Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 2. M. van der Pijl. Transfer Database
|
|
- Henriette de Boer
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau Periode M. van der Pijl Transfer Database
2 ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs en Volwasseneneducatie en Hoger Beroepsonderwijs. Meer informatie over ThiemeMeulenhoff en een overzicht van onze leermiddelen: of via onze klantenservice (088) ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 0. Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 6 Auteurswet j o het Besluit van augustus 98, Stbl., dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 060, 0 KB Hoofddorp ( Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 6 Auteurswet 9) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.
3 Voorrangsregels. De eigenschappen van optellen en aftrekken. De eigenschappen van vermenigvuldigen en delen. Machten en wortels. Omkeerbewerkingen. Voorrangsregels 6 Eerstegraads vergelijkingen oplossen. Het oplossen van eerstegraads vergelijkingen met één onbekende. Snijpunt van twee lijnen. Het oplossen van eerstegraads vergelijkingen met twee onbekenden 6 Rechtevenredige verbanden. Rechtevenredige verbanden. Grafiek van een rechtevenredig verband. Aflezen van een grafiek van een rechtevenredig verband 9 Lineaire verbanden 7. Tekenen van grafieken 7. Richtingscoëfficiënt 0. Afleiden van een formule uit een grafiek. Afleiden van formule uit coordinaten Interpoleren en extrapoleren. Interpoleren. Extrapoleren
4
5 Voorrangsregels De eigenschappen van optellen en aftrekken We hebben al eens geleerd hoe we met positieve en negatieve getallen moeten optellen en aftrekken. We zetten de regels nog eens op een rij:. + + is hetzelfde als +. + is hetzelfde als. is hetzelfde als +. + is hetzelfde als Vb ( + ) = 6 + = 0. 6 ( ) = 6 + = ( + ) = 6 + = - 6 ( ) = 6 + =. 6 + ( ) = 6 =. 6 ( + ) = 6 = 6 + ( ) = 6 = 0 6 ( + ) = 6 = 0 Oefeningen Bereken: a 6 + ( ) = b ( ) + ( ) = c 8 + ( 6) =
6 Voorrangsregels d ( 0) = De eigenschappen van vermenigvuldigen en delen We hebben al eens geleerd hoe we met positieve en negatieve getallen moeten vermenigvuldigen en delen. We zetten de regels nog eens op een rij:. positief positief = positief. negatief negatief = positief. positief negatief = negatief. negatief positief = negatief Deze regels gelden ook als er in plaats van het -teken een -teken (gedeeld door) staat. Vb. Vermenigvuldigen Delen a. ( + 6) ( + ) = 6 = b. ( + 8) ( + ) = 8 = a. ( 6) ( ) = + ( 6 ) = b. ( 8) ( ) = + ( 8 ) = a. ( + 6) ( ) = ( 6 ) = b. ( + 8) ( ) = ( 8 ) = a. ( 6) ( + ) = ( 6 ) = b. ( 8) ( + ) = ( 8 ) = Oefeningen Bereken: a 6 ( 8) = b = c ( 7) =
7 Voorrangsregels d 8 7 = Machten en wortels Als we twee dezelfde getallen vermenigvuldigen, geewft dat dezelfde uitkomst als kwadrateren. Vermenigvuldigen Kwadrateren = = Tabel De notatie noemen we een macht. Een macht bestaat uit een grondtal en een exponent. In de macht is het grondtal en de exponent. Als we een getal herhaaldelijk vermenigvuldigen met zichzelf, noemen we dat machtsverheffen. Vermenigvuldigen Machtsverheffen = = ( ) = 6 = 6 Tabel Machten van positieve getallen hebben altijd een positieve uitkomst. Bij machtsverheffen van negatieve getallen geldt: oneven. negatief getal exponent = negatief getal even. negatief getal exponent = positief getal Oefeningen Bereken de volgende machten: a = b 9 7 =
8 Voorrangsregels c = d ( 7) = e ( 7) = f ( ) = Omkeerbewerkingen We weten dat aftrekken de omkeerbewerking is van optellen. Vb. Optellen Aftrekken + = 8 8 = of: 8 = Het omgekeerde (de omkeerbewerking) van vermenigvuldigen is delen. Vb. Vermenigvuldigen Delen = = of: = Worteltrekken is de omkeerbewerking van machtsverheffen. Voor de oppervlakte van een vierkant waarvan de lengte van de zijde is, geldt: Oppervlakte = = = 9 Als de oppervlakte bekend is, kunnen we door wortel te trekken de lengte van de zijde van een vierkant berekenen. Voor de zijde van een vierkant waarvan de oppervlakte 9 is, geldt: 9 =, omdat = 9 Omdat 9 de wortel is van het kwadraat van, ofwel van de tweede macht van, noemen we 9 een tweedemachtswortel. 9 betekent dus hetzelfde als 9. De uitkomst van een tweedemachtswortel is altijd een positief getal. Het argument van een tweedemachtswortel is ook altijd positief, omdat er geen enkel getal a te vinden is waarvoor geldt:
9 Voorrangsregels a = a a 0 Als de inhoud bekend is, kunnen we door de derdemachtswortel te trekken de lengte van de ribbe van een kubus berekenen. Voor de ribbe van een kubus met een inhoud van 6 geldt: 6 =, omdat = 6. Oefeningen Bereken: a 8 = b 6 = c 9 = d 9 = e + = f 6 9 = Bereken: a 8 = b =
10 6 Voorrangsregels c 6 = d 8 = e 6 = f = Voorrangsregels Bij de voorrangsregels hebben we te maken met gelijkwaardige bewerkingen, zoals vermenigvuldigen en delen. Andere gelijkwaardige bewerkingen zijn machtsverheffen en worteltrekken, en optellen en aftrekken. Gelijkwaardige bewerkingen voeren we altijd van links naar rechts uit. Die volgorde verandert als er iets tussen haakjes staat. We moeten dan eerst uitrekenen wat tussen haakjes staat. De opgaven worden volgens de volgende stappen uitgerekend: Stap : we rekenen uit wat tussen haakjes staat. Ook binnen de haakjes gelden de voorrangsregels. Stap : machtsverheffen en worteltrekken doen we van links naar rechts. Stap : vermenigvuldigen en delen doen we van links naar rechts. Stap : optellen en aftrekken doen we van links naar rechts. Vb. Bereken: 0 7 ( 7 + ) = Oplossing 0 7 ( 7 + 8) = 0 7 =
11 Voorrangsregels 7 0 = 0 = 8 Op de rekenmachine tpen we dit als volgt in: + Oefeningen 6 Bereken: a = b 7 + ( ) + = c = d 9 ( + 8) 0 ( + ) = e 8 ( ) ( 6) = 7 Bereken: a = b ( 7 + ) ( 0 ) + 6 = c 7, 6 + (, + 7 9) ( 7) =
