TEST JE WISKUNDEKENNIS!

Transcriptie

1 Bewegingswetenschappen Je overweegt Bewegingswetenschappen te gaan studeren. Een goede keus. Het gaat hier immers om een interessante, veelzijdige studie met gezonde arbeidsmarktperspectieven. Je hebt wellicht al vernomen dat er bij de studie tamelijk veel wiskundige technieken worden gebruikt. Is jouw voorkennis op dat gebied wel voldoende? In de meeste gevallen kun je die vraag zelf vrij gemakkelijk beantwoorden. Kom je net van het vwo, had je daar redelijk veel wiskunde in je pakket en was je er bovendien niet al te slecht in, dan zal het wel goed zitten. Kom je echter via een ander traject bij de faculteit naar binnen en is je wiskundekennis matig of weggezakt dan twijfel je wellicht. Deze test kan dan uitkomst bieden. TEST JE WISKUNDEKENNIS! Het gaat er in deze test om dat je je parate wiskundekennis test. Beantwoord de vragen daarom zonder naslagwerken te raadplegen. Let op: bij sommige vragen mag je ook geen rekenmachine gebruiken. Als je klaar bent met het beantwoorden van de vragen, kun je zelf nagaan hoe je het er vanaf hebt gebracht. Antwoorden, uitwerkingen en beoordelingen zijn namelijk bijgeleverd. Deze test is vervaardigd door Theo de Haan, docent wiskunde bij de faculteit der Bewegingswetenschappen. Met dank aan Bert Clairbois. Vrije Universiteit Amsterdam

2 . Vergelijkingen -. Bepaal x uit de vergelijking: x = -. Bepaal x en y uit het volgende stelsel van vergelijkingen: -. Bepaal x, y en z uit het volgende stelsel van vergelijkingen: x + y = 8 x + y = x + y + z = x y + 4z = x + z =. Machten, wortels, logaritmes Gebruik bij de vragen van deze paragraaf geen rekenmachine! -. Laat zien dat 5 gelijk is aan Bereken: -. Bereken: 8-4. Bereken: log -5. Bereken: lne -6. Bereken: log 8. Functies -. Schets de grafiek van de functie y = f ( x) = x -. Schets de grafiek van de functie y = f ( x) = x Wat is het domein en wat is het bereik van deze functie? -. Teken de grafiek van de functie y = f ( x) = x Wat is de richtingscoëfficiënt van deze functie? Teken in dezelfde figuur de grafiek van een functie met een grotere richtings-coëfficiënt en de grafiek van een functie met een negatieve richtingscoëfficiënt.

3 4. Goniometrie 4-. Hoeveel radialen is o? 4-. Schets in één figuur de grafieken van x( t) = sin t, y( t) = cost en z( t) = tan t Gebruik bij de volgende vragen van deze paragraaf geen rekenmachine. 4-. Hoeveel is cos (45 o )? 4-4. Hoeveel is cos (5 o )? 4-5. Wat moet er op de plaats van de puntjes staan in: cos x = sin (x +...) 5. Differentiëren 5-. Wat is de afgeleide van een functie? Bepaal bij de volgende vragen steeds de afgeleide f '(x) van f (x) 5-. f (x) = x f (x) = x x 5-4. f (x) = sin x 5-5. f (x) = x sin x 5-6. f (x) = cos( x 4 ) 5-7. f (x) = x x 5-8. Gegeven is dat f (x) = x. Hoeveel bedraagt f '' ()? 5-9. Gegeven is dat f ( x) = x e x. Hoeveel bedraagt f '' ()?

4 6. Integreren 6-. Wat is de primitieve van een functie? 6-. Wat is de primitieve van f ( x) = 6x 6-. Wat is de primitieve van f ( x) = e x 6-4. Bereken: ( x ) dx. Wat stelt deze uitdrukking (grafisch) voor? 7. Toepassingen 7-. Van een langs een rechte lijn bewegend voorwerp wordt de positie x (in meters) op een aantal tijdstippen t (in secondes) gemeten: tijdstip t (s),,5,,5,,5, positie x (m),,6,86,95,98,99, a. Zet de punten uit in een grafiek en trek er een vloeiende kromme door. b. Bereken de gemiddelde snelheid v tijdens de eerste halve seconde (van tot,5). De meetwaardes worden goed beschreven door de functie x( t) = c. Bepaal de afgeleide van x(t) (dit is dus de snelheidsfunctie v(t)) d. Wat is de snelheid op t =,5 De massa m van het voorwerp is kg. e. Wat is de kracht die op het voorwerp wordt uitgeoefend op t =? En op t =? e t 7-. Van een bewegend voorwerp is de snelheidsfunctie bekend: v(t) = t +. Bereken de positie x op t = als gegeven is dat de positie op t =, x = 4 bedroeg.

