Modellen en Simulatie Differentiaalvergelijkingen. Modellen en Simulatie. sleij101/ Program.

Transcriptie

1 Utrecht, 29 mei 2013 Utrecht, 29 mei 2013 Modellen en Simulatie Modellen en Simulatie Differentiaalvergelijkingen Gerard Sleijpen Department of Mathematics sleij101/ Gerard Sleijpen Department of Mathematics sleij101/ Program Continue modellen Continue modellen Voorbeeld Oplosmethoden Evenwicht, stabiliteit Discreet versus continue Terminologie Meer dimensionale eerste orde modellen Een dimensionale hogere orde modellen Resonantie Meer dimensionale eerste orde modellen, II Discrete modellen. Duidelijk tijdvak. Binnen het tijdvak verandert de situatie niet echt. Herten, vogels, zaadplanten, vlinders, scholen, nationaal inkomen,... Aantal individuen niet al te klein. Ook discreet in geval periodieke waarneming continu systeem. Continue modellen Veranderingen zijn niet gebonden aan een specifiek tijdvak. Bacteriën, algen, mensen,... concentratie giftige stof,... veeldeeltjessystemen (gassen, vloeistoffen),... bewegingen,... Aantal individuen zéér groot.

2 q(t) hoeveelheid Co 60 op tijdstip t. Aanname: Co 60 Ni 60 : Afname hoeveelheid Co 60 is evenredig met hoeveelheid materiaal en met tijdsduur (evenredigheid is beter als de tijdsduur korter is). Modeleer: q(t + t) q(t) α t q(t), met α > 0 (bekend) & = als t 0. Model. q (t) = α q(t) voor alle t 0. Oplossing. q(t) = q(0) e α t. Hangt af van q(0). Model. q (t) = α q(t) voor alle t 0. q(0) = q 0. Scheid de variabelen: Integreer: t 0 t 0 q (t) q(t) q(t) dt = 1 q 0 q Oplossen q (t) q(t) = α q (t) q(t) dt = t 0 αdt ( ) q(t) t dq = ln = αdt = α t q 0 0 T (halveringstijd) zodat q(t) = q(0)/2 α = ln2 T & q(t) = q(0) ( ) t 1 T. 2 q(t) = q 0 e α t Voorbeeld. q (t) = Scheid: Integreer: t Scheiden van variabelen q(t) t 2 3t+2 voor alle t t 0. q(t 0 ) = q 0. q (t) q(t) = 1 t 2 3t + 2 = 1 t 2 1 t 1 t t 0 q (t) q(t) dt = t t 0 1 t 2 1 t 1 dt q (t) q(t) t 0 q(t) dt = 1 q 0 q ( ) q(t) dq = ln = q 0 t 1 t 0 t 2 1 dt = ln t 1 t 1 t q(t) = q t 2 t 0 1 ( t 1 t 2 t0 2 t 0 1 ) q(t) concentratie gif (gr/m 3 ) in n meer op tijdstip t. Volume meer: V m 3. Instroom: v m 3 water per seconde (s) verontreinigd met l gram gif per m 3 water. Uitstroom: v m 3 water per seconde. Aanname: Verontreiniging verdeelt zich homogeen over het meer Modeleer: Model: V (q(t + t) q(t)) v l t v q(t) t. q = v l V v V q = v V (l q) voor t 0. Evenwicht als q (t) = 0 alle t ( q = l). Algemene oplossing: q(t) = (q(0) l) e α t +l met α v V

