J A N D E Z I D E R K E E S K O O M E N - M A J E R N I K I N L E I D I N G T O T D E K W A N T U M M E C H A N I C A

Transcriptie

1 J A N D E Z I D E R K E E S K O O M E N - M A J E R N I K I N L E I D I N G T O T D E K W A N T U M M E C H A N I C A

2 2 jan dezider kees koomen-majernik Fundamentele vergelijkingen De Schrödingervergelijking: i h Ψ t = ĤΨ Tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking: Standaard Hamiltoniaan: ĤΨ = EΨ Ĥ = h2 2m 2 + V Onzekerheidsrelatie van Heisenberg: Paulivergelijking: Diracvergelijking: Pauli matrices: σ x σ p h 2 [ ] 1 2m (σ (p qa))2 + qφ ψ = i h t ψ ( cα ˆp + βmc 2) ψ = i h ψ t σ x = ( ), σ y = ( 0 i i 0 ), σ z = ( ) Algemene onzekerheid: σ A σ B 1 [A, B] 2i 2

3 inleiding tot de kwantummechanica 3 Fundamentele constanten Constante van Planck: Gravitatieconstante: Constante van Avogadro: Lichtsnelheid: Massa van een elektron: Massa van een proton: Lading van het elektron: Permittiviteit van het vacuüm: Constante van Boltzmann: h = Js G = m 3 /kgs N A = /mol c = m/s m e = kg m p = kg e = C ɛ 0 = C 2 /Jm k B = J/K

4

5 Inhoudsopgave I Theorie 9 De klassieke mechanica 11 Elektromagnetisme 17 Kwantummechanica 41 II Simulatie 61 Het waterstofatoom 63

6

7 Voorwoord A l vanaf jongs af aan was ik geïnteresseerd in het doen van huistuin-en-keuken experimenten uit populaire wetenschaps boeken. Mijn interesse in de wetenschap begon met scheikunde toen ik op elf jarige leeftijd een boek heb gekregen van mijn moeder over de fundamentele bouwstenen van de chemie. Daarna ontwikkelde ik een grote belangstelling voor de natuur- en wiskunde, maar vooral voor de kwantummechanica. De eerste keer dat ik in contact kwam met de kwantummechanica was ik compleet overrompeld door de magie van dit vak. Ik denk dat we veilig kunnen stellen dat geen één wetenschapper kwantummechanica echt goed begrijpt. Uit verschillende experimenten blijkt onomstotelijk dat kwantummechanica dé methode is voor het beschrijven van het aller kleinste in ons universum. In dit profielwerkstuk wordt de nadruk gelegd om op een uitgebreide maar duidelijke manier een compleet beeld te krijgen van de fundamentele bouwstenen van de natuurkunde. In het eerste deel van dit profielwerkstuk komen de volgende theorieën aan bod: klassieke mechinica, de vier Wetten van Maxwell, de Lorentzkracht, de Wet van Ohm en de Schrödingervergelijking. Ook zullen we in het eerste deel de Schrödingervergelijking voor het waterstofatoom afleidden. In het tweede deel gaan we met behulp van de gevonden oplossing een simulatie maken van de kansdichtheid van het elektron.

8 8 jan dezider kees koomen-majernik Het is sterk aan te raden dat de lezer een gevorderde kennis heeft van de analytische wiskunde. De lezer moet op de hoogte zijn van de volgende theorieën: differentiaalrekening, integraalrekening, vectorrekening, rijen en reeksen en differentiaalvergelijkingen. Is deze bagage noodzakelijk? Natuurkunde kan je vergelijken met timmerwerk. Gebruikmakend van het juiste gereedschap maakt het vak een stuk makkelijker. Als laatste wil ik alle mensen bedanken die mij hebben geholpen met het realiseren van dit profielwerkstuk. Ik wil in het bijzonder bedanken de heer N.G. Schultheiss en mevrouw A. Toll. Jan Dezider Kees Koomen-Majernik Maart 2012

9 Deel I Theorie

10

11 De klassieke mechanica Introductie De mechanica is het onderdeel van de natuurkunde die zich bezig houdt met evenwicht en beweging van voorwerpen onder invloed van de krachten die erop werken. De klassieke mechanica beschrijft het gedrag van macroscopische objecten zoals astronomische objecten, projectielen, sterren, planeten, sterrenstelsels en nog veel meer. Ze is van toepassing op allerdaagse situaties waar er sprake is van snelheden die klein zijn ten opzichte van de lichtsnelheid of niet al te sterke zwaartekrachtvelden en waar het gedrag van de materie op atomaire schaal te verwaarlozen is. Wanneer we objecten gaan bestuderen die zeer klein zijn moeten we een andere vorm van mechanica gaan gebruiken namelijk kwantummechanica. Wanneer objecten zich voortbewegen met snelheden die bijna zo groot zijn als de lichtsnelheid wordt de klassieke mechanica versterkt door de speciale relativiteitstheorie. Isaac Newton leverde ons de fundamentele wetten van de klassieke mechanica. Deze drie natuurwetten zijn in 1687 geformuleerd in zijn boek Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. De Wetten van Newton De Wetten van Newton vormen samen met de wet van behoud van impuls en de wet van impulsmoment de grondslag van de klassieke mechanica. We beginnen simpel met de Wetten van Newton geschreven in de conventionele vorm: 1. Een voorwerp waarop geen resulterende kracht werkt, is in rust of beweegt zich rechtlijnig met constante snelheid voort 2. Als op een voorwerp een nettokracht werkt, krijgt het een versnelling. Kracht is gelijk aan massa maal versnelling: F = ma. 3. Een kracht komt nooit in z n eentje, maar is altijd de helft van een tweeling. Actie en reactie zijn even groot, maar tegengesteld van richting.

12 12 jan dezider kees koomen-majernik Deze wetten zijn zo bekend dat we soms hun betekenis als een natuurkundige wet uit het oog verliezen. De Eerste Wet van Newton is weinigzeggend zonder het woord "kracht". Een woord dat Newton in alle drie zijn wetten gebruikt. De Tweede Wet van Newton geeft een toelichting wat precies een kracht is, namelijk: een kracht die uitgeoefend wordt op een object is gelijk aan de snelheid waarmee het impuls van een bewegend object veranderd. Newton definieerde het impuls als het product van de massa en de snelheid. p m v Dus de tweede wet van Newton kan nu geschreven worden als d p F = dt = d (m v) (1) dt Het ging Newton om de verandering van de beweging, dus massa en snelheid mogen beide variëren. Als de massa m constant is kunnen we de tweede wet herschrijven tot de volgende welbekende vergelijking: F = m a waarin F de kracht in Newton is in de richting van de versnelling, m de massa in kilogram en a de versnelling in m/s 2. Eigenlijk zijn de eerste en de tweede wet van Newton geen "wetten" maar kunnen beter beschouwd worden als definities, omdat afstand, tijd en massa concepten zijn die we al begrijpen.

13 inleiding tot de kwantummechanica 13 Behoudswetten Laten we nu eens gaan kijken naar de mechanica van een individueel object en daarvan de behoudswetten uit proberen af te leiding. We moeten benadrukken dat dit geen bewijs is voor de behoudswetten maar een een afleiding. Om te kunnen concluderen of deze wetten correct zijn moeten we ze testen. Het feit dat deze wetten kloppen bewijst hoe perfect en elegant de wetten van Newton zijn, althans in de klassieke mechanica. De eerste behoudingswet betreft de lineaire impuls van een deeltje. Als een deeltje vrij is, dat wil zeggen dat er geen kracht op het deeltje wordt uitgeoefend, dan wordt vergelijking (1) simpelweg d p dt = 0. Dat betekend dat de vector p constant blijft in de tijd. Dus de eerste behoudingswet wordt 1. De totale lineaire impuls p van een deeltje is een behouden grootheid wanneer de totale kracht op het deeltje gelijk is aan nul. We kunnen deze uitspraak ook in andere termen formuleren. Laten we s een constante vector zijn zo dat F s = 0 en onafhankelijk is van de tijd. Dan wordt de vergelijking d p dt s = F s = 0 wanneer we deze integreren naar de tijd krijgen we p s = constant wat betekend dat de lineaire impuls in de richting van de kracht constant is in de tijd. De Wet van behoud van impulsmoment stelt dat als een voorwerp eenmaal in een bepaald tempo aan het draaien is het de neiging heeft om die draaiing vol te houden. Er is dus een externe kracht, of liever gezegd een moment, nodig om dat te veranderen. Het impulsmoment is als volgt gedefinieerd L r p Het krachtmoment, of simpelweg moment, wordt gedefinieerd als N r F waar r de plaatsvector voorstelt vanaf het middelpunt tot aan het punt waar aan kracht F uitgeoefend op wordt.

14 14 jan dezider kees koomen-majernik Omdat F = m d v dt kunnen we de vergelijking voor het krachtmoment herschrijven. Deze wordt N = r m d v dt = r d p dt Laten we de vergelijking voor het impulsmoment differentiëren. Dit zal uiteindelijk een verband geven tussen het impulsmoment en het krachtmoment. Dus maar d L dt = d dt ( r p) = r p + r p ( ) r p = r m = m r r = 0 dus d L dt = r p = N Dus als er geen krachtmoment op een deeltje wordt uitgeoefend (dus N = 0) dan is d L dt = 0, maar L is een vector die constant blijft wanneer de tijd vordert. Dit lijdt tot de tweede behoudingswet die luidt: 1. Het impulsmoment van een deeltje is een behouden grootheid wanneer het niet onderworpen is aan een krachtmoment. Als er een kracht F op een deeltje wordt uitgeoefend en het deeltje verandert van toestand 1 naar toestand 2 dan wordt de arbeid die nodig is voor het veranderen van de toestand gedefinieerd als W 12 ˆ2 1 F d r (2) Wanneer we de kracht F uitschrijven en de integraal herschrijven met de kettingregel krijgen we W 12 = ˆ2 1 ˆ2 F d r = 1 m d v dt d r De variabele waarnaar geïntegreerd wordt, kunnen we herschrijven in d r = v dt ˆ2 1 m d v ˆ2 dt d r = 1 m d v ˆ2 ( ) 1 2 v dt = m v d v = dt 2 mv2 1 1

15 inleiding tot de kwantummechanica 15 De arbeid die verricht wordt door een kracht F op een object is gelijk aan het verschil in kinetische energie W 12 = ( ) mv2 = 1 ) (v 1 2 m 2 2 v2 1 = T 2 T 1 = T waar T 1 2 mv2 de kinetische energie is van het object. Als T 1 > T 2 dan is W 12 < 0 wat betekend dat het object arbeid heeft verricht met als resultaat een afname van de kinetische energie. Laten we eens vergelijking (2) van een andere kant bekijken. In veel voorkomende natuurkundige processen heeft de kracht F de eigenschap om een object van plaats A naar een plaats B te verplaatsen en met dezelfde hoeveelheid aan energie weer terug te plaatsen naar zijn beginpositie. Stel dat een deeltje op aarde met een massa m omhoog wordt geheven tot een hoogte h, dan wordt er arbeid mgh verricht om het deeltje omhoog te heffen. Maar het deeltje kan met dezelfde hoeveelheid aan arbeid terug keren naar zijn oorsprong. De arbeid waarmee een object terug kan keren naar zijn oorsprong met dezelfde hoeveelheid aan arbeid die verricht is om het te verplaatsen wordt potentiële energie genoemd. We kunnen de potentiële energie definiëren als de arbeid die nodig is om een object van plaats A naar B te verplaatsen verricht door een kracht F: ˆ2 1 F d r U1 U 2

