Modelling 1A, TW1050-A
|
|
|
- Stefanie de Backer
- 4 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Modelling 1A, TW1050-A Vandaag: Wat is modelleren? Organisatie practicum College stelsels differentiaalvergelijkingen Eerste college Modelleren 1A, februari /32
2 Begeleiders Dr. Neil Budko Dr. Kristof Cools Dr. Ramses van der Toorn Dr.ir. Marleen Keijzer Dr.ir. Dennis den Ouden Dr. Paul Visser Prof.dr.ir. Kees Vuik Eerste college Modelleren 1A, februari /32
3 Modelling cycle Probleemstelling Conclusies Modelvorming Valideren Rekenmethode Eerste college Modelleren 1A, februari /32
4 Aims of the course Modelling Work the cycle Eerste college Modelleren 1A, februari /32
5 Aims of the course Modelling Work the cycle No exercise, but do research. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
6 Aims of the course Modelling Work the cycle No exercise, but do research. Vague? Freedom! Eerste college Modelleren 1A, februari /32
7 Aims of the course Modelling Work the cycle No exercise, but do research. Vague? Freedom! Collaboration Many time mathematicians collaborate in teams Now pairs of students, self composed. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
8 Aims of the course Modelling Work the cycle No exercise, but do research. Vague? Freedom! Collaboration Many time mathematicians collaborate in teams Now pairs of students, self composed. Reporting Professional research report Lecture notes (next lecture): Manual Modelling. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
9 To do Are you registered? Eerste college Modelleren 1A, februari /32
10 To do Are you registered? TUD LAPTOP important Eerste college Modelleren 1A, februari /32
11 Program College 1: College differentiaalvergelijkingen, module Informatievaardigheden Eerste college Modelleren 1A, februari /32
12 Program College 1: College 2: College differentiaalvergelijkingen, module Informatievaardigheden College numeriek oplossen, Kennismaken met begeleider, opdracht Matlab-introductieopgave maken Eerste college Modelleren 1A, februari /32
13 Program College 1: College 2: Week 2-7: College differentiaalvergelijkingen, module Informatievaardigheden College numeriek oplossen, Kennismaken met begeleider, opdracht Matlab-introductieopgave maken Werken in practicumzaal, 1 maart Informatievaardigheden afronden Eerste college Modelleren 1A, februari /32
14 Program College 1: College 2: Week 2-7: Week 7: College differentiaalvergelijkingen, module Informatievaardigheden College numeriek oplossen, Kennismaken met begeleider, opdracht Matlab-introductieopgave maken Werken in practicumzaal, 1 maart Informatievaardigheden afronden 2 april eerste versie verslag inleveren 2 april: (grove) feedback begeleider. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
15 Program College 1: College 2: Week 2-7: Week 7: Week 8: daarna: College differentiaalvergelijkingen, module Informatievaardigheden College numeriek oplossen, Kennismaken met begeleider, opdracht Matlab-introductieopgave maken Werken in practicumzaal, 1 maart Informatievaardigheden afronden 2 april eerste versie verslag inleveren 2 april: (grove) feedback begeleider. Vrijdag 12 april verslag inleveren Bespreking met begeleider op afspraak Eerste college Modelleren 1A, februari /32
16 Program College 1: College 2: Week 2-7: Week 7: Week 8: daarna: College differentiaalvergelijkingen, module Informatievaardigheden College numeriek oplossen, Kennismaken met begeleider, opdracht Matlab-introductieopgave maken Werken in practicumzaal, 1 maart Informatievaardigheden afronden 2 april eerste versie verslag inleveren 2 april: (grove) feedback begeleider. Vrijdag 12 april verslag inleveren Bespreking met begeleider op afspraak Eerste college Modelleren 1A, februari /32
17 Regels Aanwezigheid verplicht. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
18 Regels Aanwezigheid verplicht. Bij ziekte afmelden bij begeleider. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
19 Regels Aanwezigheid verplicht. Bij ziekte afmelden bij begeleider. 3EC : 3 x 28 = 84 bestedingsuren Dinsdag/donderdag: 7 x 4 = 28 bestedingsuren Eerste college Modelleren 1A, februari /32
20 Regels Aanwezigheid verplicht. Bij ziekte afmelden bij begeleider. 3EC : 3 x 28 = 84 bestedingsuren Dinsdag/donderdag: 7 x 4 = 28 bestedingsuren Begeleiders helpen, studenten zijn verantwoordelijk voor het werk. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
21 Regels Aanwezigheid verplicht. Bij ziekte afmelden bij begeleider. 3EC : 3 x 28 = 84 bestedingsuren Dinsdag/donderdag: 7 x 4 = 28 bestedingsuren Begeleiders helpen, studenten zijn verantwoordelijk voor het werk. Beide studenten zijn verantwoordelijk voor het hele verslag: samenwerken! Eerste college Modelleren 1A, februari /32
22 Practicum Door de begeleider op basis van het verslag. Kwaliteit en kwantiteit van het onderzoek. Kwaliteit van het verslag. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
23 Practicum Door de begeleider op basis van het verslag. Kwaliteit en kwantiteit van het onderzoek. Kwaliteit van het verslag. beoordelingscriteria: - opgebouwde achtergrondkennis, probleemstelling, literatuur - inzet/inbreng tijdens de besprekingen - inzicht doorlopen modelleercyclus - schriftelijke rapportage - Beoordelingsmatrix in BrightSpace Eerste college Modelleren 1A, februari /32
24 College differentiaalvergelijkingen Voorkennis: uit Caleidoscoop: J.L.A. Dubbeldam: Gewone Differentiaalvergelijkingen (Blackboard) Eerste college Modelleren 1A, februari /32
25 College differentiaalvergelijkingen Voorkennis: uit Caleidoscoop: J.L.A. Dubbeldam: Gewone Differentiaalvergelijkingen (Blackboard) Vandaag: Inleiding differentiaalvergelijkingen Eerste college Modelleren 1A, februari /32
