Computerized Tomography: The ART of inspection
|
|
- Jonathan van de Velden
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Utrecht, caleidoscoop, 24 april, 212 Computerized Tomography: The ART of inspection Program Wat is tomografie? Zuiver wiskundige aanpak Praktische aanpak Praktische complicaties Gerard Sleijpen Department of Mathematics Het lineaire algebra probleem Oplosmethoden ART SIRT CG Controleren van effecten van meetfouten sleij11/
2 Wat is tomografie? Hoe krijg je zicht op het inwendige van Openmaken? 1 een piramide 2 de aarde 3 een mens 1 onpraktisch 2 onmogelijk 3 onwenselijk Wat is tomografie? 1 hoog frequentie akoestische golven: meet reistijd (voor olie & gas) 2 schokgolven van aardbevingen voor beeld aarde: meet reistijd 3 x-stralen, stralen van deeltjes (SPECT, PET), licht, elektrische impedantie, meet verlies intensiteit 4 Magnetische resonantie (MRI), Alternatief: tomografie schiet er stralen doorheen; vergelijk wat er uitkomt met wat erin gaat; reconstrueer beeld hieruit
3 Straal S = {r(t) t [t 1, t 2 ]} is een kromme g(s) = f(r) dr S Straal S = {r(t) t [t 1, t 2 ]} is een kromme g(s) = f(r) dr S Seismische tomografie: S is de baan van de drukgolf van de haard van de aardbeving naar een meetstation Banen zijn niet recht Banen zijn wel (in goede benadering) bekend f = 1/c, met c(x) de snelheid van de schokgolf op plaats x 1/c heet de traagheid c hangt af van de temperatuur, druk, De vorm van de baan hangt af van c en van begin en eindpunt g(s) = T S is de totale reistijd van de schokgolf langs straal S Medische tomografie: S is de baan van de straling van de stralenbron naar het detectiepunt Banen zijn recht: S = L(s, φ) f(x) is de absorbtiecoëfficiënt in plaats x g(s) = g(s, φ) is het relatieve verlies aan intensiteit van de straling langs baan S = L(s, φ) In dit geval noemen we s g(s, φ) het spookbeeld of de projectie van f vanuit de richting φ Radon transformaties g(s, φ) = f(r) dr L(s,φ) Probleem f onbekend Hoe vind je f als g(s, φ) bekend is voor iedere s R, φ [, π)? Problemen FBP Discrete versies zijn instabiel voor het geval f niet glad Discrete versies vereisen data in allerlei mooi verdeelde richtingen Eventueel voorkennis kan niet uitgebuit worden Verschillende formules bekend (1-st Radon, 1917) Analytisch equivalent, numeriek verschillend Filtered Back Projection Veel commerciële codes voor medische tomografie maken standaard gebruik van een of andere discrete versie van FBP
4 We bespreken nu een praktische aanpak die ook werkt als de stralen niet in parallelle bundels komen, zoals bij aardbevingen : haard aardbeving : meetstation Discretiseer Neem aan dat de banen recht zijn heet i cel Per cel i: c i is de gemiddelde snelheid in cel i; d i 1/c i Per straal S: T S is de totale reistijd van de schokgolf langs S Per straal S en per cel i: l i is de lengte van straal S in cel i t i is de tijd die de schokgolf nodig heeft om door cel i te reizen langs S: t i = l T S = i l i d i waarbij T S gemeten, l i bekend, d i te bepalen T S = i l i d i Matrix-vektor vergelijking d l 1 (1) l 2 (1) 1 T d S(1) l 1 (2) l 2 (2) 2 = T S(2) d #cellen T S(#stralen) Te schrijven als een matrix-vector vergelijking # stralen = # metingen 1 7 (in ISC bestand) Ax = b Nummer de cellen c 1, c 2,, nummer de stralen S(1), S(2), l i (j) is de lengte van straal S(j) in cel i d l 1 (1) l 2 (1) 1 T d S(1) l 1 (2) l 2 (2) 2 = T S(2) d #cellen T S(#stralen) Aantal cellen hangt samen met de cel-afmetingen Kleinere cellen = grotere resolutie Huidige cel grootte: (5km) 3 # cellen