16 16 jan dezider kees koomen-majernik Limitaties van de Newtoniaanse mechanica In dit hoofdstuk hebben we concepten als positie, tijd, impuls, momentum en energie geïntroduceerd. We hebben aangenomen dat ze allemaal meetbare kwantiteiten zijn die gemeten kunnen worden met speciale instrumenten. Deze formules zijn getest op allerlei macroscopische objecten en zijn bewezen dat ze kloppen. Maar wanneer we een meting willen uitvoeren op microscopische schaal dan ondervinden we een bepaald limiet van nauwkeurigheid in de meetresultaten. 1 Men zou bijvoorbeeld de plek van een elektron kunnen meten door een foton op het elektron te botsen, maar we kunnen de plaats van dit elektron niet exact meten vanwege de onzekerheid σ x die veroorzaakt wordt door de golflengte van het foton. Doordat we een meting proberen te verrichten door het elektron te beschieten met een foton veranderen we de toestand van het elektron, omdat tijdens de botsing tussen het elektron en het foton een impuls wordt overgedragen van het foton aan het elektron. De standaardafwijking van de onbekende hoeveelheid impuls die overgedragen wordt, wordt aangeduid met σ p. Het product σ x σ p is een maat in hoeverre men de plaats en de impuls van een deeltje tegelijkertijd kan meten. In 1927 werd aangetoond dat het product van σ x σ p groter moest zijn dan een specifieke minimum waarde. De minimum waarde voor σ x σ p is ongeveer Js. Dit is een extreme kleine waarde voor het beschrijven macroscopische objecten. Dus dat betekend dat het geen enkel probleem is om objecten op laboratorium schaal de positie en de impuls tegelijkertijd te meten. Dat betekend dat Newtoniaans mechanica niet toegepast kan worden op subatomaire deeltjes. Hiervoor moest een nieuwe natuurkundige theorie opgesteld worden: de kwantummechanica. Een ander probleem met Newtoniaanse mechanica is het concept van de tijd. Tijd is volgens de Newtoniaanse mechanica een absolute begrip. Volgens de Newtoniaanse mechanica is het mogelijk om exact te kunnen bepalen of twee gebeurtenissen tegelijkertijd hebben plaatsgevonden of de een na de ander. Dat betekend dat informatie met een oneindige snelheid reist, maar dit is onjuist. Interacties tussen objecten planten zich voor met een eindige snelheid. De maximum snelheid waarmee informatie zich kan voortplanten is de snelheid van het licht in vacuüm: c = m/s. Dit leidde allemaal tot de conclusie dat tijd juist geen absolute eenheid is en dat tijd en ruimte een verband met elkaar hebben. De theorie die de oplossing biedt voor dit probleem is de speciale relativiteitstheorie. 1 We nemen aan dat de meetapparatuur oneindig nauwkeurig is.

17 Elektromagnetisme Introductie Elektromagnetisme is de tak van de natuurkunde die zich bezig houdt met het verklaren van de krachten tussen elektrisch geladen deeltjes. Deze krachten worden beschreven door middel van elektromagnetische velden. De elektromagnetische kracht is een van de vier fundamentele natuurkrachten die er in dit universum bestaan en wordt veroorzaakt door de ijkboson het foton. Veel krachten die men regelmatig voelt zijn er aan te danken. Bijvoorbeeld: je zakt niet door een vloer als deze de kracht erop kan verdragen. Deze ontstaat doordat atomen in het materiaal zich verzetten tegen verplaatsing uit hun evenwichtsstand. In dit hoofdstuk zullen we de vier vergelijkingen van Maxwell beschrijven en bewijzen. De Wet van Ohm, Gauss, Coulomb, Faraday, Ampere, Biot-Savart en de Wet van Kirchhoff zijn allemaal speciale gevallen van de Wetten van Maxwell. Elektrostatische velden De Wet van Coulomb De Franse kolonel Charles-Augustin de Coulomb voerde rond 1770 een serie experimenten uit om kwantitatief de kracht te bepalen van twee elektrisch geladen objecten. De wet die hieruit voortkwam heet de Wet van Coulomb die stelt dat de kracht tussen twee kleine objecten die van elkaar verwijderd zijn omgekeerd kwadratisch evenredig is met de afstand. F = k Q 1Q 2 R 2 waar Q 1 en Q 2 de positieve en negatieve ladingen zijn van de twee objecten, R de afstand is tussen de twee objecten en k een constante is. De constante k is k = 1 4πɛ 0

18 18 jan dezider kees koomen-majernik waar ɛ 0 de permittiviteit van het vacuum is en gemeten wordt in Farads per meter F/m, ɛ 0 = = 1 36π 10 9 F/m (3) De Wet van Coulomb wordt dan F = Q 1Q 2 4πɛ 0 R 2 We kunnen de Wet van Coulomb ook in vectorvorm schrijven. Laten we r 1 de vector zijn die de plaats aangeeft waar de lading Q 1 bevind en r 2 voor Q 2. De afstand tussen de twee vectoren is dus R12 = r 2 r 1. De wet van Coulomb in vectorvorm wordt dan waar a 12 de eenheidsvector is, oftewel Q F = 1 Q 2 4πɛ 0 R 2 a 12 (4) 12 a 12 = R 12 = r 2 r 1 R12 r 2 r 1 Elektrische veldsterkte Stel dat we één lading onbeweegbaar maken, bijvoorbeeld Q 1, en we brengen een andere lading Q 2 in het elektrische veld van lading Q 1. De lading Q 2 zal overal een kracht ervaren dus is er sprake van een kracht veld. De lading Q 2 noemen we voor het gemak de testlading Q t. De kracht op deze testlading wordt gegeven door de Wet van Coulomb. Q F = 1 Q t 4πɛ 0 R 2 12 We herschrijven deze formule zodat we als eenheid kracht per lading krijgen. a 12 F Q = 1 Q t 4πɛ 0 R 2 a 12 (5) 12 Het rechter lid van formule (5) is een functie van Q 1 en de afstand tussen de testlading en Q 1. Deze formule beschrijft een vectorveld en wordt de elektrische veldsterkte genoemd. We definiëren de elektrische veldsterkte als een kracht vector per testlading met als grootheid E E = F Q

19 inleiding tot de kwantummechanica 19 Distributie van ladingen Stel we hebben een gebied in de ruimte dat geladen is met een enorme hoeveelheid aan aparte ladingen die van elkaar gescheiden zijn met een relatief kleine afstand. Ondanks de ladingsverdeling discreet is, mag men een continu model toepassen waarbij de distributie van ladingen wordt beschreven door de ladingsdichtheid. We noteren de ladingsdichtheid met ρ v en heeft als eenheid coulombs per meter C/m 3. De minuscule lading Q in een minuscule volume v is Q = ρ v v waar we ρ v mogen definiëren als een limiet Q ρ v = lim v 0 v Dus de totale lading over een eindig oppervlak kan berekend worden door te integreren over dat volume ˆ Q = ρ dv De incrementele bijdrage aan de elektrische veldsterkte in r gevormd door een incrementele lading Q op r kan dan worden berekend door E(r) = ˆ vol vol ρ v ( r )dv 4πɛ 0 r r 2 r r r r

20 20 jan dezider kees koomen-majernik Elektrische flux Rond 1937 raakte de directeur van de Royal Society in Londen Michael Faraday zeer geïnteresseerd in statische elektrische velden en de effecten van verschillende isolatoren op elektrische velden. Deze vraag viel hem lastig tijdens de tien jaar dat hij bezig was met het onderzoeken van inductiespanningen. Toen hij klaar was met zijn experimenten over inductiespanning bouwde hij een opstelling om de effecten van elektrische velden nader te bestuderen. Hij construeerde twee metalen bollen waarvan de één kleiner was dan de andere zodat de kleinere bol binnen in de grotere bol paste, zie figuur 1. De ruimte tussen de kleine en de grote bol vulde hij op met een isolator (ook wel een diëlektricum genoemd). We nemen aan de de isolatoren die hij gebruikt ideale isolatoren waren. Zijn experiment bestond hoofdzakelijk uit de volgende stappen: 1. De binnenste binnenste bol werd een bekende positieve lading gegeven. Figuur 1: Aangepast van Engineering Electromagnetics (p. 55), door William H. Hayt, Jr, John A. Buck, 2000, Atlanta: McGraw-Hill Science. 2. De buitenste bol werd er omheen gemonteerd met de diëlektricum ertussen. 3. De buitenste bol werd voor een korte tijd ontladen door het te verbinden met de aarde. 4. De buitenste bol werd voorzichtig gedemonteerd en de lading werd nauwkeurig gemeten op de bollen. Faraday kwam erachter dat de totale lading op de buitenste bol even groot is als de binnenste bol ongeacht welk diëlektricum er gebruikt werd. Hij concludeerde dat er sprake was van een soort van verplaatsing van de binnenste bol naar de buitenste die onafhankelijk was van het soort medium dat er gebruikt werd, men noemt deze verplaatsing de elektrische flux. De Wet van Gauss Het resultaat van het experiment van Faraday kan gezien worden als een wet die luidt dat de elektrische flux dat door een denkbeeldige bolvormig oppervlak heen gaat gelijk is aan de lading die omsloten wordt door dat denkbeeldige oppervlak. De fluxdichtheid veranderd naarmate het denkbeeldig bolvormig oppervlak verder van de bronlading verwijderd maar de lading van het denkbeeldige oppervlak is gelijk aan de bronlading. Als de totale lading Q is dan zal er ook een elektrische flux van Q coulombs door het omsluitende oppervlak gaan. Op elk punt van het oppervlak zal er een elektrische flux dichtheid DA heersen waarbij de subscript A er ons aan herinnerd dat D berekend moet worden aan het oppervlak.

21 inleiding tot de kwantummechanica 21 Laten we ons een klein stukje A van de totale oppervlakte voorstellen. A heeft een bepaalde plek in de ruimte waardoor en bepaalde flux doorheen gaat. De enige unieke richting die kan worden geassocieerd met A is de richting die normaal op het gekozen oppervlakte staat, zie figuur 2 Beschouw op een willekeurig punt P een klein oppervlakte A en laat DA een hoek θ maken met A zoals te zien is in figuur 2. De flux die door A heen gaat is het product van de normale component van D O en A, Figuur 2: Overgenomen van Engineering Electromagnetics (p. 58), door William H. Hayt, Jr, John A. Buck, 2000, Atlanta: McGraw-Hill Science. Φ = f lux die door A gaat = D A,normaal = D A A cos θ A = DA A ook wel het inwendig product genoemd. Om de totale flux te berekenen die door gehele oppervlakte gaat moeten we DA A van al die kleine oppervlakte elementen bij elkaar optellen. Omdat van DA het inwendig product genomen moet worden met A en opgeteld moet worden totdat je de gehele oppervlakte gehad heb kunnen we dit herschrijven tot een integraal. Φ = D A d A? = Q A We kunnen heel gemakkelijk bewijzen dat A D A d A gelijk moet zijn aan Q door de integraal uit te werken waarbij D = voor een bol en D = ɛ0 E. En voor A E A d A wordt het dan Dus de Wet van Gauss is Φ = A A ( ) D A d A Q ( = 4πr 2 4πr 2) = Q Q 4πr 2 ( ) EA d A Q ( = 4πɛ 0 r 2 4πr 2) = Q A E d A = Q ɛ 0 ɛ 0

22 22 jan dezider kees koomen-majernik Wet van Gauss in differentiële vorm De eerste Wet van Gauss, ook wel de eerste Wet van Maxwell genoemd, kan ook in differentiële vorm geschreven worden. De vier vergelijkingen van Maxwell vormen de basis van de elektromagnetische theorie. Laten we een punt P voorstellen in cartesische het coördinatenstelsel. De waarde van D op het punt P kan uitgedrukt worden in de x, y, en z componenten, D0 = D x0 a x + D y0 a y + D z0 a z, zoals te zien is op afbeelding 3. Wij kiezen een vierkant om punt P heen als een gesloten oppervlakte met als zijden x, y en z waar we de Wet van Gauss op gaan toepassen, A D d A = Q Figuur 3: Overgenomen van Engineering Electromagnetics (p. 67), door William H. Hayt, Jr, John A. Buck, 2000, Atlanta: McGraw-Hill Science. Om de integraal te kunnen nemen over een vierkant moeten we de integraal opsplitsen in zes aparte integralen, één voor elke zijde, A D d A = ˆ voor ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ achter links rechts boven onder Laten we de eerste integraal uitwerken. Aangezien hot oppervlakteelement heel klein is kunnen we zeggen dat D vrijwel constant is op dit oppervlakte-element dus, ˆ voor = Dvoor Avoor = Dvoor y z a x = D x,voor y z waar we alleen de waarde van Dx moeten benaderen. De voorzijde is x 2 van P verwijderd dus, D x,voor = D x0 + x snelheid van verandering van D tot x 2 = D x0 + x D x 2 x waar D x0 de waarde van D x is op met punt P. We gebruiken een partiële afgeleide, omdat de verandering van D ook afhangt van x, y, en z. We hebben nu ˆ voor ( = D x0 + x 2 ) D x y z x

