WISB134. Modellen & Simulatie. Lecture 0 - Introductie & Voorkennis

Transcriptie

1 WISB134 Modellen & Simulatie Lecture 0 - Introductie & Voorkennis

2 Praktijk Wiskundige Wat doet een wiskundige na de studie? Stellingen bewijzen? Boekhouden? Sudoku s oplossen?

3

4 U.S. Bureau of Labor Statistics: OCCUPATION OUTLOOK All occupations 11% Physicists & astronomers 10% Chemists & Materials Scientists 6% Computer programmers 8% Mathematicians 23% Mathematical scientists 26% Statisticians 27% Operations research analysts 27%

5

6 Program Organisatie Modelleren en Simuleren Wiskunde Voorkennis

7 Organisatie Jason Frank Korte CV: BSc., MSc. Lucht-en ruimtevaarttechniek, U. Kansas 1992, Ph.D. Toegepaste wiskunde, T.U. Delft, 2000 Onderzoeker aan het CWI, Amsterdam, Sinds 2013: hoogleraar Numerieke Wiskunde UU Onderzoek: numerieke methoden voor weer en klimaat. Kamer HFG 612 Nederlands

8 Organisatie Practicumleiders en assistenten: Groep 1 Begeleider: Boris Osorno Torres Assistent: Folkert Kuipers (@students.uu.nl) Groep 2 Begeleider: Roy Wang Assistent: Ilja Nelen (@students.uu.nl) Groep 3 Assistenten: Casper Putz, Henri van den Pol, Huibert het Lam (@students.uu.nl) Werkcollege locaties: Woensdag : BBL 112, 106, 007 Vrijdag : BBL 106, 175, TBA

9 Doelen Modellen en Simulatie heeft een aantal doelen: Eerste kennismaking met toepassingen en modellen Leren gebruiken van wiskundige software (Mathematica) Eenvoudig onderzoek doen Hoe pakken we het aan: Hoorcollege: wat basiskennis van modellen en hun analyse Werkcollege: spelen met modellen en Mathematica Toetsing (is lastig): - 3 onderzoeksverslagen (75%) - Tentamen (25%)

10 Resources Course website heeft cursusinformatie, referenties, opgaves, planning, enz: Book: Dynamical Systems with Applications using Mathematica, by Stephen Lynch, via SpringerLink

11 Format ECTS : 7.5 studiepunten Met een gemiddelde studiebelasting van 60 ECTS per jaar of 15 ECTS per periode, wordt verwacht dat je aan een vak van 7.5 ECTS dat in een periode gegeven wordt als Modellen en Simulatie gemiddeld zo'n 20 uur per week werkt (gedurende 9 weken). Verslagen Er dienen drie verslagen ingeleverd te worden. Instructies over het schrijven van een verslag en de wijze waarop een verslag beoordeeld wordt zijn te vinden op de website. Lees deze instructies zorgvuldig door. Verslag 1 gaat over een roofdier-prooidier model, om in te leveren aan het begin van werkcollege van 27 februari Tentamen vrijdag 17 April, , Educatorium Zaal Gamma Aan het eind van de cursus is een tentamen. Het eindcijfer E komt tot stand door een gewogen gemiddelde te nemen van de beoordelingen V1, V2, V3 voor de drie in te leveren verslagen en het cijfer T voor het tentamen mits voor het laatste minimaal een 5 behaald is: E = 0.15*V1 +0.3* V *V *T mits T 5. Het tentamen gaat over de inhoud van de hele cursus.

12 Program Organisatie Modelleren en Simuleren Wiskunde Voorkennis

13 Onderzoeksmethodiek Fysische werkelijkheid (zekere geïdealiseerd aspect) Modelleren fysica, wiskunde Wiskundig model (fysisch model) (differentie- of differentiaalvergelijking) wiskunde - analyse Computer model Voorspellingen Simuleren voorspellen, beleid Toepassing metingen, statistiek Fysische werkelijkheid (terugkoppeling)

14 Voorbeeld: bladluizen Stel, wij zijn ingehuurd door een rozenkweker omdat zij overlast heeft van bladluizen. Wij doen wat experimenten en komen erachter: - per dag sterft 10% van de bladluizenpopulatie - per dag krijgt ieder bladluis een babytje.