5 Ax = b De matrix is slecht geconditioneerd Minimum eis: # metingen # cellen Problemen seismische tomografie Matrix slecht geconditioneerd Voor goede resolutie, hoog dimensionaal probleem: kleine cellen veel verschillende metingen Soorten golven P-golven (pressure waves) S-golven (shear waves) Rayleigh golven Love golven Verschillende soorten golven hebben verschillende snelheid
6 Problemen seismische tomografie Locatie haard aardbeving onbekend Snelheid c(x) onbekend Stralen lopen krom; hangt af van c(x) Verschillende soorten golven Golven hebben een zekere breedte Golven kunnen reflecteren Meetresultaten met fouten belast Meetresulaten niet alle even betrouwbaar Spreiding meetstations onevenwichtig Aardbevingen zijn oncontroleerbaar
7 Problemen medische tomografie Idealiter: As = d Matrix slecht geconditioneerd Voor goede resolutie, hoog dimensionaal probleem: kleine cellen veel verschillende metingen Resultaten moeten snel beschikbaar zijn Resultaten moet betrouwbaar zijn Metingen beperkt houden: duur metingen gevaar stralingen Intesiteitsverlies hangt ook af van de energie van de straal (beam hardering) Stralen niet altijd vanuit ieder punt mogelijk Echter b = d + f bekend; f fouten Ax = b A is ijl & groot sterk overbepaald: n l effectief onderbepaald: rang(a) < l inconsistent: er is geen oplossing Zoek x die b Ax minimaliseert Zoek daaronder degene met minimale x, de zogenaamde minimum residu minimum norm oplossing Zoek onder de x die b Ax minimaliseren degene waarvoor x minimaal is Normaal vergelijkingen x minimaliseert b Ax precies dan als b Ax Ay y = (Ay) T (b Ax) = y T (A T b A T Ax) y A T Ax = A T b ( ) x minimum residu oplossing met x minimaal als x y y Kern(A) x = A T z zekere z Stelling x is de minimum residu minimum norm oplossing precies dan als A T Ax = A T b en x = A T z zekere z Oplosmethoden Gauss eliminatie? Het vormen van A T A is rekenintensief A T A is niet ijl Gauss eliminatie is rekenintensief Wat doen we als oplossing A T Ax = A T b niet uniek? Praktisch alternatief: iteratieve methoden Wat zijn iteratieve methoden? Voorbeelden Richardson, Gauss-Seidel,
8 Choose α > Choose x x = x, r = b Ax repeat u = A T r x x + αu r = b Ax end repeat Richardson iteratie x = x + α(a T (b Ax)) Stelling Met start x = en α > voldoende klein ( ) convergeert Richardson naar de minresminnorm oplossing ( ) α < M max{ AT Ay y Convergentie is langzaam, y } M (en zeker µ) is lastig te bepalen Geometrische interpretatie a T 1 b 1 Ax = a T 2 x = b 2 = b k-de coördinaat: a T k x = b k, maw x L k { x a T k x = b k } (,) T a k x L k bk a T k ak a k a T k x = b k & a T k y = a T k (x + y) = b k Eigenschap Oplossing x van Ax = b op snijpunt van alle hypervlakken L k Gauss-Seidel Algebraic Reconstruction Technique 1 GaussSeidel 1 GaussSeidel 1 ART 1 ART x x 1 x x x x x Convergeert dit proces altijd? x 1 = x + αa 1 { x a T 1 x = b 1 } α = ρ σ = b k a T 1 x a T 1 a 1
9 Algebraic Reconstruction Technique SIRT (for n matrix A) ART = Gauss-Seidel voor AA T y = b en vindt x = A T y Stelling Als gestart wordt met x = en A niet overbepaald (n <= l) en volle rang, ART convergeert naar de minimum norm oplossing Voor overbepaalde stelsels (n > l) fluctueert de oplossing sterk + Iedere nieuwe rij (nieuwe meting) kan onmiddellijk gebruikt worden In medische tomografie worden telkens nieuwe rijen gemaakt, onmiddellijk gebruikt en vervolgens weggegooid Choose x x = x, r = b Ax repeat u = For k = 1,2,, n σ = a T k a k ρ = r k, α = ρ/σ end for u u + αa k x x + 1 n u r = b Ax end repeat Op het eind van de for loop n r u = k a k=1 T k a A T e k k = A T n k=1 r k a T k a ke k = A T D 1 r, waarbij D de diagonaal matrix is met D kk = a T k a k SIRT (for n matrix A) Simultanuous Iterative RT Choose x x = x, r = b Ax repeat u = A T D 1 r x x + 1 n u r = b Ax end repeat waarbij D de diagonaal matrix is met D kk = a T k a k Richardson voor = A T D 1 (b Ax) met α = n 1 SIRT= Richardson voor A T D 1 Ax = A T D 1 b waarbij D de diagonaal matrix is met Stelling Als gestart met x =, SIRT convergeert naar de mininorm minresidu oplossing van D kk = a T k a k D 1 2 Ax = D 1 2 b + Convergentie naar n min norm min res opl Oplossing van een geschaald probleem Willen we herschaling? Zonder schaling geen convergentie Convergentie is erg langzaam, dwz er zijn veel stappen nodig
10 CG for Normal Equations A T Ax = A T b CG NE Choose x x = x, r = b Ax u =, ρ = 1 repeat s = A T r σ = ρ, ρ = s T s, β = ρ σ u s + βu c = Au σ = c T c, α = ρ σ x x + αu r r αc end repeat Optimaliseren in 2 laatste vorige richtingen = optimaliseren in alle voorgaande richtingen Te verwachten: s SIRT k r exp ( k ) C s CGNE k < r exp ( k C Stelling Als gestart met x = CG convergeert naar de minresidu minnorm oplossing van Ax = b + Convergentie naar de minresidu minnorm opl + Het ongeschaalde probleem wordt opgelost + Convergentie optimaal in zekere zin Je mag geen rijen toevoegen of weglaten tijdens het rekenproces Effect van meetfouten Stel A = Σ diagonaal matrix } Σs = d Σ(x s) = f x i s i = f i Σx = d + f Groot als Erg als d i f i ( d i ) Regulariseer Kies τ > Neem 1/max(, τ) ipv 1/ : f i x i s f σ i = i i τ d i +f i τ d i = f i τ (1 τ )s i if < τ maximale standaard fout = = f i s i σ langs de x as,
11 2 15 Regularizeren met τ = 18 2) Bereken x die Regulariseren maximale regularizeer fout = Oplossing: Als A = Σ: x i s i = Ax b 2 + τ 2 x 2 x = (A T A + τ 2 ) 1 A T b σ 2 i + τ2 (d i + f i ) d i minimaliseert σ langs de x as, = σi 2 + f τ2 i τ2 σi 2 + s τ2 i = f i s i 2 15 Glad regularizeren met τ = 11 Regulariseren 3) Pas SIRT toe (zonder regulariseringsparameter τ) maximale regularizeer (glad) fout = x i s i = (1 φ()) f i φ( )s i = f i s i met φ(t) = (1 ω 2 t 2 ) k 4) Pas CG toe (zonder regulariseringsparameter τ) x i s i = (1 φ(σ2 i )) f i φ( )s i = f i s i met φ(t) van graad k φ() = 1 minimaliseert σ langs de x as, + SIRT en CG regulariseren impliciet mits het aantal stappen beperkt blijft
12 stappen met CG stappen met SIRT maximale CG fout = maximale SIRT fout = σ langs de x as, σ langs de x as, stappen met SIRT stappen met CG maximale SIRT fout = maximale CG fout = σ langs de x as, σ langs de x as, 46
13 stappen met SIRT maximale SIRT fout = σ langs de x as,
Beeldverwerking. Scientific Computing. sleij101/ Program. WISB356, Utrecht, najaar WISB356, Utrecht, najaar 2010
WISB36, Utrecht, najaar Scientific Computing WISB36, Utrecht, najaar Beeldverwerking Gerard Sleijpen Rob Bisseling Department of Mathematics Gerard Sleijpen Rob Bisseling Department of Mathematics http://wwwstaffscienceuunl/
Nadere informatieComputerized Tomography The ART of inspection
Utrecht, kaleidoscoop, februari, 2008 Computerized Tomography The ART of inspection Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.math.uu.nl/people/sleijpen Program Wat is tomografie? Zuiver wiskundige
Nadere informatieIterative methoden voor lineaire vergelijkingen. Scientific Computing. sleij101/ Program