23 inleiding tot de kwantummechanica 23 Beschouw nu de integraal voor de achterkant. ˆ = Dachter Aachter waar achter = Dachter ( y z a x ) = D x,voor y z wat geeft ˆ voor D x,achter = D x0 x D x 2 x ( = D x0 + x 2 ) D x y z x Als we deze twee integralen combineren krijgen we ˆ voor ˆ + = D x achter x x y z Dit kunnen we ook doen voor de andere zijden en ˆ ˆ rechts boven ˆ + = D y links y x y z ˆ + = D z onder z x y z Wanneer we dit combineren krijgen we ofwel A A ( D d A Dx = x + D y y + D ) z x y z z ( D d A Dx = Q = x + D y y + D ) z v z Deze uitdrukking is een benadering die beter wordt als v nul nadert. De Wet van Gauss voor een gesloten oppervlak v geeft ons een benadering die stelt dat ( Lading omsloten door v = Dx x + D y y + D ) z volume v (6) z

24 24 jan dezider kees koomen-majernik Divergentie Vergelijking (6) geeft een benadering voor de Wet van Gauss. We zouden een exacte relatie kunnen krijgen voor de Wet van Gauss door v naar nul te laten gaan. Vergelijking (6) wordt dan of als een limiet ( Dx x + D y y + D ) z A D = d A = Q z v v ( Dx x + D y y + D ) z A D = lim d A Q = lim z v 0 v v 0 v Het is duidelijk dat de laatste term de ladingsdichtheid ρ v voorstelt, dus ( Dx x + D y y + D ) z A D = lim d A = ρ v z v 0 v Deze vergelijking bevat te veel informatie om in een keer te bespreken, daarom splitsen we ze op en bespreken we ze afzonderlijk. ( Dx x + D y y + D ) z A D = lim d A z v 0 v (7) ( Dx x + D y y + D ) z = ρ v (8) z We bespreken vergelijking (8) in de volgende paragraaf. Bij vergelijking (7) is er nog geen sprake van ladingsdichtheid. De methode die hierboven is uitgelegd had op elke willekeurige vector B toegepast kunnen worden. Dit lijdt tot de algemene vergelijking ( Bx x + B y y + B ) z = lim A B d A z v 0 v waar B een snelheid, temperatuur gradiënt, kracht of een andere vector veld. Omdat deze operatie voor vaak voorkomt heeft deze een eigen naam gekregen, divergentie. De divergentie van B wordt gedefinieerd als div B = lim A B d A v 0 v en wordt meestal afgekort als div B. De natuurkundige interpretatie van de divergentie van een vectorveld hangt af van de operaties die aan het rechter lid van vergelijking (9) uitgevoerd worden. Laten we nu B beschouwen als een vector van de fluxdichtheid familie om de fysische interpretatie makkelijker te maken. (9)

25 inleiding tot de kwantummechanica 25 De divergentie van een fluxdichtheid vector B is de uitstroom van flux uit een klein gesloten oppervlak per volume eenheid als het volume naar nul gaat. Bijvoorbeeld, laten we eens gaan kijken naar de divergentie van de snelheid van water nadat de kraan geopend is. De netto uitstroom van het water door een gesloten oppervlak moet gelijk zijn aan nul omdat de instroom en de uitstroom aan elkaar gelijk zijn. Vandaar dat de divergentie van de snelheid gelijk is aan nul. Echter, indien we de divergentie nemen van de luchtsnelheid van een zojuist geperforeerde fietsband is deze groter dan nul omdat de lucht in de band uitzet naarmate de druk in de band daalt. De eerste vergelijking van Maxwell We kunnen met de kennis van de vorige paragrafen de Wet van Gauss in differentiële vorm schrijven div D = lim A D d A = Q v 0 v v (10) div D = D = ρv (11) waarbij als de del operator gedefinieerd wordt. = x a x + y a y + z a z Wanneer we Q delen door een volume v krijgen we vanzelfsprekend de ladingsdichtheid. Dit is de eerste vergelijking van de vier vergelijkingen van Maxwell die elektrische en stationaire magnetische velden beschrijven. Uit deze vergelijking kan opgemaakt worden dat de elektrische flux die door een volume v heen gaat exact het zelfde is aan de ladingsdichtheid in dat volume v.

26 26 jan dezider kees koomen-majernik Stoom, geleiders en weerstand Stroom en stroomdichtheid Als elektrische ladingen in beweging zijn, dan is er sprake van stroom. De eenheid van stroom is ampère (A) die gedefinieerd wordt als de hoeveelheid lading die per tijdseenheid in een punt stromen. Stroom wordt aangegeven door het symbool I, dus I = dq dt In de veldtheorie is men meestal geïnteresseerd in gebeurtenissen op een bepaald punt dan op een groot oppervlak. De stroom die door een punt heen gaat kunnen we herschrijven als een product van een zogeheten stroomdichtheid, die gemeten word in ampère per vierkante meter (I/m 2 ). Stroomdichtheid is een vector die aangeduid wordt met J. De stroom I die normaal door een heel klein oppervlakte S gaat is Figuur 4: Overgenomen van Engineering Electromagnetics (p. 121), door William H. Hayt, Jr, John A. Buck, 2000, Atlanta: McGraw-Hill Science. I = J N S De totale stroom kan verkregen worden door te integreren over het oppervlak. ˆ I = J ds S Stroomdichtheid is gerelateerd worden aan de snelheid van de stroomdichtheid volume op een bepaald punt. Beschouw een ladingselement Q = ρ v v = ρ v S L, zoals te zien is op afbeelding 4a. In een tijdinterval t heeft de lading een afstand van x afgelegd zoals te zien is op afbeelding 4b. De stroom is dan I = Q t = ρ v S x t Als we het limiet nemen met respect tot de tijd krijgen we I = ρ v S v x waar v x voor de snelheid in de richting van de x-as is. Dus in het algemeen kunnen we zeggen, in termen van stroom dichtheid J = ρv v (12)

27 De laatste vergelijking laat heel goed zien dat een lading in beweging een stroom veroorzaakt. Een goede analogie voor stroomdichtheid is een tunnel waar auto s doorheen rijden. De dichtheid van auto s door de tunnel kan worden verhoogt worden door de auto s sneller te laten rijden of door meer auto s per vierkante meter te laten rijden. inleiding tot de kwantummechanica 27

28 28 jan dezider kees koomen-majernik Metalen geleiders In de natuurkunde beschrijft men het gedrag van elektronen die om de nucleus heen bewegen in termen van totale energie van het elektron. De totale energie van het elektron is de som van de potentiële energie en de kinetische energie. Volgens de kwantummechanica bestaan er alleen bepaalde energielagen waar het elektron in zich kan bevinden als het om de nucleus heen "beweegt". Dat betekent dat een elektron alleen een bepaalde hoeveelheid aan energie kan absorberen en emitteren, ook wel kwanta genoemd, om naar een ander energie niveau te kunnen gaan. In een vaste kristallijne stof, zoals een metaal of een diamant, zitten de atomen dicht bij elkaar, dus er zijn meer elektronen beschikbaar en kunnen verschillen energie niveaus bezet worden. Bij een temperatuur van -273,15 graden Celsius zijn alle energie niveaus in het atoom netjes in volgorde bezet door elektronen. De elektronen met de hoogste hoeveelheid aan energie worden valentie elektronen genoemd en bevinden zich in de valentie band. Als er hogere energie niveaus zijn toegestaan in de valentie band of als er een geleiding band dicht tegen de valentie band aan zit kunnen elektronen onder invloed van een veld gaan stromen door de vaste stof, zoals te zien is in afbeelding 5a Dit wordt elektrische geleiding van metalen genoemd. Maar als de de hoeveelheid energie die nodig is om van de valentie band naar de geleidingsband erg hoog is om van de elektron in de geleidingsband te verplaatsen dan is de stof een isolator. Zie afbeelding 5b Als de energie gap tussen de valentie band en de geleidingsband niet al te groot maar niet al te klein is zoals te zien in de afbeelding is er sprake van een halfgeleider die onder speciale omstandigheden stroom kan geleiden zoals onder invloed van hitte. Deze stoffen worden halfgeleiders genoemd, afbeelding 5c Figuur 5: Overgenomen van Engineering Electromagnetics (p. 125), door William H. Hayt, Jr, John A. Buck, 2000, Atlanta: McGraw-Hill Science.

29 inleiding tot de kwantummechanica 29 Beschouw een geleider waar de elektronen bewegen onder invloed van een elektrisch veld. Onder invloed van een veld E zal een elektron een kracht ondervinden. F = e E Een elektron zou in de ruimte continu versnellen, maar in de kristallijne stof zal het elektron voortdurend botsen tegen atomen waardoor een gemiddelde maximale snelheid behaalt wordt. Deze gemiddelde maximale snelheid v d wordt de drift snelheid genoemd en is evenredig met elektrische veld met een constante µ die de mobiliteit van het elektron aanduidt in de stof. Dus v d = µ E (13) Uit deze vergelijking kunnen we opmaken dat de snelheid van het elektron in een andere richting is dan de richting van het elektrische veld. Vergelijking (12) laat ook zien dat de mobiliteit gemeten wordt in de eenheid vierkante meter per voltseconde; voor aluminium is deze waarde , voor koper en voor zilver. Wanneer we vergelijking (13) in vergelijking (12) substitueren krijgen we J = ρe µ e E (14) waar ρ e de elektronen ladingsdichtheid is. De totale ladingsdichtheid ρ v is nul omdat er evenveel positieve als negatieve deeltjes in het neutrale materiaal bevinden. De relatie tussen J en E voor een metalen geleider is ook een evenredig verband met de constante σ die de elektrische geleiding aangeeft. J = σ E (15) waar σ gemeten wordt in siemens per meter (S/m). De geleiding is eigenlijk een functie van de temperatuur. De weerstand, wat de omgekeerde is van de geleiding, varieert lineair wanneer de temperatuur rond de kamertemperatuur bevindt. Als we vergelijking (15) en (18) combineren zien we dat de geleiding een product is van ladingsdichtheid en de mobiliteit van de elektronen. σ = ρ e µ e

30 30 jan dezider kees koomen-majernik Vergelijking (15) wordt ook wel De Wet van Ohm in punt vorm genoemd. We kunnen de Wet van Ohm herschrijven die van toepassing is op macroscopische schaal. Laten we aannemen dat J en E homogeen zijn, zoals te zien is in het cilindrische gebied in figuur 6. Omdat ze uniform zijn is ˆ I = J da = J A S De potentiële energie is de integraal van de kracht over de afstand oftewel V ab = ˆ a b E d L = E Lba V = E L Figuur 6: Overgenomen van Engineering Electromagnetics (p. 127), door William H. Hayt, Jr, John A. Buck, 2000, Atlanta: McGraw-Hill Science. Dus J = I A = σe = σ V L oftewel V = L σa I De verhouding van het potentiaalverschil tussen de twee uiteinden van de cilinder wordt de weerstand genoemd dus waar V = I R (16) R = L σa (17)

31 inleiding tot de kwantummechanica 31 Magnetisme De Lorentzkracht Als er stroom door een metaal wordt gestuurd dan zullen alleen de elektronen in het metaal bewegen. De positieve nucleus blijft op zijn plek. De elektronen gaan bijna met de snelheid van het licht door de het metaal wat betekend dat er relativistische effecten optreden. Beschouw een metalen draad zoals te zien is in afbeelding 7. De zwarte stippen stellen de elektronen voor die naar links bewegen met een drift snelheid van v 0. Om het niet al te complex te maken beschouwen we L lab de afstand tussen de elektronen die overal uniform is. Het draad is elektrisch neutraal en als de lading q niet beweegt zal het ook geen aantrekkingskracht voelen naar de draad toe. Maar als de lading q gaat bewegen met een snelheid v dan zal er lengtecontractie optreden waarbij het lijkt voor de landing q alsof de afstand tussen de elektronen kleiner wordt, terwijl de afstand tussen de positieve nuclei het zelfde blijft toen de lading q stil stond. De lading q zal dan een aantrekkingskracht voelen richting de draad. Dit wordt de magnetische kracht genoemd. De lading q zal een bepaalde elektrische veldsterkte voelen wanneer het zich verplaatst met een snelheid v. De elektrische veldsterkte in een draad wordt gegeven door Figuur 7: DoctorPhys. (2011, augustus 31). D2. The Magnetic Field [Video file]. Geraadpleegd op E = 1 2πr waarbij ρ de ladingsdichtheid is in het draad. In dit geval is er sprake van twee lijnen van ladingen namelijk de lijn van de bewegende elektronen en de positieve lijn van lading van de nuclei. De elektrische veldsterkte die de lading q voelt in het K frame is ρ ɛ 0 E = 1 ρ ρ + > 0 (18) 2πr ɛ 0 en de vector E = E ĵ omdat de aantrekking loodrecht op de draad staat. In dit geval zijn er drie verschillende referentiekaders namelijk: Referentiekader K: is het laboratorium frame waarbij men als ware naar de opstelling kijkt en stilstaat relatief tot de opstelling. Referentiekader K : is het frame dat meebeweegt met de lading q met een snelheid v. Referentiekader K : is het frame dat meebeweegt met de elektronen met een snelheid v 0.

