Fibonacci op de universiteit
|
|
|
- Nele ten Wolde
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1
2 Fibonacci op de universiteit Bart Zevenhek January 16, 2008
3 De rij van Fibonacci: een manier om mijlen om te rekenen naar kilometers.
4 De rij van Fibonacci: een manier om mijlen om te rekenen naar kilometers. 2 mijl 3 kilometer,
5 De rij van Fibonacci: een manier om mijlen om te rekenen naar kilometers. 2 mijl 3 kilometer, 3 mijl 5 kilometer,
6 De rij van Fibonacci: een manier om mijlen om te rekenen naar kilometers. 2 mijl 3 kilometer, 3 mijl 5 kilometer, 5 mijl 8 kilometer.
7 De rij van Fibonacci: een manier om mijlen om te rekenen naar kilometers. 2 mijl 3 kilometer, 3 mijl 5 kilometer, 5 mijl 8 kilometer. De rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... Een Engelse mijl is kilometer.
8 Hoe moet dat dan met 7 mijl? De rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...
9 Hoe moet dat dan met 7 mijl? De rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... 7 gaat 3 keer in 21, 7 mijl is dus 34/3 = 11, kilometer.
10 Hoe moet dat dan met 7 mijl? De rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... 7 gaat 3 keer in 21, 7 mijl is dus 34/3 = 11, kilometer. Niet erg praktisch, maar kan dit altijd? En waarom werkt het eigenlijk?
11 Hoe moet dat dan met 7 mijl? De rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... 7 gaat 3 keer in 21, 7 mijl is dus 34/3 = 11, kilometer. Niet erg praktisch, maar kan dit altijd? En waarom werkt het eigenlijk? De gulden snede verhouding 1, 618 1, 609.
12 Een opgave in het blad Pythagoras De rij van Fibonacci, waarvan de elementen genoteerd worden met F i, wordt als volgt geconstrueerd: F 0 = 0, F 1 = 1, en verder geldt: F i = F i 1 + F i 2. Bewijs dat er voor elk positief geheel getal n oneindig veel getallen in de rij van Fibonacci zijn die een veelvoud zijn van n.
13 Een ontdekking bij het oplossen van de opgave F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 F 8 F 9 F 10 F 11 F 12 F 13 F
14 Een ontdekking bij het oplossen van de opgave F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 F 8 F 9 F 10 F 11 F 12 F 13 F TWEE VERMOEDENS: Als n 5 een priemgetal is, dan is n een deler van F n 1 of van F n+1. Als n niet een priemgetal is, dan is n geen deler van F n 1 of van F n+1.
15 Hendrik Lenstra, Leiden
16 Een teleurstelling... Vraag: Is dit een goede opgave voor een LIO?
17 Een teleurstelling... Vraag: Is dit een goede opgave voor een LIO? Antwoord: Het eerste is te bewijzen, maar...
18 Een teleurstelling... Vraag: Is dit een goede opgave voor een LIO? Antwoord: Het eerste is te bewijzen, maar... het bewijs is te makkelijk voor twee jaar onderzoek.
19 Een teleurstelling... Vraag: Is dit een goede opgave voor een LIO? Antwoord: Het eerste is te bewijzen, maar... het bewijs is te makkelijk voor twee jaar onderzoek. Het tweede is niet waar. Tegenvoorbeeld: n = is niet een priemgetal, maar wel een deler van F
20 Profinite Fibonacci numbers Artikel van Hendrik Lenstra in Nieuw Archief voor de Wiskunde , zie: hwl/papers/fibo.pdf. Onderzoek: niet-formele opzet formaliseren. Voorwaarde: eerst oorspronkelijke vraag uitzoeken!
21 Aan de slag bij Hendrik Lenstra. Exactheid bij alles: formuleringen, bewijzen, taalgebruik, uitspraak, beweringen, lay-out.
22 Aan de slag bij Hendrik Lenstra. Exactheid bij alles: formuleringen, bewijzen, taalgebruik, uitspraak, beweringen, lay-out. Afscheid van de gulden snede mythe.