WISB356, Utrecht, 2 otober 2012 Scientific Computing WISB356, Utrecht, 2 otober 2012 Iterative methoden voor lineaire vergelijingen Gerard Sleijpen Rob Bisseling Alessandro Sbrizzi Department of Mathematics
Nadere informatieModellen en Simulatie Lineare Programmering
Utrecht, 13 juni 2013 Modellen en Simulatie Lineare Programmering Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Program Optimaliseren Lineaire programmering Voorbeelden
Nadere informatieModellen en Simulatie Recursies
Utrecht, 3 mei 3 Modellen en Simulatie Recursies Program Management voorbeeld (affien) Economisch voorbeeld (affien) Rupsen-wespen (niet lineair) Niet-lineaire modellen, evenwicht, stabiliteit Gerard Sleijpen
Nadere informatieModellen en Simulatie
Utrecht, 22 april 2013 Modellen en Simulatie Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Gerard Sleijpen Kamer 504, FG (voorheen WG) Tel: 030-2531732 G.L.G.Sleijpen@uu.nl
Nadere informatieUitwerking 1 Uitwerkingen eerste deeltentamen Lineaire Algebra (WISB121) 3 november 2009
Departement Wiskunde, Faculteit Bètawetenschappen, UU. In elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A Eskwadraat. Het college WISB werd in 9- gegeven door Prof. Dr. F. Beukers. Uitwerking
Nadere informatieScientific Computing
WISB356, Utrecht, 10 september 2012 Scientific Computing Gerard Sleijpen Rob Bisseling Alessandro Sbrizzi Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Docenten Gerard Sleijpen WG
Nadere informatieextra sommen bij Numerieke lineaire algebra
extra sommen bij Numerieke lineaire algebra 31 oktober 2012 1. Stel, we willen met een rekenapparaat (dat arithmetische bewerkingen uitvoert met een relatieve nauwkeurigheid ξ, ξ ξ) voor twee getallen
Nadere informatieScientific Computing
WISB356, Utrecht, 18 september 2012 Scientific Computing Gerard Sleijpen Rob Bisseling Alessandro Sbrizzi Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Aspect werkelijkheid Stroming
Nadere informatiePracticum NLA : Iteratieve methodes
Practicum NLA : Iteratieve methodes vrijdag 26 november 2004 1 Diffusievergelijkingen In dit practicum bestuderen we methodes voor het oplossen van diffusievergelijkingen. Heel wat processen kunnen door
Nadere informatieModellen en Simulatie Lesliematrices Markovketens
Utrecht, 6 april 3 Modellen en Simulatie Lesliematrices Markovketens Program Meerdere leeftijdsklassen Leslie matrices Eigenwaarden en eigenvectoren Dominante eigenvector Irreducibele, a-periodieke matrices
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde (2N46) op maandag 23 Deel 1: Van 14 uur tot uiterlijk 153 uur Het gebruik van het
Nadere informatieBasiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Nadere informatieMatrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen
Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatiea) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.
. Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn
Nadere informatieUtrecht, 25 november Numerieke Wiskunde. Gerard Sleijpen Department of Mathematics.
Utrecht, 25 november 2014 Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ [a, b] R, : [a, b] R Benader f door eenvoudige functies Voorbeelden eenvoudige
Nadere informatieEerste deeltentamen Lineaire Algebra A. De opgaven
Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 3 november 9, 3-6 uur Bij dit tentamen mogen dictaat en/of rekenmachine niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, collegekaartnummer en naam van de practicumleider
Nadere informatie0 0 e 1 = = = = 1 2 Voor A nemen we nu de matrix 2 1 T ten opzichte van de geordende basis e 1, e 2, e 3, e 4.
