4051CALC1Y Calculus 1

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "4051CALC1Y Calculus 1"

Gijs de Jong
9 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 4051CALC1Y Calculus 1 College oktober

2 Programma Vanmiddag Populatiemodellen (8.5) 2

3 Natuurlijke groei Definitie De oplossing voor de differentiaal vergelijking wordt gegeven door dt = kp, P 0 = P 0 P t = P 0 e kt met constante birth β en death rate δ en k = β δ > 0. 3

4 Natuurlijke groei Bewijs dt = kp, P 0 = P 0 dt = kp 1 P = k dt 1 P = k dt = ln P = kt + c = ln P P = e kt+c = e c e kt P 0 = e c = P 0 P t = P 0 e kt 4

5 Populatie model Definitie Als de birth rate β en death rate δ afhangen van de tijd, dan wordt de differentiaal vergelijking gegeven door dt = β t δ t P. Dit is de algemene populatie vergelijking. 5

6 Logistische vergelijking Toepassing In de praktijk kan het gebeuren dat de birth rate afneemt als de populatie toeneemt. Dit is bijvoorbeeld het geval als β een lineaire dalende functie is van de populatie P. Als β = β 0 β 1 P met β 0, β 1 > 0 en δ = δ 0 dan dt = β 0 β 1 P δ 0 P = β 0 P β 1 P 2 δ 0 P = ap bp 2 met a = β 0 δ 0 en b = β 1. Als a, b > 0 dan heet dit de logistische vergelijking. 6

7 Logistische vergelijking Definitie De logistische vergelijking dt = ap bp2 met a = β 0 δ 0 en b = β 1, kan ook worden geschreven als dt = kp(m P) met k = b = β 1 en M = a b = β 0 δ 0 β 1. De oplossing voor deze differentiaal vergelijking is P t = MP 0 P 0 + M P 0 e kmt. 7

8 Logistische vergelijking Bewijs dt = kp M P, P 0 = P 0 1 P M P = k dt 1 P M P = k dt = kt + c = 1 M 1 P + 1 M P = 1 M ln P ln M P = 1 M ln P M P ln P M P = Mkt + Mc P M P = emc e Mkt 8

9 Logistische vergelijking Bewijs dt = kp M P, P 0 = P 0 P M P = emc e Mkt P 0 M P 0 = e Mc Als M > P P 0 dan P M P = P 0 M P 0 e Mkt. Als M < P P 0 dan P P M = P 0 P 0 M emkt P M P = P 0 M P 0 e Mkt. 9

10 Logistische vergelijking Bewijs P M P = P 0 M P 0 e Mkt P = M P P 0 M P 0 e Mkt = M P 0 M P 0 e Mkt P P 0 M P 0 e Mkt P + P P 0 M P 0 e Mkt = MP 0 M P 0 e Mkt = P 1 + P 0 M P 0 e Mkt P = MP 0 M P 0 e Mkt 1 + P 0 M P 0 e Mkt = MP 0 M P 0 e Mkt + P 0 10

11 Logistische vergelijking De oplossing van de differentiaal vergelijking dt wordt gegeven door = kp(m P) P t = MP 0 P 0 + M P 0 e kmt. Voorbeeld dt = 0,06P 0,0004P2 = 0,0004P(150 P) De oplossing wordt gegeven door P t = 150P 0 P P 0 e 0, t = 150P 0 P P 0 e 0,06t. 11

12 Logistische vergelijking De oplossing van de differentiaal vergelijking dt wordt gegeven door = kp(m P) P t = MP 0 P 0 + M P 0 e kmt. Voorbeeld P(t) = 150P 0 P P 0 e 0,06t lim P(t) = 150 onafhankelijk van P 0. t 12

13 Logistische vergelijking Stelling Voor de logistische vergelijking geldt dat P t = dt = kp(m P) met oplossing MP 0 P 0 + M P 0 e kmt. lim P t = t M als k, M > 0. 13

14 Logistische vergelijking Stelling Voor de logistische vergelijking = kp(m P) met oplossing dt MP 0 P t = P 0 + M P 0 e kmt geldt dat lim P t = M als k, M > 0. t 1. Als P 0 = M, dan P t = M. 2. Als 0 < P 0 < M, dan neemt P t van onder toe naar M. 3. Als P 0 > M, dan neemt P t van boven af naar M. 14

15 Logistische vergelijking Stelling Voor de logistische vergelijking = kp(m P) met oplossing dt MP 0 P t = P 0 + M P 0 e kmt geldt dat lim P t = M als k, M > 0. t P M M/2 P = M P = M/2 t 15

16 Logistische vergelijking Voor de logistische vergelijking = kp(m P) met oplossing dt MP 0 P t = P 0 + M P 0 e kmt geldt dat lim P t = M als k, M > 0. t Voorbeeld In 1885 was de populatie 50 miljoen met een groeitoename van mensen per jaar 0,75 = 50k(M 50). In 1940 was de populatie 100 miljoen met een groeitoename van 1 miljoen per jaar 1 = 100k(M 100). De populatie voldoet aan de logistische vergelijking. k = 0,0001 en M =

17 Uitsterven of uitbreiden Definitie Als de birth rate gegeven wordt door β = kp (proportioneel toeneemt met P) en de death rate δ constant is, dan geldt dt = met M = δ k > 0. kp δ P = kp2 δp = kp P M 17

18 Uitsterven of uitbreiden Voorbeeld Een dierenpopulatie wordt beschreven door dt = 0,0004P2 0,06P = 0,0004P(150 P). De oplossing van deze differentiaal vergelijking wordt gegeven door P t = 150P 0 P P 0 e 0,06t. 18

19 Uitsterven of uitbreiden Voorbeeld P t = 150P 0 P P 0 e 0,06t P 0 = 200 P t = e 0,06t lim t ln 4 0,06 P(t) = P 0 = 100 P t = e 0,06t lim P(t) = 0 t 19

20 Uitsterven of uitbreiden Definitie Als de birth rate gegeven wordt door β = kp (proportioneel toeneemt met P) en de death rate δ constant is, dan geldt dt = met M = δ k > 0. kp δ P = kp2 δp = kp P M 1. Als P 0 = M, dan P t = M. 2. Als P 0 > M, dan lim t T P(t) =. 3. Als P 0 < M, dan lim t P(t) = 0. 20

21 Samenvatting De oplossing voor de differentiaal vergelijking = kp, P 0 = P dt 0 wordt gegeven door P t = P 0 e kt met constante birth β en death rate δ en k = β δ > 0. Dit heet natuurlijke groei. Als de birth rate β en death rate δ afhangen van de tijd, dan wordt de differentiaal vergelijking gegeven door = β t δ t P. Dit is de algemene populatie vergelijking. dt Voor de logistische vergelijking P t = MP 0 P 0 + M P 0 e dt kmt geldt dat lim t = kp(m P) met oplossing P t = M als k, M > 0. Als = kp P M met M = δ > 0 dan geldt 1) P t = M als dt k P 0 = M, 2) lim P(t) = als P t T 0 > M of 3) lim P(t) = 0 als P 0 < M. t 21

22 Opgaven maken Hoofdstuk 8.4 Opgaven: 1, 2, 5, 13, 20, 23, 27, 28, 32, 34, 42 22

Vergelijkbare documenten

4051CALC1Y Calculus 1

4051CALC1Y Calculus 1 College 20 20 oktober 2014 1 Programma Vanmorgen Integrerende factor (8.4) Vanmiddag Populatiemodellen (8.5) 2 Herhaling Als de differentiaal vergelijking wordt gegeven door dy dx