32 32 jan dezider kees koomen-majernik De lading q "ziet" de positieve ladingen naar links bewegen met een snelheid van β = v c en ziet de negatieve ladingen bewegen met een snelheid van β T = v T c. De snelheid β T kan berekend worden door de de snelheden v en v 0 relativistisch op te tellen. β T = β 0 + β 1 + β 0 β (19) De ladingsdichtheid wordt berekend door de formule ρ = Q L waarbij L de afstand is tussen twee ladingen in. In het laboratorium frame nemen we waar elke lading Q met een lengte L lab van elkaar Q L lab verwijderd is. De lading van de draad is in de laboratorium frame neutraal omdat er evenveel positieve ladingen als negatieve ladingen bevinden. In de K is de separatie tussen de ladingen L. Om de elektrische veldsterkte te kunnen berekenen hebben we de waarden voor ρ en ρ + nodig die bepaald kunnen worden door de formule voor lengtecontractie. Gezien vanuit het K frame wordt de lengtecontractie voor de positieve deeltjes gegeven door L + = L lab 1 β 2 en voor de elektronen wordt deze gegeven door dus L = L 1 β 2 ρ = Q L 1 β 2 T en ρ + = Q L lab 1 β 2 De elektrische veldsterkte gezien uit het K frame wordt E = 1 Q 2πrɛ 0 L 1 β 2 T Q L lab 1 β 2 We willen de L kwijt zien te krijgen omdat we alles meten in het laboratorium frame. Gezien uit de laboratorium frame is de lengtecontractie tussen de electronen We substitueren 1 1 β 2 L = 0 L lab E = 1 2πrɛ 0 L lab = L 1 β 2 0 Q L lab in de vergelijking van E wat geeft 1 β β 2 T 1 (20) 1 β 2

33 inleiding tot de kwantummechanica 33 Als we β T uitschrijven krijgen we E = 1 2πrɛ 0 Q L lab 1 1 β 2 0 ( β0 +β 1+β 0 β 1 ) 2 1 β 2 De vergelijking lijkt er niet makkelijker op, maar we zullen later zien dat er heel veel termen tegen elkaar kunnen weg strepen. Laten we eerst 1 β 2 T herschrijven en daarna dit in vergelijking (20) substitueren en herleiden. 1 1 ( ) β0 + β β 0 β + β 2 0 = β2 β 2 0 2β 0β β β 0 β (1 + β 0 β) 2 ( ) 1 β 2 0 (1 β 2 ) ( ) β0 + β β 2 0 = β2 β 0 β β 0 β (1 + β 0 β) 2 = E = 1 2πrɛ 0 Q L lab E = 1 2πrɛ 0 (1 + β 0 β) 2 (1 + β 0β) 1 β (1 ) β 2 0 (1 β 2 ) 1 β 2 Q L lab ( ) (1 + β 0 β) (1 β 2 ) 1 1 β 2 E = 1 Q 2πrɛ 0 L ((1 + β lab 1 β 2 0β) 1) E = 1 Q 2πrɛ 0 L β lab 1 β 2 0β De kracht op het elektron in y richting is F y = qe = q Q 2πrɛ 0 L β lab 1 β 2 0β Hou er rekening mee dat dit een kracht is in de richting van de y- as. Alle referentiekaders bewegen in de richting van de x-as dus dat betekend dat de y-component van de impuls geen relativistische effecten ondervindt. F y = dp y dt en F y = dp y dt

34 34 jan dezider kees koomen-majernik Dit geldt echter niet voor de tijd. Er treedt namelijk tijd dilatatie op dt = dt 1 β 2 wat we kunnen herschrijven tot dt = 1 β 2 dt. Wanneer we dit in de vergelijking F y = dp y dt substitueren krijgen we F y = dp y dt = 1 dp y 1 β 2 dt Dus in het laboratorium frame krijgen we = F y 1 β 2 F y = qe = q Q β 0 β 2πrɛ 0 L lab F y = qe = q Q v o v 2πrɛ 0 L lab c c F y = q ( ) ( ) 1 Q 2πr ɛ 0 c 2 v 0 v L lab ( ) ( ) De term 1 wordt ook wel gedefinieerd als 1 µ ɛ 0 c 2 ɛ 0 c 2 0 waar µ 0 de magnetische permeabiliteit van het vacuüm voorstelt. De (absolute) permeabiliteit µ van een medium is de mate waarin het medium een magnetisch veld geleidt. Letterlijk betekent de magnetische doordringbaarheid. De volgende groep omdat v 0 = L lab t dus Q L v lab 0 = dan F y = q ( ) Q 2πr µ 0 v 0 v L lab ( ) Q L v lab 0 is niks anders dan de elektrische stroom Q L lab L lab t = Q t = I. Dus de formule wordt F y = qv µ 0I 2πr Het product qv beschrijft de eigenschap van de bewegende lading zoals te zien is in afbeelding 7. Het product µ 0 I 2πr heeft betrekking op een externe krachtveld. Dit veld wordt het magnetische veld genoemd en wordt aangeduid met de letter B. De grootte van de kracht is B = µ 0I 2πr F y = qvb

35 inleiding tot de kwantummechanica 35 Maar de kracht F y heeft een bepaalde richting namelijk naar de draad toe dus Fy = qvb ĵ waarbij B = µ 0 I 2πr ˆθ en v = v î in de richting van de x-as zijn zoals the zien is in afbeelding 8. We kunnen hier het kruisproduct toepassen om de kracht F uit te drukken F = q v B Figuur 8: DoctorPhys. (2011, augustus 31). D2. The Magnetic Field [Video file]. Geraadpleegd op waar B = µ 0 I 2πr ˆθ De algemene wet die magnetische en elektrische velden beschrijft wordt de Wet van Lorentz genoemd. F = q E + q v B We kunnen net als bij de Wet van Gauss een denkbeeldige lijn om de draad denken 2 en het hele proces wat we bij de Wet van Gauss gedaan hebben uitvoeren maar dan nu van achter naar voren. Wat we krijgen als we de integraal uitwerken is de Wet van Ampère. 2 Bij de Wet van Gauss wordt er een denkbeeldige oppervlakte genomen maar nu nemen we een denkbeeldige lijn en volgen het zelfde proces als bij het uitwerken van de Wet van Gauss. B = µ 0I 2πr,B (2πr) = µ 0 I, B d l = µ0 I De Wet van Ampère is B dl = µ0 I Omdat bij een een magnetisch veld de veldlijnen altijd terug keren naar de bron kunnen we zeggen dat B da = 0

36 36 jan dezider kees koomen-majernik De Wet van Faraday De Wet van Faraday luidt als volgt E d l = dφ B dt waar Φ B de magnetische flux is. De magnetische flux kan berekend worden door het magnetische veld te vermenigvuldigen met de oppervlakte waar het magnetische veld door heen penetreert, dus Φ B = BA. We gaan deze wet proberen af te lijden door middel van afbeelding 9. In de afbeelding stellen de "x"-en de magnetische veldlijnen voor die het papier in gaan. In het magnetische veld hebben we voor een deel een gesloten draad ingezet die met een snelheid v uit het magnetische veld getrokken wordt. Alleen de lading q die helemaal links in de draad is weergegeven zal een kracht ervaren die een stroom zal veroorzaken. De twee ladingen in het midden van de draad zullen niet bijdragen aan een stroom omdat deze ladingen een kracht ervaren die ze van de draad af wil "trekken". De meest linkse lading q zal in de draad gaan bewegen met een kracht F = qvb. Omdat er een inductiespanning gecreëerd wordt zal er ook een elektrisch veld gecreëerd worden. Het elektrische veld kan berekend worden met de formule E = vb aangezien F = qvb = qe. De snelheid v wordt gegeven dor Figuur 9: DoctorPhys. (2011, augustus 31). D3. Faraday s Law [Video file]. Geraadpleegd op v = dl dt waar l de lengte is van het draad dat in het magnetische veld bevind zoals te zien is in afbeelding 9. De minus voor de afgeleide is essentieel omdat l steeds kleiner zal worden. Dit geeft ons E = vb = dl dt B (21) Laten we een lijnintegraal opstellen over het elektrische veld E d l = Ew (22) Zijde l komt niet in de vorige vergelijking voor omdat de Lorentzkracht een hoek van 1/2π radialen maakt met de draad en is het inwendig product gelijk aan nul. Wanneer we vergelijking (21) in vergelijking substitueren krijgen we. E d l = dl dt Bw Maar als we het draad ook omhoog bewegen moeten we w in de afgeleide plaatsen. In ons voorbeeld is w constant maar in de gevallen w niet constant is moet het in de afgeleide staan.

37 inleiding tot de kwantummechanica 37 E d d (lw) l = B = da dt dt B Doordat we l en w in de afgeleide plaatsen, krijgen we de oppervlakte. In ons voorbeeld is B constant dus we zouden ook B in de afgeleide plaatsen. Indien B wel variabel is kunnen we het vooralsnog in de afgeleide laten, omdat het tocht het zelfde effect zal veroorzaken volgens experimenten. De Wet van Faraday wordt waar Φ B = AB E d l = dφ B dt

38 38 jan dezider kees koomen-majernik De Wet van Ampère met Maxwell zijn correctie Maxwell focuste op het feit dan een verandering in magnetische flux een elektrisch veld creëert. Maak is het andersom ook waar? Kan een verandering in een elektrisch veld een magnetisch veld opwekken? Maxwell heeft uitgevonden dat dit mogelijk is. Maar voordat we naar Maxwell zijn correctie op de Wet van Ampère gaan kijken, herhalen we de Wet van Gauss op een oneindig grootte plaat met een ladingsdichtheid σ. We stellen ons een vierkant volume voor die een deel van de plaat omsluit zoals te zien is in afbeelding 10. We passen de Wet van Gauss toe op het het denkbeeldige oppervlak waar Q de lading is van de plaat E da Q = ɛ 0 Het elektrische veld is omhoog gericht aan de boven kant van de plaat en naar beneden gericht op de onderkant van de plaat, dus kunnen we zeggen Figuur 10: dus E is dan E beneden A + E boven A = σa ɛ 0 E = σ 2ɛ 0 Deze zullen we later nodig hebben voor de afleiding. Om de laatste vergelijking van Maxwell af te leiden maken we gebruik van een condensator zoals te zien is in afbeelding 11. Een condensator is een elektrische component die een lading kan opslaan. De stroom I gaat naar één van de platen die het circuit onderbreekt. Omdat de stroom niet verder kan lopen zal de lading op de platen steeds groter worden. Het elektrische veld wordt dus dan ook steeds groter op de plaat. We weten dat volgens de Wet van Ampère B dl = µ0 I dat er rond de draad een magnetische veld gecreëerd wordt maar Maxwell vroeg zich af wordt er ook een magnetisch veld opgewekt tussen de platen waar geen draad is? Kan een verandering in het elektrische veld een magnetisch veld opwekken? Figuur 11: Figuur 10 & 11. DoctorPhys. (2011, augustus 31). D4. The Displacement Current [Video file]. Geraadpleegd op PQ0 Op elke plaat in de condensator kan je de elektrische veldsterkte berekenen. Dat is de formule die we zojuist opgesteld hebben. E = σ 2ɛ 0 Doordat de ene plaat positief geladen is en de andere negatief versterken ze elkaar dus wordt het elektrische veld twee maal zo sterk dus