3 q (t) = α q(t) + r(t) voor alle t 0. Lineaire differentiaalvergelijking Homogeen (= lineair) deel: met oplossing q(t) = C e α t Inhomogeen deel: Oplosmethode. q (t) = α q(t) r(t). Vind n particuliere oplossing, zeg q part. Los het homogene deel op: q hom (t) = C e α t De algemene oplossing q is q = q part + q hom. De constante C wordt bepaald door de beginwaarde q 0, dat is de waarde van q op het begintijdstip. Voorbeeld. Voor α > 0, ν R, q = α q + cos(νt) ( ) Handigere variant. Merk op dat r e iνt = r cos(νt) + ir sin(νt): r cos(νt) = Re(r e iνt ). Bewering. Als q = α q + e iνt dan is q(t) Re( q(t)) een oplossing van ( ). Probeer q(t) = γ e iνt met γ = a + i b C en a, b R. iνγ e iνt = αγ e iνt + e iνt iνγ = αγ + 1 γ = 1 α+iν = α iν α 2 +ν 2= 1 α 2 +ν 2 e iφ met cos(φ) = α α 2 +ν 2,... q part (t) = = 1 α 2 +ν 2 Re(ei(νt φ) ) 1 cos(νt φ) α 2 +ν2 Verband met discreet model Model. x n+1 = κ x n q (t) = λ q(t) Oplossing. x n = κ n x 0 q(t) = q(0) e λ t Evenwicht. x n = 0 alle n q(t) = 0 alle t In het complexe vlak, λ met Re(λ)<0 λ t λ ζ zodat 1+ζ =1 Stabiel. κ < 1 Re(λ) < Verklaring verschil κ Re(λ) < 0 0 Met t n n t en q n q(t n ) geldt 0.5 q n+1 = q(t n + t) (1 + t λ)q(t n ) = (1 + t λ) q n Conclusie. We moeten κ < 1 vergelijken met 1 + t λ < 1. Stelling. Voor t > 0, en t voldoende klein is 1 + t λ < 1 Re(λ) <

4 Klassieke oorlogsvoering x(t) () is ( ) het aantal operationele soldaten van een 19-eeuws leger X (resp. Y ). De legers X en Y bevechten elkaar in n veldslag. Kan daaruit a s X en b s Y bepaald worden? Is er evenwicht (stabiel)? Wie wint? Aanname: De verliezen van X (Y ) zijn evenredig met de schietkracht van Y (resp. X), die evenredig is met het aantal operationele soldaten van Y (resp. X). Model: { x (t) = a s Y y (t) = b s X x(t) voor t 0 t t 0 + T, waarbij a, b < 0, s X, s Y > 0 bekend, evenals x(t 0 ) en y(t 0 ). Hoe verloopt het gevecht? Lineaire differentiaalvergelijkingen Ontkoppelen { x (t) = a s Y { x = a s Y y Eigenvectoren v i met eigenwaarden λ i y (t) = b s X x(t) y = b s X x. In matrix representatie: [ x ] [ ] [ ] x 0 a sy y = A met A =. y b s X 0 Splits, voor iedere t, Av 1 = λ 1 v 1 en Av 2 = λ 2 v 2. [ ] x(t) in eigenvectorcomponenten: = u(t)v 1 + w(t)v 2. { x (t) = 2 x(t) + { x = 2 x + y y (t) = x(t) + 2 y = x + 2 y. In matrix representatie: [ x ] [ ] x [ ] 2 1 y = A y met A = 1 2. Invullen levert het ontkoppelde stelsel: { u (t) = λ 1 u(t) w u(t) = C 1 e λ 1 t (t) = λ 2 w(t) w(t) = C 2 e λ 2 t zekere C 1, C 2.

