik van de theorie dat de oppervlakten van parallellogrammen (of driehoeken) met gelijke bases en gelijke hoogten gelijk zijn. Een andere maakt gebruik van de theorie van gelijkheid die op zijn beurt weer gebruik maakt van de proporties van de zijden van gelijkende driehoeken. Weer een andere maakt gebruik van de theorie dat de twee scherpe hoeken van een rechthoekige driehoek complementair zijn. We zullen op deze bewijzen niet verder ingaan omdat deze niet direct te maken hebben met het besproken onderwerp, maar we zullen wel in de volgende paragrafen bewijzen waarom de stelling van Pythagoras het parallellenpostulaat behoeft en waarom we dus kunnen zeggen dat stelling nummer 2 te allen tijde nummer 1 insluit. Er zijn er meerdere stellingen en theorieën, waaronder ook enkele zeer bekenden, die uiteindelijk ook het vijfde postulaat nodig hebben. De stelling van Pythagoras wordt namelijk terug geleidt naar het parallellenpostulaat om hun waarheid aan te kunnen tonen. Enkelen hiervan zijn: 3. In elke driehoek zijn de som van de hoeken gelijk aan de som van twee rechte hoeken. A+ B+ C = 2x90º (=180º) V.b.: 7

8 4. In een driehoek is elke externe hoek gelijk aan de som van de hoeken van de twee overstaande interne hoeken. A+ C = D 5. Als twee parallellen worden gesneden door een transversaal, zijn de overstaande interne hoeken gelijk, evenals de corresponderende externe hoeken (Z-hoeken). A = C; B = D Om een voorbeeld te geven, zullen we in de volgende paragraaf onder meer nummer 3 bespreken. Want ook de wiskundige A.M. Legendre ( ), die meer dan 40 jaar aan het bewijzen van het vijfde postulaat besteedde (maar faalde), begreep dat er stellingen waren die direct het parallellenpostulaat behoefden om bewezen te kunnen worden. I.1.5 De stellingen van Legendre De stellingen van Legendre zijn stellingen die ogenschijnlijk niet zo algemeen, hoewel voorzichtiger en zwakker geformuleerd zijn dan de bovenstaande stellingen. Deze stellingen die volgens Legendre het parallellenpostulaat zowel indirect als direct behoeven omdat meerderen elkander nodig hebben luiden als volgt: 6. Er bestaat een driehoek wiens drie hoeken de som is van twee rechte hoeken 7. Er bestaat een gelijkbenige rechthoekige driehoek wiens drie hoeken de som is van twee rechte hoeken 8. Er bestaat een willekeurig grote gelijkbenige rechthoekige driehoek wiens hoeken de som is van twee rechte hoeken 9. De som van de hoeken van elke driehoek is gelijk aan de som van twee rechte hoeken. Legendre beweert vervolgens dat: o Stelling 6 behoeft stelling 7 o Stelling 7 behoeft stelling 8 o Stelling 8 behoeft stelling 9 o Stelling 9 behoeft stelling 1 Als additionele bewering, om te bewijzen dat de stelling van Pythagoras (nummer 2, zie vorige paragraaf) ook het parallellenpostulaat nodigt heeft, voegen we toe dat: o Stelling 2 behoeft stelling 8 Bij het bewijzen van deze beweringen kunnen we alleen gebruik maken van de stellingen die op geen enkele wijze verbonden zijn met het parallellenpostulaat, om te laten zien dat we uiteindelijk toch echt wel deze stelling nodig hebben om het gehele bewijs compleet te 8

9 kunnen maken. Enkel en alleen mogen we bekende hoeken en segmenten kopiëren, de congruente driehoek stellingen toepassen en de buitenstaande hoekstelling gebruiken. I behoeft 8 Om te laten zien dat onze additionele bewering klopt, moeten we het volgende aantonen: Als, in elke rechthoekige driehoek, het kwadraat van de hypotenusa gelijk is aan de som van het kwadraat van de twee andere zijden, dan bestaat er een willekeurige grote gelijkbenige rechthoekige driehoek wiens drie hoeken gelijk zijn aan twee rechte hoeken. Laten we er een ietwat sterkere stelling van maken door de vorige stelling te herformuleren. Gegeven: Een driehoek ABC met een rechte hoek A en zijden a, b en c. Te bewijzen: Als, in elke rechthoekige driehoek, het kwadraat van de hypotenusa gelijk is aan de som van het kwadraat van de twee andere zijden, dan is de som van de drie hoeken in elke rechthoekige driehoek gelijk aan twee rechte hoeken Bewijs: 1. Teken de hoogtelijn h vanuit A loodrecht op BC en noem het punt D, zo dat ADC= ADB en beide rechte hoeken zijn. Benoem vervolgens CD=x en BD=y. 2. Nu zijn ADC, BDA en BAC rechthoekige driehoeken en kunnen we de stelling van Pythagoras drie keer toepassen: b² + c² = a² x² + h² = b² h² + y² = c² 3. a² = x² + h² + h² + y² = x² + 2h² + y² a² = (x + y) ² = x² + y² + 2xy (rechte lijn) 4. 2h² = 2xy h² = h h = xy h/x = y/h } 3 5. Laten we deze ratio, h/x = y/h, benoemen met de letter k: h/x = y/h = k h = kx; y = kh en dus: h² = (kx)² y² = (kh)² c² = h² + y² (zie 2) 6. c² = k²(x²+h²) b² = x² + h² (zie 2) } }c² = (kx)² + (kh)² = k²(x²+h²) } c² = k²b² c = kb c/b = k = h/x = y/h x² + 2h² + y² = x² + y² + 2xy 2h² = 2xy (kruislings vermenigvuldigen) ab + ac = a(b+c) (kx)² + (kh)² = k²x² + k²h² = k²(x²+h²) (binnen haakjes halen) 9

10 7. Op dezelfde wijze kunnen we aantonen dat c/a = h/b = y/c. Dus staan de corresponderende zijden van de twee kleine driehoeken in verhouding met elkaar, net als de corresponderende zijden van de originele driehoek en de zijden van de kleine driehoeken zelf. Het is nu verleidelijk om te concluderen dat, omdat de corresponderende zijden van de driehoeken in verhouding staan, de corresponderende hoeken gelijk zijn. Deze gedachte is echter een gevolg van het parallellenpostulaat en geld niet in het algemeen. Echter, in het speciale geval van een gelijkbenige rechthoekige driehoek, kunnen we als volgt verder redeneren (zie onderstaande figuur): D Omdat b = c, en omdat b/c = x/h (zie 6), betekent dat x = h; eveneens betekent dat h = y. Dus zijn de driehoeken CDA en BDA eveneens gelijkbenige driehoeken, en zijn hun basishoeken DCA, CAD, DBA en BAD allemaal gelijk aan elkaar (ZZZ congruentiekenmerken). Omdat BDA en CDA rechte hoeken zijn, kunnen we concluderen dat driehoek CDA en BDA gelijke hoeken hebben, net als driehoek BAC. Maar je weet ook dat hoek BAD en CAD opgeteld ook een rechte hoek zijn, en wel hoek BAC. Daarom zijn de gelijke hoeken ABD en ACD ook gezamenlijk een rechte hoek (ABD=ACD = BAD = CAD BAD + CAD = BAC = ABD + ACD), en zijn de hoeken van de originele driehoek ABC opgeteld twee rechte hoeken (=180º)! I.1.7 Theorie over de stellingen van Legendre Nu hebben we laten zien dat de stelling van Pythagoras de eigenschap van een hoekensom gelijkend aan 180º in een gelijkbenige driehoek behoeft. Maar, om uiteindelijk bij het parallellenpostulaat uit te kunnen komen door te laten zien dat die stelling op zijn beurt weer een andere stelling behoeft enzovoort, moeten we ook nog de andere stellingen van Legendre bewijzen. Echter voordat we dit doen, zullen we eerst wat van zijn theorie moeten bespreken alvorens we in staat zijn dit te doen. Deze theorieën van Legendre zijn weergegeven in zogenaamde Lemmata 5 (enkelvoud: Lemma), die in de komende drie paragrafen en een volgende zullen worden besproken. I.1.8 Lemma 1 In een driehoek is de som van twee hoeken minder dan de som van twee rechte hoeken. In een ABC, beschouw de som van de hoeken CAB en ABC. Beschouw de buitenstaande hoek DAB tegengesteld aan CAB. De som van de hoeken DAB en CAB zijn twee rechte hoeken, omdat ze samen een gestrekte hoek vormen. De buitenstaande hoekstelling Stel a = b = 3 a = c 3 = c 1 = c c = d b d 3 d d 5 Lemma: voorlopige hulpstelling 10

11 stelt dat hoek ABC, tegengesteld aan de hoek CAB, minder is dan hoek DAB. Daarom is de som van de twee interne hoeken CAB en ABC minder dan twee rechte hoeken. I.1.9 Lemma 2 In elke driehoek is de som van de drie hoeken minder dan of gelijk aan twee rechte hoeken. In ABC, beschouw dat de som van de drie hoeken ABC, BCA en CAB de som van twee rechte hoeken overschrijdt met een aantal a. Beschouw dat ABC BCA, en dat AD een bissectrice is uit CAB is die CB in D snijdt. Verleng AD tot E zo, dat AD = DE. Dat betekend dat CAD = BED ACD = EBD en CAD = BED (immers: zandloperfiguur met HZH en ZHH congruentiekenmerken). Daarom is de som van de drie hoeken van ABC de som van de drie hoeken van ABE. ABC = A 1 + A 2 + B 1 + C ABE = A 2 + B 1 + B 2 } + E ABC = A1 + A2 + B1 + C A 1 ( CAD) = E ( BED) = E + A 2 + B 1 + B 2 B 2 ( EBD) = C ( ACD) = ABE Omdat ABC BCA, AC AB en dus EB AB. Dus EAB AEB. Maar BAC = EAB + DAC = EAB + AEB. Daaruit volgt dat EAB ½ CAB. Daarom hebben we dus een driehoek, ABE, wiens drie hoeken opgeteld hetzelfde zijn als onze originele ABC, maar waarvan een hoek tenminste de helft van een van de hoeken in de originele driehoek is. Dit proces kan zovaak nodig worden herhaald, totdat we een driehoek krijgen wiens hoeken minder zijn dan a, het teveel aan de som van de hoeken van de originele driehoek ten opzichte van twee rechte hoeken, en wiens totale hoeksom gelijk is aan die van de originele driehoek. Maar dat betekend dat de som van de twee overgebleven hoeken meer moet zijn dan twee rechte hoeken, wat in tegenspraak is met Lemma 1. Dat betekent dat de som van de hoeken van de originele driehoek niet meer kan zijn dan twee rechte hoeken. I.1.10 Lemma 3 Als de hoekensom van een driehoek gelijk is aan twee rechte hoeken, en als een lijnstuk vervolgens wordt getrokken van een hoekpunt naar de andere zijde zo dat de driehoek in twee kleinere driehoeken wordt verdeeld, dan is de som van elk van deze twee driehoeken ook gelijk aan twee rechte hoeken. Laten we de hoeken van de eerste kleine driehoek gezamenlijk S1 noemen, en deze van de tweede S2. Dat betekent dat de hoeken van de originele driehoek opgeteld S1+S2 min twee rechte hoeken zijn. Als S1 minder is dan twee rechte hoeken, dan moet S2 groter zijn dan twee rechte hoeken om ervoor te zorgen dat de som van de originele driehoek gelijk blijft aan twee rechte hoeken. Maar dit zou echter in tegenspraak zijn met Lemma 2. 11

12 I behoeft 7 Terug naar de stellingen van Legendre; nummer 6 behoeft 7: Als er een driehoek bestaat wiens hoeksom gelijk is aan de som van twee rechte hoeken, dan bestaat er een gelijkbenige rechthoekige driehoek wiens hoeken gelijk zijn aan twee gelijkbenige rechthoekige driehoeken. Stel dat in ABC, wiens hoeksom de som is van twee rechte hoeken, zijde BC de kortste is. Kies E op AB zo, dat EB = BC. Teken CE; dan is volgens Lemma 3 de som van BCE gelijk aan twee rechte hoeken. Teken zwaartelijn BD. Dan is BDE rechthoekig, en is zijn hoeksom gelijk aan de som van twee rechte hoeken. Als DE DB, kies F op DB zo dat DF = DE. Dan is DFE een rechthoekige gelijkbenige driehoek wiens hoeken gelijk is aan de som van twee rechte hoeken. Als DE > DB, kies F zo op DE dat DF = DB; dan is DFB wederom gelijk aan wat werd gevraagd. I behoeft 8 Als er een gelijkbenige rechthoekige driehoek bestaat wiens hoeken opgeteld de som van twee rechte hoeken zijn, dan bestaat er een willekeurig grote gelijkbenige rechthoekige driehoek wiens hoeken gelijk zijn aan de som van twee rechte hoeken. Wanneer je twee dezelfde driehoeken van de gelijkbenige rechthoekige driehoek waarvan de som gelijk is aan twee rechte hoeken tegen elkaar plaatst, hypotenusa tegen hypotenusa, krijg je een vierhoek met vier gelijke zijden en vier gelijke hoeken. Als je vier van zulke vierkanten tegen elkaar zet krijg je een vierkant wiens zijden twee keer zo groot zijn. Als je dit proces zo vaak herhaald als nodig is, krijg je een vierkant wiens zijden oneindig groot kunnen zijn. Elke diagonaal die je vervolgens trekt verdeelt dit vierkant in twee gelijkbenige rechthoekige driehoeken wiens hoeksom de som is van twee rechte hoeken, zoals gevraagd. I behoeft 9 Als de hoeken van een willekeurig grote gelijkbenige rechthoekige driehoek opgeteld gelijk zijn aan de som van twee rechte hoeken, dan zijn de hoekensommen van elke rechthoekige driehoek gelijk aan de som van twee rechte hoeken. We hebben een rechthoekige ABC, met een rechte hoek C. De benen kunnen worden doorgetrokken naar respectievelijk D en E zo, dat DCE een gelijkbenige rechthoekige driehoek is wiens drie hoeken opgeteld gelijk zijn aan de som van twee rechte hoeken. Dan kunnen we Lemma 3 toepassen om te concluderen dat de hoeksom van EAC gelijk is aan twee rechte hoeken, en kunnen we opnieuw het Lemma toepassen om te concluderen dat de hoeksom van ABC tevens gelijk is aan twee rechte hoeken. I.1.14 Gevolgtrekking Als elke van de stellingen 6, 7, 8 of 9 tot stand blijven, betekent het dat de som van elke gegeven driehoek gelijk is aan de som van twee rechte hoeken. De stellingen behoeven immers allemaal elkaar want elke driehoek kan worden verdeeld op de manier zoals beschreven in Lemma 3 in twee rechthoekige driehoeken. 12

13 I.1.15 Lemma 4 Gegeven een lijn en een bepaald punt niet op die lijn, kan er een lijn worden getrokken door dat punt die de lijn zo doorsnijdt dat de gevormde hoek minder is dan elke eerder toegewezen hoek. Teken de loodlijn PQ van het punt P tot de lijn; kies R zo op de lijn dat PQ = QR. Teken PR, en kies S zo op de lijn (met R tussen Q en S) dat PR = RS. Dan, omdat QRP plus PRS gelijk zijn aan twee rechte hoeken (gestrekte hoek), maar (volgens Lemma 2) de som van de hoeken PRS, RPS en RSP tenminste twee rechte hoeken zijn, volgt hieruit dat de som van de hoeken RPS en RSP op z n minst zo groot is als PRQ. Omdat RPS een gelijkbenige driehoek is, zijn de hoeken RPS en RSP gelijk, en daarom elke tenminste zo groot is als ½ PRQ. Door dit proces zo vaak te herhalen als nodig is, verkrijgen we een hoek minder dan elke eerder toegewezen grootte. I behoeft 1 Als de drie hoeken van elke driehoek opgeteld gelijk zijn aan de som van twee rechte hoeken, dan kan, door een gegeven punt slechts een lijn worden getrokken parallel aan een gegeven lijn. Teken de loodlijn PQ van het punt P naar de gegeven lijn l. Construeer de lijn r door P, loodrecht op PQ. Dan is r een parallel van (en betekent het dat deze niet snijdt met) lijn l, want een driehoek met twee rechte hoeken zou Lemma 1 weerleggen. Stel je voor dat er een andere lijn s is door P parallel met lijn l. Omdat lijn s anders is dan lijn r, kunnen we een punt T op s zo kiezen dat hoek TPQ minder is dan een rechte hoek. We duiden het verschil met een rechte hoek aan met a. Gebruik nu Lemma 4 om een lijn door P te construeren die l snijdt in een punt U, zo dat hoek PUQ minder is dan a. Benoem een punt V op r aan dezelfde kant van PQ als U. 13