26 College differentiaalvergelijkingen Voorkennis: uit Caleidoscoop: J.L.A. Dubbeldam: Gewone Differentiaalvergelijkingen (Blackboard) Vandaag: Inleiding differentiaalvergelijkingen Niet: oplosmethoden. Oplossen gaat numeriek: 2e college Wel: terminologie en kwalitatief gedrag oplossingen. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
27 College differentiaalvergelijkingen Voorkennis: uit Caleidoscoop: J.L.A. Dubbeldam: Gewone Differentiaalvergelijkingen (Blackboard) Vandaag: Inleiding differentiaalvergelijkingen Niet: oplosmethoden. Oplossen gaat numeriek: 2e college Wel: terminologie en kwalitatief gedrag oplossingen. Indeling: Eerste-orde differentiaalvergelijking Tweede-orde differentiaalvergelijking Twee stelsels eerste-orde differentiaalvergelijkingen Eerste college Modelleren 1A, februari /32
28 Vissen Populatie vissen in een meer zonder vijanden X (t): het aantal vissen (in honderdtallen) t: de tijd in maanden Eerste college Modelleren 1A, februari /32
29 Vissen Populatie vissen in een meer zonder vijanden X (t): het aantal vissen (in honderdtallen) t: de tijd in maanden Per vis komt er per maand 1.5 jonge visjes bij Per vis gaat per maand 0.5 oude vis dood Eerste college Modelleren 1A, februari /32
30 Vissen Populatie vissen in een meer zonder vijanden X (t): het aantal vissen (in honderdtallen) t: de tijd in maanden Per vis komt er per maand 1.5 jonge visjes bij Per vis gaat per maand 0.5 oude vis dood Balans opstellen: t: lengte van een tijdsinterval Eerste college Modelleren 1A, februari /32
31 Vissen Populatie vissen in een meer zonder vijanden X (t): het aantal vissen (in honderdtallen) t: de tijd in maanden Per vis komt er per maand 1.5 jonge visjes bij Per vis gaat per maand 0.5 oude vis dood Balans opstellen: t: lengte van een tijdsinterval X : de verandering van het aantal vissen X tijdens t Eerste college Modelleren 1A, februari /32
32 Vissen Populatie vissen in een meer zonder vijanden X (t): het aantal vissen (in honderdtallen) t: de tijd in maanden Per vis komt er per maand 1.5 jonge visjes bij Per vis gaat per maand 0.5 oude vis dood Balans opstellen: t: lengte van een tijdsinterval X : de verandering van het aantal vissen X tijdens t X = X t 0.5 X t. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
33 Differentiaalvergelijking Balans: X = +1.5X t 0.5X t. Deel door t ( 0): X (t) t = +1.5X 0.5X. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
34 Differentiaalvergelijking Balans: X = +1.5X t 0.5X t. Deel door t ( 0): Neem limiet: X (t) = +1.5X 0.5X. t X (t) lim = lim 1.5X (t) 0.5X (t). t 0 t t 0 Eerste college Modelleren 1A, februari /32
35 Differentiaalvergelijking Balans: X = +1.5X t 0.5X t. Deel door t ( 0): Neem limiet: De differentiaalvergelijking: dx (t) = 1.5X (t) 0.5X (t) dt X (t) = +1.5X 0.5X. t X (t) lim = lim 1.5X (t) 0.5X (t). t 0 t t 0 X (t) = X (t) Eerste college Modelleren 1A, februari /32
36 Differentiaalvergelijking Balans: X = +1.5X t 0.5X t. Deel door t ( 0): Neem limiet: De differentiaalvergelijking: dx (t) = 1.5X (t) 0.5X (t) dt X (t) = +1.5X 0.5X. t X (t) lim = lim 1.5X (t) 0.5X (t). t 0 t t 0 X (t) = X (t) Beginvoorwaarde, bijvoorbeeld X (0) = 3. Oplossing: Eerste college Modelleren 1A, februari /32
37 Differentiaalvergelijking Balans: X = +1.5X t 0.5X t. Deel door t ( 0): Neem limiet: De differentiaalvergelijking: dx (t) = 1.5X (t) 0.5X (t) dt X (t) = +1.5X 0.5X. t X (t) lim = lim 1.5X (t) 0.5X (t). t 0 t t 0 X (t) = X (t) Beginvoorwaarde, bijvoorbeeld X (0) = 3. Oplossing: X (t) = 3e t. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
38 Groeifactor beperken: Differentiaalvergelijking, beperkte groei X = +( 1.5 X 12 ) X t 0.5 X t. Bij grotere populaties minder dan 1.5 eitjes per vis per maand erbij. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
39 Groeifactor beperken: Differentiaalvergelijking, beperkte groei X = +( 1.5 X 12 ) X t 0.5 X t. Bij grotere populaties minder dan 1.5 eitjes per vis per maand erbij. Of, wat op hetzelfde neerkomt, sterftecijfer verhogen: X = +1.5 X t ( X 12 ) X t. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
40 Groeifactor beperken: Differentiaalvergelijking, beperkte groei X = +( 1.5 X 12 ) X t 0.5 X t. Bij grotere populaties minder dan 1.5 eitjes per vis per maand erbij. Of, wat op hetzelfde neerkomt, sterftecijfer verhogen: X = +1.5 X t ( X 12 ) X t. Delen door t en limiet nemen voor t 0: X (t) = X (t) X 2 (t) 12. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
41 Differentiaalvergelijking, beperkte groei en bevissing Meteen ook: per maand worden 5/3 honderd vissen gevangen: Eerste college Modelleren 1A, februari /32
42 Differentiaalvergelijking, beperkte groei en bevissing Meteen ook: per maand worden 5/3 honderd vissen gevangen: Balans: X = +( 1.5 X 12 ) X t 0.5 X t 5 3 t. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
43 Differentiaalvergelijking, beperkte groei en bevissing Meteen ook: per maand worden 5/3 honderd vissen gevangen: Balans: X = +( 1.5 X 12 ) X t 0.5 X t 5 3 t. Delen door t en limiet t 0 nemen: X (t) = X (t) X 2 (t) Eerste college Modelleren 1A, februari /32
44 Populatie vissen X (t) = X (t) X 2 (t) Zonder oplossen, alvast wel wat over oplossingen te zeggen. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
45 Populatie vissen X (t) = X (t) X 2 (t) Zonder oplossen, alvast wel wat over oplossingen te zeggen. Evenwichtspunten: de X waarvoor X = 0: Eerste college Modelleren 1A, februari /32
46 Populatie vissen X (t) = X (t) X 2 (t) Zonder oplossen, alvast wel wat over oplossingen te zeggen. Evenwichtspunten: de X waarvoor X = 0: X = 1 12 (X 2 12X + 20) = 0 X = 1 12 (X 10)(X 2) = 0 Faselijn: Eerste college Modelleren 1A, februari /32
47 Populatie vissen X (t) = X (t) X 2 (t) Zonder oplossen, alvast wel wat over oplossingen te zeggen. Evenwichtspunten: de X waarvoor X = 0: X = 1 12 (X 2 12X + 20) = 0 X = 1 12 (X 10)(X 2) = 0 Faselijn: X Eerste college Modelleren 1A, februari /32
