Eindtoets: Numerieke Analyse van Continua

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Eindtoets: Numerieke Analyse van Continua"

Bert de Vries
5 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Eindtoets: Numerieke Analyse van Continua Donderdag 3 November: u Code: 8MC00, BMT 3.1 Biomedische Technologie Technische Universiteit Eindhoven Dit is een open boek examen. Het gebruik van de notebook en MATLAB en mlfem_nac wordt aanbevolen. Het examen bestaat uit 8 vragen. Er zijn 6 vragen met een waardering van 10 punten per vraag (1 t/m 6) en 2 vragen met een waardering van 20 punten (7 en 8). Iedere vorm van draadloze communicatie is verboden. Vraag 1 (10 punten) Gegeven de volgende differentiaalvergelijking voor u = u(x, t) op het domein 0 x 3: ( ) u u α 1 α 2 x x t + α 3 u sin(u) = 0 met α 1, α 2 en α 3 constanten. Geef de zwakke formulering van dit probleem. Beschrijf zorgvuldig de tussenstappen. Vraag 2 (10 punten) Beschouw de twee-dimensionale elementverdeling in onderstaande figuur, bestaande uit driehoeken, één vierhoek. Er worden in totaal 8 knooppunten gebruikt. De mesh wordt gebruikt voor een simulatie van een vaste stof probleem, dus elke knoop heeft 2 vrijheidsgraden, de verplaatsingen u en v in de x- en y-richting. Laat de globale oplossingsarray sol als volgt geordend zijn: sol = [u1 v1 u5 v5 u3 v3 u8 v8 u v u6 v6 u2 v2 u7 v7] waarbij u de verplaatsing in x-richting en v de verplaatsing in y-richting is. Het cijfer achter de letter geeft het knooppuntsnummer aan. Bepaal het array dest. 1

2 Vraag 3 (10 punten) Beschouw de de volgende integraal: I = 3 1 sin(x) + 1 dx x Bepaal de benaderingsoplossing van deze integraal I met behulp van 2-punts Gauss integratie (gebruik MATLAB en schrijf de gebruikte code op het antwoordvel) Vraag (10 punten) We willen de volgende gewone differentiaalvergelijking oplossen: 2 du u = 2t dt met u = u(t) en de beginconditie u(0) = u 0 op tijdstip t = 0. Leid een zogenaamd θ-schema af met een eindige tijdstap t en θ = 1 2 Vraag 5 (10 punten) Beschouw het element dat gegeven is in de figuur. Het element heeft 9 knopen waarvan de locaties kunnen worden afgeleid uit de figuur. Geef, uitgedrukt in de globale coordinaten x en y, de vormfuncties N 3 (x, y) en N 5 (x, y) voor dit element behorende bij knoop 3 en knoop 5. 2

3 Vraag 6 (10 punten) Hieronder wordt een stukje MATLAB code gegeven voor het berekenen van een locale elementstijfheidsmatrix. Het gaat om een kwadratisch een-dimensionaal element voor het oplossen van een diffusieprobleem. In de code zijn een 5-tal regels niet afgemaakt. Geef aan op uw antwoordvel wat er moet komen te staan op die ontbrekende regels om een correct werkende routine te krijgen. function [qe,rhse]=elem1(coord,top,ielem,mat,norder) % % functie om element matrix te berekenen voor % voor 1-D-kwadratisch element voor diffusieprobleem % met 3 knopen c=mat(1); f=mat(2); nint=2 nlnodes=length(top(ielem,:))-1; xe=coord(top(ielem,1:nlnodes)) Wi=[1,1]; ksi=[, ]; %%%%%%% vul aan %%%%% qe=zeros(3) rhse=zeros(3,1) for i=1:nint x=ksi(i); N=[ ; ; ]; %%%%%%% vul aan %%%%% dndksi=[ ; ; ]; %%%%%%% vul aan %%%%% dxdksi=dndksi *xe; dksidx=1/dxdksi; qe= ; %%%%%%% vul aan %%%%% rhse= ; %%%%%%% vul aan %%%%% end 3

$Gebruik mlfem_nac om de vervormde toestand van dit proefstuk uit te rekenen. Daarvoor passen we de file demo_bar in de directory \twode aan.$

4 Vraag 7 (20 punten) We willen een uniaxiale test met een biologisch materiaal modelleren (zie figuur). Een rechthoekig proefstuk (100 0 mm) wordt aan twee zijden is ingeklemd en vervolgens opgerekt. Gebruik mlfem_nac om de vervormde toestand van dit proefstuk uit te rekenen. Daarvoor passen we de file demo_bar in de directory \twode aan. In verband met symmetrie modelleren we een kwart van het probleem. Maak daarvoor een elementenmesh van mm. De materiaaleigenschappen zijn: Young s modulus E = MPa and de Poisson s constante ν = 0.. De randvoorwaarden zijn als volgt: Rand Γ1 zit vast in y-richting, maar kan in x-richting vrij bewegen (symmetrielijn). Rand Γ2 kan niet bewegen in y-richting en heeft een voorgeschreven verplaatsing van 10 mm in x-richting. Rand Γ3 is vrij Rand Γ zit vast in x-richting maar kan in y-richting vrij bewegen (symmetrielijn) Gebruik kwadratische vierhoekselementen en een toestand van vlakspanning (plane stress). Gebruik 10 elementen in x-richting en elementen in y-richting. Maak een schets van de y-verplaatsing van de punten op de curve Γ en geef de numerieke waarde van de y-verplaatsing van het punt (x, y) = (0, 20). Hint: Geef op je antwoordvel aan welke wijzigingen je hebt aangebracht in de demo file.

5 Vraag 8 (20 punten) In een twee-dimensionaal coördinatensysteem is een bilineair isoparametrisch element met knooppunten gegeven. De knooppuntscoördinaten x en y zijn gespecificieerd in onderstaande tabel. Tevens zijn de isoparametrische coördinaten ξ en η aangegeven. Het element wordt gebruikt om een temperatuurveld T (x, y) uit te rekenen. knooppunt x y ξ η De vormfuncties voor dit element luiden: N 1 (ξ, η) = 1 (1 ξ)(1 η) N 2 (ξ, η) = 1 (1 + ξ)(1 η) N 3 (ξ, η) = 1 (1 + ξ)(1 + η) N (ξ, η) = 1 (1 ξ)(1 + η) De oplossing in de knooppunten behorende bij dit element wordt gegeven door: T=[ ] a) Bereken de temperatuur in het punt P met de locale coordinaten ξ=0.5 en η=0 (waardering 10 punten) b) Wat zijn de globale x, y- coordinaten van het punt P? (waardering 10 punten) (hint: het is handig om hierbij van MATLAB gebruik te maken) 5

Vergelijkbare documenten

Tentamen numerieke analyse van continua I

Tentamen numerieke analyse van continua I Donderdag 13 november 2008; 14.00-17.00 Code: 8W030, BMT 3.1 Faculteit Biomedische Technologie Technische Universiteit Eindhoven Het eamen is een volledig open