Voorbereiding op de de cursus. E = mc 2. Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek

Transcriptie

1 Voorbereiding op de de cursus E = mc Najaar 08 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek In dit document staan de uitwerkingen van de opgaven ter voorbereiding van de lezing. Inhoudsopgave Inleiding De A 3 Algebra 4 4 Kleine afwijkingen van 5 Inleiding Ik hoop dat u dit documentje leest omdat u uw eigen antwoorden wilt checken en dat die allemaal goed zijn. Mocht dat niet of niet helemaal gelukt zijn, wees gerust, zoals gezegd, al deze zaken komen tijdens de lezing aan de orde en worden dan nog even rustig uitgelegd. De A De vraag was: U weet, hopelijk niet uit pijnlijke ervaring, dat op de A van Utrecht naar Amsterdam en terug trajectcontrole is. Aan het begin van het traject wordt u geklokt en aan het einde ook weer. Zo kan men uw gemiddelde snelheid berekenen en als die boven de 00 kilometer per uur ligt, krijgt u gegarandeerd een bon op de mat. Stel u staat stil op de vluchtstrook precies bij (net vlak voor) de controlecamera s. U trekt op en een u versnelt lineair. Dat wil zeggen dat u

2 na 6 minuten keer zo hard rijdt als na 3 minuten. En bijvoorbeeld na minuten 3 keer zo hard als na 4 minuten. Op het moment dat u de tweede set controlecamera s passeert (en weer wordt geklokt) rijdt u 80 kilometer per uur (oeps, een beetje hard). De vraag is: kunt u een bekeuring verwachten? Het antwoord is: Nee, u krijgt geen bekeuring. Uw gemiddelde snelheid is namelijk 90 kilometer per uur. Hoe is dit in te zien? Wie het moeilijk wil doen roept de integraalrekening te hulp (zie manier 3). Maar het kan ook als volgt: Manier : Er is een kleine tijdspanne in het begin dat u ongeveer kilometer per uur rijdt. Aan het einde is er een evengrote tijdspanne dat u snelheid 79 kilometer per uur is. Gemiddelde over deze twee stukjes van de totale tijd is dus 90 kilometer per uur. Even zo is er een stukje dat u 30 rijdt en aan het einde dat u 60 rijdt. Weer een gemiddelde van 90. Manier : Als u dit niet overtuigd kan het ook op grafische wijze: in figuur Figuur : Grafiek van de snelheid afhankelijk van de tijd is de snelheid die u heeft op bepaald moment t uitgezet tegen die tijd. Aangezien deze lineair toeneemt is dat dus een rechte lijn. Tezamen met de t-as en de verticale lijn op t = T vormt die een driehoek, waarbij T de tijd is dat we erover hebben gedaan (die kennen we dus niet, maar dat blijkt ook niet nodig). Nu kunnen we inzien dat de oppervlakte van deze driehoek gelijk is aan de totale afstand die we tussen de twee controlepunten hebben gereden. En wel als volgt: Op tijdstip t is onze snelheid v(t), de afstand die we dan in een héél klein

3 tijdje t afleggen is dan dus bij benadering v(t). t. Dat is de oppervlakte van een vertikaal balkje onder de grafiek. Onze totale afstand is de de som van de oppervlaktes van al dit soort balkjes en dat is de oppervlakte van de driehoek. Nu is deze driehoek rechthoekig dus de oppervlakte ervan is de helft van de rechthoek waar hij inpast. Dus de oppervlakte is 80.T = 90T en daarmee dus ook de totale afgelegde weg. Maar als we in een tijd T een afstand afleggen van 90T, dan was onze gemiddelde snelheid dus 90. Manier 3: Als u echt indruk wilt maken, doet u het via integraalrekening: op t = 0 vertrekt u en op t = T passeert u de tweede controlepunt. Uw snelheid is een lineaire functie van t, dus ziet er als volgt uit: v(t) = at, met a een constante (in feite uw versnelling). Verder weten we dat de snelheid op t = T 80 kilometer per uur is dus: v(t ) = at = 80 () Nu is de afgelegde weg van een tijdstip t naar het tijdstip t + dt: v(t).dt (vergelijkbaar met de benadering v(t). t uit manier ). De totale afgelegde weg is dus: T v(t)dt = T atdt () 0 0 = [ at ] T 0 = at (3) = 80T = 90T (4) Stap van () naar stap (3): at d is primitive van at, d.w.z: ( dt at ) = at. Stap van (3) naar stap (4): Vul () in. Conclusie: Manier en 3 zijn natuurlijk in wezen hetzelfde. Per slot kan men de oppervlakte on de de grafiek van een functie ook door middel van integraalrekening bepalen. Hoewel we wat spottend deden over manier 3 is dit natuurlijk wel de meest algemeen toepasbare, ook in andere situaties. Maar voor deze lezing hebben dat niet nodig. In het bijzonder is integraal rekening niet nodig als voorkennis van de lezing. 3