14 Nu, omdat PQU recht is, zijn de sommen van de hoeken van PQU gelijk aan de som van twee rechte hoeken, en de sommen van de hoeken QUP en QPU ook een enkele rechte hoek vormen. Maar QPV, de som van de hoeken QPU en UPV is ook recht. Daaruit volgt dat de hoeken QUP en UPV gelijk zijn. Dit betekent dat hoek UPV minder is dan a. Omdat TPV gelijk is aan a, moet het lijnstuk PT in de hoek van QPU liggen, en moet daarom noodzakelijk lijn l snijden (ergens tussen Q en U). Dit weerlegt de veronderstelling dat lijn s parallel is aan lijn l, en kunnen we concluderen dat de parallelle lijn r door P uniek is. Uiteindelijk kunnen we door de bovenstaande bewijzen concluderen dat de stelling van Pythagoras het parallellenpostulaat behoefd! I.1.17 Het bewijs voor Propositie I.29 Zoals eerder vermeldt, was de eerste propositie waarbij Euclides van zijn parallellenpostulaat gebruik maakte, Propositie I.29. Om de essentie van deze propositie weer te geven en om het parallellenpostulaat beter te doen begrijpen, zullen wij hier Propositie I.29 bewijzen. Te bewijzen: Een rechte (lijn), die parallelle rechten (parallelle rechte lijnen) treft, maakt de verwisselende binnenhoeken aan elkaar gelijk en den buitenhoek gelijk aan den afgelegen binnenhoek en de binnenhoeken aan den zelfden kant gelijk aan twee rechte (hoeken). Een visualisatie van wat te bewijzen, om een beter beeld te krijgen: de twee rechte en parallelle lijnen l en m worden beiden gesneden door een andere rechte lijn k. De snijpunten met de lijnen zijn A en B. Vervolgens wordt gezegd (en moet bewezen worden) dat (o.a.) de hoeken A 3 en B 1 gelijk zijn, hoek A 1 gelijk is aan hoek B 1 en elke binnenhoeken aan dezelfde zijde samen (bijvoorbeeld A 2 en B 1 ) twee rechte hoeken opgeteld zijn (180º). Bewijs: Stel: hoek A 3 en B 1 zijn ongelijk aan elkaar (A 3 B 1 ). Dan moet een van deze twee wel groter zijn: laat dat, in ons voorbeeld, hoek A 3 zijn (A 3 >B 1 ). Vervolgens tellen we bij beide hoeken, zowel bij hoek A 3 als bij B 1 dus, de hoek A 2 op. Dan is (A 3 + A 2 ) dus groter dan (B 1 + A 2 ) ((A 3 +A 2 ) > (B 1 + A 2 )). Maar verder weten we ook dat de hoeken A 3 en A 2 samen gelijk zijn aan twee rechte hoeken (A 3 + A 2 = 180º). (Dit werd overigens ook bewezen in Euclides Propositie I.13 nevenhoeken, maar spreekt ook voor zich omdat A 3 en A 2 beiden aan dezelfde kant van lijn l liggen en elk punt op een rechte lijn (dus ook punt A) uiteraard een hoek heeft van 180º). Dit betekent dan tevens dat hoek (A 2 + B 1 ) kleiner is dan 180 º ((A 2 + B 1 ) < 180º). Verder stelt het parallellenpostulaat dat twee rechte parallelle lijnen, tot in het oneindige verlengd, elkaar nooit zullen snijden dat betekent dus ook dat de binnenhoeken aan dezelfde kant van Stel: A 3 B 1 met A 3 > B 1 A 3 + A 2 > B 1 + A 2. A 3 +A 2 > B 1 + A 2 A 3 + A 2 = 180º B 1 + A 2 < 180º } 14

15 de lijn die de parallellen snijdt samen 180º moeten zijn. Echter hebben we net gezegd dat (A 2 + B 1 ) < 180º. Dan betekent dat de lijnen l en m elkaar, wanneer tot in het oneindige verlengd, elkaar moeten snijden. Echter doen ze dit niet, omdat dit in tegenspraak is met het gegeven dat de lijnen l en m parallel zijn en deze dus volgens het vijfde postulaat elkaar nooit zullen snijden. Hieruit volgt dat hoek A 3 niet ongelijk is aan hoek B 1 ; ze zijn dus gelijk aan elkaar (A 3 = B 1 ). Nu kunnen we als volgt verder redeneren: hoek A 3 = A 1 (nevenstaande hoeken, Propositie I.15). Omdat hoek A 3 = B 1, ook A 1 = B 1 (ook: F-hoeken). Tel wederom hoek A 2 bij beiden op: dan is (A 2 + B 1 ) = (A 2 + A 1 ). Wederom gebruik makend van Propositie I.13 kunnen we nu stellen dat, omdat (A 2 + A 1 ) = 180º (nevenhoeken), zijn tevens de twee binnenhoeken aan dezelfde zijde van de rechte lijn (A 2 + B 1 ) ook gelijk aan twee rechte hoeken (180º)! Tegenspraak. A 3 = B 1 A 3 = A 1 A 1 = B 1 A 3 = B 1 } A 2 + B 1 = A 2 + A 1 A 2 + A 1 = 180º A 2 + B 1 = 180º } Q.E.D. I.1.18 Uit Playfair s axioma volgt het parallellenpostulaat Om te laten zien dat Playfair het bij het rechte eind had met zijn herformulering van het postulaat, gaan we bewijzen wat de titel van deze paragraaf al beschrijft. Gegeven: Zie nevenstaande figuur. Gegeven zijn de rechte lijnen l en m en een willekeurig punt A op m. Op m vanuit punt A is lijn AB getrokken: transversaal n. De gegeven hoeken A1 en B2 maken samen een hoek kleiner dan twee rechte hoeken. Te bewijzen: Uit Playfair s axioma volgt het parallellenpostulaat: lijnen m en l zullen snijden aan kant A1 en B2. Bewijs: Trek lijn k door A die een hoek maakt met n waarbij hoek A1 + A4 = B1. Dan zijn de lijnen k en l volgens Propositie I.27 parallel. Omdat lijn m volgens Playfair s axioma dan niet parallel is aan lijn l (er kan volgens het axioma immers maar één rechte lijn door een punt worden getrokken parallel aan een andere lijn, en lijn k m), moet lijn m lijn l treffen in een van de richtingen wanneer tot in het oneindige verlengd. Omdat m en l elkaar zullen snijden, zal er een driehoek ontstaan met transversaal n. Echter zijn in elke driehoek twee hoeken opgeteld samen telkens kleiner dan twee rechte hoeken. Daarom zijn de hoeken A1 en B2 de hoeken van de driehoek en niet de hoeken A2 en B1, omdat A1 en B2 samen kleiner zijn dan twee rechte hoeken (gevolg van Propositie I.13 overstaande hoeken). 15

16 Dus zullen de lijnen m en l elkaar snijden aan de kant van A2 en B2, oftewel aan de kant van lijn n waar de hoeken kleiner zijn dan twee rechte hoeken, zoals het parallellenpostulaat stelt. Q.E.D. I.2 Een aanloop naar en de grondleggers van de niet-euclidische meetkunde I.2.1 John Wallis ( ) In tegenstelling tot veel van zijn voorgangers, waaronder de eerder genoemde Proclus, probeerde in de zeventiende eeuw de uit Engeland afkomstige wiskundige John Wallis niet het parallellenpostulaat uit de eerste vier postulaten af te leiden, maar in plaats daarvan probeerde hij een postulaat aan te nemen dat volgens hem waarschijnlijker is dan het parallellenpostulaat. Zijn uiteindelijke nieuwe postulaat staat bekend onder het axioma van Wallis en is equivalent aan het vijfde postulaat. Vervolgens probeerde hij uit de eerste vier postulaten en dit nieuwe postulaat het parallellenpostulaat af te leiden. Laten we het axioma bestuderen en een bewijs geven. I.2.2 Het axioma van Wallis Het axioma luidt als volgt: Bij een gegeven (willekeurige) driehoek ABC en een gegeven lijnstuk DE bestaat een driehoek DEF (waarvan dus DE een zijde is) die gelijkvormig is met driehoek ABC. Gegeven: Een lijn l en een punt A niet op die lijn Te bewijzen: k is de enige lijn door A evenwijdig aan l Bewijs: Teken een loodlijn AB op l te en vervolgens wederom een loodlijn k loodrecht op AB. Teken een andere lijn m door P. Toon nu aan dat lijn m lijn l zal snijden. 16

17 m ligt tussen lijn k en AB in voor elk punt C op dit lijnstuk m kunnen we een loodlijn CD trekken van die lijn m naar lijnstuk AB. (Merk op, dat we kunnen aantonen dat CD uniek is). Vervolgens kunnen we het axioma van Wallis toepassen op volgt dat er een punt E is zodat ADC ABE. ADC en lijnstuk AB. Hieruit Stel dat E aan dezelfde kant ligt van AB als C. Dan is, door de gelijkvormigheid van de driehoeken, EAB = CAD. Omdat beide hoeken lijnstuk AB als been hebben en E aan dezelfde kant van AB ligt als C, moet E wel op lijn m liggen. Daaruit volgt dat ook ABE = ADC, en is ABE een rechte hoek. Doordat ABE een rechte hoek is, en tevens omdat E op lijn m ligt, kun je concluderen dat E dan ook op lijn l ligt en dus dat de lijnen l en m snijden elkaar in E; dat betekent dat lijn k de enige lijn is die A snijdt en die evenwijdig is aan lijn l! Het bovenstaande bewijs is, hoewel correct, niet gelijk aannemelijker dan het parallellenpostulaat; het is slechts equivalent, net als Playfair s axioma, maar heeft nooit de positie van het originele parallellenpostulaat kunnen innemen. I.2.3 Giovanni Gerolamo Saccheri ( ) Saccheri, een Italiaanse theoloog, filosoof en wiskundige, heeft enkele opmerkenswaardige werken gepubliceerd met betrekking tot het parallellenpostulaat. Giovanni Saccheri was lid van de orde van de Jezuïeten, en was tijdens zijn studie filosofie en theologie aan het Jezuïetencollege door Tommaso Ceva geïnteresseerd geraakt in de wiskunde. Na zijn studie en priesterwijding heeft hij als docent zijn initiële studiekeuzes onderwezen op diverse Jezuïetencolleges door Italië, maar werd in 1699 ook hoogleraar in de wiskunde. Hij schreef verscheidene werken met betrekking tot de wiskunde, waaronder Quaesita geometrica (i.s.m. Tomasso Ceva), Logica Demonstrativa (over logica, geschreven in de stijl van Euclides Elementen) en Neo-statica (over statica). Verder schreef hij in het jaar van zijn overlijden, wat als zijn meesterwerk wordt beschouwd, een boek met de titel Euclides ab Omni Naevo Vindicatus ( Euclides van elke blaam gezuiverd ). In dit boek sloeg hij een nieuwe weg in, vergeleken met de wiskundigen die hem voorgingen, betreffende de afleiding van het vijfde postulaat uit de eerste vier. Hij maakte gebruik van een zogenaamd reductio ad absurdum (bewijs uit het ongerijmde), een methode waarmee enkele van de voorgaande stellingen al mee zijn bewezen. Saccheri gaat als volgt te werk: in tegenstelling het vijfde postulaat trachten af te leiden en het bestaan van een dergelijke propositie of een dergelijk postulaat te erkennen, verwerpt hij het parallellenpostulaat en maakt slechts gebruik van de eerste vier postulaten alsmede de eerste 17

18 28 proposities. Vervolgens onderzocht hij de gevolgtrekkingen ervan, in de hoop zo op onmogelijkheden te stuiten. Dit werk wordt, hoewel hij het zelf niet zo ziet, beschouwt als de eerste publicatie over niet-euclidische wiskunde en krijgt veel aandacht van de andere wiskundigen van zijn tijd, wiens interesse voor het parallellenpostulaat ten tijde erg groot was. Figuur 4: Titelpagina van Euclides ab Omni Naevo Vindicatus Intuïtief en door zijn overtuiging van het bestaan van parallellenpostulaat en het geloof in Euclidische meetkunde, besluit hij uiteindelijk zijn resultaten te verwerpen als ongerijmd en is er daardoor van overtuigt het parallellenpostulaat te hebben bewezen. Enkelen denken echter dat Saccheri wel degelijk het bestaan van een niet-euclidische meetkunde heeft ingezien, gezien de voortreffelijkheid van zijn laatste schrijven, maar deze niet durfde te publiceren uit angst voor eventuele vervolging. I.2.4 De vierhoek van Saccheri Saccheri kon bij zijn bewijzen alleen gebruik maken van de eerste vier postulaten om de gevolgen van deze meetkunde te bestuderen, probeerde hij tevens een aantal veronderstellingen deels nogmaals te bewijzen die normalitair enkel en alleen met behulp van het parallellenpostulaat konden worden bewezen. Hij bestudeerde onder andere vierhoeken waarvan de basishoeken rechte hoeken zijn en de opstaande zijden gelijk, zoals de bovenstaande vierhoek deze vierhoeken worden ook wel Saccheri vierhoeken genoemd. Welnu, in de bovenstaande balk kan men niet bewijzen zonder hulp van het parallellenpostulaat dat, omdat zowel hoek A en B rechte hoeken zijn, ook de hoeken C en D rechte hoeken zijn. Echter, het is wel mogelijk om te bewijzen zonder gebruik te maken van het vijfde postulaat dat de hoeken C en D gelijk aan elkaar zijn. Het bewijs is niet erg moeilijk en gaat als volgt: 18

19 DAB = ABC (gegeven: rechte hoeken, postulaat IV) AD = BC (gegeven) ABD BAC (ZZR) } AB = AB ABD BAC AC = BD AD = BD (gegeven)} CAD DBC (ZZZ) ADC = BCD CD = CD D = C I.2.5 De Vierhoek van Saccheri & het parallellenpostulaat Het is natuurlijk een stap in de goede richting nu we hebben bewezen dat de hoeken C en D gelijk zijn, maar pas als we hebben bewezen dat de hoeken C en D beide ook rechte hoeken zijn kunnen we pas iets zeggen over de noodzakelijkheid van het parallellenpostulaat. Waarom dit zo is zullen we later bekijken. Op dit moment bestaan er drie hypothesen over de hoeken C en D: 1. Hoeken C en D zijn rechte hoeken 2. Hoeken C en D zijn stompe hoeken 3. Hoeken C en D zijn scherpe hoeken Geheel volgens Saccheri gaan we verder, en zullen alles bewijzen vanuit het ongerijmde met behulp van enkel de eerste vier postulaten en de meetkunde die daaruit volgt we nemen hypothesen twee en drie aan, en kijken of er een tegenspraak ontstaat. Als dit in beide daar tot toe leidt, zullen we kunnen concluderen dat hypothese één bevestigd is. Immers, vervolgend op de eerste alinea, beweert Saccheri dat uit de hypothese van de rechte hoek het parallellenpostulaat is af te leiden. Zoals we eerder hebben gezien kunnen we dit doen door te laten zien dat de hoeken van de driehoek samen 180º zijn immers behoefde deze stelling het parallellenpostulaat (zie I.1.16). Een volgende bewijs kan worden gegeven (zie onderstaande figuur): Gegeven: Vierhoek ABEF met de rechte hoeken E en F. H is het midden van AC en G het midden van BC. Loodrecht op EF door C is lijnstuk CD, met D op EF. E, F en D zijn de voetpunten van de loodlijnen vanuit respectievelijk B, A en C. Te bewijzen: De hoekensom van ABC is gelijk aan 180º Bewijs: H1 = H2 (Propositie I.13 overstaande hoeken) F = D (Postulaat IV) AH = CH (gegeven) } FHA DHC (ZHH) 19

20 Op eenzelfde manier kan worden bewezen dat ook EGB DGC (ZHH): G1 = G2 (Propositie I.13 overstaande hoeken) } E = D (Postulaat IV) BG = GC (gegeven) EGB DGC (ZHH) FHA EGB DHC AF = CD DGC BE = CD } AF = BE Omdat E en F op dezelfde lijn EF rechte hoeken zijn en omdat AF en BE (loodrecht op F en E) gelijk zijn, is vierhoek ABEF is een vierhoek van Saccheri. Verder geldt dat de hoekensom S van verder redeneren: ABC = A1 + B1 + C1 + C2. Dan kunnen we Omdat we net hebben gezegd dat FHA DHC A2 = C1 } en EGB DGC B2 = C2 S = A1 + B1 + A2 S = A1 + B1 + C1 + C2 + B2 S = A1 + B1 + C1 + C2 = S = A12 + B12 Omdat A = B = 90º ( F en E waren immers voetpunten van de loodlijnen ( loodlijn = 90º) vanuit A en B), is S = A + B = 180º! Q.E.D. I.2.6 De Vierhoek van Saccheri & de stellingen van Legendre Herinner je je nog Lemma 2 van Legendre (zie I.1.19)? Deze stelling beweerde dat de hoekensom van een driehoek groter of gelijk is aan 180º, zonder hierbij gebruik te maken van het parallellenpostulaat. Herlees eventueel het lemma om wederom een beter inzicht in de zaak te krijgen. Er werd uiteindelijk bewezen dat een zekere driehoek ABC een gelijke hoekensom heeft als de hoekensom van een andere driehoek ABE, en waarvan tenminste één hoek de helft van een van de hoeken in de originele driehoek ABC is. Ook werd gezegd dat deze stap zovaak kon worden herhaald als mogelijk; hierbij kregen we een nieuwe driehoek met dezelfde hoekensom 180º + a, maar waarin één hoek ten hoogste aº is. Dat betekent dan dat de som van de twee andere hoeken gelijk of groter is dan 180º. En dat leidt tot een tegenspraak met de stelling die zegt dat de som van twee willekeurige hoeken in een driehoek kleiner is dan 180º, en wel lemma 1. Hierbij is, zoals eerder vermeldt, bewezen dat de som van twee willekeurige hoeken in een driehoek kleiner is dan 180º. Van deze stelling heeft Saccheri dus op een dergelijk manier gebruik kunnen maken dat de hypothese van een stompe hoek tot een tegenspraak leidt. Ook denkt Saccheri, zonder gebruik te maken van het parallellenpostulaat, uiteindelijk te hebben bewezen dat tevens de hypothese van een scherpe hoek tot een tegenspraak leidt echter blijkt dit bewijs niet geheel te kloppen. Hij trekt een verkeerde conclusie, door zijn grote overtuiging van de waarheid van het parallellenpostulaat. 20

