Tentamen Modellen en Simulatie (WISB134)
|
|
- Lotte Bauwens
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Tentamen Modellen en Simulatie (WISB) Vrijdag, 7 april 9, 9:-:, Ruppert Gebouw, Blauwe Zaal Schrijf op elk vel dat je inlevert je naam en op het eerste vel je studentnummer en het totaal aantal ingeleverde vellen. Motiveer bij elke opgave duidelijk je antwoorden. Gebruik gerust resultaten uit voorgaande onderdelen ook als je geen bewijs hebt. Het dictaat, copiën van de transparanten en een eenvoudige rekenmachine mag gebruikt worden, uitwerkingen van opgaven, grafische rekenmachines mogen dat niet. Uitwerking. In kleine type-fonts letters. Puntentelling. Maximum te behalen punten per onderdeel staat in de kantlijn. Cijfer is het aantal behaalde punten gedeeld door. Opgave. Een zekere populatie kan verdeeld worden in leeftijdsklassen. De ontwikkeling van het aantal individuen per leeftijdsklasse kan beschreven worden door een matrix-vector recursie middels de volgende Leslie matrix: L = a) Kan je op grond van de stelling van Perron-Frobenius beslissen of deze matrix een dominante eigenwaarde heeft? Motiveer je antwoord. Oplossing. De graaf die bij L hoort is niet irreducibel: je kunt niet van het vierde punt (vertix) naar een ander punt lopen. Perron-Frobenius doet over dit geval geen uitspraak. De -jarigen (leeftijdsklasse ) doen niet mee aan het voortplantingsproces. Laten we deze leeftijdsklasse buiten beschouwing dan heeft dat geen invloed op de andere leeftijdsklasse. b) Hoe ziet het Leslie model er uit zonder de oudjes? Oplossing. Laat de laatse rij en de laatste kolom weg: L e 6 = Als je b. niet hebt, werk dan in c en d met. c) Dit gereduceerd model heeft wel een dominante eigenwaarde (waarom?). Laat zien dat deze gelijk is aan.
2 Oplossing. Perron-Frobenius is toepasbaar op L: e de graaf van L e is wel irreducibel: je kunt vanuit ieder punt naar ieder ander komen (immers ), de graaf is a-periodiek: er is een rondwandeling ter lengte ( ), en een ter lengte ( ), dus ggd =. Alle matrix coëfficiënten van L e zijn. Volgens Perron-Frobenius is er een dominante eigenwaarden, zeg λ en λ. Dus λ > λ en λ > λ. We berekeneneen n eigenvector bij iedere eigenwaarde λ. We zoeken een eigenvector van de vorm (λ, a λ, a ) T voor nader te bepalen skaleiren a en a. Dus a λ 5 = λ a λ 5. λ a De tweede coördinaat vertelt ons dat a =, de derde coördinaat levert a = a =, de eerste coördinaat geeft a λ + a = λ + = λ. Deze laatste vergelijking is precies de karakteristieke vergelijking en heeft de eigenwaarden als oplossing. Het is duidelijk dat voldoet. Omdat voor λ > de grafiek van λ + en die van λ elkaar niet snijden (maak een schets of bedenk dat λ + < λ + 8 λ = λ voor λ > ) en volgens PF λ > is, volgt dat λ =. Alternatief: omdat een wortel is van λ λ kan λ uitgedeeld worden. Dat levert een kwadratische vergelijking op die oplosbaar is met de abc-formule. d) Wat is op den duur de verhouding tussen de aantallen van de drie leeftijdsklasse van het gereduceerde model? Oplossing. Het systeem ex n+ = e Lex n levert voor iedere startvector ex (in R ) een rij vectoren (ex n) op die op den duur een veelvoud is van de dominante eigenvector: ex n γ n(λ, a λ, a ) T = γ n(,, )T voor n γ n R. In het bijzonder is de verhouding tussen ex n(), ex n() en ex n() voor grote n ongeveer als staat tot staat tot. e) Kan je nu ook een conclusie trekken over het aantal -jarige versus het aantal - jarige? Is ook een dominante eigenwaarde voor het ongereduceerde model? Oplossing. Als x n+ = Lx n en x = (ex T, x ()) T dan zijn de eerste drie coördinaten van x n precies ex n als besproken in het vorige onderdeel. Omdat de laatste coördinaat x n+() van x n+ gelijk is aan xn() = exn() volgt dat " # " # 8 elexn λ ex n x n+ = exn() exn() γ n Hierbij gebruiken we dat ex n voor n groot ongeveer een veelvoud is van de eigenvector van L e bij λ = : ex n γ n(,, )T. Kortom de verhouding tussen -jarige en -jarige is op den duur 8 