Transcriptie

1 EXAMEN Mechanische Eigenschappen Biologische Weefsels VAKCODE 8W200 DATUM 20 Maart u Bij dit examen mag gebruik worden gemaakt van het diktaat: Mechanical Properties of Living Tissues, Diktaatnummer 4783, het boek van Guyton alsook matlab op de laptop. De antwoorden van opgave 5 en 6 moeten op een apart blad staan. Het examen bestaat uit 6 opgaven. Opgave 1: waardering 20 punten Van een materiaal met vezels t.o.v. de basis ( e 1, e 2 ), waarvoor geldt dat e 1 langs de vezelrichting ligt, is de volgende stijfheidsmatrix t. o. v. basis ( e 1, e 2 ) gemeten: S = We gaan een stukje van dit materiaal in een biaxiale trekbank in 2 richtingen oprekken, zodanig dat de lengte 4 % toeneemt (x-richting) en de breedte 2% afneemt (y-richting). Er mag worden uitgegaan van kleine-vervormingentheorie. Het proefstukje is zo gesneden, dat de vezelrichting een hoek van 30 o maakt met de trekrichting (zie figuur). Het hele probleem is 2 dimensionaal. a) Geef de rekmatrix ɛ voor dit probleem t.o.v. basis ( e 1, e 2 ). ɛ 12 = ( b) Bereken de spanningen in het materiaal. Geef daarbij duidelijk aan t.o.v. welke basis u die spanningen definieert. ( ) σ = c) Bereken de hoofdspanningen en hoofdspanningsrichtingen. σ 1 = 2.211, σ 2 = ( ) v 1 = ( ) v 2 = )

2 Figuur 1: De onderlinge positie van beide bases. Opgave 2: waardering 20 punten 2. Een rechthoekig proefstukje humane huid (dikte 1 mm) wordt mechanisch getest. Het proefstukje is gedompeld in PBS-oplossing (druk=0) en wordt uniaxiaal belast met een stap in de spanning van 0 tot 100 kpa waarna de spanning konstant gehouden wordt. De stap wordt in minder dan 1 ms aangebracht. De rek in de belastingsrichting loopt ogenblikkelijk op tot 4 % en stijgt vervolgens asymptotisch naar 5 % in ongeveer 5 uur tijd. Om het materiaalmodel zo simpel mogelijk te maken gaan we uit van een poreuze incompressibele isotroop lineair elastische vaste stof verzadigd met een incompressibele vloeistof. Een matrixpotentiaal laten we buiten beschouwing. Als het proefstukje lange tijd onder dezelfde belasting heeft gestaan dan is de vloeistofdruk in het proefstukje gelijk aan de vloeistofdruk in de omgevende vloeistof. Dus gelijk aan 0. De effectieve spanning is dus gelijk aan de totale spanning bij t =. Aangezien de vloeistof dan alle tijd gehad heeft om in en uit te stromen is het proefstukje als geheel dan wel degelijk veranderd van volume, hoewel de vaste stof en de vloeistof incompressibel zijn. Direct na het aanbrengen van de belasting heeft de vloeistof nog niet de tijd gehad om weg te stromen. trɛ is dus nul. Maar ditmaal is de vloeistofdruk niet nul. Dus hebben we Dus zijn de relaties voor t = 0 te schrijven als en voor t = als t = 0, p 0, trɛ = 0 t =, p = 0 trɛ 0 σ 11 = E 1+ν (ɛ 11 + ν 1 2ν (ɛ ɛ 22 )) p σ 22 = E 1+ν (ɛ 22 + ν 1 2ν (ɛ ɛ 22 )) p 100kP a = E 1+ν 0.04 p 0 = E 1+ν ( 0.02) p 100kP a = E 1+ν ( ν 1 2ν ( ɛ 22)) 0 = E 1+ν (ɛ 22 + ν 1 2ν ( ɛ 22)) Dit levert vier vergelijkingen op met 4 onbekenden : E, ν, p en ɛ 22. a) Bereken de elasticiteitsmodulus E van het proefstukje. E=2 MPa

3 b) Wat is de dwarse rek direct na het aanbrengen van de belasting, als het gehanteerde model juist is? ɛ 22 = 0.02 omwille van incompressibiliteit en het feit dat er direct na het aanbrengen van de belasting nog geen water is aangezogen. c) Bereken de Poissonverhouding van het proefstukje. ν = 0.2 d) Wat is de waarde waarnaartoe de dwarse rek moet toegaan bij toenemende tijd als de modelveronderstellingen opgaan? ɛ 22 = 0.01 e) Schat de hydraulische permeabiliteit van het proefstukje. Uit vgl. (3.18) en (3.12) van het diktaat: K = ( x)2 H t = = m 4 /Ns Waarbij uitgegaan is van transport van water over een afstand van maximaal een halve mm (halve dikte) en een tijd van 5 h.