12 8 Voorrangsregels d, 6 + (, 9, 6 ) + 6 = e 7 + ( 0 ( 6 )) + 0 = 8 Bereken: a 9 ( 8 + ) = b 9 (( 8 + ) ) ( ) = c 6 ( + ) = d = Vb. 6 Bereken Oplossing = + = + = + = Op de rekenmachine tpen we dit als volgt in: + +
13 Voorrangsregels 9 Oefeningen 9 Bereken: a 8 + 8,, 0 + +, = b = c π 0, 00 0, 09 =
14 0 Voorrangsregels a 0 b c 7 d Antwoorden a 8 b c 9 d 66 a 0 b c. 6 d e 0 f 0 a 9 b c Geen uitkomst. d 7 e 7 f 6 a b c d e f 6a b 6 c d 80 e 6 7a 8, b 9, 6 c 7, 96 d 806, e 09, 9
15 Voorrangsregels 8a 8 b 0 c d 7 9a 8, 8 b 0, c, 7
16 Eerstegraads vergelijkingen oplossen Het oplossen van eerstegraads vergelijkingen met één onbekende De vergelijking x = (eigenlijk staat er x = ) noemen we een eerstegraads of lineaire vergelijking. De onbekende x komt er namelijk tot de eerste macht in voor. Een eerstegraads vergelijking heeft altijd één oplossing. Vb. We lossen x in de vergelijking x = op door het getal aan de overkant van het = -teken () te delen door het getal dat naast de x staat ( ). Oplossing x = {delen door } x = = We kunnen bij vergelijkingen altijd de oplossing controleren door het antwoord voor de onbekende in te vullen: Controle: =, en dat klopt. Vb. Los op: x + 6 = 8 Oplossing x + 6 = 8 {6 naar de andere kant van het = -teken wordt 6 } x = 8 6 x = {delen door } x = =
17 Eerstegraads vergelijkingen oplossen Oefeningen Los op: a x =, b x = c 0, x = 8 d 0 =, x Oefeningen Los op: a x = 8 b 0, x +, =, c x + = d x = 7 e 8 = 6x f = x
18 Eerstegraads vergelijkingen oplossen Snijpunt van lijnen We kunnen het snijpunt van twee lijnen vaak aflezen uit de grafiek. Zie figuur. Soms is het snijpunt niet goed af te lezen. Willen we toch een nauwkeurige uitkomst hebben, dan kunnen we het snijpunt als volgt berekenen. Vb Figuur x! De vergelijkingen van de beide lijnen zijn: =, x +, en = x +,. We willen het snijpunt van en berekenen. Gegeven =, x +, en = x +,. Gevraagd De coördinaten van het snijpunt. Oplossing, x +, = x +, {eerst x naar de linkerkant verplaatsen, dit wordt dan x }, x + x +, =, {vervolgens, naar de rechterkant verplaatsen, dit wordt, }, x + x =,, {we kunnen nu gaan rekenen}, x =, {, }, x = = 0, 96, Nu 0, 96 invullen in =, x +, : =, 0, 96 +, =,. Snijpunt is ( 0,96,, ). We mogen x = 0,96 ook invullen in, we vinden dan ook =,.
19 Eerstegraads vergelijkingen oplossen Oefeningen Teken de vergelijkingen in een diagram en bereken het snijpunt: a =, x + en = x + b = x + 7 en = x + c = x + en = x + 0
20 6 Eerstegraads vergelijkingen oplossen d = x en = x + e = x + en = x Het oplossen van eerstegraads vergelijkingen met twee onbekenden We hebben gezien hoe we één eerstegraads vergelijking met één onbekende oplossen. Bij één vergelijking met twee onbekenden hebben we oneindig veel oplossingen, zoals bij de vergelijking x + =. We kunnen immers bij elke willekeurige waarde van x de bijbehorende berekenen. Om één oplossing voor x en te krijgen hebben we twee bij elkaar horende vergelijkingen nodig, we spreken dan van een vergelijkingenstelsel. In plaats van x en kunnen we ook andere letters gebruiken. We bekijken nu twee vergelijkingen met twee onbekenden a en b. We nemen bijvoorbeeld: a + b = 6 a + b = 8
21 Eerstegraads vergelijkingen oplossen 7 We zetten een accolade voor deze vergelijkingen om aan te geven dat we met een stelsel te maken hebben. Dit stelsel is heel eenvoudig op te lossen. Als we beide vergelijkingen van elkaar aftrekken, valt b weg: a + b = 6 a + b = 8 a = a = = 0, Door vervolgens de gevonden waarde van a in te vullen in bijvoorbeeld de bovenste vergelijking volgt: 0, + b = 6 b = 6 + 0, = 6, b = 6,. We kunnen ook de waarde van a in de tweede vergelijking invullen: 0, + b = 8, + b = 8 b = 8, = 6, b = 6,. Meestal kunnen we bij een vergelijkingenstelsel niet direct aftrekken om een onbekende kwijt te raken, zoals bij: a + b = 8 a b = We mogen wel een vergelijking links en rechts met hetzelfde vermenigvuldigen. We gaan de bovenste vergelijking met en de onderste vergelijking met vermenigvuldigen. In beide vergelijkingen krijgen we dan de term 6a : a + b = 8 a b = Deze methode staat bekend als de schoorsteenmethode. Er volgt: 6a + 9b = 6a b = Nu raken we door aftrekking a kwijt en kunnen we b berekenen: 6a + 9b = 6a b = b = b = = Nu moeten we nog de waarde van a berekenen. Door de gevonden waarde van b in te vullen in bijvoorbeeld de bovenste vergelijking volgt: 6a + 9 = 6a + 8 = 6a = 6 a =.
22 8 Eerstegraads vergelijkingen oplossen We kunnen natuurlijk ook proberen om eerst b kwijt te raken: a + b = 8 a b = a + b = 8 9a b = + a = a = b = We merken op dat we in dit geval moeten optellen om b kwijt te raken. Tip Vb. Zet in de schoorsteen altijd positieve getallen om fouten bij het vermenigvuldigen met negatieve getallen te vermijden! Annette en Alie gaan naar een popfestival in de Arena. Gegeven In de pauze koopt Annette T-shirt en cd s. Zij is hiervoor e 80,- kwijt. Alie koopt T-shirts en cd, zij betaalt e 8,-. Gevraagd a. Stel voor elk een formule op. b. Bepaal hoeveel de T-shirts en de cd s elk per stuk kosten. Oplossing a. Annette: TS + CD = 80 Alie: TS + CD = 8 b. TS + CD = 80 TS + CD = 8 TS + CD = 60 TS + CD = 8 7 CD = 7 CD = = { CD = invullen in de bovenste vergelijking} TS + CD = 60 TS + = 60 TS = TS = TS = = 0 Een cd kost dus e,- en een T-shirt kost e 0,-.
23 Eerstegraads vergelijkingen oplossen 9 Vb. Los op u 6v = u + v = 0 Oplossing We zorgen ervoor dat de coëfficiënt van een onbekende in beide vergelijkingen even groot wordt. u 6v = u + v = 0 6 u 6v = 8u + 6v = u = 7 u = = 9 { u = invullen in bovenste vergelijking} 6 6v = 6v = = 6 v = = 6 Dus de oplossing is v = en u =. Oefeningen Marianne betaalt voor 0 schriften en één agenda e 7,-. Haar vriend Henk houdt niet zo van winkelen en koopt dezelfde agenda, maar neemt meteen schriften. De schriften en de agenda s zijn even duur. Henk betaalt totaal e,. a Stel de vergelijkingen op. b Bereken de prijs van een schrift en de prijs van de agenda.