staat to. Uit bovenstaand verhaal volgt eenvoudig dat de eigenvectoren van L e gemakkelijk met een vierde coördinaat uit te breiden zijn tot eigenvectoren van L e bij dezelfde eigenwaarde. Het is duidelijk dat de vierde eigenwaarde λ van L is met eigenvector v = e = (,,, ) T. Omdat λ = > λ j (j =, ) en ook λ > = λ is λ een dominant eigenwaarde van L. Opgave. Een zeker soort sluipwespen W heeft een bepaald soort rupsen R nodig om zich voort te planten. In iedere rups wordt hoogstens een eitje gelegd. Een rups waarin een eitje gelegd is is ten dode gedoemd. Als r n het aantal rupsen is van soort R in jaar n en( w n het aantal vrouwelijke sluipwespen dan geeft r n+ = a r n w ) n r n R max W max,voor bepaalde positieve waarden van a, R max, r n w n+ = β w n + γr n W max, β en γ, een modellering voor de groei van een rupsen en sluipwespenpopulatie. λ a
3 a) In eenvoudigere modellen wordt γ = genomen. Verklaren wat men met de extra term + γr n in de noemer probeert te modelleren. Wij nemen verder γ. Oplossing. Met γ = is w n+ = βr nw n en is de groei van het aantal wespen evenredig met het aantal rupsen. Het aantal rupsen dat een wesp kan verwerken per tijdseenheid is echter beperkt: de wesp moet een holletje graven, een rups vangen, de rups verdoven en naar het holletje slepen, een eitje in de rups leggen, het holletje dicht maken. Dit kost allemaal tijd. Kortom er zit een maximum aan het aantal rupsen dat een wesp kan verwerken, zelfs voor r n zeer groot en het gemakkelijk is om een rups te vinden. Voor γ vlakt de grafiek van de functie r/( + γr) voor r af naar /γ. Door handig te schalen kunnen we het stelsel vereenvoudigen. Laat zien dat de nieuwe variabelen x n = r n /R max en y n = w n /W max voldoen aan x n+ = (a x n y n )x n, x n () y n+ = b y n. + c x n b) Geef een uitdrukking voor b en c in termen van a, R max, W max, β en γ. Oplossing. Merk op dat delen van de eerste gelijkheid door R max leidt tot x n+ = r n+ = a rn = (a xn yn)xn. Rmax Rmax wn Wmax door W max levert y n+ = w n+ c = γr max. r n Rmax rn = Wmax βrmax Rmax +γrmax Rmax rn We nemen verder aan dat c = en b >. w n Wmax = b Delen van de tweede gelijkheid x n +c x n y n voor b = βr max en c) Bepaal voor alle a > en b > de evenwichtspunten van () die biologisch relevant zijn. Hangt dat ook nog van a en b af? Zo ja, hoe? Oplossing. Stel x n = α en y n = β voor alle n (evenwicht). Dan () α = (a α β)α en () β = b α β. () geldt als α = of α + β = a, () geldt als β = of α = /(b ). +α Combinatie van () en () geeft (i) α = en β = (ii) α = a en β =, (iii) α = /(b ) en β = a b/(b ). Voor biologische relevantie moeten α en β zijn. Door de restricties a > en b > zijn de evenwichten (i) en (ii) biologisch relevant en is /(b ) >. In geval (iii) moet ook nog a b/(b ) zijn.. Uit c). blijkt dat (/(b ), a b/(b )) een evenwicht is. Neem verder b = en bekijk alleen waarden voor a waarvoor dit evenwicht biologisch relevant is. d) Toon aan dat de eigenwaarden van de Jacobi matrix in dit evenwicht voldoen aan λ λ + (a )/ =. Oplossing. Met b = is voor het evenwicht (iii) α = /(b ) = en β = a b/(b ) = a. Biologische relevantie eist dat β en dus a is. Voor de Jacobi matrix in het evenwicht (iii) (α, β) = (, a ) geldt " # " # (a α β) α α b β b (+α) +α = (a ) De eigenwaarde vergelijking is λ spoorλ + det = λ λ + (a ) =. e) Bepaal voor welke waarden van a dit evenwicht stabiel is. (Hint: De eigenwaarden kunnen, afhankelijk van a, complex zijn. Toon eerst aan dat het evenwicht stabiel is als de eigenwaarden reeel zijn. Bekijk dan het complexe geval.) Oplossing. Schrijf φ(λ) λ λ + (a ). Als de eigenwaarden reëel zijn, dan is λ, λ (, ) precies dan als φ( ) > en φ() >, dus als a >. In geval de eigenwaarden niet reëel zijn is λ = λ en dus λ = λ = λ λ = det = (a ). Dus λi < als a <. Samenvattend: we hebben stabiliteit als < a < en instabiliteit als a >. De gevallen a = en a = moeten apart geanalyseerd worden (omdat in deze gevallen lineairisatie niet werkt).