21 I.2.7 Jean François Moufot ( ) Jean Moufot, een Fransman geboren in Normandië, heeft ook bijgedragen aan de hedendaagse wiskunde onder andere met enkele stellingen hedendaags bekend onder de stellingen van Moufot. Betreffende de niet-euclidische meetkunde was zijn aandeel echter klein, mede omdat hij zijn vindingen betreffende deze meetkunde nooit heeft gepubliceerd. Dat is dan ook de reden dat hij nauwelijks genoemd wordt in de reeks van grondleggers van deze meetkunde. Moufot was een erg filosofisch ingestelde wiskundige, die zijn studie aan de École Polytechnique voortijdig afbrak om zich geheel in deze filosofie te verdiepen. Hij hield van simpliciteit mede doordat hij erg beïnvloed was door het werk van Rene Descartes ( ), de filosoof die onder meer bekend is van zijn wereldwijd beroemde uitspraak Cogito ergo sum ( Ik denk dus ik ben ). Ook was Moufot, mede vanwege zijn simplistisch ingestelde denkwijze, al vanaf jonge leeftijd gefascineerd door de eerste vier eenvoudige postulaten van Euclides waarop de gehele wiskunde is gebaseerd. In navolging van Euclides publiceerde hij tevens een tweetal eenvoudige stellingen (de stellingen van Moufot), waarbij we even stil zullen staan maar niet verder zullen uitlichten omdat deze geen betrekking hebben op het onderwerp en ook niet van belang zijn. Figuur 5: Jean Moufot De eerste stelling van Moufot luidt als volgt: Gegeven: Een willekeurige driehoek, met een vierkant daaromheen. Stelling: Alle zijden van het vierkant zijn even lang, ongeacht de afmetingen van de driehoek. Zijn tweede stelling: Gegeven: Een willekeurige cirkel met daaromheen een willekeurig vierkant en een hoek met de horizontaal en dit vierkant Stelling: Het middelpunt van de cirkel ligt binnen het vierkant. Hij voegde hier graag aan toe dat deze stelling juist was ongeacht de vorm van de cirkel of de grootte van hoek Deze stellingen lijken heel erg logisch, maar als iemand dat als respons bij het zien van de stellingen zou verklaren in de aanwezigheid van J. Moufot, antwoordde hij steevast: dat denk je maar. Dit antwoord past, bij nader inzien, immers ook geheel in de wereld van Descartes die met zijn bovenstaand geciteerde Cogito ergo sum tevens impliceerde dat men aan alles kan twijfelen behalve de twijfel zelf (omdat dit een denkactiviteit is). 21

22 Zijn passie voor simpliciteit leidde dan ook tot twijfel bij het zien van het parallellenpostulaat, en vermoedde dan ook, net als andere grote groepen wiskundigen van zijn tijd, dat deze kon worden afgeleidt uit de eerste vier. Evenals Saccheri verwierp hij het parallellenpostulaat om te ondervinden wat de gevolgen hiervan waren door enkel gebruik te maken van de eerste vier postulaten. Zijn studies leidden, bij de verwerping van het vijfde postulaat, tot een volledig consistente meetkunde; hij was een van de eersten die tot dit inzicht kwam. Doordat geen van zijn werken ooit gepubliceerd zijn is hem nooit de eer van de ontdekking van de niet-euclidische meetkunde toegekomen, en is deze eer voorbijgegaan naar andere wiskundigen die overigens hun werken slechts 15 tot 20 jaar na zijn bevindingen publiceerden en die in de volgende paragrafen zullen worden besproken. I.2.8 Nikolai Ivanovich Lobačevskiĭ ( ) Nadat Lobačevskiĭ, woonachtig vanaf 1801 in Kazan, zijn studie aan het stedelijk gymnasium had afgerond, besloot hij natuur- en wiskunde studeren aan de universiteit ter plaatse. Hij raakte door zijn Duitse professor Martin Bartels, die bevriend was met Gauss (die we zoeven zullen bespreken), geïnteresseerd in de wiskunde met name in Euclides postulaten. Toen hij afstudeerde, werd hij zelf professor aan de universiteit en later ook rector van de universiteit. Figuur 6: Lobačevskiĭ Lobačevskiĭ beweerde, nadat hij een aantal studies had voltooid, dat het parallellenpostulaat niet bewezen kan worden en zegt daarmee ook dat deze niet uit de vier voorgaande postulaten kan worden afgeleid. Hij vervangt het parallellenpostulaat door een ander postulaat en ontwikkelt een ander soort meetkunde waarbij dit postulaat niet van toepassing is, een niet-euclidische meetkunde. Dit terwijl andere wiskundigen nog druk bezig zijn het parallellenpostulaat af te leiden uit de vier andere postulaten van Euclides. Zijn ideeën over een algemene niet-euclidische meetkunde werden voor het gepresenteerd op 11 februari 1826 voor de afdeling natuur- en wiskunde op de universiteit van Kazan, en dit werk gold tevens als de basis voor zijn in 1829 gepubliceerde werk over hyperbolische meetkunde in het Russische tijdschrift Kazan Boodschapper. In 1840 in Berlijn publiceerde Lobačevskiĭ een samenvatting van zijn meetkunde om zijn ondervindingen ook buiten Rusland bekend te maken in Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien. In de 19 e eeuw blijkt dat het parallellenpostulaat onmogelijk is te bewijzen door het werk van onder meer Lobačevskiĭ, maar tevens door een andere onderzoeker, János Bolyai. Zij werkten onafhankelijk van elkaar een meetkunde uit waarbij het vijfde postulaat werd genegeerd en dus een nieuwe tak van wiskunde ontstond: de niet-euclidische meetkunde. Merk dus op dat niet-euclidische meetkunde niet non Euclidische meetkunde is, in de zin dat hoewel het parallellenpostulaat buiten beschouwing wordt gelaten in deze meetkunde er nog steeds gebruik wordt gemaakt van de eerste vier postulaten van Euclides als basis voor deze meetkunde. Een veelgebruikte omschrijving van niet-euclidische meetkunde is dan ook dat niet-euclidische meetkunde een meetkunde is waarbij het parallellenpostulaat als onwaar wordt beschouwd. Doordat uit Lobačevskiĭ s en Bolyai s vindingen bleek dat zich een geheel nieuwe meetkunde kan ontwikkelen door het vijfde postulaat te ontkennen, kwamen zij tot de conclusie dat het onmogelijk is om het parallellenpostulaat te bewijzen uit de eerste vier. Immers, als dit wel mogelijk zou zijn geweest, zou de ontkenning van dit postulaat tot 22

23 eenzelfde meetkunde moeten leiden als wanneer deze niet ontkend werd, wat klaarblijkelijk niet het geval is. Wanneer in 1860 een brief gepubliceerd wordt door Carl Gauss, degene met wie de eerder genoemde professor Bartels correspondeerde, wordt ook het belang en de betekenis van de vindingen duidelijk voor andere wiskundigen hieruit bleek dat overigens de (ten tijde al befaamde) Gauss al langere tijd van een bestaan van de niet-euclidische meetkunde is overtuigt en zelf ook al een aantal belangrijke echter ongepubliceerde vindingen heeft gedaan. We zullen Gauss en zijn resultaten verderop bekijken, maar laten we eerst Bolyai en zijn bijdrage nader bekijken. I.2.9 János Bolyai ( ) De uit Hongarije afkomstige János Bolyai was een bijzonder intelligente man, en wordt, naast Lobačevskiĭ, Gauss en Riemann als een van de grondleggers van de niet-euclidische meetkunde beschouwd. Zijn vader, Farkas Bolyai, is natuur-, wis- en scheikunde leraar en van plan om van zijn zoon een groot wiskundige te maken. Om dit te bereiken, schreef Farkas een brief naar zijn vriend Gauss om deze zijn opvoeding en opleiding van hem over te nemen, maar Gauss weigerde dit voorstel. János gaat vervolgens aan de militaire acedemie in Wenen studeren, waar hij zijn studie in vier jaar in plaats van de gebruikelijke zeven jaar afrond. Figuur 7: Bolyai Net als zijn vader probeert János tevens, mede geleid door zijn grote belangstelling voor het parallellenpostulaat, dit vijfde postulaat af te leiden uit de eerste vier maar komt net als Lobačevskiĭ (NB.: zij werkten onafhankelijk van elkaar) tot de conclusie dat dit onmogelijk is omdat zich een consistente niet-euclidische meetkunde kan ontwikkelen bij het weglaten van het postulaat. Vijf jaar na is zowel het jaar van zijn voorgenoemde vinding als het jaar van zijn gehele studie met betrekking tot dit postulaat presenteert hij zijn vindingen aan zijn vader, die zich er ogenschijnlijk niet erg enthousiast over was. J. Boylai publiceert zijn werk in 1832 in een appendix bij een werk van zijn vader, maar komt voor de uitgave al tot de conclusie dat Gauss de bevindingen die János heeft beschreven al eerder had gedaan maar nog nooit gepubliceerd had uit angst voor publieke opinie. János gelooft in een complot tussen Gauss en zijn vader, waarbij de laatstgenoemde zijn bevindingen aan Gauss zou hebben doorgespeeld. Hij leidt vanaf 1833 een meer teruggetrokken leven, en komt in 1848 tot de ontdekking dat Lobačevskiĭ een soortgelijke bevindingen heeft gedaan als die hij heeft beschreven, maar al had uitgegeven in 1829, drie jaar vóór de uitgave van zijn werk. Hij geraakt in een diepe depressie en heeft geen van zijn latere bevindingen ooit nog gepubliceerd. János Bolyai liet wel bij zijn dood meer dan pagina s met aantekeningen achter, grotendeels met betrekking op wiskundige onderwerpen, waaruit later bleek dat hij op sommige punten zijn tijd ver vooruit was. I.2.10 Carl Friedrich Gauss ( ) Carl Friedrich Gauss was een Duits wiskundige, astronoom en fysicus. Net als J. Boylai was Gauss tevens een bijzonder pientere leerling, die al voordat hij ging studeren de kwadratische reciprociteitswet herontdekt en bewezen en de priemgetalstelling vermoed. Als student loste hij een tweeduizend jaar oud probleem op en wel de voorwaarden en noodzakelijkheden opdat een regelmatige veelhoek met passer en liniaal kon worden geconstrueerd. Hij besloot 23

24 na zijn succes van deze vinding wiskunde te gaan studeren en promoveerde in 1799, na een eerste strenge bewijs van de hoofdstelling van de algebra te geven. Twee jaar later kwam hem de titel van Princeps Mathematicorum ( De voornaamste van de wiskundigen ) hem voorgoed toe na de publicatie van Disquisitiones arithmeticae ( Onderzoeken naar rekenkunde ), wat de grondslag van de getallentheorie vormt. In een periode vanaf 1807 hield hij zich onder meer tevens met astronomische zaken bezig, maar legde zich ook tot 1818 zichzelf geheel toe op de wiskunde, onder andere op de niet- Euclidische meetkunde. Vanaf het begin van de negentiende eeuw stelde hij zichzelf namelijk al enige vragen met betrekking tot het parallellenpostulaat, door een soortgelijke weg te volgen als enkele voorgenoemde wiskundigen van zijn tijd door te kijken of zich een nieuwe meetkunde zou ontwikkelen (waarin de stellingen niet in tegenspraak met elkaar zijn) bij het nemen van een ander postulaat dan dit vijfde postulaat van Euclides. Hij communiceerde met János en Farkas Boylai over het onderwerp, maar desondanks publiceerde lange tijd (zelfs niet in de periode tot 1818 toen hij artikelen over de hypergeometrische reeks, bikwadratische reciprociteitswet en wederom over de hoofdstelling van de algebra publiceerde) geen van zijn bevindingen. Figuur 8: Gauss Toen hij vanaf 1818 tot 1825 aan actief veldwerk voor de triangulatie 6 van het koninkrijk van Hannover deelnam, raakte hij geïnspireerd voor theorieën over gebogen oppervlakten, differentiaalmeetkunde en waarnemingsrekening. Hij heeft echter nooit iets gepubliceerd over de niet-euclidische meetkunde, maar uit zijn 7000 correspondentiebrieven met onder andere Boylai en uit notities bleek tijdens zijn overlijden dat hij de niet-euclidische meetkunde decennia voor is geweest en dus wel degelijk tot de ontdekkers van deze tak van de wiskunde behoort. In 1825 raakte Gauss geïnteresseerd in de natuurkunde en publiceerde nauwelijks meer wiskundige werken. In de natuurkunde heeft hij ook veel vooruitgang geboekt; de eenheid van de magnetische inductie is onder andere naar hem vernoemd. Naast dit onderwerp die behoort tot de aardmagnetica, bestudeerde en publiceerde hij ook werken over de mechanica, capillariteit, variatierekening, optica en kristallografie. I.2.11 De bevindingen van de grondleggers van de niet-euclidische meetkunde Na jarenlange studies en de publicaties over de niet-euclidische meetkunde van Lobačevskiĭ, J. Bolyai en Gauss, begon deze nieuwe tak van wiskunde vorm aan te nemen. De tak van wiskunde blijkt ruwweg onder te zijn verdelen in elliptische en hyperbolische meetkunde. In delen II en III zullen deze onderwerpen verder worden uitgediept; maar laten we alvast kijken hoe deze typen meetkunde zich onderscheiden van de Euclidische meetkunde, met name van het parallellenpostulaat. In de hyperbolische meetkunde worden door Bolyai en Lobačevskiĭ, de ontwikkelaars van de niet-euclidische meetkunde, het parallellenpostulaat vervangen door het volgende postulaat: Er zijn meerdere evenwijdige lijnen aan een lijn l door een punt P niet op l. 6 Triangulatie: driehoeksmeting op het terrein ten behoeve van de cartografie 24

25 Natuurlijk lijken, in het platte vlak, geen van de bovenstaande lijnen door P evenwijdig te zijn aan lijn l, maar zoals later zal blijken zal in een bepaald ruimtelijk figuur (een hyperbolisch model) dit wel het geval zijn. Tenslotte hebben we ook nog de elliptische meetkunde, waarin het vijfde postulaat van Euclides door het volgende kan worden vervangen: Er zijn geen evenwijdige lijnen aan een lijn l door een punt P niet op l. Ook deze stelling lijkt vreemd, maar zoals in het volgende deel over elliptische meetkunde zal blijken zal deze bewering je hopelijk wèl duidelijk worden. Voor nu is de bespreking van de Euclidische meetkunde dan ook klaar en kunnen we voor wat ons betreft naar andere, op dagelijkse basis voor ons onbekende, zaken kijken. 25

26 II Elliptische meetkunde II.1 Inleiding in elliptische meetkunde en bolmeetkunde II.1.1 Wat is elliptische meetkunde? Elliptische meetkunde is een tak van de meetkunde waarbinnen het 5 e postulaat van Euclides niet geldt, maar in plaats daarvan stelt: Er zijn geen evenwijdige lijnen aan een lijn l door een punt P niet op l. De elliptische meetkunde werd, later dan de hyperbolische meetkunde, in 1854 geïntroduceerd door Bernhard Riemann, als onderdeel van een grotere meetkunde; De Riemann-meetkunde. Deze meetkunde is de basis geworden van de relativiteitstheorie, waarmee Albert Einstein aan het begin van de twintigste eeuw de natuurkunde op zijn kop zette. De beste manier om je de elliptische meetkunde voor te stellen is door te kijken naar een bol. We zullen ons daarom in dit deel van het verslag focussen op de bolmeetkunde. Dit is een iets vereenvoudigde vorm van elliptische meetkunde, en daarom beter te begrijpen. In de vlakke meetkunde bestuderen we punten, lijnen, driehoeken, veelhoeken, en ga zo maar door. Op een bol hebben we punten, maar geen rechte lijnen, tenminste niet wat wij ons bij een rechte lijn voorstellen. In de bolmeetkunde zijn deze lijnen vervangen door grootcirkels. Kenmerkend voor rechte lijnen bij de vlakke meetkunde is dat ze de kortste verbinding vormen tussen 2 punten. Grootcirkels vervullen bij de bolmeetkunde deze rol. Als we grootcirkels zien als de vervangers van rechte lijnen kunnen we gaan kijken naar driehoeken naar driehoeken veelhoeken en andere geometrische vormen óp de bol. Dit zullen we verderop natuurlijk gaan doen, en aan de hand van die resultaten zullen we uiteindelijk Ook zullen we de theorie van Girard bewijzen, die een formule geeft voor de som van de hoeken in een driehoek op een bol. Uiteindelijk zal ook Euler s beroemde formule V - E + F = 2 aan bod komen; het bewijs zal worden geleverd met behulp van bolmeetkunde. II.1.2 Definities op een bol Omdat de definities voor punten, lijnen en objecten bij bolmeetkunde verschillen van de reguliere meekunde bekijken we eerst wat ze bij de bolmeetkunde inhouden. Een bol is een verzameling van punten in een driedimensionale ruimte die allemaal even ver van één ander punt, het centrum van de bol, liggen. De afstand van het centrum tot de punten op de bol noemen we de straal of radius. Bij bolmeetkunde focust op de oppervlakte van de bol. Het oppervlak van de aarde heeft ook alle eigenschappen van een bol, wat een van de redenen is om bolmeetkunde als een interessante tak van de meetkunde te beschouwen, die je zeker niet als onbelangrijk kunt afdoen. Als je een willekeurige lijn en een bol neemt in een driedimensionale wereld dan kunnen er drie dingen gebeuren. Ten eerste kunnen de lijn en bol langs elkaar heen gaan en elkaar dus niet raken. (1 e plaatje op de volgende pagina) Dit geval is niet erg interessant. In het tweede geval raakt de lijn de bol in één punt; het raakpunt. (2 e plaatje op de volgende pagina) Als laatste kan de lijn de bol snijden in precies twee punten. Het meest interessant is als die dat doet door het centrum van de bol. De twee snijpunten liggen dan tegenover elkaar en heten antipoden. (3 e plaatje op de volgende pagina). Het bekendste voorbeeld van een antipodenpaar is de noord- en zuidpool op de aarde. 26