5 Antwoorden en uitwerkingen Hieronder volgen de uitwerkingen van de testopdrachten.. Vergelijkingen -. x = x = 6 x = 6 = 8 -. x + y = 8 x + y = ( ) + y = substitutie in x + y = : x + = ; x = - x + y + z = x y + 4z = x + z = bijvoorbeeld: y elimineren uit middelste vgl. door de bovenste vgl. met te vermenigvuldigen en die bij de middelste op te tellen: middelste vgl. wordt: 8x +8z = onderste vgl. blijft: x + z = - ( 8 ) + - 8z = 8 z = - Uit: x + z = - volgt: x = Uit: x + y + z = volgt: y =

6 . Machten, wortels, logaritmes -. 5 = = 5 = = = = 8 = (want: = 8 ) -4. log = (want: = ) e -5. lne = loge = -6. log 8 = (want: = 8). Functies -. y f(x) = /x x

7 -. f(x)= x D B f f = = [, ] [, ] y functie met grotere r.c. functie met negatieve r.c. f (x) = x - r.c. = x

8 4. Goniometrie 4-. π =,45 π radialen komt overeen met 8 o. Dus o = π /8 =,7... radialen. o =, t π

9 5. Differentiëren 5-. De afgeleide f '(x) van een functie f (x) is wederom een functie, en wel eentje die voor iedere x de mate van verandering in de oorspronkelijke functie geeft. Met betrekking tot de grafiek van f (x): de afgeleide geeft voor iedere x de mate waarin de grafiek van f (x) toe- of afneemt. Grote positieve waardes duiden op een grote toename; grote negatieve waardes duiden op een grote afname. 5-. f '( x) = 4x 5-. f '( x) = 6x 5-4. f '( x) = cos x 5-5. f '( x) = sin x + x cos x 5-6. f '( x) = sin( x 4 ) 4x = 4 x sin( x 4 ) 5-7. Schrijf f (x) als: f ( x) = x( x ) Dan: f '( x) = ( x ) + x ( x ) x x f '( x) = x + x 5-8. f '( x) = 9x f ''( x) = 8 x f ''( ) = 8 = f '( x) = e + xe = e + 6xe x x x x f ''( x) = 6e + 6e + 6xe = e + xe f ''( ) = e = x x x x x

10 6. Integreren 6-. De primitieve F(x) van een functie f (x) is wederom een functie; een functie die als je haar differentieert weer de oorspronkelijke functie f (x) oplevert. 6-. F( x) = x + C 6-. x F( x) = e + C 6-4. F x [ 4 4 x x] ( ) = = =, Dit het oppervlak onder de curve behorend bij f ( x). 7. Toepassingen 7-. a.,,8,6,4 x,,5,5,5 t b. v x = = t, 6 =, 6, 5 m s c. v( t) = e t, 5 d. v(, 5) = e =, e. F = ma ; m = kg dv t t a = = e = 4e dt a( ) = 4e = 4 F = 4 = 4 N 6 a( ) = 4e =, 99 F =, 99 =, 99 N 7-. x( t) = v( t) dt = ( t + ) dt = t + t + C randvoorwaarde: x( ) = C = 4 dus: x( t) = t + t + 4 x( ) = =, m s

11 Puntentelling Hieronder volgt per vraagstuk het aantal punten dat behaald kan worden. Tenzij anders vermeld, krijg je alleen punten voor geheel goede antwoorden. Tel je punten op en kijk wat jouw totaalscore betekent. Let op: je start met punten. Vergelijkingen -. punt -. punten -. punten Commentaar. Deze vragen moeten snel en foutloos opgelost kunnen worden. Ook bij de derde mag je geen rekenfouten maken. Een nette "boekhouding" is dus zeer belangrijk.. Machten, wortels, logaritmes -. punt -. punten -. punten -4. punt -5. punt -6. punt Commentaar. Het is vooral van belang dat je kunt werken met negatieve en gebroken machten. Staar je niet blind op de logaritmes.. Functies -. punten (je krijgt slechts punt indien je het negatieve deel niet had) -. 4 punten (grafiek: ; domein: ; bereik: ) -. 5 punten (grafiek: ; r.c.: ; grotere r.c.: ; negatieve r.c.: )