23 Aan de slag bij Hendrik Lenstra. Exactheid bij alles: formuleringen, bewijzen, taalgebruik, uitspraak, beweringen, lay-out. Afscheid van de gulden snede mythe. Wiskundige taal: groepen, ringen, lichamen.
24 Aan de slag bij Hendrik Lenstra. Exactheid bij alles: formuleringen, bewijzen, taalgebruik, uitspraak, beweringen, lay-out. Afscheid van de gulden snede mythe. Wiskundige taal: groepen, ringen, lichamen. Programmeren met algebra-software (Magma) en schrijven in L A TEX.
25 Aan de slag bij Hendrik Lenstra. Exactheid bij alles: formuleringen, bewijzen, taalgebruik, uitspraak, beweringen, lay-out. Afscheid van de gulden snede mythe. Wiskundige taal: groepen, ringen, lichamen. Programmeren met algebra-software (Magma) en schrijven in L A TEX. Sfeer op de universiteit van Leiden.
26 Bewijs van opgave Pythagoras Bewijs dat er voor elk getal n oneindig veel getallen in de rij van Fibonacci zijn die een veelvoud zijn van n.
27 Bewijs van opgave Pythagoras Bewijs dat er voor elk getal n oneindig veel getallen in de rij van Fibonacci zijn die een veelvoud zijn van n. Voor gegeven getal n is de resten-rij periodiek. Bijv. voor n = 8:
28 Bewijs van opgave Pythagoras Bewijs dat er voor elk getal n oneindig veel getallen in de rij van Fibonacci zijn die een veelvoud zijn van n. Voor gegeven getal n is de resten-rij periodiek. Bijv. voor n = 8: En F 0 = 0... klaar! Zie: tijdschriften Euclides en Pythagoras.
29 Een moeizame start: het instapprobleem. De resten-rij voor n = 8: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 0, 5, 5, 2, 7, 1, 0, 1, 1,... Wanneer komt de tweede nul? nul(8) = 6 Wat is de periode? per(8) = 12 Hoe hangen per(n) en nul(n) af van n?
30 Een moeizame start: het instapprobleem. De resten-rij voor n = 8: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 0, 5, 5, 2, 7, 1, 0, 1, 1,... Wanneer komt de tweede nul? nul(8) = 6 Wat is de periode? per(8) = 12 Hoe hangen per(n) en nul(n) af van n? De orde van ϑ in de ring (Z/nZ)[X ]/(X 2 X 1) (waarbij ϑ de restklasse is van X in (Z/nZ)[X ]/(X 2 X 1) ).
31 Afronding van het instapprobleem. Voor priemgetal p 5 geldt: nul(p) is deler van F p 1 of van F p+1. Andere bewijzen in Fibonacci Quarterly, Hardy/Wright, door Frits Beukers. Tegenvoorbeelden: 323 = is deler van F 324, 100 tegenvoorbeelden onder de Artikelen voor tijdschriften Euclides en Pythagoras en op web, workshop zesde klassers, PO Wouter Berkelmans.
32 Een voorzichtig begin met het echte onderzoek. De laatste 10 cijfers van F n n F n n F n
33 Een duik in p-adische analyse, met p = 10. Wat is een 10-adisch getal? Oneindig veel cijfers van 0-9.
34 Een duik in p-adische analyse, met p = 10. Wat is een 10-adisch getal? Oneindig veel cijfers van 0-9. Een gewoon geheel getal is ook een 10-adisch getal. Bijv: 123 is 10-adisch:
35 Een duik in p-adische analyse, met p = 10. Wat is een 10-adisch getal? Oneindig veel cijfers van 0-9. Een gewoon geheel getal is ook een 10-adisch getal. Bijv: 123 is 10-adisch: Optellen en vermenigvuldigen gaan zoals in N van achteren naar voren : =
36 Een duik in p-adische analyse, met p = 10. Wat is een 10-adisch getal? Oneindig veel cijfers van 0-9. Een gewoon geheel getal is ook een 10-adisch getal. Bijv: 123 is 10-adisch: Optellen en vermenigvuldigen gaan zoals in N van achteren naar voren : = De ring Z 10
37 Een merkwaardige tabel De rij van Fibonacci: 10-adisch n F n n F n
38 De reeks van Fibonacci continu??? Als n naar gaat, dan gaat F n naar
39 De reeks van Fibonacci continu??? Als n naar gaat, dan gaat F n naar is hetzelfde als 1 want: = F 1 is gelijk aan 1:..., 8, 5, 3, 2, 1, 1, 0, 1 = F 1.