27 Afbeelding 9: lijnen in een bol Laten we nu eens kijken naar een vlak en een bol. Ook nu kunnen er weer verschillende dingen gebeuren. Ze kunnen elkaar natuurlijk weer missen of raken. In het geval dat ze elkaar raken zijn er twee mogelijkheden. Ze kunnen elkaar ontmoeten in één punt. In dat geval raakt het vlak de bol in het raakpunt. In het andere geval ontmoeten vlak en bol elkaar in een cirkel. Aan de nevenstaande afbeelding is duidelijk te zien dat die cirkel het grootst is als het vlak precies door het middelpunt van de bol gaat. Zo n cirkel noemen we een grootcirkel. Een geografisch voorbeeld van een grootcirkel is de evenaar. De meridianen vormen precies een halve grootcirkel. Alle breedtecirkels behalve de evenaar zijn kleine cirkels. Het belang van grootcirkels blijkt wel uit het volgende: De kortste afstand tussen 2 punten op een bol is die over een deel van de grootcirkel die door beide punten gaat. We hebben nu een begin gemaakt met meetkunde op de bol. In de gewone meetkunde zijn de basis uitgangspunten punten en lijnen. In de bolmeetkunde we hebben zoals eerder al kort vermeld natuurlijk wel punten, maar geen lijnen zoals bij reguliere meetkunde. Deze lijnen zijn in bolmeetkunde vervangen door grootcirkels. Immers waar een lijn in de reguliere meetkunde de kortste verbinding is tussen punten is een grootcirkel dat voor punten op een bol. Stel, we hebben 2 verschillende punten A en B op een bol. Samen met punt C, het centrum van de bol, hebben we nu 3 punten in de ruimte. Nu zijn er twee mogelijkheden. A en B vormen een antipodenpaar of ze vormen dat níet. In het tweede geval liggen de punten A, B en C niet op 1 lijn. Daardoor is er slecht 1 uniek vlak wat door alle 3 de punten gaat. Doordat dit vlak door C gaat definieert het automatisch een unieke grootcirkel door A en B. Als A en B echter een antipodenpaar vormen, dan liggen A, B en C wél op 1 lijn. In dit geval definieert elk vlak dat die lijn bevat een grootcirkel die wel de punten A en B moet bevatten. We kunnen hieruit concluderen: Gegeven: punten A en B op de bol en het middelpunt C van de bol. Als A en B geen antipodenpaar vormen is er één unieke grootcirkel die door beide punten gaat. Als A en B een antipodenpaar vormen zijn er oneindig veel grootcirkels die door beide punten gaan. In het volgende geval gaan we uit van 2 verschillende grootcirkels op een bol. Elk van deze grootcirkels is de snijlijn van een vlak door het centrum van de bol. De twee grootcirkels snijden elkaar dus in de 2 punten van een antipodenpaar. Twee verschillende willekeurige grootcirkels van een bol ontmoeten elkaar in de twee punten van een antipodenpaar. Dit verklaard waarom er in de elliptische meetkunde geen evenwijdige lijnen bestaan. 27

28 II.1.3 Hoeken, afstanden en lunen. Als A en B twee punten op de cirkel zijn dan is de afstand tussen die twee punten de afstand over de grootcirkel die hen met elkaar verbindt. Omdat deze grootcirkel in 1 vlak ligt kunnen we deze in een platte afbeelding weergeven (figuur hiernaast). Als we de hoek ACB hoek α noemen, en R de straal van de bol is kunnen we de afstand tussen A en B als volgt berekenen: (Hoek α in radialen:) d(a,b) = R.α (Hoek α in graden:) d(a,b) = R.απ/180 Je zult wel weten dat de meest eenvoudige veelhoek een driehoek is. Er zijn in de reguliere meetkunde namelijk geen veelhoeken met maar 2 hoeken. Dit is anders bij bolmeetkunde. Twee grootcirkels snijden elkaar zoals al gezegd in de twee punten van een antipodenpaar. Ze delen de bol zo op in 4 gebieden die elk 2 zijden hebben (delen van de 2 grootcirkels). We noemen zo n gebied een lune. Deze naam komt van het latijnse woord luna, wat maan betekend. Denk maar aan het deel van de maan dat vanaf de aarde te zien is. Dit deel moet in de halve bol verlicht door de zon liggen, én in de halve bol die op dat moment zichtbaar is vanaf de aarde. Het deel wat aan deze voorwaarden voldoet is precies een lune. De hoekpunten van een lune zijn dus de punten van een antipodenpaar. Tevens zijn de twee hoeken van een lune even groot. Omdat de bogen op een cirkel niet in een plat vlak liggen zullen we ons moeten afvragen wat een hoek op een bol nu precies is, en hoe we die hoek meten. De lijnen die rakend zijn aan de twee snijdende curven liggen echter allebei wél in het vlak dat de bol raakt in het snijpunt van die curven. We definiëren de hoek tussen de twee curven dan ook als de hoek tussen de rakende lijnen van die curven in hun snijpunt. II.2 Oppervlakten en hoeken op een bol II.2.1 Oppervlakten op een bol De oppervlakte van een bol met straal R is 4πR 2 Een grootcirkel verdeeld de bol in 2 even grote helften met een oppervlakte van 2πR 2. Een tweede grootcirkel die de andere snijd in een rechte hoek verdeeld de bol zo in 4 lunen met oppervlakte πr 2. We kunnen dit proces weer herhalen door elk van deze lunen weer in 2 gelijke delen op te delen door de hoeken door 2 te delen. We krijgen nu 8 gelijke lunen met een oppervlakte van elk πr 2 /2. De hoek voor elke lune is dan 2π/8 = π/4 radialen, oftewel 45 graden. Stel dat we een halve bol in q gelijke lunen verdelen. De hoek van elke lune is dan π/q radialen, en de oppervlakte 2πR 2 /q. Als we een aantal P van deze lunen verenigen tot één nieuwe lune heeft deze hieruit volgend een hoek van pπ/q en een oppervlakte van 2pπR 2 /q. Dus als we lunehoek α schrijven als α=pπ/q dan is het oppervlakte van de lune 2R 2 α Hieruit volgt: Opp(lune) = 2R 2.lunehoek Als we dezelfde formule willen opstellen maar dan met de hoek in graden gemeten, en we nemen in acht dat 1 radiaal gelijk is aan 180/π graden en 1 graad gelijk is aan π/180 radialen, krijgen we: oppervlakte (L α) = 2R 2 x α x π/180 = π R 2 /90 x α 28

29 II.2.2 De oppervlakte van een driehoek op een bol: Girard s theorie Een driehoek op een bol word op precies dezelfde manier gedefinieerd als een driehoek in een plat vlak. De driehoek bestaat uit 3 punten die we de hoekpunten noemen, 3 delen van grootcirkels die de drie punten verenigen genaamd de zijden, en het gebied dat door die zijden word ingesloten. Dit lijkt simpel, maar als je er wat beter over nadenkt zul je zien dat dit toch niet zo simpel is als dat het lijkt. Zo doet er zich meteen al het probleem voor dat er 2 delen van een grootcirkel zijn die beide punten verenigen. We moeten beslissen welk deel te gebruiken. Als we dat hebben gekozen kan elke lijn de zijde zijn van het gebied aan zijn ene of andere kant. We hebben daarom eigenlijk te maken met 8 driehoeken die de drie gegeven punten als hoekpunten hebben. Omdat dit een nogal ingewikkelde situatie is, gaan we uit van de kleine driehoek met als zijden de korte gedeeltes van de grootcirkels. (zie plaatje hier rechtsboven) We kiezen drie hoekpunten allemaal op één helft van de bol, en bekijken de driehoek die ook op die helft van de bol ligt. Laten we eens kijken naar de hier linksboven afgebeelde driehoek, de zwarte driehoek T op een bol. We zullen nu een formule gaan afleiden voor het oppervlakte van deze driehoek. De hoekpunten van T noemen we R, G en B, en de corresponderende waarde van die hoeken r, g en b. Zoals duidelijk moge zijn staan deze letters voor rood groen en blauw. Hierbij is R het hoekpunt waar T tegenover een rode driehoek staat. R is in dit geval tevens een hoekpunt van twee congruente lunen waarvan de ene bestaat uit een rode driehoek en T en de andere uit de andere rode driehoek en de grijze driehoek. We noemen deze lunen voor het gemak rode lunen We noemen de rode lune die T niet bevat L r en de rode lune die T wel bevat L r (lune met lunehoek r). Op dezelfde manier zien we dat G het hoekpunt is van twee congruente groene lunen - L g die T wel bevat en L g die T niet bevat. B is tenslotte het hoekpunt van twee congruente blauwe lunen L b die T wel bevat en L b die T niet bevat. Als je de afbeeldingen goed bekijkt zul je hopelijk zien dat de grijze driehoek op dezelfde plek als T aan de andere kant van Figuur 10: Blauwe lunen L b en L b de bol, gelijk is aan T. Dit is dus de antipodale driehoek T. Zijn hoekpunten, respectievelijk R B en G zijn ook antipodaal met hoekpunten R G en B. T heeft hetzelfde oppervlakte als T. 29

30 Samengevat: Driehoek T zit in lune L r, L g, L b en in geen anderen. Driehoek T zit in lune L r, L g en L b en in geen anderen. Elk punt dat op de bol dat niet in driehoek T of T ligt, ligt in één enkele lune. We kunnen nu de conclusie trekken dat de oppervlakte van de 6 lunen opgeteld gelijk is aan de oppervlakte van de gehele bol + 2 keer de oppervlakte van T + 2 keer de oppervlakte van T Opp(L r ) + Opp(L g ) + Opp(L b ) + Opp(L r ) + Opp(L g ) + Opp(L b ) = Opp(bol) + 2 Opp(T) + 2 Opp(T ) We kunnen nu deze formules vervangen met de formules voor het oppervlakte van een lune. Uitgaande van een bol met straal R, en het feit dat de oppervlaktes van T en T gelijk zijn kunnen we de volgende formule afleiden: 2R 2 r + 2R 2 g + 2R 2 b + 2R 2 r + 2R 2 g + 2R 2 b = 4πR Opp(T) Opp(T) = ¼ (2R 2 (2r + 2g + 2b) - 4πR 2 ) Opp(T) = R 2 (r + b + g) πr 2 Opp(T) = R 2 (r + b + g π) Deze laatste formule noemen we de formule van Girard. Hierboven wilden we de formule afleiden voor de oppervlakte van de driehoek We kunnen ons echter ook concentreren met de som van de hoeken als uitgangspunt; Deze is namelijk altijd groter dan 180 graden. r + b + g = π + (1/R 2 )Opp(T) Met deze formule kunnen we zo dus precies berekenen hoeveel de som van de hoeken in een bepaalde driehoek op een bol de som van 2 rechte hoeken (π radialen) overschrijd. Toen we deze formule zagen waren er drie dingen die ons opvielen: er bestaan geen gelijkvormige driehoeken bestaan op een bol! Immers, driehoeken met dezelfde hoeken hebben volgens de formule ook dezelfde oppervlakte. De som van kleine driehoeken op grote bollen zijn moeilijk te onderscheiden van 180 graden. Immers, als R heel groot is en het oppervlakte van de driehoek heel klein, dan ligt r + b + g heel dicht bij π radialen = 180 graden. Neem bijvoorbeeld een driehoek van 1 vierkante kilometer op de aarde. De som van de hoeken wijkt dan een bijna onmeetbaar klein beetje af van 180 graden. Ook lazen we op onze zoektocht naar informatie op internet iets over een ideale landkaart. Deze landkaart moet voldoen aan 2 eisen: Het moet grootcirkels weer kunnen geven als rechte lijnen, en de hoeken moeten plat afgebeeld dezelfde waarde behouden. Omdat uit Girard s theorie volgt dat de som van de hoeken van een driehoek op een bol altijd meer dan 180 graden is, en in de vlakke meetkunde zoals op de kaart wordt gebruikt precies 180 graden, kunnen we concluderen dat dé ideale landkaart niet bestaat. 30

31 II.2.3 Veelhoeken op een bol; Euler s formule Girard s theorie kan makkelijk zo worden aangepast dat hij ook geldt voor veelhoeken op een bol. Met een veelhoek op een bol bedoelen we weer een figuur waarvan de zijden bestaan uit delen van grootcirkels. Er zijn meerdere bewijzen te vinden voor Euler s formule, maar hier gaan we het bewijs leveren met behulp van een stukje bolmeetkunde. We gebruiken Girard s theorie en zijn uitbreiding naar veelhoeken. Theorie: Als P een hoekige ruimtefiguur is met V hoekpunten, E ribben en F vlakken dan geld: V E + F = 2.Om te beginnen kiezen we een punt C in P. Vervolgens kiezen we straal R zo groot dat een bol met als centrum eveneens punt C en straal R ruimtefiguur P volledig bevat. We zullen nu de ruimtefiguur P vanuit punt C op de bol projecteren. Dit klinkt redelijk ingewikkeld, maar eigenlijk komt het er op neer dat we voor elk punt op de ruimtefiguur P een lijn vanuit punt C trekken door dat punt en die lijn doortrekken zodat hij de bol snijd op een projectiepunt. Zie ook de nevenstaande figuur. De ruimtefiguur is rood getekend, de blauwe lijnen geven aan hoe de hoekpunten op de bol zijn geprojecteerd. De zwarte lijnen zijn twee grootcirkels ter referentie, en de paarse lijnen vormen samen de geprojecteerde ruimtefiguur. Eigenlijk kun je de projectie vergelijken met de schaduw die op de bol zou vallen als je de bol vanuit het centrum zou verlichten. Het is van belang om je te realiseren wat er met een ribbe van de ruimtefiguur gebeurd bij deze projectie. Een ribbe is een deel van een lijn. Deze lijn en het centrum bepalen een uniek vlak. Elk lijndeel vanuit C naar een willekeurig punt op de ribbe ligt in ditzelfde vlak. Dit vlak snijdt de bol in een grootcirkel. Dus de projectie van een ribbe op een bol is een deel van een grootcirkel op die bol. Dit betekent tegelijkertijd ook dat elke zijde van de ruimtefiguur word geprojecteerd als een veelhoek op de bol, en de ruimtefiguur als een ruimtefiguur op de bol, welke eigenlijk gewoon een gecurvede kopie is van het origineel. De ruimtefiguur op de bol heeft weer V hoekpunten, E ribben en F vlakken, net als P. Omdat het centrum van de bol in P is gekozen, bedekt de geprojecteerde ruimtefiguur de hele bol. De ruimtefiguur op de bol verdeeld de bol zo in F veelhoeken, die we Q 1...,Q F noemen. We kunnen nu de eerder bewezen theorie van Girard, som hoeken veelhoek = (n - 2)π + 1/R 2 Opp(P), toepassen op veelhoek Q i. Als e i het aantal zijden van Q i weergeeft dan geld dus: Som van hoeken van Q i = (e i - 2) π + Opp(Q i )/R 2. Als we dit nu voor alle vlakken van de ruimtefiguur samen willen doen, gebruik makend van sommen, komen we op de volgende formule: We zullen nu elk van de drie sommen apart gaan bekijken. 1. De eerste som lijkt misschien ingewikkeld, maar is eigenlijk gewoon de som van al de hoeken in de ruimtefiguur op de bol. Omdat de ruimtefiguur de hele bol bedekt, 31

32 bestaat elk hoekpunt uit een aantal hoeken die samen een volledige hoek van 2π radialen (=360 graden) zorgen. Dus is de som van de hoeken in de ruimtefiguur eigenlijk gewoon gelijk aan 2π keer het aantal hoekpunten, oftewel 2π V. 2. We splitsen de tweede som in twee delen: De eerste som is niets anders dan π keer het totale aantal zijden van alle vlakken. We moeten opmerken dat elke ribbe van de ruimtefiguur op de bol twee vlakken van elkaar scheid. Omdat we de som nemen van elke zijde van elk vlak tellen we elke ribbe dus precies twee keer. Daarom geldt: Het tweede deel van de som is simpel: 2π maal het aantal vlakken van de ruimtefiguur 3. Omdat de veelhoeken op de bol samen de hele bol bedekken is de som van de oppervlakten van de veelhoeken op de bol gelijk aan het oppervlakte van de bol zelf. We krijgen dus de volgende derde som: Als we dit allemaal samen nemen krijgen we de volgende formule: 2 V = 2 E - 2 F + 4. Vervolgens delen we door 2π en halen we enkele termen naar voren, en zie hier: V - E + F = 2. Euler s Formule! Hier volgen een paar voorbeelden die je correctheid van Euler s formule illustreren; Het zijn enkele van de figuren die op de allereerste pagina van dit verslag ook al zijn beschreven. V = aantal hoekpunten, E = aantal ribben, F = aantal vlakken Tetraëder V = 4 E = 6 F = = 2 Octaëder V = 6 E = 12 F = = 2 Icosaëder V = 12 E = 30 F = = 2 Dodecaëder V = 20 E = 30 F = = 2 32

33 II.2.4 Elliptische meetkunde; nuttige meetkunde Tot zover een kleine inzage in de fascinerende wereld van de bolmeetkunde. We hopen dat de lezer nu weet wat begrippen als grootcirkels, lunen en antipodenparen inhouden, en een basiskennis heeft van het berekenen van oppervlakten op een bol. Het zal je waarschijnlijk wel opvallen dat deel II van dit verslag beknopter is dan de andere delen. Dit betekent echter niet dat de Elliptische meetkunde minder belangrijk is, integendeel; er zijn vele praktische doeleinden voor deze vorm van meetkunde. Tegenwoordig wordt bolmeetkunde nog altijd iedere dag gebruikt door piloten en scheepvaarders als ze met duizenden tegelijk navigeren over de aarde waarop wij leven. Het werken met elliptische meetkunde kan soms resultaten teweegbrengen die je van te voren nooit had verwacht! Zo is de kortste vliegafstand van Florida naar de Filippijnen een route over Alaska. De Filippijnen liggen ten zuiden van Florida, dus het is gek waarom over Alaska naar het noorden vliegen korter zou zijn. Dit komt echter doordat Florida, Alaska en de Filippijnen in de bolmeetkunde op één grootcirkel liggen. En wees niet getreurd; dit is slechts één van de vele verrassingen die bolmeetkunde met zich mee brengt. 33