4 Opgave. In een fietsfabriek worden racefietsen en mountainbikes gemakt. De netto winst per racefiets is e5 en de netto winst per mountainbike is e euro. Met de beschikbare arbeidskracht kunnen maximaal 8 fietsen per week gemaakt worden en beide types kosten evenveel werk. Met een bepaalde boormachine kan uur per week gewerkt worden. Voor de vervaardiging van een racefiets is de boormachine ste 5 uur nodig en voor een mountainbike tweemaal zo lang. Van een bepaald soort buis zijn 8 eenheden nodig voor een racefiets en eenheden voor een mountainbike. De toelevering vanuit de aluminiumfabriek is maximaal 56 eenheden per week. a) Hoevel racefietsen en hoeveel mountainbikes moet de fabriek per week produceren om een zo groot mogelijke winst te maken? En hoe groot is die winst dan? Oplossing. Zij x het aantal racefietsen dat per week gemaakt wordt en x het aantal mountainbikes. Merk op dat x en x. De winst is dan 5x + x Euro. Omdat er arbeidskracht is voor maximaal 8 fietsen per week, is x + x 8. De tijdsrestricties op de boormachine leiden tot 5 x + x of, equivalent hiermee, 5 x + x. De restrictie op het aantal buizen ziet er uit als 8x + x 56 of, equivalent hiermee, x + 7x 8. We moeten max 5x + x bepalen met x, x zodat x + x 8 x + x x + 7x 8 x, x 6 Oplossing. Aanpak. Voeren we slack variabelen in, dan ziet het LP probleem er in standaard vorm uit als M J = [,, 5] is een basis met h = (,, 8,, 56) T als bijbehorend basispunt. h is acceptable en dus een hoekpunt. We proberen de doelfunctie te verbeteren in de eerste coordinaat. Omdat 7 = 56/8 < 8 < kiezen we het punt (i, j ) = (, ) als pivot en wordt J = [,, ] de nieuwe basis. Volledig vegen geeft: M Omdat alle coördinaten van de de c-vector zijn, hebben we de maximalizerende waarde gevonden in het hoekpunt (7,,,, ) T bij de basis [,, ]. Aanpak. In dit -dimensionale probleem kunnen de hoekpunten van de verzameling V van acceptabele punten (feasible points) gemakkelijk bepaald worden. Omdat V begrensd is (immers x, x en x + x 8) weten we dat een maximale wordt aangenomen in een hoekpunt. Door voor elk van de hoekpunten de waarde van de doelfunctie 5x + x in dat punt uit te rekenen vinden we een maximalizerend punt. Een grafische analyse leert dat x, x en x + 7x 8 impliceert dat x + x 8 en x + x (snijpunt van de lijnen {(x, x ) x + 7x = 8} en {(x, x ) x + x = 8} heeft een negatieve x coordinaat, etc.) Kortom V = {(x, x ) x, x, x + 7x 8} en heeft drie hoepunten: (, ), (, ) en (7, ) waarvoor 5x + x, respectievelijk de waarde,, en 57 5 heeft. Omdat de laatse ewaarde de grootste is, wordt in het bijbehorend hoekpunt (7, ) het maximum op V aangenomen.