40 De reeks van Fibonacci continu??? Als n naar gaat, dan gaat F n naar is hetzelfde als 1 want: = F 1 is gelijk aan 1:..., 8, 5, 3, 2, 1, 1, 0, 1 = F 1. Dus als n naar 1 gaat, gaat F n naar F 1? Is F n continu?
41 De reeks van Fibonacci continu??? Als n naar gaat, dan gaat F n naar is hetzelfde als 1 want: = F 1 is gelijk aan 1:..., 8, 5, 3, 2, 1, 1, 0, 1 = F 1. Dus als n naar 1 gaat, gaat F n naar F 1? Is F n continu? Waarom gaat dit goed voor en niet voor ?
42 De reeks van Fibonacci continu??? Als n naar gaat, dan gaat F n naar is hetzelfde als 1 want: = F 1 is gelijk aan 1:..., 8, 5, 3, 2, 1, 1, 0, 1 = F 1. Dus als n naar 1 gaat, gaat F n naar F 1? Is F n continu? Waarom gaat dit goed voor en niet voor ? Periode van de resten-rij voor n = 10, 100, 1000 etc.
43 Pro-eindige getallen Oneindig veel cijfers, het k-de cijfer is een getal tussen 0 en k. Bijv: ( )! Ẑ = {(a n ) n 1 n 1 Z/nZ : voor elke n 1 en elke deler d van n geldt a n a d (mod d)}.
44 Pro-eindige getallen Oneindig veel cijfers, het k-de cijfer is een getal tussen 0 en k. Bijv: ( )! Ẑ = {(a n ) n 1 n 1 Z/nZ : voor elke n 1 en elke deler d van n geldt a n a d (mod d)}. Ẑ is een uitbreiding van Z, zoals R dat ook is. Op Ẑ kan je net als op R analyse bedrijven!
45 De uitbreiding van F n naar Ẑ. De rij van Fibonacci, F n, is een functie van N naar N en is uit te breiden tot een functie van Z naar Z. Deze functie is uit te breiden tot F van Ẑ naar Ẑ. F blijkt dan een continue functie te zijn! Om continuïteit te definiëren, heb je een topologie op Ẑ nodig...
46 Topologie en getaltheorie Wat betekent dicht bij elkaar in Ẑ? Topologie: wat is een open verzameling van Ẑ? Als we hierop antwoord hebben kunnen we spreken over: continuïteit limieten afgeleide machtreeksontwikkelingen
47 Topologie en getaltheorie Wat betekent dicht bij elkaar in Ẑ? Topologie: wat is een open verzameling van Ẑ? Als we hierop antwoord hebben kunnen we spreken over: continuïteit limieten afgeleide machtreeksontwikkelingen Hiermee kan je bijvoorbeeld de dekpunten van F vinden (voor welke s in Ẑ is s = F s?). Er blijken 11 dekpunten te zijn, waaronder F 0 = 0, F 1 = 1 en F 5 = 5.
48 Hoe is het om LIO te zijn bij Hendrik Lenstra? Aanstekelijk enthousiasme van Hendrik Lenstra, inspirerend, geniaal, didaktisch goed.
49 Hoe is het om LIO te zijn bij Hendrik Lenstra? Aanstekelijk enthousiasme van Hendrik Lenstra, inspirerend, geniaal, didaktisch goed. Nadeel: je voelt je zo klein...
50 Hoe is het om LIO te zijn bij Hendrik Lenstra? Aanstekelijk enthousiasme van Hendrik Lenstra, inspirerend, geniaal, didaktisch goed. Nadeel: je voelt je zo klein... Voordeel: je gaat je leerlingen weer beter begrijpen...