34 III Hyperbolische meetkunde Naast de elliptische meetkunde is er nog een niet-euclidische meetkunde, en wel de hyperbolische meetkunde. In dit deel proberen we deze speciale meetkunde te introduceren en deze zo goed mogelijk uit te leggen. Door de (nog steeds groeiende) omvangrijkheid van deze meetkunde is het niet mogelijk om alles tot in de puntjes te beschrijven, maar dat is dan ook niet ons doel; ons doel is dat je tegen het einde van dit deel weet wat hyperbolische meetkunde nou precies is en een basische kennis hebt over de wiskundige mogelijkheden in deze meetkunde. III.1 Een inleiding tot hyperbolische meetkunde III.1.1 Het hyperbolische postulaat Zoals beschreven in paragraaf I.2.11 bestaat er in de hyperbolische meetkunde niet, in tegenstelling tot de Euclidische meetkunde, slechts één rechte lijn door een gegeven punt P buiten een rechte lijn l die parallel hieraan is, maar bestaan er wonderbaarlijk meerdere (lees: oneindig veel) parallelle lijnen. Om dit concept duidelijk te maken, zullen we eerst de meetkunde van Lobačevskiĭ en Bolyai moeten verduidelijken. Vooral Lobačevskiĭ had een gedetailleerd en begrijpelijk werk geschreven (vrij van vaktaal) in tegenstelling tot Bolyai die, mede door de beknoptheid van zijn werk, van veel meer onbekende notaties gebruik maakte. Laten we het hyperbolisch postulaat herformuleren en deze verduidelijken. Zie bovenstaande figuur. Beschouw een lijn l en een punt P buiten die lijn l (maar wel in hetzelfde vlak). Vanuit P loodrecht op l is een lijn AP getrokken, waarbij A het punt op lijn l is. Door P is loodrecht op AP een lijn k getrokken. Het hyperbolische postulaat luidt vervolgens: Er zijn meerdere evenwijdige lijnen aan een lijn l door een punt P niet op l In de Euclidische meetkunde zal lijn k de enige lijn evenwijdig aan lijn l zijn, als eerder beschreven in deel I. 34

35 In de meetkunde van Lobačevskiĭ en Boylai, echter, zijn er meerdere lijnen die door P kunnen worden getrokken en die lijn l niet zullen snijden: deze lijnen worden van de wel snijdende lijnen gescheiden van zogenaamde grensparallellen of hyperparallelle lijnen. Stel dat dat in onze afbeeldingen de lijnen x en y zijn: de lijn x maakt een hoek (thèta) met AP (bij punt P) tegen de klok in, en de lijn y maakt tevens een hoek met AP met de klok mee. Alle andere lijnen door P met een hoek groter dan hoek met AP en die tevens lijn l niet zullen snijden, heten ultraparallelle lijnen. Merk op dat er een oneindig groot aantal ultraparallelle lijnen bestaan tussen hoek en 90 (lijn k), en slechts twee grensparalellen. De ultraparallelle lijnen worden dus gescheiden van de niet-parallelle lijnen aan l door de grensparallellen, die elk een bepaalde richting van evenwijdigheid hebben volgens Lobačevskiĭ. Hoek wordt overigens de parallelhoek genoemd, die afhankelijk is van de lengte van AD. Hoe groter AD wordt en de lengte ervan naar oneindig gaat, des te kleiner de afstand wordt tussen de grenshoeken en hoek naar 0 gaat. Als de lengte van AD zich naar 0 beweegt, wordt de hoek juist groter en gaat naar 90. Nota bene: de afstand en hoek tussen de hyperparallelle lijnen gaan niet naar 0 als de afstand van AD naar oneindig beweegt. Lobačevskiĭ beschreef deze functie waarbij er een omgekeerd evenredig verband bestaat tussen en de lengte van een lijn a (in ons bovengenoemde voorbeeld was dit lijn AD) met Π(a). Dus, in de Euclidische meetkunde geldt altijd Π(a) = 90. Als algemene formule in de hyperbolische geometrie zou je dan kunnen stellen dat Π(a) = III.1.2 De verschillende hyperbolische modellen Met een hyperbolisch model bedoelen we niet een bloedmooi topmodel uit de modewereld; neen, het begrip is helaas geheel aan de wiskunde gerelateerd. Het is zelfs zo belangrijk, dat hyperbolische meetkunde niet eens mogelijk is zonder een dergelijk model. Simpelweg is een hyperbolisch model een systeem waarin hyperbolische meetkunde gevisualiseerd kan worden, en waarin de meetkunde zoals beschreven in de vorige paragraaf kan worden uitgewerkt. Het precieze concept van hyperbolische modellen, d.w.z. de uitleg met betrekking tot de inhoud van deze modellen, zal later worden bekeken. Maar het is misschien wel functioneel om vast te bekijken welke modellen er bestaan om je vast te introduceren aan het hyperbolisch model waar we verderop van gebruik kunnen maken; totdat het precieze concept van hyperbolische modellen wordt geïntroduceerd kan worden volstaan met wat algemene informatie over deze modellen en enige algemene informatie over hyperbolische meetkunde op zichzelf. We onderscheiden vier bekende hyperbolische modellen: de meest bekende daarvan is de Poincaré-schijf (of: de schijf van Poincaré). Verder hebben we nog het Beltrami-Klein model (of simpelweg: Klein model), de halve schijf van Poincaré, en het Lorenz model (of: hyperbolisch model). Ook bestaat er een natuurkundig model van hyperbolische meetkunde 35

36 door gebruik te maken van Einstein s speciale relativiteitstheorie. Hier gaan we echter niet verder op in. Laten we de andere vier allemaal even kort beschrijven. Het Beltrami-Klein model gebruikt het binnenste van een cirkel als hyperbolisch vlak en de koorden van de cirkel als lijnen. Het is een erg simpel model, maar heeft als nadeel dat hoeken in dit hyperbolische model worden vervormd. De schijf van Poincaré, de meest bekende van allen, gebruikt ook het inwendige van een cirkel, maar lijnen worden gerepresenteerd door de cirkelbogen van cirkels die orthogonaal 7 staan op de grenscirkel (zie onderstaande figuur), evenals hun diameters. Dit model zal in volgende paragrafen verder worden beschreven, dus geen nood indien de descriptie nog ietwat vaag is. Figuur 11: Cirkel d staat orthogonaal op cirkel c. De halve schijf van Poincaré neemt, zoals de titel al vermeldt, de helft van de schijf van Poincaré, en de andere helft van het model bestaat uit een normaal Euclidisch vlak. Het Lorenz model gebruikt een tweedimensionale hyperbolische vorm in het driedimensionale ruimte-continuüm van Minkowski. Hoewel de andere modellen om een hyperbolische meetkunde te visualiseren ook heel interessant kunnen zijn, zullen wij ons slechts beperken tot de Poincaré-schijf. Dit doen we niet alleen omdat deze het meest gebruikt wordt, maar ook een aantal voordelen biedt ten opzichte van de anderen. Het is immers eerst zaak om een hyperbolisch model überhaupt te kunnen begrijpen en dat kan uitstekend aan de hand van dit model die meest functioneel voor onze doeleinden blijkt te zijn. Figuur 12: Een voorbeeld van een bepaalde vorm in de schijf van Poincaré. 7 Orthogonaal: rechthoekig, met loodrecht op elkaar staande ribben, snijlijnen enz. 36

37 III.1.3 Jules-Henri Poincaré ( ) Jules-Henri Poincaré was een Frans wiskundige, astronoom en natuurfilosoof en was neef van de destijds ( ) Franse president Raymond Nicolas Landry Poincaré. Hij doceerde net als Moufot, na benoemd te zijn tot hoogleraar van verscheidene vakgebieden, aan de École Politechnique. Poincaré heeft enkele zeer noemenswaardig werk op zijn naam staan, waaronder een bijdrage aan de theorie van de functies van Fuchs, de groepentheorie, de topologie van differentiaalvergelijkingen, onderzoek naar het drielichamenprobleem en het zoeken naar een oorzaak van de crisis van de paradoxen in de zogenaamde predicatieve definities. Zijn werk bestaat tevens uit een boek geschreven onder de titel La science et l hypothese uit 1906, waarin een model voor de hyperbolische meetkunde wordt beschreven. Dit model, bekend als de eerder beschreven Poincaré-schijf, is een zeer geschikt model om hyperbolische meetkunde te presenteren en wordt bij conventie voor de meeste doeleinden gebruikt waar dit mogelijk is. Het Beltrami model naar de gelijknamige uitvinder die later is verbeterd door Klein en vanaf toen bekend stond als het Beltrami-Klein model, waren de eerste twee versies van een hyperbolisch model. De Poincaré-schijf was het derde hyperbolische model die grote publieke belangstelling trok sinds de ontdekking van deze vorm van geometrie in de niet-euclidische meetkunde, en heeft vrijwel het gehele Beltrami- Klein model vervangen voor de meeste hyperbolische doeleinden door de onvolledigheid van dit authentieke model. Overigens kan ook de uitvinding van de halve schijf van Poincaré worden toegeschreven aan Jules-Henri, net als dikwijls gesuggereerd wordt dat hij de uitvinder is van het Lorentz model. Echter stellen anderen juist dat deze laatstgenoemde uitvinding niet terecht aan hem kan worden toegeschreven, omdat de wiskundigen Wilhelm Killing en Karl Weierstrass een dergelijk model al vanaf 1872 gebruikten. III.1.4 Hyperbolische ruimte Voordat we de schijf van Poincaré tot in de details kunnen bespreken, zullen we eerst een beter inzicht proberen te krijgen in wat voor ruimte zich deze meetkunde zich afspeelt. Zoals je eerder hebt gezien is bolmeetkunde, de geometrie van een bol, een belangrijk onderdeel van elliptische meetkunde en heeft deze meetkunde betrekking op elke vorm van wiskunde die zich op een bol kan voordoen. Nu kun je je dan afvragen: in wat voor ruimte speelt hyperbolische meetkunde zich af? Een kort antwoord op deze vraag is dat hyperbolische meetkunde zich voltrekt in een hyperbolische ruimte. Maar gelijk doemt de volgende vraag alweer op, en wel de vraag wat deze hyperbolische ruimte nu precies inhoudt. Laat me het je duidelijk maken. De wetten van Newton stellen onder andere dat kracht gelijk is aan massa vermenigvuldigt met de valversnelling (die hier op aarde in het algemeen gelijk is, wanneer de wrijving wordt verwaarloosd, aan de gravitatie). Of, in symbolen, F=m a a = F / M. Ook stelde Newton in zijn wetten dat elke actie een gelijke en tegengestelde reactie tot gevolg had en dat een deeltje waarop geen kracht wordt uitgeoefend eenparig en rechtlijnig voortbeweegt. Al deze natuurkunde volgt uit de door Euclides eerder opgestelde meetkunde. Echter bleek, en had Newton dit zelf ook door, dat zijn wetten een aantal gebreken vertoonden; waaronder het feit dat er volgens Newton een kracht op afstand moet worden ingeroepen om gravitationele wisselwerkingen te kunnen verklaren. Ook Einstein wees op een onduidelijkheid in de formule, en wel het concept van de tijd die een bepaalde kracht nodig heeft om op een 37

38 bewegend voorwerp in te werken, en bewees vervolgens dat een preciezere methode voor het berekenen van een valversnelling a niet F / M is, maar dat a = F/M(1- v²/c²) 3/2. Kortweg wil ik hiermee duidelijk maken dat de wetten van Newton, en dus ook de Euclidische meetkunde, slechts in bepaalde Euclidische omgevingen gelden (zoals je overigens voor een deel bij elliptische meetkunde hebt gezien), en dat door onder andere de gravitatiewisselwerking van bepaalde objecten onder bepaalde omstandigheden deze wetten van Newton en deze meetkunde niet (geheel) opgaan. Hyperbolische ruimte is tevens een ruimte die om onder andere de gravitatiewisselwerking van bepaalde objecten ook niet de regels van de aan ons bekende Euclidische meetkunde aanneemt, omdat deze zich dus blijkbaar in een andere soort ruimte afspelen; deze ruimte speelt zich in een ander soort meetkundig stelsel af die we je nu proberen duidelijk te maken. Neem nou nogmaals ons, zoals die aan ons bekend is en zoals wij die interpreteren. Wij ervaren, in ons dagelijks leven althans (wie weet wat je allemaal in je dromen ziet), slechts drie waarneembare dimensies: breedte, lengte en diepte. En eventueel voor aanhangers van de vierde dimensie: (in het algemeen) tijd. Maar stel je nu eens voor dat er nóg een meetkundige dimensie is, naast de aan ons bekende drie of vier dimensies, en wel een vierde of vijfde dimensie, waar onze derde dimensie zich als ware in buigt. Omdat dit concept erg moeilijk is om te begrijpen, proberen we het duidelijker te maken aan de hand van een voorbeeld die werd gebruikt in Edwin Abott s Flatland (lett: (het) platte land ). In Flatland zijn er slechts twee dimensies: breedte en lengte. Inwoners leven op een plat vlak, waarin andere dimensies onbekend zijn en niet kunnen worden afgebeeld. Twee van deze inwoners zijn het vierkant en de driehoek, die gezellig in hun huisje zitten als plotseling een stem uit niks komt; het is voor hun waarnemingen een cirkel. Echter is dit niet echt een cirkel, maar een bol die hen komt leren over de derde dimensie. Zie het linker plaatje van de nevenstaande afbeelding. De bol vertelt dat de vierkant en de driehoek hem een cirkel mogen noemen, maar dat hij dat in werkelijkheid niet is. Hij probeert het vierkant en de driehoek duidelijk te maken dat hij eigenlijk uit een oneindig aantal opeengestapelde cirkels bestaat met een variërende diameter, waarvan zij er slechts één zien. Als de bol zich met het oppervlakte snijdt, zal deze een vorm in het oppervlak vormen die aan het vierkant en de driehoek bekend is als zijnde een cirkel (zie plaatje twee). Hoewel de bol echter geen cirkel is, maar een ruimtelijk figuur met een bepaalde inhoud blijft, kan hij niet anders dan zichzelf voordoen in een tweedimensionale wereld als een cirkel, hoe hard hij het ook probeert uit te legggen. Stel je nu eens een soortgelijk concept voor van een vierde dimensie. Dan kunnen we een stapje verder: stel nou, dat deze vierde dimensie zich in de derde buigt, zoals een tweede dimensie zich in een ruimtelijke derde kan buigen (zie afbeelding op volgende pagina). 38

39 Voor de tweedimensionale viervlakken op de in de derde dimensie gebogen ruimte lijkt hun leefomgeving nog steeds vlak; voor iemand die een derde dimensie kan waarnemen is het pas logisch dat een lagere dimensie zich in een hogere kan buigen. Zo kan een derde dimensie zich tevens in een vierde buigen; op een bepaalde, kleine schaal kan dit bijvoorbeeld gebeuren door middel van de eerder genoemde gravitatiewisselwerking die voor een buiging van onze dimensie zorgt. Op een grote schaal gebeurt dit tevens door middel van iets anders, en wel door de buiging die wordt veroorzaakt door de algehele buiging van ons heelal, ons universum. De ruimte waarin zich deze buiging voltrekt wordt ook wel hyperbolische ruimte genoemd. In deze hyperbolische ruimte geldt dan ook een andere meetkunde, die afwijkt van onze alledaagse Euclidische, en wel hyperbolische meetkunde. In het kort bestaat ons universum dus uit driedimensionale hyperbolische ruimte, die gebogen is in de vierde dimensie. Op kleine schaal (denk aan kleine afstanden in het universum, bijvoorbeeld de afstand van de aarde tot de zon), is deze buiging nauwelijks waarneembaar; hier geldt dan vrijwel in z n geheel de Euclidische meetkunde. Maar onze zon produceert tevens, op zeer kleine schaal, een miniatuur buiging van de ruimte rondom zich heen een zeer kleine ring van hyperbolische ruimte. Onder andere de beweging van Mercurius om de zon (immers is Mercurius de planeet die zich het dichtst bij de zon bevindt) ondervindt een zekere buiging door de aanwezigheid van deze hyperbolische ruimte. Daarom is de afstand van de baan waarmee Mercurius zich om de zon beweegt een paar fracties nauwkeuriger te berekenen met behulp van hyperbolische meetkunde in vergelijking met Euclidische meetkunde. Dus als je ooit van plan bent naar Mercurius te vliegen om deze hyperbolische ruimte zelf te ervaren, houd dan rekening met enkele van deze hyperbolische factoren (en de warmte van de zon, natuurlijk). Aangezien we net zo n vlucht naar Mercurius geboekt hebben nodigen we je uit om mee te gaan en je welkom te mogen heten in de fascinerende wereld van hyperbolische meetkunde! III.1.5 De pseudosfeer, hyperbolische modellen en een inleiding tot de Poincaré-schijf Om de driedimensionale hyperbolische ruimte goed te kunnen visualiseren, moeten we deze ruimte eerst weten te vangen in een soort tweedimensionale weergave opdat wij er berekeningen mee kunnen uitvoeren, en opdat het geheel een goed voor te stellen visualisatie van de hyperbolische ruime is. Deze tweedimensionale ruimte waarin wij hyperbolische ruimte kunnen voorstellen, is voor deze meetkunde het oppervlak van een pseudosfeer, net als voor de visualisatie van elliptische geometrie een bepaald tweedimensionaal model van een sfeer 8 kan worden gebruikt. Hoewel het oppervlakte van een wegbuigende sfeer eindig is, is dit niet het geval voor een pseudo (=vals, onecht) sfeer, net als dit het geval is bij Euclidische meetkunde. Ook kunnen we verder stellen dat hyperbolische ruimte meer ruimte inneemt dan de ruimte van een Euclidisch vlak. Hoewel beiden oneindig groot zijn, neemt een hyperbolische ruimte toch meer ruimte in dan een Euclidisch vlak. De tweedimensionale weergave van een deel van een oneindige pseudosfeer kan worden gevangen in een model: een hyperbolisch model. Een van deze modellen is, zoals eerder besproken, de Poincaré-schijf. Een aantal eigenschappen van een dergelijk model van een pseudosfeer worden duidelijk gemaakt aan de hand van een afbeelding ervan met enkele geometrische bewerkingen. 8 Sfeer: bol, vooral: hemel- of wereldbol 39

40 Zie bovenstaande afbeelding. In deze afbeelding zullen we eerst een onderscheid maken tussen de horizon en de schijf (of: disk): zoals je misschien wel kunt raden is de horizon ook werkelijk de horizon, oftewel grens, van de cirkel, met als binnengebied (dikwijls aangegeven met de letter D) de schijf zelf. Verder geldt dat punt A het d-centrum is, oftewel het middelpunt van de schijf; dit hoewel het, net als bij een Euclidisch vlak, eigenlijk irrationeel lijkt een middelpunt te benoemen in een oneindig groot vlak. De lijn door B en door C is een lijn met een oneindig grote lengte; denk er aan dat, omdat de hyperbolische ruimte oneindig groot is, de ruimten bij de horizon tevens naar oneindig lopen. Ook de lengte tussen twee punten wordt dan dus groter naarmate deze zich dichter bij de horizon bevindt. Een lijn die vervolgens over de lengte wordt getrokken naar de horizon van de schijf heeft dan ook een lengte van een oneindige grootte. Punten in een hyperbolisch model worden d-punten genoemd; op hun beurt worden lijnstukken tussen twee punten d-lijnstukken genoemd en worden de uiteinden van de lijnstukken (de verbindingspunten van het lijnstuk) ook wel eindpunten genoemd. 40