39 inleiding tot de kwantummechanica 39 E = σ ɛ 0 waar σ de ladingdichtheid is die geschreven kan worden als σ = Q A. Het elektrische veld veranderd in de condensator dus dφ E dt = d (EA) dt = d dt [ ] σ A = d [ ] σ A = d ɛ 0 dt ɛ 0 dt [ ] Q ɛ 0 = I ɛ 0 Laten we zeggen dat de ook een magnetische veld heerst buiten de platen, dan geld de Wet van Ampère hier ook B dl = µ0 I. In deze vergelijking staat er aan het rechte lid de term µ 0 I maar wij hebben dφ E dt = ɛ I 0 verkregen. We kunnen dφ E dt = ɛ I 0 met µ 0 ɛ 0 vermenigvuldigen om toch µ 0 I te verkrijgen µ 0 ɛ 0 dφ E dt = I ɛ 0 µ 0 ɛ 0 = µ 0 I Dit moeten we toevoegen aan de Wet van Ampère wat geeft B dl = µ0 I + µ 0 ɛ 0 dφ E dt

40 40 jan dezider kees koomen-majernik De vier vergelijkingen van Maxwell, de Lorentzkracht en de Wet van Ohm E d A = Q ɛ 0 B d A = 0 E = ρ ɛ 0 B = 0 B dl = µ0 I + µ 0 ɛ 0 dφ E dt B = µ0 J + µ0 ɛ 0 E t E d l = dφ B dt F = q ( E + v B ) E = B t V = I L σa

41 Kwantummechanica Introductie I n tegenstelling tot de Newtoniaanse mechanica, Maxwell zijn theorie over elektrodynamica of Einstein zijn theorie over relativiteit is de kwantummechanica niet door één persoon ontdekt, sterker nog het herinnert men eraan aan de traumatische jeugd die de kwantummechanica onderging. Elke wetenschapper kan kwantummechanica "doen", maar waarom de deeltjes zo gedragen die met behulp van de vergelijkingen in de kwantummechanica beschreven worden begrijpt niemand goed. Een bekende pionier op het gebied van kwantummechanica was Richard Feynman die zei: "I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics." De kwantumtheorie benaderd de werkelijkheid op een hele andere manier dan dat de klassieke mechanica. De klassieke mechanica gaat er vanuit dat er een waarnemer-onafhankelijke werkelijkheid is en dat natuurkundige grootheden continue variabelen zijn die in elke gewenste combinatie gemeten kunnen worden. In de kwantumtheorie zijn de grootheden gekwantificeerd (ze variëren in stapjes) en is er geen waarnemer-onafhankelijke werkelijkheid. De keuzen die de waarnemer maakt bij het opstellen van zijn experiment bepaald in grote mate de uitkomst van het experiment, iets wat in de klassieke mechanica niet aan de orde is. Het product van de onnauwkeurigheden van de gelijktijdige metingen van twee grootheden (bijvoorbeeld plaats en impuls) heeft volgens de onzekerheidsrelatie van Heisenberg een minimale waarde. Is de ene grootheid met de grootst mogelijke nauwkeurigheid gemeten, dan is de andere onvermijdelijk geheel onbepaald en onbepaalbaar. Vanwege deze onzekerheid die er heerst op kwantumniveau doet de kwantumtheorie slechte statistische uitspraken over een reeks van waarnemingen.

42 42 jan dezider kees koomen-majernik De Schrödingervergelijking in 1-D De Schrödingervergelijking Als we een deeltje met een massa m, die beperkt wordt om alleen in de x-richting te bewegen, onderworpen is aan een kracht F(x, t) kunnen we (met behulp van de juiste initiële waarden) x(t) berekenen met behulp van de Wetten van Newton. De kwantummechanica benaderd dit probleem op een hele andere manier. Men is op zoek naar een golffunctie Ψ(x, t) van het deeltje die gevonden kan worden door het oplossen van de Schrödingervergelijking Ψ(x, t) i h = h2 2 Ψ(x, t) t 2m x 2 + V(x, t)ψ(x, t) (23) waar h de Dirac constante is. Wat is nou die golffunctie? Immers is een deeltje is altijd gelokaliseerd op een specifiek punt terwijl de golffunctie verspreid is in de ruimte. Hoe kan een deeltje beschreven worden als een golffunctie? Het antwoord op deze vraag wordt gegeven door de waarschijnlijkheidsinterpretatie van Born die stelt dat Ψ(x, t) 2 je de kans geeft om een deeltje te vinden op plaats x op tijd t, beter gezegd Ψ(x, t) 2 dx = { } kans om het deeltje te vinden tussen xen (x + dx), op tijd t. (24)

43 inleiding tot de kwantummechanica 43 Normalisatie Laten we gaan kijken naar vergelijking 24 die stelt dat de kansdichtheid voor het vinden van een deeltje op plaats x op tijd t het kwadraat is van de golffunctie. Men weet niet waar het deeltje bevindt, maar we weten wel dat het deeltje ergens zich in de ruimte moet bevinden. Dit kunnen we als volgt in een vergelijking opschrijven ˆ + Ψ(x, t) 2 dx = 1 (25) Zonder deze regel zou de statistische interpretatie onzin zijn. Deze eis zou je moeten storen, omdat immers de golffunctie wordt bepaald door de Schrödingervergelijking. Als we naar vergelijking 23 kijken zien we dat Ψ(x, t) en AΨ(x, t) oplossingen zijn waarbij A een (complexe) constante is. We moeten dus een waarde voor A vinden die voldoet aan vergelijking 25. Dit proces wordt normalisatie van de golffunctie genoemd. Voor sommige oplossingen van de Schrödingervergelijking is de integraal oneindig, in dit geval zal geen enkele constante "1" als uitkomst maken. Het zelfde geldt voor Ψ = 0. Deze oplossingen kunnen niet genormaliseerd worden en dus kunnen ze geen fysische deeltjes beschrijven. Maar wacht eens even! Stel dat we de golffunctie genormaliseerd hebben voor tijd t = 0. Hoe weet men dat de golffunctie genormaliseerd blijft als de tijd verstrekt en Ψ evolueert? Men kan de golffunctie niet blijven normaliseren want dan wordt A en functie van t en dan heb je niet langer meer een oplossing voor de Schrödingervergelijking. Gelukkig bezit de Schrödingervergelijking de eigenschap dat het deels automatisch de golffunctie normaliseert. Zonder deze cruciale functie zou de Schrödingervergelijking incompatibel zijn met de statistische interpretatie en zou de hele theorie ineenstorten. Dus laten we hier pauzeren en een bewijs leveren voor dit belangrijke punt.

44 44 jan dezider kees koomen-majernik ˆ d dt + Ψ(x, t) 2 dx = ˆ+ t Ψ(x, t) 2 dx (26) De t Ψ(x, t) 2 term kunnen we uitschrijven door middel van de productregel. t Ψ 2 = t (Ψ Ψ) = Ψ Ψ t + Ψ t Ψ De Schrödingervergelijking leert ons dat Ψ t = i h 2 Ψ 2m x 2 ī h VΨ en de complexe geconjugeerde van de Schrödingervergelijking is dan dus Ψ t = i h 2 Ψ 2m x 2 ī h VΨ t Ψ 2 = i h ( Ψ 2 Ψ 2m x 2 2 Ψ ) x 2 Ψ = [ ( i h Ψ Ψ )] x 2m x + Ψ x Ψ De integraal van vergelijking (26) kan nu uitgewerkt worden. Dit geeft ons ˆ d dt + Ψ(x, t) 2 dx = i h 2m ( Ψ Ψ ) t + Ψ + t Ψ Maar Ψ(x, t) moet de nul gaan naderen als x naar (±) oneindig gaat, want anders is de golffunctie niet normaliseerbaar en representeren ze geen deeltjes. Hieruit volgt dat ˆ d dt + Ψ(x, t) 2 dx = 0 en dus is de integraal een constante (tijdonafhankelijke). Als Ψ genormaliseerd is op t = 0, dan zal Ψ voor altijd genormaliseerd blijven. QED

45 inleiding tot de kwantummechanica 45 De tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking In de vorige paragraaf hebben we een aantal eigenschappen van de Schrödingervergelijking uitgelegd en bewezen. Laten we nu gaan kijken naar misschien de belangrijkste vraag "hoe lossen we de Schrödingervergelijking op?" We nemen aan dat de potentiële energie V onafhankelijk is van t. In dit geval kunnen we de Schrödingervergelijking oplossen door middel van scheiden van variabelen (de eerste aanval die men doet voor het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen). We zoeken oplossingen die simpele producten zijn, Ψ(x, t) = ψ(x) f (t) (27) waarbij ψ alleen een functie is van x en f alleen van t. Op het eerste gezicht lijkt dit heel absurd, want de meeste oplossingen zullen misschien niet in de vorm van twee simpele en variabel onafhankelijke producten voorkomen, maar we zullen later zien dat de oplossingen die we krijgen door middel van deze aanname hele speciale oplossingen zijn. Als eerst substitueren we (27) in de Schrödingervergelijking, dit geeft ψ(x) f (t) i h = h2 2 ψ(x) f (t) t 2m x 2 + V(x)ψ(x) f (t) Uitwerken van de afgeleiden geeft Ψ t = ψ d f dt, 2 Ψ 2 x = d2 ψ dx 2 f de Schrödingervergelijking wordt dan i hψ d f dt = h2 d 2 ψ 2m dx 2 f + Vψ f Nu deelt men beide leden door ψ f zodat het linkerlid alleen afhankelijk is van f (t) en het rechterlid alleen van ψ(x) i h 1 f d f dt = h2 1 d 2 ψ + V(x) (28) 2m ψ dx2 Het linkerlid is nu alleen een functie van t en het rechterlid is alleen een functie van x. 3 De enige manier dat vergelijking (28) waar kan zijn is als beide leden in feite een constante zijn. Wij noemen deze constante E. We zullen later zien waarom we deze constante E noemen. 3 Merk op dat dit niet het geval is als V een functie van x en t zou zijn. i h 1 f d f dt = E

46 46 jan dezider kees koomen-majernik en d f dt = iē h f (29) h2 1 d 2 ψ 2m ψ dx 2 + V(x) = E h2 d 2 ψ + V(x)ψ = Eψ (30) 2m dx2 Door de aanname te maken dat de oplossing voor de Schrödingervergelijking een product moet zijn van onafhankelijke variabelen namelijk Ψ(x, t) = ψ(x) f (t), hebben we een partiële differentiaalvergelijking omgezet in twee gewone differentiaalvergelijkingen (vergelijking 29 en 30). Differentiaalvergelijking 29 is makkelijk om op te lossen. De algemene oplossing is Ce iet h, maar we kunnen de constante C ook samenvoegen met de integratieconstante die zal opduiken bij het oplossen van vergelijking 30, omdat de uiteindelijke oplossing toch een product is van ψ en f, dus f (t) = e iet h Vergelijking 30 wordt ook de tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking genoemd. We kunnen niet verder gaan met oplossen totdat V gespecificeerd is. Nu we de Schrödingervergelijking omgezet hebben in een tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking vragen we ons af waarom deze aanname zo speciaal is, want de meeste oplossingen voor de tijdafhankelijke Schrödingervergelijking zullen niet in deze vorm ψ(x) f (t).

