E = m c 2. Massa. Energie. (licht-) Snelheid. Wetenschappers en denkers. E=mc 2 HOVO. Hoe u het zelf had kunnen bedenken 1.

Transcriptie

1 Energie Massa E = m c 2 en hoe u het zelf had kunnen bedenken. (licht) Snelheid Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Wetenschappers en denkers Galileo Galilei Isaac Newton James Clerk Maxwell Hendrik Antoon Lorentz Albert Einstein 1905 Hoe u het zelf had kunnen bedenken 1 2

2 Programma 1 1. Tijd en ruimte. Relatieve snelheden 2. Energie en Massa 3. Wetten van Maxwell 4. Einstein: lichtsnelheid absoluut 5. Tijds vertraging 6. Gedachten experiment: biljart ballen Klassiek Einstein 3 Optellen snelheden; wagon referentiekader ut u t Dan: ut : snelheid van bal (b.v. 10 meter per seconde) : tijd dat de bal rolt (b.v. 2 seconden) : afstand afgelegd (dus 10x2=20 meter) Hoe u het zelf had kunnen bedenken 2 4

3 Optellen snelheden; bewegende wagon Oftewel: perron referentiekader u W t vt Geldt ook als u W < 0: b.v. u W = 1, dan u P = 2, Zelfs kan u W = 3 dan u P = 0! u W v t u P Dan: u W tvt Dus: : snelheid van bal ten opzichte van wagon (bv 10 m/sec) : snelheid van de wagon (bv 3 m/sec) : tijd dat we het bekijken (b.v. 2 seconden) : snelheid ten opzichte van perron (willen we uitrekenen!) : afstand afgelegd ten opzicht van perron (dus 10x2 3x2 =26 meter) : snelheid bal ten opzichte van perron: (u W tvt)/t = (u W v)t/t = c W v (dus 103=13 m/sec) Conclusie: snelheden tellen op: u P = u W v 5 Dwarse beweging; wagon referentiekader u t Dan: ut : snelheid van bal : tijd dat de bal rolt : afstand afgelegd (=breedte van de wagon) Hoe u het zelf had kunnen bedenken 3 6

4 Dwarse beweging; rijdende wagon Oftewel: perron referentiekader u P t u W t vt u W : snelheid van bal op de wagon (dwars) t : tijd dat de bal rolt v : snelheid wagon We willen uitrekenen: u P : snelheid ten opzichte van het Perron referentie kader 7 Programma 2 1. Tijd en ruimte. Relatieve snelheden 2. Energie en Massa 3. Wetten van Maxwell 4. Einstein: lichtsnelheid absoluut 5. Tijds vertraging 6. Gedachten experiment: biljart ballen Klassiek Einstein Hoe u het zelf had kunnen bedenken 4 8

5 Potentiële energie We vragen ons af hoeveel energie het kost om een gewicht van m kilo een hoogte van h meter omhoog te brengen. h m Stel dat de energie om 1 kilo 1 meter omhoog te brengen b is. Dan: 5 kilo 1 meter omhoog: b.5 5 kilo 3 meter omhoog: b.5.3 m kilo h meter omhoog: bmh Potentiële energie: E pot (m, h) = bmh We zouden b=1 zelfs kunnen kiezen! Maar dat is niet verstandig. (op de volgende slide blijkt beter: b=a Zwaartekrachtsversnelling) 9 Kinetische energie Alle voorwerpen vallen (ongeacht hun gewicht) Op dezelfde manier. Zwaartekrachtsversnelling: 10 sec Dus als de tijdsduur t is Dan is de snelheid aan Bij neerkomen: v = at (2) Kogel met massa m ligt op hoogte h. heeft dan potentiële energie van E pot (m, h) = bmh (1) De kogel valt van de tafel. Tijdens de val gaat de potentiële energie over in kinetische energie. h Handige keus Voor b is dus a! Dan wordt (3): E kin (m, v) = 2 h Snelheid neemt gestaag toe van 0 naar v. Gemiddelde snelheid? B1!! Dus geldt: h = t Combineren met (2): h = = 2 E kin (m, v) = bmh = bm 2 = B2 2 (3) Hoe u het zelf had kunnen bedenken 5 10