48 Populatie vissen Eerste college Modelleren 1A, februari /32
49 Populatie vissen X = 10: stabiel evenwichtspunt X = 2: instabiel evenwichtspunt Eerste college Modelleren 1A, februari /32
50 Massa-veersysteem Uitwijking y(t) in meter. Snelheid v(t) in m/s. y(t) 1 kg Eerste college Modelleren 1A, februari /32
51 Massa-veersysteem y(t) 1 kg Uitwijking y(t) in meter. Snelheid v(t) in m/s. Veerconstante c in kg/s 2. Wrijvingsconstante γ in kg/s. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
52 Massa-veersysteem y(t) 1 kg Uitwijking y(t) in meter. Snelheid v(t) in m/s. Veerconstante c in kg/s 2. Wrijvingsconstante γ in kg/s. Krachten: F = Mg cy γv en Newton: F = Ma = Mv, Eerste college Modelleren 1A, februari /32
53 Massa-veersysteem y(t) 1 kg Uitwijking y(t) in meter. Snelheid v(t) in m/s. Veerconstante c in kg/s 2. Wrijvingsconstante γ in kg/s. Krachten: F = Mg cy γv en Newton: F = Ma = Mv, Stelsel differentiaalvergelijkingen: dy(t) = v(t) dt dv(t) = c dt M y(t) γ v(t) + g. M Eerste college Modelleren 1A, februari /32
54 Evenwichtspunt Twee gekoppelde, eerste-orde differentiaalvergelijkingen voor y(t) en v(t): y = v v = c M y γ M v + g. y(t) 1 kg Evenwichtspunt: Eerste college Modelleren 1A, februari /32
55 Evenwichtspunt Twee gekoppelde, eerste-orde differentiaalvergelijkingen voor y(t) en v(t): y = v v = c M y γ M v + g. y(t) 1 kg Evenwichtspunt: als y = 0 en tegelijkertijd v = 0: Eerste college Modelleren 1A, februari /32
56 Evenwichtspunt Twee gekoppelde, eerste-orde differentiaalvergelijkingen voor y(t) en v(t): y = v v = c M y γ M v + g. y(t) 1 kg Evenwichtspunt: als y = 0 en tegelijkertijd v = 0: Dus als v = 0 en y = gm c. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
57 Tweede-orde differentiaalvergelijking Twee eerste-orde differentiaalvergelijkingen: y = v v = c M y γ M v + g. y(t) 1 kg Naar één tweede-orde differentiaalvergelijking alleen in y(t): Eerste college Modelleren 1A, februari /32
58 Tweede-orde differentiaalvergelijking Twee eerste-orde differentiaalvergelijkingen: y = v v = c M y γ M v + g. y(t) Naar één tweede-orde differentiaalvergelijking alleen in y(t): y = v = c M y γ M v + g. 1 kg Eerste college Modelleren 1A, februari /32
59 Tweede-orde differentiaalvergelijking Twee eerste-orde differentiaalvergelijkingen: y = v v = c M y γ M v + g. y(t) Naar één tweede-orde differentiaalvergelijking alleen in y(t): y = v = c M y γ M v + g. 1 kg Dus: y + γ M y + c M y = g. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
60 Tweede-orde differentiaalvergelijking Twee eerste-orde differentiaalvergelijkingen: y = v v = c M y γ M v + g. y(t) Naar één tweede-orde differentiaalvergelijking alleen in y(t): y = v = c M y γ M v + g. 1 kg Dus: y + γ M y + c M y = g. Probeer y = de rt. Invullen in de homogene vergelijking geeft r 2 + γ M r + c M = 0. Deze heeft twee oplossingen: r 1 en r 2. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
61 Tweede-orde differentiaalvergelijking oplossingen y + γ M y + c M y = g. Overgedempt, bijv. y + 10y + 9y = g y(t) 1 kg Eerste college Modelleren 1A, februari /32
62 Tweede-orde differentiaalvergelijking oplossingen y + γ M y + c M y = g. Overgedempt, bijv. y + 10y + 9y = g Oplossingen: y(t) = c 1 e 9t + c 2 e t + g/9. Ongedempt, bijv. y + 9y = g y(t) 1 kg Eerste college Modelleren 1A, februari /32
63 Tweede-orde differentiaalvergelijking oplossingen y + γ M y + c M y = g. y(t) 1 kg Overgedempt, bijv. y + 10y + 9y = g Oplossingen: y(t) = c 1 e 9t + c 2 e t + g/9. Ongedempt, bijv. y + 9y = g Oplossingen: y(t) = c 1 cos(3t) + c 2 sin(3t) + g/9. Ondergedempt, bijv. y + 6y + 25y = g Eerste college Modelleren 1A, februari /32
64 Tweede-orde differentiaalvergelijking oplossingen y + γ M y + c M y = g. y(t) 1 kg Overgedempt, bijv. y + 10y + 9y = g Oplossingen: y(t) = c 1 e 9t + c 2 e t + g/9. Ongedempt, bijv. y + 9y = g Oplossingen: y(t) = c 1 cos(3t) + c 2 sin(3t) + g/9. Ondergedempt, bijv. y + 6y + 25y = g Oplossingen: y(t) = c 1 e 3t cos(4t) + c 2 e 3t sin(4t) + g/25. Kritisch gedempt, bijv. y + 6y + 9y = g Eerste college Modelleren 1A, februari /32
65 Tweede-orde differentiaalvergelijking oplossingen y + γ M y + c M y = g. y(t) 1 kg Overgedempt, bijv. y + 10y + 9y = g Oplossingen: y(t) = c 1 e 9t + c 2 e t + g/9. Ongedempt, bijv. y + 9y = g Oplossingen: y(t) = c 1 cos(3t) + c 2 sin(3t) + g/9. Ondergedempt, bijv. y + 6y + 25y = g Oplossingen: y(t) = c 1 e 3t cos(4t) + c 2 e 3t sin(4t) + g/25. Kritisch gedempt, bijv. y + 6y + 9y = g Oplossingen: y(t) = c 1 e 3t + c 2 te 3t + g/9. c 1 en c 2 te vinden uit de twee beginvoorwaarden, bijvoorbeeld y(0) = 0 en y (0) = 1. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
66 Stelsel eerste-orde dv s Ander stelsel voor x 1 (t) en x 2 (t): x 1 = 3x 1 2x 2 x 2 = 2x 1 2x 2 Eerste college Modelleren 1A, februari /32
67 Stelsel eerste-orde dv s Ander stelsel voor x 1 (t) en x 2 (t): x 1 = 3x 1 2x 2 x 2 = 2x 1 2x 2 Evenwichtspunt: (x 1, x 2 ) = (0, 0). Eerste college Modelleren 1A, februari /32
68 Stelsel eerste-orde dv s Ander stelsel voor x 1 (t) en x 2 (t): x 1 = 3x 1 2x 2 x 2 = 2x 1 2x 2 Evenwichtspunt: (x 1, x 2 ) = (0, 0). Andere schrijfwijze: ( ) ( ) ( ) x x1 x 2 = 2 2 x 2 ( ) x1 Introduceer vector: x = : x 2 x = Ax Eerste college Modelleren 1A, februari /32
69 Stelsel eerste-orde dv s Ander stelsel voor x 1 (t) en x 2 (t): x 1 = 3x 1 2x 2 x 2 = 2x 1 2x 2 Evenwichtspunt: (x 1, x 2 ) = (0, 0). Andere schrijfwijze: ( ) ( ) ( ) x x1 x 2 = 2 2 x 2 ( ) x1 Introduceer vector: x = : x 2 x = Ax Oplossingen: x(t) = ( x1 (t) x 2 (t) ) ( 2 = c 1 1 ) e 2t + c 2 ( 1 2 ) e t Eerste college Modelleren 1A, februari /32