5 Bewijs. & A [ x ] (t) y = u (t)v 1 + w (t)v 2. (t) = u(t)av 1 + w(t)av 2 = u(t) λ 1 v 1 + w(t) λ 2 v 2. Blijkbaar u (t)v 1 + w (t)v 2 = u(t)λ 1 v 1 + w(t)λ 2 v 2. Dus ( u (t) λ 1 u(t) ) v 1 + ( w (t) λ 2 w(t) ) v 2 = 0 en, omdat de eigenvectoren lineair onafhankelijk zijn, { u (t) = λ 1 u(t) w (t) = λ 2 w(t). Stabiliteit x (t) = (x 1 (t),..., x m(t)) T = Ax en Av j = λ j v j voor j = 1,..., m. Stelling. Als Re(λ 1 ) > Re(λ j ) voor j = 2,..., m, dan x(t) C 1 e λ 1 t v 1 voor grote t Als 0 > Re(λ j ) voor j = 1,..., m, dan x(t) 0 voor t Opmerking. De stelling geldt ook in geval van meervoudige eigenwaarden (dus als λ k = λ j voor zekere k j). Classificatie evenwichten 2-d (reëel) Classificatie evenwichten 2-d (reëel) [ x ] [ ] x y = A y met A = [ ] [ ] a11 a 12 x0, a ij, a 21 a 22 y 0 reëel. [ x ] [ ] x y = A y met A = [ ] [ ] a11 a 12 x0, a ij, a 21 a 22 y 0 reëel. A met eigenwaarden λ 1 en λ 2. det(a λi) = (a 11 λ)(a 22 λ) a 12 a 21 = λ 2 (a 11 + a 22 ) λ + (a 11 a 22 a 12 a 21 ) = λ 2 s λ + d met d det(a) a 11 a 22 a 12 a 21 s spoor(a) a 11 + a 22 λ 2 s λ + d = (λ λ 1 )(λ λ 2 ) A met eigenwaarden λ 1 en λ 2. d a 11 a 22 a 12 a 21 = det(a) = λ 1 λ 2 s a 11 + a 22 = spoor(a) = λ 1 + λ 2 4d s 2 λ 1, λ 2 R. d < 0 λ 2 < 0 < λ 1, zadelpunt (instabiel) 0 < 4d < s 2, s < 0 λ 2 < λ 1 < 0, stabiele knoop s > 0 0 < λ 2 < λ 1, instabiele knoop 4d > s 2 λ 1, λ 2 R, Re(λ 1 ) = Re(λ 2 ) s = λ 1 + λ 2 en d = λ 1 λ 2 s < 0 Re(λ 1 ) < 0, s > 0 Re(λ 1 ) > 0, s = 0 Re(λ 1 ) = 0, stabiel spiraal instabiel spiraal centrumpunt

6 4 Overzicht classificatie evenwichten in 2 d 3 stabiele spiraal centrumpunt instabiele spiraal 2 d 4d=s 2 1 stabiele knoop instabiele knoop 0 s 1 2 zadelpunt zadelpunt Horizontaal: s=spoor. Verticaal: d=det O 3-de orde differentiaal vergelijkingen φ l φ (3) = α 1 φ (2) + α 2 φ (1) + α 3 φ Companion vorm. Definieer x 3 φ, x 2 φ (1), x 1 φ (2). Ft Fl mg Massa m slingert aan een gewichtsloos touw van lengte l. Snelheid massa: v = l φ. Versnelling: a = l φ. Effect zwaartekracht (in bewegingsrichting): F t = m g sin(φ). x 1 = φ(3) = α 1 x 1 + α 2 x 2 + α 3 x 3 x 1 (t) α x 1 α 2 α 3 x 1 (t) 2 (t) = x 2 (t). x 3 (t) x 3 (t) Opmerking. Companion matrix is een Leslie matrix met s i = 1. Wrijving: F w = c l φ. Grootte afremming evenredig snelheid. Newton. F = ma m g sin(φ) c l φ = m l φ