6 Gewicht meten in gewichtloosheid: botsingen Weegschalen werken bijna altijd met behulp van de zwaartekracht. 11 Trage massa Rode bal weegt 1 kilo. Hoeveel weegt de zwarte? Antwoord: 2,6 kilo! Wet van behoud van impuls: impuls = massa x snelheid. m zwart.v zwart = m rood.v rood Vertikaal geldt: m zwart x 10 = 1 x 26 m zwart = 2,6 Hoe u het zelf had kunnen bedenken 6 12

7 Programma 3 1. Tijd en ruimte. Relatieve snelheden 2. Energie en Massa 3. Wetten van Maxwell 4. Einstein: lichtsnelheid absoluut 5. Tijds vertraging 6. Gedachten experiment: biljart ballen Klassiek Einstein 13 Wetten van Maxwell en zijn AHA erlebnis! Wet van Gauss /Coulomb MaxwellFaraday Elektrische lading veroorzaakt en elektrisch veld Een veranderend magnetisch veld veroorzaakt ook een elektrisch veld Gauss voor magnetisme Wet van Ampère Er zijn geen magnetische monopolen Een stroom veroorzaakt een magnetisch veld en een veranderend elektrisch veld veroorzaakt ook een magnetisch veld James Clerk Maxwell Maxwell zag dat het nodig was om hier nog een term toe te voegen Bekijken we nu een lege ruimte dan vallen de termen en weg. Er blijkt dan een oplossing te zijn in in termen van elektromagnetische golven: De snelheid van deze golven is dan:. En toen James dat uitrekende bleek dat praktisch gelijk aan de (toen) bekende lichtsnelheid!!! Hoe u het zelf had kunnen bedenken 7 14

8 Einstein: relativiteit bij Maxwell merkwaardig Zur Elektrodynamik bewegter Körper Geleider beweegt: lading beweegt door magnetisch veld: Lorentz kracht Magneet beweegt: veroorzaakt Elektrisch veld: Faraday kracht B3 15 Stroom en magnetische veld Hoe u het zelf had kunnen bedenken 8 16

9 Probleem met elektromagnetisme Q In stroomdraad evenveel negatieve deeltjes als positieve deeltjes per meter. Dus elektrisch Neutraal en dus geen elektrische veld. Negatieve deeltjes bewegen naar rechts, dus een stroom en dus een magnetisch veld. Maar dit heeft geen effect op Q, want Q beweegt niet. Conclusie: Geen kracht op Q. Bekijk de hele situatie nu vanuit een trein die naar rechts rijdt (evenhard als de negatieve deeltjes). Q De lorentz contractie uit de speciale relativiteitstheorie lost dit op. In stroomdraad (nog steeds) evenveel negatieve deeltjes als positieve deeltjes per meter. Dus elektrisch Neutraal en dus geen elektrische veld. Positieve deeltjes bewegen naar links, dus een stroom en dus een magnetisch veld. Q beweegt nu wel! (naar links) Conclusie: Wel een kracht op Q!! 17 Programma 4 1. Tijd en ruimte. Relatieve snelheden 2. Energie en Massa 3. Wetten van Maxwell 4. Einstein: lichtsnelheid absoluut 5. Tijds vertraging 6. Gedachten experiment: biljart ballen Klassiek Einstein Hoe u het zelf had kunnen bedenken 9 18

10 Einstein: Lichtsnelheid hetzelfde voor iedereen Dus: Maxwell had ontdekt dat licht elektromagnetische golven waren, die zich voorbewogen met een snelheid van. Het zat Einstein (toen als enige!) dwars, dat die snelheid alleen maar gold in één x,y,z,t coördinaten systeem (referentie kader). Hoe zou immers een lichtstraal gaan die door een bewegend laserkanon werd afgevuurd! Andere tijdgenoten (o.a. Lorentz) zaten daar niet mee, want dat was natuurlijk het referentie kader waarin the Aether stilstond. Niet zo n gekke gedachte want dat was met het geluid ook zo. (maar dan was er dus wel een absoluut referentiekader!) Experiment van Michelson en Morley (1887), Meten van de Aetherwind Michelson en Morley bedachten daarom een ingenieus experiment Allerlei ingewikkelde verklaringen om de beweging van de Aarde ten opzichte van deze Aether te meten. werden bedacht, maar Einstein dacht Uitkomst: nul komma nada! De beroemste mislukking. waarschijnlijk Zie je wel *. * Is historisch gezien niet helemaal duidelijk 19 Programma 5 1. Tijd en ruimte. Relatieve snelheden 2. Energie en Massa 3. Wetten van Maxwell 4. Einstein: lichtsnelheid absoluut 5. Tijds vertraging 6. Gedachten experiment: biljart ballen Klassiek Einstein Hoe u het zelf had kunnen bedenken 10 20