15 Voorbeeld: bladluizen Het Malthus model : Nn = het aantal bladluizen op dag n d = de percentage sterftes per dag b = de percentage geboortes per dag Nn+1 = N n + b Nn - d Nn Nn+1 = (1 + b - d) Nn = ann

16 Voorbeeld: bladluizen Het Malthus model : Nn = het aantal bladluizen op dag n d = de percentage sterftes per dag b = de percentage geboortes per dag Nn+1 = N n + b Nn - d Nn Nn+1 = (1 + b - d) Nn = ann

17 Voorbeeld: bladluizen Het Malthus model : Nn+1 = (1 + b - d) Nn = ann Nn+1 = ( ) Nn = 1.9 Nn Dag Nn x10 9

18 Voorbeeld: bladluizen Het Logistische model : Nn+1 = r Nn (1 - Nn/Nmax) Dag Nn Nn x

19 Voorbeeld: bladluizen De rozenkweker kiest voor een organisch aanpak van het probleem:?

20 Voorbeeld: bladluizen Nu moeten we zowel de bladluizen als lieveheersbeestjes bijhouden. Dit leidt tot roofdier-prooidier modellen zoals je in het eerste verslag gaat onderzoeken. Is het een goed idee om lieveheersbeesten in te zetten?

21 Modelleren Modelleren is soms meer kunst dan wetenschap: ervaring is belangrijk. Modelleren is meestal een iteratief proces: het model wordt getoetst met de werkelijkheid, en is nooit helemaal goed (want het blijft een model). Soms is het goed genoeg: All models are wrong, but some are useful! - G.E.P. Box. Anders proberen we te begrijpen waar het afwijkt en hier te verbeteren.

22 Dynamische systemen De Malthus en Verhulst modellen zijn voorbeelden van recursies, of geïtereerde afbeeldingen. X n+1 = g(x n ), n =0, 1, 2,... Maakt gebruik van een natuurlijke tijdschaal (1 dag voor de bladluizen). Soms is die er niet. Alternatief: differentiaalvergelijking. dx dt = f(x(t)), t 2 [0,T] De functie X(t) wordt impliciet gedefinieerd, en is vaak lastig om op te lossen. Hiervoor kunnen we numerieke methoden inzetten: X n+1 = X n + tf(x n ), n =0, 1, 2,...

23 Simulatie Waarom simulaties? - Zoals genoemd, is het soms de enige manier om de oplossingen te zien - Verschillende scenario s doorrekenen (wat gebeurt er als iets veranderd - klimaatscenario s) - Simulaties worden gebruikt voor: ontwerp (engineering), beleid (voorspelde effect van financieel beleid), inzicht (in de wetenschap) - Maar alleen simulaties levert geen eenduidig inzicht. Wiskundig analyse hoort erbij.

24 Program Organisatie Modelleren en Simuleren Wiskunde Voorkennis

25 Wiskunde In dit college zet je wiskunde in om zeer eenvoudige modellen te maken, te begrijpen, en te interpreteren. Het is wiskunde in context: toepassen van je bestaande kennis, nieuwe kennis over modellen ontwikkelen. Wiskunde speelt een rol bij het opstellen van het model, het numerieke oplosproces, en bij de analyse van de oplossingen. Wiskunde levert op: generale uitspraken, abstracte rekentechnieken, en numerieke rekentechnieken

26 Wiskunde levert... Voorbeeld. F (x) =ax 2 + bx+ c, met a, b, c gegeven reële getallen Wat te zeggen over λ waarvoor F (λ) =0?

27 Wiskunde levert... Voorbeeld. F (x) =ax 2 + bx+ c, met a, b, c gegeven reële getallen Wat te zeggen over λ waarvoor F (λ) =0? Globale uitspraken óf twee verschillende oplossingen λ 1, λ 2 in C, óf een oplossing λ & F (λ) =F (λ) = 0. oplossing(en) reëel als b 2 4ac 0. als λ 1 R dan λ 2 = λ 1. Abstracte rekent. q λ 1,2 = b ± b 2 4ac. 2a Numerieke rekent. x n+1 = x n F (x n) F dan x n λ (x n ) mits λ reëel en x 0 goed gekozen

28 Wiskundige analyse strategie eenvoudige voorbeelden goed begrijpen moeilijkere problemen reduceren tot de eenvoudigere niet-lineaire problemen benaderen door lineaire hoger dimensionale problemen benaderen door 1-dimensionale...

29 niet-lineaire problemen benaderen door lineaire Voorbeeld. Hoe α te berekenen? Stel f :[a, b] R is een gladde functie en f(α) =0 voor n α (a, b).

30 niet-lineaire problemen benaderen door lineaire Voorbeeld. Hoe α te berekenen? Stel f :[a, b] R is een gladde functie en f(α) =0 voor n α (a, b). Gok een waarde x 0. Schrijf α = x 0 + h. Hopelijk is h klein. 0=f(α) =f(x 0 + h) =f(x 0 )+hf (x 0 )+ 1 2 h2 f (x 0 )+... Benader met het lineaire deel : 0=f(x 0 )+h 0 f (x 0 ) Met h 0 = f(x 0) f (x 0 ) is hopelijk α = x 0 + h x 0 + h 0. Als met x 1 x 0 +h 0 geldt f(x 1 ) 0, herhaal de procedure.