41 Omdat, zoals bleek uit het vorige item betreffende lijn BC, de horizon tot oneindig loopt, worden de afstanden van bepaalde lijnstukken vanuit het d-centrum groter naarmate het andere punt van het lijnstuk zich verder verwijderd van dit centrum. Dit kan worden weergegeven met de zogenaamde d-lijnstukken van d-centrum A naar de d-punten H tot en met Q. Lijnstuk AH is ontzettend groot, omdat punt H zich aan de rand van de horizon, oftewel dicht bij het oneindige, bevindt. Lijnstuk AI is al een stuk kleiner dan AH, omdat punt I zich een stuk verder van de horizon heeft verwijderd (en daarmee van het oneindige) dan punt H; hoewel het een beetje raar is voor te stellen heeft d-lijnstuk AI zelfs de halve lengte van lijnstuk AH! Op zijn beurt is de lengte van AJ de helft van de lengte van AI. Omdat het ene eindpunt zich steeds verder verwijderd van de horizon, wordt het lengteverschil tussen twee lijnstukken dramatisch kleiner bij elke kortere millimeter. Echter heeft, vanwege deze eigenschap, het d-lijnstuk AK niet de helft van de lengte van AJ de lengteverschillen worden per interval kleiner naarmate deze zich dichter bij het middelpunt bevinden. Dus is niet de lengte van AK maar de lengte van AL de helft van de lengte van AJ. Op zijn beurt is AO tevens ongeveer de helft van AN, en AQ vrijwel precies de helft van AP, wat de indruk wekt dat er een steeds consistentere Euclidische meetkunde aanwezig is rondom het middelpunt. Figuur X: deze curve geeft de verhouding aan tussen de afstand van het d-centrum en de lengte van het d- lijnstuk. In eerste instantie is er een recht evenredig verband, wat de zojuist besproken Euclidische verhoudingen weergeeft. Deze afbeelding is tevens een goede verklaring voor de naam hyperbolische meetkunde Figuur 13: Rondom het centrum van de schijf lijkt zich een steeds consistentere Euclidische meetkunde voor te doen. Een denkertje: waarom is de baan van Mercurius, hoewel deze het dichtst van alle planeten bij de miniatuurversie van de hyperbolische kracht van de zon bevindt, dan toch nauwkeuriger te berekenen met behulp van hyperbolische geometrie terwijl dit niet het geval is bij het berekenen van de banen van de overige planeten? 41

42 Antwoord: De zon heeft, zoals overigens al eerder is vermeld, een dermate klein hyperbolisch effect dat deze geen invloed meer heeft op de planeten die veel verder verwijderd staan dan Mercurius (0,39 AE 9 ) van de zon, en hier dus eenvoudigweg de regels van de Euclidische meetkunde kunnen worden toegepast. Bedenk ook, dat op een komeet die zich veel dichter bij de zon bevindt (en dus bij het d-centrum) dan Mercurius het hyperbolisch effect tevens een veel kleiner lijkende invloed heeft dan op Mercurius, omdat deze een dermate kleine hyperbolische ruimte inneemt dat deze als Euclidisch is te beschouwen; net als in een zeer klein deel van onze ruimte, zoals de afstand van de aarde tot de zon, de geometrische wisselwerking ook als Euclidisch is te beschouwen. Figuur X (niet op schaal): Stel dat f de zon is met d-centrum A, g een komeet die om de zon draait, h Mercurius, en i de aarde. Lijnstuk AC geeft de totale hyperbolische ruimte weer waarop de zon effect heeft; CE is het lijnstuk met de ruimte waarop het d- centrum van de zon geen effect meer heeft en er dus geen hyperbolische ruimte meer aanwezig is: hier geldt Euclidische meetkunde (zon aarde). Bij C zal er een soort overgangsgebied bestaan waarbij de ene meetkunde langzaam de overhand zal krijgen ten opzichte van de andere. Verder hebben we een lijnstuk AB; omdat deze komeet erg dicht bij de zon ligt zal hier ook vrijwel Euclidische meetkunde gelden: het is net als een punt dicht bij het d-centrum op een hyperbolisch model van de pseudosfeer, die dus een erg klein deel van de hyperbolische ruimte inneemt. Verder bestaat er dus, net als bij C maar niet op de manier zoals bij C gebeurt, bij B een transitiegebied tussen de twee typen meetkunde (maar waarbinnen de Euclidische meetkunde nooit helemaal zal gelden) zoals die tevens dicht bij een model van de pseudosfeer bestaat. Lijnstuk BD is het lijnstuk waarop de hyperbolische ruimte wel een merkbaar effect heeft, met Mercurius als voorbeeld. Nota bene: hoewel we een komeet als voorbeeld hebben gebruikt ter visualisatie van de theorie, is dit natuurlijk in werkelijkheid totale nonsens. Ten eerste omdat door de hitte van de zon de komeet al lang ruim voor het de benodigde afstand tot het d-centrum heeft bereikt is verbrand, en ten tweede omdat de hyperbolische ruimte waar een vrijwel Euclidische meetkunde geldt veel dichter bij het d-centrum ligt dan een komeet kan rondvliegen. De vrijwel Euclidische ruimte binnen het hyperbolisch gebied zal in werkelijkheid binnen de korst of misschien wel enkele centimeters verwijderd van de kern van de zon liggen, en dus in geen geval een plaats kan zijn waar een komeet kan rondvliegen. 9 AE: Astronomische Eenheid; 1 AE = 150 miljoen kilometer. 42

43 Terug naar de eerder afgebeelde pseudosfeer. Omdat lijnstukken worden verbogen binnen het hyperbolisch model wanneer zij niet naar het d-centrum worden getrokken, zijn loodrechte lijnen ook niet werkelijk loodrecht in een dergelijk model. Zo zijn zowel de d-lijnstukken GF en DE loodrechte lijnen door de oneindige lijn door BC. Een cirkel wordt vanwege de verbuigingen ook anders weergegeven: cirkel S ziet er als een gewone Euclidische cirkel uit, totdat men tot de realisatie komt dat het middelpunt ervan punt R is. Ook de driehoek UVT verschilt erg van de bij ons bekende driehoek. Wanneer je dan ook een, in werkelijkheid zeer grote, willekeurige driehoek zal tekenen in een hyperbolisch model zal je dan ook tot de conclusie komen dat de hoekensom niet 180º is, maar bijvoorbeeld (zoals in ons voorbeeld) slechts 130º! Bedenk dus dat, wanneer je ooit een ontzettende grote driehoeksformatie wilt tekenen in ons heelal, deze nooit het normale Euclidische resultaat van de hoekensom als eigenschap bij zich zal dragen. Zoals bleek uit de lijnen vanuit het d-centrum, gelden er hele andere afstandsverhoudingen dan je gewend bent. Maar natuurlijk geldt dit ook voor lijnstukken naar een d-punt verder weg van het d-centrum. De afstandsverschillen zijn dan zelfs zo drastisch, dat het zelfs onmogelijk lijkt. Het zal je misschien niet zo verbazen dat XW dubbel zo groot is als XY, maar wel wanneer de lengte van XY net zo groot is als die van XZ! A1 en B1 zijn eindpunten van d-lijnstuk A1B1 neen, het is dus geen (hoewel het in de Euclidische meetkunde wel zo is) cirkelboog. In de Euclidische meetkunde geldt zelfs dat, zoals eerder beschreven, dat cirkelboog A1B1 een deel is van een cirkel die orthogonaal op de horizon staat. De boog wordt overigens een drager genoemd. De punten A1B1, die op de horizon staan, worden om die eigenschap ook wel oneigenlijke punten genoemd. Het hyperbolische model die is besproken staat bekend als de Poincaré schijf. Een driedimensionale weergave voor lengteafstanden in dit model is hieronder afgebeeld; niet ontoevallig is de driedimensionale weergave van een pseudosfeer ook een hyperbool die ruimtelijk om de x-as is gedraaid (zie ook: afbeelding X-2) Figuur 14: de driedimensionale visualisatie voor lengteafstanden in een pseudosfeer. De top is het d-centrum. Nota bene: de uiteinden van het hyperbolische kegelmodel lopen natuurlijk uit tot in het oneindige. 43

44 III.1.6 De Euclidische vorm van hyperbolische ruimte Aangezien ons heelal oneindig groot is en er geen algemeen aantoonbare vorm is aan te geven voor de buiging die erdoor wordt veroorzaakt, kan er toch een soort model worden gemaakt die kan worden weergegeven in Euclidische meetkunde en die deze vorm desondanks zo goed mogelijk weergeeft. Immers heeft de eerder besproken schijf van Poincaré, waarbij er een (zoals de naam al doet vermoeden) schijfje uit de pseudosfeer is genomen, niet werkelijk de vorm van een om zijn as gedraaide hyperbool zoals op de vorige figuur is afgebeeld die enkel diende ter visualisatie van afstanden binnen een dergelijk model. In werkelijkheid heeft de schijf van Poincaré de vorm van een zadel; daarom wordt (bij gebruik van onder andere de Poincaré-schijf) de hyperbolische meetkunde ook wel zadelmeetkunde genoemd. Een dergelijk zadelmodel is onderstaand afgebeeld; de negatieve kromming is overigens kenmerkend voor de hyperbolische meetkunde, dat het onder andere mogelijk maakt meerdere parallellen te vormen aan een andere lijn (zie III.1.1: hyperbolisch postulaat). Een overzicht van de drie krommingen die in onze meetkunde bekend zijn en tot nu toe zijn besproken worden tevens onderstaand afgebeeld in figuur 16. Figuur 15: een schijf uit de pseudosfeer, de zgn. Poincaré-schijf kan worden gevisualiseerd met een zadelvormig figuur. De uiteinden horen tot in het uiteinde door te lopen. Figuur 16: De krommingen van de drie soorten meetkunde op een rij: respectievelijk (v. l. n. r.) horen de krommingen bij Euclidische meetkunde, elliptische meetkunde en hyperbolische meetkunde. III.1.7 De kunst van Maurits Cornelis Escher ( ) Zoals wel duidelijk mogen zijn, kunnen zich op de schijf van Poincaré enkele zeer interessante vormen voordoen. Sterker nog, kunst op een hyperbolisch model heeft zich ontwikkeld tot een heuse wijze van kunst. M.C. Escher, wie in zijn indrukwekkende kunst bekend stond om zijn spel met de twee- en driedimensionale wereld en om zijn vlakken met tot in het oneindig herhaalde figuren, heeft tevens enkele boeiende werken gemaakt waarbij gebruik is gemaakt van een hyperbolisch model. Zijn wiskundige kunstcreaties zijn befaamd over de hele wereld, en zijn zeker waard 44

45 te bekijken. Een dergelijk interessant kunstwerk waarbij Escher gebruik heeft gemaakt van een hyperbolisch model is op de volgende pagina afgebeeld. Overigens bestaan er meerdere van zulke soortgelijke kunstwerken, die allemaal gemakkelijk op het internet of in musea kunnen worden gevonden. Figuur 17: Eschers Cirkellimiet III III.1.8 Het hyperbolische postulaat uitgewerkt Herinner je nog Euclides definitie van parallelle lijnen uit deel 1? Parallel zijn lijnen die in hetzelfde vlak gelegen zijn en die, wanneer naar weerszijden tot in het oneindige verlengd, elkaar aan geen van beide zijden snijden. En zoals in de eerste paragraaf besproken, het hyperbolische model? Er zijn meerdere evenwijdige lijnen aan een lijn l door een punt P niet op l 45

46 Nu we de Poincaré-schijf hebben uitgewerkt kunnen we de bovenstaande stelling beter bekijken; onthoud dat het hyperbolische postulaat voor alsnog een postulaat is, en dat deze geen bewijs behoeft (en dat al van het onderstaande dan ook geen bewijs is). Zie nevenstaande afbeelding. Er zijn in deze afbeelding de oneindige lijnen AB, BC en DE getekend. De lijn BC snijdt lijn AB; volgens Euclides definitie zijn deze dan ook niet parallel. AB is echter wel parallel aan DE, omdat deze lijnen elkaar niet snijden, wanneer tot in het oneindige verlengd. Maar, omdat BC niet DE snijdt, betekent dat dat tevens BC en DE parallel zijn. Zie hier, een lijn DE die zowel parallel is aan BC als aan AB, terwijl de ene parallel AB niet gelijk is aan BC omdat deze twee niet parallel aan elkaar zijn. Maar hoe weten we dat bijvoorbeeld AB nimmer lijn DE zal raken, zelfs wanneer tot in het oneindige verlengd? Immers, wanneer men oneindige lijnen maakt met de horizon bestaat er de mogelijkheid dat de cirkels waaruit ze bestaan (zie tweede nevenstaande afbeelding) elkaar weliswaar niet in de schijf snijden, maar wellicht wel buiten deze schijf (zoals in de onderstaande figuur cirkels c en d elkaar buiten schijf s snijden, maar niet binnen deze schijf). We moeten dan even herzien wat de definitie van oneindige lijnen binnen de schijf ook al weer inhoudt. Want, met oneindige lijnen bedoelen we niet zozeer lijnen die we tot in het oneindige kunnen doortrekken zoals dat is gebeurt met cirkels in de vorige figuur, maar dat dit lijnen zijn zonder eindpunten. Dat wil zeggen dat in de bovenstaande afbeelding de punten waarmee de lijn de horizon lijkt te snijden, deze eigenlijk de horizon eigenlijk helemaal niet snijdt; omdat ze geen eindpunten hebben kunnen ze tot in het oneindige, i.e. binnen de horizon in de schijf, worden doorgetrokken, en niet erbuiten. De punten van de cirkel die zich 46

47 dicht bij de horizon bevinden zijn dus eigenlijk oneindig lange lijnen, iets wat men zal kunnen aantreffen wanneer men oneindig aantal keren inzoomed op het Euclidische snijpunt tussen de cirkel en de schijf. De moraal van het verhaal: hoewel hyperbolische ruimte met Euclidische geometrie kan worden gevisualiseerd en de eigenschappen van deze meetkunde soms binnen de schijf kunnen worden gebruikt (zoals in de volgende paragraaf zal blijken), blijven daarentegen de hyperbolische eigenschappen te allen tijde strikt gescheiden door de horizon van de Euclidische wereld (en is overigens de horizon, inclusief de punten die hier eventueel op liggen, geen onderdeel van de hyperbolische ruimte). III.2 De hoekensom van een d-driehoek III.2.1 Een korte inleiding tot de hoekensom van een d-driehoek Een driehoek in een hyperbolisch model krijgt, net als andere geometrische vormen, een d voorvoegsel: de d-driehoek. Deze interessante hyperbolische vorm zullen we in dit hoofdstuk grotere details bespreken en we zullen zien waarom deze afwijkt van een Euclidische driehoek. We hebben immers al gezien dat de vorm van een dergelijke driehoek verschilt omdat de d- lijnen waaruit deze bestaat bepaalde kromtrekkingen vertonen. Ook heb je al een driehoek gezien waarvan de hoekensom minder was dan 180º. Waarom dit zo is, kun je misschien al vermoeden; maar wij zullen een stapje verder gaan en dit bewijzen. Alvorens we dit doen, moeten we eerst bekend worden met enige geometrische bewerkingen in de Poincaré-schijf, en hieraan zullen we de komende paragrafen wijden. Langzaam maar zeker zullen we naar het bewijs betreffende de hoekensom van een d-driehoek toewerken, waarna deze uiteindelijk ook kan worden gegeven. III.2.2 De hoekensom in een Euclidische driehoek Ons vergelijkingsobject, waar we de hoekensom van een d-driehoek mee gaan vergelijken, is natuurlijk een Euclidische driehoek. Nu weten we allemaal dat de hoekensom van een driehoek 180º is en ook hebben we hiervoor al een bewijs in deel I gegeven; deze kan weliswaar nog wat vaag zijn. Laten we het simpele bewijs nogmaals geven, waarbij we overigens gebruik maken van het Euclidische parallellenpostulaat. Gegeven: Een driehoek ABC met een onbekende hoekensom. Te bewijzen: De hoekensom van driehoek ABC is gelijk aan 180º. Bewijs: Teken een lijn door een van de hoekpunten die evenwijdig is aan het overstaande been van de driehoek ten opzichte van het hoekpunt. In onze tekening hebben we een lijn door C die evenwijdig is aan AB. We weten, zoals gedefinieerd is als regel in de Euclidische meetkunde, dat een gestrekte hoek gelijk is aan 180º. Ook kunnen we gebruik maken van zogenaamde Z- hoeken, die we ook al in deel I zijn tegengekomen. Met behulp van deze Z hoeken en de bovenstaande beweringen kunnen we concluderen dat: 47

48 C1 = A (Z-hoek) C2 = C2 (Z-hoek) C3 = B (Z-hoek) C1 + C2 + C3 = 180º (gestrekte hoek) } A + C2 + B = C1 + C2 + C3 = 180º III.2.3 Orthogonale cirkels In deze paragraaf zullen we twee simpele feitjes over orthogonale cirkels bewijzen, als aanloop naar het bewijs van de hoekensom van een d-driehoek en ter verschaffing van enige basisinformatie over geometrische vormen in een hyperbolisch model. Ten eerste: Gegeven: Een cirkel c met centrum M die orthogonaal staat op cirkel d met centrum P. Te bewijzen: Als een cirkel c met een centrum M orthogonaal staat ten opzichte van cirkel d met centrum P, dan ligt M buiten cirkel d en P buiten cirkel c. Bewijs: Trek een raaklijn k aan cirkel c zo, dat deze door een punt A gaat waar beide cirkels elkaar snijden, en teken een raaklijn m aan cirkel d zo, dat deze tevens door het punt A gaat waar beide cirkels elkaar snijden. Nu kunnen we zeggen dat, omdat c orthogonaal op d staat, k loodrecht op m staat. Tevens kunnen we dan zeggen dat m loodrecht op k staat, die de raaklijn is van cirkel c in punt A, en lijn m dus door middelpunt M gaat. Dat betekent dat M buiten cirkel d ligt. Wanneer we de stappen herhalen kunnen we tevens tot de conclusie komen dat P buiten c ligt. 48

