Modellen en Simulatie Lesliematrices Markovketens

Transcriptie

1 Utrecht, 6 april 3 Modellen en Simulatie Lesliematrices Markovketens Program Meerdere leeftijdsklassen Leslie matrices Eigenwaarden en eigenvectoren Dominante eigenvector Irreducibele, a-periodieke matrices Gerard Sleijpen Department of Mathematics Markov ketens Google s PageRanking Lampen sleij/ In jaar n Twee jarige planten N (n): aantal planten in jaar n ontkiemt N (n): aantal planten in jaar n ontkiemt Aanname: 5% van de -jarige geeft zaad gemiddeld twee zaden van -jarige ontkiemen 75% planten overleeft de winter gemiddeld vier zaden van de -jarige ontkiemen Model: N (n + ) = N (n) + N (n) en N (n + ) = 3 N (n). In matrix taal : N (n + ) N (n) = N (n + ) 3 N (n) Evenwicht als voor alle n: N (n + ) = N (n) = α en N (n + ) = N (n) = α α α = α 3 α eigenwaarde A = Evenwichtige opbouw in leeftijd als voor alle n: N (n + )/N (n + ) = N (n)/n (n) β β λ = β 3 β 3 λ eigenwaarde A Wanneer is evenwicht stabiel? Wanneer is evenwichtige leeftijdsopbouw stabiel?

2 Als λ < λ, dan geldt, voor grote n, [ x n = γ λ n v + γ ( ) n ] λ v γ λ n γ λ v λ is een dominante eigenwaarde als λ < λ v is dan een dominante eigenvector Stelling. is een stabiel evenwicht als > λ i, i =,. Stelling. γ v is een stabiel evenwicht als λ = > λ. Er is een stabiel evenwicht als dominante eigenwaarde A. Voorbeeld. [Twee jarige planten] Bereken de eigenwaarden A = 3. det(a λi) = ( λ) ( λ) 3 = λ λ 3 λ eigenwaarde λ λ 3 = λ = λ = + 3 of λ = λ = 3 geen eigenwaarde: dus geen evenwicht. Stelling. γ v is een stabiele opbouw als λ dominant. Er is een stabiele leeftijdsopbouw als A een dominante eigenwaarde heeft. Voorbeeld. [Twee jarige planten] Bereken de eigenwaarden A = 3. det(a λi) = ( λ) ( λ) 3 = λ λ 3 λ eigenwaarde λ λ 3 = λ = λ = + 3 of λ = λ = 3 geen eigenwaarde: dus geen evenwicht. λ > : dus geen stabiel evenwicht. λ λ > λ : λ dominante eigenwaarde met eigenv. v = 3. λ Dus γ 3 stabiele evenwichtige leeftijdsopbouw. Leslie matrices m leeftijdsgroepen (tijdvak bv. jaar) N k (n) aantal individuen van leeftijd k begin n-de tijdvak Aanname [Leslie]: In elk tijdvak overleeft de fractie s k van leeftijd k Aantal -jarige hangt lineair af van de vruchtbaarheid van de diverse leeftijdsgroepen Model: N k+ (n + ) = s k N k (n) N (n + ) = g N (n) g m N m (n) In matrix taal x n+ = Ax n g g... g m g m s... met A s s m Leslie matrix & en N (n) N (n) x n N 3 (n). N m (n)

3 Evenwicht als voor alle n: N j (n + ) = N j (n) = α j voor j =,..., m α α. = A α eigenwaarde A α m Evenwichtige opbouw in leeftijd als voor alle n: N i (n + )/N j (n + ) = N i (n)/n j (n) voor alle i, j =,..., m. λ β = A β λ eigenwaarde A Wanneer is evenwicht stabiel? Wanneer is evenwichtige leeftijdsopbouw stabiel? Als λ j < λ alle j >, dan geldt, voor grote n, [ x n = γ λ n v + γ ( ) n λ v γ ( ) n ] m λm v m γ λ n γ λ γ λ v λ is een dominante eigenwaarde als λ j < λ (j > ) v is dan een dominante eigenvector Stelling. is een stabiel evenwicht > λ i, i =,..., m. Stelling. γ v is een stabiel evenwicht λ = > λ j (j > ) Er is een stabiel evenwicht als dominante eigenwaarde A. Stelling. γ v is een stabiele opbouw λ dominant. Er is een stabiele leeftijdsopbouw als A een dominante eigenwaarde heeft. Wat gebeurt er als λ niet dominant, als λ = λ? Voorbeelden. A =, A = A =,, x = λ = λ =, evenwicht. + ε met x = is x = λ = λ =, evenwicht. + ε x = + ε + ε., x = x,... λ = λ =, evenwicht. + nε x = x ε n = ε Stel λ dominant. Relevantie Biologisch relevant? Alleen als λ R, λ > en alle coëfficiënten van eigenvector niet negatief. Stel λ = λ. Biologisch relevant? Voorbeeld. m = 3 6 A =, λ eigenwaarde λ 3 =, 3 dus λ = λ = λ Met x = 6 is x = 3, x = 8, x 3 = 6,