5 Oplossing. Interpetatie. De winst is maximaal 7 5 = 57 5 Euro en die winst wordt behaald door 7 racefietsen te produceren en mountainbikes. Alle buizen worden gebruikt (de derde slack variabele is ), de capaciteit van de boormachine en van de arbeidskracht (de tweede, resp. eerste slack variabele zijn > ) worden niet volledig benut. Opgave. Voor de groei van de hoeveelheid gras in een wei die door schapen begraasd wordt, gebruiken we het volgende continue model: ) G = κ G ( GG G γ S G + () G waarbij G(t) de totale hoeveelheid gras is in de wei op tijdstip t. Verder is S het aantal schapen in de wei. De overige grootheden zijn constanten: γ en κ zijn evenredigheidsconstanten en G representeert de maximale hoeveelheid gras. a) Interpreteer de term γ S G /(G + G ). Wat voor invloed heeft de constante G? Oplossing. De term moduleert de afname van het gras door de begrazing van de schapen. De afname is evenredig met het aantal schapen. In dit model is µ γ G /(G + G ) de bijbehorende evenredigheids constante, die blijkbaar afhangt van de dichtheid G van het gras. Ieder schaap kan, per tijdseenheid maar een beperkt hoeveelheid gras eten zelfs als er een onbeperkte hoeveelheid beschikbaar is (voor G is de evenredigheids constante µ dus begrensd. In dit model geldt µ = γ G /(G + G ) γ voor G ). Als er weinig gras is (G klein) hebben de schapen moeite om het gras te vinden (voor G gaat de µ naar en waarschijnlijk sneller dan G. In dit model is µ (γ/g ) G voor G : G geeft aan hoe handig de schapen zijn in het vinden van gras bij een lage dichtheid van gras). b) Hoe heet de groei in dit model als er geen schapen in de wei zijn (S = )? Oplossing. Logistische groei. Neem verder G =, G = en κ =, γ = S= S=5 S= S=5 S= In bovenstaand figuur staat de grafiek van G G/ (-.-.), en, voor diverse S tussen en, de grafiek van G. S G/(+G ): voor S =, 5,, 5, is de grafiek aangegeven met een doorlopende lijn ( ), voor de overige S met stippels ( ). 5
6 Bij het beantwoorden van de volgende vragen kun je gebruik maken van de informatie die je uit de grafieken kunt halen. Het snijpunt van G/ en S G/( + G ) tussen en heet α S (als het bestaat), dat tussen en 5 heet β S (ook weer alleen als het bestaat) en tussen 5 en heet γ S (als het bestaat). Je hoeft de numerieke waarde van deze snijpunten hier niet expliciet te berekenen. c) Beschrijf de evenwichten (in termen van bijvoorbeeld α S, β S en γ S ; zie plaatje) en hun stabiliteit voor S =, S = en S =. (Hint: maak een plaatje langt de G-as waarin je de evenwichten aangeeft en geef middels pijltjes aan hoe de oplossing in andere punten op die G-as zal verlopen.) Oplossing. G = G(.G).S G = [.G.S G ]G = [φ(g) Sψ(G)]G waarbij +G +G φ(g).g en ψ(g). G. De grafiek van φ en van Sψ zijn in het figuur +G geplot. Als deze grafieken elkaar snijden in G = ζ, dan is ζ een evenwicht: met G(t) = ζ alle t geldt immers G (t) = = [φ(ζ) Sψ(ζ)]ζ. Dus α S, β S en γ S (indien bestaan) zijn evenwichts oplossingen. Een -dimensionale schets van het richtingsveld (zie hint) laat zien dat α S en γ S stabiel zijn en β S instabiel: als we G laten oplopen van tot dan bepaald het teken van φ(g) Sψ(G) het teken van G (immers G > ). Dit teken wisselt als G een evenwicht passeert. Voor G > en G is dit teken positief (φ(g) > Sψ(G): zie figuur). Dus voor ζ = α S en voor ζ = γ S (indien bestaat) en G ζ is G > voor G < ζ (merk op dat G twee maal van teken gewisseld is als ζ = γ S en er evenwichten α S en β S zijn) en G < voor G > ζ: oplossingen lopen in de buurt van ζ naar ζ: ζ is stabiel. Evenzo zien we dat ζ = β S instabiel is: oplossingen lopen van β S weg in de buurt van β S. d) De boer wacht telkens met veranderingen tot de hoeveelheid gras in de wei min of meer in evenwicht is. Wat gebeurt er met zijn grasopbrengst als hij telkens een schaap meer in zijn wei laat grazen en zo zijn kudde geleidelijk uitbreidt van naar schapen? Wat is het effect van een daarop volgende geleidelijke reductie van de kudde? Een beschrijving middels een instructieve figuur wordt gewaardeerd. Oplossing. De getalwaarden schatten we telkens uit het figuur. Bij schapen is er maar een evenwicht, nl., γ S 8.8. Dus na een tijdje is G(t) γ S. Bij toenemende aantallen schapen