49 Ten tweede: Gegeven: Een cirkel c met een centrum M en een punt P buiten cirkel c. Te bewijzen: Als P een punt is buiten cirkel c, dan is er een unieke cirkel met dit punt P als centrum, die orthogonaal staat op c. Bewijs: Trek een lijn van M naar P, zodat er een diameter ontstaat voor een nieuwe cirkel met middelpunt O. Teken vervolgens de cirkel; omdat P buiten cirkel c ligt en de cirkel met centrum O door dit punt gaat, moet de cirkel twee snijpunten hebben met cirkel c, en wel A en B. Vervolgens is het mogelijk om een lijn te trekken AP, die kan fungeren als straal van een cirkel d met middelpunt P, en waarbij AP een raaklijn is van cirkel c. Omdat A het snijpunt is van beide cirkels, kunnen we zeggen dat (zie ook vorige bewijs) dat de straal AM van cirkel c loodrecht op AP staat en een raaklijn is van d, en dus dat de cirkels c en d orthogonaal staan op elkaar. Deze orthogonale cirkels zijn zonder twijfel uniek, omdat er maar een paar loodlijnen bestaan in een punt A die tevens raaklijnen zijn van beiden zodat c en d orthogonaal zijn. III.2.4 Regels en eigenschappen in het hyperbolische model Net als in de Euclidische meetkunde bestaan er in de hyperbolische meetkunde een aantal postulaten, definities en axioma s waarop vervolgens bepaalde stellingen zijn gebaseerd en dus de fundering vormen van de hyperbolische meetkunde. Van een aantal van deze conventionele regels bestaat er een soortgelijke tegenhanger in de Euclidische meetkunde; echter zijn een aantal ook uniek voor de hyperbolische meetkunde, d.w.z. dat ze alleen in het hyperbolisch model geldig zijn. In deze paragraaf zullen we een aantal van deze regels nader bekijken. Een aantal stellingen waarvan je een soortgelijke kunt zijn tegengekomen in de Euclidische meetkunde zijn: In hyperbolische meetkunde is er, net als in de Euclidische meetkunde, maar één d- lijn die de kortste weg is om twee punten met elkaar te verbinden. Er bestaat maar één unieke d-lijn door twee punten; d.w.z. dat er door elke twee punten een lijn kan worden getrokken en dat er geen tweede lijn door exact dezelfde punten bestaat die niet gelijk is aan de andere. In zowel Euclidische als hyperbolische meetkunde reist licht in een vacuüm ruimte langs een (d-)lijn. Twee verschillende d-lijnen zullen elkaar maximaal één keer snijden. 49

50 Tevens bestaan er een aantal unieke regels en afwijkende eigenschappen die alleen kunnen voorkomen in het hyperbolisch model: Een lijn die parallel is aan een andere lijn hoeft niet te allen tijde zich met een gelijke afstand van de andere te bevinden. Twee verschillende d-lijnen kunnen maximaal één gemeenschappelijk grenspunt bij de horizon hebben. Door een gegeven punt bestaan er meerdere rechte lijnen die parallel zijn aan een andere rechte lijn. Zoals eerder besproken maar niet eerder in het hyperbolische vlak gevisualiseerd bestaan er (zie onderstaande figuur): - Snijdende lijnen (zoals AC en DE) - Ultraparallelle lijnen (zoals FG en CE, FG en AD of FG en AB) - (hyper)parallelle lijnen (die één gemeenschappelijk grenspunt op de horizon hebben, zoals AB en AD) Een d-lijn die door het d-centrum van de schijf gaat, is een Euclidische lijn, en wel de diameter van de schijf.. (Deze regel is niet van toepassing in Euclidische meetkunde omdat, hoewel een lijn door het centrum van een cirkel een diameter vormt van de cirkel, deze niet noodzakelijkerwijs bij de rand van de cirkel hoeft te stoppen; een lijn kan langer zijn en doorgaan buiten de cirkel zodat deze groter is dan de diameter. In hyperbolische meetkunde echter, als we het hebben over een d-lijn (en dus niet d-lijnstuk), hebben we het over een lijn die oneindig ver doorloopt en wel gelijkmatig aan de lengte van de oneindige schijf zodat deze tevens de diameter vormt van de schijf.) Wanneer een hoekpunt van een willekeurige driehoek zich dichtbij het d-centrum bevindt, zullen de aanliggende benen van die driehoek bijna recht zijn. (Dit is dan ook de reden waarom de eerder besproken komeet die dicht bij het d-centrum staat vrijwel Euclidische banen lijkt te vormen.) Te allen tijde lijkt de hoekensom minder te zijn dan n, de hoekensom van een Euclidische driehoek. III.2.5 Hyperbolische inversie Hoewel inversie veel lijkt op spiegelen, is het dat niet. In deze paragraaf proberen we uit te leggen wat inversie precies inhoudt. Stel je zelf een punt O voor, en een getal m die ongelijk is aan 0. Trek vervolgens vanuit O een lijn en teken op deze lijn een punt P: 50

51 Als je vervolgens een inversie wilt hebben van P, een punt P i of P, moet je deze zo op de lijn vanuit O kiezen, dat OP OP = m Overigens wordt meestal de zogenaamde macht van inversie m niet voorgesteld als een normaal getal, maar als een kwadraat: k² = m = OP OP. Meestal wordt met k de lengte van een lijnstuk veronderstelt. Als m kleiner is dan 0, dan ligt P aan de andere kant van centrum O, en spreken we van negatieve inversie. Omdat vervolgens geldt dat m = k² < 0, geldt er dat er gerekend kan worden met complexe getallen. Wij houden ons echter alleen bezig met positieve absolute waarden (met uitzondering van 0), d.w.z. getallen waarbij m > 0: m met uitzondering van 0. We hebben, naast de m tussen de zogenaamde absoluutstrepen (m wordt zodoende ook een absoluut getal genoemd), nog een aantal notaties, onder andere voor de inversie van k: deze kan worden genoteerd als (O, k 2 ) ook wel O k 2 of O m. Het beeld van een punt P geven we ook wel aan met O m (P) = P (=P i ). Ook stellen we de volgende definitie: De cirkel met middelpunt O, waarvan het kwadraat van de straal (r²) gelijk is aan de absolute waarde van de macht van de inversie (ofwel m, die dus gelijk was aan OP OP ) heet de grondcirkel of inversiecirkel. Simpeler: Als van een cirkel met middelpunt O zijn r² = m, heet deze een grondcirkel of inversiecirkel. We zullen in een moment een bewijs geven waarin dit concept wordt verduidelijkt, maar laten we eerst kijken hoe dit concept tevens toe te passen is in de schijf van Poincaré. Herinner je je nog uit de vorige paragraaf dat, als regel in de hyperbolische meetkunde, geldt dat een d-lijn die door het d-centrum loopt gelijk is aan een Euclidische lijn? Hierin geldt dan dat O = P = 0, wat betekent dat het een ongeldige bewerking is omdat m te allen tijde groter moet zijn dan 0 (zoals bovenstaand werd gesteld) of te allen tijde kleiner dan 0 om een inversie te krijgen aan de andere kant van O ten opzichte van P, met behulp van complexe getallen. Maar stel nu dat we een inversie willen hebben van een willekeurig punt P in het hyperbolisch model die niet gelijk is aan O. Bedenk nu, omdat we door elk willekeurig punt een d-lijn kunnen trekken, we deze ook met behulp van de Euclidische cirkel die zich hier doorheen kan vormen deze op een gemakkelijke, Euclidische manier kunnen spiegelen. We kunnen zelfs beweren dat we van elk punt P binnen de hyperbolische schijf bij de toepassing van inversie een beeld P kunnen creëren die samenvalt met het d-centrum en vice versa! Laten we dit bewijzen; gaandeweg zal je het concept van de inversiecirkel duidelijk worden gemaakt. Gegeven: Een cirkel c met een middelpunt O en een punt P binnen cirkel c. We zullen later een inversiecirkel d tekenen. Te bewijzen: Voor een punt P bestaat een inversie P die samenvalt met O. 51

52 Bewijs: Zie bovenstaande figuur. Om hetgeen te bewijzen, tekenen we een cirkel d orthogonaal op cirkel c die als inversiecirkel laten gelden, zodat we een inversie kunnen maken van P die met respectievelijk O samenvalt. Hiervoor moet P zowel in de inversiecirkel d als in c liggen. Dan moeten we kunnen zeggen, omdat d een inversiecirkel is, dat r² van d gelijk moet zijn aan de lijn vanuit zijn middelpunt door P vermenigvuldigd met de inversie van P aan de andere kant van d. We gaan als volgt te werk: We tekenen een lijn door OP (en trekken deze ietwat door). Dan tekenen we op OP door P een lijn PR loodrecht op cirkel c: het punt waar deze lijn cirkel c snijdt heet R. Vervolgens trekken we een straal OR van c, en tekenen door R loodrecht op straal OR een lijn die we doortrekken totdat deze de doorgetrokken lijn van OP snijdt; het snijpunt noemen we Q. Vanuit P trekken we een cirkel d door R; we kunnen nu zeggen dat, omdat OR loodrecht op QR staat (die dus ook een raaklijn is van cirkel c) dat deze orthogonaal staat op c. Omdat we loodlijnen hebben getrokken, zijn er rechte hoeken aanwezig, en wel hoek OPR en hoek QRO. Ook hebben de driehoeken QRO en ORQ beiden hoek Q gemeenschappelijk; omdat er twee hoeken gelijk zijn, kunnen we stellen dat beide driehoeken gelijkvormig zijn: QPR ~ QRO QP = QR QR QO en QR QR = QP QO. Omdat QR QR = QR² en QR = r, is QR² = r². En dus r² = QP QO. Dat betekent dat het beeld van P samenvalt met O! Overigens kunnen we ook iets zeggen over de inversiecirkel. Want, zoals we weten, worden zogenaamde d-lijnen gevormd door cirkels die orthogonaal staan ten opzichte van de Poincaré schijf: dus is de boog RS die cirkel c snijdt, niet alleen een deel van de inversiecirkel, maar tevens een d-lijn! Dus kunnen we stellen in het vervolg, als mooier bewijs zonder in directe zin last te hebben van Euclidische meetkunde, dat voor elk punt P in de Poincaré-schijf een inversie bestaat die samenvalt met O wanneer deze wordt gespiegeld in een d-lijn. 52

53 Overigens, als een punt P niet links maar rechts ligt van O, mag dit natuurlijk niks uitmaken; een dergelijke inversiecirkel kan tevens worden geconstrueerd aan de linkerkant van de Poincaré-schijf. Tevens geldt natuurlijk dat, wanneer O een inversie is van P, P ook een inversie is van O. (Immers is 2 3 = 3 2, net als QP QO = QO PQ). Nu zijn we klaar om het laatste deel te bespreken waar we naar toe hebben gewerkt: de hoekensom van een d-driehoek. III.2.6 Het bewijs voor de hoekensom van een d-driehoek In zowel deel I als in paragraaf III.2.2 hebben we kunnen zien dat een driehoek in het Euclidische vlak altijd een hoekensom heeft van 180, en hebben we dit ook bewezen. Als aansluiting daarop zullen we nu een regel proberen te vinden voor de hoekensom van een d- driehoek, een driehoek in het hyperbolische ruimte. Als vermoeden hebben we dat deze kleiner is dan 180 ; dit hebben we namelijk kunnen zien in eerdere afbeeldingen van d- driehoeken in het hyperbolische model. Als laatste informatie die we moeten verschaffen alvorens we een bewijs kunnen geven, moeten we nog een tweetal simpele hyperbolische definities geven. Ten eerste is volgens de regels van de hyperbolische meetkunde gedefinieerd dat een hoek tussen twee snijdende d-lijnen in een hyperbolisch model kan worden gemeten door de hoek te meten tussen de raaklijnen van die twee d-lijnen in het snijpunt. Ten tweede is gedefinieerd dat, net als in Euclidische meetkunde, de hoek tussen twee parallelle lijnen 0º is. Dat is alles tot nu toe: de informatie tot nu toe verschaft in de voorgaande paragrafen van dit hoofdstuk moet voldoende zijn het volgende bewijs te kunnen begrijpen. Gegeven: Een willekeurige driehoek ABC in de Poincaré schijf met een onbekende hoekensom. Te bewijzen: De hoekensom van de d-driehoek ABC is kleiner dan180º. Bewijs: Zie nevenstaande figuur. Ten eerste passen we inversie toe bij het hoekpunt C van de d-driehoek ABC in de Poincaré-schijf, en noemen het beeld V. Dit doen we eenvoudigweg als we in de vorige paragraaf ook hebben gedaan: We tekenen een lijn door zowel het middelpunt O van de schijf als door C, en tekenen door C loodrecht op OC een lijn CS waarbij S het snijpunt is met de schijf. We trekken de lijn OS, dat de straal is, en vervolgens loodrecht hierop een lijn SV waarbij V het snijpunt is met de doorgetrokken 53

54 lijn van OC. V is het beeld van C bij de inversie. We weten ook dat, wanneer we een cirkel trekken met middelpunt V door S (waarbij de straal VS dus de raaklijn is), deze cirkel orthogonaal op de schijf staat. Ook hebben we bewezen in de vorige paragraaf dat, wanneer de orthogonale cirkel met middelpunt V die inversie is van een willekeurig punt binnen de schijf de inversie van C in deze cirkel samenvalt met O. Nu kunnen we eenvoudig ook de andere punten A en B van de driehoek spiegelen in de inversiecirkel. We kunnen dit op verschillende manieren doen, waaronder een geometrische oplossing. Echter, omdat we al genoeg geometrisch doen kan een andere manier ook wel eens interessant zijn: dit is een eenvoudige algebrarische vergelijking. We meten SV = r, en we trekken een lijn VA. Vervolgens kunnen we de inversie van punt A berekenen door r te kwadrateren en deze te delen door de lengte van VA. Het antwoord is een lengteafstand die we kunnen tekenen op VA. Voorbeeld: stel SV = 3 en AV = 4. Dan geldt: r² = SV = 3² = 9 r² = AV A V A V = r² = 9 = 2¼ AV 4 Vervolgens kunnen we op de lijn AV een punt meten met een afstand 2¼ van V. Een soortgelijke methode is mogelijk om het beeld van B te bepalen. We krijgen dan een figuur zoals in de nevenstaande afbeelding. (Merk op dat het beeld van C samenvalt met O, het d-centrum). We kunnen vervolgens door A en B lijnen trekken vanuit de horizon naar het middelpunt C : deze lijnen vormen de benen van de nieuwe driehoek en zijn, zoals eerder gevonden is in de regels van de hyperbolische meetkunde, Euclidische lijnen omdat ze d-lijnen zijn door het d-centrum. Tevens kunnen we een d-lijn trekken A B die de inversie is van AB. Omdat dit een conforme inversie is, d.w.z. dat deze om bepaalde redenen mag worden voltrokken in de schijf zonder daarbij eigenschappen worden geschaad, is de hoekensom van driehoek ABC gelijk aan de hoekensom van driehoek A B C. 54

55 Nu hebben we een driehoek die gelijkt op de driehoek in de nevenstaande afbeelding; de cirkel die de d-lijn A B vormt is ook getekend. Omdat deze cirkel orthogonaal staat ten opzichte van de schijf, ligt het middelpunt M te allen tijde buiten de schijf zoals is bewezen in paragraaf III.2.2. Dat betekent tevens dat de boog A B convex 10 is ten opzichte van C. De som van de hoeken van A B is, zoals blijkt uit de snijdende raaklijnen in de figuur rechtsonder, minder dan de som van de twee hoeken van de Euclidische driehoek A B. (Dit is natuurlijk omdat de som van twee erg scherpe hoeken minder is dan de som van twee minder scherpe hoeken.) Verder weten we uit deel I dat de totale hoekensom van een Euclidische driehoek, zoals linksonder is getoont, 180º is, en dat beide driehoeken de gelijke hoek C delen. Uit deze laatste punten en uit het feit dat in een d-driehoek de andere twee hoeken samen minder zijn dan deze hoeken in een Euclidische driehoek, kunnen we concluderen dat de hoekensom in een d-driehoek minder is dan 180º! Q.E.D. III.3 Enkele geometrische en rekenkundige bewerkingen in de Poincaré-schijf III.3.1 Het coördinatensysteem in de Poincaré-schijf Net als in de Euclidische meetkunde, waar we een cartesisch of cartesiaans coördinatenstelsel gebruiken (vernoemd naar Renatus Cartesius ofwel de eerder genoemde filosoof René Descartes), bestaat er tevens een dergelijk coördinatenstelsel in de schijf van Poincaré om punten aan te geven. Het aangeven van punten in een hyperbolische ruimte gebeurt echter ietwat anders dan in een cartesiaans coördinatenstelsel, vandaar dat we er in deze paragraaf even bij stil zullen staan. Zoals in een Euclidisch vlak, bestaan er tevens in de Poincaré-schijf een x en een y-as; deze worden getrokken loodrecht op elkaar vanuit het d-centrum of ook wel de oorsprong O. Zie het gegeven figuur linksonder: hier is X het d-centrum, net als in het cartesiaanse coördinatenstelsel (linksboven) tevens een punt X zich in de oorsprong kan bevinden. Vervolgens zijn er telkens met een interval van 0,5 vanuit de oorsprong op beide assen loodrecht lijnen getrokken, net als voor ieder punt in het cartesiaanse assenstelsel op beide 10 Convex: bolrond 55

