Modellen en Simulatie

Transcriptie

1 Utrecht, 22 april 2013 Modellen en Simulatie Gerard Sleijpen Department of Mathematics sleij101/

2 Gerard Sleijpen Kamer 504, FG (voorheen WG) Tel: sleij101/ >Lectures>Modellen en Simulatie, WISB 134 Blackboard For referencies, cursusmateriaal, achtergrondinformatie,... Ori Yudilevich Roy Wang Nina Rosa Judith Stoef, Bas te Kolste

3 Program Onderzoeksmethodiek Modelleren Simuleren Wiskunde Voorkennis Organisatie

4 Program Onderzoeksmethodiek Modelleren Simuleren Wiskunde Voorkennis Organisatie

5 Onderzoeksmethodiek Fysische werkelijkheid (zekere geïdealiseerd aspect) Modelleren Fysica, Wiskunde,... Wiskundig model (fysisch model) (vaak differentie of differentiaalverg.) Computer model Wiskunde Calculus, Computational Science Simuleren Voorspellingen Metingen, Statistiek voorspellen, beleid Toepassingen Fysische werkelijkheid

6 Program Onderzoeksmethodiek Modelleren Simuleren Wiskunde Voorkennis Organisatie

7 Modelleren bepaald deelaspect van de werkelijkheid vereenvoudigen voor 1) beter begrip 2) gemakkelijk toegankelijk voor analyse 3) sneller rekenen alleen geldig in een bepaalde range van de parameters wiskundig beschrijven wiskundige resultaten interpreteren

8 Program Onderzoeksmethodiek Modelleren Simuleren Wiskunde Voorkennis Organisatie

9 Simulatie Gebruik het wiskundig model om scenario s door te rekenen (al dan niet met behulp van een computer) (scenario s: wat gebeurt er als je een beginsituatie verandert,... ). Nut. ontwerp, beleid, inzicht Inzicht. Simulaties leveren geen eenduidig inzicht. Ondersteuning door wiskundige analyse is noodzakelijk. Wiskunde staat centraal in dit college

10 Program Onderzoeksmethodiek Modelleren Simuleren Wiskunde Voorkennis Organisatie

11 Wiskunde in context In dit college: model begrijpen resultaten kunnen interpreteren (zeer) eenvoudige modellen kunnen maken Wiskunde staat centraal: bekende wiskunde toepassen nieuwe (toepassingsgerichte) wiskunde ontwikkelen

12 Wiskunde & Modelleren Wiskunde speelt een rol I. bij het opstellen van het model, II. bij het analyseren van de oplossing, III. bij het ontwerpen van het numeriek oplosproces. Wiskunde levert (i) (ii) (iii) globale uitspraken, abstracte rekentechnieken, numerieke rekentechnieken.

13 Wiskunde levert... Voorbeeld. F (x) = a x 2 + b x + c, met a, b, c gegeven reële getallen Wat te zeggen over λ waarvoor F (λ) = 0?

14 Wiskunde levert... Voorbeeld. F (x) = a x 2 + b x + c, met a, b, c gegeven reële getallen Wat te zeggen over λ waarvoor F (λ) = 0? Globale uitspraken óf twee verschillende oplossingen λ 1, λ 2 in C, óf een oplossing λ & F (λ) = F (λ) = 0. oplossing(en) reëel als b 2 4ac 0. als λ 1 R dan λ 2 = λ 1. Abstracte rekent. λ 1,2 = b ± b 2 4ac. 2a Numerieke rekent. x n+1 = x n F (x n) F dan x n λ (x n ) mits λ reëel en x 0 goed gekozen

15 Wiskundige analyse strategie eenvoudige voorbeelden goed begrijpen moeilijkere problemen reduceren tot de eenvoudigere niet-lineaire problemen benaderen door lineaire hoger dimensionale problemen benaderen door 1-dimensionale...

16 niet-lineaire problemen benaderen door lineaire Voorbeeld. Hoe α te berekenen? Stel f : [a, b] R is een gladde functie en f(α) = 0 voor n α (a, b).

17 niet-lineaire problemen benaderen door lineaire Voorbeeld. Hoe α te berekenen? Stel f : [a, b] R is een gladde functie en f(α) = 0 voor n α (a, b). Gok een waarde x 0. Schrijf α = x 0 + h. Hopelijk is h klein. 0 = f(α) = f(x 0 + h) = f(x 0 ) + h f (x 0 ) h2 f (x 0 ) +... Benader met het lineaire deel : 0 = f(x 0 ) + h 0 f (x 0 ) Met h 0 = f(x 0) f (x 0 ) is hopelijk α = x 0 + h x 0 + h 0. Als met x 1 x 0 +h 0 geldt f(x 1 ) 0, herhaal de procedure.