neemt de waarde van γ S af (met ongeveer.) tot er ongeveer 6 schapen in de wei staan (dan γ S 5). In deze situaties ( S 6is G(t) na een tijdje γ S. Dit gebeurt ook als er meer evenwichten zijn (α S en β S als 6 S 8): we komen dan met G(t) niet in het evenwicht α S terecht omdat G op het tijdstip waarop een extra schaap wordt toegevoegd (begin tijdstip) ongeveer gelijk is aan γ S. Dus G daalt van ongeveer γ S naar ongeveer γ S. Met nog meer schapen (S > 6) verdwijnt het evenwicht γ S en hebben we nog maar één evenwicht, nl., α S met α S.5. Blijkbaar neemt, met één extra schaap (7 in plaats van 6), de dichtheid van het gras (na een tijdje) dramatisch af (van 5 naar.5 en niet, zoals voorheen, met.): de wiskundige term hiervoor is catastrophe [er verdwijnt een evenwicht]). Als het aantal schapen vervolgens van 7 naar groeit dan neemt de dichtheid van gras maar een beetje af (met. bij ieder extra schaap). (Niet gevraagd) Als de boer vervolgens geleidelijk zijn schapekudde reduceert in de hoop zijn grasveld te herstellen dan heeft hij nog een lage dichtheid bij 8 schapen G(t) is dan (na een tijdje) α S. Nu groeit G van ongeveer α S naar ongeveer α S. Pas bij 7 schapen verdwijnt evenwicht α S (en ook β S) en is G(t) na een tijdje γ S 7.5 (mathematisch weer een catastrophe, maar daar zal de boer anders over denken). Puntentelling. Maximum te behalen punten per onderdeel staat in de kantlijn. Cijfer is het aantal behaalde punten gedeeld door. 6
Tentamen Modellen en Simulatie (WISB134)
Tentamen Modellen en Simulatie (WISB) Maandag, juli 0, 9:00-:00, Educatorium Gamma Zaal Schrijf op elk vel dat je inlevert je naam en op het eerste vel je studentnummer en het totaal aantal ingeleverde
Nadere informatieTentamen Modellen en Simulatie (WISB134)
Tentamen Modellen en Simulatie (WISB4) Vrijdag, 7 april 5, :-6:, Educatorium Gamma Zaal Schrijf op elk vel dat je inlevert je naam en op het eerste vel je studentnummer en het totaal aantal ingeleverde
Nadere informatieTentamen Modellen en Simulatie (WISB134)
Tentamen Modellen en Simulatie (WISB34) Woensdag, 7 juni 0, 3:30-6:30, Educatorium, Beta Zaal Schrijf op elk vel dat je inlevert je naam en op het eerste vel je studentnummer en het totaal aantal ingeleverde
Nadere informatieModellen en Simulatie Recursies
Utrecht, 3 mei 3 Modellen en Simulatie Recursies Program Management voorbeeld (affien) Economisch voorbeeld (affien) Rupsen-wespen (niet lineair) Niet-lineaire modellen, evenwicht, stabiliteit Gerard Sleijpen
Nadere informatieModellen en Simulatie Lesliematrices Markovketens
Utrecht, 6 april 3 Modellen en Simulatie Lesliematrices Markovketens Program Meerdere leeftijdsklassen Leslie matrices Eigenwaarden en eigenvectoren Dominante eigenvector Irreducibele, a-periodieke matrices
Nadere informatieTentamen Modellen en Simulatie (WISB134)
Tentamen Modellen en Simulatie (WISB4) Woensdag, april 24, :-:, Educatorium Gamma Zaal Schrijf op elk vel dat je inlevert je naam en op het eerste vel je studentnummer en het totaal aantal ingeleverde
Nadere informatieModellen en Simulatie Populatiegroei
Utrecht, 26 april 213 Modellen en Simulatie Populatiegroei Program Populatie groei van één soort, recursies Evenwichtspunten Periodieke banen Bifurcatie Chaos Catastrofe Gerard Sleijpen Department of Mathematics
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk
Nadere informatieModellen en Simulatie Recursies
Utrecht, 13 mei 2013 Modellen en Simulatie Recursies Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ N n : aantal individuen eind tijdvak n. Aanname [Malthus, 1798]:
Nadere informatieDe dynamica van een hertenpopulatie. Verslag 1 Modellen en Simulatie
De dynamica van een hertenpopulatie Verslag Modellen en Simulatie 8 februari 04 Inleiding Om de groei van een populatie te beschrijven, kunnen vele verschillende modellen worden gebruikt, en welke meer
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT (2DM20) op vrijdag 12 juni 2009, 9.00 Dit tentamen bestaat uit 5 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen.
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)
Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren
Nadere informatiea) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.
. Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieUitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00
Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus
Nadere informatieEerste deeltentamen Lineaire Algebra A. De opgaven
Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 3 november 9, 3-6 uur Bij dit tentamen mogen dictaat en/of rekenmachine niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, collegekaartnummer en naam van de practicumleider
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 2017, 14:00 17:00
Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 207, 4:00 7:00 Je mocht zoals gezegd niet zonder uitleg naar opgaven verwijzen. Sommige berekeningen zijn hier weggelaten. Die moest je op je tentamen wel laten zien.
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieextra sommen bij Numerieke lineaire algebra
extra sommen bij Numerieke lineaire algebra 31 oktober 2012 1. Stel, we willen met een rekenapparaat (dat arithmetische bewerkingen uitvoert met een relatieve nauwkeurigheid ξ, ξ ξ) voor twee getallen
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Nadere informatieHertentamen Biostatistiek 3 / Biomedische wiskunde
Hertentamen Biostatistiek 3 / Biomedische wiskunde 2 juni 2014; 18:30-20:30 NB. Geef een duidelijke toelichting bij de antwoorden. Na correctie liggen de tentamens ter inzage bij het onderwijsbureau. Het
Nadere informatieEigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid
Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit
Nadere informatieProefToelatingstoets Wiskunde B
Uitwerking ProefToelatingstoets Wiskunde B Hulpmiddelen :tentamenpapier,kladpapier, een eenvoudige rekenmachine (dus geen grafische of programmeerbare rekenmachine) De te bepalen punten per opgave staan
Nadere informatieComplexe eigenwaarden
Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie
Nadere informatie1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
Nadere informatieToegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter
Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter 25 februari, 2008 Hans Maassen 1. Inleiding Het Kalman filter schat de toestand van een systeem op basis van een reeks, door ruis verstoorde waarnemingen. Een meer
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (2DM20) op vrijdag 11 mei 2007, 9:00 12:00 uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op vrijdag mei 7, 9: : uur. U mag bij het tentamen geen computer (notebook, laptop), boeken
Nadere informatieHoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit
Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoewel we reeds vele methoden gezien hebben om allerlei typen differentiaalvergelijkingen op te lossen, zijn er toch nog veel differentiaalvergelijkingen
Nadere informatieHERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D00. Datum: vrijdag 3 juni 008. Tijd: 09:00-:00. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra
Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op maandag juni Dit tentamen bestaat uit 6 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen. De
Nadere informatieHoofdstuk 7: Stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen
Hoofdstuk 7: Stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen Bij het vak Lineaire Algebra hebben we reeds kennis gemaakt met stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen We hebben
Nadere informatiete vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector
Les 3 Matrix product We hebben gezien hoe we matrices kunnen gebruiken om lineaire afbeeldingen te beschrijven. Om het beeld van een vector onder een afbeelding te bepalen hebben we al een soort product
Nadere informatieUitwerking 1 Uitwerkingen eerste deeltentamen Lineaire Algebra (WISB121) 3 november 2009
Departement Wiskunde, Faculteit Bètawetenschappen, UU. In elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A Eskwadraat. Het college WISB werd in 9- gegeven door Prof. Dr. F. Beukers. Uitwerking
Nadere informatieUITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatieHoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden
Hoofdstuk LIJNEN IN Klas N Wiskunde 6 perioden . DE VECTORVOORSTELLING VAN EEN LIJN VOORBEELD. Gegeven zijn de punten P (, ) en Q (, 8 ). Gevraagd: de vectorvoorstelling van de lijn k door P en Q. Methode:
Nadere informatieTentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)
Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op dinsdag 9 april 8, 9.. uur. Dit tentamen bestaat uit 6 open vragen, en 4 kort-antwoord
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen
Nadere informatieBasiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Nadere informatieUitwerking opgaven 17 december. Spoilers!!
Uitwerking opgaven 7 december Spoilers!! (duh... 8 januari 206 Inhoudsopgave Complex diagonaliseren matrix 2. Opgave................................................ 2.2 Oplossing...............................................