24 0 Eerstegraads vergelijkingen oplossen Het Nederlands elftal speelt in de voorronden voor het wereldkampioenschap een kwalificatiewedstrijd tegen Duitsland. Karel en Achmed gaan naar het stadion om de wedstrijd te bekijken. Vóór aanvang van de wedstrijd koopt Karel drie sjaaltjes en petjes, deze kosten samen e 8,0. Achmed koopt zeven sjaaltjes en vijf petjes, hij betaalt e 97,-. a Stel de vergelijkingen op. b Bereken de prijs van één petje en van één sjaaltje. 6 Tijdens het optrekken heeft een auto een eenparig versnelde beweging. Voor het berekenen van de snelheid v t van de auto na t seconden geldt de formule: vt = v0 + a t. Hierbij is v 0 de beginsnelheid en a de versnelling. a Na seconden is de snelheid m/s. Stel de vergelijking op voor deze situatie. b Na 8 seconden is de snelheid m/s. Stel ook deze vergelijking op. c Bereken de beginsnelheid v 0 en de versnelling a. 7 Los op: x + = 9 x =
25 Eerstegraads vergelijkingen oplossen 8 Los op: x + = x + = 9 9 Los op: a + b = 9 a b = 0 Los op: x + = 0 x + = 0 Los op: a b = a b a + b + = 7a b +
26 Eerstegraads vergelijkingen oplossen Antwoorden a x =, b x = 9 c x = 0 d x =, 6 a x = b x = c x = d x = e x =, 67 f x = a (,7) b (,,,) c ( 0,) d (,, 9,) e (, ) a 0S + A = 7 en S + A =, b schrift: e,7 ; agenda: e 9,0 a S + P = 8, 0 en 7S + P = 97, 00 b petje: e,0; sjaaltje: e 8,0 6a = v0 + a b = v0 + a 8 c v 0 = ; a =, 7 x = ; = 8 x = 9 ; = 9 a = ; b = 0 0 x = en = a = 0, en b = 0, 6
27 Rechtevenredige verbanden Rechtevenredige verbanden We spreken van een rechtevenredig verband als de formule de vorm heeft van = a x. De grafiek is dan een rechte lijn door de oorsprong( 0, 0 ). Grafiek van een rechtevenredig verband Om deze rechte lijn te kunnen tekenen gaan we gebruik maken van een tabel waarin we voor twee waarden van x de bijbehorende waarde van uitrekenen. Voor die twee waarden van x nemen we getallen die we makkelijk kunnen invullen zoals x = 0 en x = : x 0 Tabel Vb. Teken de grafiek van = x Oplossing Eerst gaan we een assenstelsel tekenen met een x-as en een -as. Daarna maken we een tabel om bij twee x-waarden de waarde van rekenen. x 0 0 Tabel Of anders geschreven: ( 0, 0 ) en (, ). uit te
28 Rechtevenredige verbanden We noemen de waarden van x en de coördinaten van het punt. (, ) betekent in de x-richting naar rechts en in de -richting naar boven. (, ) betekent in de x-richting naar links en in de -richting naar beneden. We tekenen de twee punten in ons assenstelsel en trekken er een rechte lijn doorheen. Zie figuur x Figuur Oefeningen Teken de grafieken van: a = x
29 Rechtevenredige verbanden b = x c = x d =, x
30 6 Rechtevenredige verbanden e = x f = x In allerlei praktische situaties is vaak sprake van een rechtevenredig verband. In de volgende opdrachten gaan we een aantal praktijksituaties uitwerken. Vb. Mark gaat zijn kamer verven. Een blik bevat 7, dl muurverf. Hiermee kan hij, m verven. Bereken hoeveel m Mark kan verven met dl. Bereken hoeveel dl muurverf Mark nodig heeft om 0 m te verven. Bepaal in de volgende tabel de ontbrekende waarden: Oppervlakte, 0 Verf, 7, Tabel Teken de grafiek en bereken de helling met behulp van de formule: helling toename verticaal =. toename horizontaal
31 Rechtevenredige verbanden 7 Geef een formule voor het verband tussen de hoeveelheid verf en het aantal m wat hiermee geverfd kan worden. Uitwerking, 7, dl, m dl = m 7, m dl 0 m 0 = 0dl Oppervlakte 7,, 0 Verf, 7, 0 Tabel We tekenen de punten in ons assenstelsel en trekken er een rechte lijn doorheen. Zie figuur. verf oppervlakte - Figuur helling toename verticaal = = = toename horizontaal V verf = A muur
32 8 Rechtevenredige verbanden Oefeningen Mark wil andere vloerbedekking in zijn kamer en kiest voor parket. Dit parket moet gelijmd worden. De parketstroken zijn 0 cm bij 0 cm. Met een emmer van kg kan hij m lijmen. De afmetingen van zijn kamer zijn, m bij m. a Bereken hoeveel kilo lijm hij nodig heeft om m te plakken. b Hoeveel kilo heeft hij nodig voor, m? c Hoeveel m kan hij lijmen met een emmer van 7, kg? d Bereken hoeveel kilo hij nodig heeft voor 9m. e Bereken de oppervlakte van de kamer. f Hoeveel kg lijm heeft hij nodig voor de hele vloer? g Bereken de ontbrekende waarden in de volgende tabel: Oppervlakte, 0 Lijm 6 Tabel h Teken de grafiek en bereken de helling met behulp van: helling toename verticaal =. toename horizontaal i Geef een formule voor het verband tussen de hoeveelheid lijm en de oppervlakte van de vloer.
33 Rechtevenredige verbanden 9 Aflezen van een grafiek van een rechtevenredig verband Vb. In figuur is de grafiek getekend van het verband tussen de massa m en het volume V van een bepaalde soort baksteen. m (0 kg) Figuur V (m ) Bereken de helling van de grafiek. Geef de formule van de grafiek. Oplossing 8 kg rc = rc = =, 6 kg/m x m m =, 6 V
34 0 Rechtevenredige verbanden Oefeningen Een aantal rallcoureurs rijdt op een circuit met een lengte van 8km één ronde om de startvolgorde te bepalen voor de wedstrijd. In de grafiek van figuur is de rit van de snelste twee coureurs afgebeeld. We zien daar de afgelegde weg s in km als functie van de benodigde tijd t in sec. afgelegde weg (km) 8 6 A B 0 0 Figuur tijd (s) a Bereken de helling van beide grafieken. b Geef voor beide grafieken de formule.
35 Rechtevenredige verbanden Oefeningen In figuur is het verband weergegeven tussen het aantal geverfde vierkante meters en de gebruikte hoeveelheid verf. Een blik verf heeft een inhoud van 7, dl. oppervlakte (m ) Figuur verfgebruik (dl) a Hoeveel verf is er verbruikt na het schilderen van 6m? b Hoe groot is de oppervlakte die nog geschilderd kan worden als er nog, dl verf over is? c Stel de formule voor dit verband op. d Bereken met deze formule hoe groot de oppervlakte is die we kunnen verven met, dl verf.