31 Taylor reeks Als f k + 1 maal continue diæerentieerbaar is in de buurt van x 0, dan f(x 0 +h) =f(x 0 )+hf (x 0 )+ h2 2! f (x 0 )+...+ hk k! f (k) (x 0 )+R De restterm R voldoet aan R = hk+1 (k+1)! f (k+1) (ξ) voor zekere ξ tussen x 0 en x 0 + h. Newton x n+1 = x n f(x n) f (x n )

32 hoger dim. problemen benaderen door 1-dim. " a11 a 12 # " x1 # " # y1 y = Ax met A a 21 a 22, x x 2, y y 2

33 hoger dim. problemen benaderen door 1-dim. " a11 a 12 # " x1 # " y1 # y = Ax met A a 21 a 22, x x 2, y y 2 Bereken de eigenwaarden en bijbehorende eigenvectoren: Av 1 = λ 1 v 1 en Av 2 = λ 2 v 2

34 hoger dim. problemen benaderen door 1-dim. " a11 a 12 # " x1 # " y1 # y = Ax met A a 21 a 22, x x 2, y y 2 Bereken de eigenwaarden en bijbehorende eigenvectoren: Av 1 = λ 1 v 1 en Av 2 = λ 2 v 2 Als v 1 en v 2 lineair onafhankelijk zijn, dan x = α 1 v 1 + α 2 v 2 en y = β 1 v 1 + β 2 v 2, zekere scalairen α i en β i.

35 hoger dim. problemen benaderen door 1-dim. " a11 a 12 # " x1 # " y1 # y = Ax met A a 21 a 22, x x 2, y y 2 Bereken de eigenwaarden en bijbehorende eigenvectoren: Av 1 = λ 1 v 1 en Av 2 = λ 2 v 2 Als v 1 en v 2 lineair onafhankelijk zijn, dan x = α 1 v 1 + α 2 v 2 en y = β 1 v 1 + β 2 v 2, zekere scalairen α i en β i. Dus y = β 1 v 1 + β 2 v 2 = Ax = A(α 1 v 1 + α 2 v 2 ) = α 1 Av 1 + α 2 Av 2 = α 1 λ 1 v 1 + α 2 λ 2 v 2 en we zien dat β 1 = λ 1 α 1 en β 2 = λ 2 α 2.

36 hoger dim. problemen benaderen door 1-dim. " a11 a 12 # " x1 # " y1 # y = Ax met A a 21 a 22, x x 2, y y 2 Bereken de eigenwaarden en bijbehorende eigenvectoren: Av 1 = λ 1 v 1 en Av 2 = λ 2 v 2 Als v 1 en v 2 lineair onafhankelijk zijn, dan x = α 1 v 1 + α 2 v 2 en y = β 1 v 1 + β 2 v 2, zekere scalairen α i en β i : β 1 = λ 1 α 1, β 2 = λ 2 α 2. Toepassingen. x n+1 = Ax n met x n = α 1 (n)v 1 + α 2 (n)v 2 is α i (n) =λ n i α i(0) (i =1, 2) x (t) =Ax(t) met x(t) =α 1 (t)v 1 + α 2 (t)v 2 is α i (t) =λ iα i (t) (i =1, 2)

37 Program Organisatie Onderzoeksmethodiek Modelleren Simuleren Wiskunde Voorkennis

38 Voorkennis Infi DiÆerentiëren Integreren Taylorreeks Complexe getallen Lineaire Algebra Gauss eliminatie (vegen van kolommen) eigenwaarden en eigenvectoren Mathematica

39 Complexe getallen λ = a + ib C dan is a = Re(λ) en b =Im(λ). a + ib = re iφ, a = 1(λ + λ), b = 1 (λ λ) 2 2i q voor r = a 2 + b 2 = λ 0 en φ [0, 2π) zodat a = r cos(φ), b = r sin(φ) (tan(φ) = b a ) Voorbeeld. f(t) =e i ν t. Dan f (t) =i ν e i ν t = i ν f(t) Als g(t) = cos(ν t), dan g = Re(f) en g (t) = ν sin(ν t) = Re(f (t)) = Re(i ν e iν t ))

40 Complexe getallen λ = a + ib C dan is a = Re(λ) en b =Im(λ). a + ib = re iφ, a = 1(λ + λ), b = 1 (λ λ) 2 2i q voor r = a 2 + b 2 = λ 0 en φ [0, 2π) zodat a = r cos(φ), b = r sin(φ) (tan(φ) = b a ) λ, ζ C. Dan λζ = λ ζ, λ + ζ = λ + ζ a, b R, λ = re iφ C. Dan Re(λ(a + ib)) = r cos(φ) a r sin(φ) b. α, β,a,b R. Dan αa βb = Re(γz) voor γ α + iβ, z a + ib