Ruimtemeetkunde. (

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Ruimtemeetkunde. (http://www.boredpanda.com/3d-lines-notepad-drawings-15-years-old-joao-carvalho/)"

Transcriptie

1 Ruimtemeetkunde (

2 ) Herhaling a) Grondbegrippen en notaties In de ruimtemeetkunde zijn de bouwstenen punten, rechten en vlakken Punten duiden we aan met hoofdletters ( A, B,), rechten met kleine letters ( a, b,) en vlakken met Griekse letters ( α, β,) Een punt A ligt op een rechte a noteren we A a (letterlijk: A is een element van a) Een punt A ligt in een vlak α noteren we A α (letterlijk: A is een element van α ) Een rechte a ligt in een vlak α noteren we a α (letterlijk: a is een deelverzameling van α ) Punten die tot eenzelfde rechte behoren noemen we collineair Punten (en rechten) die tot eenzelfde vlak behoren noemen we coplanair Rechten die door eenzelfde punt gaan heten concurrent Wat betreft het voorstellen van ruimtelijke situaties spreken we het volgende af: Evenwijdige rechten worden ook op de tekening evenwijdig getekend Gelijke lijnstukken die evenwijdig zijn, worden als gelijke lijnstukken getekend Onzichtbare lijnen worden in streeplijn getekend b) Bepalen van een vlak Een vlak kunnen we eenduidig bepalen op vier verschillende manieren: Drie niet-collineaire punten Een rechte en een punt niet op die rechte gelegen Twee snijdende rechten Twee strikt evenwijdige rechten Een vlak bepaald door (bvb) de evenwijdige rechten a en b noteren we met vl( a, b ) c) Onderlinge ligging van twee rechten In de vlakke meetkunde (en bij uitbreiding dus ook in de ruimte) kennen we reeds 3 mogelijke onderlinge liggingen van twee rechten Rechten kunnen in een vlak samenvallend, snijdend of strikt evenwijdig zijn In de ruimte is er echter nog een vierde mogelijk: kruisend AB en AD zijn snijdend AD en BC zijn strikt evenwijdig AD en BT zijn kruisend Twee rechten zijn dus kruisend als ze noch snijdend, noch evenwijdig zijn Ze liggen dus nooit in hetzelfde vlak d) Onderlinge ligging van twee vlakken Voor de onderlinge ligging van twee vlakken α en β zijn er drie mogelijkheden: Ze zijn samenvallend: α β = α = β Cursus ruimtemeetkunde S Mettepenningen

3 Ze zijn strikt evenwijdig: α β = Ze zijn snijdend: α β = s, met s de snijlijn van beide vlakken Ondervlak en bovenvlak zijn strikt evenwijdig vl( ABC) vl( EFG), vl( ABC) vl( EFG) = Ondervlak en zijvlak zijn snijdend vl( ABC) vl( BCG) = BC e) Onderlinge ligging van een rechte en een vlak Ook voor de onderlinge ligging van een vlak α en een rechte a zijn er drie mogelijkheden: De rechte ligt in het vlak: a α = a (wordt ook genoteerd met a α ) De rechte is strikt evenwijdig aan het vlak: a α = De rechte snijdt het vlak: a α { S} = AB ligt in vl( ABC ): AB vl( ABC) GH en vl( ABC ) zijn strikt evenwijdig: GH vl( ABC) = BF snijdt vl( ABC ): BF vl( ABC) = { B} f) Evenwijdigheid bij vlakken en rechten Gevolgen: Twee verschillende vlakken die een punt gemeen hebben, snijden elkaar en hun snijlijn gaat door dat punt Als een vlak één van twee evenwijdige rechten snijdt, dan snijdt het ook de andere rechte Een rechte is evenwijdig met een vlak als ze evenwijdig is met een rechte van dat vlak Trek je aan een rechte evenwijdig met een vlak, een evenwijdige door een punt van dat vlak, dan ligt die evenwijdige in dat vlak Twee rechten die evenwijdig zijn aan een derde rechte, zijn ook onderling evenwijdig Als een rechte evenwijdig is met twee snijdende vlakken dan is ze dat ook met hun snijlijn Als men door een rechte evenwijdig aan een vlak een ander vlak aanbrengt dat het oorspronkelijke vlak snijdt, dan is de snijlijn evenwijdig met de oorspronkelijke rechte Als twee snijdende rechten van een vlak evenwijdig zijn met een ander vlak, dan zijn ook deze vlakken evenwijdig Twee vlakken zijn evenwijdig als en slechts als twee snijdende rechten van het ene vlak evenwijdig zijn met twee snijdende rechten van het andere vlak Cursus ruimtemeetkunde 3 S Mettepenningen

4 Door een punt buiten een vlak gelegen bestaat er juist één vlak evenwijdig ermee Alle rechten door een punt evenwijdig met een vlak liggen in één (evenwijdig) vlak De snijlijnen van twee strikt evenwijdige vlakken met een derde vlak zijn onderling evenwijdig Bij wijze van voorbeeld bewijzen we hier stellingen, en Geg: twee rechten // TB: b// α a b en een vlak α zodat a α { A} = Bewijs: Evenwijdigheid houdt twee mogelijkheden in (samenvallend en strikt evenwijdig): ) Als a en b samenvallend zouden zijn is het gestelde evident ) Als a en b strikt evenwijdig zijn bepalen ze een vlak vl( a, b) β = Aangezien A α β snijden de vlakken α en β elkaar in een rechte s (stelling ) Noem B het snijpunt van s en b (dit bestaat want a en b liggen in een vlak en a snijdt s), dan ligt B dus ook in α (B s α B α ) B is het enige snijpunt van b met α want mocht er nog één zijn, dan zou het al zeker niet op s kunnen liggen, en dan zouden α en β drie niet-collineaire punten gemeenschappelijk hebben, en dus samenvallen (wat niet kan want a snijdt α ) Geg: drie rechten a, b, c zodat a// b b// c TB: a// c Bewijs: We stellen dat a, b, c verschillende rechten zijn We overlopen de liggingen voor a en c: ) a snijdt cin een punt S : dan zouden er in het vlak vl( b, S ) twee verschillende rechten bestaan door S die evenwijdig zijn met b, wat uiteraard niet kan ) a kruist c: neem een willekeurig punt A a, en beschouw het vlak vl( c, A) γ = Vermits a en c kruisend zijn liggen ze niet in hetzelfde vlak, dus snijdt de rechte a het vlak γ (in het punt A) We gebruiken nu tweemaal stelling : a snijdt γ en a// b b snijdt ook γ b snijdt γ en b// c Dat laatste is uiteraard onmogelijk want c γ 3) De enige resterende mogelijkheid is dat a// c c snijdt ook γ Cursus ruimtemeetkunde 4 S Mettepenningen