47 inleiding tot de kwantummechanica 47 De oplossingen voor de tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking De algemene oplossing voor de tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking is een oneindige combinatie van oplossingen (ψ 1 (x), ψ 2 (x), ψ 3 (x)...) elk met een met een daarbij behorende scheidingsconstante (E 1, E 2, E 3,... ) Ψ 1 (x, t) = ψ 1 (x)e ie 1 t h, Ψ 2 (x, t) = ψ 2 e ie 2 t h Dus elke combinatie van een oplossing (in vorm van een som) is dus ook een oplossing. Dit kunnen we in een wat meer algemene vorm opschrijven. Ψ(x, t) = c n ψ n (x)e ient h n=1 De bovenstaande formule lijkt veel op de exponentiële vorm van de Fourier series. Met behulp van de Fourier series kan men elke continue functie construeren. Dus elke oplossing voor de (tijdafhankelijke) Schrödingervergelijking kan in de bovenstaande vorm geschreven worden. Dat betekend dat het scheidden van de Schrödingervergelijking met de aanname Ψ(x, t) = ψ(x) f (t) alle oplossingen geeft. Als je de tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking hebt opgelost ben je bijna klaar. Het oplossen van de tijdsafhankelijke Schrödingervergelijking is simpel, alleen moet je E n vinden.

48 48 jan dezider kees koomen-majernik De Schrödingervergelijking in 3-D De Schrödingervergelijking in het Cartesisch coördinatenstelsel In de vorige paragraaf hebben we de Schrödingervergelijking in één dimensie beschreven en opgesplitst in twee gewone onafhankelijke differentiaal vergelijkingen, waarbij de potentiële energie alleen afhangt van de plaats. In deze paragraaf gaan we kijken naar de Schrödingervergelijking in drie dimensies. Het herschrijven van de Schrödingervergelijking in meerdere dimensies is vrij voor de hand liggend. De Schrödingervergelijking in het algemeen is i h Ψ t = ĤΨ waar de Hamiltoniaan Ĥ verkregen wordt door substitutie van operators in de klassieke vergelijking voor kinetische energie 1 2 mv2 + V = 1 ( ) p 2 x + p 2 y + p 2 z + V 2m waar het impuls p in x, y en z coördinaten in de kwantummechanica gefineerd wordt als ˆp x h i x, ˆp y h i y, ˆp z h i z oftewel p h i Dus de Schrödingervergelijking in drie dimensies is dan waar i h Ψ t = h2 2m 2 Ψ + VΨ 2 2 x y z 2 gedefinieerd wordt als de Laplaciaan in het Cartesisch coördinatenstelsel.

49 inleiding tot de kwantummechanica 49 De Schrödingervergelijking in bolcoördinaten Vaak is de formule voor de potentiële energie V alleen een functie van de afstand tot de oorsprong, dan het het vanzelfsprekend om bolcoördinaten (r, θ, φ) te gebruiken. In bolcoördinaten neemt de Laplaciaan de volgende vorm aan 2 = 1 ( r 2 r 2 ) + 1 ( dr r r 2 sin θ ) ( 1 2 ) + sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 In bolcoördinaten wordt de tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking [ ( h2 1 2m r 2 r 2 ψ ) + 1 ( dr r r 2 sin θ ψ ) 1 + sin θ θ θ r 2 sin 2 θ ( 2 )] ψ φ 2 + Vψ = Eψ (31) We gaan nu weer kijken naar oplossingen in vorm van simpele producten ψ(r, θ, φ) = R(r)Y(θ, φ) Wanneer we dit substitueren in vergelijking 31 en de afgeleiden nemen krijgen we [ ( h2 Y d 2m r 2 r 2 dr ) + R ( dr dr r 2 sin θ Y ) R + sin θ θ θ r 2 sin 2 θ Daarna delen we beide leden door R Y en vermenigvuldigen we beide leden met 2mr2 om de variabelen te kunnen scheidden. h 2 { 1 R ( d r 2 dr ) } 2mr2 dr dr h 2 [V(r) E] + 1 { 1 Y sin θ ( 2 )] Y φ 2 + V RY = E RY ( sin θ Y ) + 1 θ θ sin 2 θ De eerste term in de accolades is alleen een functie van r, terwijl de tweede term alleen een functie is van θ en φ. Dus, zoals eerder uitgelegd, elke term is gelijk gelijk aan een constante. Deze scheidingsconstante noemen we l (l + 1). We krijgen dus twee aparte differentiaalvergelijkingen { 1 1 Y sin θ ( 1 d r 2 dr ) 2mr2 R dr dr h 2 [V(r) E] = l (l + 1) (32) ( sin θ Y θ θ ) + 1 sin 2 θ ( 2 )} Y φ 2 = l (l + 1) (33) Vergelijking 32 kunnen we niet verder vereenvoudigen of oplossen totdat V(r) bepaald is. In vergelijking 33 hangt Y af van θ en φ. Deze ( 2 )} Y φ 2 = 0

50 50 jan dezider kees koomen-majernik vergelijking kunnen we, net als de vorige vergelijkingen, opsplitsen in twee gewone differentiaalvergelijkingen. We vermenigvuldigen vergelijking 33 eerst met Y sin 2 θ, dit geeft sin θ ( sin θ Y ) + θ θ ( 2 ) Y φ 2 = l (l + 1) sin 2 θy (34) Daarna gaan we de partiële differentiaalvergelijking proberen op te lossen door scheiden van variabelen: Y(θ, φ) = Θ(θ)Φ(φ) We voeren dit, in vergelijking (34) en nemen de afgeleiden en delen door Θ Φ geeft geeft ons { [ 1 sin θ d ( sin θ dθ )] } + l(l + 1) sin 2 θ + 1 d 2 Φ Θ dθ dθ Φ dφ 2 = 0 De eerste term is alleen een functie van θ en de tweede term is alleen een functie van φ, dus de termen verschillen van elkaar een constante die we m 2 noemen [ 1 sin θ d ( sin θ dθ )] + l(l + 1) sin 2 θ = m 2 (35) Θ dθ dθ 1 d 2 Φ Φ dφ 2 = m2 (36) De Schrödingervergelijking in bolcoördinaten: de azimutale vergelijking Vergelijking 36 is vrij eenvoudig om op te lossen en heeft als oplossing: 1 d 2 Φ Φ dφ 2 = m2 Φ(φ) = e imφ Als nu φ zich verplaatst met 2π dan komen we precies op het zelfde punt in de ruimte terecht waar we starten, dus dus Φ(φ + 2π) = Φ(φ) dus e im(φ+2π) = e imφ e 2πim = 1 Hieruit volgt dat m een geheel getal moet zijn. m = 0, ±1, ±2,...

51 inleiding tot de kwantummechanica 51 De Schrödingervergelijking in bolcoördinaten: de geassocieerde Legendre vergelijking Om de poolcoördinatenvergelijking (35) op te lossen moet deze herleidt worden tot de geassocieerde Legendrevergelijking. De poolcoördinatenvergelijking die we gaan oplossen is herleiden geeft [ 1 sin θ d ( sin θ dθ )] + l(l + 1) sin 2 θ = m 2 Θ dθ dθ ( 1 d sin θ dθ ) ) + (l (l + 1) m2 sin θ dθ dθ sin 2 Θ = 0 (37) θ Daarna gebruiken we de substitutie P (cos θ) = Θ(θ) en x = cos θ. De afgeleiden worden dan d dθ = dx dθ = sin θ d dx Wanneer we dit substitueren in vergelijking 37 geeft dit 1 sin θ ( sin θ) d ( sin θ ( sin θ) dp ) ) + (l (l + 1) m2 dθ dx sin 2 P = 0 θ Omdat ( d sin 2 θ dp ) ) + (l (l + 1) m2 dx dx sin 2 P = 0 θ sin 2 θ + cos 2 θ = 1 kunnen we de volgende substitutie maken wat geeft d dx sin 2 θ = 1 cos 2 θ = 1 x 2 ( ( 1 x 2) ) ) dp + (l (l + 1) m2 dx 1 x 2 P = 0 Als we de afgeleide in de eerste term uitwerken met behulp van de productregel krijg je ( 1 x 2) d 2 P dp 2x dx2 dx + ) (l (l + 1) m2 1 x 2 P = 0 Nu hebben we de poolcoördinaten vergelijking van de Schrödingervergelijking omgezet in de geassocieerde Legendrevergelijking waarvan de oplossing in de wiskundige literatuur te vinden is. De oplossing voor de geassocieerde Legendrevergelijking is

52 52 jan dezider kees koomen-majernik P m l (x) = (1 x 2) m 2 ( ) d m ( ) ( ) 1 d l ( ) l dx 2 l x 2 1 l! dx Nu we de oplossingen voor de geassocieerde Legendrevergelijking en de azimutale vergelijking hebben gevonden moeten we de normalisatiefactor vinden. Deze normalisatiefactor voor de geassocieerde Legendrevergelijking en de azimutale vergelijking samen is 2n + 1 (n m)! 4π (n + m)! dus de genormaliseerde oplossing voor vergelijking 34 is Y m n (θ, φ) = 2n + 1 (n m)! 4π (n + m)! eimφ Pl m (cos θ) (38)

53 inleiding tot de kwantummechanica 53 Het waterstof atoom De geassocieerde Laguerre vergelijking Het waterstof atoom bestaat uit een zware bewegenloze kern (die we in de oorsprong plaatsen) met een lading e waar omheen een elektron beweegt met dezelfde lading e. Tussen het elektron en het proton heerst er een elektrisch veld vanwege de lading van het proton en elektron. Deze kracht wordt beschreven door de Wet van Coulomb. Door de Wet van Coulomb te vermenigvuldigen met r krijgen we een formule voor de potentiële energie die we in de Schrödingervergelijking kunnen invullen. Vergelijking (32) leert ons dat V(r) = e2 1 4πɛ 0 r ( 1 d r 2 dr ) 2mr2 R dr dr h 2 [V(r) E] = l (l + 1) waar V(r) de potentiële is. Door de bovenstaande vergelijking te herleiden en voor V(r) de potentiële energie te substitueren krijgt men [ h2 d 2 u 2m dr 2 + e2 1 4πɛ 0 r + h2 2m ] l (l + 1) r 2 u = Eu (39) We moeten nu u(r) vinden en bepalen wat de toegestane waarden voor E zijn. Als eerste gaan we de constanten samenvoegen en maken hier één constante van om de vergelijking overzichtelijk te houden. 2mE k h Als we vergelijking (39) delen door E krijgen we (40) [ ] 1 d 2 u k 2 dr 2 = 1 me2 1 l (l + 1) 2πɛ 0 h 2 + k (kr) (kr) 2 u (41) Deze vergelijking kunnen we nog korter opschrijven door de volgende substitutie Dus vergelijking (41) wordt dan p kr, en p 0 me2 2πɛ 0 h 2 k d 2 [ u dp 2 = 1 p 0 p (42) ] l (l + 1) + p 2 u (43)

54 54 jan dezider kees koomen-majernik Laten we nu het asymptotische vorm van de oplossingen bekijken. Als p zal de term in de haakjes domineren en ongeveer gelijk zijn aan 1. Dus de vergelijking wordt dan met als algemene oplossing d 2 u dp 2 = u u(p) = Ae p + Be p maar e p zal oneindig groot worden als ρ dus B = 0, want anders is dit in strijdt met de statistische interpretatie van de golffunctie. De oplossing voor grote waarden van p is u(p) Ae p Aan de andere hand, als p 0 zal de centrifugale term domineren. De vergelijking wordt dan de algemene oplossing is d 2 u l (l + 1) = dρ2 p 2 u u(p) = Cp l+1 + Dp 1 maar de oplossing p 1 zal het oneindige naderen als p 0 dus is D = 0. De oplossing voor kleine waarden van p is u(p) Cp l+1 Men hoopt dat de oplossing voor vergelijking (41) in de volgende vorm is, waar v(p) een onbekende functie is die Cp l+1 en Ae p aan elkaar vast "lijmt". u(p) = p l+1 e p v(p) Nu moeten we v(p) vinden. Dit doen we door een differentiaalvergelijking op te stellen en oplossen voor v(p). We beginnen als eerste met het nemen van de eerste en tweede afgeleiden van u(p) d 2 (( u dp 2 = pl e p 2l 2 + p + ( du dp = pl e p (l + 1 p) v + p dv ) dp ) l (l + 1) v + 2 (l + 1 p) dv ) p dp + p d2 v dp 2 Nu kunnen we vergelijking (43) gelijkstellen aan de bovenstaande vergelijking. Na wat algebraïsche tussenstappen vindt men dat