11 Een lichtklok We kunnen een lichtklok maken: we laten een lichtstraal heen en weer gaan tussen twee spiegels. Als we naar zo n klok kijken die ten opzichte van ons beweegt, dan loopt die langzamer! Maar dan zullen alle (bewegende) klokken langzamer lopen. Kortom: de tijd zelf is vertraagd. 21 Bewegende klokken vertragen (tijdsdilatie) ct (Er stond: c P t ) vt Situatie vanaf het perron gezien 1. De wet: snelheid = afgelegde weg / tijd is voor beiden geldig 2. Beide waarnemers meten hetzelfde tijdsinterval τ (tau) ipv t 3. Beide waarnemers zien dezelfde breedte van de wagon Kan niet alle drie. Welke van de drie zullen we opgeven??? ct vt cτ Situatie vanaf de wagon gezien Hoe u het zelf had kunnen bedenken 11?? c =???? cτ Stel op de wagon tijdsduur: τ Merk op τ < t, Dus als wij zeggen t = 1 seconde Dan op de wagon b.v. τ = 0,9 seconde Kortom: vanaf het perron gezien zien we het klokje op de wagon langzamer lopen! τ τ = τ τ τ τ 1 1 ( < t ) 22

12 τ De factor γ We hadden afgeleid: 1 ( < t ) Lichtsnelheid: c = meter per seconde!!! Dus ongeveer kilometer per seconde Dus ongeveer keer 3600 = miljoen kilometer per uur! Zeg maar 1 miljard kilometer per uur! Dus ook: γ τ ( > τ ) De factor 1/ 1 2 komt vaak voor, Deze geven we dus een apart symbool: γ (gamma)* de z.g. Lorentzfactor: ( >1 ) τ ( > τ ) Snelheid (in km/uur) Factor γ (*) Einstein zelf gebruikte hiervoor het symbool β (béta), maar wij houden ons aan de meest voorkomende conventie. 18 1, , , (1) 1, (2) 10,0125 (1) Snelheid van de aarde door de ruimte. (2) De snelheid van de muonen is ongeveer c. Einstein 1905: 23 Orde van grootte van de factor γ De factor γ = is natuurlijk practisch 1, omdat ε zo gruwelijk klein is (meestal). Stel 1 ε 1 δ Dan 1 ε 1 δ 1 2δ δ 1 2δ Dus ε 2δ en dus δ ½ε, dus DUS 1 ε 1 ½ε (1) Nu?? Stel 1 δ dan 1 1 ε 1 δ 1 ε δ εδ 1 ε δ dus 0 ε δ, dus δ ε DUS 1 ε (2) Combineren: γ = (1) (2) 1 ½ ½ 1 0, ,0005 0,9998 = 1 0,0002 1,0005 = 1 0,0005 Conclusie: γ 1 ½ Hoe u het zelf had kunnen bedenken 12 24

13 Programma 6 1. Tijd en ruimte. Relatieve snelheden 2. Energie en Massa 3. Wetten van Maxwell 4. Einstein: lichtsnelheid absoluut 5. Tijds vertraging 6. Gedachten experiment: biljart ballen Klassiek Einstein 25 Gedachten experiment: biljart ballen Dit is wat de (neutrale) waarnemer in de nok van het station ziet. Hij vindt de situatie symmetrisch Hoe u het zelf had kunnen bedenken 13 26