5 Geg: drie vlakken α, β, λ zodat α// β (en α β = ), β λ = b TB: a// b Bewijs: α λ = a en a en b liggen in λ en zijn dus ofwel snijdend, ofwel evenwijdig: ) a snijdt b in een punt S : dan ligt S zowel in α als in β want S a α en S b β Maar dit kan niet want α β = ) a// b is de resterende mogelijkheid g) Loodrechte stand in de ruimte Def: De hoek tussen twee kruisende rechten is de hoek die je bekomt door één van de rechten te verschuiven tot ze de ander snijdt: ab = a ' b met '// = a a en a' b { S} Def: Een rechte staat loodrecht op een vlak als en slechts als ze loodrecht staat op elke rechte ervan Def: Twee vlakken staan loodrecht op elkaar als en slechts als het ene een loodlijn op het andere omvat Een rechte staat loodrecht op een vlak als en slechts als ze loodrecht staat op twee snijdende rechten van dat vlak Er bestaat juist één loodlijn uit een punt op een vlak Er bestaat juist één loodvlak uit een punt op een rechte Loodlijnen op eenzelfde vlak zijn evenwijdig Loodvlakken op eenzelfde rechte zijn evenwijdig Als één van twee evenwijdige rechten loodrecht staat op een vlak, dan ook de andere Als één van twee evenwijdige vlakken loodrecht staat op een rechte, dan ook het andere Een vlak dat loodrecht staat op een ander vlak, staat ook loodrecht op elk vlak dat daarmee evenwijdig is De snijlijn van twee vlakken die loodrecht staan op een derde vlak, staat ook loodrecht op dat vlak Stelling : Twee vlakken die loodrecht staan op twee rechten die loodrecht op elkaar staan, zijn ook onderling loodrecht Twee rechten die loodrecht staan op twee vlakken die loodrecht op elkaar staan, zijn ook onderling loodrecht Bij wijze van voorbeeld bewijzen we hier stelling Geg: twee vlakkenα en β en een rechte r zodat r α r β TB: α β Bewijs: Beschouw twee verschillende vlakken λ en λ die r omvatten λ snijdt α in een rechte a en β in een rechte b Omdat α en β beide loodvlakken op r zijn geldt a r b r a b λ snijdt α in een rechte a en β in een rechte b Omdat α en β beide loodvlakken op r zijn geldt a r b r a b Twee snijdende rechten van α zijn dus evenwijdig met twee snijdende rechten van β α en β zijn evenwijdig (stelling ) Cursus ruimtemeetkunde 5 S Mettepenningen

6 h) Afstanden en hoeken in de ruimte Hoek van twee vlakken Def: De hoek die twee vlakken met elkaar maken is de hoek gevormd door twee loodlijnen op de snijlijn, die in de vlakken liggen Hoek van een rechte en een vlak Def: De hoek die een rechte met een vlak maakt (de rechte mag niet in het vlak liggen, noch er loodrecht op staan) is de hoek die de rechte insluit met haar loodrechte projectie op dat vlak i) Oppervlakte en inhoud van ruimtefiguren De volgende formules kennen we al enkele jaren: Ruimtefiguur Figuur Oppervlakte Volume Kubus A = 6z 3 V = z = + + V = lhd Balk A ( ld dh hl) Prisma A = som der zijvlakken V = A h G Piramide A = som der zijvlakken V = A 3 G h Kegel A = πr + πra (met a = r + h ) V = π 3 r h Cilinder A = πr + πrh V = π r h Bol A = 4πr 4 V = πr 3 3 Cursus ruimtemeetkunde 6 S Mettepenningen

7 ) Vectoren & coördinaten a) Definities en notaties Een vector is een wiskundige grootheid die een grootte, een richting en een zin heeft In het vlak kunnen we vectoren voorstellen als een pijl tussen twee punten We noteren een vector bepaald door beginpunt A en eindpunt B meestal als AB, of onafhankelijk van deze punten als v De grootte van een vector AB noteren we als AB, dit is de lengte van het lijnstuk AB De vector met lengte 0 noemen we de nulvector en noteren we met o Bij de grafische voorstelling van een vector moet ook het beginpunt of aangrijpingspunt gekend zijn Mag dit punt vrij gekozen worden, dan spreken we over vrije vectoren en in het andere geval van gebonden vectoren Een vrije vector kan je beschouwen als een vector die je vrij kan verschuiven Twee vectoren zijn gelijk als ze dezelfde grootte, richting en b) Bewerkingen met vectoren Tegengestelde van een vector zin hebben Zo geldt op de figuur hiernaast PQ = a = v representanten van dezelfde vector De tegengestelde van een vector is de vector met dezelfde grootte en richting maar tegengestelde zin We noteren de tegengestelde vector van a uiteraard als a Scalair product van een vector met een reëel getal Vermenigvuldigen we een vector met een positief getal dan blijven richting en zin dezelfde maar vermenigvuldigen we de grootte van de vector met dat getal Bij vermenigvuldiging met een negatief getal draai je de zin om (dus neem je de tegengestelde vector) Som van twee vectoren Om de som van twee vectoren x en y te bekomen moet je het beginpunt van y naar het eindpunt van x te verplaatsen De som is dan de vector met als beginpunt dat van vector x en eindpunt dat van y Zo geldt op de figuur hiernaast dat s = x+ y Het zijn allemaal Vaak wordt ook de parallellogramregel gebruikt om de som van twee vectoren te construeren De som van twee vectoren is dan de diagonaal van het parallellogram met als zijden de twee vectoren Het is duidelijk dat voor vectoren de formule van Chasles-Mobius geldt: AB+ BC = AC Cursus ruimtemeetkunde 7 S Mettepenningen

8 Verschil van twee vectoren x y = x+ y Per definitie stellen we ( ) c) Het begrip reële vectorruimte Noteren we de verzameling van alle vrije vectoren als V, dan gelden de volgende eigenschappen: v, v V: v + v V (de optelling van vectoren is inwendig) v, v V : v + v = v + v (de optelling van vectoren is commutatief) o V, v V : o + v = v = v + o (er is een neutraal element voor de optelling van vectoren) v V, v V : v + ( v) = v + v = o (elke vector heeft een symmetrisch element) v, v, v 3 V :( v + v ) + v 3 = v + ( v + v 3) (de optelling van vectoren is associatief) v V, r R: rv V (het scalair product van een vector met een reëel getal is een vector) v V, r, r R: r ( r v ) = ( r r ) v (de scalaire vermenigvuldiging is gemengd associatief) v, v V, r R: r ( v + v) = rv + rv ( de scalaire vermenigvuldiging is distributief ten v V, r ( ) opzichte van zowel de optelling in R als in V ), r R: r + r v = r v + r v v V : v = v = v ( is het neutraal element voor de scalaire vermenigvuldiging) In de wiskunde zeggen we dankzij deze 0 eigenschappen dat RV,, + een reële vectorruimte is d) Puntvectoren Kiezen we in de ruimte een willekeurig punt O (dat we de oorsprong zullen noemen) dan bepaalt elk punt van de ruimte een gebonden vector OP, die we kortweg met P zullen noteren We kunnen elke vector noteren als verschil van twee puntvectoren, want wegens de formule van Chasles- Mobius geldt: AB = AO+ OB = OA+ OB = A+ B = B A De verzameling van alle puntvectoren noemen we de ruimte met oorsprong en we noteren deze verzameling met O e) Coördinatenstelsels Kiezen we in de ruimte drie puntvectoren E, E en E3 in een verschillende richting (en die niet in hetzelfde vlak liggen) dan kunnen we elk punt op een unieke manier schrijven als lineaire combinatie van die drie vectoren We noemen die drie gekozen vectoren de basisvectoren van het assenstelsel P, x, y, z R : P = x E + y E + z E Symbolisch: 3 We noemen het bijhorende getallentripel ( x, y, z ) de coördinaat van P ten opzichte van het assenstelsel OEE E3, en noteren co( P) = ( x, y, z) Cursus ruimtemeetkunde 8 S Mettepenningen