51 Hoe is het om LIO te zijn bij Hendrik Lenstra? Aanstekelijk enthousiasme van Hendrik Lenstra, inspirerend, geniaal, didaktisch goed. Nadeel: je voelt je zo klein... Voordeel: je gaat je leerlingen weer beter begrijpen... Op veel manieren in lespraktijk te gebruiken.
52 Behoefte aan meer? bzeven/ Hendrik Lenstra: hwl/ Leraar In Onderzoek: P.Stevenhagen, Syllabi ALGEBRA 1,2 en 3, Frits Beukers, Getaltheorie voor beginners Hardy/Wright, An Introduction to the Theory of Numbers A.van der Schoot, De ontstelling van Pythagoras
Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels
Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Trainingsweek juni 2008 Inleiding Voor a relatief priem met m hebben we de orde van a modulo m gedefinieerd als ord m (a) = min { n Z + a n 1 (mod m) }. De verzameling
Priemgetallen en de rij van Fibonacci, Vier artikelen voor het tijdschrift Pythagoras
Priemgetallen en de rij van Fibonacci, Vier artikelen voor het tijdschrift Pythagoras Bart Zevenhek 0 februari 008 Samenvatting In deze vier artikelen wordt ingegaan op enkele getaltheoretische eigenschappen
Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
(b) Formuleer het verband tussen f en U(P, f), en tussen f en L(P, f). Bewijs de eerste. (c) Geef de definitie van Riemann integreerbaarheid van f.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 2 juli 2015, 08:30 11:30 (12:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek Analysis
Geldwisselprobleem van Frobenius
Geldwisselprobleem van Frobenius Karin van de Meeberg en Dieuwertje Ewalts 12 december 2001 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Afspraken 3 3 Is er wel zo n g? 3 4 Eén waarde 4 5 Twee waarden 4 6 Lampenalgoritme
Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie
Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Jan De Beule, Tom De Medts en Jeroen Demeyer Voorwoord 1 Voorwoord Beste leerling, Deze nota s zijn bedoeld als begeleiding bij 6 lesuren Opgeloste
Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen
Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen
We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
Diophantische vergelijkingen in het kerstpakket
Diophantische vergelijkingen in het kerstpakket Benne de Weger [email protected] Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven versie.0, 3 december 00 De TU/e viert een feestje
Bijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica
Bijzondere getallen Oneindig (als getal) TomVerhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica [email protected] http://www.win.tue.nl/~wstomv/ Oneindig ... Oneindig 2 Top tien
FACTORISATIE EN CRYPTOGRAFIE
FACTORISATIE EN CRYPTOGRAFIE UvA-MASTERCLASS WISKUNDE 1993 P. Stevenhagen Faculteit Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam 1993 INLEIDING In deze masterclass zullen we ons voornamelijk bezighouden
Katernen. regionale training. tweede ronde. Nederlandse Wiskunde Olympiade
Katernen voor de regionale training ten behoeve van de tweede ronde van de Nederlandse Wiskunde Olympiade NEDERLANDSE WISKUNDE OLYMPIADE Birgit van Dalen Julian Lyczak Quintijn Puite Inhoudsopgave Katern
Z.O.Z. Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 16 juni 2016, 12:30 15:30 (16:30)
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 16 juni 016, 1:30 15:30 (16:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van aantekeningen
Wiskunde in vierde, vijfde en zesde klas Lezing
Wiskunde in vierde, vijfde en zesde klas Lezing 14-02-2006 BREUKEN Nog eenmaal pannenkoeken verdelen. De cirkel als meest gebruikte beeld bij de breuken Breukentafels: ½ - 2/4 3/6 4/8 enz. De breukenregels:
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
1 - Geschiedenis van de Algebra
1 - Geschiedenis van de Algebra De opdracht omschrijving voor dit hoofdstuk bestond uit het volgende: A1 - Maak 5 van de 19 opdrachten. Zorg voor nette uitwerkingen. Kies de 5 verspreid over de 19. A2
Wiskundige beweringen en hun bewijzen
Wiskundige beweringen en hun bewijzen Analyse (en feitelijk de gehele wiskunde) gaat over het bewijzen van beweringen (proposities), d.w.z. uitspraken waaraan de karakterisering waar of onwaar toegekend
Inleiding Analyse 2009
Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn
1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12
Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal
Universiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr.