4 Machtsmethode Stel A is een m m matrix met een dominante eigenwaarde λ en eigenvector v. Stelling. Voor iedere x, met een component v, geldt, voor grote n, x n = A n x γ λ n v. Gevolg. Met µ n et x n e T x n Machtsmethode. geldt lim n µ n = λ x n Ax n, µ n e T x n, x n x n /µ n. Gevolg. Als v zo geschaald is dat e T v =, dan lim n x n = v & lim µ n n = λ. A = Matrices en grafen matrix 6 3 graaf Matrix (graaf) is irreducibel als je in de graaf van ieder punt naar ieder ander punt kunt lopen (via de lijnen in de aangegeven richting), anders is de matrix (graaf) reducibel. Periode matrix (graaf) = ggd(aantal lijnen rondwandeling) waarbij de grootste gemene deler (ggd) genomen wordt over alle rondwandelingen. Matrix is a-periodiek als periode =. Dominantie x n+ = Ax n Zij A = (A ij ) een m m matrix. Av j = λ j v j orden de eigenwaarden λ j met eigenvectoren v j zo dat λ λ... λ m, λ j = λ j+ Re(λ j ) Re(λ j+ ) Stelling [Perron & Frobenius]. Stel A ij alle i, j =,..., m. Dan geldt λ. Er is een eigenvector v bij λ met alle coëfficiënten. Als bovendien A irreducibel en a-periodiek λ dominant. 6 Voorbeeld A = 3. A is irreducible. ggd(, 3) =, dus a-periodiek. Dus, A heeft een dominante eigenwaarde. Noem deze λ. Dan λ >, λ 3 λ =, λ > en v = λ λ 6 is de bijbehorende eigenvector. v is dominant. Interpretatie: Geen evenwicht (behalve de triviale). De bevolking groeit exponentieel en op den duur volgens een stabiele evenwichtige leeftijdsopbouw: x n γ λ n v voor grote n. Voor iedere γ > is γ v n stabiele leeftijdsopbouw.

5 Leslie matrices g g... g m g m s... A = s s m Zij h =, h = s h, h 3 = s h,.... Stelling. det(a λ I) = λ m g h λ m g h λ m... g m h m. v i = (h λ m i, h λi m, h 3 λi m 3,..., h m ) T. s i, g i alle i & ggd({i h i g i }) = λ dominant en λ >. Voorbeeld. 6 Beschouw voor s >, de Leslie matrix A s 3. Voor welke s is er evenwicht? Is het evenwicht stabiel? Bereken de evenwicht(en). h =, h = s, h 3 = 6 s & ggd({i h ig i }) = ggd(,3) =. Dus, A heeft een dominante eigenwaarde >. Als λ eigenwaarde A met eigenvector v dan λ 3 sλ s = en v = (λ, sλ, 6 s)t. is eigenwaarde er is evenwicht s = /3. Voor s = /3 is λ = de enige oplossing >. Dus, voor s = /3, is dominant, is γ (, 3, 9 )T n evenwicht (iedere γ > ), het evenwicht is zwak stabiel, de leeftijdsopbouw is stabiel. Zij A = (A ij ) een m m matrix, m >. Stelling. Stel λ is dominant. Voor iedere x, met een v component, Op dag n p n kans op zon q n kans op bewolkte hemel r n kans op regen zon geldt, voor grote n, x n = A n x γ λ n v. Stelling. Stel A en λ dominant. Dan λ > en, voor n scalair γ, zijn alle coëff. γ v. Aanname: kans op, van dag tot dag bewolking regen Gevolg. Stel A. Dan λ en er is een bijbehorende eigenvector met alle coëff.. Bewijsschets. Zij, voor ε >, A ε de matrix die ontstaat door bij alle coëfficiënten van A ε op te tellen. A ε is irreducibel en a-periodiek. Dus er is een dominante eigenwaarde en die is en een bijbehorende eigenvector met alleen coëfficiënten. Laat nu ε naar gaan. Model: p n+ 6 p n+ = q n+ = Pp n met P = r 3. n+