70 Stelsel eerste-orde dv s Oplossingen: x(t) = ( x1 (t) x 2 (t) ) ( 2 = c 1 1 ) e 2t + c 2 ( 1 2 ) e t Eerste college Modelleren 1A, februari /32
71 Stelsel eerste-orde dv s, fasevlak Oplossingen: x(t) = ( x1 (t) x 2 (t) ) ( 2 = c 1 1 ) e 2t + c 2 ( 1 2 ) e t Eerste college Modelleren 1A, februari /32
72 Stelsel eerste-orde dv s, fasevlak Oplossingen: x(t) = ( x1 (t) x 2 (t) ) ( 2 = c 1 1 ) e 2t + c 2 ( 1 2 ) e t Eerste college Modelleren 1A, februari /32
73 Stelsel eerste-orde dv s, fasevlak Oplossingen: x(t) = ( x1 (t) x 2 (t) ) ( 2 = c 1 1 ) e 2t + c 2 ( 1 2 ) e t Het evenwichtspunt (0, 0) heet instabiel omdat uit elk schijfje om het evenwicht heen tenminste één oplossing wegloopt. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
74 Stelsel eerste-orde dv s, fasevlak Oplossingen: x(t) = ( x1 (t) x 2 (t) ) ( 2 = c 1 1 ) e 2t + c 2 ( 1 2 ) e t Het evenwichtspunt (0, 0) heet instabiel omdat uit elk schijfje om het evenwicht heen tenminste één oplossing wegloopt. Een evenwichtspunt heet stabiel als er een schijfje om het evenwicht heen is waar geen oplossing uit wegloopt. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
75 Tweede stelsel eerste-orde dv s Tweede stelsel voor x 1 (t) en x 2 (t): ( ) ( x = 2 1 x 2 ) ( x1 x 2 ) Eerste college Modelleren 1A, februari /32
76 Tweede stelsel eerste-orde dv s Tweede stelsel voor x 1 (t) en x 2 (t): ( ) ( x = 2 1 x 2 Evenwichtspunt weer (x 1, x 2 ) = (0, 0). ) ( x1 x 2 ) Eerste college Modelleren 1A, februari /32
77 Tweede stelsel eerste-orde dv s Tweede stelsel voor x 1 (t) en x 2 (t): ( ) ( x = 2 1 x 2 ) ( x1 x 2 ) Evenwichtspunt weer (x 1, x 2 ) = (0, 0). Oplossingen: ( ) ( x1 (t) sin(2t) x(t) = = c x 2 (t) 1 cos(2t) ) e t + c 2 ( cos(2t) sin(2t) ) e t Eerste college Modelleren 1A, februari /32
78 Tweede stelsel eerste-orde dv s Oplossingen: x(t) = ( x1 (t) x 2 (t) ) = c 1 ( sin(2t) cos(2t) ) e t + c 2 ( cos(2t) sin(2t) ) e t Eerste college Modelleren 1A, februari /32
79 Tweede stelsel eerste-orde dv s, fasevlak Oplossingen: x(t) = ( x1 (t) x 2 (t) ) = c 1 ( sin(2t) cos(2t) ) e t + c 2 ( cos(2t) sin(2t) ) e t Eerste college Modelleren 1A, februari /32
80 Tweede stelsel eerste-orde dv s, fasevlak Oplossingen: x(t) = ( x1 (t) x 2 (t) ) = c 1 ( sin(2t) cos(2t) ) e t + c 2 ( cos(2t) sin(2t) ) e t Eerste college Modelleren 1A, februari /32
81 Tweede stelsel eerste-orde dv s, fasevlak Oplossingen: x(t) = ( x1 (t) x 2 (t) ) = c 1 ( sin(2t) cos(2t) ) e t + c 2 ( cos(2t) sin(2t) ) e t Het evenwichtspunt (0, 0) is weer instabiel omdat uit elk schijfje om het evenwicht heen tenminste één oplossing wegloopt. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
82 Typen evenwichtspunten x = Ax Eigenwaarden van A: r 1 en r 2. Oplossingen x met factoren e r1t en e r2t. Als r 1 en r 2 reëel en negatief zijn, dan heet het evenwichtspunt een stabiele knoop. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
83 Typen evenwichtspunten x = Ax. Eigenwaarden van A: r 1 en r 2. Oplossingen x met factoren e r1t en e r2t. Als r 1 en r 2 reëel en positief zijn, dan heet het evenwichtspunt een instabiele knoop. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
84 Typen evenwichtspunten x = Ax. Eigenwaarden van A: r 1 en r 2. Oplossingen x met factoren e r1t en e r2t. Als r 1 en r 2 reëel zijn, en één is negatief en de ander positief, dan heet het evenwichtspunt een zadelpunt. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
85 Typen evenwichtspunten x = Ax. Eigenwaarden van A: r 1 en r 2. Oplossingen x met factoren e r1t en e r2t. Als r 1 en r 2 complex zijn met een negatief reëel deel, dan heet het evenwichtspunt een stabiel spiraalpunt. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
86 Typen evenwichtspunten x = Ax. Eigenwaarden van A: r 1 en r 2. Oplossingen x met factoren e r1t en e r2t. Als r 1 en r 2 complex zijn met een positief reëel deel, dan heet het evenwichtspunt een instabiel spiraalpunt. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
87 Typen evenwichtspunten x = Ax. Eigenwaarden van A: r 1 en r 2. Oplossingen x met factoren e r1t en e r2t. Als r 1 en r 2 zuiver imaginair zijn (dus hun reële delen zijn 0), dan heet het evenwichtspunt een cirkelpunt. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
88 Samenvatting Eerste-orde dv X = X X X Eerste college Modelleren 1A, februari /32
89 Samenvatting Stelsel 1e-orde dv s: Eerste-orde dv X = X X y = v v = c M y γ M v + g X y(t) 1 kg Een 2e-orde dv: y + γ M y + c M y = g. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
90 Eerste-orde dv X = X X X Samenvatting Stelsel 1e-orde dv s: y = v v = c M y γ M v + g. Stelsels 1e-orde dv s x = Ax Fasevlakken, verschillende typen evenwichtspunten: y(t) 1 kg Een 2e-orde dv: y + γ M y + c M y = g. Eerste college Modelleren 1A, februari /32
91 Eerste-orde dv X = X X X Samenvatting Stelsel 1e-orde dv s: y = v v = c M y γ M v + g. Stelsels 1e-orde dv s x = Ax Fasevlakken, verschillende typen evenwichtspunten: y(t) 1 kg Een 2e-orde dv: y + γ M y + c M y = g. college 2: numeriek oplossen van differentiaalvergelijkingen + inleiding programmeren Eerste college Modelleren 1A, februari /32
Modelleren 1A, TW1050-A
Modelleren 1A, TW1050-A Probleemstelling Conclusies Valideren Modelvorming Rekenmethode Vandaag: Wat is modelleren? Organisatie practicum College stelsels differentiaalvergelijkingen Eerste college Modelleren
Modellering in het onderwijs
Modellering in het onderwijs Kees Vuik en Marleen Keijzer InterTU studiedag TU Delft, Delft, Juni 24, 2016 Inhoud: Modelleren bij de TU Delft Observaties MOOC Modelleren Conclusies 4TU.AMI Applied Mathematics
Stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen (homogeen)
Stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen (homogeen) Laat A een n n matrix zijn. We willen alle oplossingen bepalen van het stelsel differentiaalvergelijkingen: dx dt = Ax () We hebben gezien: Als
Stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen (homogeen)
Stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen (homogeen) Voorbeeld Voorbeeld ( 7., Opgave 22) Op t = 0 bevatten de vaten respectievelijk 25 en 5 oz (ounces) zout. 3 september 206 Onderzoeken we hoeveel
Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit
Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoewel we reeds vele methoden gezien hebben om allerlei typen differentiaalvergelijkingen op te lossen, zijn er toch nog veel differentiaalvergelijkingen
maplev 2010/9/8 17:01 page 349 #351
maplev 00/9/8 7:0 page 49 5 Module Stabiliteit van evenwichten Onderwerp Voorkennis Expressies Bibliotheken Zie ook Stabiliteit van evenwichten van gewone differentiaalvergelijkingen. Gewone differentiaalvergelijkingen
Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
x 1 (t) = ve rt = (a + ib) e (λ+iµ)t = (a + ib) e λt (cos µt + i sin µt) x 2 (t) = ve rt = e λt (a cos µt b sin µt) ie λt (a sin µt + b cos µt).
76 Complexe eigenwaarden Ook dit hebben we reeds gezien bij Lineaire Algebra Zie: Lay, 57 Als xt ve rt een oplossing is van de homogene differentiaalvergelijking x t Axt, dan moet r een eigenwaarde van
Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft
Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek wi2030wbmt Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 1 / 14 Niet-lineaire diff. vgl. en stabiliteit Niet-lineaire
WISB134 Modellen & Simulatie. Lecture 11 - Dynamica van lineaire differentiaalvergelijkingen in twee dimensies
WISB134 Modellen & Simulatie Lecture 11 - Dynamica van lineaire differentiaalvergelijkingen in twee dimensies Overzicht van ModSim Meeste aandacht (t/m 1 apr.) Basisbegrippen dynamische modellen Definities
Klassieke Mechanica a (Tentamen 11 mei 2012) Uitwerkingen
Klassieke Mechanica a (Tentamen mei ) Uitwerkingen Opgave. (Beweging in een conservatief krachtenveld) a. Een kracht is conservatief als r F =. Dit blijkt na invullen: (r F) x = @F z =@y @F y =@z = =,
Complexe eigenwaarden
Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie
Oefeningentoets Differentiaalvergelijkingen, deel 1 dinsdag 6 november 2018 in lokaal 200M van 16:00 tot 18:00u
Oefeningentoets Differentiaalvergelijkingen, deel 1 dinsdag 6 november 2018 in lokaal 200M 00.07 van 16:00 tot 18:00u Beste student, Deze oefeningentoets bevat twee oefeningen betreffende het tweede deel
Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten
Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Homogene vergelijkingen We bekijken eerst homogene vergelijkingen van orde twee met constante coefficienten, d.w.z. dv s van de vorm a 0 y + a 1 y + a
Niet lineaire stelsels differentiaalvergelijkingen en stabiliteit. Lorenz-attractor
Niet lineaire stelsels differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Lorenz-attractor Vraag Gegeven zijn een stelsel differentiaalvergelijkingen: = F (x, y) (1) = G(x, y) met als kritiek punt (x 0, y 0) en
Examen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet. dinsdag 5 januari Vraag 1.1. Waar of vals (1pt) Het beginvoorwaardenprobleem
Examen Wiskundige Analyse I ste bach ir wet dinsdag 5 januari 206 Vraag.. Waar of vals (pt) Het beginvoorwaardenprobleem 32x 3 y = (y ) 3, y() = 2, y () = 4 bezit een unieke oplossing, die geldig is in
Differentiaalvergelijkingen I : separabele en lineaire 1ste orde DV
WISKUNDIGE ANALYSE OEFENZITTING 0 c D. Keppens 2004 Differentiaalvergelijkingen I : separabele en lineaire ste orde DV Onderwerp : separabele differentiaalvergelijkingen van de eerste orde en vergelijkingen
Programmeren en Wetenschappelijk Rekenen in Python. Wi1205AE I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 6 mei 2014
Programmeren en Wetenschappelijk Rekenen in Python Wi1205AE, 6 mei 2014 Bijeenkomst 5 Onderwerpen Het maken van een model Numerieke integratie Grafische weergave 6 mei 2014 1 Voorbeeld: sprong van een
Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm
college 3: differentiaalvergelijkingen Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we y = y (t) of y (1) = y (1) (t) voor de afgeleide dy dt, en y = y (t) of y (2) = y (2) (t) voor de tweede afgeleide
4051CALC1Y Calculus 1
4051CALC1Y Calculus 1 College 23 23 oktober 2014 1 Programma Vanmiddag Trillingen (8.7) 2 Herhaling 2 e orde homogene lineaire differentiaal vergelijking De algemene oplossing voor ay + by + cy = 0 wordt
Lineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L Habets HG 809, Tel: 040-2474230, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: Oplossing homogene DV ẋ = Ax Aanname: A is diagonaliseerbaar
WISB134 Modellen & Simulatie. Lecture 8 - Niet-lineaire recursies in meerdere dimensies
WISB134 Modellen & Simulatie Lecture 8 - Niet-lineaire recursies in meerdere dimensies Overzicht van ModSim Meeste aandacht (t/m 1 apr.) Basisbegrippen dynamische modellen Definities recursies, DVs, numerieke
Tentamen - uitwerkingen
Tentamen - uitwerkingen Mechanica en Relativiteitstheorie voor TW 5 april 06 Kennisvragen - 0 punten a) Geef de drie behoudswetten van de klassieke mechanica, en geef voor elk van de drie aan onder welke
Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00
Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 6 Maandag januari, 9- Faculteit EWI Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven Alle antwoorden dienen beargumenteerd te worden Normering: punten
Examen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica
Examen GO7E Wiskunde II (3sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Auditorium De Molen: A D Auditorium MTM3: E-Se Auditorium MTM39: Sh-Z Naam: Studierichting: Naam assistent:
Hoofdstuk 7: Stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen
Hoofdstuk 7: Stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen Bij het vak Lineaire Algebra hebben we reeds kennis gemaakt met stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen We hebben
1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
Inleiding DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN Stefaan Poedts Centrum voor mathematische Plasma-Astrofysica, KU Leuven Oefeningen Bruno, Liebrecht en Simon Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 3 Inleiding
Stelsels differentiaalvergelijkingen
Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels homogene differentiaalvergelijkingen We bekijken in deze paragraaf stelsels homogene differentiaalvergelijkingen: x (t x (t x (t x (t x n(t A Voorbeeld x +
BIOFYSICA: Toets I.4. Dynamica: Oplossing
1 ste jaar Bachelor BIOMEDISCHE WETENSCHAPPEN Academiejaar 006-007 BIOFYSICA: Toets I.4. Dynamica: Oplossing 1 Opgave 1 Een blokje met massa 0, kg heeft onder aan een vlakke helling een snelheid van 7,
7. Hamiltoniaanse systemen
7. Hamiltoniaanse systemen In de moleculaire dynamica, maar ook in andere gebieden zoals de hemelmechanica of klassieke mechanica, worden oplossingen gezocht van het Hamiltoniaanse systeem van differentiaalvergelijkingen
Trillingen en Golven
College-aantekeningen Trillingen en Golven vijfde kwartaal Natuur- en Sterrenkunde, Natuurwetenschappen najaar 008 F. Filthaut Experimentele Hoge-Energie Fysica Institute for Mathematics, Astrophysics,
Bewegingen en Trillingen. Nokkenmechanisme: deel B
Katholieke Universiteit Leuven Faculteit Ingenieurswetenschappen Departement Werktuigkunde Bewegingen en Trillingen Nokkenmechanisme: deel B Groepsnummer 35 Jan-Pieter Jacobs Christophe Mestdag 1 Inhoudsopgave
x(t + T ) = x(t) Voorbeeld 1. Beschouw het niet-lineaire autonome stelsel . (1) y x + y y(x 2 + y 2 )
97 Periodieke oplossingen en limit ccles We beschouwen weer autonome stelsels van de vorm x (t) = f(x(t)), waarbij het rechterlid dus niet expliciet van t afhangt We gaan onderzoeken wanneer er periodieke
Modellen en Simulatie Differentiaalvergelijkingen. Modellen en Simulatie. sleij101/ Program.
Utrecht, 29 mei 2013 Utrecht, 29 mei 2013 Modellen en Simulatie Modellen en Simulatie Differentiaalvergelijkingen Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Gerard
Hertentamen Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y vrijdag 7 november 2014; uur
Hertentamen Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y vrijdag 7 november 2014; 9.00-12.00 uur Naam: (Leids) studentnummer: Een rekenmachine en het formuleblad bij deze cursus mogen gebruikt worden. Laat duidelijk
1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen
1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING Veel fysische systemen, van groot tot klein, mechanisch en elektrisch, kunnen trillingen uitvoeren. Daarom is in de natuurkunde het bestuderen van trillingen van groot
De comfortabele auto
De comfortabele auto 1e Matlab practicum Inleiding Wiskundige Systeemtheorie (156056) (inleveren tot en met vrijdag 13 Maart 2009, via Teletop). Dit is de eerste van twee verplichte Matlab/Simulink-practica
Tentamen Simulaties van Biochemische Systemen - 8C110 en 8CB19 4 Juli uur
Tentamen Simulaties van Biochemische Systemen - 8C0 en 8CB9 4 Juli 04-900-00 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 7 opgaven verdeeld over pagina s Op pagina 4 staat voor iedere opgave
5.1 De numerieke rekenmethode
Uitwerkingen opgaven hoofdstuk 5 Opgave 1 a Zie tabel 5.1. 5.1 De numerieke rekenmethode tijd aan begin van de tijdstap (jaar) tijd aan eind van de tijdstap (jaar) bedrag bij begin van de tijdstap ( )
5 Lineaire differentiaalvergelijkingen
5 Lineaire differentiaalvergelijkingen In veel toepassingen in de techniek en de exacte wetenschappen wordt gewerkt met differentiaalvergelijkingen om continue processen te modelleren. Het gaat dan meestal
Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics
Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Epidemiologische modellen voor de groei en afnamen van online sociale netwerken (Engelse
D-Day. 4 juni Joost Hulshof
D-Day 4 juni 2010 Joost Hulshof 1 2 Realistisch rekenen/nlt tip 2 multiple scale mathematical modelling 3 dynamica wiskunde toepassingen 4 dynamica wiskunde toepassingen 4 dynamica wiskunde (onderwijs)
Examen Algemene natuurkunde 1, oplossing
Examen Algemene natuurkunde 1, oplossing Vraag 1 (6 ptn) De deeltjes m 1 en m 2 bewegen zich op eenzelfde rechte zoals in de figuur. Ze zitten op ramkoers want v 1 > v 2. v w m n Figuur 1: Twee puntmassa
Examenvragen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet, eerste examenperiode
Examenvragen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet, eerste examenperiode 2008-2009 Een vloeistoftank met een capaciteit van 500 liter bevat aanvankelijk 100 liter water, waarin 30 kilogram zout is opgelost.
Inleiding Wiskundige Systeemtheorie
Inleiding Wiskundige Systeemtheorie 156056 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Tx D Ax; x.t/ 2 R 2 x D 0 is een evenwichtspunt;
Wiskunde D: Modellen en Dynamische Systemen. Ferdinand Verhulst Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht
Wiskunde D: Modellen en Dynamische Systemen Ferdinand Verhulst Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht NWD, februari 2009 1 Waar gaat het over? Filosofie van de tekst modelleren (vergelijkingen opstellen)
Examen Wiskunde II Bachelor Biochemie & Biotechnologie en Chemie maandag 11 juni 2012, 8:30 13:00 Auditorium 200C. Aud A en 200 C.
Examen Wiskunde II Bachelor Biochemie & Biotechnologie en Chemie maandag 11 juni 2012, 8:30 13:00 Auditorium 200C. Aud A en 200 C. Aud B Studierichting: Naam assistent(en): Het examen bestaat uit 6 vragen.
