Rekenvaardigheden voor het vak natuurkunde

Transcriptie

1 Inhoud Formules uitrekenen... Balansmethode... Categorie eenvoudig... 3 Categorie moeilijker... 4 Categorie moeilijkst... 5 Uitgebreidere formules... 8 Balansmethode en abc-formule... 8 Stelsels van vergelijkingen /13

2 Formules uitrekenen Bij veel opgaven zul je formules moeten uitrekenen. Veel formules bij het vak natuurkunde zijn van de vorm y = a x. De aangewezen methode voor het oplossen van dit soort formules is de balansmethode. Balansmethode De balansmethode, zoals je die bij wiskunde hebt geleerd, zul je bij opgaven voor het vak natuurkunde veelvuldig moeten toepassen. Het grote verschil ten opzichte van de opgaven bij het vak wiskunde zal zijn dat de getallen bij natuurkunde meestal geen mooie gehele getallen zijn. In onderstaande tabel staat een overzicht van vrijwel alle formules die je in de bovenbouw zult tegenkomen. Afgezien van de betekenis van de letters zijn er drie categorieën te onderscheiden. eenvoudig moeilijker moeilijkst m = ρ V s = 1 a t R = ρ l A s = v t E = 1 m v 1 = R v R 1 R v = a t E = 1 C u T = π l g F = m a P = I R T = π m C P = U I P = U N = N R o 1 t t½ E = P t A = 1 π 4 d A = A o 1 t t½ U = I R V = 1 π 4 d l I = I o 1 d d½ F = C u F w = ½ c ρ A v I = I 0 e t R C E = h f F = m v r λ = v T F = G m 1 m r V = l b h F = f q 1 q r E = m g h p V = n R T /13

3 Als je eerst nog eens wilt kijken hoe dat ook al weer bij wiskunde is behandeld kijk dan eens bij een van nevenstaande link: Link naar site 1). Een serie sommetjes (+antwoorden) op de wiskundemanier: Link naar site ) en link naar bestand 3). Categorie eenvoudig In deze categorie van formules zijn vrijwel alle formules van het type y = a x. Er zijn dan drie soorten van rekenvragen mogelijk namelijk: gegeven a en x, gevraagd y gegeven x en y, gevraag a gegeven y en a, gevraag x VWO Voorbeeld 1a m = ρ V ρ =,1 g/cm 3 V = 7, cm 3 Bereken m. m =,1 7, m = 15 g Voorbeeld 1b m = ρ V V = 1,3 cm 3 m = 54,9 g Bereken ρ. 54,9 = ρ 1,3 54,9 1,3 = ρ ρ =,58 g/cm 3 Voorbeeld 1c m = ρ V m = 45,6 g ρ =,66 g/cm 3 Bereken V. 45,6 =,66 V 45,6,66 = V V = 17,1 cm 3 Voorbeeld met meer dan drie grootheden p V = n R T p = 1, N/m V =,94 m 3 R = 8,31 J/mol K T = 350 K Bereken n. Methode 1 1, ,94 = n 8,31 350, = n, , , = n n = 10 mol Bereken n. Methode 1, ,94 = n (8,31 350) 1,01 105,94 = n (8,31 350) n = 10 mol 1) ) 3) 3/13

4 Categorie moeilijker In deze categorie van formules hebben alle formules één grootheid in het kwadraat. Naast het rekenprobleem zoals je dat bij de vorige categorie hebt gezien moet dus nu ook rekening worden gehouden met het kwadraat. Voorbeeld a s = 1 a t a = 6,5 m/s t = 5,3 s Bereken s. s = 1 6,5 5,3 s = 85,5 m Voorbeeld b s = 1 a t s = 6,43 m t =,15 s Bereken a. 6,43 = 1 a,15 6,43 = 1,15 a 6,43 1,15 = a a =,78 m/s Voorbeeld c s = 1 a t s = 5,87 m a =,11 m/s Bereken t. 5,87 = 1,11 t 5,87 1 = t,11 5,56398 = t 5,56398 = t t =,36 s 4/13