9 De rechten OE, OE en OE 3 noemen we respectievelijk de x-as, y -as en z -as Kiezen we de drie basisvectoren E, E en E3 onderling loodrecht op elkaar, dan noemen we het assenstelsel orthogonaal Zijn ze bovendien even groot, dus E = E = E3, dan spreken we van een georthonormeerd assenstelsel 3 f) De reële vectorruimte RR,,+ Door het invoeren van coördinaten ontstaat er een bijectie (één-één verband) tussen de verzameling vectoren V en de verzameling reële drietallen 3 overgedragen van V naar R, want: Som van twee vectoren v, v V, met co( v) = ( x, y, z) v + v = x E + y E + z E3 + x E + y E + z E3 = ( x + x) E + ( y + y) E + ( z + z) E3 co v + v = x + x, y + y, z + z = co v + co v Scalair product van r R, met een vector v co v rv = r( x E + y E + z E3) = rx E + ry E + rz E3 co rv = rx, ry, rz = rco v 3 R Ook de optelling van vectoren en het scalair product worden en co( v ) = ( x, y, z ) Dus ( ) ( ) ( ) ( ) V, met ( ) = ( x, y, z ) Dus ( ) ( ) ( ) We kunnen dus besluiten dat ook g) Rekenen met puntvectoren 3 RR,,+ een reële vectorruimte is : : Midden van een lijnstuk M is het midden van [ AB ] A+ B AM = MB M A = B M M = Dus ook voor de coördinaten geldt: co( A) + co( B) xa + xb ya + yb za + zb co( M ) = M,, Zwaartepunt van een driehoek Dus ook: co( Z) Z is het zwaartepunt van ABC: AZ = ZM Z A = ( M Z) 3Z = A+ M B+ C Uit het voorgaande weten we dat M =, dus A+ B+ C 3Z = A+ B+ C Z = 3 co( A) + co( B) + co( C) xa + xb + xc ya + yb + yc za + zb + zc = Z,, Cursus ruimtemeetkunde 9 S Mettepenningen

10 3) Vergelijkingen van rechten en vlakken a) De vergelijking van een rechte Vectorrechte Richtingsvectoren Richtingsgetallen In twee dimensies weten de dat een rechte bepaald is door twee punten of door een punt en een richting(scoëfficiënt) In de ruimte blijft dit gelden, maar werken we met een richtingsvector Elke rechte r heeft een evenwijdige rechte r O die door de oorsprong van het assenstelsel gaat We noemen deze rechte r de bijhorende vectorrechte bij die rechte r Elk punt R O van deze vectorrechte verschillend van de oorsprong bepaalt een puntvector die we een richtingsvector van de rechte r noemen Volgende eigenschappen zijn onmiddellijk duidelijk: R en R zijn beide richtingsvectoren van eenzelfde rechte k R 0: R = k R Evenwijdige rechten bepalen dezelfde vectorrechte en hebben dus dezelfde richtingsvectoren Als we twee punten P en P kennen, dan is P P een richtingsvector van rechte PP De coördinaat van een richtingsvector R van rnoemen we een stel richtingsgetallen van r Het is duidelijk dat richtingsgetallen van een rechte slechts op een evenredigheidsfactor na bepaald zijn, net zoals richtingsvectoren Vertalen we de voorgaande drie eigenschappen in termen van richtingsgetallen, dan krijgen we: ( a, b, c ) en (,, ) k :( a, b, c ) = k ( a, b, c ) a b c zijn twee stellen richtingsgetallen van eenzelfde rechte R, of dus nog a = k a b = k b c = k c 0 Richtingsgetallen van evenwijdige rechten zijn gelijk op een evenredigheidsfactor na P ( x, y, z ) r en P ( x, y, z ) r dan is ( x x, y y, z z ) de rechte r een stel richtingsgetallen van Vectorvergelijking van een rechte Beschouw nu een rechte r waarvan een punt P en een Parametervergelijking van een rechte richtingsvector R gegeven zijn De vector P noemen we een plaatsvector van rechte r Uit de figuur links blijkt dat we elke puntvector P van een punt P van de rechte r kunnen schrijven als: r P = P + k R, met k R Dit heet een vectorvergelijking van rechte r Veranderen we in de vectorvergelijking de vectoren door de coördinaten P ( x, y, z ), (,, ) P( x, y, z ), dan vinden we: r ( x, y, z) ( x, y, z ) k ( a, b, c) = + R a b c en Cursus ruimtemeetkunde 0 S Mettepenningen

11 x = x + k a Dit wordt meestal geschreven in stelselnotatie: r y = y + k b z = z + k c Dit noemen we een parametervergelijking van rechte r Merk op dat zowel een vectorvergelijking als een parametervergelijking van een rechte niet uniek bepaald zijn maar afhankelijk van de keuze van plaatsvector en richtingsvector Cartesische vergelijkingen van een rechte Elimineren we parameter k uit het stelsel parametervergelijkingen hierboven dan vinden we vrijwel x x y y z z onmiddellijk dat: r = = Deze formules noemen we een stelsel cartesische a b c vergelijkingen van de rechte r Merk op dat hier moet gelden dat abc 0 Als een van de richtingsgetallen 0 is, kan je als volgt te werk gaan (we nemen als voorbeeld a = 0): x = x x = x r y = y + k b y y z z z z k c = = + b c Zijn twee van de richtingsgetallen 0, dan kan het als volgt (we nemen als voorbeeld a = b = 0): x = x r y = y x = x = z = z + k c y y Voorbeeld : Bepaal een parametervergelijking en een stelsel cartesische vergelijkingen van de rechte r door de punten (,,3) Q en R( 3,,4), dan hebben we als stel richtingsgetallen (,4, ) Als richtingsvector nemen we Q R kiezen we voor Q (maar R had evengoed gekund) Dan krijgen we: x = k x y z 3 r y = + 4k r = = 4 z = 3 k x + y 4 = 0 Dit laatste kunnen we eventueel vereenvoudigen tot r y + 4z 4 = 0 Als plaatsvector Voorbeeld : Bepaal een stelsel cartesische vergelijkingen van de rechte s met richtingsvector R(,,0) die door punt S ( 4, 7,) gaat x = 4+ k y + 7 x 4 = x+ y = 0 We vinden direct: r y = 7 k r r z = z = z = b) Onderlinge ligging van twee rechten Om de ligging te bepalen van twee rechten wiens vergelijking je kent (of kan opstellen) ga je als volgt te werk: ) Ga na of de rechten evenwijdig zijn (dus of de richtingsgetallen een veelvoud van elkaar zijn) Cursus ruimtemeetkunde S Mettepenningen

12 ) Als ze evenwijdig zijn kunnen ze eventueel samenvallen Dat kan je controleren door een punt van de ene rechte in te vullen in een vergelijking van een andere rechte 3) Zijn ze niet evenwijdig dan moet je op zoek gaan naar een eventueel snijpunt Daartoe moet je een stelsel oplossen Is dit stelsel strijdig dan zijn het kruisende rechten Heeft dit stelsel een unieke oplossing dan is de oplossing het snijpunt van de twee rechten x = 3k x 3 y z 3 Voorbeeld : Onderzoek de ligging van r y = + 3k en r = = z = 4 + 4k R De rechten zijn niet evenwijdig want k :( 3,3,4) k( 5,4, 3) Vullen we de vergelijking van r in bij r dan vinden we: 3k 3 + 3k 4 + 4k = = Dit stelsel heeft de unieke oplossing c) De vergelijking van een vlak Vectorvlak Richtingsvectoren Richtingsgetallen k = De rechten snijden elkaar dus in punt (,5,0) S Elk vlak α heeft een evenwijdig vlak α O dat door de oorsprong van het assenstelsel gaat We noemen dit vlak α O het bijhorende vectorvlak bij dat vlak α Neem nu in dit vlak α O twee verschillende vectoren R en R zodat O RR We noemen R, R een stel richtingsvectoren van het vlak α We merken op dat dus k R : R k R, en zeggen dat de vectoren R en R lineair onafhankelijk zijn Analoog aan de richtingsgetallen van een rechte kunnen we nu de coördinaten van twee richtingsvectoren definiëren als twee stellen richtingsgetallen van een vlak Vectorvergelijking van een vlak Beschouw nu een vlak α waarvan een plaatsvector P (dus P α ) en twee richtingsvectoren R en R gegeven zijn Uit de figuur links blijkt dat we elke puntvector P van een punt P van het vlak α kunnen schrijven als: α P = P + P, met P0 α0 0 Elke puntvector P 0 van α 0 kunnen we schrijven als lineaire combinatie van R en R : k, m R : P0 = k R + mr Brengen we deze twee vergelijkingen samen dan krijgen we: α P = P + k R + mr We noemen dit de vectorvergelijking van het vlak α Parametervergelijking van een vlak Veranderen we in de vectorvergelijking de vectoren door de coördinaten P ( x, y, z ), (,, ) R ( a, b, c ) en (,, ) P x y z, dan geldt: Cursus ruimtemeetkunde S Mettepenningen R a b c,