Respons van een voertuig bij passage over een verkeersdrempel
Respons van een voertuig bij passage over een verkeersdrempel G. Lombaert en G. Degrande. Departement Burgerlijke Bouwkunde, K.U.Leuven, Kasteelpark Arenberg 40, B-3001 Leuven 1 Formulering van het probleem
Modellen en Simulatie Stelsels Dvg
Utrecht, 10 juni 2013 Modellen en Simulatie Stelsels Dvg Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Continu versus discreet: Lineaire modellen Continu model. x
Introductie. Wiskunde in actie : Bungeejumpen met een rugzak!
Introductie Wiskunde in actie : Bungeejumpen met een rugzak! Kees Lemmens, Email: C.W.J.Lemmens@Ewi.TUDelft.nl, Faculty of Electrotechnical Engineering, Mathematics and Computer Science, Delft University
Wiskunde y en Theoretische Biologie, 12 april Naam: Collegekaartnummer: Vraag 1
Wiskunde y en Theoretische Biologie, 12 april 2013 Vraag 1 x Dit zijn multiple-choice vragen. Omcirkel het meest correcte antwoord. 1.1 Beschouw het volgende fase-portret: Welk van de onderstaande systemen
Laplace vs. tijd. netwerk. Laplace. getransformeerd. netwerk. laplace. laplace getransformeerd. getransformeerd. ingangssignaal.
Laplace vs. tijd x() t ingangssignaal netwerk y() t uitgangssignaal () x t laplace getransformeerd ingangssignaal X () s Laplace getransformeerd netwerk H () s - Y() s laplace getransformeerd uitgangssignaal
Essential University Physics Richard Wolfson 2 nd Edition
Chapter Hoofdstuk 13 13 Lecture Essential University Physics Richard Wolfson nd Edition Trillingen Slide 13-1 13.1 Trillingen Een systeem voert een trilling uit (of oscilleert) als het een periodieke beweging
Examen G0O17D Wiskunde II (6sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-12:30 uur
Examen GO7D Wiskunde II (6sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Biochemie & Biotechnologie Bachelor hemie, Bachelor Geologie Schakelprogramma Master Biochemie & Biotechnologie en Schakelprogramma Master
Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Hoofdstuk 1: Inleiding
Hoofdstuk 1: Inleiding 1.1. Richtingsvelden. Zie Stewart, 9.2. 1.2. Oplossingen van enkele differentiaalvergelijkingen. Zelf doorlezen. 1.3. Classificatie van differentiaalvergelijkingen. Differentiaalvergelijkingen
Inleiding Wiskundige Systeemtheorie 156056
Inleiding Wiskundige Systeemtheorie 156056 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Evenwichtspunt.x 0 ; y 0 ; u 0 / heet een evenwichtspunt
Lineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het
Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C110 8 April uur
Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C 8 April - 9- uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina s Op pagina 3 staat voor iedere opgave het maximale
Analyse van eenvoudige tumor-groei modellen
1 Inleiding Analyse van eenvoudige tumor-groei modellen B.W. Kooi Afdeling Theoretische Biologie, Faculteit Biologie, Vrije Universiteit, De Boelelaan 187, 181 HV Amsterdam 1 december 23 Processen, zoals
WISB134. Modellen & Simulatie. Lecture 0 - Introductie & Voorkennis
WISB134 Modellen & Simulatie Lecture 0 - Introductie & Voorkennis Praktijk Wiskundige Wat doet een wiskundige na de studie? Stellingen bewijzen? Boekhouden? Sudoku s oplossen? U.S. Bureau of Labor Statistics:
Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen
Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Maandag 4 januari 216, 1: - 13: uur 1. Beschouw voor t > de inhomogene singuliere tweede orde vergelijking, t 2 ẍ + 4tẋ + 2x = f(t, (1 waarin f
WI1708TH Analyse 2. College 5 24 november Challenge the future
WI1708TH Analyse 2 College 5 24 november 2014 1 Programma Vandaag 2 e orde lineaire differentiaal vergelijking (17.1) 2 1 e orde differentiaal vergelijking Definitie Een 1 e orde differentiaal vergelijking
Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (2DM20) op vrijdag 11 mei 2007, 9:00 12:00 uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op vrijdag mei 7, 9: : uur. U mag bij het tentamen geen computer (notebook, laptop), boeken
Vectoranalyse voor TG
college 2 Ruimte en oppervlakken collegejaar : 18-19 college : 2 build : 5 september 2018 slides : 25 Vandaag Ruimte 1 Vectoren in R 3 recap 2 Oppervlakken 3 Ruimte 4 1 intro VA Voorkennis uit Ruimtewiskunde
Differentiaalvergelijkingen Wi1909TH. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 november 2018
Differentiaalvergelijkingen Wi1909TH, 12 november 2018 Inleiding van Mourik Broekmanweg 6, kamer 3.W.700 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn
Monitoraatssessie Wiskunde
Monitoraatssessie Wiskunde 1 Overzicht van de cursus Er zijn drie grote blokken, telkens voorafgegaan door de rekentechnieken die voor dat deel nodig zullen zijn. Exponentiële en logaritmische functies;
Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.
6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel
Uitwerking Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie. Galileitransformaties. versie 1.3, januari 2003
Uitwerking Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Galileitransformaties versie 1.3, januari 003 Inhoudsopgave 0.1Galileitransformatie 0.1.1 Twee inertiaalsystemen...................... 0.1. Een paraboolbaan.........................
An analytical algebraic approach to determining differences in oscillation data between observed, computed and simulated environments
Practicum Trillen en Slingeren 5VWO Natuurkunde Totaal An analytical algebraic approach to determining differences in oscillation data between observed, computed and simulated environments (PO Trillingen
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Tentamen wi2140tnw Differentiaalvergelijkingen september 2004 (1)
T.U. Delft Faculteit E.W.I. Tentamen wi4tnw Diffeentiaalvegelijkingen 4. - 6. cijfe (..+ + (..+ + (..+ + (..+ + (..+ 6 septembe 4 Het gebuik van een voo het VWO-eindexamen goedgekeude ekenmachine is toegestaan..
Ruimtewiskunde. college 3 Lijnen, vlakken en oppervlakken in de ruimte. Vandaag
college 3 Lijnen, vlakken en in de collegejaar : 16-17 college : 3 build : 6 juni 2017 slides : 37 Vandaag 1 Lijnen 2 Vlakken 3 4 Toepassing: perspectivische.16-17[3] 1 vandaag Lijnen in het platte vlak
Toegepaste wiskunde. voor het hoger beroepsonderwijs. Deel 2 Derde, herziene druk. Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 7.