18 Taylor reeks Als f k + 1 maal continue differentieerbaar is in de buurt van x 0, dan f(x 0 +h) = f(x 0 )+hf (x 0 )+ h2 2! f (x 0 )+...+ hk k! f (k) (x 0 )+R De restterm R voldoet aan R = hk+1 (k+1)! f (k+1) (ξ) voor zekere ξ tussen x 0 en x 0 + h. Newton x n+1 = x n f(x n) f (x n )

19 hoger dim. problemen benaderen door 1-dim. [ a11 a 12 ] [ x1 ] [ ] y1 y = Ax met A a 21 a 22, x x 2, y y 2

20 hoger dim. problemen benaderen door 1-dim. [ a11 a 12 ] [ x1 ] [ y1 ] y = Ax met A a 21 a 22, x x 2, y y 2 Bereken de eigenwaarden en bijbehorende eigenvectoren: Av 1 = λ 1 v 1 en Av 2 = λ 2 v 2

21 hoger dim. problemen benaderen door 1-dim. [ a11 a 12 ] [ x1 ] [ y1 ] y = Ax met A a 21 a 22, x x 2, y y 2 Bereken de eigenwaarden en bijbehorende eigenvectoren: Av 1 = λ 1 v 1 en Av 2 = λ 2 v 2 Als v 1 en v 2 lineair onafhankelijk zijn, dan x = α 1 v 1 + α 2 v 2 en y = β 1 v 1 + β 2 v 2, zekere scalairen α i en β i.

22 hoger dim. problemen benaderen door 1-dim. [ a11 a 12 ] [ x1 ] [ y1 ] y = Ax met A a 21 a 22, x x 2, y y 2 Bereken de eigenwaarden en bijbehorende eigenvectoren: Av 1 = λ 1 v 1 en Av 2 = λ 2 v 2 Als v 1 en v 2 lineair onafhankelijk zijn, dan x = α 1 v 1 + α 2 v 2 en y = β 1 v 1 + β 2 v 2, zekere scalairen α i en β i. Dus y = β 1 v 1 + β 2 v 2 = Ax = A(α 1 v 1 + α 2 v 2 ) = α 1 Av 1 + α 2 Av 2 = α 1 λ 1 v 1 + α 2 λ 2 v 2 en we zien dat β 1 = λ 1 α 1 en β 2 = λ 2 α 2.

23 hoger dim. problemen benaderen door 1-dim. [ a11 a 12 ] [ x1 ] [ y1 ] y = Ax met A a 21 a 22, x x 2, y y 2 Bereken de eigenwaarden en bijbehorende eigenvectoren: Av 1 = λ 1 v 1 en Av 2 = λ 2 v 2 Als v 1 en v 2 lineair onafhankelijk zijn, dan x = α 1 v 1 + α 2 v 2 en y = β 1 v 1 + β 2 v 2, zekere scalairen α i en β i : β 1 = λ 1 α 1, β 2 = λ 2 α 2. Toepassingen. x n+1 = Ax n met x n = α 1 (n)v 1 + α 2 (n)v 2 is α i (n) = λ n i α i(0) (i = 1, 2) x (t) = Ax(t) met x(t) = α 1 (t)v 1 + α 2 (t)v 2 is α i (t) = λ iα i (t) (i = 1, 2)

24 Program Onderzoeksmethodiek Modelleren Simuleren Wiskunde Voorkennis Organisatie

25 Voorkennis Infi Differentiëren Integreren Taylorreeks Complexe getallen Lineaire Algebra Gauss eliminatie (vegen van kolommen) eigenwaarden en eigenvectoren Mathematica

26 Complexe getallen λ = a + ib C dan is a = Re(λ) en b = Im(λ). a + ib = r e iφ, a = 1(λ + λ), b = 1 (λ λ) 2 2i voor r = a 2 + b 2 = λ 0 en φ [0, 2π) zodat a = r cos(φ), b = r sin(φ) (tan(φ) = b a ) Voorbeeld. f(t) = e i ν t. Dan f (t) = i ν e i ν t = i ν f(t) Als g(t) = cos(ν t), dan g = Re(f) en g (t) = ν sin(ν t) = Re(f (t)) = Re(i ν e iν t ))

27 Complexe getallen λ = a + ib C dan is a = Re(λ) en b = Im(λ). a + ib = r e iφ, a = 1(λ + λ), b = 1 (λ λ) 2 2i voor r = a 2 + b 2 = λ 0 en φ [0, 2π) zodat a = r cos(φ), b = r sin(φ) (tan(φ) = b a ) λ, ζ C. Dan λζ = λ ζ, λ + ζ = λ + ζ a, b R, λ = r e iφ C. Dan Re(λ(a + ib)) = r cos(φ) a r sin(φ) b. α, β, a, b R. Dan αa βb = Re(γz) voor γ α + iβ, z a + ib

28 Program Onderzoeksmethodiek Modelleren Simuleren Wiskunde Voorkennis Organisatie