13 ( x, y, z) ( x, y, z ) k ( a, b, c ) m ( a, b, c ) α = + + x = x + k a + ma Dit wordt meestal geschreven in stelselnotatie: α y = y + k b + mb z = z + k c + mc Cartesische vergelijking van een vlak De parametervergelijking omvormen tot een cartesiaanse vergelijking kan door de parameters k en m te elimineren uit het stelsel De eliminatievoorwaarde die we vinden zal altijd een eerstegraadsvergelijking zijn in x, y en z Voorbeeld: Bepaal de vergelijkingen van het vlak α door punt P ( ) R (,4, 3) en (, 7,4) R,3, met richtingsvectoren x = k + m k = x+ m k = 7x + y 3 α y = 3+ 4k 7m y = 3+ 4( x+ m) 7m m = 4x+ y 7 De z 3k 4m z 3k 4m = + = + z = 3( 7x + y 3) + 4( 4x+ y 7) onderste vergelijking vereenvoudigen geeft: 5x + y + z 9 = 0 Dit is dus de cartesische vergelijking van het vlak α Determinantvergelijking van een vlak k a + ma = x x We kunnen de parametervergelijking van een vlak ook herschrijven als k b + mb = y y k c + mc = z z Dit stelsel zal maar oplossingen hebben voor k en m als en slechts als de rang van de uitgebreide matrix is Dit levert ons het volgende op: a a x x x x y y z z b b y y = 0 a b c = 0 Dit kan ook geschreven worden als: c c z z a b c x x y y z z 0 x y z a b c 0 a b c 0 = 0 = 0 a b c 0 a b c 0 x y z x y z Deze laatste 4 4 -determinant is eenvoudig op te stellen: de eerst rij is [ x y z ], en de andere rijen worden gevorm door de coördinaten van de richtingsvectoren (met een 0 achteraan) en de coördinaat van de plaatsvector (met een achteraan) Er kan eenvoudig aangetoond worden dat dit blijft gelden voor de combinaties waarbij er één richtingsvector en twee plaatsvectoren, of drie plaatsvectoren gegeven zijn We krijgen dan: Cursus ruimtemeetkunde 3 S Mettepenningen

14 x y z a b c x y z x y z 0 = 0 of x y z x y z x y z x y z = 0 (Tip: Om deze determinanten te bereken kan je een heel eenvoudig programma schrijven op je GRM) Opmerking: We hebben nu eigenlijk bewezen dat de vergelijking van elk vlak kan geschreven worden in de vorm ux+ vy+ wz+ t= 0, een eerstegraadsvergelijking in de onbekenden x, y en z d) Onderlinge ligging van twee vlakken Beschouw twee vlakken α ux + vy + wz + t = 0 en β ux+ vy + wz + t = 0 ux + vy + wz + t = 0 Om eventuele snijpunten te zoeken moet we dus het stelsel oplossen ux+ vy + wz + t = 0 Als de vergelijkingen een veelvoud zijn van elkaar dan is het duidelijk dat de vlakken samenvallen Dat is dus als en slechts als: k R : u = k u v = k v w = k w t = k t 0 Als dit stelsel geen oplossing heeft dan zijn de vlakken evenwijdig Het is duidelijk dat dit enkel kan als en slechts als: k R : u = k u v = k v w = k w t kt 0 In alle andere gevallen zullen de twee vlakken α en β elkaar snijden in een rechte We hebben echter al gezien dat we een rechte kunnen schrijven als een stelsel cartesische vergelijkingen van de eerste orde Het blijkt dus nu dat we die twee vergelijkingen kunnen interpreteren als de vergelijkingen van twee vlakken wiens snijlijn de gegeven rechte is Gevolgen: Als je t laat variëren in de vergelijking ux+ vy + wz + t = 0 dan krijg je allemaal evenwijdige vlakken Als een vlak α ux+ vy + wz + t = 0 gegeven is dan vind je de vergelijking van het bijhorende vectorvlak door t = 0 te stellen: α0 ux+ vy + wz = 0 Voorbeeld: Bepaal een richtingsvector en een plaatsvector van de snijlijn van de twee vlakken α x+ y + 3z 6 = 0 en β 4x y z = 0 We lossen dus het bijhorende stelsel op (kan ook eventueel met behulp van de GRM): x = 75 5 k x+ y + 3z 6 = 0 * y = k 4x y z = 0 z = k *: de matrix 4 herleiden tot de rijcanonieke vorm geeft: Een richtingsvector van de snijlijn is R( 5, 30,) en een plaatsvector is P ( 75,30,0) R' 4,3, 0 kan Je weet dat een richtingsvector slechts op een veelvoud na bepaald is, dus ook ( ) Cursus ruimtemeetkunde 4 S Mettepenningen

15 x+ y + 3z = 0 Merk op dat je ook een richtingsvector kan vinden door het homogene stelsel op te lossen 4x y z = 0 (de snijlijn van de vlakken is evenwijdig met de snijlijn van hun vectorvlakken) Dit stelsel oplossen kan heel 3 3 snel met behulp van determinanten: dan is R,, = R' 4 4 e) Vlakkenwaaiers Een vlakkenwaaier is een verzameling van alle vlakken die door eenzelfde rechte gaan Beschouw twee vlakken α ux + vy + wz + t = 0 en β ux+ vy + wz + t = 0 ux + vy + wz + t = 0 De vergelijking van hun snijlijn is dus s ux+ vy + wz + t = 0 Elk vlak dat door deze rechte gaat kan geschreven worden als: ( ) m( u x v y w z t ) k u x+ v y + w z+ t =, met k, m R 0 We noemen dit dus de vergelijking van de vlakkenwaaier door rechte s x y Voorbeeld: Stel de vergelijking op van het vlak door s = = z + 5 dat P(,, 5) bevat 3 We gebruiken de vlakkenwaaier door s: k( x y ) m( y z ) ( ) ( ) ( ) α = 0, met k, m R P α k m = 0 4k + m = 0 Kies dus bvb: k =, m =, α = 0, of nog: α 3x 6z 33= 0, wat je kan Dan wordt: ( x y ) ( y z ) vereenvoudigen tot α x z = 0 f) Onderlinge ligging van rechten en vlakken De onderlinge ligging van een rechte en een vlak is heel eenvoudig te bepalen door het bijhorende stelsel op te lossen Dit is het makkelijkst als de rechte gegeven is door een stel cartesische vergelijkingen Als dit stelsel geen oplossingen heeft (als het vals is) dan is de rechte strikt evenwijdig met het vlak Als dit stelsel oneindig veel oplossingen heeft (als het onbepaald is) dan ligt de rechte in het vlak Als dit stelsel een unieke oplossing heeft dan is deze oplossing het snijpunt van de rechte met dat vlak y 4 z Voorbeeld : Bepaal het snijpunt van α x 4y + 3z = 0 met r x 3 = = 3 x 4y+ 3z = 0 x 4y+ 3z = x = 3( x 3) = y 4 3x y = 5 y = ( y 4) 3( z ) y 3z 5 = = z = 3 R het snijpunt is dus P(,, 3) Voorbeeld : Bewijs dat de rechte r met richtingsvector ( 7, 5, ) en plaatsvector P(,8, 3) evenwijdig is met het vlak α x+ y 3z + 5 = 0 We zouden dit kunnen oplossen door eerst een stelsel cartesische vergelijkingen te zoeken van r, maar het is eenvoudiger aan te tonen dat R α0 (want dan is r// α ) en P α (strikt evenwijdig) R α 0 want 7+ ( 5) 3 ( ) = 0 en P α want ( 3) strikt Cursus ruimtemeetkunde 5 S Mettepenningen