5 Categorie moeilijkst Deze categorie van formules bevat alle formules die niet tot de voorgaande twee behoren. De oplosmethode is vaak een combinatie van de methoden uit voorgaande twee categorieën. Voorbeeld 3a Voorbeeld 3b Voorbeeld 3c R = ρ l A R = 4,40 Ω A = 8, m l = 1,45 m Bereken ρ. 1,45 4,40 = ρ 8, ,40 = ρ 1,45 8, ,40 = ρ 1,45 8, ρ =, Ωm R = ρ l A R = 5,67 Ω ρ = 1, Ωm A = 4, m Bereken l. 5,67 = 1, l 4, ,67 1, = l 4, , l = 4, , , = l l = 1, m R = ρ l A R =, Ω ρ = 1, 10 8 Ωm l =,57 m Bereken A., = 1, 10 8,57 A,,57 = 1, 10 8 A 1, =,57 A 1, A =,57,57 A = 1, A = 1, m Voorbeeld 4a 1 = R v R 1 R R 1 = 4,3 Ω R =,65 Ω Bereken Rv. 1 R v = 1 4,3 + 1,65 1 R v = 0, = 0,6138 R v R v = 1 0,6138 R v = 1,63 Ω Voorbeeld 4b 1 = R v R 1 R R v = 3,89 Ω R = 8,86 Ω Bereken R1. 1 3,89 = R 1 8,86 1 3,89 1 8,86 = 1 R 1 0,144 = 1 R 1 0,144 R 1 = 1 R 1 = 1 0,144 R 1 = 6,93 Ω 5/13

6 Voorbeeld 5a Voorbeeld 5b T = π l g l =,66 m g = 9,81 m/ss Bereken T. T = π,66 9,81 T = 3,7 s T = π l g T = 0,555 s g = 9,81 m/ss Bereken l. 0,555 = π l 9,81 0,555 π = l 9,81 0,08833 = l 9,81 0,08833 = l 9,81 l = 0, ,81 l = 0,0765 m Voorbeeld 6a A = A o 1 t t½ A o = 150 Bq t = 160 uur t ½ = 40,0 uur Bereken A. A = A = A = A = 9,38 Bq Voorbeeld 6b A = A o 1 t t½ A = 770 Bq t = 90 uur t ½ = 30 uur Bereken Ao. 770 = A o = A o = A o = A o A o = 6, 10 3 Bq Voorbeeld 6c A = A o 1 t t½ A = 300 Bq A o = 100 Bq t ½ = 4,50 uur Bereken t. 300 = t 4, t 4, = 1 1 t 4,50 4 = 1 1 = 1 t 4,50 = t 4,50 t = 4,50 = 9,00 uur 6/13

7 Bij voorbeeld 6c zijn de getallen zodanig dat de linkerkant van de vergelijking is schrijven is als een gehele macht van ½ (in dit geval (½) ). Als dit niet mogelijk is wordt het iets moeilijker. De laatste vier formules in de catergorie moeilijkst zijn de enige formules die je bij natuurkunde in de bovenbouw tegenkomt waarbij wiskunde B vereist is. VWO Voorbeeld 6d A = A o 1 t t½ A = 75,3 Bq A o = 5 Bq t ½ = 40,0 uur Bereken t. 75,3 = 5 1 t 40,0 75,3 t 40 5 = 1 ln 75,3 5 = ln 1 t 40,0 links en recht van "=" ln nemen 1,0946 = t 40,0 ln 1 met ln ab = b ln (a) 1,0946 ln 1 = t 40,0 1,579 = t 40,0 1, = t t = 63, uur In het algemeen geldt: t ln N N = 0 t ½ ln 1 of t ln A A = 0 t ½ ln 1 of d ln I I = 0 d ½ ln 1 of t I ln R C = I 0 ln(e) = ln I I 0 Zoals je weet hoef je bij natuurkunde alleen de formule in letters te noteren, de getallen die je in deze formule invult in de juiste eenheid en de uitkomst. De gehele berekening met alle wiskundige tussenstappen hoef je niet te noteren. Degene zonder wiskunde B kunnen bovenstaande berekening dus gewoon uit hun hoofd leren als trucje. Overigens worden dit soort berekeningen zeer zelden gevraagd. 7/13

8 Uitgebreidere formules Je zult zien dat bij de onderwerpen die in de vierde en vijfde klas aan de orde komen bepaalde gestructureerde manieren van werken leiden tot het opstellen van wiskundige vergelijkingen. Deze vergelijkingen bestaan dan uit formules zoals je die in het overzicht op bladzijde hebt gezien. Om de vergelijkingen te kunnen oplossen heb je niets anders nodig dan de balansmethode en de abc-formule voor kwadratische vergelijkingen. De abc-formule komt echter lang niet zo vaak voor als de balansmethode. Balansmethode en abc-formule Voorbeeld 7 Stel je hebt onderstaande vergelijking opgesteld: m g h + E = F s m =,34 kg g = 9,81 m/s E = 934 J F = 67 N s = 34,1 m Bereken h.,34 9,81 h = 67 34,1 (,34 9,81) h = 67 34, ,1 934 h = (,34 9,81) h = 356 m 8/13