Nadere informatieTentamen Functies en Reeksen
Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy
Nadere informatieUitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen
Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Maandag 4 januari 216, 1: - 13: uur 1. Beschouw voor t > de inhomogene singuliere tweede orde vergelijking, t 2 ẍ + 4tẋ + 2x = f(t, (1 waarin f
Nadere informatieUitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D2. Datum: dinsdag 29 april 28. Tijd: 14: 17:. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer
Nadere informatieExamen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica
Examen GO7E Wiskunde II (3sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Auditorium De Molen: A D Auditorium MTM3: E-Se Auditorium MTM39: Sh-Z Naam: Studierichting: Naam assistent:
Nadere informatieHoofdstuk 1 : Vectoren (A5D)
1 Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Les 1 : Stelsels en Echelon vorm DOEL : WE GAAN EEN AANTAL VERGELIJKINGEN MET EEN AANTAL VARIABELEN PROBEREN OP TE LOSSEN. Definities Stelsel
Nadere informatieEERSTE DEELTENTAMEN ANALYSE C
EERSTE DEELTENTAMEN ANALYSE C 0 november 990 9.30.30 uur Zet uw naam op elk blad dat u inlevert en uw naam en adres op de enveloppe. De verschillende onderdelen van de vraagstukken zijn zoveel als mogelijk
Nadere informatieLOPUC. Een manier om problemen aan te pakken
LOPUC Een manier om problemen aan te pakken LOPUC Lees de opgave goed, zodat je precies weet wat er gevraagd wordt. Zoek naar grootheden en eenheden. Schrijf de gegevens die je nodig denkt te hebben overzichtelijk
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatieAntwoorden. 32-jarige vrouwen op 1 januari Zo gaan we jaar per jaar verder en vinden
Antwoorden 1. De tabel met bevolkingsaantallen is niet moeilijk te begrijpen. We zullen gebruik maken van de bevolkingsaantallen volgens geslacht en leeftijdsklassen van 1 jaar (de cijfers die in het midden
Nadere informatieOpgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Nadere informatieEerste deeltentamen Lineaire Algebra A
Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 8 november 2011, 13u30-16u30 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider (Victor Blasjo, Esther
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Nadere informatieONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D020. Datum: Vrijdag 26 maart 2004. Tijd: 14.00 17.00 uur. Plaats: MA 1.41 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf
Nadere informatie11.0 Voorkennis V
11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, 4.-7. uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters
Nadere informatieTentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C Juni uur
Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C110 8 Juni 010-900-100 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 7 opgaven verdeeld over 3 pagina s Op pagina 3 staat voor iedere opgave
Nadere informatieRingen en Galoistheorie, 1e deel, 19 april 2012
Ringen en Galoistheorie, 1e deel, 19 april 2012 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider. Laat bij elke opgave zien hoe je aan je
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Dit tentamen bestaat uit 4 open vragen, en kort-antwoord vragen. De uitwerkingen van de open vragen dienen volledig, duidelijk geformuleerd
Nadere informatieWillem van Ravenstein 2007
Inhoud van ruimtelijke figuren Inhoud van omwentelingslichamen Lengte van een kromme Differentiaalvergelijkingen Richtingsvelden Standaardtypen differentiaalvergelijkingen Losse eindjes, tips & truuks
Nadere informatieModellen en Simulatie Stelsels Dvg
Utrecht, 10 juni 2013 Modellen en Simulatie Stelsels Dvg Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Continu versus discreet: Lineaire modellen Continu model. x
Nadere informatieLes 1 : Vectoren. Hoofdstuk 6 Vectormeetkunde (H4 Wiskunde D) Pagina 1 van 14. Definities Vector x = ( a ) wil zeggen a naar rechts en b omhoog.
Hoofdstuk 6 Vectormeetkunde (H4 Wiskunde D) Pagina 1 van 14 Les 1 : Vectoren Definities Vector x = ( a ) wil zeggen a naar rechts en b omhoog. b Je kunt vectoren tekenen en berekenen. We doen dat aan de
Nadere informatieVU University Amsterdam 2018, Maart 27
Department of Mathematics Exam: Voortgezette biostatistiek VU University Amsterdam 2018, Maart 27 c Dept. of Mathematics, VU University Amsterdam NB. Geef een duidelijke toelichting bij de antwoorden.
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2, Vrijdag 23 januari 25, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatieVoorbeeldtentamen Wiskunde B
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Datum: Najaar 2018 Tijd: 3 uur Aantal opgaven: 6 Voorbeeldtentamen Wiskunde B Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.