16 4) Loodrechte stand a) De afstand tussen twee punten in de ruimte Ten opzichte van een georthonormeerd assenstelsel xyz met oorsprong O geldt voor een punt (,, ) OP = x + y + z Bewijs: in OQR: OQ = OR + QR = x + y P x y z dat: In OPQ: OP = OQ + PQ = x + y + z In vectornotatie genoteerd geeft dit dus: P = OP = x + y + z Voor de afstand tussen twee willekeurige punten P ( x, y, z ) en (,, ) PP = PP = P P = x x + y y + z z ( ) ( ) ( ) b) Het scalair product van twee vectoren P x y z leiden we dan af: Def: In een georthonormeerd assenstelsel definiëren we het scalair product van twee vectoren v ( x, y, z ) en v ( x, y, z ) v v = x x + y y + z z als Noteren we nu met V o de verzameling van vectoren verschillend van de nulvector, dan geldt: Stelling: ( v, v V o: v v = v v cos v, v), met v, v de ingesloten hoek van v en v Bewijs: In de driehoek opgespannen door de vectoren v, v en v v, geldt de cosinusregel, met θ = v, v : v v = v + v v v cosθ, dus v v cosθ = v + v v v (Merk op dat deze formule de cosinusregel ook geldt in het geval dat θ = 0 of θ = 80, dus als v een veelvoud zou zijn van v ) Met behulp van de afstandsformule die we net bewezen hebben kunnen we dit vereenvoudigen tot: v v cosθ = x + y + z + x + y + z x x + y y + z z (( ) ( ) ( ) ) = x x + y y + z z, waaruit onmiddellijk de gezochte formule volgt We kunnen nu enkele heel eenvoudige eigenschappen opsommen: v V : v o = o v = 0 v V o: v v = v v, v V : v v = v v v, v V : v v v v = 0 o Cursus ruimtemeetkunde 6 S Mettepenningen

17 c) Loodrechte stand van twee rechten Stelling: Twee rechten r en r met richtingsvectoren R ( a, b, c ) elkaar als en slechts aa + bb + cc = 0 r r R R R R = 0 aa + bb + cc = 0 Bewijs: en R ( a, b, c ) staan loodrecht op d) Normaalvectoren van vlakken Een normaalvector van een vlak is een vector (verschillend van de nulvector) die loodrecht staat op dat vlak Stelling: N ( u, v, w) is een normaalvector van vlak α ux+ vy + wz + t = 0 Bewijs: N α N α 0 (met α 0 het vectorvlak van α, dus α0 ux+ vy + wz = 0 en α// α 0) N P, P α0 (definitie van loodrechte stand) N P = 0 (eigenschap scalair product) ux0 + vy0 + wz0 = 0, met P( x, y, z ) Dit laatste klopt sowieso omdat P α0 Voorbeeld: Stel de vergelijking op van de loodlijn op x y 3z 5 0 P 0,, gaat Dit is de rechte met richtingsvector R(,,3) en plaatsvector P x y z ( 0,,) : r = = 3 e) Loodrechte stand van vlakken α + + = die door punt ( ) Stelling: Als α ux + vy + wz + t = 0 en β ux+ vy + wz + t = 0, dan geldt: α β u u + v v + w w = 0 N u, v, w en N( u, v, w ) de normaalvectoren van beide vlakken We weten: α β N N u u + v v + w w = 0 (zie ook stelling ) Bewijs: Noem ( ) Cursus ruimtemeetkunde 7 S Mettepenningen

18 5) Afstanden a) Afstand van een punt tot een rechte x z 3 Voorbeeld: Bepaal de afstand van punt P (,,3) tot rechte r = y + = 4 We noemen α het vlak dat loodrecht staat op r en door P gaat: ( x ) ( y ) ( z ) α = 0, of eenvoudiger: α x+ y 4z + 8 = 0 Het snijpunt van α en r is P' ( 44, 0,59) : Dus d ( P r) PP ( ) ( ) ( ) x y 4 = 0 x = 44 4y+ z + = 0 y = 0 x y 4z = z = 59, = ' = = 09 b) Afstand van een punt tot een vlak α = en P( x, y, z ), dan geldt: d ( α, P) Stelling: Zij ux vy wy t 0 x = x + k u Bewijs: Noem l de loodlijn uit P op α, dan geldt: l y = y + k v z = z + k w Er is dus een ' k R zodat '( ', ', ' ) ux + vy + wz + t = u + v + w P x + k u y + k v z + k w α Voor dit punt geldt: ( ) ( ) ( ) PP' = x + k' u x + y + k' v y + z + k' w z = k' u + v + w Anderzijds geldt: P α ( ) ( ) ( ) ' u x + k' u + v y + k' v + w z + k' w + t = 0 ux + vy + wz + t ux ( ) + vy + wz + t + k' u + v + w = 0 k' = u + v + w ux + vy + wz + t ux + vy + wz + t Zodat PP' = u + v + w = u + v + w u + v + w α + + = tot punt ( 0,,) Voorbeeld: Bepaal de afstand van vlak x y 3z 5 0 d = = = ( α, P) P Cursus ruimtemeetkunde 8 S Mettepenningen

19 c) Gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten Het is duidelijk dat elk paar kruisende rechten juist één gemeenschappelijke loodlijn heeft Het is de kortste verbinding tussen de beide rechten Op de figuur hiernaast is AB de gemeenschappelijke loodlijn van de rechten a en b Op de figuur staat een verpakking getekend van de kruisende rechten Dit zijn twee vlakken α en β zodat a α en b// α, en b β en a// β De afstand tussen de kruisende rechten is dus ook gelijk aan de afstand tussen de vlakken van hun verpakking Voorbeeld : Bepaal een vergelijking van de gemeenschappelijk loodlijn en de kortste afstand tussen de 3,4, 7,, 0 R 3,, rechten a met richtingsvector R ( ) door punt P ( ) en b met richtingsvector ( ) door punt ( 6,,) P b a Elk punt van rechte a kan dus geschreven worden als A( 7 3 k, 4 k, k ) + +, en elk punt van rechte b kan geschreven worden als B( 6+ 3 k, k, k) Voor de vector AB geldt dan: co( AB) = co( B) co( A) = ( 3 k 3, 4 3, + k k k k k+ ) AB a 3 ( 3k + 3k ) + 4 ( 4k k 3) + ( k k + ) = 0 6k k 53 = 0 AB b 3 3k + 3k 4k k 3 k k + = 0 k + 7k + 9 = 0 ( ) ( ) ( ) Lossen we beide vergelijkingen op naar k en k dan vinden we k = en k = Zo vinden we dus de coördinaten A(,4, ) en B ( 3,,4 ), en voor de richting AB(, 3,6) Als vergelijking voor de gemeenschappelijke loodlijn krijgen we dus Voor de kortste afstand tussen a en b geldt: d ( a b) Alternatieve methode voor de kortste afstand: a x y 4 z + = = 3 6, = AB = = 7 x y Noem α het vlak zodat a α en b// α, dan geldt: α = 3 0 z 7 0 Dit geeft: α 6x + 9y 8z 66 = 0 of eenvoudiger α x 3y + 6z + = 0 ( ) Dan geldt: d ( a, b) = d ( α, P b ) = = = Deze methode is veel sneller maar geeft geen inzicht over de richting van AB 0 b Cursus ruimtemeetkunde 9 S Mettepenningen