4 Opgave 3: waardering 20 punten Een visco-elastisch materiaal wordt beschreven met behulp van een Maxwell model, waarvoor geldt: k ɛ = σ τ + σ Het materiaal wordt vanaf tijdstip t = 0 onderworpen aan een lineair oplopende rek, volgens: Figuur 2: Het verloop van de rek als functie van de tijd. ɛ = Ct a) Welke relaxatiefunctie G(t) hoort bij dit model? De relaxatiefunctie is de spanningsrespons op een eenheidstap in de rek. De vergelijking die dient opgelost te worden is dus: k H(t) = σ τ + σ Voor t > 0 is H(t) = 0, en we zoeken alleen de oplossing na t = 0. Dus we moeten alleen de algemene oplossing van de homogene vergelijking vinden. Deze bevat 1 integratieconstante want het is een 1ste orde vergelijking. Deze integratie constante volgt uit de begin voorwaarde. De AOHV is : σ = αe t/τ De integratieconstante is te bepalen door de voorwaarde bij t=0. Bij t=0 is de afgeleide van de spanning en de rek zeer hoog, theoretisch oneindig hoog. De term σ τ is dus vergeleken bij de anderen verwaarloosbaar. We vinden dus : Omdat per definitie De sprong in de spanning bij t=0 is : En daarom is de relaxatie functie G(t) : σ t = k H(t) t H(t) = 1 σ = k G(t) = ke t/τ

5 b) Geef een uitdrukking voor σ(t) door de differentiaalvergelijking op te lossen. Hint: probeer als particuliere oplossing σ = at + b, met a en b nog nader te bepalen constanten. AOHV: σ = αe t/τ POTV: Volgens hint σ = at + b. DEZE SUBSTITUEREN WE NU EERST IN DE TOTALE VERGELIJKING : of kc = at + b τ + at + b kc at + b a = 0 τ NU MOET DIT GELDEN VOOR ALLE t. Dus de cooefficiënt voor t moet nul zijn: En de constante moet ook nul zijn Of Dus is POTV: en de AOTV=POTV+AOHV: a/τ = 0 kc b τ a = 0 a = 0 σ = kcτ b = kcτ σ = kcτ + αe t/τ Er is één integratieconstante in de oplossing nl. α omdat het een eerste orde vergelijking betreft. Die wordt bepaald met de beginvoorwaarde Dus is En dus is de spanningsrespons: σ = 0 voor t = 0 α = kcτ σ = kcτ(1 e t/τ ) c) Na t = t 1 neemt de rek weer met de zelfde reksnelheid af tot nul (zie figuur). Wat is de spanning op t = t 2 = 2t 1? σ(t 2 ) = kcτ(1 e t 2/τ ) 2kCτ(1 e (t 2 t 1 )/τ )

6 Opgave 4 waardering 20 punten Een veel gebruikte materiaalwet in niet-lineaire software pakketten als MARC is de volgende lineaire relatie tussen de 2e-Piola-Kirchhoff-spanning en de Green lagrange rek: met: S = λtr(ē)ī + 2µĒ tr(ē) = E 11 + E 22 + E 33 Ē = 1 2 (F T F Ī) = S det(f )F 1 T σ F a) Teken de relatie tussen 2de Piola Kirchhoff spanning en Green-Lagrange rek voor uniaxiale trek en druk in de 1-richting voor 0.20 < E 11 < De materiaalconstanten zijn λ = 20MP a en µ = 5MP a. Uit het diktaat vgl. (4.48) waarbij E 11 = 1 2 (λ2 1 1): S 11 = µ(3λ + 2µ) E 11 λ + µ Pas hierin de waarde van λ en µ en teken de lineair relatie tussen S 11 en E 11. b) Bij een starre rotatie wordt de deformatiematrix gegeven door: F cos(φ) sin(φ) 0 = sin(φ) cos(φ) 0 F Wat is de spanningsmatrix in deze situatie? Substitueer in de definitie van de Green- S F Lagrange rek en je vindt de nul matrix. De spanning is dus ook nul wat zo verwonderlijk S is voor een starre rotatie. Een substantieel deel van studenten blijken jammer genoeg niet te weten dat cos 2 α + sin 2 α = 1. c) Voor simple shear geldt: F = Wat is de spanningsmatrix in deze situatie? S Precies dezelfde procedure. S = Ē = γ γ 0 γ γ γ 2 5γ 0 5γ 15γ γ 2

7 Opgave 5 waardering 10 punten DEZE TWEE VRAGEN OP EEN APART BLAD! a) Beschrijf de verschillende fases van de wondgenezing (grondplan van wondgenezing). b) Geef bij elke fase de cellen weer die erbij zijn betrokken. c) Beschrijf de functie van de onder b) beschreven cellen. Opgave 6 waardering 10 punten DEZE TWEE VRAGEN OP EEN APART BLAD! a) Beschrijf de synthese van collageen. b) Geef aan welke processen binnen de cel plaatsvinden en welke buiten de cel. c) Beschrijf hoe de interstitiële (type I en III) collagenen aan hun viscoelastische eigenschappen komen.