36 Rechtevenredige verbanden Oefeningen Teken de grafiek en bepaal de formule van deze grafiek van de volgende tabel. x 0 0, 7, Tabel 6
37 Rechtevenredige verbanden Antwoorden a b Zie figuur Figuur 6 Zie figuur Figuur 7 x x
38 Rechtevenredige verbanden c Zie figuur Figuur 8 x d Zie figuur Figuur 9 x
39 Rechtevenredige verbanden e Zie figuur Figuur 0 x f Zie figuur Figuur x a, kg b, kg c 6m d, kg e, 8 m f 6kg g Zie tabel. Oppervlakte (m ), Lijm,, 7,,, Tabel 7
40 6 Rechtevenredige verbanden h Zie figuur. lijm (kg) Figuur 0 A (m ) 6 kg rc = rc = =, kg/m x, 8 m i m =, A lijm vloer a A: 0, 0km/s B: 0, 0 km/s b A: s = 0, 0 t B: s = 0, 0 t a ongeveer, 7dl b ongeveer, m c A =, Vverf d 8, 7m =, x
41 Lineaire verbanden Tekenen van grafieken We spreken van een lineair verband als de formule de vorm heeft van = a x + b. De grafiek is dan een rechte lijn door het punt ( 0, b ). We noemen een rechte lijn ook wel een eerstegraads grafiek omdat in de bijbehorende formule de variabele x tot de eerste macht voorkomt. = a x + b kunnen we ook noteren als f( x) = a x + b. Om een rechte lijn te kunnen tekenen, hebben we twee punten nodig. Daarom maken we gebruik van een tabel waarin we voor twee waarden voor x de bijbehorende waarde van uitrekenen. Voor die twee waarden voor x nemen we getallen die we makkelijk kunnen invullen, zoals x = 0 en x = : x 0 Tabel Vb. Teken de grafiek van = x +. Oplossing Eerst tekenen we een assenstelsel met een x-as en een -as. Daarna maken we een tabel om bij twee x-waarden de waarde van uit te rekenen. Voor x = 0 geldt bijvoorbeeld = 0 + =. x 0 Tabel De plaats van de twee berekende punten kunnen we ook noteren als ( 0, ) en (, ). Deze notatie (x-coördinaat, -coördinaat) noemen we de coördinaten van de punten.
42 8 Lineaire verbanden We tekenen de twee punten in ons assenstelsel en trekken er een rechte lijn doorheen. x Figuur We hebben gezien dat we = a x + b ook kunnen schrijven als f( x) = a x + b. In het laatste voorbeeld hebben we gewerkt met = x +. Meestal laten we het vermenigvuldigingsteken weg en schrijven we de vergelijking als = x +. Deze vergelijking kunnen we ook als functie schrijven met als functievoorschrift f( x) = x +. Oefeningen Teken de grafieken van: a = x
43 Lineaire verbanden 9 b = x + c = x + d =, x e = x +,
44 0 Lineaire verbanden f = x Richtingscoëfficiënt De richtingscoëfficiënt rc zegt wat over de richting of steilheid van de rechte lijn. Vb. Bereken de richtingscoëfficiënt van de volgende rechte lijn. Zie figuur. Oplossing x - - x Figuur In bovenstaand diagram hebben we een willekeurige rechthoekige driehoek tegen de lijn geplakt om de richtingscoëfficiënt te bepalen: Deze richtingscoëfficiënt rc berekenen we vervolgens met de formule rc = x. Uit het diagram lezen we af: = en x = dus rc = =.
45 Lineaire verbanden Vb. Bereken de richtingscoëfficiënt van de volgende lijn. Zie figuur. Oplossing 7 6 x x Figuur In bovenstaand diagram hebben we weer een willekeurige rechthoekige driehoek tegen de lijn geplakt om de richtingscoëfficiënt te bepalen: Uit het diagram lezen we af: = en x = (driehoek links van de lijn) dus rc = rc x = =. Oefeningen Bereken de richtingscoëfficiënt van de volgende grafieken. a Zie figuur x
46 Lineaire verbanden b Zie figuur x c Zie figuur x Teken in één diagram de grafieken van: a = x b = x + c = x
47 Lineaire verbanden d Hoe zie je dat de lijnen dezelfde richtingscoëfficiënt hebben? Teken in één diagram de grafieken van: a = x b = x c = x d Hoe groot is de richtingscoëfficiënt van deze drie lijnen? Afleiden van een formule uit een grafiek We kunnen uit de grafiek van een verband de vergelijking afleiden. Als de grafiek een rechte lijn is, weten we dat de vergelijking de vorm = a x + b heeft. We bepalen de richtingscoëfficiënt waarmee we a weten. Vervolgens bepalen we de -coördinaat van het snijpunt met de -as en dat is b. Vb. Wat is de vergelijking van de volgende grafiek? Zie figuur. x - - Figuur x
48 Lineaire verbanden Oplossing Met een aangeplakte hulpdriehoek volgt dat rc = a =. Het snijpunt met de -as heeft de coördinaten( 0, ), dus b =. De vergelijking van de lijn is = x. In veel gevallen is het snijpunt met de -as niet precies af te lezen. In dat geval moeten we werken met twee punten waarvan de coördinaten wel goed af te lezen zijn. Zie oplossing. Oplossing We lezen uit de grafiek de coördinaten van twee punten af: (, ) en (, ). rc = a = x = = =, dus = x + b. Vervolgens gaan we b berekenen door de coördinaten van een punt op de lijn, bijvoorbeeld (, ), in te vullen in = x + b. Voor x = en = volgt: = + b = 6 + b b = De vergelijking van de lijn is dus = x. Opmerking: door de coördinaten van het andere punt (, ) in te vullen, vinden we natuurlijk ook b =. De vergelijking = x kunnen we ook als functie schrijven; dit wordt dan f( x) = x. Oefeningen Bepaal uit het volgende diagram de vergelijkingen van de drie grafieken a, b en c x
49 Lineaire verbanden Afleiden van formule uit coördinaten Als we de coördinaten van twee punten van een rechte lijn weten, kunnen we ook zonder de grafiek te tekenen de vergelijking bepalen. Vb. Bepaal de vergelijking van de lijn door de punten P (, 6 ) en Q(, 8 ). Oplossing: Van P naar Q betekent in de x-richting naar rechts (van naar ) dus x =. Van P naar Q betekent in de -richting omhoog (van 6 naar 8) dus =. De vergelijking heeft de vorm = a x + b. De richtingscoëfficiënt rc = a = a x = = 0,. Van de vergelijking = a x + b weten we nu a = 0,, dus = 0, x + b. We berekenen vervolgens b door een van de punten P en Q in te vullen in = 0, x + b. Als we hiervoor punt P (, 6 ) nemen, volgt met x = en = 6 : 6 = 0, + b 6 = 0, + b b = 6,. De vergelijking van de lijn is dus = 0, x + 6,. Oefeningen 6 Bepaal van de volgende grafieken de bijbehorende vergelijkingen. De grafieken gaan door de punten: a (, ) en (, 6) b (, ) en (, 7) c (, ) en (, 6) d (, ) en (, )
50 6 Lineaire verbanden e (,) en (, 6) f (, ) en (, )
51 Lineaire verbanden 7 Antwoorden a b c Zie figuur Zie figuur Zie figuur x x x
52 8 Lineaire verbanden d Zie figuur x e f Zie figuur Zie figuur x x
53 Lineaire verbanden 9 a rc = 0, b rc = c rc = a b Zie figuur Zie figuur x x
54 0 Lineaire verbanden c Zie figuur x d Ze lopen evenwijdig aan elkaar. a b Zie figuur Zie figuur x x
55 Lineaire verbanden c Zie figuur. x d De richtingscoëfficiënt =. a = x + b = x + c = x + 6 d = x 7 e = x + f = x
56 Interpoleren en extrapoleren Interpoleren Een verband tussen twee variabelen, bijvoorbeeld de x en de, kunnen we door een vergelijking of in een grafiek vastleggen. Een dergelijk verband tussen x en kunnen we ook in een tabel vastleggen. Zie tabel. x 0 0 Tabel Zo n tabel is bijvoorbeeld het resultaat van een aantal metingen. In een tabel kunnen we natuurlijk maar een beperkt aantal waarden vastleggen. We zien eenvoudig dat = voor x =. Als we echter de waarde van willen weten voor x =,, kunnen we dat niet direct uit de tabel aflezen. We kunnen hoogstens zeggen dat tussen 0 en moet liggen. Om een nauwkeuriger benadering voor te vinden moeten we interpoleren. We tekenen daarvoor de volgende deeltabel. Zie tabel. x, 0 Tabel We gaan er vervolgens van uit dat het verband tussen x en in het betreffende interval lineair is. Omdat dat in werkelijkheid meestal niet zo is, geeft een interpolatie vaak een benaderde waarde. Om voor x =, de bijbehorende te berekenen, gebruiken we de zogenaamde interpolatieformule: c a = b + ( e b) d a