14 Gezien van onderste wagon Dit is wat wij zien zittend op de wagon met de rode bal 27 Nog een beetje extremer Wij zitten op de wagon met de rode bal Meneer Zwart zit op de wagon met de zwarte bal De waarnemer in de nok van het station vindt de situatie symmetrisch Dus als wij zeggen het duurde 3 seconden (dat onze bal heen en weer ging), dan zegt meneer Zwart dat ook! (over zijn bal) MAAR.!!!! Wij zien het klokje van Meneer Zwart langzamer lopen, dus volgens ons is de zwarte bal slechts 2,9 (3/γ) seconde onderweg. Dus voor ons lijkt de zwarte bal zwaarder en wel met de factor γ. Dus MassaZwarteBal = γ maal MassaRodeBal Stel Massa Bal in rust = m 0 En MassaZwarteBal (ogenschijnlijk) = m Dan dus m = γm 0 Remember! γ 1 ½ E kin = 0 2 m = γm 0 m 0 (1 ½ ) = m 0 m 0 ½ = m = m 0 Hoe u het zelf had kunnen bedenken 14 0 Vat de hele Mechanica samen 28

15 Conclusie! m m 0 = m 0 Δ Het hier beschreven idee van de biljartballen komt uit: G. N. Lewis and R. C. Tolman, The principle of relativity and non Newtonian mechanics, Philos. Mag.18, en is niet zo bekend! In woorden: Een bewegend object lijkt een (heel klein) beetje zwaarder te zijn geworden. En deze toename (Δ) is ongeveer gelijk aan. Δ Omgekeerd: De kinetische energie ( ) lijkt ongeveer gelijk aan de toename van gewicht (Δ maal. Δ. Dus!!!: 29 Samenvatting Lichtsnelheid is hetzelfde in alle refentiesystemen, dus Bewegende klokken lopen langzamer, dus Bewegende voorwerpen worden zwaarder Die toename van gewicht is maal de kinetische energie Dus Kinetische Energie = c 2 maal gewichtstoename, dus E=mc 2! Hoe u het zelf had kunnen bedenken 15 30

16 Programma Klaar 1. Tijd en ruimte. Relatieve snelheden 2. Energie en Massa 3. Wetten van Maxwell 4. Einstein: lichtsnelheid absoluut 5. Tijds vertraging 6. Gedachten experiment: biljart ballen Klassiek Einstein 31 Bijlage 1: Gemiddelde snelheid Hoe u het zelf had kunnen bedenken 16 32

17 Bijlage 2: Eenparig versnellen t v v gem h ,5 1, Symbool Omschrijving Eenheid Formule t Tijd dat voorwerp valt Seconde v Snelheid aan het eind Meter per seconde v=at=10t v gem Gemiddelde snelheid Meter per seconde h Hoogte gevallen meter v gem t h = v gem t = v = v2 t= 33 Bijlage 3: Vertaling Over de elektrodynamica van bewegende voorwerpen Het is bekend dat de theorie van Maxwell over de elektrodynamica, als deze volgens de huidige opvatting wordt toegepast op bewegende voorwerpen, een niet symmetrische beschrijving van het fysisch gedrag oplevert, die niets te maken lijkt te hebben met het verschijnsel zelf. Denk bijvoorbeeld aan de elektrodynamische wisselwerking tussen een magneet en een geleider. Het verschijnsel dat kan worden waargenomen hangt in dit geval slechts af van de relatieve beweging van de geleider en de magneet ten opzichte van elkaar, terwijl volgens de gangbare opvatting de beide mogelijkheden, namelijk dat de geleider het bewegende voorwerp is of dat de magneet het is, streng uit elkaar moeten worden gehouden. Als namelijk de magneet beweegt en de geleider in rust is, zal er rondom de magneet een elektrisch veld met een bepaalde hoeveelheid energie ontstaan, dat op de plaatsen waar zich de geleider bevindt, een stroom opwekt. Als daarentegen de magneet in rust is en de geleider in beweging wordt gebracht, ontstaat er in de omgeving van de magneet géén elektrisch veld, maar er ontstaat volgens die opvatting in de geleider een elektromotorische kracht, wat niet hetzelfde is als een energie, die er van uitgaande dat de beweging van de magneet en de geleider ten opzichte van elkaar in beide gevallen gelijk is tot elektrische stromen leidt van dezelfde grootte en met eenzelfde verloop als in het eerste geval de elektrische kracht deed. Vertaling: Henk Dorrestijn (met toestemming) Hoe u het zelf had kunnen bedenken 17 34

18 Gelijktijdigheid 35 Hoe u het zelf had kunnen bedenken 18