20 6) Hoeken a) De hoek tussen twee rechten In een georthonormeerd assenstelsel is de hoek tussen twee rechten gelijk aan de hoek tussen de richtingsvectoren Dus geldt voor twee rechten met als richting R ( a, b, c ) en R ( a, b, c ): R R aa + bb + cc cos ( R, R) = = R R a + b + c a + b + c Beperken we de hoek tussen rechten tot scherpe of rechte hoeken (cosθ 0), dan wordt dit: aa + bb + cc cos ( R, R ) == a + b + c a + b + c Voorbeeld: bepaal de hoek tussen x+ 5 y z + 4x y + 5 = 0 a = = en b 3 5 z = 4 R,3, 5 R,4,0, zodat dus geldt: Twee richtingsvectoren voor deze rechten zijn: ( ) en ( ) cos ( a, b) = = ( a, b) 54 3'" ( ) b) De hoek tussen twee snijdende vlakken Stelling: Als α ux + vy + wz + t = 0 en β ux+ vy + wz + t = 0, dan geldt: uu + vv + ww cos( αβ ) = u + v + w u + v + w Bewijs: Neem een punt P dat niet op α, noch op β ligt Noem A de loodrechte projectie van P op α en B de loodrechte projectie van P op β Noem S het snijpunt van vlak vl( P, A, B) β a γ = met de snijlijn s van α en PA α PA s s γ s SA s SB PB β PB s ( ) ( ) Per definitie geldt dus dat suppl αβ = AS, SB = AP, PB (verklaring voor de laatste gelijkheid: de hoeken ASB en APB zijn supplementair in omdat in vierhoek PBSA geldt dat A ˆ = B ˆ = 90, en de hoek tussen twee rechten is sowieso scherp of recht) De normaalvector van α is evenwijdig met PA en de normaalvector van β is evenwijdig met PB, zodat ( α β ) inderdaad geldt dat αβ = n, n Voorbeeld: bepaal de hoek tussen de vlakken α x + 4y 5z + = 0 en β 3x + 5z = cos ( αβ ) = = ( αβ ) 60 56'9" ( ) b Cursus ruimtemeetkunde 0 S Mettepenningen

21 c) De hoek tussen een rechte en een vlak Stelling: Als gegeven zijn een vlak α ux+ vy + wz + t = 0 en een rechte r (die α snijdt) met richtingsvector R ( a, b, c) r, dan geldt: sin α, r ua+ vb+ wc ( ) = u + v + w a + b + c Bewijs: Per definitie is de hoek tussen een rechte en een vlak de hoek die gevormd wordt door het vlak en de loodrechte projectie van de rechte op dat vlak Neem een punt P op rechte r zodat SP = Rr, waarbij S het snijpunt is van α en r Noem P ' de loodrechte projectie van P op α Dan is dus PP ' evenwijdig met elke normaalvector nα van vlak α ( ) ( ) r In driehoek SPP' geldt α, r = θ = 90 ϕ = 90 R, nα, zodat inderdaad geldt: ( ) ( ) compl ua vb wc sin ( α, r) sin 90 Rr, n + + = α = cos Rr, nα = u + v + w a + b + c Voorbeeld: bepaal de hoek tussen α x + 4y 5z + = 0 en x+ y 3z = 4 r 4x 3y + z = 0 x = k We herschrijven r y = k, zodat Rr ( 7,6,0) De hoek wordt dus gegeven door: z = k R sin ( α, r) = = ( α, r) 58'4" ( ) Cursus ruimtemeetkunde S Mettepenningen

22 7) Meetkundige plaatsen in de ruimte a) Bollen De verzameling punten die op een gegeven afstand r liggen van een gegeven punt (,, ) we de bol B ( M, r) met middelpunt M en straal r (naar analogie met een cirkel in een vlak) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, M, r P x y z B MP = r x x + y y + z z = r Er geldt dus: B ( ) ( ) ( ) ( ) x x M, r 0 + y y0 + z z0 = r M x y z noemen Voorbeeld: Stel de vergelijking op van de bol B met middelpunt M (,,5) en straal r = ( x ) ( y ) ( z ) B = of nog B x + y + z x+ 4y 0z + 8 = 0 b) Middelloodvlakken De verzameling punten die even ver liggen van twee gegeven punten A en B liggen in een vlak dat het middelloodvlak van het lijnstuk [ AB ] wordt genoemd Dit is het vlak dat door het midden M van [ ] en er loodrecht op staat (de tweedimensionale variant is uiteraard de middelloodlijn) Noem A( x, y, z ) en (,, ) (,, ) P x y z λ AP = BP B x y z, en het middelloodvlak λ, dan geldt dus: (,, z) λ ( x x ) + ( y ) + ( ) = ( ) + ( ) + ( z ) P x y y z z x x y y z λ x x x+ y y y + z z z + x + y + z x y z = 0 Anders gezegd: ( ) ( ) ( ) Je rekent snel na dat inderdaad x + x, y + y, z + M z λ en dat PP λ Voorbeeld: Bepaal de vergelijking van het middelloodvlak van [ AB ] als A (,,3) en B ( 5,6,7) Het midden M van [ AB ] is M ( 3,4,5) Een normaalvector van λ is N AB( 3,3,3 ) ~ (,,) We vinden dan eenvoudig dat λ ( x 3) + ( y 4) + ( z 5) = 0 of nog x y z 0 c) Bissectorvlakken λ = λ + + = AB gaat De verzameling punten die even ver liggen van twee gegeven vlakken liggen ook op twee vlakken die we de bissectorvlakken noemen van die twee gegeven vlakken (naar analogie met bissectrices in twee dimensies) Een algemene vergelijking opstellen is hier niet erg handig, dus bekijken we meteen een Voorbeeld: stel de vergelijking op van de bissectorvlakken γ en γ van α 3x 4y + 6 = 0 en β x 3y 6z + = 0 3x 4y + 6 x y 6z+ P( x, y, z) biss( α, β) d ( P, α) = d ( P, β) = P x, y, z, 7 3x 4y + 6 = 5 x y 6z+ ( ) biss( α β) Dus γ ( x y + ) = ( x y z+ ) en ( x y ) ( x y z ) γ = 5 6 +, of nog eenvoudiger geschreven γ x 3y + 30z + 37 = 0 en γ 3x 33y 30z + 47 = 0 Cursus ruimtemeetkunde S Mettepenningen

Ruimtemeetkunde. (

Ruimtemeetkunde. ( Ruimtemeetkunde (http://wwwboredpandacom/3d-lines-notepad-drawings-5-years-old-joao-carvalho/) ) Herhaling a) Grondbegrippen en notaties In de ruimtemeetkunde zijn de bouwstenen punten, rechten en vlakken

Nadere informatie

Cursus analytische meetkunde

Cursus analytische meetkunde Cursus analytische meetkunde René Déscartes 3 mei 596 La Haye en Touraine (Frankrijk) februari 650 Stockholm (Zweden) Cursus analytische meetkunde Sven Mettepenningen ) Herhaling a) Vectoren Definities