57 Interpoleren en extrapoleren De waarden van a tot en met e bepalen we met behulp van de tabel. Zie tabel. a c d b e Tabel Vb. We bepalen door interpolatie de waarde van voor x =, : Oplossing Vergelijken van tabel en tabel levert de volgende waarden van a tot en met e : a =, b = 0, c =,, d = en e =. Deze waarden vullen we in de interpolatieformule in: c a = b + e b d a = +, ( ) 0 ( 0) = 0, Voor x =, berekenen we dus = 0,. We controleren of deze waarde inderdaad tussen 0 en ligt, en dat klopt. Oefeningen Bereken uit de volgende tabel de bijbehorende als x =, 0 (geef de antwoorden in decimalen na de komma). Zie tabel. x,0 0 Tabel Bereken uit de volgende tabel de bijbehorende als x =, (geef de antwoorden in decimalen na de komma). Zie tabel. x, 0 Tabel
58 Interpoleren en extrapoleren Bereken uit de volgende tabel de bijbehorende als x =, 6 (geef de antwoorden in decimalen na de komma). Zie tabel 6. x,6 0 Tabel 6 Bereken uit de volgende tabel de bijbehorende als x =, 88 (geef de antwoorden in decimalen na de komma). Zie tabel 7. x,88 0 Tabel 7 Extrapoleren Natuurlijk kan x ook buiten de tabel vallen. We spreken dan van extrapoleren in plaats van interpoleren. Bepaling van a tot en met e gaat dan als volgt. Zie tabel 8. a d c b e Tabel 8 Na bepaling van de waarden van a tot en met e mogen we ook bij extrapolatie de bekende interpolatieformule invullen! Vb. We willen de bepalen voor x =, 78. Zie tabel 9. x,78 Tabel 9
59 Interpoleren en extrapoleren Oplossing Eerst bepalen we de waarden van a tot en met e : a =, b =, c =, 78, d = en e =. Invullen in de interpolatieformule: c a = b + e b d a = +, 78 ( ) ( ) =, 6 Oefeningen Bereken uit de volgende tabel de bijbehorende als x =, (geef de antwoorden in decimalen na de komma). Zie tabel 0. x, Tabel 0 6 Bereken uit de volgende tabel de bijbehorende als x =, 6 (geef de antwoorden in decimalen na de komma). Zie tabel. x,6 Tabel 7 Bereken uit de volgende tabel de bijbehorende als x =, (geef de antwoorden in decimalen na de komma). Zie tabel. x, Tabel
60 6 Interpoleren en extrapoleren 8 Bereken uit de volgende tabel de bijbehorende als x = 7, (geef de antwoorden in decimalen na de komma). Zie tabel. x 7, Tabel
61 Interpoleren en extrapoleren 7 Antwoorden 0,0 0, 8, 8, , 7 7 8, 0 8 0, 0
62
De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn.
2. Verbanden Verbanden Als er tussen twee variabelen x en y een verband bestaat kunnen we dat op meerdere manieren vastleggen: door een vergelijking, door een grafiek of door een tabel. Stel dat het verband
Nadere informatieNoorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Spanning. J. Kuiper. Transfer Database
Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal Reader Spanning J. Kuiper Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs en
Nadere informatieDe grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn.
Verbanden Als er tussen twee variabelen x en y een verband bestaat kunnen we dat op meerdere manieren vastleggen: door een vergelijking, door een grafiek of door een tabel. Stel dat het verband tussen
Nadere informatieNoorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Wet van Ohm. J. Kuiper. Transfer Database
Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal Reader Wet van Ohm J. Kuiper Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs
Nadere informatieNoorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3. M. van der Pijl. Transfer Database
Noorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3 M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet
Nadere informatieNoorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Weerstand. J. Kuiper. Transfer Database
Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal Reader Weerstand J. Kuiper Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs en
Nadere informatieNoorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Stroom. J. Kuiper. Transfer Database
Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal Reader Stroom J. Kuiper Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs en Volwasseneneducatie
Nadere informatieNoorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode. M. van der Pijl. Transfer Database
Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Reader Wiskunde MBO Niveau Periode M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet
Nadere informatieZelfstandig werken. Ajodakt. Dit antwoordenboekje hoort bij het gelijknamige werkboek van de serie
Zelfstandig werken Ajodakt Dit antwoordenboekje hoort bij het gelijknamige werkboek van de serie 9 789074 080705 Informatieverwerking Groep 7 Antwoorden Auteur P. Nagtegaal ajodakt COLOFON Illustraties
Nadere informatieWerkwoordspelling 2 Toelichting en Antwoorden
Werkwoordspelling 2 Toelichting en Antwoorden COLOFON Auteurs Frank Pollet Illustraties Liza-Beth Valkema Basisvormgeving LS Ontwerpers bno, Groningen Omslag illustratie Metamorfose ontwerpen BNO, Deventer
Nadere informatieTransfer Polytechniek 4. Wiskunde. Docentenhandleiding
Transfer Poltechniek Wiskunde Docentenhandleiding Colofon Auteurs G.J. Flim J. Feringa H. Frericks S.J.H. Frericks ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs,
Nadere informatie3. Lineaire vergelijkingen
3. Lineaire vergelijkingen Lineaire vergelijkingen De vergelijking 2x = 3 noemen we een eerstegraads- of lineaire vergelijking. De onbekende x komt er namelijk tot de eerste macht in voor. Een eerstegraads
Nadere informatieNoorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Lenzen. J. Kuiper. Transfer Database
Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal Reader Lenzen J. Kuiper Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair nderwijs, Algemeen Voortgezet nderwijs, Beroepsonderwijs en Volwasseneneducatie
Nadere informatieStenvert. Taalmeesters 6. Zelfstandig werken Taal Groep 8 Antwoorden. Zelfstandig werken Stenvert Taal Taalmeesters 6 Antwoorden Groep 8
Zelfstandig werken Taal Groep 8 Antwoorden Stenvert maakt deel uit van ThiemeMeulenhoff Zelfstandig werken (Z). Dit bestaat uit een groot assor ment leermiddelen voor alle leerjaren. Op onze Z-site vindt
Nadere informatieStenvert. Taalmeesters 2. Antwoorden. Taalmeesters 2. Zelfstandig werken. Antwoorden. Groep 4. Taal COLOFON COLOFON
Taalmeesters 2 Antwoorden COLOFON Taalmeesters 2 Stenvert Zelfstandig werken Taal Groep 4 Antwoorden Auteurs Evelien Klok, Michelle Kraak, Hans Vermeer Conceptontwerp omslag: Metamorfose ontwerpers BNO,
Nadere informatieUITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2002-I WISKUNDE. MAVO-D / VMBO-gt
UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2002-I VAK: NIVEAU: WISKUNDE MAVO-D / VMBO-gt EXAMEN: 2002-I De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke
Nadere informatieHoofdstuk 1 Beweging in beeld. Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal
Hoofdstuk 1 Beweging in beeld Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal 1.1 Beweging vastleggen Het verschil tussen afstand en verplaatsing De verplaatsing (x) is de netto verplaatsing en de
Nadere informatieUITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 EXAMEN: 2001-I
UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 NIVEAU: HAVO EXAMEN: 2001-I De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen.
