TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, sectie Cardiovasculaire Biomechanica

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, sectie Cardiovasculaire Biomechanica"

Lennert van Wijk
5 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, sectie Cardiovasculaire Biomechanica Tussentijdse Toets Metingen en Modellen in de Kliniek (8VB10) pagina 1/4 Maximum score is 24 punten. De deelscores zijn in de linkermarge aangegeven per opgave. Er zijn drie opgaves. Begin met de vraag die je het makkelijkst kunt beantwoorden. Noteer deelstappen en argumentatie! Deze argumentatie is tenminste zo belangrijk als het antwoord. Ook goede antwoorden op delen van de vragen krijgen punten. Notebook is toegestaan, maar louter voor Matlab gebruik. Het formuleblad bevindt zich op pagina 4 1. Een abdominaal aorta aneurysma is inclusief thrombus (= bloedstolsel) verwijderd uit de patiënt en in het laboratorium getest om zo de mechanische eigenschappen van de verschillende componenten te bepalen. De response (beweging x) van zowel de wand (figuur, links) als de thrombus (figuur, rechts) is gemeten bij harmonische belasting (kracht F ) voor verschillende frequenties ω Amplitude (m/n) Amplitude (m/n) Frequency ω (rad/s) Frequency ω (rad/s) a. Wat kun je zeggen over de dempingsratio van de wand? b. Wat is de resonantiefrequentie ω 0 van de wand? c. We beschouwen enkel de wand (zonder thrombus): is deze resonantiefrequentie in vivo mogelijk gevaarlijk met het oog op ruptuur? d. Beargumenteer de rol van de thrombus bij aneurysma-ruptuur, betrek hierin de demping. Zal deze thrombus eerder mogelijke ruptuur voorkomen of hier juist aan bijdragen? e. Is in dit geval het gedrag van de thrombus puur elastisch of visco-elastisch?

2 Tussentijdse Toets Metingen en Modellen in de Kliniek (8VB10) pagina 2/4 2. Een variant van het vier-element Windketel model is hieronder grafisch weergegeven. Het model bestaat uit een tweetal weerstanden R i, een inductantie L en een capaciteit C. De totale drukval over dit systeem is p en de totale stroming door dit systeem is q. C L R1 R2 A ~ 3 pnt a. Pas de voltagewet van Kirchhoff toe op de lus met elementen L, R 1 en /C. b. Stel de stroomwet van Kirchhoff op voor knooppunt A. Vind een expressie waarbij q wordt uitgedrukt in de drukval over C, zijnde p C. c. Substitueer het antwoord van 2.a in het antwoord van vraag 2.b. Vul waar nodig de elementvergelijkingen in, zodat een differentiaalvergelijking met variabelen p en q overblijft. d. Schrijf de vergelijking in de vorm aq(t) + bq(t) + cq(t) = dp(t) + ep(t). Arteriën verstijven door aderverkalking. Stel dat deze verstijving oneindig groot is: e. Welke parameter wordt hierdoor beïvloed en wat zal zijn waarde zijn? Geef de resulterende differentiaalvergelijking uitgaande van uw antwoord bij vraag 2.d. 3. Bij patiënten met aderverkalking kunnen in de slagader-wand lokaal zogenaamde calcificaties ontstaan, kleine ophopingen van kalkafzetting. Deze calcificaties zijn over het algemeen erg stijf en belemmeren echografie van de slagader. Hieronder staat een grafische weergave van een model van de zieke slagaderwand. De normale vaatwand is gemodelleerd als een veer en demper. De calcificatie is gemodelleerd als massa.

3 Tussentijdse Toets Metingen en Modellen in de Kliniek (8VB10) pagina 3/4 Bw Kw Mca FBP a. Teken het free body diagram voor de calcificatie M ca. b. Stel de differentiaalvergelijking voor bovenstaand systeem op. Een specimen van de vaatwand wordt in het lab getest. De linkerzijde wordt vastgezet zoals in bovenstaande figuur. Aan de rechterzijde wordt een externe kracht F opgelegd, die lineair toeneemt volgens F (t) = 0.024t. Stel dat M = 10 g, B = 0.02 Ns/m en K = N/m. 3 pnt c. Bepaal de homogene en particuliere oplossing van deze tweede orde differentiaalvergelijking. d. Stel dat x(0) = 0 m en x (0) = 0 m/s. Wat is de resulterende oplossing voor deze tweede orde differentiaalvergelijking? Vervolgens wordt het specimen onderworpen aan een oscillerende kracht, F (t) = ˆF cos(ωt). 2 pnt e. Leidt uit de differentiaalvergelijking van vraag 3.b de systeem frequentie respons functie S(ω) en de bijbehorende amplitude en fase functies, respectievelijk A(ω) en ϕ(ω), symbolisch af. f. Geef de symbolische expressies voor de resonantie frequentie ω 0 en dempingsratio ζ en reken voor dit specimen de numerieke waarden van beide uit. De frequentie van de oscillerende kracht wordt op 10 rad/s gezet en de amplitude op N, ofwel F (t) = cos(10t). 2 pnt g. Beschouw de dempingsratio ζ uit opgave 3.f. Zal men bij een periodieke trekproef, zoals hierboven beschreven, veel hinder ondervinden van het zogenaamde inschakelverschijnsel? h. Geef de response van het systeem na geruime tijd (t ).