Oude tentamenopgaven LinAlg deel II (Uitwerkingen volgen na de opgaven) 1. Beschouw de vectorruimte M 2,2 over R bestaande uit de 2 2-matrices met reële coëfficienten. Zij A een 2 2-matrix. De afbeelding
Nadere informatieModellen en Simulatie Recursies
Utrecht, 13 mei 2013 Modellen en Simulatie Recursies Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ N n : aantal individuen eind tijdvak n. Aanname [Malthus, 1798]:
Nadere informatieModellen en Simulatie Speltheorie
Utrecht, 20 juni 2012 Modellen en Simulatie Speltheorie Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Program Optimaliseren Nul-som matrix spel Spel strategie Gemengde
Nadere informatieExamen Statistiek I Feedback
Examen Statistiek I Feedback Bij elke vraag is alternatief A correct. Bij de trekking van een persoon uit een populatie beschouwt men de gebeurtenissen A (met bril), B (hooggeschoold) en C (mannelijk).
Nadere informatie4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra
4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra Positieve en niet-negatieve matrices komen veel voor binnen de stochastiek (zoals de PageRank matrix) en de mathematische fysica: temperatuur, dichtheid,
Nadere informatieHOOFDSTUK II BIJZONDERE THEORETISCHE VERDELINGEN
HOOFDSTUK II BIJZONDERE THEORETISCHE VERDELINGEN. Continue Verdelingen 1 A. De uniforme (of rechthoekige) verdeling Kansdichtheid en cumulatieve frequentiefunctie Voor x < a f(x) = 0 F(x) = 0 Voor a x
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieModellen en Simulatie Lineare Programmering
Utrecht, 13 juni 2013 Modellen en Simulatie Lineare Programmering Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Optimaliseren Lineaire programmering Voorbeelden Polytopen
Nadere informatieVerbanden en functies
Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.
Nadere informatieLineaire vergelijkingen II: Pivotering
1/25 Lineaire vergelijkingen II: Pivotering VU Numeriek Programmeren 2.5 Charles Bos Vrije Universiteit Amsterdam c.s.bos@vu.nl, 1A40 15 april 2013 2/25 Overzicht Pivotering: Methodes Norm en conditionering
Nadere informatieModellen en Simulatie Differentiaalvergelijkingen. Modellen en Simulatie. sleij101/ Program.
Utrecht, 29 mei 2013 Utrecht, 29 mei 2013 Modellen en Simulatie Modellen en Simulatie Differentiaalvergelijkingen Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Gerard
Nadere informatieStelsels lineaire vergelijkingen
Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte
Nadere informatieUITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,
UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht
Nadere informatieUtrecht, 11 november Numerieke Wiskunde. Gerard Sleijpen Department of Mathematics.
Utrecht, 11 november 2014 Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Gerard Sleijpen Kamer 504, Freudenthal Gebouw Tel: 030-2531732 G.L.G.Sleijpen@uu.nl
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College
Nadere informatieKWADRATISCHE VERGELIJKINGEN, HET GULDEN ZADELVLAK, EN DE REGELMATIGE VIJFHOEK.
KWADRATISCHE VERGELIJKINGEN, HET, EN DE REGELMATIGE. VIÈTE Johan A.C. Kolk Mathematisch Instituut, Universiteit Utrecht Met medewerking van Rogier Bos Christelijk Gymnasium Utrecht & Freudenthal Instituut,
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les : Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist verzicht colleges. College. Goniometrie 2. Vectoren 2. College 2. Matrixen
Nadere informatieHOVO Het quantum universum donderdag 19 februari 2009 OPGAVEN WEEK 3 - Oplossingen
HOVO Het quantum universum donderdag 9 februari 009 OPGAVEN WEEK 3 - Oplossingen Naam: Opgave : Ga uit van vergelijking 53) op bladzijde 34. Maak gebruik van een grove benadering waarbij we de afgeleide
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (2DM20) op vrijdag 11 mei 2007, 9:00 12:00 uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op vrijdag mei 7, 9: : uur. U mag bij het tentamen geen computer (notebook, laptop), boeken
Nadere informatiePraktische Numerieke Wiskunde
Wiskunde, Utrecht Praktische Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Paul Zegeling Department of Mathematics http://www.math.uu.nl/people/sleijpen Gerard Sleijpen Kamer 504, WG Tel: 030-2531732 sleijpen@math.uu.nl
Nadere informatiewiskunde B pilot vwo 2017-II
Twee machten van maimumscore 5 f' ( ) = ln() + ln() Uit f' ( ) = volgt dat = Dus + = ( = ) Hieruit volgt = a+ a, met a =, moet minimaal zijn De vergelijking a = moet worden opgelost Dit geeft Hieruit volgt
Nadere informatieOpgaven voor Tensoren en Toepassingen. 1 Metrieken en transformatiegedrag
Opgaven voor Tensoren en Toepassingen collegejaar 2009-2010 1 Metrieken en transformatiegedrag 1.1 Poolcoördinaten We bekijken het plaate tweedimensional vlak. Laat x µ (µ = 1, 2) Cartesische coördinaten
Nadere informatieOefeningen Wiskundige Analyse I
Oneigenlijke integralen Oefeningen Wiskundige Analyse I. Voor welke waarden van de reële parameters α en β is de oneigenlijke integraal x α ( + x β ) dx convergent? divergent? 2. Voor welke waarden van
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.