Nadere informatie1.1 Lineaire vergelijkingen [1]
1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg
Nadere informatieNoorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8. M. van der Pijl. Transfer Database
Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8 M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet
Nadere informatieStenvert. Rekenmeesters 5. Zelfstandig werken Rekenen Groep 7 Antwoorden. Zelfstandig werken Stenvert Rekenen Rekenmeesters 5 Antwoorden Groep 7
Zelfstandig werken Rekenen Groep 7 Antwoorden Stenvert maakt deel uit van ThiemeMeulenhoff Zelfstandig werken (Z). Dit bestaat uit een groot assor ment leermiddelen voor alle leerjaren. Op onze Z-site vindt
Nadere informatieUITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I D
UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I D VAK: NIVEAU: EXAMEN: WISKUNDE MAVO 2001-I D De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen.
Nadere informatieHoofdstuk 1: Basisvaardigheden
Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen
Nadere informatie42 blok 6. Een huis inrichten. Teken de meubels in het huis. Plaats ze waar jij wilt. Vul in. Hoeveel eet elke hond? Hoeveel kilo vlees?
42 blok 6 C1 Een huis inrichten. Teken de meubels in het huis. Plaats ze waar jij wilt. C2 Vul in. Hoeveel eet elke hond? Hoeveel kilo vlees? Hoeveel pakken brokken? Hoeveel bakjes water? Fido 3 2 1 4
Nadere informatie8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Nadere informatieREKENTOPPERS 4. Antwoordenboek. Rekenen en wiskunde. Pascal Goderie. Auteur
REKENTOPPERS 4 Rekenen en wiskunde Antwoordenboek Auteur Pascal Goderie KAART KAART 2. Zet de getallen op de goede plaats 2 7. Sjoelen Elke behaalt 4 punten. Willem: veertig punten 4 3 5 8 6 9 2. Pijltjes
Nadere informatieWillem van Ravenstein
Willem van Ravenstein 1. Variabelen Rekenen is het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken je de bewerkingen machtsverheffen en worteltrekken.
Nadere informatieBasisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag
Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde Aantal onderwerpen
Samenvatting Wiskunde Aantal onderwerpen Samenvatting door een scholier 2378 woorden 4 juni 2005 5,1 222 keer beoordeeld Vak Wiskunde Gelijkvormigheid Bij vergroten of verkleinen van een figuur worden
Nadere informatieHoofdstuk 2: Grafieken en formules
Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatieRekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl )
Tussendoelen Rekenen en wiskunde Rekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl ) vmbo = Basis Inzicht en handelen Vaktaal wiskunde Vaktaal wiskunde gebruiken voor het ordenen van het eigen denken en voor uitleg aan
Nadere informatieDocentenhandleiding bij Elektrotechnisch tekenen Basiskennis
tr@nsfere Docentenhandleiding bij Elektrotechnisch tekenen Basiskennis Leerwerkboek S.J. Kuipers redactie S.J.H. Frericks ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet
Nadere informatieF3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3
F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3 Inleiding Bij Module F1 heb je geleerd dat Formule, Verhaal, Tabel, Grafiek en Vergelijking altijd bij elkaar horen. Bij Module F2 heb je geleerd wat een
Nadere informatieNoorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Reader Periode 3 Leerjaar 3. J. Kuiper. Transfer Database
Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal Reader Reader Periode Leerjaar J. Kuiper Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs
Nadere informatie5.1 Lineaire formules [1]
5.1 Lineaire formules [1] Voorbeeld : Teken de grafiek van y = 1½x - 3 Stap 1: Maak een tabel met twee coördinaten van deze lijn: x 0 2 y -3 0 Stap 2: Teken de twee punten en de grafiek: 1 5.1 Lineaire
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatie1 Rekenen met gehele getallen
1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9
Nadere informatie8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Nadere informatie1.1 Rekenen met letters [1]
1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren
Nadere informatieVerbanden en functies
Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.
Nadere informatieklas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf
Checklist 3 HAVO wiskunde klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf 1. Hoofdstuk 1 - lineaire problemen Ik weet dat de formule y = a x + b hoort bij de grafiek hiernaast. Ik kan bij een lineaire formule de
Nadere informatieHoofdstuk 1 Beweging in beeld. Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal
Hoofdstuk 1 Beweging in beeld Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal 1.4/1.5 Significantie en wiskundige vaardigheden Omrekenen van grootheden moet je kunnen. Onderstaande schema moet je
Nadere informatieSAMENVATTING BASIS & KADER
SAMENVATTING BASIS & KADER Afronden Hoe je moet afronden hangt af van de situatie. Geldbedragen rond je meestal af op twee decimalen, 15,375 wordt 15,38. Grote getallen rondje meestal af op duizendtallen,
Nadere informatieWiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden
Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en tweedegraads verbanden OPLEIDING: Noorderpoort MBO Niveau 4 DOCENT: H.J. Riksen LEERJAAR: Leerjaar 1 - Periode 2 UITGAVE: 2018/2019 Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en
Nadere informatie1. Orthogonale Hyperbolen
. Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies
Nadere informatie(g 0 en n een heel getal) Voor het rekenen met machten geldt ook - (p q) a = p a q a
Samenvatting wiskunde h4 hoofdstuk 3 en 6, h5 hoofdstuk 4 en 6 Hoofdstuk 3 Voorkennis Bij het rekenen met machten gelden de volgende rekenregels: - Bij een vermenigvuldiging van twee machten met hetzelfde
Nadere informatieWiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden
Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en tweedegraads verbanden OPLEIDING: Noorderpoort MBO Niveau 4 DOCENT: H.J. Riksen LEERJAAR: Leerjaar 1 - Periode 2 UITGAVE: 2018/2019 Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en
Nadere informatieProefToelatingstoets Wiskunde B
Uitwerking ProefToelatingstoets Wiskunde B Hulpmiddelen :tentamenpapier,kladpapier, een eenvoudige rekenmachine (dus geen grafische of programmeerbare rekenmachine) De te bepalen punten per opgave staan
Nadere informatieIn het internationale eenhedenstelsel, ook wel SI, staan er negen basisgrootheden met bijbehorende grondeenheden. Dit is BINAS tabel 3A.