Drs. J.H. Blankespoor Drs.. de Joode Ir. A. Sluijter Toegepaste wiskunde voor het hoger beroepsonderwijs Deel Derde, herziene druk herhalingsopgaven hoofdstuk 7 augustus 009 HBuitgevers, Baarn Toegepaste
Modellen en Simulatie
Utrecht, 22 april 2013 Modellen en Simulatie Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Gerard Sleijpen Kamer 504, FG (voorheen WG) Tel: 030-2531732 G.L.G.Sleijpen@uu.nl
n 2 + 3n + 6 4n 3 3 n + 8n n + 3n + 16 n=1 Indien convergent, bepaal dan ook de waarde van de reeks.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP004B januari 05,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Modellen en Simulatie Stelsels Dvg
Utrecht, juni 3 Modellen en Simulatie Stelsels Dvg Continu versus discreet: Lineaire modellen Continu model. x (t) = Ax(t). Als geen eigenwaarde van A: opl. x(t) in evenwicht x(t) = alle t stabiel evenwicht
Tentamen Fysica in de Fysiologie (8N070) deel AB herkansing, blad 1/5
ECHNISCHE UNIVERSIEI EINDHOVEN Faculteit Biomedische echnologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica entamen Fysica in de Fysiologie (8N070) deel AB herkansing, blad 1/5 vrijdag 3 februari 2012, 9.00-12.00
Antwoorden. 1. Rekenen met complexe getallen
1. Rekenen met complexe getallen 1.1 a. 9 b. 9 c. 16 d. i e. 1 1. a. 1 b. 3 c. 1 d. 4 3 e. 3 4 1.3 a. 3 i b. 3 i c. i d. 5 i e. 15 i 1.4 a. 33 i b. 7 i c. 4 3 i d. 3 5 i e. 5 3 i 1.5 a. 1 ± i b. ± i c.
Collegedictaat Fysische Methoden voor AI-studenten. H. Duifhuis en J. E. C. Wiersinga-Post
Collegedictaat Fysische Methoden voor AI-studenten H. Duifhuis en J. E. C. Wiersinga-Post najaar-2003 2 Inhoudsopgave Inleiding 7 Doel van het college Fysische Methoden................. 7 Middelen: de
Topologie in R n 10.1
Topologie in R n 10.1 Lengte x = (x 1,..., x n ) = x 2 1 + x2 2 + + x2 n Bol B(x 0, r) = {x : x x 0 < r} x 0 r p 1 p 3 p 1 p 2 S p 1 heet uitwendig punt p 2 heet inwendig punt p 3 heet randpunt p 1 p 3
14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:
14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64
Vectoranalyse voor TG
college 1 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 1 25 september 214 28 1 2 3 4 otatie Green De wet van Faraday 1 VA vandaag 4.5.6 ection 16.7 telling Vergeleijking (4.62) Theorem 6 Het
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde N460 op donderdag 4 juni 010, 14.00-17.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Toetsregeling Vaardigheden B1.4
Toetsregeling Vaardigheden B1.4 Bacheloropleiding Biomedische Wetenschappen Radboudumc Deze regeling is van kracht vanaf 11 april 2016. 1) Begripsbepaling Het tentamen Vaardigheden B1.4 maakt deel uit
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)
Antwoordmodel VWO wb I. Verschuivend zwaartepunt. Maximumscore 3 3 = 1. d T = ,2 (cm) Maximumscore 4. Dus d T = = Maximumscore 4
Antwoordmodel VWO wb -I Verschuivend zwaartepunt Maximumscore d W = = d T = + 5, (cm) h d T = h + h + 5 h + h + 5 h + Dus d T = = h + h + h + =,5 geeft (bijvoorbeeld met behulp van de GR) h, h 7,7 h +
Tussentijdse Toets Wiskunde 2 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april 2011
Tussentijdse Toets Wiskunde ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april Deze toets is bedoeld om u vertrouwd te maken met de wijze van ondervraging op het
Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C April uur
Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C 3 April - 9- uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina s Op pagina 3 staat voor iedere opgave het maximale
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 93 email: JCMKeijsper@tuenl studiewijzer: http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 JKeijsper (TUE) Lineaire
InterTU-Studiedag 2015
InterTU-Studiedag 2015 Cases in de wiskundelijn Een voorbeeld bij de opleiding WB Gerrit Zwier (UT) InterTU-Studiedag 2015 Cases in de wiskundelijn Een voorbeeld bij de opleiding WB Gerrit Zwier (UT) 1.
De leraar fysica als goochelaar. lesvoorbeeld: harmonische trillingen
De leraar fysica als goochelaar lesvoorbeeld: harmonische trillingen Stan Wouters Docent Fysica aan de Faculteit Industriële Ingenieurs Fi² (= KHLim en Xios) VLAAMS CONGRES VAN LERAARS WETENSCHAPPEN zaterdag
Analyse 1 November 2011 Januari 2011 November 2010
WI1330CT/CT1135-1/CTB1001-1 Januari 2013 November 2012 Januari 2012 Analyse 1 November 2011 Januari 2011 November 2010 Tentamenbundel Civiele Techniek Het Gezelschap "Practische Studie" TU DELFT, 2010
Samenvatting Natuurkunde Hoofdstuk 8, Bewegen in functies
Samenvatting Natuurkunde Hoofdstuk 8, Bewegen in functies Samenvatting door een scholier 1016 woorden 19 januari 2003 5,6 80 keer beoordeeld Vak Methode Natuurkunde Natuurkunde overal Samenvatting hoofdstuk
Scientific Computing
WISB356, Utrecht, 10 september 2012 Scientific Computing Gerard Sleijpen Rob Bisseling Alessandro Sbrizzi Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Docenten Gerard Sleijpen WG
Prof.dr. A. Achterberg, IMAPP
Prof.dr. A. Achterberg, IMAPP www.astro.ru.nl/~achterb/ Waarnemingen die de basis vormen van het Oerknalmodel - Vluchtsnelheid verre sterrenstelsels - Kosmische Achtergrondstraling - Voorwereldlijke Nucleosynthese
Essential University Physics Richard Wolfson 2 nd Edition
4-9-013 Chapter Hoofdstuk 6 Lecture 6 Essential University Physics Richard Wolfson nd Edition Arbeid, Energie, en Vermogen 01 Pearson Education, Inc. Slide 6-1 6.1 Arbeid door een Constante Kracht Voor
WEEK 1: Rekenen met Ongelijkheden bij Foutschattingen
WEEK 1: Rekenen met Ongelijkheden bij Foutschattingen 1. Beschouw twee stukken touw met lengten, respectievelijk L 1 = 7m en L 2 = 6m. Over deze lengten bestaat onzekerheid: L 1 kan fluctueren met maximaal
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica Tentamen Fysica in de Fysiologie (8N7) deel A1, blad 1/4 maandag 1 oktober 27, 9.-1.3 uur Het tentamen