Nadere informatie

Ruimtemeetkunde deel 1

Ruimtemeetkunde deel 1 Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

Analytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde

Analytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde Analytische Meetkunde Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde . VECTOREN EN RECHTEN.. Vectoren... Het vectorbegrip De verzameling punten van het vlak noteren we door π. Kies in het vlak π een vast

Nadere informatie

Vlakke Meetkunde Ruimtemeetkunde. Meetkunde. 1 december 2012. Meetkunde

Vlakke Meetkunde Ruimtemeetkunde. Meetkunde. 1 december 2012. Meetkunde Vlakke Ruimtemeetkunde 1 december 2012 Vlakke Ruimtemeetkunde 1 Vlakke Vectoren Vergelijking van een rechte 2 Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rechte Vlakke Ruimtemeetkunde

Nadere informatie

Vectormeetkunde in R 3

Vectormeetkunde in R 3 Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie

Nadere informatie

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is. 3 Lijnen en hoeken Verkennen Lijnen en hoeken Inleiding Verkennen Bekijk de applet en zie hoe de plaatsvector v ur van elk punt A op de lijn kan ur r ontstaan als som van twee vectoren: p + t r. Beantwoord

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden

Hoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden Hoofdstuk LIJNEN IN Klas N Wiskunde 6 perioden . DE VECTORVOORSTELLING VAN EEN LIJN VOORBEELD. Gegeven zijn de punten P (, ) en Q (, 8 ). Gevraagd: de vectorvoorstelling van de lijn k door P en Q. Methode:

Nadere informatie

Oefeningen analytische meetkunde

Oefeningen analytische meetkunde Oefeningen analytische meetkunde ) orte herhaling. Zij gegeven twee vectoren P en Q. Bewijs dat de loodrechte projectie P' van P op Q gegeven wordt door: PQQ P'. Q. De cirkel c y 4y wordt gespiegeld om

Nadere informatie

Een bol die raakt aan de zijden van een scheve vierhoek

Een bol die raakt aan de zijden van een scheve vierhoek Een bol die raakt aan de zijden van een scheve vierhoek Dick Klingens Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel oktober 005 We bewijzen allereerst de volgende hulpstelling: Hulpstelling 1 De meetkundige

Nadere informatie

14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:

14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: 14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper

Nadere informatie

Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken

Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier

Nadere informatie

Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten.

Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten. WIS8 8 Vectoren 8. Vectoren Vectoren Een vector met dimensie is een kolom bestaande uit twee reële getallen, bijvoorbeeld [ We kunnen deze meetkundig interpreteren als een pijl in het platte vlak van de

Nadere informatie

Vlakke Analytische Meetkunde

Vlakke Analytische Meetkunde Vlakke Analytische Meetkunde L. Van Maldeghem L. Van Hyfte Handleiding voor 3 Latijn-Wiskunde, 3 Grieks-Latijn 5 3 Moderne Talen-Wiskunde, 3 Economie-Wiskunde 2 Hoofdstuk 1 Vectoren en transformaties 1.1

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.

10.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. 10.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0, b) y = -4x + 8 kan

Nadere informatie

Wiskunde voor relativiteitstheorie

Wiskunde voor relativiteitstheorie Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

HOEKEN, AFSTANDEN en CIRKELS IN Klas 5N Wiskunde 6 perioden

HOEKEN, AFSTANDEN en CIRKELS IN Klas 5N Wiskunde 6 perioden HOEKEN, AFSTANDEN en CIRKELS IN Klas 5N Wiskunde 6 erioden INHOUD. Het inroduct van vectoren... 3. De normaalvector van een lijn... 3. DE AFSTAND VAN TWEE PUNTEN.... 5. De afstand van een unt tot een lijn...

Nadere informatie

6 Ligging. Verkennen. Uitleg

6 Ligging. Verkennen. Uitleg 6 Ligging Verkennen Ligging Inleiding Verkennen Door in de applet het assenstelsel te draaien kun je nagaan of twee lijnen een snijpunt hebben. Je kunt ook andere lijnen proberen door de punten A, B, C

Nadere informatie

Paragraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken

Paragraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken Hoofdstuk 7 Lijnen en cirkels (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier y =

Nadere informatie

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] 9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,

Nadere informatie

More points, lines, and planes

More points, lines, and planes More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D)

Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) 1 Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Les 1 : Stelsels en Echelon vorm DOEL : WE GAAN EEN AANTAL VERGELIJKINGEN MET EEN AANTAL VARIABELEN PROBEREN OP TE LOSSEN. Definities Stelsel

Nadere informatie

GEOGEBRA 5. Ruimtemeetkunde in de tweede graad. R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde aan Odisee, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet.

GEOGEBRA 5. Ruimtemeetkunde in de tweede graad. R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde aan Odisee, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. GEOGEBRA 5 Ruimtemeetkunde in de tweede graad R. Van Nieuwenhuyze Hoofdlector wiskunde aan Odisee, Brussel Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@gmail.com GeoGebra in de tweede graad Roger

Nadere informatie

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Beschouw de 4 termen: x y, x, 6, 9x Voor welke waarden van x en y vormen deze termen een rekenkundige rij? x 9x x, 6, 9 x : RR 6 0x x 0,9 0,9 y ;,9 ; 6 ; 8,,

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. a De pijlen van O(0, 0) naar A(4, 2) en van A(4, 2) naar B(2, 3) zijn vectoren.

8.0 Voorkennis. a De pijlen van O(0, 0) naar A(4, 2) en van A(4, 2) naar B(2, 3) zijn vectoren. 8.0 Voorkennis De pijlen van O(0, 0) naar A(4, 2) en van A(4, 2) naar B(2, 3) zijn vectoren. 4 OA a 2 en AB 2 1 Het bovenste kengetal geeft aan hoeveel de vector naar links of rechts gaat. Het onderste

Nadere informatie

Wiskunde voor relativiteitstheorie

Wiskunde voor relativiteitstheorie Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les : Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist verzicht colleges. College. Goniometrie 2. Vectoren 2. College 2. Matrixen

Nadere informatie

uuur , DF en DB met kentallen. b) Laat zien door twee keer de stelling van Pythagoras in een rechthoekige uuur

uuur , DF en DB met kentallen. b) Laat zien door twee keer de stelling van Pythagoras in een rechthoekige uuur 4 Van D naar 3D Verkennen Van D naar 3D Inleiding Verkennen Bekijk de applet. Met de rechter muisknop kun je het assenstelsel om de oorsprong draaien en de fig van alle kanten bekijken. Beantwoord nu de

Nadere informatie

Ruimtemeetkunde deel II. Cursus voor Latijn-Wiskunde, Wetenschappen-Wiskunde en Economie-Wiskunde

Ruimtemeetkunde deel II. Cursus voor Latijn-Wiskunde, Wetenschappen-Wiskunde en Economie-Wiskunde Ruimtemeetkunde deel II Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor Latijn-Wiskunde, Wetenschappen-Wiskunde en Economie-Wiskunde 2 Hoofdstuk 1 De reële euclidische ruimte 1.1 De euclidische

Nadere informatie

2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β.