Nadere informatieHoofdstuk 2. Aanduiding 1: Aanduiding 2: Formule 1: Formule 2: s2 x = Formule 3: s x = Formule 4: X nieuw = X oud ± a betekent ook
Hoofdstuk 2 Aanduiding 1: X ij Aanduiding 2: Formule 1: Formule 2: s2 x = Formule 3: s x = Formule 4: X nieuw = X oud ± a betekent ook ± a Formule 5: X nieuw = bx oud betekent t X nieuw = X oud/b betekent
Nadere informatieSchotelantennes. Maak ze met wiskunde! /k 1/18. metaal x m. mal. gips. y = x 2 /(4F) y m. y p. x p
Schotelantennes Maak ze met wiskunde! y y = x 2 /(4F) y m mal y p metaal x m x p x gips /k 1/18 Stukje van een groter geheel Als je een probleem uit de praktijk beschrijft met wiskundige vergelijkingen,
Nadere informatieCover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.
Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/39638 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Pelt D.M. Title: Filter-based reconstruction methods for tomography Issue Date:
Nadere informatiePraktische. Pijlers (exacte) wetenschap. Programma. Wiskunde, Utrecht Gerard Sleijpen Kamer 504, WG Tel:
Praktische Wiskunde, Utrecht Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Kamer 504, WG Tel: 030-2531732 sleijpen@math.uu.nl http://www.math.uu.nl/people/sleijpen >Lectures>Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Paul
Nadere informatieOptimalisering en Complexiteit, College 11. Complementaire speling; duale Simplex methode. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 11 Complementaire speling; duale Simplex methode Han Hoogeveen, Utrecht University Duale probleem (P) (D) min c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 max w 1 b 1 + w 2 b 2 +
Nadere informatieHet oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Nadere informatie8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3
8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 11 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 11 23 oktober 2017 35 De sterrennacht Vincent van Gogh, 1889 1 2 3 4 5 Verband met de stelling van n 1 VA intro ection 16.7 Definitie Equation
Nadere informatieKwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.
Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatieEerste deeltentamen Lineaire Algebra A
Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 8 november 2011, 13u30-16u30 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider (Victor Blasjo, Esther
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT (2DM20) op vrijdag 12 juni 2009, 9.00 Dit tentamen bestaat uit 5 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen.
Nadere informatieDiscrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 2 Gröbnerbases 1. Vragen We hebben gezien dat de studie van stelsels polynoomvergelijkingen in meerdere variabelen op natuurlijke manier leidt
Nadere informatieOefenopgaven wi3097: Numerieke methoden voor differentiaalvergelijkingen
Oefenopgaven wi3097: Numerieke methoden voor differentiaalvergelijkingen 1 Introductie Taylor polynoom, floating point getal, afrondfout Orde symbool Landau 1. Laat f(x) = x 3. Bepaal het tweede orde Taylor
Nadere informatieUITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
Nadere informatieImproving parallelism for the. NEMO ocean model. Hind Shouli. NEMO ocean model
Improving parallelism for the Hind Shouli 1 Inhoud Inleiding Probleem Numerieke methoden Testresultaten Conclusie 2 Inleiding SARA (Amsterdam) biedt onderzoekers in Nederland ondersteuning bij onder andere
Nadere informatieJe mag Zorich deel I en II gebruiken, maar geen ander hulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmachine etc.)!
Tentamen Analyse II. Najaar 6 (.1.7) Toelicting: Je mag Zoric deel I en II gebruiken, maar geen ander ulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmacine etc.)! Als je bekende stellingen gebruikt
Nadere informatie1e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari y = u sin(vt) dt. wordt voorgesteld door de matrix
e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari 9. Opgave: Bereken dt ( q) als p = (, ), q = (, ) en p u+v x = e t dt T : (u, v) (x, y) : u y = u sin(vt) dt Oplossing:
Nadere informatieRekenvaardigheden voor het vak natuurkunde
Inhoud Formules uitrekenen... Balansmethode... Categorie eenvoudig... 3 Categorie moeilijker... 4 Categorie moeilijkst... 5 Uitgebreidere formules... 8 Balansmethode en abc-formule... 8 Stelsels van vergelijkingen...
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieModellen en Simulatie Stelsels Dvg
Utrecht, juni 3 Modellen en Simulatie Stelsels Dvg Continu versus discreet: Lineaire modellen Continu model. x (t) = Ax(t). Als geen eigenwaarde van A: opl. x(t) in evenwicht x(t) = alle t stabiel evenwicht
Nadere informatieLineaire programmering
Lineaire programmering Hans Maassen kort naar Inleiding Besliskunde van J. Potters [Pot]. en Methods of Mathematical Economics van J. Franklin [Fra]. Lineaire programmering is het bepalen van het maximum
Nadere informatienatuurkunde havo 2018-I
Aan het juiste antwoord op een meerkeuzevraag wordt scorepunt toegekend. Scheepsradar maximumscore uitkomst: s =,9 0 4 m Elektromagnetische golven bewegen met de lichtsnelheid. De afstand die 8 4 het signaal
Nadere informatieDag van de wiskunde 22 november 2014
WISKUNDIGE UITDAGINGEN MET DE TI-84 L U C G H E Y S E N S VRAGEN/OPMERKINGEN/ peter.vandewiele@telenet.be TOEPASSING 1: BODY MASS INDEX Opstarten programma en naamgeven! Peter Vandewiele 1 TOEPASSING 1:
Nadere informatieVectorruimten met inproduct
Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen
Nadere informatieParagraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken
Hoofdstuk 7 Lijnen en cirkels (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier y =
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 5 december, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Lijn, Vlak, etc.
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 5 december, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Vectorvoorstelling Lijn: x = b +
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN
Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen
Nadere informatieOpgaven bij Numerieke Wiskunde I
Opgaven bij Numerieke Wiskunde I 7 november 8 1. (a) Gegeven verschillende interpolatiepunten x, x 1, x [a, b], en getallen y, y 1, y, z 1, toon aan dat er hooguit 1 polynoom p P 3 is met p(x i ) = y i,
Nadere informatieHoofdstuk 1 : Vectoren (A5D)
1 Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Les 1 : Stelsels en Echelon vorm DOEL : WE GAAN EEN AANTAL VERGELIJKINGEN MET EEN AANTAL VARIABELEN PROBEREN OP TE LOSSEN. Definities Stelsel
Nadere informatieZeldzame en extreme gebeurtenissen
24 March 215 Outline 1 Inleiding 2 Extreme gebeurtenissen 3 4 Staarten 5 Het maximum 6 Kwantielen 23 maart 215 Het Financieele Dagblad Vijf grootste rampen (verzekerd kapitaal) 1 Orkaan Katrina (25, MU$
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.10, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 23 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline 1 2 3 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Nadere informatieVoorbereidende sessie toelatingsexamen
1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar
Nadere informatieOpgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 11 3 11 = () 11 2 3 () 11 5 6 () 11 1 12 11 1 4 11 1 6 2 ls a en b twee verschillende reële getallen verschillend van 0 zijn en 1 x + 1 b = 1, dan
Nadere informatieOpgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Uitwerkingen worden beschikbaar gesteld op de dinsdagavond voorafgaande aan het volgende college
Nadere informatieTopologie in R n 10.1
Topologie in R n 10.1 Lengte x = (x 1,..., x n ) = x 2 1 + x2 2 + + x2 n Bol B(x 0, r) = {x : x x 0 < r} x 0 r p 1 p 3 p 1 p 2 S p 1 heet uitwendig punt p 2 heet inwendig punt p 3 heet randpunt p 1 p 3
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 2 Ruimte en oppervlakken collegejaar : 18-19 college : 2 build : 5 september 2018 slides : 25 Vandaag Ruimte 1 Vectoren in R 3 recap 2 Oppervlakken 3 Ruimte 4 1 intro VA Voorkennis uit Ruimtewiskunde
Nadere informatieModellen en Simulatie Simulated Annealing
Utrecht, 14 juni 2012 Modellen en Simulatie Simulated Annealing Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ In deze les een toepassing van Markov ketens: p n+1 =
Nadere informatieBlokmatrices. , I 21 = ( 0 0 ) en I 22 = 1.