55 inleiding tot de kwantummechanica 55 p d2 v dv + 2 (l + 1 p) dp2 dp + (p 0 2 (l + 1)) v = 0 (44) We nemen aan dat de oplossing voor v(p) uitgedrukt kan worden in een (oneindige) machtreeks. Deze methode wordt ook v(p) = a j p j j=0 Het doel is nu om de onbekende coëfficiënten (a 0, a 1, a 2,...) te bepalen. Wanneer we de eerste afgeleidde nemen krijgen we Nogmaals differentiëren geeft dv dp = ja j p j 1 = (j + 1) a j+1 p j j=0 j=0 d 2 v dp 2 = j (j + 1) a j+1 p j 1 j=0 Het is de bedoeling dat we een recursief voorschrift krijgen voor het bepalen van de coëfficiënt a j. Als eerste substitueren we de afgeleidden in, in vergelijking (41), dit geeft j=0 j (j + 1) a j+1 p j + 2 (l + 1) j=0 (j + 1) a j+1 p j 2 j=0 ja j p j + (p 0 2 (l + 1)) We kunnen nu de vergelijking onderbrengen onder één sommatie en de p j eruit factoriseren j=0 a j p j = 0 ( ( j (j + 1) a j+1 p j + 2 (l + 1) (j + 1) a j+1 p j) ( 2 ja j p j) ( + (p 0 2 (l + 1)) a j p j)) = 0 j=0 Maar p j waarbij j = 0, 1, 2, 3,... zal nooit nul worden, dus j (j + 1) a j (l + 1) (j + 1) a j+1 2ja j + (p 0 2 (l + 1)) a j = 0 wanneer we a j+1 vrijmaken, krijgt men a j+1 = { } 2 (j + l + 1) p0 a (j + 1) (j + 2l + 2) j Dit recursief voorschrift geeft ons alle coëfficiënten en dus de functie v(p). Men start met de coëfficiënt a 0 = A die bepaalde wordt door normalisatie. Maar we moeten nu controleren of de gevonden oplossing v(p) niet "opblaast" als j.

56 56 jan dezider kees koomen-majernik dus en dus is u(p) ( ) 2 (j + l + 1) p0 lim a j (j + 1) (j + 2l + 2) j 2j j! A v(p) = A j=0 2 j j! pj = Ae 2p u(p) = Ap l+1 e p Maar u(p) zal het oneindige naderen als j en dit is in strijd met de statistische interpretatie van de golffunctie, omdat ze niet normalizeerbaar zijn. Er is maar één oplossing voor dit dilemma en dat is de series aflopen moeten zijn zodat dat betekend dat a jmax +1 = 0 We definiëren 2 (j max + l + 1) p 0 = 0 n j max + l + 1 (waarbij n het hoofdkwantumgetal genoemd wordt) dus p 0 = 2n (45) Maar p 0 bepaald de energie (vergelijking (40) en (42)), dus E = h2 k 2 2m = me2 8π 2 ɛ 0 h2 2 p 2 0 Dat betekend dat de toegestane energieniveaus in het waterstof atoom berekend kunnen worden door [ ( m e 2 ) 2 ] 1 E n = 2 h 2 4πɛ 0 n 2 = E 1, n = 1, 2, 3,... n2 Dit is de bekende formule van Bohr die deze formule gevonden heeft door klassieke mechanica te combineren met de toen jonge kwantummechanica. Met behulp van vergelijking (42) en (45) krijgen we ( me 2 ) 1 k = 4πɛ 0 h 2 n = 1 an

57 inleiding tot de kwantummechanica 57 waar ( me 2 ) 1 a 4πɛ 0 h 2 = m de Bohr radius genoemd wordt. Uit vorige vergelijking en vergelijking (42) volgt dat p = r an Blijkbaar wordt de golffunctie voor het waterstofatoom bepaald door drie kwantumnummers (n, m en l) waar ψ nlm (r, θ, φ) = R nl (r)y m l (θ, φ) R nl (r) = 1 r pl+1 e p v(p) waar v(p) een polynoom is waar de coëfficiënten bepaald worden door a j+1 = 2 (j + l + 1 n) (j + 1) (j + 2l + 2) a j De polynoom v(p) waar de coëfficiënten bepaald worden door de formule hierboven komt veel voor in de toegepaste wiskunde. Die ook als volgt geschreven wordt waar waar v(p) = L 2l+1 n l 1 (2p) ( ) L p d p q p (x) ( 1)p L q (x) dx ( ) d q L q (x) e x ( e x x q) dx De polynomen die uit L p q p (x) worden de geassocieerde Laguerre polynomen genoemd. De algemene formule voor de normalisatiefactor voor de geassocieerde Laguerre vergelijking is N = ( ) (n l 1)! 2 3 2n(n + 1)! na Dus de genormaliseerde oplossing voor vergelijking (39) is R nl (r) = ( ) (n l 1)! 2 3 e na 2 2n(n + 1)! na ( ) 2r l L 2l+1 na n l 1 ( ) 2r na

58 58 jan dezider kees koomen-majernik De golffunctie voor de grondtoestand De golffunctie voor ψ 100, dus de eerste schil van het waterstof atoom is Ψ 100 (r, θ, φ) = R 10 (r)y0 0 (θ, φ) Het recursief voorschrift voor v(p) wordt al afgekapt bij de eerste term en geeft ons alleen de constante a 0. R 10 (r) = a 0 a e r a Nu moeten we alleen nog R 10 (r) normaliseren om a 0 te vinden ˆ 0 R 10 2 r 2 dr = a 0 2 dus a 0 = 2 a terwijl Y 0 0 = 1 4π, dus a ˆ 0 Ψ 100 (r, θ, φ) = e r a r 2 dr = a 0 2 a 4 = 1 1 4πa 3 e r a

59 inleiding tot de kwantummechanica 59 De golffunctie van het waterstofatoom We hebben in het begin de aanname gemaakt dat de oplossing Ψ voor het waterstofatoom in vorm van een product zal voorkomen Ψ(r, θ, φ) = N R(r)Y(θ, φ) waar N de normalisatiefactor is. Verder hebben we ook ontdekt dat bij het oplossen van de drie vergelijkingen (R(r), Θ(θ) en Φ(φ)) ook drie speciale gehele getallen n, l en m voorkomen. Als we alle oplossingen R(r), Θ(θ), Φ(φ) en de normalisatiefactor N aan elkaar vast plakken krijgen we de algemene oplossing voor het waterstofatoom. Ψ nlm (r, θ, φ) = ( ) (n l 1)! 2 3 e na r 2n(n + 1)! na ( ) 2r l L 2l+1 na n l 1 ( ) 2r 2n + 1 na 4π (46) (n m)! (n + m)! eimφ P m l (cos θ)

60

61 Deel II Simulatie

62

63 Het waterstofatoom Inleiding In het eerste deel van dit werkstuk hebben we veel theorie behandeld van klassieke mechanica tot kwantummechanica. Ook hebben we de Schrödingervergelijking voor het waterstofatoom opgelost waarbij we speciale effecten zoals relativistische effecten hebben verwaarloost. Het waterstofatoom is het enige atoom waarbij de Schrödingervergelijking in zijn meest "eenvoudigste" vorm exact opgelost kan worden. Dit maakt op zich niet heel veel uit, omdat de golffunctie van hogere elementen bijna het zelfde zijn als die van een geëxciteerd waterstofatoom. Het doel is om met behulp van Wolfram Mathematica 8 een dichtheidsplot te maken van de kansdichtheid. Met MathWorks MAT- LAB zullen we een drie dimensionaal beeld te creëren van de golffunctie van het waterstofatoom en deze te analyseren. Dit vereist kennis over de syntaxis van Wolfram Mathematica 8 en MathWorks MATLAB. Implementatie In het vorige deel hebben we de algemene oplossing voor het waterstofatoom afgeleidt. Het handigste zou zijn als we een functie kunnen vinden voor Mathematica waarbij we alleen de waarden voor n, l en m hoeven in te voeren en dat Mathematica de juiste bijbehorende golffunctie geeft. Op het internet is de volgende functie voor het waterstofatoom te vinden voor Mathematica, 1 Hydrogen [ n_, l_, m_] := 2 Sqrt [2^3/(n * a ) ^3] 3 Sqrt [ ( n l 1)! / ( 2 * n * ( ( n + l )! ) ^3) ] * 4 Exp[ r /(n * a ) ] * ( ( 2 * r ) /(n * a ) ) ^ l * 5 LaguerreL [ n l 1, 2 * l + 1, (2 * r ) /(n * a ) ] * 6 SphericalHarmonicY [ l, m, \[ Theta ], \[ Phi ] ] 7 // FullSimplify

64 64 jan dezider kees koomen-majernik 4 Deze voeren we in Mathematica en drukken op enter op om de 4 jjjj functie in het geheugen op te slaan. Regel 6 stelt vergelijking 38 voor en regel 7 zorgt ervoor dat de oplossing zo veel mogelijk herleidt wordt. De rest spreekt voor zich. Met behulp van deze code hoeven we alleen de waarden voor n, l en m in te voeren en Mathematica zal ons de juiste oplossing voor de desbetreffende waarden geven. Als we voor Ψ nlm = Ψ 321 de golffunctie willen weten hoeven we alleen het volgende in Mathematica in te voeren Hydrogen [ 3, 2, 1] De a moet nu nog gedefinieerd worden, dit is de Bohr radius in ångström die we als volgt invoeren in Mathematica. a = Wanneer we verschillende waarden voor n, l en m invoeren krijgen we de golffunctie Ψ nlm voor de desbetreffende waarden, maar deze oplossing geeft nog niet de kansdichtheid van het elektron. Om de kansdichtheid te krijgen uit de golffunctie Ψ nlm moeten we statistische interpretatie van Born toepassen op de golffunctie. 5 De golffunctie die Mathematica ons levert moet gekwadrateerd worden en vermenigvuldigd worden met 4πr 2. Nadat we de oplossing Ψ nlm vermenigvuldigd hebben met 4πr 2 moeten we een coördinatentransformatie toepassen. De algemene oplossing voor de golffunctie is in bolcoördinaten terwijl het handiger is met het driedimensionale Cartesisch coördinatenstelsel in Mathematica te werken. Wanneer we l en m nul laten dus Ψ nlm = Ψ n00 is de golffunctie alleen een functie van r. Maar als we l niet nul laten, dus Ψ nlm = Ψ nm0, wordt de golffunctie een functie van r en θ. En als Ψ nlm = Ψ nlm dan is de golffunctie een functie van r, θ en φ. Stel we willen een plot hebben waar Ψ nlm = Ψ n00 dan hebben we in principe voldoende aan een 2D plot waar de kansdichtheid een functie is van de afstand r. Om een plot te maken van Ψ 100 moeten we eerst de golffunctie krijgen. Daarvoor gebruiken we de functie Hydrogen[n, l, m]. Wanneer we een 2D plot willen maken van de afstand tegen de kans moeten we eerst de golffunctie krijgen. Als voorbeeld nemen we Ψ 100. Als eerste voeren we het volgende stukje code in on de golffunctie te krijgen, 5 Vergelijking 24 is de statistische interpretatie van Born in het Cartesische coördinatenstelsel. Vergelijking 24 voor bolcoördinaten is Ψ 2 d 3 r = 1 Hydrogen [ 1, 0, 0] dit geeft ons Ψ 100 = 1 a 3 e r a π