Universiteit Gent Academiejaar 2001 2002 Discrete Wiskunde 1ste kandidatuur Informatica Collegenota s Prof. Dr. Frank De Clerck Herhalingsoefeningen 1. Bepaal het quotiënt en de rest van de deling van
Examen Complexe Analyse (September 2008)
Examen Complexe Analyse (September 2008) De examenvragen vind je op het einde van dit documentje. Omdat het hier over weinig studenten gaat, heb ik geen puntenverdeling meegegeven. Vraag. Je had eerst
Antwoorden probleem van de week. Antwoord week 1: Het volgende getal in de reeks is 289 Als je de oplossing van de bonusvraag hebt, mag je mailen.
Antwoorden probleem van de week In dit document staan alleen de antwoorden. Als je er niet uitgekomen bent, is dit dus een hulpmiddel om het probleem alsnog op te lossen. Kom je er ook met het antwoord
CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 1 11 februari 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 [email protected] Slides
Inleiding tot de Problem Solving - deel 1: Combinatoriek en getaltheorie
Inleiding tot de Problem Solving - deel 1: Combinatoriek en getaltheorie Jan Vonk 1 oktober 2008 1 Combinatoriek Inleiding Een gebied dat vandaag de dag haast niet onderschat kan worden binnen de wiskunde
Ter Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen
46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:
Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.
Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk
Eigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element.
Hoofdstuk 2 De regels van het spel 2.1 De gehele getallen Grof gezegd kunnen we de (elementaire) getaltheorie omschrijven als de wiskunde van de getallen 1, 2, 3, 4,... die we ook de natuurlijke getallen
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma Voorwoord Dit zijn aantekeningen voor het vak Discrete Wiskunde (2WC15), gegeven in het lentesemester van 2010. Dit vak bestaat uit twee delen: algoritmische
Spookgetallen. Jan van de Craats en Janina Müttel
Spookgetallen Jan van de Craats en Janina Müttel leadtekst In de serie Open Problemen deze keer drie beroemde onopgeloste raadsels. Je kunt er geen miljoen dollar mee winnen, maar wel onsterfelijke roem.
Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)
Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen
Oneindig in Wiskunde & Informatica. Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft. Tom Verhoeff
Oneindig in Wiskunde & Informatica Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft Tom Verhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica http://www.win.tue.nl/~wstomv/
Volledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen.
Hoofdstuk 7 Volledige inductie Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen we het volgende: (i) 0 V (ii) k N k V k + 1 V Dan is V = N. Men ziet dit als
OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN
OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal
RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002
RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven
De telduivel Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen
De telduivel Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen Een praktische opdracht voor leerlingen van 5 VWO met wiskunde B DE TELDUIVEL Inleiding Wiskunde? Hou op zeg!