7 Tweede orde differentiaal vergelijkingen φ = α φ + β φ Companion vorm. Definieer y φ, x y = φ. x = φ = α x + β y [ x ] (t) y = (t) [ α β 1 0 ] [ ] x(t) [ ] x(t) = C 1 e λ 1 t v 1 + C 2 e λ 2 t v 2 Tweede orde differentiaal vergelijkingen φ = α φ + β φ Stelling. Als λ 1 λ 2, dan φ(t) = = γ 1 e λ 1 t + γ 2 e λ 2 t, waarbij λ 1 en λ 2 oplossing van λ 2 = α λ + β en γ 1 en γ 2 zodat φ(0) = γ 1 + γ 2, φ (0) = γ 1 λ 1 + γ 2 λ 2 Dus φ(t) = = γ 1 e λ 1 t + γ 2 e λ 2 t met γ j is C j maal de tweede coördinaat van v j. γ 1 en γ 2 te bepalen uit de beginwaarden. 3-de orde differentiaal vergelijkingen φ (3) = α 1 φ (2) + α 2 φ (1) + α 3 φ Slinger φ = c m φ g l φ Stelling. Als λ i λ j, voor i j dan φ(t) = = γ 1 e λ 1 t + γ 2 e λ 2 t + γ 3 e λ 3 t, waarbij λ j oplossingen zijn van λ 3 = α 1 λ 2 + α 2 λ 2 + α 3 en γ j zodat φ(0) = γ 1 + γ 2 + γ 3, φ (0) = γ 1 λ 1 + γ 2 λ 2 + γ 3 λ 3 φ (0) = γ 1 λ γ 2 λ γ 3 λ 2 3. c = 0: λ 1 = λ 2 = iν met ν g l φ(t) = C cos(νt + δ) voor zekere constanten C [0, ) en δ [0,2π). c > 0: λ 1,2 = ρ ± ρ 2 ν 2 met ρ c ρ < ν: 2 m, ν g l. φ(t) = C exp( ρ t) cos( ν 2 ρ 2 t + δ) Demping ρ > 0: oscillerende demping als ρ < ν kritische demping als ρ = ν overdemping als ρ > ν Kritische demping: snelst terug naar de rust situatie

8 Slinger φ + 2ρ φ + ν 2 φ = cos(µt) met ρ c 2 m, ν g l Opmerking. φ = Re( φ) als φ + 2ρ φ + ν 2 φ = e iµt. Probeer φ(t) = H e iµt. Schrijf p(λ) λ ρ λ + ν 2. H = H(µ) = 1 p(iµ) = 1 µ ρ i µ + ν 2 Schrijf H = H e iδ. Dan φ part (t) = H(µ) cos(µt δ) µ ν en ρ 0 is de respons φ part op het input signaal op de duur groot (veel groter dan de input): we spreken over resonantie Slinger φ + 2ρ φ + ν 2 φ = cos(µt) met ρ c 2 m, ν g l Samenvatting voor het geval c > 0, ρ 2 c m ν g l. Homogeen deel heeft eigenwaarden λ i,2 = ρ ± i ν 2 ρ 2 eigenfrequentie ν 2 ρ 2. Inhomogeen systeem: oplossing φ = particuliere oplossing φ part + oplossing φ hom homogeen de Op den duur: φ φ part. Oscillerende input (aandrijving) met (hoek)frequentie µ levert oscillerende respons (output) φ part met zelfde frequentie µ, maar met verschoven fase, amplitude groot als µ ν en ρ 0 (resonantie), anders amplitude klein. Grote resonantie als frequentie aandrijving eigenfrequentie systeem In de praktijk: Slinger φ + 2 ρ φ + ν 2 φ = r(t) met r(t) = j α j cos(µ j t) Sterke respons als aan de volgende voorwaarden voldaan is. De eigenfrequentie ν van het systeem zit in de buurt van de frequentie µ j van n harmonische oscillatie α j cos(µ j t) in het input signaal r. Die oscillatie is significant: α j 0. De demping is gering: ρ 0. Als particuliere oplossing hebben we namelijk φ part (t) = j α j H(µ j ) cos(µ j t δ j ) Kanttekeningen. In praktijk heeft men te maken met (zeer) hoog dimensionale lineaire differentiaalvergelijkingen (met zeer veel eigenwaarden/eigenfrequenties). Hogere orde vergelijkingen worden middels n companion vorm omgeschreven naar een eerste orde vergelijking (waardoor de dimensie nog verder toeneemt). Electronische circuits (chips) hebben tot electrische componenten (Wet van Moore) (weerstanden, condensators, spoelen, etc.). dim > Andere toepassingen: Getijden (eb en vloed) Muziek (sithar, viool) Magnetic Resonance Imaging.

