Moleculaire Modellering & Wiskunde

Transcriptie

1 Paul Zegeling kamer 513, wiskundegebouw Introductiebijeenkomst

2 Overzicht van het wiskundegedeelte (1) hoorcollege/werkcollege: 12 sessies van 2 uur hoorcollege en 2 uur werkcollege Boek: Steiner, The Chemistry Maths Book, 2e editie Diktaat=handout (o.a. extra opgaven) werkcollege-assistenten: Philip Klop, Hasan Kurt en Stephan Bongers toetsing: 3x thuisopdracht (TH 1, TH 2, TH 3 ); max(th 1,2,3 )=3 tentamen (TT) eindcijfer wiskunde: E=(1+TH 1 +TH 2 +TH 3 )/6 + 5*TT/6

3 Overzicht van het wiskundegedeelte (2)

4 Overzicht van het wiskundegedeelte (3) Onderwerpen: partiele afgeleiden, kettingregel in meer variabelen grad:, div:, curl: Taylorontwikkeling Newton-Raphson/minimalisatie van energie gewone differentiaalvergelijkingen (ook numeriek) partiële differentiaalvergelijkingen (ook numeriek) meervoudige integralen (ook numeriek) Fourierreeksen en Fouriertransformatie

5

6

7

8

9 Toepassingsgebieden chemische reacties (reactie-diffusie) weersvoorspelling (meteorologie) stromingen in rivieren en de zee (waterloopkunde) moleculaire dynamica ontwerp vliegtuigen (hd) kernfusie (mhd, plasmafysica) zonnewind (mhd, astronomie) ETCETERA!!! VOORBEELDEN volgen

10 Weersvoorspelling: orkanen! (1)

11 Weersvoorspelling: orkanen! (2) T t + (ut ) x + (vt ) u x + v y = 0 y = 0 T t + [(u, v)t T ] = 0 (u, v) T = 0

12 Simulatie van een tsunami h t + u x [u(h h B)] + y [v(h h B)] = 0 t + u u x + v u h y fv = g x v t + u v x + v v h y + fu = g y

13 Reactie-diffusievergelijkingen (1) Chemische reacties (U, V en P zijn chemische stoffen): U + 2V 3V V P Bijbehorende differentiaalvergelijkingen (u en v zijn concentraties, r u en r v diffusieconstanten, f en k reactiesnelheden): u div(grad) = = = 2 t = r u u uv 2 + f (1 u) v t = r v v + uv 2 (f + k)v

14 Reactie-diffusievergelijkingen (2); patroonvorming!

15 Reactie-diffusievergelijkingen (3); experimenten

16 Ontwerp van auto s, vliegtuigen, etc

17 De Euler vergelijkingen t ρ ρu ρv E + x ρu ρu 2 + p ρuv u(e + p) + y ρv ρuv ρv 2 + p v(e + p) = ρ : dichtheid (ρu, ρv) T : momentum vector E : totale energie p : druk = (γ 1)(E ρ u2 +v 2 2 ) Schrijf dit als: Q t + F 1(Q) + F 2(Q) = Q x y t + div ( F1 F 2 ) = 0

18 Rayleigh-Taylor instabiliteit

19 Magneto-hydrodynamica (1): zonnevlammen en tokamak-reactor

20 Magneto-hydrodynamica (2): behoudswetten (ρv) t ρ t + (ρv) = 0 + (ρvv BB) + p tot = 0 e t + (ve + vp tot BB v) = η m ( B) 2 B t + (vb Bv) = η m B extra eis : div(b) = 0 p tot = p + B2, p = (γ 1)(e ρv2 2 2 B2 2 )

21 Kelvin-Helmholtz instabiliteit

22 Minimaliseren van energieoppervlakken

23 Minimum van een functie Y Y NULPUNT Y=F(X) LOKAAL MAXIMUM NULPUNT Y=F(X) F (X)=0 F(X)=0 NULPUNT NULPUNT X F(X)=0 F(X)=0 F(X)=0 X LOKAAL MINIMUM F (X)=0 GLOBAAL MINIMUM F (X)=0

24 Methode van Newton voor f (x) = 0 ax 2 + bx + c = 0 x volgt uit abc-formule Algemene f (x) = 0 x =??? Via benaderingen x x i uit: x 0 te kiezen... x i+1 = x i f (x i) f (x i ) Waar komt deze formule vandaan? Zijn dit goede benaderingen? Hoe goed? Bij welke i moeten we het proces stoppen? Kan dit ook voor een minimum? In meerdere dimensies? etc

25 Methode van Newton voor complexe functies

26 Moleculaire dynamica (1)

27 Moleculaire dynamica (2) Pendulum (zonder wrijving) met massa=1, lengte=1: d 2 x dt 2 + sin(x) = 0 Noem: q = x, p = dx dt = dp dq dt = p dt = sin(q) energie = 1 2 p2 cos(q)

28 Moleculaire dynamica (3) Gezocht: de oplossingen q(t) en p(t) Helaas: er zijn geen exacte formules voor te geven... Daarom gaan we ook hier benaderen: verdeel de tijdas in eindig veel stukjes ter lengte t noem t 0 = 0, t 1 = t 0 + t, t 2 = t 1 + t,... t/m de eindtijd T noem de benaderingen in t n : q n q(t n ), p n p(t n )

29 Moleculaire dynamica (4) via Taylorontwikkelingen! Numerieke methoden: Euler-Forward: q n+1 = q n + t p n p n+1 = p n t sin(q n ) Euler-Backward: q n+1 = q n + t p n+1 p n+1 = p n t sin(q n+1 ) Symplectic-Euler: q n+1 = q n + t p n p n+1 = p n t sin(q n+1 )

30 Moleculaire dynamica (5) EF EB SY VE 1 VELOCITY DX/DT INITIAL SOLUTION POSITION X

31 Moleculaire dynamica (6) EF EB SY VE EF EB SY VE ENERGY 10 0 ENERGY TIME T TIME T