Universiteit Leiden, 2015 Wiskundewedstrijdtraining, week 14
Universiteit Leiden, 0 Wisundewedstrijdtraining, wee Wee : reesen Een rees is een speciaal soort rij, dus: den altijd eerst na over convergentie! bijzonder: monotone, begrensde rijen convergeren In het
Hoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties
Hoofdstuk 6 Congruentierekening 6.1 Congruenties We hebben waarschijnlijk allemaal wel eens opgemerkt dat bij vermenigvuldigen van twee getallen de laatste cijfers als het ware meevermenigvuldigen. Stel
Enkele valkuilen om te vermijden
Enkele valkuilen om te vermijden Dit document is bedoeld om per onderwerp enkele nuttige strategieën voor opgaven te geven. Ook wordt er op een aantal veelgemaakte fouten gewezen. Het is géén volledige
De rij van Fibonacci in Z/nZ
De rij van Fibonacci in Z/nZ Bart Zevenhek 16 mei 2007 Samenvatting Om de deelbaarheidseigenschappen van de rij van Fibonacci te onderzoeken, ligt het voor de hand om de rij te definiëren binnen Z/nZ en
FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j
FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van
OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π
OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. In deze nota buigen we ons over de vraag of een macht van π een irrationaal getal is. De aangereikte opbouw en bewijsmethoden zijn
Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte
Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal
Groepen, ringen en velden
Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:
De telduivel. Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen
De telduivel Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen Een praktische opdracht voor leerlingen van 5VWO met wiskunde B DE TELDUIVEL Inleiding Wiskunde? Hou op zeg! Voor
1. (a) Formuleer het Cauchy criterium voor de convergentie van een reeks
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 7 augustus 2015, 16:30 19:30 (20:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek
Wiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek [email protected] Natuurkunde hobbyist Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College
1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3
HOOFDSTUK 6: RIJEN 1 Limiet van een rij 2 1.1 Het begrip rij 2 1.2 Bepaling van een rij 2 1.2.1 Expliciet voorschrift 2 1.2.2 Recursief voorschrift 3 1.2.3 Andere gevallen 3 1.2.4 Rijen met de grafische
Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen
Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:
VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN
I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN Het begrip verzameling kennen we uit het dagelijks leven: een bibliotheek bevat een verzameling van boeken, een museum een verzameling van kunstvoorwerpen. We kennen verzamelingen
7.1 Het aantal inverteerbare restklassen
Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo
Dossier 3 PRIEMGETALLEN
Dossier 3 PRIEMGETALLEN atomen van de getallenleer Dr. Luc Gheysens Een priemgetal is een natuurlijk getal met twee verschillende delers, nl. 1 en het getal zelf. De priemgetallen zijn dus 2, 3, 5, 7,
PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5
2015-2015 PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 Inhoud Kenmerken van deelbaarheid (herhaling)...1 Ontbinden in factoren...1 Priemgetallen (herhaling)...2 Ontbinden in priemfactoren...2 KGV (Kleinste Gemene
Diophantische vergelijkingen
Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten
Cover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.
Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/20310 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Jansen, Bas Title: Mersenne primes and class field theory Date: 2012-12-18 Samenvatting
Elliptische krommen en digitale handtekeningen in Bitcoin
Elliptische krommen en digitale handtekeningen in Bitcoin Bas Edixhoven Universiteit Leiden KNAW Bitcoin symposium Deze aantekeningen zal ik op mijn homepage plaatsen. Bas Edixhoven (Universiteit Leiden)
GETALTHEORIE 1. de Leuke En Uitdagende Wiskunde 1, 2, 3, 4, 5, 1, 3, 6, 10, 15, 1, 4, 9, 16, 25, 1, 5, 12, 22, 35, 1, 6, 15, 28, 65,
GETALTHEORIE 1 1, 2, 3, 4, 5, 1, 3, 6, 10, 15, 1, 4, 9, 16, 25, 1, 5, 12, 22, 35, 1, 6, 15, 28, 65, SAMENSTELLING: H. de Leuw - 1 - 1. NATUURLIJKE GETALLEN. Als kind hebben we allemaal leren tellen: 1,
Lineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 Familienaam:....................................................................... Voornaam:.........................................................................
Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos
Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos Wobien Doyer Lieke de Rooij Volgens de titel is deze puzzel zonder doel, dus zonder bekende toepassing. Het doel is echter nul en dat is zeker in de wiskunde niet niks.
Bestaat er dan toch een wortel uit 1?
Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn
Dossier 1 SYMBOLENTAAL
Dossier 1 SYMBOLENTAAL basis voor wiskundige communicatie Dr. Luc Gheysens Wiskundigen hebben een eigen symbolentaal waarmee ze onderling communiceren, redeneringen en bewijzen neerschrijven, mathematische
1 Rekenen in eindige precisie
Rekenen in eindige precisie Een computer rekent per definitie met een eindige deelverzameling van getallen. In dit hoofdstuk bekijken we hoe dit binnen een computer is ingericht, en wat daarvan de gevolgen
Bewijs door inductie
Bewijs door inductie 1 Bewijs door inductie Vaak bestaat een probleem erin aan te tonen dat een bepaalde eigenschap geldt voor elk natuurlijk getal. Als je wilt weten of iets waar is voor alle natuurlijke
priemgetallen en verzamelingen Jaap Top
priemgetallen en verzamelingen Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT [email protected] 21 april 2009 (Collegecaroussel, Groningen) 1 In de biografie Gauss zum Gedächtnis (1862, door de Duitse geoloog Wolfgang Sartorius
2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.
Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt
V.2 Limieten van functies
V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de
handleiding ontbinden
handleiding ontbinden inhoudsopgave inhoudsopgave de grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 4 Applets 4 1 met gegeven product 4 ontbinden van getallen 4 3 vergelijkingen 5 4 onderzoek 6 tijdpad 9 materialen
De Chinese reststelling
De Chinese reststelling 1 Inleiding 1. De Chinese reststelling is een stelling binnen de getaltheorie. De stelling werd voor het eerst beschreven in de vierde eeuw na Chr. door de Chinese wiskundige Sunzi
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking 10 december 2013, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is
1. REGELS VAN DEELBAARHEID.
REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden
RESULTATEN BEVRAGING ASO
Pagina 1 van 5 (34 scholen hebben de bevraging ingevuld) 1 Overzicht studierichtingen en complementaire uren Ingericht Alleen 6 uur Zowel 6 als 8 uur Andere (*) ECWI 33 23 4 6 GRWI 9 2 6 1 LAWI 27 8 13
META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen
META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek
Opgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep.
Opgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht
Opgaven Inleiding Analyse
Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van iet dat y 0 y = 0. (b) Bewijs y 0 y 3 = 0 uit de definitie van iet. (c) Bewijs y 0 y 3
Bijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica
Bijzondere getallen Oneindig (als getal) TomVerhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica [email protected] http://www.win.tue.nl/~wstomv/ Oneindig Bijzondere getallen Er
Wanneer zijn veelvouden van proniks proniks?
1 Uitwerking puzzel 92-1 Wanneer zijn veelvouden van proniks proniks? Harm Bakker noemde het: pro-niks voor-niks De puzzel was voor een groot deel afkomstig van Frits Göbel. Een pronik is een getal dat
Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)
Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren
Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen
Opmerking TI1300 Redeneren en Logica College 2: Bewijstechnieken Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor alle duidelijkheid: Het is verre van triviaal om definities te leren hanteren, beweringen op te lossen,
Hoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen
Hoofdstuk 3 Equivalentierelaties SCHAUM 2.8: Equivalence Relations Twee belangrijke voorbeelden van equivalentierelaties in de informatica: resten (modulo rekenen) en cardinaliteit (aftelbaarheid). 3.1
Examenvragen Hogere Wiskunde I
1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies
Domeinbeschrijving rekenen
Domeinbeschrijving rekenen Discussiestuk ten dienste van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Rekenen en Taal auteur: Jan van de Craats 11 december 2007 Inleiding Dit document bevat een beschrijving van
Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00
Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 6 Maandag januari, 9- Faculteit EWI Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven Alle antwoorden dienen beargumenteerd te worden Normering: punten
Gehelen van Gauss. Hector Mommaerts
Gehelen van Gauss Hector Mommaerts 2 Hoofdstuk 1 Definities Gehelen van Gauss zijn complexe getallen van de vorm a + bi waarbij a, b Z. De verzameling van alle gehelen van Gauss noteren we met Z(i). Dus
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen
Wat betekent oneindig in de Wiskunde?
Wat betekent oneindig in de Wiskunde? Tá scéiĺın agam K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Sittard, 14 Februari 2019 K. P. Hart Wat betekent oneindig in de Wiskunde? 1 / 39 Oneindig betekent niet-eindig.
Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde 2012
Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde 202 Cor Kraaikamp August 24, 202 Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde
Wiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les : Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek [email protected] Natuurkunde hobbyist verzicht colleges. College. Goniometrie 2. Vectoren 2. College 2. Matrixen
Bijzondere kettingbreuken
Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar