Praktische Numerieke Wiskunde

Transcriptie

1 Wiskunde, Utrecht Praktische Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Paul Zegeling Department of Mathematics

2 Gerard Sleijpen Kamer 504, WG Tel: >Lectures>Numerieke Wiskunde Voor cursusmateriaal (matlab code), achtergrondmateriaal, presentielijst

3 Programma Waarom Numerieke Wiskunde? Waarom praktisch? Studio Course Regelingen Differentiaalvergelijkingen

5 Pijlers (exacte) wetenschap Theorie Experimenten Computer simulaties Simulaties om te testen te ontwerpen beleid te ondersteunen theorie te ontwikkelen

6 Pijlers (exacte) wetenschap Theorie Experimenten Computer simulaties Simulaties om te testen te ontwerpen beleid te ondersteunen theorie te ontwikkelen Lab. experiment Lokaal inzicht Theorie beschrijft lokale samenhang Wiskunde & Simulatie Globale inzichten (voorheen: Wiskunde & exp. met schaalmodellen)

7 Zeker aspect van de werkelijkheid Oceanografie Wiskundig model (PDE) Discretizeer Gediscretizeerd model Computer model Computer Science Simulatie

8 Simulaties Simulaties in geval experimenten te duur zijn ongewenst zijn onmogelijk zijn Simulaties worden aantrekkelijker door snellere computers computers met veel geheugenruimte goedkopere comuters snellere, betrouwbaardere en robustere algorithmes

9 Globale oceaan circulatie Oceanografie, Mathematische Analyse fv = g h x ru + A 2 u + F 1 (NS)... u x + y v = 0 Eindige differences eindige elementen eindige volumes, u(x+ x) u(x x) 2 x +... Numerieke Wiskunde Ax = b Linearizeer Numerieke Lineaire Algebra Computer Science Simulatie

10 Waarom numeriek? Numerieke oplossing gewenst voor testen, ontwerp, beleid, onderzoek,...

11 Waarom numeriek? Numerieke oplossing gewenst voor testen, ontwerp, beleid, onderzoek,... Problemen met analytische oplossing: oplossing is onoverzichtelijk is moeilijk te verkrijgen alleen voor model situaties vereenvoudigt niet noodzakelijk het rekenwerk

12 Waarom numeriek? Numerieke oplossing gewenst voor testen, ontwerp, beleid, onderzoek,... Problemen met analytische oplossing: oplossing is onoverzichtelijk is moeilijk te verkrijgen alleen voor model situaties vereenvoudigt niet noodzakelijk het rekenwerk Meeste problemen zijn niet analytisch oplosbaar vb. t e s2 ds

13 Waarom analyse? Theorie levert globale uitspraken: Existentie oplossing (correctheid model)

14 Waarom analyse? Theorie levert globale uitspraken: Existentie oplossing (correctheid model) Aantal oplossingen

15 Waarom analyse? Theorie levert globale uitspraken: Existentie oplossing (correctheid model) Aantal oplossingen Structuur oplossingsruimte

16 Waarom analyse? Theorie levert globale uitspraken: Existentie oplossing (correctheid model) Aantal oplossingen Structuur oplossingsruimte Structuur oplossing

17 Waarom analyse? Theorie levert globale uitspraken: Existentie oplossing (correctheid model) Aantal oplossingen Structuur oplossingsruimte Structuur oplossing Stabiliteit oplossing

18 Wat is numerieke wiskunde? Ontwerpen en analyseren van efficiënte betrouwbare robuste rekenschema s voor wiskundige vergelijkingen

19 Wat is numerieke wiskunde? Ontwerpen en analyseren van efficiënte betrouwbare robuste rekenschema s voor wiskundige vergelijkingen Voorbeeld. Bereken f (x). f (x) f(x + h) f(x) h

20 Wat is numerieke wiskunde? Ontwerpen en analyseren van efficiënte betrouwbare robuste rekenschema s voor wiskundige vergelijkingen Vergelijkingen modelleren problemen uit natuurkunde, scheikunde,..., wiskunde, informatica, techniek, medische wetenschap, financiële wiskunde, sociale wetenschappen,...

21 Wat is numerieke wiskunde? Ontwerpen en analyseren van efficiënte betrouwbare robuste rekenschema s voor wiskundige vergelijkingen Vergelijkingen modelleren problemen uit natuurkunde, scheikunde,..., wiskunde, informatica, techniek, medische wetenschap, financiële wiskunde, sociale wetenschappen,... Rekenschema s zijn vaak grootschalig (groot aantal vergelijkingen, groot aantal onbekenden)

22 Numerieke analyse Convergentie Convergentiesnelheid Fouten foutenbronnen benaderingsfouten (hebben een structuur) afrondfouten doorwerking fouten Fouten beïnvloeden convergentie nauwkeurigheid

23 Veel software is beschikbaar. Kan ik niet altijd een standaard routine gebruiken? Voor ieder wiskundig probleem zijn er diverse algorithmes. Er is geen best algorithme. Wat het beste is hangt af van de aard van het wiskundig probleem parameters in het probleem de gewenste nauwkeurigheid beschikbare computers Op welke zaken je moet letten? Moderne beroepspraktijk voor een wiskundige is teamwerk.

25 Waarom praktisch? Schattingen bevatten onberekenbare grootheden

26 Waarom praktisch? Schattingen bevatten onberekenbare grootheden Stellingen gaan uit van modelvoorwaarden

27 Waarom praktisch? Schattingen bevatten onberekenbare grootheden Stellingen gaan uit van modelvoorwaarden Theorie is vaak (nog) niet voorhanden

28 Waarom praktisch? Schattingen bevatten onberekenbare grootheden Stellingen gaan uit van modelvoorwaarden Theorie is vaak (nog) niet voorhanden Theorie gebaseerd op n aspect dat dominant verondersteld wordt

29 Waarom praktisch? Schattingen bevatten onberekenbare grootheden Stellingen gaan uit van modelvoorwaarden Theorie is vaak (nog) niet voorhanden Theorie gebaseerd op n aspect dat dominant verondersteld wordt Experimenten leiden tot nieuw theoretisch inzicht

30 Waarom praktisch? Schattingen bevatten onberekenbare grootheden Stellingen gaan uit van modelvoorwaarden Theorie is vaak (nog) niet voorhanden Theorie gebaseerd op n aspect dat dominant verondersteld wordt Experimenten leiden tot nieuw theoretisch inzicht Experimentele inzichten staan grote stappen in de ontwikkelingen toe

31 Waarom praktisch? Schattingen bevatten onberekenbare grootheden Stellingen gaan uit van modelvoorwaarden Theorie is vaak (nog) niet voorhanden Theorie gebaseerd op n aspect dat dominant verondersteld wordt Experimenten leiden tot nieuw theoretisch inzicht Experimentele inzichten staan grote stappen in de ontwikkelingen toe Heuristiek speelt vaak een grote rol Heuristiek is gebaseerd op theoretisch inzicht gesteund door experimentele resultaten

33 Studio Course Computer experimenten staan centraal Cursus speelt zich in feite af achter de computer.

34 Studio Course Computer experimenten staan centraal Cursus speelt zich in feite af achter de computer. Werkwijze Experimenten Vragen Theorie Experimenten

35 Studio Course Computer experimenten staan centraal Cursus speelt zich in feite af achter de computer. Werkwijze Experimenten Vragen Theorie Experimenten Inzicht staat centraal. Formaliseren inzicht gebeurt thuis en op het werkcollege

36 Studio Course Computer experimenten staan centraal Cursus speelt zich in feite af achter de computer. Werkwijze Experimenten Vragen Theorie Experimenten Inzicht staat centraal. Formaliseren inzicht gebeurt thuis en op het werkcollege Sjabloon Vraag Experiment Verklaring Opgave Computer practicum Thuis, werkcollege

37 Studio Course Computer experimenten staan centraal Cursus speelt zich in feite af achter de computer. Werkwijze Experimenten Vragen Theorie Experimenten Inzicht staat centraal. Formaliseren inzicht gebeurt thuis en op het werkcollege Sjabloon Vraag Experiment Verklaring Opgave Computer practicum Thuis, werkcollege Opdracht

38 Waarom als Studio Course? Kennismaking practische kant numerieke wiskunde.

39 Waarom als Studio Course? Kennismaking practische kant numerieke wiskunde. Didactisch Zelf ervaren Zelf ontdekken

40 Waarom als Studio Course? Kennismaking practische kant numerieke wiskunde. Didactisch Zelf ervaren Zelf ontdekken Persoonlijk Vollop ruimte voor discussie Werken in eigen tempo

41 Waarom als Studio Course? Kennismaking practische kant numerieke wiskunde. Didactisch Zelf ervaren Zelf ontdekken Persoonlijk Vollop ruimte voor discussie Werken in eigen tempo Leuk

42 Onderwerpen Gewone differentiaalvergelijkingen (GDVen), beginwaardenproblemen Nulpunten van functies

43 Onderwerpen Gewone differentiaalvergelijkingen (GDVen), beginwaardenproblemen Nulpunten van functies Waarom deze onderwerpen?

44 Onderwerpen Gewone differentiaalvergelijkingen (GDVen), beginwaardenproblemen Nulpunten van functies Waarom deze onderwerpen? Doel cursus Aanleren basistechnieken genoemde onderwerpen Inzicht in begrippen die ook van belang zijn in andere context (fout, gestructureerde fout, foutvoortplanting, stabiliteit, convergentie, efficiëntie, betrouwbaarheid Omgaan met standaardpaketten, ervaren van mogelijkheden, beperkingen

45 Voorkennis Elementaire calculus cursus (Infi)

46 Voorkennis Elementaire calculus cursus (Infi) Relevant: Numerieke Wiskunde: Deel 1 theoretische numerieke wiskunde Gewone differentiaalvergelijkingen MATLAB

47 Voorkennis Elementaire calculus cursus (Infi) Relevant: Numerieke Wiskunde: Deel 1 theoretische numerieke wiskunde Gewone differentiaalvergelijkingen MATLAB Over MATLAB

49 Regelingen Samenwerken: toegestaan (zelfs aanbevolen)

50 Regelingen Samenwerken: toegestaan (zelfs aanbevolen) Voltijdse aanwezigheid computerpracticum: verplicht tenzij je voor een mondeling tentamen kiest

51 Regelingen Samenwerken: toegestaan (zelfs aanbevolen) Voltijdse aanwezigheid computerpracticum: verplicht Aanwezigheid werkcollege: zeer sterk aanbevolen

52 Regelingen Samenwerken: toegestaan (zelfs aanbevolen) Voltijdse aanwezigheid computerpracticum: verplicht Aanwezigheid werkcollege: zeer sterk aanbevolen Verslag schrijven: mag door max. twee personen,echter iedereen is persoonlijk verantwoordelijk voor het hele werkstuk. Individueel punt wordt vastgesteld na een kort gesprek met docent.

53 Doen

54 Practicum voorbereiden Doen

55 Doen Practicum voorbereiden Aantekeningen bijhouden van je experimenteel werk later nodig, discussie materiaal

56 Doen Practicum voorbereiden Aantekeningen bijhouden van je experimenteel werk later nodig, discussie materiaal Wekelijks theoretische opgaven uitwerken en inleveren minimaal 1 uur voor het werkcollege Bedoeling: laten zien dat je actief meedoet tenzij... hoeft niet netjes uitgewerkt te zijn

57 Doen Practicum voorbereiden Aantekeningen bijhouden van je experimenteel werk later nodig, discussie materiaal Wekelijks theoretische opgaven uitwerken en inleveren minimaal 1 uur voor het werkcollege Bedoeling: laten zien dat je actief meedoet tenzij... hoeft niet netjes uitgewerkt te zijn je te laat inlevert, dan moet alles foutloos en volledig uitgewerkt

58 Doen Practicum voorbereiden Aantekeningen bijhouden van je experimenteel werk later nodig, discussie materiaal Wekelijks theoretische opgaven uitwerken en inleveren minimaal 1 uur voor het werkcollege 4-de, 8-ste week (eind hoofdstuk) opdrachten maken en verslag schrijven (inleveren: over 1, eind jaar; over 2, eind januari) portfolio

59 Voorbereiding Schrijf je in voor deze cursus via OSIRIS! Check in welke groep je ingedeeld bent. Instituut: koop een handleiding/diktaat. Thuis: lees/bestudeer het relevant deel van het diktaat. Practicum: haal de software op van de internet pagina en plaats die in een folder waarin je voor deze cursus wilt werken (installatie instructies worden tijdens het practicum uitgedeeld)

61 Differentiaalvergelijkingen { u (t) = f(t, u(t)) t [t 0, t 0 + T ] GDV u(t 0 ) = u 0 Gegeven: f, u 0 beginwaarde op. beginwaarde Op te lossen: u op het tijdsinterval [t 0, t 0 + T ].

62 Differentiaalvergelijkingen { u (t) = f(t, u(t)) t [t 0, t 0 + T ] GDV u(t 0 ) = u 0 Gegeven: f, u 0 beginwaarde op. beginwaarde Op te lossen: u op het tijdsinterval [t 0, t 0 + T ]. Voorbeeld. Lineaire GDV u (t) = λu(t) + g(t)

63 Differentiaalvergelijkingen { u (t) = f(t, u(t)) t [t 0, t 0 + T ] GDV u(t 0 ) = u 0 Gegeven: f, u 0 beginwaarde op. beginwaarde Op te lossen: u op het tijdsinterval [t 0, t 0 + T ]. Voorbeeld. Lineaire GDV u (t) = λu(t) + g(t) Exacte oplossing is bekend. Waarom voor de numerieke wiskunde interessant? Om inzichten te testen Theorie betreffende fouten te testen Fout voortplanting begrijpen

64 Voorbeeld. Lineaire GDV u = λu + g Voorbeeld. Meer dimensionaal { u (t) = f(t, u(t), v(t)) v (t) = g(t, u(t), v(t)) Voorbeeld. Tweede orde GDV u = αu + βu + f

65 Vragen

66 Vragen Is het numeriek resultaat betrouwbaar?

67 Vragen Is het numeriek resultaat betrouwbaar? Hoe kan je achterhalen of het numerieke resultaat betrouwbaar is?

68 Vragen Is het numeriek resultaat betrouwbaar? Hoe kan je achterhalen of het numerieke resultaat betrouwbaar is? Is er een methode die voor alle GDV s werkt? Als dat niet zo is, waar hangt het van af of een methode geschikt is?

69 Vragen Is het numeriek resultaat betrouwbaar? Hoe kan je achterhalen of het numerieke resultaat betrouwbaar is? Is er een methode die voor alle GDV s werkt? Als dat niet zo is, waar hangt het van af of een methode geschikt is? Zijn er standaard paketten? Zorgen die voor een betrouwbare oplossing? Moeten er parameters gekozen worden? Waar hangen die parameters van af?