Nadere informatieCombinatoriek groep 1 & 2: Recursie
Combinatoriek groep 1 & : Recursie Trainingsweek juni 008 Inleiding Bij een recursieve definitie van een rij wordt elke volgende term berekend uit de vorige. Een voorbeeld van zo n recursieve definitie
Nadere informatieModellen en Simulatie Stelsels Dvg
Utrecht, juni 3 Modellen en Simulatie Stelsels Dvg Continu versus discreet: Lineaire modellen Continu model. x (t) = Ax(t). Als geen eigenwaarde van A: opl. x(t) in evenwicht x(t) = alle t stabiel evenwicht
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 2019 tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieSymmetrische matrices
Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor
Nadere informatieCompex wiskunde A1-2 vwo 2005-I
Zalm Wanneer van een vissoort te veel gevangen wordt, kan de populatie zich niet herstellen en valt er op den duur niets meer te vangen. Visserijbiologen streven dan ook naar een evenwichtssituatie waarbij
Nadere informatieTentamen Biostatistiek 3 / Biomedische wiskunde
Tentamen Biostatistiek 3 / Biomedische wiskunde 25 maart 2014; 12:00-14:00 NB. Geef een duidelijke toelichting bij de antwoorden. Na correctie liggen de tentamens ter inzage bij het onderwijsbureau. Het
Nadere informatieOefentoets uitwerkingen
Vak: Wiskunde Onderwerp: Hogere machtsverb., gebr. func=es, exp. func=es en logaritmen Leerjaar: 3 (206/207) Periode: 3 Oefentoets uitwerkingen Opmerkingen vooraf: Geef je antwoord al=jd mét berekening
Nadere informatieExamen G0O17D Wiskunde II (6sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-12:30 uur
Examen GO7D Wiskunde II (6sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Biochemie & Biotechnologie Bachelor hemie, Bachelor Geologie Schakelprogramma Master Biochemie & Biotechnologie en Schakelprogramma Master
Nadere informatie3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?
In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.
Nadere informatieMonitoraatssessie Wiskunde
Monitoraatssessie Wiskunde 1 Overzicht van de cursus Er zijn drie grote blokken, telkens voorafgegaan door de rekentechnieken die voor dat deel nodig zullen zijn. Exponentiële en logaritmische functies;
Nadere informatieUitwerking Basisopgaven
Uitwerking Basisopgaven Opgave 1 a. Gevraagd wordt om y = 3x 2 te tekenen. Een manier om dit te doen is het berekenen van snijpunten met x-as en y-as: - Snijpunt y-as: x = 0 invullen geeft y = 3.0 2 =
Nadere informatieTentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 19 december Aantal opgaven: 5
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Datum: 19 december 2018 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 5 Tentamen Wiskunde B Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.
Nadere informatieTentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C110 9 April uur
Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C0 9 April 200-900-200 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over pagina s Op pagina staat voor iedere opgave het maximale
Nadere informatieTU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN
Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen
Nadere informatiemaplev 2010/9/8 17:01 page 349 #351
maplev 00/9/8 7:0 page 49 5 Module Stabiliteit van evenwichten Onderwerp Voorkennis Expressies Bibliotheken Zie ook Stabiliteit van evenwichten van gewone differentiaalvergelijkingen. Gewone differentiaalvergelijkingen
Nadere informatieUITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,
UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper
Nadere informatieWiskunde y en Theoretische Biologie, 12 april Naam: Collegekaartnummer: Vraag 1
Wiskunde y en Theoretische Biologie, 12 april 2013 Vraag 1 x Dit zijn multiple-choice vragen. Omcirkel het meest correcte antwoord. 1.1 Beschouw het volgende fase-portret: Welk van de onderstaande systemen
Nadere informatieCombinatoriek groep 1
Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Getallenrijen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een directe formule geeft a n in
Nadere informatieHoofdstuk 3 : Determinanten
(A5D) Hoofdstuk 3 : Determinanten Les : Determinanten Definitie 3. De determinant van de [2 x 2]-matrix A = ( a c det(a) = ad bc. b ) is een getal met waarde d a b Notatie : det(a) = = ad bc c d Voorbeeld
Nadere informatieModellen en Simulatie Differentiaalvergelijkingen. Modellen en Simulatie. sleij101/ Program.
Utrecht, 29 mei 2013 Utrecht, 29 mei 2013 Modellen en Simulatie Modellen en Simulatie Differentiaalvergelijkingen Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Gerard
Nadere informatieToets deel 2 Data-analyse en retrieval Vrijdag 1 Juli 2016:
Toets deel 2 Data-analyse en retrieval Vrijdag 1 Juli 2016: 11.00-13.00 Algemene aanwijzingen 1. Het is toegestaan een aan beide zijden beschreven A4 met aantekeningen te raadplegen. 2. Het is toegestaan
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D00. Datum: Vrijdag 1 maart 003. Tijd: 14.00 17.00 uur. Plaats: VRT 03H04. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere ogave o een aart vel. Schrijf
Nadere informatieLineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
Nadere informatie