65 inleiding tot de kwantummechanica 65 De kansdichtheid voor Ψ 100 wordt dan 2r 4e a r P Ψ100 (r) = 2 a 3 Om een 2D plot te maken van deze functie gebruiken de onderstaande syntaxis. De afstand r doen we in n termen van de Bohr radius, dus a, 2a, 3a,... na. Plot [ f, { x, x min, x max } ] dus voor P Ψ100 (r) wordt deze Plot [ ( Hydrogen [ 1, 0, 0 ] ) ^ 2 * 4 * Pi * r ^2, { r, 0, 5 a }, AxesLabel > {Å, 4 \[ Pi ] r ^2 Subscript [R, nl ] ^ 2 }, PerformanceGoal > " Quality ", PlotRange > Full, PlotStyle > { Thick, Thick } ] Voor golffuncties waarbij Ψ nlm = Ψ nm0 is de oplossing niet meer punt- en draaisymmetrisch wat wel het geval is bij golffunctie waar Ψ nlm = Ψ n00 dus moeten we gebruik maken van een 3D plot waar de x-as de kansdichtheid voorstelt en y en z de afstand als m = 0.t 6 Een oplossing van de golffunctie waarbij Ψ nlm = Ψ nm0 zal altijd een functie zijn van r en cos θ (zie vergelijking 46), dus moeten we r en cos θ uitschrijven in termen van x en y. Daarvoor gebruiken we de volgende substitutie 6 De z-as omhoog, de y-as rechts en de x-as het papier uit r = cos θ = x 2 + y 2 z y 2 + z 2 De syntaxis voor de 3D plot in Mathematica is Plot3D [ f, { x, x min, x max }, { y, y min, y max } ] De 3D plot voor bijvoorbeeld P Ψ210 (x, y) is Plot3D [ ( E^( ( Sqrt [ x^2+y^2]/a ) ) ( x^2+y^2)^4 ( x/sqrt [ x^2+y ^2])^2)/(288 a ^5), { x, 20a, 20a }, { y, 20, 20a }, PlotRange > All ] De meest belangrijkste plot die we gaan gebruiken is de kansdichtheidsplot. Deze plot zal met behulp van kleuren aangeven waar de kans het grootst zal zijn om het elektron te vinden. De syntaxis die we gaan gebruiken voor de dichtheidsplot is

66 66 jan dezider kees koomen-majernik DensityPlot [ HydrogenNxz [ n, l, 0 ], { y, b, b }, { z, b, b }, Mesh > False, Frame > False, PlotPoints > 100, ColorFunctionScaling > True, ColorFunction > " SunsetColors ", PerformanceGoal > " Quality ", Axes > True, Ticks > False, ] De functie HydrogenNxz heb ik zelf gedefinieerd waar HydrogenNxz[n, l, m] = (Hydrogen[n, l, m]) 2 4πr 2 r = y 2 + z 2 ( y ) θ = arctan z Als laatste gaan we een contourplot maken van alle mogelijke golffuncties gaande van n = 1 tot n = 5 waarbij we ook l en m variëren. Deze plot kunnen we niet maken in Mathematica, omdat Mathematica niet geavanceerd genoeg is. In plaats daarvan gebruiken we MathWorks MATLAB voor het plotten. Het script dat we gaan gebruiken is 1 % P l o t t i n g hydrogen o r b i t a l s 2 close a l l ; 3 % Quantum numbers ========================== 4 n=1; 5 l =0; % 0<= l <n 6 m=0; % l <= m <= l 7 %=========================================== 8 p r o b a b i l i t y =1E 5; 9 a =1; % Bohr r a d i u s 10 % N o r m a l i z a t i o n 11 N=abs ( sign (m) * s qrt ( 2 ) +( sign ( abs (m) ) 1) * 2 ) ; 12 % Angular p a r t 13 SphericalYlm=@( l,m, theta, phi ) sqrt ( ( 2 * l +1) /(4 * pi ) * f a c t o r i a l ( l abs (m) ) /... f a c t o r i a l ( l +abs (m) ) ) * AssociatedLegendre ( l,m, cos ( t h e t a ) ). * exp (1 i * m * phi ) ; 14 Y=@( l,m, theta, phi ) ( SphericalYlm ( l,m, theta, phi ) + SphericalYlm ( l, m, theta, phi ) ) /N; 15 % R a d i a l p a r t 16 R=@( n, l, r ) s qrt ( ( 2 / ( a * n ) ) ^3 * f a c t o r i a l ( n l 1) /(2 * n *

67 inleiding tot de kwantummechanica 67 f a c t o r i a l ( n+ l ) ) ). *... exp( r /( a * n ) ). * ( 2 * r /( a * n ) ).^ l * 1/ f a c t o r i a l ( n l 1+2 * l +1). *... AssociatedLaguerre ( n l 1,2 * l +1,2 * r /( a * n ) ) ; 17 % Wave f u n c t i o n 18 psi=@( n, l,m, r, theta, phi ) R( n, l, r ). * Y( l,m, theta, phi ) ; 19 % S e t t i n g t h e g r i d 20 border =32; 21 accuracy =100; 22 [ x, y, z ]= ndgrid ( linspace( border, border, accuracy ), linspace( border, border, accuracy ), linspace( border, border, accuracy ) ) ; 23 % C o n v e r s i o n C a r t e s i a n t o s p h e r i c a l c o o r d i n a t e s 24 r=sqrt ( x.^2+y.^2+ z. ^ 2 ) ; 25 t h e t a =acos ( z./ r ) ; 26 phi=atan2 ( y, x ) ; 27 % P l o t o r b i t a l, and + wave f u n c t i o n p h a s e 28 c o l o r s =sign ( psi ( n, l,m, r, theta, phi ) ) ; 29 i s o s u r f a c e ( psi ( n, l,m, r, theta, phi ). ^ 2, p r o b a b i l i t y, c o l o r s ) ; 30 t i t l e ( [ n = num2str ( n ), l = num2str ( l ), m = num2str (m) ], FontName, Times, FontSize, 1 2 ) ; 31 s e t ( gcf, c o l o r, [ ] ) ; 32 daspect ( [ ] ) ; 33 axis o f f ; 34 view ( 3 ) ; 35 camlight ( l e f t ) ; 36 camzoom ( ) ; 37 l i g h t i n g phong ; 38 axis vis3d ; 39 rotate3d on ; 40 brighten ( 1 ) ; We hoeven alleen de waarden voor n, l en m te wijzig in regels 4, 5 en 6 om een contourplot te krijgen. Voor grotere waarden van n zullen we ook de waarden in regels 8 en 20 wijzigen en eventueel ook regel 21 om de rekentijd in tekorten.

68 68 jan dezider kees koomen-majernik Kansdichtheden van het waterstofatoom waar Ψ nlm = Ψ n00 Als eerste beginnen we met de gemakkelijkste golffuncties waarbij we n variëren en waar we l = m = 0. Als eerste gaan we de functie Hydrogen[n, l, m] definiëren in Mathematica door in te voeren: Hydrogen [ n_, l_, m_] := Sqrt [2^3/(n * a ) ^3] Sqrt [ ( n l 1)! / ( 2 * n * ( ( n + l )! ) ^3) ] * Exp[ r /(n * a ) ] * ( ( 2 * r ) /(n * a ) ) ^ l * LaguerreL [ n l 1, 2 * l + 1, (2 * r ) /(n * a ) ] * SphericalHarmonicY [ l, m, \[ Theta ], \[ Phi ] ] // FullSimplify dan moet a nog gedefinieerd worden. De eenheid van de Bohr radius doen we in de ångström. a = We voeren in Mathematica het volgende in on de formules voor de golffuncties te verkrijgen: Hydrogen [ n, 0, 0] waar we apart voor n de waarden n = 1, 2, 3, 4, 5 invullen. Dit geeft ons vijf golffuncties die allemaal tot de s-orbitalen horen. 7 Ψ nlm = Ψ n00 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 Golffunctie Ψ n00 (r) 1 a 3 e a r π 1 a 3 e 2a r (2 r a ) 8 2π 1 a 3 e 3a r (27a 2 18ar+2r 2 ) 486a 2 3π ( ) 1 3/2e r a 3 4a (192a 3 144a 2 r+24ar 2 r 3 ) π 1 a 3 e 5a r (9375a a 3 r+1500a 2 r 2 100ar 3 +2r 4 ) a 4 5π 7 De "a" heb ik expres niet uitgewerkt, omdat dan de formules in de tabel hieronder onoverzichtelijk worden Vervolgens maken we een plot van de afstand gezien vanaf het proton tegen de kansdichtheid.

69 inleiding tot de kwantummechanica 69 Figuur 12: 4 Πr 2 2 R nl 4 Πr 2 2 R nl P 100 P Å Å 4 Πr 2 2 R nl 4 Πr 2 2 R nl P P Å Å Πr 2 2 R nl P Å Met deze grafieken kunnen we heel goed analyseren waar het elektron het meeste van zijn tijd doorbrengt. In de grafiek van P Ψ100 zien we dat de top van de grafiek als x-coordinaat Å heeft. Dit is exact de afstand die N.Bohr berekend heeft voordat de Schrödingervergelijking opgesteld werd. Een ander interessant fenomeen is dat bij golffuncties waarbij n > 1 er plaatsen (de dalen) zijn waar de kans dat we het elektron kunnen vinden 0 is. Dus als een elektron van de ene kant van het dal naar de andere wilt gaan, ondergaat het elektron tunneling. Naast de normale plot maken we ook een een dichtheidsplot.

70 70 jan dezider kees koomen-majernik Figuur 13:

71 inleiding tot de kwantummechanica 71 Kansdichtheden van het waterstofatoom waar Ψ nlm = Ψ nl0 Het hoofdkwantumgetal n is de hoofdverdeling van de energieniveaus in een atoom (de (hoofd)schillen). Het impulsmoment verdeelt de (hoofd)schillen in subschillen. Voor een hoofdkwantumgetal n kan l de waarden 0, 1, 2,... n 1 bezitten. De subschillen worden aangegeven door een letter uit de reeks s, p, d, f, g, h, i, j, k,... (voor l = 0, 1,... n 1) toe te voegen aan het hoofdkwantumgetal n. Anders dan de hoofdkwantumletters, worden deze letters nog steeds veelvuldig in natuur- en scheikunde gebruikt. De mogelijke combinaties van l die bij een bepaalde waarde van n horen die we gaan plotten staan in de tabel hieronder Ψ nlm s-orbitalen p-orbitalen d-orbitalen f-orbitalen g-orbitalen n = 1 Ψ n = 2 Ψ 200 Ψ n = 3 Ψ 300 Ψ 310 Ψ n = 4 Ψ 400 Ψ 410 Ψ 420 Ψ n = 5 Ψ 500 Ψ 510 Ψ 520 Ψ 530 Ψ l = 0 l = 1 l = 2 l = 3 l = 4 Nu we verschillende waarden voor l invullen in onze functie Hydrogen[n, l, m] krijgen we oplossingen die een functie zijn van r en cos θ. Voordat we een plot kunnen maken van de kansdichtheid, moeten we eerst een coördinatentransformatie toepassen (zie vorige paragraaf).

72 72 jan dezider kees koomen-majernik Figuur 14:

73 inleiding tot de kwantummechanica 73 Kansdichtheden van het waterstofatoom waar Ψ nlm = Ψ nlm Het magnetische kwantumgetal m l beschrijft het magnetische impuls in een willekeurige richting. Het magnetisch kwantumgetal kan de waarden l 0 m l l 0 aannemen. Het magnetisch kwantumgetal m l heeft geen invloed op de energie van het elektron, maar het veranderd wel de kansdichtheid. Alle mogelijke golffunctie die we kunnen tekenen met n = 1, 2,... 5 staan in de tabel hieronder l = 0 l = 1 l = 2 l = 3 l = 4... n = 1 m l = n = 2 0-1, 0, n = 3 0-1, 0, 1-2, -1, 0, 1, n = 4 0-1, 0, 1-2, -1, 0, 1, 2-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 - n = 5 0-1, 0, 1-2, -1, 0, 1, 2-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3-4, -3, -2-1, 0, 1, 2, 3, Nu we waarden voor m l gaan invoeren betekend dat de golffunctie Ψ nlm een functie wordt van r, θ en φ. Om de orbitalen te plotten gebruiken we MATLAB, omdat Mathematica minder geavanceerd is in het plotten van 3D grafieken. We moeten alleen de waarden van n, l en m wijzigen en het script runnen. Voor elke energieniveau n zullen we een 3D plot maken met MAT- LAB.

74 74 jan dezider kees koomen-majernik n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 Tabel 1: s (l = 0) p (l = 1) m = 0 m = 0 m = ±1 s pz px py

75 inleiding tot de kwantummechanica 75 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 Tabel 2: p (l = 2) m = 0 m = ±1 m = ±2 d z 2 dxz dyz dxy d x 2 y 2

76 76 jan dezider kees koomen-majernik n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 Tabel 3: f (l = 3) m = 0 m = ±1 m = ±2 m = ±3 f z 3 f xz 2 f yz 2 fxyz f z(x 2 y 2 ) f x(x 2 3y 2 ) f y(3x 2 y 2 )