9 Classificatie evenwichten 2-d (reëel) [ x ] [ ] [ ] x a11 a 12 y = A met A =. y a 21 a 22 met eigenwaarden λ 1 en λ 2. d a 11 a 22 a 12 a 21 = det(a) = λ 1 λ 2 s a 11 + a 22 = spoor(a) = λ 1 + λ 2 d > 0 en s < 0: Stabiel 4d s 2 Knoop 4d > s 2 Spiraal Put d 0 of s 0: Instabiel d < 0 Zadelpunt ZADELPUNT d > 0 & 4d s 2 Knoop d > 0 & 4d > s 2 Spiraal BRON Analyse determinant is 0 d = det = 0, s = spoor < 0 λ 2 < λ 1 = 0 [ x ] [ ] [ ] [ ] (t) x(t) λ2 0 x(t) y = A = (t) 0 0 = C 1 v 1 + C 2 e λ 2 t v 2 met v 1 = (0,1) T en v 2 = (1,0) T Op den duur (d.w.z., voor t groot) C 1 v 1 Instabiel. Instabiele kam? Jordan kastjes, d = 2 Jordan kastjes, d = 2 4d = s 2, s 0 λ 1 = λ 2, Im(λ 1 ) = 0 [ x ] [ ] [ ] [ ] (t) x(t) λ1 1 x(t) y = A = (t) 0 λ 1 y = λ 1 y = C 2 e λ 1 t. x voldoet aan x (t) = λ 1 x(t) + C 2 e λ 1 t. Oplossing homogeen deel: C 1 e λ 1 t Particuliere oplossing (variatie van constante): C 2 (1 + t) e λ 1 t. Algemene oplossing: 4d = s 2, s 0 λ 1 = λ 2, Im(λ 1 ) = 0 [ x ] (t) y (t) = A, Av 1 = λ 1 v 1, Aṽ 1 = λ 1 ṽ 1 + v 1 = (C 1 + C 2 t) e λ 1 t v 1 + C 2 e λ 1 tṽ 1 met C i zo dat [ ] x(0) = C 1 v 1 + C 2 ṽ 1. y(0) Op den duur (t groot) C 2 t e λ 1 t v 1 x(t) = C 1 e λ 1 t + C2 (1 + t) e λ 1 t, = C2 e λ 1 t

10 Jordan kastjes, d > 2 λ 1 = λ 2 = λ 3, Im(λ 1 ) = 0 x 1 (t) λ x x 1 (t) 2 (t) x = 0 λ 1 1 x 2 (t) 3 (t) 0 0 λ 1 x 3 (t) Jordan kastjes & Companion vorm λ 1 = λ 2 = λ 3, Im(λ) = 0 φ (3) + α 0 φ (2) + α 1 φ (1) + α 3 φ = 0 met α i zodat (λ λ 1 ) 3 = λ 3 + α 0 λ 2 + α 1 λ + α 2 x 1 (t) = e λ 1 t [ C 1 + C 2 (1 + t) + C 3 (1 + t t2 ) ] x 2 (t) = e λ 1 t [C 2 + C 3 (1 + t)] Algemene oplossing: φ(t) = e λ 1 t [ C 1 + C 2 t + C 3 t 2] x 3 (t) = e λ 1 t [C 3 ] Op den duur (t groot) x 1 (t) C t2 e λ 1 t,... [ x ] [ ] [ ] [ ] (t) x(t) µ 1 x(t) y = A = met ε 0 (t) ε µ [ ] [ ] [ ] [ ] µ A = + : 0 µ ε 0 ε 0 ± = ± [ ] 1 ε ε ±. ε λ 1,2 = µ ± [ ] 1 ε, v 1,2 = ± ε A = [ ] a11 a 12, a a 21 a i,j R, 22 { d det(a) = a11 a 22 a 12 a 21 s spoor(a)=a 11 + a 22 4d = s d 2 ε > 0: ε < 0: C 1 e (µ+ ε) t v 1 + C 2 e (µ ε) t v 2, C i R knoop Re (C ) e µ t e i ε t v 1, C C spriraal Schrijf C = C e iδ. Dan oplossing: C e µ t Re e i( ε t+δ) 1 = C e µ t i ε cos( ε sin( ε t + δ) ε t + δ) Putten zadelpunten Bronnen s