9 Voorbeeld 8 Stel je hebt onderstaande vergelijking opgesteld: m g h + ½ m v 1 = ½ m v + F ( h 30) m =,44 kg g = 9,81 m/s v 1 = 0 m/s v = 5 m/s F = 0,055 N Bereken h.,44 9,81 h + ½,44 0 = ½, ,055 ( h 30) 3,936 h + 488,0 = 76,5 + 0,110 h 1,65 3,936 h 0,110 h + 488,0 = 76,5 1,65 3,936 h 0,110 h = 76,5 1,65 488,0 3,86 h = 7,85 h = 7,85 3,86 h = 11 m 9/13

10 Voorbeeld 9 Stel je hebt onderstaande vergelijking opgesteld: m g h = ½ m v + F s m = 5,45 kg g = 9,81 m/s h = 00 m F = 89 N s = 4,7 m Bereken v. 5,45 9,81 00 = ½ 5,45 v ,7 1069,9 =,75 v ,3 1069,9 7138,3 =,75 v 3554,6 =,75 v 3554,6,75 = v 3554,6,75 = v v = 36,1 m/s 10/13

11 Voorbeeld 10 Stel je hebt onderstaande vergelijking opgesteld: m a = ½ c ρ A v + k v m = 5,45 kg a = 0,56 m/s c =,00 ρ = 1, kg/m 3 A = 4,47 m k = 1,5 kg/s Bereken v. 5,45 0,56 = ½,00 1, 4,47 v + 1,5 v 3,05 = 5,364 v + 1,5 v 5,364 v + 1,5 v 3,05 = 0 Deze vergelijking is van de vorm ax + bx + c = 0 en dus kun je de abc formule toepassen. v = b ± b 4 a c a v = 1,5 ± 1,5 4 5,364 ( 3,05) 5,364 1,5 ±,5 + 65,4837 v = 10,78 1,5 ± 8,3 v = 10,78 v = 0,91 m/s v = 0,63 m/s 11/13

12 Stelsels van vergelijkingen In de vierde en vijfde klas krijg je bij de onderwerpen krachten, energie, impulsbehoud en elektriciteit te maken met stelsels van twee vergelijkingen. In het algemeen geldt dat je per onbekende grootheid die je wilt uitrekenen een vergelijkingen nodig hebt. Dus als je twee onbekende snelheden hebt, heb je twee onafhankelijke vergelijkingen nodig waar die snelheden in voorkomen. Voorbeeld 11 Stel je hebt onderstaande twee vergelijkingen opgesteld: 1) 5 F F = 5 ) 4 F F = 14 Bereken F1 en F. Een dergelijk probleem kun je oplossen door middel van substitutie. 1) 5 F F = 5 F 1 = 5 15 F = 5 3 F 5 ) 4 F F = 14 Substitueer vergelijking 1 in vergelijking. 4 (5 3 F ) + 3 F = F + 3 F = 14 9 F = 6 F = 0,67 N Invullen in vergelijking 1 geeft dan: F = 0,67 N en F 1 = 3,0 N 1/13

13 Voorbeeld 1 Een stapje lastiger. Stel je hebt een lineaire en een kwadratische vergelijking. Stel je hebt onderstaande twee vergelijkingen opgesteld: 1) v v = 10 ) 4 v v = 16 Bereken v1 en v. Een dergelijk probleem kun je eveneens oplossen door middel van substitutie. 1) v v = 10 v 1 = 10 6 v = 5 3 v ) 4 v v = 16 Substitueer vergelijking 1 in vergelijking. 4 (5 3 v ) + 6 v = 16 4 (5 30 v + 9 v ) + 6 v = v + 36 v + 6 v = 16 4 v 10 v + 84 = 0 v = 10 ± ± 88 v = 84 v = 1, m/s v = 1,63 m/s Invullen in vergelijking 1 geeft dan: v = 1,3 m/s en v 1 = 1,3 m/s of v = 1,63 m/s en v 1 = 0,11 m/s 13/13