4 Tussentijdse Toets Metingen en Modellen in de Kliniek (8VB10) pagina 4/4 Electrisch V R (t) = RI(t) CV C (t) = I(t) V L = LI (t) Mechanisch F K (t) = Kx(t) F B (t) = Bx (t) Hydraulisch p R (t) = Rq(t) Cp C (t) = q(t) p L = Lq (t) Homogene oplossing voor 2 e orde ODEs: y hom (t) = Re(K 1 e λ1t + K 2 e λ2t ) voor twee verschillende roots y hom (t) = Re(K 1 te λ1t + K 2 e λ1t ) voor twee dezelfde roots y hom (t) = Re(e γ1t [d 1 cos γ 2 t + d 2 sin γ 2 t]) voor twee complexe roots Particuliere oplossing voor 2 e orde ODEs: Rechterzijde is f(t) = Q(t)e ωt Q(t) als ω λ 1 and ω λ 2 ; Q(t) + 1 als λ 1 λ 2 and ω = λ 1 or ω = λ 2 ; Q(t) + 2 als ω = λ 1 = λ 2. Cosinus regel c 2 = a 2 + b 2 + 2ab cos(α), met α de hoek tussen de twee vectoren Partiële Integratie f(x)g(x) dx = f(x)g(x) f(x) g(x)dx

5 1. Antwoorden: TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, sectie Cardiovasculaire Biomechanica Antwoorden Metingen en Modellen in de Kliniek(8VB10) a. De trilling is onder-gedempt, zie piek in amplitude bij ω 0, dus 0 < ζ < 1. () b. ω 0 = 7 rad/s. Onder-gedempt (0 < ζ < 1), dus 0 < ω d < 7. () c. ω 0 = 7 rad/s = Hz 67 slagen per minuut. De resonantiefrequentie bevindt zich rondom de hartfrequentie. Dit kan tot resonantie van de wand leiden. De bijbehorende versterkte verplaatsingen zouden mogelijk aan ruptuur kunnen bijdragen. () d. De grafiek laat zien dat de thrombus kritisch gedempt is. Het systeem zal niet oscilleren, noch zullen verplaatsingen versterkt worden. Volgend uit deze argumentatie, mag men concluderen dat de thrombus de bloeddruk pulsatie uitdempt en zo mogelijk scheuring van de wand voorkomt. () e. De response is gedempt, wat betekent dat viscositeit aanwezig is. Het gedrag is dus visco-elastisch. () 2. Antwoorden: a. p = p R1 + p L + p C (of p = p R1 + p L + p R2 ) () b. q = q L = q R1 = q C + q R2 () c. p C = p p R1 p L q = C dp C dt + p C q = C dp C dp R 1 dt dt C dp L dt + p p R 1 p L q = Cp CR 1 q CLq + 1 p R 1 q L q d. LCq(t) + (R 1 C + L )q(t) + (1 + R 1 )q(t) = Cp(t) + 1 p(t) e. C = 0, dus L q(t) + (1 + R 1 )q(t) = 1 p(t) (3 pnt) () () 3. Antwoorden: a. FK FB FBP Mx () b. F BP (t) = Mx(t) + Bx(t) + Kx(t) ()

6 c x(t) x(t) x(t) = 0.024t 10x(t) + 20x(t) + 10x(t) = 24t Homogeen, we proberen e λt : 10x(t) + 20x(t) + 10x(t) = 0 10λ λ + 10 = 0 λ 2 + 2λ + 1 = 0 Ofwel λ 1 = λ 2 = 1 (twee dezelfde, reële roots), dus x hom (t) = (K 1 + K 2 t)e λt = (K 1 + K 2 t)e t. Particulier, we schrijven f(t) = 24t = Q(t)e 0t met Q(t) = 24t. Aangezien ω λ 1 λ 1, is de orde van P(t) gelijk aan die van Q(t) = 24t. Invullen in de differentiaal vergelijking levert: 20a + 10at 10b = 24t, waaruit volgt dat a = 2.4 en b = 4.8. De totale particuliere oplossing is als volgt: x part (t) = 2.4t 4.8 (3 pnt) d. x tot (t) = (K 1 + K 2 t)e t + 2.4t Invullen levert x tot (0) = K = 0, ofwel K 1 = 4.8. Vervolgens differentiëren we x tot, wat leidt tot x tot(t) = (K 1 + K 2 t)e t + K 2 e t Invullen levert x tot(0) = K 1 + K = 0, ofwel K 2 = K = 2.4. Dus: x tot (t) = ( t)e t + 2.4t 4.8 () e. S(ω) = x = 1 F 1 A(ω) = M caω 2 +iωb w+k w, (K en w M caω 2 ) 2 +(ωb w) 2 B ϕ(ω) = arctan( wω K w M caω ) () 2 K f. ω 0 = w = 1 = 1 rad/s. M ca 1 ζ = = 1. (3 pnt) B 2 KM g. Nee, de trilling is kritisch gedempt. Het inschakelverschijnsel zal zonder oscillaties snel uitdoven. () h. Er wordt gevraagd om de steady state oplossing, ofwel een gedwongen trilling: A(10) = 1 ( ) 2 +( ) 2 = 0.99 B ϕ(10) = arctan( wω K w M caω ) = 2.94 x 2 ss (t) cos(10t 2.9) (2 pnt)

Vergelijkbare documenten

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, sectie Cardiovasculaire Biomechanica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, sectie Cardiovasculaire Biomechanica Eindtoets Metingen en Modellen in de Kliniek (8VB10) pagina 1/6 Maximum score is 50 punten. De