4 3 Algebra We hebben de volgende vergelijking: Hierin zijn c en v vaste getallen. (vt) + (cτ) = (ct) (5) De vraag was: Bereken het verband tussen τ en t. Dus zoiets als: of De oplossing is: τ = iets met t, v en c (6) t = iets met τ, v en c (7) (vt) + (cτ) = (ct), haakjes wegwerken: v t + c τ = c t, alles met t naar één kant: c τ = c t v t, t buiten haakjes: c τ = (c v )t, beide zijden delen door c : τ = (c v )t c, anders schrijven: τ = ( v c )t, beide zijden wortel trekken: τ = v c t, Klaar! We kunnen nu ook makkelijk t uitdrukken in de rest: t = v /c τ De uitdrukking die voor τ staat komt heel erg vaak voor in de relativiteitstheorie. Daarom geven we die een eigen symbool: γ = γ v := v /c De subscript v wordt gebruikt als het belangrijk is om de de afhankelijkheid van v aan te geven. 4

5 4 Kleine afwijkingen van Laten we de rekenmachine er eens bijpakken en het volgende uitrekenen: iets extremer: nog extremer: 0, 0 = 0, 99 =, , 0003 = =, , , , = =, , , Zie u het patroon? Ja: Het patroon lijkt te zijn: ɛ + ɛ (8) Waarbij ɛ een héél klein getalletje is. Waarom zou dit zo zijn? Een verklaring: We kunnen vermoeden dat het linkerlid van (8) een héél klein beetje groter is dan. We schrijven daarom: ɛ = + δ (9) Als we nu (9) beide zijden met ɛ vermenigvuldigen dan krijgen we: = ( ɛ)( + δ), haakjes wegwerken: = ɛ + δ ɛδ, valt weg: 0 = ɛ + δ ɛδ, ɛδ is verwaarloosbaar: 0 ɛ + δ, en dus: δ ɛ, Klaar! (8) is verklaart. Kunt u iets dergelijks verzinnen voor: ɛ... (0) 5

6 Ja: Als we met de rekenmachine wat voorbeelden doen: 0, 0 = 0, 99 = 0, , iets extremer: 0, 0006 = 0, 9994 = 0, , Het lijkt erop dat geldt: ɛ ɛ () Kunnen we dit ook verklaren? Natuurlijk! En wel als volgt: We vermoeden weer dat zal gelden ɛ = δ, waar bij dus zowel ɛ als δ zeer klein zijn, zodat producten daarvan verwaarloosbaar zijn. Dan: ɛ = δ, beide zijden kwadrateren: ɛ = ( δ), rechterkant uitwerken (merkwaardig product): ɛ = δ + δ, valt weg: ɛ = δ + δ, δ is verwaarloosbaar: ɛ δ, en dus: δ ɛ, Klaar! () is verklaart. Als we nu (8) en () combineren dan krijgen we: ɛ ɛ + ɛ () Hebt u trouwens enig idee waar we () voor zullen gaan gebruiken? Hint: kijk eens naar de γ uit paragraaf 3 in het geval dat v c (v heel erg klein vergeleken bij c). Maar laten we niet verder gaan, anders verklappen we alles al van de lezing. 6