56 assen loodrechte lijnen kunnen worden getrokken. Vervolgens kunnen de punten A, B, S en T respectievelijk aan worden gegeven met respectievelijk de coördinaten (0,5 ; 0), (1, 0), (0 ; 0,5) en (0, 1). Wanneer we vervolgens een punt (1, 1) willen aangeven in het Euclidisch vlak, is het simpelweg een kwestie van de loodlijnen uit het coördinatenstelsel te volgen: in de afbeelding links kan de loodlijn die B aangeeft (op (1, 0)) gewoon worden gevolgd, en vervolgens de loodlijn vanuit T (0, 1). Het snijpunt van beide loodlijnen is punt P op (1,1). Wanneer we dit zelfde trucje proberen toe te passen in de Poincaré-schijf, komen we al snel tot de conclusie dat er helemaal geen punt op de schijf is waar zowel de loodlijnen vanuit B als die vanuit T elkaar snijden. Toch bestaat er een punt (1, 1), en wel de P die op het linkerplaatje van het figuur rechtsonder is weergegeven. Hoe is dit punt gedefinieerd? Wel, punt P is precies 1 van de x-as verwijderd, net als punt P precies 1 van de y-as is verwijderd. Net als het geval is in het cartesiaanse coördinatenstelsel. De twee loodlijnen snijden elkaar daar niet, simpelweg omdat beide loodlijnen zich steeds verder van het d-centrum verwijderen waardoor de afstand van de loodlijnen meer naar oneindig gaat. De snijpunten geven daardoor ook een grotere afstandscoördinaat weer vanaf de assen dan wanneer deze in een Euclidisch vlak zouden snijden. Desalniettemin is het punt P gewoon te construeren, en wel door de coördinaten van het punt P te meten door van beiden assen een afstand 1 te nemen. III.3.2 Hyperbolische spiegeling Nu we de assen in een hyperbolisch model hebben gedefinieerd, moet het (vanzelfsprekend) ook mogelijk zijn punten te spiegelen in de assen of in andere punten. Omdat we te maken hebben met een hyperbolisch model en niet met een bekend Euclidisch model, gebeurd dit iets (niet heel veel) anders. In deze paragraaf zullen we het concept van hyperbolische spiegeling zo goed mogelijk proberen uit te leggen. Het is eigenlijk heel simpel. Zie nevenstaande afbeelding bijvoorbeeld. Hierin is P het beeld van P bij de spiegeling in S (een zogenaamde puntenspiegeling). Een dergelijke spiegeling is eenvoudig, op een vrijwel Euclidische wijze, te construeren: trek een d-lijn van het punt P door het spiegelobject S. Vervolgens ligt het beeld P op een gelijke afstand van S als P van S ligt: houdt er rekening mee dat het vooralsnog een hyperbolisch model is, en dat dus de afstanden van de punten die dichter bij de horizon staan (de horizon gaat naar oneindig) kleiner lijken. Voor het 56

57 hyperbolische model met zijn d-afstanden mag dit niet boeien: PS = P S. Ook de spiegeling in lijnen of in assen is eenvoudig. In de Euclidische meetkunde gebeurt dit met behulp van een middelloodlijn, net als in de hyperbolische meetkunde. Zo is in de bovenstaande afbeelding P het beeld van P bij spiegeling in de lijn m. De constructie is wederom eenvoudig, en is gelijkt gedeeltelijk op een dergelijke spiegeling in een Euclidisch model. Ten eerste wordt er een loodlijn vanuit P op lijn m getrokken, de lijn waarin we willen spiegelen. Het snijpunt van de loodlijn en lijn m noemen we S. De tweede stap is eenvoudig het voorgaand beschreven proces van de puntenspiegeling herhalen: een punt P zo kiezen, dat PS = P S. Wederom moet er rekening mee worden gehouden dat we spiegelen in een hyperbolisch model en dus te maken hebben met hyperbolische afstanden. III.3.3 D-afstanden Als verdere uitdieping van de hyperbolische geometrie zullen we het bovengenoemde onderwerp bespreken hoewel we geen bewijs zullen leveren, hopen we toch dat het je de mogelijkheden laat inzien van bewerkingen in het hyperbolisch model. Laten we eerst beginnen door te stellen dat een afstand tussen twee punten in een Euclidisch vlak kan eenvoudig worden gemeten of berekend. In een coördinatenstelsel kan deze simpel worden berekend door optellen of aftrekken, of door gebruik te maken van de stelling van Pythagoras. Maar, zoals we inmiddels weten, zijn de lijnen die tussen twee d-punten kunnen worden getrokken, en dus de afstand tussen die twee punten, nou niet bepaald rechte Euclidische lijnen; met uitzondering natuurlijk van de lijnen door het d-centrum. Toch is het soms handig om afstanden te berekenen tussen twee gegeven punten in het hyperbolische model. Dit gebeurt met behulp van het natuurlijke logaritme. Zie onderstaand model: Bij het berekenen van de d-afstand, d.w.z. hyperbolische afstand, van punt P naar Q, hebben we een aantal Euclidische afstanden nodig van de cirkel. Overigens wordt, voor het berekenen van een afstand tussen de twee punten P en Q, niet gewoonweg PQ gebruikt, maar d(p, Q). Om de afstand te berekenen tussen de twee punten doen we hetzelfde als we zouden doen als in het geval van twee Euclidische punten: we trekken een lijn tussen de punten, dat 57

58 is dus in dit geval een d-lijn. Om vervolgens de afstand tussen P en Q te kunnen berekenen, teken we ten eerste de Euclidische punten A en B, die de snijpunten zijn van de d-lijn door P en Q met de horizon. De benodigdheden zijn de Euclidische afstanden AP, BP, AQ en BQ. De hyperbolische afstand van lijnstuk PQ is dan te berekenen met behulp van de formule: In ons geval betekent dat, dat dit het volgende voorstelt: d(p,q) = ( ln (1,67 / 3,73) ) + ( ln ( 3,83 / 1,55) ) = ( ln 0,44772 ) + ( ln 2,47097 ) = ( -0,80358 ) + ( 0,90461 ) = 0, ,90461 = 1, ,71 III.3.4 De oppervlakte van een d-driehoek Nu we hyperbolische afstanden kunnen berekenen, zou het volgens de theorie van de Euclidische meetkunde nu ook eenvoudig zijn andere geometrische bewerkingen in het model te maken, waaronder het berekenen van de hypotenusa van een driehoek met behulp van de stelling van Pythagoras of de oppervlakte van een willekeurig ruimtefiguur met behulp van algemene Euclidische stellingen. Helaas is dit alles niet het geval en zijn dergelijke bewerkingen helemaal niet zo eenvoudig als moge lijken. Om dit concept duidelijk te maken, zullen we de oppervlakte van een d- driehoek bekijken. Zie nevenstaande d-driehoek: dit is een relatief eenvoudige d- driehoek in het hyperbolische model, mede omdat twee van de benen geen d-lijnen zijn, maar gewone Euclidische lijnen daar deze door het d-centrum lopen. Echter is de derde lijn een d- lijn, en kan de oppervlakte niet worden uitgerekend met de voor ons bekende Euclidische geometrie (ook niet wanneer we het hele zooitje omrekenen naar d-afstanden, zie vorige paragraaf). Zie ter verduidelijking de tweede nevenstaande afbeelding. Nota bene: de lengten van de benen zijn niet alleen in d-afstanden, maar ook slechts representatief en volstrekt willekeurig gekozen. In de Euclidische meetkunde zou de oppervlakte van de driehoek gewoon te berekenen zijn met behulp van de Euclidische ½ basis hoogte formule: Opp. = ½ 3 4 = 6. Maar, zoals je kunt zien in de afbeelding, beslaat de oppervlakte van een dergelijke driehoek de helft van een Euclidische vierhoek, d.w.z. dat er geen rekening is gehouden met schuine zijden wanneer we enkel Euclidisch willen berekenen. Hoewel dus de Euclidische driehoek zowel het donker- als lichtgrijze deel beslaat, beslaat de d-driehoek alleen de donkergrijze driehoek (deze heeft een schuine zijde) en heeft dus een aanzienlijk 58

59 kleinere oppervlakte. Deze is dan ook niet te berekenen met ½ basis hoogte, maar er zal van deze uitkomst een zeker aantal moeten worden afgetrokken om de nauwkeurige oppervlakte voor een d-driehoek te verkrijgen. Zoals je misschien wel kunt raden, komt de oppervlakte van deze driehoek die nog twee Euclidische benen heeft van de drie, nog het best in de buurt van een echte Euclidische driehoek wanneer men de Euclidische oppervlakteformule voor driehoeken toepast. Door de eigenschappen van het hyperbolisch model en zijn eerder behandelde assenstelsel is het ook niet mogelijk om een volledig Euclidische driehoek te vormen in het hyperbolische model. (Maar wel een vrijwel Euclidische driehoek, herinner je je de komeet rond de zon?). Dat betekent dat geen enkele driehoek in het hyperbolische model is te berekenen met ½ basis hoogte en dus dat elke d-driehoek die kan worden getrokken tussen drie punten een kleinere oppervlakte heeft dan de Euclidische driehoek die kan worden gevormd door lijnen te trekken tussen dezelfde drie punten. Zodoende heeft dus elke d-driehoek een zogenaamd tekort. Omdat we nu niet simpel een oppervlakte van een d-driehoek kunnen uitrekenen met behulp van een Euclidische formule, moeten we verder bouwen met de stenen die we hebben om wel tot een bepaalde algemene formule te komen. We kunnen immers al wel de volgende conclusies doen over figuren en hun eigenschappen in de hyperbolische meetkunde: Het moet mogelijk zijn de oppervlakte van elke veelhoek te berekenen. Elk oppervlakte van een veelhoek moet een reëel nummer zijn en groter dan nul. Net als in de Euclidische meetkunde, als twee driehoeken congruent zijn hebben ze dezelfde oppervlakte. Als twee veelhoeken alleen elkaar snijden met hun zijden, benen of helemaal niet snijden, dan is de oppervlakte van de veelhoek die kan worden gevormd uit de gemeenschappelijke figuren de som van de twee oorspronkelijke veelhoeken; de oppervlakte moet additief zijn. Als een gelegen d-driehoek gelegen is binnen een andere d-driehoek, dan moet de oppervlakte kleiner zijn. De oppervlakte van een tweevoudig-asymptotische d-driehoek (zie onderstaande afbeelding) is alleen afhankelijk van de tophoek (d.w.z. de hoek die niet met de horizon snijdt). De hoekensom van een drievoudig-asymptotische (zie onderstaande afbeelding) d- driehoek is eindig. Figuur 18: de typen d-driehoeken. Respectievelijk een enkel(voudig)-asymptotische d- driehoek, een dubbel-asymptotische d-driehoek en een drievoudig-asymptotische d- driehoek. 59

60 Uit deze (overigens allemaal te bewijzen) beweringen en het eerder genoemde tekort van een d-driehoek kunnen we stellen dat de oppervlakte van elke d-driehoek te berekenen is met behulp van een bepaalde formule die een voor elke d-driehoek gelijke constante vermenigvuldigd met het tekort van de hoeken: A = K tekort. We kunnen deze formule iets preciezer formuleren, door het tekort te vervangen. Deze formule staat bekend onder de zogenaamde Stelling van Gauss: De oppervlakte van een d-driehoek ABC met de hoeken A, B en C is gelijk aan K(π-A-B-C). (Overigens, net als aan de formule valt af te leiden, rekenen we in radialen wanneer we kijken naar de hoeken). Laten we dit bewijzen. Gegeven: Een willekeurige d-driehoek ABC met de hoeken A,B en C Te bewijzen: De oppervlakte van een d-driehoek ABC met de hoeken A, B en C is gelijk aan K(π-A-B-C). (Stelling van Gauss) Bewijs: 1. Eerst verlengen we de zijden van de d-driehoek tot de horizon: zowel AB, BC als CA. Ook verlengen we AC. 60

61 2. Als we een aantal punten van de horizon nu met elkaar verbinden, krijgen we enkele driehoeken waarmee om praktische redenen makkelijker mee is te rekenen. We geven de snijpunten met de horizon de namen D, E, F en X. 3. Omdat we hebben gedefinieerd dat de oppervlakten van een tweevoudigasymptotische d-driehoek alleen afhankelijk is van de tophoek, kunnen we dus zeggen dat bijvoorbeeld driehoek ADF afhankelijk is van π-a en dus ook vana. Deze bewering komt mede tot stand doordat we eerder het vermoeden hebben gesteld dat de oppervlakte van een d-driehoek afhankelijk is van de hoekensom. Dat betekent ook dat we een functie kunnen beschrijven van de oppervlakte van de d-driehoek in combinatie met deze hoek: O(ADF) = f(a). 4. We hebben ook zijde AC niet voor niets doorgetrokken tot een punt X. Je kunt nu immers zien dat er een drievoudig-asymptotische d-driehoek DXF is ontstaan, die op zijn beurt weer bestaat uit twee tweevoudig-asymptotische d-driehoeken. Omdat we weten dat oppervlakten additief zijn, betekent dat dat O(ADF) + O(DXA) = O(DXF). We weten tevens, omdat een tweevoudig-asymptotische d-driehoek afhankelijk is van zijn tophoek dat O(ADF) = f(a) en dus dat O(ADX) = f(π A). (We rekenen met radialen, en aangezien een gestrekte lijn, net als in de Euclidische meetkunde, hoek π heeft, heeft een d-lijn (dus ook hoek π) minus een hoek A een hoek π A; FX is immers een gestrekte d-lijn die in A twee hoeken maakt). Omdat we deze beide dingen veilig kunnen definiëren, kunnen we tevens zeggen dat dus O(DFX) = f(a) + f(π A). Laten we voor de handigheid, daar we weten dat de hoekensom van een drievoudig-asymptotische d-driehoek eindig is (zoals eerder gedefinieerd), deze benoemen met de letter k: k = f(a) + f(π A). 5. Omdat de oppervlakte van een drievoudig-asymptotische d-driehoek die uit twee tweevoudig-asymptotische d-driehoeken afhankelijk is van een functie van de hoeken van deze twee d-driehoeken, kunnen we tevens zeggen dat een drievoudigasymptotische d-driehoek die uit drie tweevoudig-asymptotische d-driehoeken bestaat afhankelijk is van een functie van de hoeken van deze drie d-driehoeken. In de tweede figuur op de volgende pagina met de tophoeken π A, π B en A + B geldt dan dus dat k = f(a) + f(b) + f( - (A+B)). (Als je niet helemaal het concept van A+B begrijpt, zie dan in dat je een been zo kunt doortrekken dat A en B twee gescheiden vlakken worden (zie de eerste van beide onderstaande figuren). Hierin is π A + A = π = B + 61

62 π - B = gestrekte hoek. Nemen we A en B samen, krijgen we A+B, en een driedeling wat mogelijk is in elke mogelijke d-driehoek die we kunnen maken. In de eerste afbeelding, net als in de tweede, geldt dan ook dat k = f(a) + f(b) + f( - A) + f( - B) = f(a) + f(b) + f( - (A+B). 6. Nu hebben we dus k = f(a) + f(b) + f( - (A+B)). Maar, zoals ook gezien in punt 4, bestaat er wederom een tweevoudig-asymptotische d-driehoek DE(A+B) met de tophoek A+B. Omdat we dus hebben gezien dat in een dergelijke driehoek dan geldt, zoals in punt 4, dat k = f(a) + f(π A), betekent dat ook dat k - f(a) = f(π A). Nu we een tophoek hebben van A+B, betekent dat, dat k - f(a + B) = f(π (A+B)). Laat de laatste achter het = teken van deze twee nu ook voorkomen in de eerstgenoemde formule in dit punt, zodat we kunnen stellen dat k = f(a) + f(b) + k - f(a + B). 7. In deze formule, k = f(a) + f(b) + k - f(a + B), kunnen we vervolgens gemakkelijk de termen zo verschuiven dat f(a) + f(b) = f(a + B). Omdat deze A en B additief zijn, betekent dat dus dat f een eenvoudige lineaire functie is. Over het algemeen geldt dat een lineaire functie eruit ziet als f(x) = ax, en dus geldt dat f(a) = pa (waarbij p een constante is). 8. Als we even terugkeren naar punt 4: k = f(a) + f(π A). Door hetgeen wat we in het vorige punt hebben gesteld, kunnen we deze formule vervangen door k = pa + p(π A) dat we kunnen herleiden: k = pa + pπ pa k = pπ p = k / π 9. Omdat we in punt 7 hebben gezegd dat de functie f(a) = pa, en net hebben gezegd dat p = k / π, kunnen we de formule f(a) eenvoudig zo vervangen dat f(a) = ka / π. 10. Laten we nogmaals naar de eerdere afbeelding kijken (zie afbeelding op de volgende pagina). In deze figuur geldt (mede omdat we hebben gesteld dat de oppervlakten van bepaalde d-driehoeken additief zijn), dat O(ABC) = O(DEF) O(DAF) O(DEB) O(ECF). 62

63 11. Zo kunnen we beweren dat O(ABC) = k (f(a) + f(b) + f(c)). Uit punt 9 kunnen we deze formule herleiden tot: Die op zijn beurt buiten haakjes is te halen: Nu hebben we, op k zelf na, allemaal de gemeenschappelijke factor k/π. We kunnen k nu ook simpel in een dergelijke vorm omtoveren. Immers weten we dat x y = x y = x k = k π y y en dus dat π zodat we de formule krijgen: Waarbij we nu de gemeenschappelijke factor (k/π) gemakkelijk binnen haakjes kunnen halen zodat: Omdat we kunnen stellen dat K = k / π, kunnen we een formule krijgen als: O(ABC) = K(π A B C) Dat dus de stelling van Gauss is! Q.E.D. Stellen we K op 1 (wat gebruikelijk is), houden we de formule O(ABC) = π A B C over. Deze formule is niet erg moeilijk te interpreteren: een lineaire formule, waarbij O(ABC) = 0 als de hoekensom gelijk is aan 180 (alleen in een Poincaré-schijf mogelijk wanneer de drie punten op één lijn liggen (en deze dus eigenlijk geen driehoek is, omdat elke d-driehoek een oppervlakte heeft)) en O(ABC) = π als de hoekensom gelijk is aan 0 (wanneer alle punten van de d-driehoek oneigenlijke punten zijn, d.w.z. als de punten op de horizon liggen). 63