0 0 e 1 = = = = 1 2 Voor A nemen we nu de matrix 2 1 T ten opzichte van de geordende basis e 1, e 2, e 3, e 4.
|
|
- Renske van der Velde
- 4 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Oude tentamenopgaven LinAlg deel II (Uitwerkingen volgen na de opgaven) 1. Beschouw de vectorruimte M 2,2 over R bestaande uit de 2 2-matrices met reële coëfficienten. Zij A een 2 2-matrix. De afbeelding T : M 2,2 M 2,2 wordt gegeven door T : X AX + (AX) t waarin Y t de getransponeerde van een matrix Y is. (a) Toon aan dat T een lineaire afbeelding (je kunt gebruiken dat (C + D) t = C t + D t voor elk tweetal matrices C, D). (b) Van M 2,2 is de volgende geordende basis gegeven: ( ) ( ) ( ) e 1 = e = e = e = ( 1 2 Voor A nemen we nu de matrix 2 1 T ten opzichte van de geordende basis e 1, e 2, e 3, e 4. ( ) ). Bereken de matrix van 2. Zij P n de vectorruimte van alle polynomen met reële coëfficienten en graad n. (a) Bepaal de rang en een basis van het stelsel vectoren in P x + 2x 3, 2 x + x 2 + x 3, x 2 + x 3, 3 x 2 + x 3 (b) Zij W het opspansel van de vectoren uit het vorige onderdeel. Voor welke waarde(n) van α ligt de vector 1 + αx + αx 3 in W? De lineaire afbeelding D : P 2 P 2 wordt gegeven door D(p(x)) = p (x) waarin het accent differentiatie naar x betekent. (c) Geef de matrix van D ten opzichte van de standaardbasis 1, x, x 2 van P 2. (d) Bepaal, door een coördinatentransformatie, de matrix van D ten opzichte van de geordende basis 1 x, 1 + x + x 2, x Zij W R 4 de lineaire deelruimte gegeven door x + y z = 0 2y + z + u = 0 waarin x, y, z, u de standaardcoördinaten in R 4 zijn. Op R 4 nemen we het dotproduct als inwendig product. 1
2 (a) Laat zien dat (1, 0, 1, 1) t W. (b) Bepaal een orthormale basis van W die 1 3 (1, 0, 1, 1) t bevat. (c) Bepaal de orthogonale projektie van p = (1, 1, 1, 1) t op W. Onder de afstand van een vektor v tot W verstaan we de lengte van de vektor v v waarin v de orthogonale projektie van v op W is. (d) Zij f 1, f 2 een orthornomale basis van het orthogonale complement van W. Bewijs dat de afstand van v tot W gegeven wordt door (v f1 ) 2 + (v f 2 ) Laat V = R 3 en zij <, > het standaard inwendig produkt op V. Zij a = (0, 1, 1) t en definieer T : V V door x, a T (x) = x 2 a, a a. (a) Laat zien dat T een lineaire afbeelding is. (b) Laat zien dat T orthogonaal is. (c) Laat zien dat T symmetrisch is. (d) Bepaal de eigenwaarden van T en de dimensies van de bijbehorende eigenruimten. (e) Geef een meetkundige interpretatie van T. 5. Zij V de vectorruimte R 3 met daarop het standaardinproduct. Gegeven is een lineaire afbeelding T : V V die t.o.v. de standaardbasis van R 3 de matrix A = heeft. Gegeven is dat T een eigenwaarde 2 heeft. (a) Bereken de eigenwaarden van T met de corresponderende eigenvectoren. (b) Bepaal een orthogonale matrix U en een diagonaalmatrix D zó dat A = U 1 DU. (c) Laat zien dat 1 (T + 7Id) een orthogonale projectie is en bepaal 9 de vergelijking van het vlak waarop geprojecteerd wordt. Hierin is Id de identieke afbeelding met matrix I 3. 2
3 6. Zij V de vectorruimte R 3 met standaard inproduct ( dotproduct ). Zij a, b V. De lineaire afbeelding A : V V wordt gedefinieerd door A(x) = (a x)b + (b x)a. (a) Bewijs dat A een symmetrische afbeelding is. Neem nu aan dat a en b onafhankelijk zijn. (b) Bepaal kern en beeld van de afbeelding A. Veronderstel nu dat a, b een orthonormaal stelsel in V is. (c) Bereken de eigenwaarden van A en de bijbehorende eigenvectoren. (d) Is er een basis van V zó dat de matrix van A ten opzichte van deze basis een diagonaalmatrix is? Zo ja geef deze basis en de diagonaalmatrix. 7. (Toegegeven, dit was een lastige) In de ruimte M 2,2 van 2 2-matrices met reële coefficienten is het inproduct A, B = Spoor(AB t ) gegeven, waarin B t de getransponeerde van B is. (Je mag, waar nodig, gebruiken dat Spoor(AB) = Spoor(BA) en Spoor(A t ) = Spoor(A)) (a) Bewijs dat A, B inderdaad een inproduct is. (b) Bepaal ten aanzien van dit inproduct een orthonormale ( ) ( basis van ) de deelruimte van M 2,2 opgespannen door en (c) Zij U, V een tweetal orthogonale matrices. Bewijs dat de lineaire afbeelding T : M 2,2 M 2,2 gegeven door A : X UXV een orthogonale afbeelding is t.a.v. het inproduct.,.. 8. Bepaal een nieuw rechthoekig coördinatenstelsel in het platte vlak zodanig dat de kegelsnede C gegeven door 2x 2 + 4xy y 2 + 2x y = 0 in de nieuwe coördinaten de standaardgedaante Ax 2 + By 2 = 1 krijgt. Van welk type is de kegelsnede C? 3
4 UITWERKINGEN 1. (a) We moeten aantonen dat T (X + Y ) = T (X) + T (Y ) voor alle X, Y M 2,2 en T (λx) = λt (X) voor alle λ R en X M 2,2. Merk op dat T (X+Y ) = A(X+Y )+(A(X+Y )) t = AX+AY +(AX) t +(AY ) t = T (X)+T (Y ). Verder T (λx) = A(λX) + (A(λX)) t = λax + λ(ax) t = λt (X). (b) We berekenen T (e i ) voor i = 1, 2, 3, 4 en bepalen de coördinaten van de beelden t.o.v. e i. Merk op dat ( ) ( ) ( ) Ae 1 = = ( ) ( ) ( ) Ae 2 = = ( ) ( ) ( ) Ae 3 = = ( ) ( ) ( ) Ae 4 = = Hieruit volgt: T (e 1 ) = T (e 2 ) = T (e 3 ) = T (e 4 ) = ( ) ( ) t ( ) = ( ) ( ) t ( ) = ( ) ( ) t ( ) = ( ) ( ) t ( ) = En dus zien we: T (e 1 ) = 2e 1 + 2e 2 + 2e 3 + 0e 4 T (e 2 ) = 0e 1 + 1e 2 + 1e 3 + 4e 4 T (e 3 ) = 4e 1 + 1e 2 + 1e 3 + 0e 4 T (e 4 ) = 0e 1 + 2e 2 + 2e 2 + 2e 4 4
5 De gevraagde matrix is (a) De coördinaten van de polynomen ten opzichte van de standaardbasis zijn 1 0, 1 1, 0 1, Het is voldoende de rang en een basis van deze kolomvectoren te vinden. We doen dit door rijreductie van de matrix Vegen met de eerste rij levert Vegen met de tweede rij: en vegen met de derde rij: Op plaats 1,2,3 zien we drie pivotelementen. De rang is dus 3 en de eerste drie vectoren vormen een basis. 5
6 (b) Door uitschrijven in coordinaten zien we dat we moeten nagaan voor welke α het stelsel α α oplosbaar is. Dezelfde reductiestappen als boven geven: α (α 1)/ (2α 5)/3 Dit stelsel heeft een oplossing precies dan als 2α 5 = 0, dus α = 5/2. (c) Merk op: D(1) = 0 = x + 0x 2 D(x) = 1 = x + 0x 2 D(x 2 ) = 2x = x + 0x 2 De gevraagde matrix wordt dus (d) Noem de standaardbasis E en de basis van de opgave F. De boven gevonden matrix noteren we met DE E. De gevraagde matrix noteren we als DF F. Er geldt DF F = IE F DE E IF E, waarin IF E de coördinatentransformatie matrix van E naar F is, en IF E = (IF E ) 1. Er geldt IE F = Hieruit volgt en daaruit weer IF E = (IE F ) 1 = D F F = I E F D E EI F E =
7 3. (a) Substitueer x = 1, y = 0, z = 1, u = 1 in x + y z en 2y + z + u en merk op dat we in beide gevallen nul krijgen als antwoord. (b) Eem basis van W wordt gegeven door (1, 0, 1, 1) en (2, 1, 1, 1) (los gewoon x + y z = 0, 2y + z + u = 0 op). Pas hierop Gram- Schmidt toe. v 1 = (1, 0, 1, 1) v 2 = (2, 1, 1, 1) (2, 1, 1, 1) v 1 v 1 2 v 1 = (2, 1, 1, 1) (2, 1, 1, 1) (1, 0, 1, 1) (1, 0, 1, 1) 2 (1, 0, 1, 1) = (2, 1, 1, 1) 2 3 (1, 0, 1, 1) = 1 (4, 3, 1, 5) 3 We krijgen een orthonormale basis door v1 en v2 door hun lengte te delen 1 3 (1, 0, 1, 1), 1 51 (4, 3, 1, 5). (c) Geef de boven gevonden orthonormale basis van W aan met a 1, a 2. Dan wordt de projectie van p op W gegeven door In ons geval is dit gelijk aan (p a 1 )a 1 + (p a 2 )a 2. 1 ((1, 1, 1, 1) (1, 0, 1, 1))(1, 0, 1, 1) ((1, 1, 1, 1) (4, 3, 1, 5))(4, 3, 1, 5) 51 = 1 ( 1, 5, 4, 14). 17 (d) De afstand van v tot W is gelijk aan de lengte van de projectie van v op het orthogonaal complement van W. Deze projectie wordt gegeven door de formule (v f 1 )f 1 + (v f 2 )f 2. De lengte van deze vector is gelijk aan (v f 1 ) 2 + (v f 2 ) (a) We moeten laten zien dat T (x + y) = T (x) + T (y) voor alle x, y R 3 en T (λx) = λt (x) voor alle x R 3 en λ R 3. Merk op, inprodx + y, a T (x + y) = x + y 2 a a, a x, a a = x + y 2 a 2 y, a, a a, a a = T (x) + T (y) 7
8 Verder, λx, a T (λx) = λx 2 a, a a x, a = λx 2λ a, a a = λt (x) (b) Merk hiertoe op dat voor alle x R 3, T (x) 2 = T (x), T (x) x, a a = x 2 a, x 2 x, a, a a, a a ( ) ( ) 2 x, a x, a = x, x 2 2 x, a + 2 a, a a, a a, a x, a 2 a 2 = x, x x, a, a a, a = x 2 (c) Merk hiertoe op dat voor alle x, y R 3, y, a x, T (y) = x, y a, a a = x, y y, a x, a a, a De laatste uitdrukking is symmetrisch in x en y en is dus ook gelijk aan y, T (x) = T (x), y. (d) Omdat T symmetrisch is, zijn de eigenwaarden reëel en omdat T orthogonaal is, zijn deze eigenwaarden ±1. Zij v een eigenvector met eigenwaarde 1. Dat wil zeggen, v = T (v) = v v, a a, a a De vector voldoet aan deze vergelijking precies dan als v, a = 0, m.a.w. als v loodrecht op a staat. De dimensie van de eigenruimte bij eigenwaarde 1 is dus twee. Stel nu dat v een eigenvector met eigenwaarde 1 is. Dan geldt v = T (v) = v 8 v, a a, a a
9 en dus moet v een scalair veelvoud van a zijn. Merk op dat T (a) = a. Dus vormen de veelvouden van a de eigenruimte bij eigenwaarde 1. Dus dimensie is 1. (e) De afbeelding T is een spiegeling in het vlak loodrecht op a. 5. (a) We berekenen eerst de eigenruimte bij eigenwaarde 2 door oplossing van het stelsel Alle drie de vergelijkingen zijn veelvouden van de eerste en dus wordt de eigenruimte gegeven door x + 2y 2z = 0. De derde eigenvector staat loodrecht op deze eigenruimte (A heeft immers een orthonormale basis van eigenvectoren) en is dus (1, 2, 2) t. De eigenwaarde vinden we door de A hierop los te laten. We vinden de eigenwaarde 7. (b) Om de matrix U te bepalen moeten we een orthonormale basis van eigenvectoren vinden. Als eerste nemen we 1 (1, 2, 2). Verder 3 kiezen we twee orthonormale vectoren in het vlak x + 2y 2z = 0. Een basis hiervan wordt bijvoorbeeld gegeven door (0, 1, 1) en ( 4, 1, 1). Deze zijn al orthogonaal (als je dit niet meteen kunt vinden kun je Gram-Schmidt gebruiken). Nu nog lengte 1, en we hebben 1 2 (0, 1, 1) en 1 3 ( 4, 1, 1). Zij nu de matrix C de matrix 2 met deze eigenvectoren als kolommen. Dan geldt C 1 AC = D waarin D de diagonaalmatrix met diagonaalelementen 7, 2, 2 is. De gevraagde matrix U is dus de inverse van C, en omdat C orthogonaal is, geldt ook 1/3 2/3 2/3 U = C t = 0 1/ 2 1/ 2 4/3 2 1/3 2 1/3. 2 (c) De matrix van T ten opzichte van de boven gevonden eigenvectoren is de diagonaalmatrix D met elementen 7, 2, 2. Hieruit volgt dat de matrix van 1(T + 7Id) gelijk is aan 1(D + 7I 9 9 3). Deze laatste matrix is een diagonaalmatrix met elementen 0, 1, 1. Met andere woorden, de nieuwe afbeelding beeldt (1, 2, 2) af naar de nulvector en de vectoren in het vlak x + 2y 2z = 0 naar zichzelf. Dit is een orthogonale projectie op het vlak x + 2y 2z = 0. 9
10 6. (a) Er geldt, x (A(y)) = x ((a y)b + (b y)a) = (a y)(x b) + (b y)(x a) Deze laatste uitdrukking is symmetrisch in x en y. x (A(y)) = y (A(x)) = A(x) y. Dus geldt (b) Stel dat x in de kern zit, dwz A(x) = 0. Met andere woorden, (x b)a + (x a)b = 0. Omdat a en b onafhankelijk zijn, volgt hieruit dat x b = 0 en x a = 0. Met andere woorden, x staat loodrecht op a en b en is dus een scalair veelvoud van a b. Omgekeerd controleren we direct dat elke vector loodrecht op a en b in de kern zit. De kern heeft dus dimensie 1 en daaruit volgt dat het beeld dimensie 3 1 = 2 heeft. Aangezien het beeld in het opspansel van a en b bevat is, volgt hieruit dat het beeld gelijk is aan dit opspansel. (c) Het opspansel van a en b zullen we aangeven met W. De eigenruimte bij eigenwaarde 0 staat loodrecht op W. De overige eigenvectoren liggen dus in W. Stel dat αa + βb een eigenvector is met eigenwaarde λ. Dan geldt, A(αa + βb) = ((αa + βb) b)a + ((αa + βb) a)b = βa + αb en dit moet gelijk zijn aan λ(αa + βb). Dus β = λα en α = λβ. Hieruit volgt dat λ = ±1 en α = β als λ = 1 en α = β als λ = 1. Een basis van eigenvectoren van W wordt gegeven door a + b en a b met eigenwaarden 1 respectievelijk 1. Een orthonormale basis van V wordt nu gegeven door a b, (a+b)/ 2, (a b)/ 2. De matrix van A ten opzichte van deze basis heeft de diagonaalvorm. De diagonaalelementen zijn de eigenwaarden 0, 1, (a) Spoor(AB t ) is inderdaad een inproduct dit blijkt uit: i. A, B = Spoor(AB t ) = Spoor((AB t ) t ) = Spoor(BA t ) = B, A 10
11 ii. A, B + C = Spoor(A(B + C) t ) = Spoor(AB t ) + Spoor(AC t ) = A, B + A, C iii. A, λb = Spoor(AλB t ) = λspoor(ab t ) = λ A, B ( ) a b iv. Stel A =. Dan geldt c d A, A = Spoor(AA t ) ( ) a = Spoor 2 + b 2 ac + bd ac + bd c 2 + d 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 Dus A, A 0 voor alle a, b, c, d en A, A = 0 precies dan als a = b = c = d = 0, maw A = 0. ( ) ( ) (b) Stel v 1 = en v =. We bepalen een orthonormale basis met 1 1 Gram-Schmidt. v 1 = v 1 v 2 = v 2 v 2, v 1 v 1, v 1 v 1 = v v 1 ( ) 1 0 = ( ) 1 1 = 1 0 ( 1/3 ) 2/3 1/3 1 Na normalisatie krijgen we de orthonormale basis ( ) ( ) , (c) Er geldt, gebruikmakend van U t = U 1 en V t = V 1, dat A(X) 2 = A(X), A(X) = UXV, UXV 11
12 = Spoor(UXV (UXV ) t ) = Spoor(UXV V t X t U t ) = Spoor(UXV V 1 X t U 1 ) = Spoor(UXX t U 1 ) = Spoor(XX t U 1 U) = Spoor(XX t ) = X 2 ( ) De symmetrische matrix behorend bij 2x 2 + 4xy y 2 is. De 2 1 eigenwaarden zijn 3, 2 en de bijbehorende eigenvectoren (2, 1), ( 1, 2). De genormaliseerde eigenvectoren zijn 1 5 (2, 1) en 1 5 ( 1, 2) en de matrix met deze vectoren als kolommen is C = 1 ( ) We voeren nieuwe coördinaten x, y in via ( ) ( ) x x = C y y. De vergelijking 2x 2 +4xy y 2 +2x y = 0 gaat over in 3(x ) 2 2(y ) 2 + 5x = 0. Na kwadraat afsplitsen: 3(x + 5/2) 2 2(y ) 2 = 5/4. Voer de nieuwe coördinaten x = x 5/2, y = y in. Dan vinden we 3(x ) 2 2(y ) 2 = 5/4 en dus Dit is een hyperbool (x ) (y ) 2 = 1. 12
UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra B
Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra
Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN
Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatieONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Nadere informatie1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A.
. Oefen opgaven Opgave... Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat A = Bepaal de matrix van A. 4, 4 A =, A = 3 4. In de volgende opgave wordt het begrip injectiviteit en surjectiviteit van
Nadere informatieUitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door
Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra, najaar 007. Gegeven is de lineaire afbeelding L : R R, die een punt P = (x, y) langs de lijn y = x projecteert op de lijn y = x: y y = x P x L(P ) y = x Bepaal
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieMatrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen
Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een
Nadere informatieSamenvatting Lineaire Algebra, periode 4
Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A maandag 16 december 2002, 1000-1200 Coördinaten zijn gegeven tov een standaardbasis in R n 1 De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 1 0 1 2 0 1 1 4 3 2 A =, b = 0
Nadere informatieTentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)
Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, 4.-7. uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieOefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A =
Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december 2012 Opg 1 De schaakbordmatrix A is de 8 bij 8 matrix 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 A = 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper
Nadere informatieEigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid
Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit
Nadere informatieGeadjungeerde en normaliteit
Hoofdstuk 12 Geadjungeerde en normaliteit In het vorige hoofdstuk werd bewezen dat het voor het bestaan van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voldoende is dat T Hermites is (11.17) of
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)
Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.
Nadere informatiea) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.
. Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen
Nadere informatieUitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00
Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus
Nadere informatieUITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,
UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen
Nadere informatieUitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Dit tentamen bestaat uit 4 open vragen, en kort-antwoord vragen. De uitwerkingen van de open vragen dienen volledig, duidelijk geformuleerd
Nadere informatieLineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen
Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:
Nadere informatieLineaire Algebra Een Samenvatting
Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle
Nadere informatieSymmetrische matrices
Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie
Nadere informatieEigenwaarden en eigenvectoren in R n
Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Als Ax λx voor zekere x in R n met x 0, dan is λ een eigenwaarde van A en x een eigenvector van A behorende bij λ. Een eigenvector is op een multiplicatieve constante
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk
Nadere informatie1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT (2DM20) op vrijdag 12 juni 2009, 9.00 Dit tentamen bestaat uit 5 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen.
Nadere informatieExamenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode
Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode 2008-2009 Door rotatie van de rechte r die bepaald wordt door de punten P(3, 1, 2) en Q(1, 1, 2) omheen de rechte s die gaat door het punt
Nadere informatieEerste deeltentamen Lineaire Algebra A
Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 8 november 2011, 13u30-16u30 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider (Victor Blasjo, Esther
Nadere informatieVierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1
Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar
Nadere informatieAntwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie
Nadere informatieMeetkunde en lineaire algebra
Meetkunde en lineaire algebra Daan Pape Universiteit Gent 7 juni 2012 1 1 Möbius transformaties De mobiustransformatie wordt gegeven door: z az + b cz + d (1) Als we weten dat het drietal (x 1, x 2, x
Nadere informatieWiskundigen. Tentamen Lineaire Algebra 1. Donderdag 18 december 2008, a ( )
Wiskundigen Tentamen Lineaire Algebra Donderdag 8 december 8,.-3. Naam: () Bepaal voor alle reële waarden van a de rang van de matrix a C a = a. 4a () Zij n een geheel getal en laat P n de vectorruimte
Nadere informatieTentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( )
Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, (9.00-12.00) Zoals beschreven in de studiehandleiding 2DE04 bestaat dit tentamen uit drie
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatiewordt de stelling van Pythagoras toegepast, in dit geval twee keer: eerst in de x y-vlakte en vervolgens in de vlakte loodrecht op de vector y.
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 2 Les 5 Inproduct Als we het in de meetkunde (of elders) over afstanden en hoeken hebben, dan hebben we daar intuïtief wel een idee van. Maar wat is eigenlijk de
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op maandag juni Dit tentamen bestaat uit 6 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen. De
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van
Nadere informatieLineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
Nadere informatieStelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
Nadere informatieVectorruimten met inproduct
Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij
Nadere informatieBasiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Nadere informatieUnitaire en Hermitese transformaties
Hoofdstuk 11 Unitaire en Hermitese transformaties We beschouwen vervolgens lineaire transformaties van reële en complexe inproductruimten die aan extra eigenschappen voldoen die betrekking hebben op het
Nadere informatieVragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA
Vragen, samenvattingen en uitwerkingen 2013 - Lineaire algebra 1 - UvA Rocco van Vreumingen 28 juli 2016 1 Inhoudsopgave 1 Samenvattingen 3 1.1 Samenvatting stof college 1................... 3 1.2 Samenvatting
Nadere informatieCTB1002-D2 Lineaire Algebra 2
CTB00-D Lineaire Algebra Juli 03 Augustus 03 Juli 0 Augustus 0 Juli 0 Augustus 0 Juli 00 Augustus 00 Tentamenbundel Civiele Techniek Het Gezelschap "Practische Studie" Technische Universiteit Delft Faculteit
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.
Nadere informatiex cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α
Lineaire afbeeldingen Rotatie in dimensie 2 Beschouw het platte vlak dat we identificeren met R 2 Kies een punt P in dit vlak met coördinaten (, y) Stel dat we het vlak roteren met de oorsprong (0, 0)
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =
Nadere informatieCoördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V :
Coördinatiseringen Het rekenen met vectoren in R n gaat erg gemakkelijk De coördinaten bieden de mogelijkheid om handig te rekenen (vegen Het is nu ook mogelijk om coördinaten in te voeren voor vectoren
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 93 email: JCMKeijsper@tuenl studiewijzer: http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 JKeijsper (TUE) Lineaire
Nadere informatieDefinities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2
Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Nadere informatieComplexe eigenwaarden
Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.
Nadere informatieExamenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode
Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode 2008-2009 Een rechte conoïde met als richtrechte de X-as, en als richtoppervlak de sfeer met middelpunt in (0, 16, 0) en straal 9. (1) Stel
Nadere informatieLineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte
Nadere informatieUitwerking opgaven 17 december. Spoilers!!
Uitwerking opgaven 7 december Spoilers!! (duh... 8 januari 206 Inhoudsopgave Complex diagonaliseren matrix 2. Opgave................................................ 2.2 Oplossing...............................................
Nadere informatieEindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)
Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale
Nadere informatie3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Nadere informatie(2) Stel een parametervoorstelling op van de doorsnijdingskromme van sfeer en cilinder in de voorkeurpositie.
Vraag op 5 punten de sfeer met middelpunt in,, 4 en straal 6; de omwentelingscilinder met straal 6 en als as de rechte door,, met richtingsvector,, Bepaal een affiene transformatie of een coördinatentransformatie,
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op dinsdag 9 april 8, 9.. uur. Dit tentamen bestaat uit 6 open vragen, en 4 kort-antwoord
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (2DM20) op vrijdag 11 mei 2007, 9:00 12:00 uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op vrijdag mei 7, 9: : uur. U mag bij het tentamen geen computer (notebook, laptop), boeken
Nadere informatie6. Lineaire operatoren
6. Lineaire operatoren Dit hoofdstukje is een generalisatie van hoofdstuk 2. De meeste dingen die we in hoofdstuk 2 met de R n deden, gaan we nu uitbreiden tot andere lineaire ruimten Definitie. Een lineaire
Nadere informatieHoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen
Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatieJordan normaalvorm. Hoofdstuk 7
Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er
Nadere informatieLineaire Algebra 2. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven
Lineaire Algebra 2 Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven 2012-2013 ii Syllabus in wording bij Lineaire Algebra 2 (2WF30 Inhoudsopgave 1 Lineaire afbeeldingen 1 11 Lineaire
Nadere informatieInwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T
Nadere informatieLineaire algebra en kegelsneden. Cursus voor de vrije ruimte
Lineaire algebra en kegelsneden Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk Reële vectorruimten. De reële vectorruimte van de reële n-tallen Definitie Een reëel
Nadere informatieAnton-Rorres Anton-Rorres
Anton-Rorres 8.4. In[]:= A, 3,,, 0,, 6,, 4; a. Dit is makkelijk: de coordinaten van T(v) ten opzichte van B staan in de eerste kolom van A, dus het antwoord de kolomvector [,,6]^T. (^T staat voor getransponeerd.)
Nadere informatieWeek 22: De macht van het spoor en het spoor van de macht
Week 22: De macht van het spoor en het spoor van de macht Een belangrijke invariant van een lineaire afbeelding is het spoor. Als we een basis kiezen dan is het spoor simpelweg de som van de elementen
Nadere informatieStelsels differentiaalvergelijkingen
Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels homogene differentiaalvergelijkingen We bekijken in deze paragraaf stelsels homogene differentiaalvergelijkingen: x (t x (t x (t x (t x n(t A Voorbeeld x +
Nadere informatieExamen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)
Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,
Nadere informatieExamenvragen eerste zittijd academiejaar Vraag 1 (op 6 punten) Gegeven:
Examenvragen eerste zittijd academiejaar 2010-2011 Vraag 1 (op 6 punten) de vectorruimte V = {A R 3 3 tr(a) = 0 en a 12 = a 21, a 13 = a 32, a 23 = a 31 }; de afbeelding T : V V, A A T A. (1) Toon aan
Nadere informatieTentamen lineaire algebra 2 17 januari 2014, 10:00 13:00 zalen 174, 312, 412, 401, 402
Tentamen lineaire algebra 2 17 januari 214, 1: 13: zalen 174, 312, 412, 41, 42 Dit zijn geen complete uitwerkingen. Er is dus geen garantie dat het overschrijven met andere getallen voldoende is voor huiswerk
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 15 januari, 2016 Opgave 2 (10 punten (a Het karakteristiek polynoom van A is det(ti A = (t 1 5, dus er is maar één eigenwaarde, namelijk λ = 1 Er geldt (A I 2 =
Nadere informatieLineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012
Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn
Nadere informatieInwendig product, lengte en orthogonaliteit
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig
Nadere informatieVectorruimten en deelruimten
Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie
Nadere informatie11.0 Voorkennis V
11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix
Nadere informatieKwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.
Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 2
Lineaire algebra (NP010B) januari 013 Tentamen Lineaire Algebra Vermeld op ieder blad je naam en studentnummer. Lees eerst de opgaven voordat je aan de slag gaat. Schrijf leesbaar en geef uitleg over je
Nadere informatie