Blokmatrices Soms kan het handig zijn een matrix in zogenaamde blokken op te delen, vooral als sommige van deze blokken uit louter nullen bestaan Berekeningen kunnen hierdoor soms aanzienlijk worden vereenvoudigd
Nadere informatieComplexe eigenwaarden
Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op maandag juni Dit tentamen bestaat uit 6 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen. De
Nadere informatieWISB134 Modellen & Simulatie. Lecture 8 - Niet-lineaire recursies in meerdere dimensies
WISB134 Modellen & Simulatie Lecture 8 - Niet-lineaire recursies in meerdere dimensies Overzicht van ModSim Meeste aandacht (t/m 1 apr.) Basisbegrippen dynamische modellen Definities recursies, DVs, numerieke
Nadere informatieLineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Nadere informatieToegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter
Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter 25 februari, 2008 Hans Maassen 1. Inleiding Het Kalman filter schat de toestand van een systeem op basis van een reeks, door ruis verstoorde waarnemingen. Een meer
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 7 J.Keijsper
Nadere informatieDoe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle.
De n-de term van de numerieke rij (t n ) (met n = 0,, 2,...) is het rekenkundig gemiddelde van zijn twee voorgangers. (a) Bepaal het Z-beeld F van deze numerieke rij en het bijhorende convergentiegebied.
Nadere informatie12. Uitwerkingen van de opgaven
12. Uitwerkingen van de opgaven 12.1. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 3 Opgave 3.1 3,87 0,152 641, 2 Bereken met behulp van Maxima: 2,13 7,29 78 0,62 45 (%i1) 3.87*0.152*641.2/(2.13*7.29*78*0.62*45);
Nadere informatieHertentamen WISN102 Wiskundige Technieken 2 Di 17 april 13:30 16:30
Hertentamen WIN12 Wiskundige Technieken 2 Di 17 april 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
Nadere informatieTentamen WISN102 Wiskundige Technieken 2 Do 1 feb :00 12:00
Normering Tentamen WISN02 Wiskundige Technieken 2 Do feb 207 9:00 2:00 voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op dinsdag 9 april 8, 9.. uur. Dit tentamen bestaat uit 6 open vragen, en 4 kort-antwoord
Nadere informatieParagraaf 10.1 : Vectoren en lijnen
Hoofdstuk 10 Meetkunde met Vectoren (V5 Wis B) Pagina 1 van 13 Paragraaf 10.1 : Vectoren en lijnen Les 1 : Vectoren tekenen Definities Vector x = ( a ) wil zeggen a naar rechts en b omhoog. b Je kunt vectoren
Nadere informatiePlatonische lichamen en andere reguliere polytopen
Platonische lichamen en andere reguliere polytopen Bernd Souvignier Voorjaar 005 Inhoud De platonische lichamen. Reguliere veelhoeken.......................... Reguliere veelvlakken.........................
Nadere informatieCTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 6 27 februari 2014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we de rest van hoofdstuk 1.8 en 1.9 Voor de pauze: hoofdstuk 1.8 Na de pauze: hoofdstuk 1.9 2 Transformatie
Nadere informatieInformatica: C# WPO 10
Informatica: C# WPO 10 1. Inhoud 2D arrays, lijsten van arrays, NULL-values 2. Oefeningen Demo 1: Fill and print 2D array Demo 2: Fill and print list of array A: Matrix optelling A: Matrix * constante
Nadere informatie