12 4. Goniometrie 4-. punten punten (sinus, cosinus en tangens: elk ) 4-. punten 4-4. punten 4-5. punten Commentaar. Je moet van enkele standaardhoeken ( o, 45 o, 6 o, 9 o, 8 o etc.) weten wat de bijbehorende sinus-, cosinus- en tangenswaarde zijn. Inzicht in hoe gonio-metrische functies verlopen en hoe zij zich tot elkaar verhouden kun je bijvoorbeeld verkrijgen aan de hand van de eenheidscirkel. 5. Differentiëren 5-. punten 5-. punten 5-. punten 5-4. punt 5-5. punten 5-6. punten punten 5-8. punten 5-9. punten Commentaar. Differentiëren is een basistechniek die je moet beheersen. Eveneens belangrijk voor de studie is dat je begrijpt wat een afgeleide voorstelt, zowel in mathematische als in fysische zin. Dat laatste wordt getest in paragraaf Integreren 6-. punten 6-. punten 6-. punten 6-4. punten Commentaar. Het zou mooi zijn als je ook nog kon integreren, want bij de cursus Wiskunde heb je voor het bijspijkeren van de basisrekenregels, het differentiëren en het integreren tezamen niet meer dan zo'n anderhalve week de tijd!

13 7. Toepassingen 7-. a. punt b. punten c. punten d. punt e. 4 punten punten De totaalscore Inclusief de tien punten waar je mee begon, kon je maximaal punten scoren. Als je echt geen naslagwerk hebt gebruikt dan kun je hieronder bekijken wat jouw totaalscore vermoedelijk betekent: minder dan 5 punten: Je wiskundekennis is onvoldoende. Had je met name met de eerste vier paragrafen al moeite, dan is de kans bijzonder groot dat, ondanks extra inspanningen, vakken als Wiskunde en Biomechanica in het eerste jaar voor onoverkomelijke problemen zullen zorgen. van 5 tot 75 punten: Je wiskundekennis is zwak. Je hebt te veel slordigheidsfouten gemaakt en/of er bestaan te veel hiaten in je kennis. Jezelf dwingen om netter te werken en/of het bijspijkeren van je kennis is absoluut noodzakelijk. van 76 tot punten: Je kennis is waarschijnlijk voldoende. Wellicht heb je enkele slordigheidsfoutjes gemaakt. Zitten de gemiste punten bij vragen van één bepaald onderwerp, dan moet je het betreffende onderwerp voor aanvang van de cursus zeker nog zien bij te spijkeren. Want: alle vragen uit de test zou je eigenlijk vlot en foutloos moeten kunnen maken! Vaak is het zo dat de wiskundekennis ver is weggezakt. Na enig opfrissen blijkt de schade toch nog wel eens mee te vallen. Sommige mensen hebben deze test wellicht gedaan nadat ze er een paar wiskundeboeken op hebben nageslagen of zij hebben de test zelfs gedaan met behulp van naslagwerken. In dat geval geldt dat je nagenoeg alle vragen goed moet hebben en ook moet begrijpen waarom ze goed zijn.

14 Aanbevolen literatuur Heb je onvoldoende wiskundekennis, maar wil je er alles aan doen om voor aanvang van de studie op een acceptabel niveau te komen, dan kan het volgende boek je bij die poging goed van pas komen: Basisboek Wiskunde Jan van de Craats & Rob Bosch Pearson prijs: 9,95 euro Onder andere verkrijgbaar via bol.com. De cursus Wiskunde start in de eerste week van de studie Bewegingswetenschappen. Vaak is het hoge aanvangstempo van de cursus een probleem. Om dit te ondervangen kun je overwegen vooruit te werken. Het boek is voor een groot deel geschikt voor zelfstudie: Maths in Motion Theo de Haan Spelbrink Amsterdam prijs: 9,95 euro Dit boek is online verkrijgbaar via