6 Markov ketens m verschillende toestanden. In toestand j is, in volgend tijdvak, de kans op toestand i gelijk aan p ij. p p... p m p (n) p P= p... p m..., p p n= (n). p m p m... p mm p m (n) Hoelang duurt het gemiddeld voordat het regent? n kans eerste regen op dag n = (3,) coëfficiënt van n P n. n= p,p,... is n discrete Markov keten als p n+ = Pp n alle n met P kansmatrix & p toestandsvector (d.w.z. kolomsom(men) = & alle coëffiënten ). Stelling. p n toestandsvector voor alle n. P heeft eigenwaarde & λ alle eigenwaarden λ van P. P irreducibel & a-periodiek dominant stabiele stationaire toestandsvector. Stelling. Als voor alle eigenwaarden λ van A geldt λ <, dan A n = A(I A). n= na n = A(I A). n= Stelling. P kansmatrix. P heeft eigenwaarde & λ alle eigenwaarden λ van P. Bewijs. e j is de j-de standaard basisvector, (,...,) T T P = T P T =. Dus is een eigenwaarde van P T. = det(p T I) = det((p I) T ) = det(p I). Dus is een eigenwaarde van P. Evenzo, als λ is een eigenwaarde van A T. = det(a T λi) = det((a λi) T ) = det(a λi). Dus λ is een eigenwaarde van A. Stelling. λ eigenwaarde A λ eigenwaarde A T Intermezzo x = γ v γ m v m, met Av j = λ j v j Zij w zo dat A T w = λ w, of, equivalent, w T A = λ w T : w is een links eigenvector bij de eigenwaarde λ. Stelling. Als λ dominant, dan γ = w T x /w T v. Bewijs. λ w T v j = w T Av j = λ j w T v j. Dus, óf λ = λ j, óf w T v j =. Als λ dominant, dan λ λ j (j > ): w T x = γ w T v γ m w T v m = γ w T v.

7 Stelling. P kansmatrix. P heeft eigenwaarde & λ alle eigenwaarden λ van P. Bewijs. e j is de j-de standaard basisvector, (,...,) T Stel Pv = λv. Dan λ v = λv = Pv P v, hierbij is v coördinaatsgewijs absolute waarde nemen en geldt coördinaatsgewijs. Dus λ T v = T ( λ v ) T P v = T v λ. Opmerking. Als T A < T, dan λ j < alle eigenwaarden λ j van A. Google. Iedere internetpagina I k heeft een zeker belang (PageRank) p k. Aanname [Page&Brin 998]: Het belang van iedere pagina I k is het totaal van de belangen die iedere pagina, die naar I k linkt, aan I k toe kent. Als I k naar l andere verschillende pagina s linkt, dan kent I k aan ieder van deze pagina s /l-de deel van zijn belang toe. Model. p (p,..., p m ) T. Schaal p k zodat T p = p k =. /3 / /3 /3 Met P = /3 /, /3 /3 is p = Pp. I I 3 I 5 I I Model. p (p,..., p m ) T. Stelling. Als het www irreducibel is en a-periodiek dan convergeert de machtsmethode startend met p = m. Problemen. Reducibel dangling nodes (wel links ernaar toe, geen links ervan af). onsamenhangend (geen links van een deel naar een ander deel en visa versa). Periodiek machtsmethode convergeert niet. Oplossing Google. Dangling nodes linken in feite naar alle internetpagina s: Als I k geen link heeft, dan p ik m voor alle i (ook i = k). Pagina s worden ook bereikt via de navigatiebalk van de browse Teleportatie. Met T m T, beschouw ( α)p + αt. ( α)p + αt is een a-periodiek, irreducibele kansmatrix. Stelling. De machtsmethode, met p = m T, convergeert. Per iteratiestap reduceert de fout (op den duur) met een factor α. Bewijs. De eigenwaarde λ = is dominant. Wat kunnen we zeggen over de andere eigenwaarden? Stel [( α)p + αt]v = λv met λ <. T v =. [( α)p + αt]v = ( α)pv = λv. Dus λ α v eigenvector P en λ = ( α) eigenwaarde P

8 m lampen kunnen ieder met een eigen schakelaar aan of uit gezet worden. Telkens wordt om de minuut random een schakelaar gekozen en de schakelaar wordt random (5% kans) omgezet. In het begin zijn alle lampen uit. Model. p n = (p (n), p (n),..., p m (n)) T : p j (n) is de kans dat er in de n-de minuut precies j lampen branden. 8 8 p n+ = Pp n, met, voor m =, P = m... m algemeen, P = m 3 m m m... m p n+ = Pp n, met, voor m =, P = P is een irreducibel en a-periodieke kansmatrix is de dominante eigenwaarde. P = (I + Q), met Q 3 3 Q is een kansmatrix en als Qṽ = ṽ, dan Pṽ = ṽ. Als ṽ = (, v, v,...) T, dan v =, + v = v, etc. 8 8 p n+ = Pp n, met, voor m =, P = P is een irreducibel en a-periodieke kansmatrix is de dominante eigenwaarde. met v j = ( ) m m! j j!(m j)! ṽ (v, v,...) T een dominante eigenvector van P. is De rij van toestandsvectoren p n convergeert naar de dominante toestands eigenvector v m ṽ. De kans op alle lampen aan: m v m = m. met m = is = ( ) ( 3 ) = 3.