Grootheden en eenheden Kwalitatieve en kwantitatieve waarnemingen Een kwalitatieve waarneming is wanneer je meet zonder bijvoorbeeld een meetlat. Je ziet dat een paard hoger is dan een muis. Een kwantitatieve
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 = e 5,00 e 3,70 e,58 = e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 + e 3,9) = e 5,00 3 e 5, = e 5,00 e 0,8 = e,7 V-a 3 = 3 9 = 7 b 9 (5 ) = 9 (5 ) = 9 = c 0 3 = 000 3 =
Nadere informatieKerstvakantiecursus. wiskunde B. Voorbereidende opgaven VWO. Haakjes. Machten
Voorbereidende opgaven VWO Kerstvakantiecursus wiskunde B Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk
Nadere informatieUitwerkingen Rekenen met cijfers en letters
Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatieWiskunde 20 maart 2014 versie 1-1 -
Wiskunde 0 maart 04 versie - -. a 3 a =. a.. 6.,AppB./ a 4 3. a 3. Rekenregels voor machten: als je twee machten op elkaar deelt, trek je de exponenten van elkaar af. De exponent van a wordt dan =. 3 6
Nadere informatieStenvert. Taalmeesters 3. Zelfstandig werken Taal Groep 5-6 Antwoorden. Zelfstandig werken Stenvert Taal Taalmeesters 3 Antwoorden Groep 5-6
Zelfstandig werken Taal Groep 5-6 Antwoorden Zelfstandig werken Stenvert Taal Taalmeesters 3 Antwoorden Groep 5-6 Dit antwoordenboekje hoort bij het gelijknamige werkboek uit de serie Taalmeesters van
Nadere informatieStenvert. Taalmeesters 4. Zelfstandig werken Taal Groep 6 Antwoorden. ĞůĨƐƚĂŶĚŝŐ ǁĞƌŬĞŶ ͻ ^ƚğŷǀğƌƚ ͻ Taal ͻ Taalmeesters 4 ͻ Antwoorden ͻ Groep 6
Zelfstandig werken Taal Groep 6 Antwoorden ^ƚğŷǀğƌƚ ŵăăŭƚ ĚĞĞů Ƶŝƚ ǀĂŶ dśŝğŵğdğƶůğŷśžī ĞůĨƐƚĂŶĚŝŐ ǁĞƌŬĞŶ Ϳ ŝƚ ďğɛƚăăƚ Ƶŝƚ ĞĞŶ ŐƌŽŽƚ ĂƐƐŽƌƟ ŵğŷƚ ůğğƌŵŝěěğůğŷ ǀŽŽƌ ĂůůĞ ůğğƌ ũăƌğŷ KƉ ŽŶnjĞ ͲƐŝƚĞ ǀŝŶĚƚ Ƶ Ăů
Nadere informatie1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling
Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil
Nadere informatieDomein A: Inzicht en handelen
Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het
Nadere informatieUitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek
Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de
Nadere informatieOP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl
OP WEG NAAR WISKUNDE Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl Voor kinderen die iets meer willen weten en begrijpen van wiskunde, bijvoorbeeld als voorbereiding op de middelbare
Nadere informatieUITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2002-I VAK: ECONOMIE 1 EXAMEN: 2002-I
TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EAMEN 2002-I VAK: ECONOMIE 1 NIVEAU: HAVO EAMEN: 2002-I De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die
Nadere informatieRekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl )
Tussendoelen Rekenen en Rekenen en ( bb kb gl/tl ) vmbo = Basis Inzicht en handelen Vaktaal Vaktaal herkennen en voor het ordenen van herkennen en voor het ordenen van herkennen en voor het ordenen van
Nadere informatie1 Hele getallen. Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden
Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden 1 Hele getallen Peter Ale Martine van Schaik u i t g e v e r ij c o u t i
Nadere informatieRekenen Oefenboek (2) Geschikt voor LVS-toetsen van CITO 3.0 Groep 6
Rekenen Oefenboek (2) Geschikt voor LVS-toetsen van CITO 3.0 Groep 6 2019 Junior Einstein bv Enschede, the Netherlands Behoudens de in of krachtens de Auteurswet van 1912 gestelde uitzonderingen mag niets
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 5 e 5,00 e 3,70 e 6,58 5 e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 e 3,9) 5 e 5,00 3 e 5, 5 e 5,00 e 0,8 5 e,7 V-a 6 3 5 36 9 5 7 b 9 (5 ) 5 9 (5 ) 5 9 5 c 0 3 6 5 000
Nadere informatieGehele getallen: machtsverheffing en vierkantsworteltrekking
4 Gehele getallen: machtsverheffing en vierkantsworteltrekking Dit kun je al gehele getallen vermenigvuldigen 2 afspraken i.v.m. de volgorde van de bewerkingen toepassen 3 regelmaat en patronen ontdekken
Nadere informatieTussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo
Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Domein A: Inzicht en handelen Subdomein A1: Vaktaal wiskunde 1. vmbo passende vaktaal voor wiskunde herkennen en gebruiken voor het ordenen van het eigen denken
Nadere informatieEXACT- Periode 1. Hoofdstuk Grootheden. 1.2 Eenheden.
EXACT- Periode 1 Hoofdstuk 1 1.1 Grootheden. Een grootheid is in de natuurkunde en in de chemie en in de biologie: iets wat je kunt meten. Voorbeelden van grootheden (met bijbehorende symbolen): 1.2 Eenheden.
Nadere informatieStenvert. Rekenmakkers M5. Zelfstandig werken Rekenen Groep 5 Antwoorden
Zelfstandig werken Rekenen Groep 5 Antwoorden ĞůĨƐƚĂŶĚŝŐ ǁĞƌŬĞŶ ͻ ^ƚğŷǀğƌƚ ͻ Rekenen ͻ Rekenmakkers M5 ͻ Antwoorden ͻ Groep 5 Dit antwoordenboekje hoort bij het gelijknamige werkboek uit de serie RekenŵĂŬŬĞƌƐ
Nadere informatieWiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden
Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en tweedegraads verbanden OPLEIDING: Noorderpoort MBO Niveau 4 DOCENT: H.J. Riksen LEERJAAR: Leerjaar 1 - Periode 2 UITGAVE: 2018/2019 Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en
Nadere informatie3.1 Kwadratische functies[1]
3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt
Nadere informatie1BK2 1BK6 1BK7 1BK9 2BK1
Kern Subkern Leerdoel niveau BK begrippen vmbo waar in bettermarks 1.1.1. Je gebruikt positieve en negatieve getallen, breuken en decimale getallen in hun onderlinge samenhang en je ligt deze toe binnen
Nadere informatie06950181_voorw 01-03-2005 15:47 Pagina I. Een Goed. Feedbackgesprek. Tussen kritiek en compliment. Wilma Menko
06950181_voorw 01-03-2005 15:47 Pagina I Een Goed Feedbackgesprek Tussen kritiek en compliment Wilma Menko 06950181_voorw 01-03-2005 15:47 Pagina II Een goede reeks ISBN Een goede vergadering 90 06 95017
Nadere informatiePraktische opdracht Wiskunde A Formules
Praktische opdracht Wiskunde A Formules Praktische-opdracht door een scholier 2482 woorden 15 juni 2006 5,5 40 keer beoordeeld Vak Wiskunde A Inleiding Formules komen veel voor in de economie, wiskunde,
Nadere informatie3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
3.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je
Nadere informatieNoorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Reflectie en breking. J. Kuiper. Transfer Database
Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal Reader Reflectie en breking J. Kuiper Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs
Nadere informatieMachten, exponenten en logaritmen
Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde
Nadere informatieNoorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 1 2012-2013. M. van der Pijl.
Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 1 2012-2013 M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen
Nadere informatieInhoud. 1 Ruimtefiguren 8. 4 Lijnen en hoeken 148. 2 Plaats bepalen 60. 5 Negatieve getallen 198. 3 Rekenen 100
1 BK deel 1 Voorkennis 1 Aan de slag met wiskunde 6 1 Ruimtefiguren 8 1.1 Wiskundige ruimte guren 10 1.2 Vlakken, ribben en hoekpunten 14 1.3 Kubus en vierkant 17 1.4 Balk en rechthoek 24 1.5 Cilinder
Nadere informatie10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:
10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B1,2
wiskunde 1, Examen HVO Hoger lgemeen Voortgezet Onderwijs ijdvak 1 Vrijdag 19 mei 1.0 16.0 uur 0 06 Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te behalen; het examen bestaat uit vragen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieDeel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB
Deel 3 havo De hoeveelheid leerstof is gebaseerd op drie lesuren per week. Met drie lesuren is het in ieder geval mogelijk om de basisstof van tien hoofdstukken door te werken, eventueel met de verkorte
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 havo 2006-I
Verkeersdichtheid We gaan uit van de volgende (denkbeeldige) situatie (zie figuur 1). Op een weg rijden auto s met een snelheid van 80 kilometer per uur. e auto s houden een onderlinge afstand van 45 meter.
Nadere informatieopdracht 1 opdracht 2. opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 2014 x y toename
Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 014 1 Parabolen herkennen opdracht 1. x - -1 0 1 3 y 4 1 0 1 4 9-3 -1 + 1 + 3 +5 toename tt + + + + a) + b) De toename is steeds een nieuwe rand. De randen
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde Hoofdstuk 1 & 2 wisb
Samenvatting Wiskunde Hoofdstuk 1 & 2 wisb Samenvatting door J. 803 woorden 7 maart 2015 4,6 6 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde Getal en Ruimte Wiskunde Hoofdstuk 1 1 Lineaire verbanden Lineaire formule.
Nadere informatieInleiding tot de natuurkunde
OBC Inleiding tot de Natuurkunde 01-09-2009 W.Tomassen Pagina 1 Inhoud Hoofdstuk 1 Rekenen.... 3 Hoofdstuk 2 Grootheden... 5 Hoofdstuk 3 Eenheden.... 7 Hoofdstuk 4 Evenredig.... 10 Inleiding... 10 Uitleg...
Nadere informatieRekenen Oefenboek (1) Geschikt voor Entreetoets en de LVS-toetsen van het Cito - Groep 7
Rekenen Oefenboek (1) Geschikt voor Entreetoets en de LVS-toetsen van het Cito - Groep 7 2019 Junior Einstein bv Enschede, the Netherlands Behoudens de in of krachtens de Auteurswet van 1912 gestelde uitzonderingen
Nadere informatieVoorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214
Open Inhoud Universiteit Appendix A Wiskunde voor milieuwetenschappen Voorkennis getallenverzamelingen en algebra Introductie Leerkern Natuurlijke getallen Gehele getallen 8 Rationele getallen Machten
Nadere informatie7 Hoeken. Kern 3 Hoeken. 1 Tekenen in roosters. Kern 2 Hoeken meten Kern 3 Hoeken tekenen Kern 4 Kijkhoeken. Kern 1 Tegelvloeren. Kern 3 Oppervlakte
1 Tekenen in roosters Kern 1 Tegelvloeren Kern 2 Oppervlakte Kern 3 Het assenstelsel Kern 4 Rechthoeken 2 Rekenen Kern 1 De rekenmachine Kern 2 Voorrangsregels Kern 3 Afronden Kern 4 Afronden 3 Grafieken
Nadere informatie4900 snelheid = = 50 m/s Grootheden en eenheden. Havo 4 Hoofdstuk 1 Uitwerkingen
1.1 Grootheden en eenheden Opgave 1 a Kwantitatieve metingen zijn metingen waarbij je de waarneming uitdrukt in een getal, meestal met een eenheid. De volgende metingen zijn kwantitatief: het aantal kinderen
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Blok - Vaardigheden Extra oefening - Basis B-a De formules a = en s= t 8 zijn lineaire formules. Bij tael A hoort een lineair verand omdat de toename in de onderste rij steeds + is. Bij tael B hoort geen
Nadere informatieNovum, wiskunde LTP leerjaar 1. Wiskunde, LTP leerjaar 1. Vak: Wiskunde Leerjaar: 1 Onderwerp: In de Ruimte H1 Kerndoel(en):
Wiskunde, LTP leerjaar 1 Onderwerp: In de Ruimte H1 26 De leerling leert te werken met platte en ruimtelijke vormen en structuren, leert daarvan afbeeldingen te maken en deze te interpreteren, en leert
Nadere informatieREKENTECHNIEKEN - OPLOSSINGEN
REKENTECHNIEKEN - OPLOSSINGEN 1] 3,52 m + 13,6 cm =? 3,52 m 3,52 m - 2 13,6 cm 0,136 m - 3 3,656 m eindresultaat 3,66 m 2 cijfers na komma en afronden naar boven 3,52 m 352 cm - 0 13,6 cm 13,6 cm - 1 365,6
Nadere informatiegroep Computerprogramma woordenschat
Taal actief G e b r u i k e r si n st r u c t i e C o m pu te rpro gra m m a w o o rde n s c ha t 214088_OM.indd 1 gro ep 6 22-06-2009 12:22:50 telefoon: 073-628 87 22 e-mail: helpdesk.bao@malmberg.nl
Nadere informatieMijn tafelboek 1 Werkboek
Mijn tafelboek 1 Werkboek Mijn tafelboek 1 Werkboek COLOFON Auteur A. Pleysier Conceptontwerp omslag: Metamorfose ontwerpers BNO, Deventer Ontwerp omslag: Eduardo Media Illustraties Els Vermeltfoort Opmaak
Nadere informatie3.1 Haakjes wegwerken [1]
3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben
Nadere informatiei n s t a p b o e k j e
jaargroep 7 naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs i n s t a p b o e k j e d e r e k e n m a c h i n e Les Rekenen tot 000 Rekenen met de rekenmachine. Hiernaast zie je een rekenmachine. Hoe
Nadere informatieWiskundige vaardigheden
Inleiding Bij het vak natuurkunde ga je veel rekenstappen zetten. Het is noodzakelijk dat je deze rekenstappen goed en snel kunt uitvoeren. In deze presentatie behandelen we de belangrijkste wiskundige
Nadere informatieChecklist Wiskunde B HAVO HML
Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten
Nadere informatieTrillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude
Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Eenheidscirkel In de figuur hiernaast
Nadere informatie