2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β. 1 Synthetische RM 1. (a) Geef de definitie van de loodrechte stand van twee vlakken. (b) Geen stellingen die voorwaarden uitdrukken opdat twee vlakken orthogonaal zijn. (c) Steun op 1a of 1b om te bewijzen

Nadere informatie

7 Totaalbeeld. Samenvatten. Achtergronden. Testen

7 Totaalbeeld. Samenvatten. Achtergronden. Testen 7 Totaalbeeld Samenvatten Je hebt nu het onderwerp "Vectormeetkunde" doorgewerkt. Er moet een totaalbeeld van deze leerstof ontstaan... Ga na, of je al de bij dit onderwerp horende begrippen kent en weet

Nadere informatie

Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1)

Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Trainingsdag 3, april 009 Driehoeksongelijkheid Driehoeksongelijkheid Voor drie punten in het vlak A, B en C geldt altijd dat AC + CB AB. Gelijkheid geldt precies

Nadere informatie

Vlakke Meetkunde Goniometrie

Vlakke Meetkunde Goniometrie Vlakke Meetkunde Goniometrie L. Van Maldeghem Cursus voor de tweede graad Latijn-Wiskunde, Economie-Wiskunde en Moderne Talen-Wiskunde 2 Hoofdstuk 1 Het euclidische vlak 1.1 Herhaling 1.1.1 Het begrip

Nadere informatie

Vlakke Meetkunde Meetkundige plaatsen en krommen. Cursus voor de vrije ruimte

Vlakke Meetkunde Meetkundige plaatsen en krommen. Cursus voor de vrije ruimte Vlakke Meetkunde Meetkundige plaatsen en krommen Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Meetkundige plaatsen 1.1 Herhaling: analytische meetkunde 1.1.1 Affiene

Nadere informatie

Inversie. Hector Mommaerts

Inversie. Hector Mommaerts Inversie Hector Mommaerts 2 Hoofdstuk 1 Definities en constructies 1.1 Definitie We weten hoe we een punt moeten spiegelen rond een rechte. We gaan nu kijken hoe we een punt spiegelen rond een cirkel.

Nadere informatie

EXAMENVRAGEN RUIMTEMEETKUNDE I (niet-analytische meetkunde)

EXAMENVRAGEN RUIMTEMEETKUNDE I (niet-analytische meetkunde) EXAMENVRAGEN RUIMTEMEETKUNDE I (niet-analytische meetkunde). (4 p) Geef drie verschillende mogelijkheden waardoor in de driedimensionale ruimte een rechte bepaald is? 2. (6 p) Wanneer zijn de snijlijnen

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 5 december, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Lijn, Vlak, etc.

College WisCKI. Albert Visser. 5 december, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Lijn, Vlak, etc. College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 5 december, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Vectorvoorstelling Lijn: x = b +

Nadere informatie

Zelftest wiskunde voor Wiskunde, Fysica en Sterrenkunde

Zelftest wiskunde voor Wiskunde, Fysica en Sterrenkunde In onderstaande zelftest zijn de vragen gebundeld die als voorbeeldvragen zijn opgenomen in de bijhorende overzichten van de verwachte voorkennis wiskunde. Naast de vragen over strikt noodzakelijke voorkennis,

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 6 Goniometrie, vlakke meetkunde en rekenen met vectoren in de fysica (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 6 Goniometrie, vlakke meetkunde en rekenen met vectoren in de fysica (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 6 Goniometrie, vlakke meetkunde en rekenen met vectoren in de (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Goniometrie 1 1.1 Goniometrische cirkel............................

Nadere informatie

15 Uitwerkingen Lineaire Algebra

15 Uitwerkingen Lineaire Algebra 5 Uitwerkingen Lineaire lgebra 5 Uitwerkingen hoofdstuk s Figuur 5: De som van twee vectoren b a d c Figuur 5: Het verschil van twee vectoren v d Figuur 5: De vector van naar c a + b b b c b + c a a a

Nadere informatie

Ruimtewiskunde. college 3 Lijnen, vlakken en oppervlakken in de ruimte. Vandaag

Ruimtewiskunde. college 3 Lijnen, vlakken en oppervlakken in de ruimte. Vandaag college 3 Lijnen, vlakken en in de collegejaar : 16-17 college : 3 build : 6 juni 2017 slides : 37 Vandaag 1 Lijnen 2 Vlakken 3 4 Toepassing: perspectivische.16-17[3] 1 vandaag Lijnen in het platte vlak

Nadere informatie

Lineaire algebra en kegelsneden. Cursus voor de vrije ruimte

Lineaire algebra en kegelsneden. Cursus voor de vrije ruimte Lineaire algebra en kegelsneden Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk Reële vectorruimten. De reële vectorruimte van de reële n-tallen Definitie Een reëel

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 14 Rechten en vlakken (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 14 Rechten en vlakken (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 14 Rechten en vlakken (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Parametervergelijking van rechten en vlakken door de oorsprong 1 2 Cartesiaanse vergelijking

Nadere informatie

E = mc². E = mc² E = mc² E = mc². E = mc² E = mc² E = mc²

E = mc². E = mc² E = mc² E = mc². E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² De boom en het stokje staan loodrecht op de grond in het park. De boom is 3 en het stokje 1. Hoe lang is de schaduw van het stokje

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 15 september dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 15 september dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 15 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 : Hoeken ( Zie ook : boek pag 1 tot en met pag 33)

Hoofdstuk 1 : Hoeken ( Zie ook : boek pag 1 tot en met pag 33) - 1- Hoofdstuk 1 : Hoeken ( Zie ook : boek pag 1 tot en met pag 33) Hoekeenheden (boek pag 1) Hoofdeenheid om hoeken te meten is de grootte van de rechte hoek de graad :...... notatie :... de minuut :...

Nadere informatie

SAMENSTELLEN EN ONTBINDEN VAN SNIJDENDE KRACHTEN

SAMENSTELLEN EN ONTBINDEN VAN SNIJDENDE KRACHTEN II - 1 HOODSTUK SAMENSTELLEN EN ONTBINDEN VAN SNIJDENDE KRACHTEN Snijdende (of samenlopende) krachten zijn krachten waarvan de werklijnen door één punt gaan..1. Resultante van twee snijdende krachten Het

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

De constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.

De constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer. Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn

Nadere informatie

STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie

STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie Euclides van Alexandrië (ca. 265-200 v.chr.) Thales van Milete (ca. 624 v.chr. - 547 v.chr.) INHOUDSOPGAVE Algemene begrippen..blz. 1-3 - Stelling en bewijs

Nadere informatie

Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen

Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Les 0 (Extra) Aant. Voorkennis: Hoeken en afstanden Theorie A: Sinus, Cosinus en tangens O RHZ tan A = A RHZ O RHZ sin A = SZ A RHZ cos A = SZ Afspraak: Graden afronden

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Blok 6B - Vaardigheden

Blok 6B - Vaardigheden B-a Etra oefening - Basis Eigenschap C is ook een definitie van een rechthoek. A: Als de diagonalen wel even lang zijn maar elkaar niet middendoor delen, is de vierhoek geen rechthoek. Denk ijvooreeld

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 : De driehoek

Hoofdstuk 5 : De driehoek Hoofdstuk 5 : De driehoek - 89 1. Congruente figuren Figuren die elkaar volkomen kunnen bedekken noemen we congruente figuren. Congruente figuren hebben dezelfde vorm (~ ) en dezelfde grootte (=). Als

Nadere informatie

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen). Jozef Hoekmeters bevindt zich op de top van een berg die hoog uit zee rijst (zie figuur ). Aan de overkant van het water ziet hij een appartementsgebouw vlakbij

Nadere informatie

Hierbij geven we de antwoorden en bewijzen we meteen ook hoe de constanten kunnen bepaald worden.

Hierbij geven we de antwoorden en bewijzen we meteen ook hoe de constanten kunnen bepaald worden. WISKUNDE IS (EEN BEETJE) OORLOG Onder dit motto nodigde de VVWL alle wiskundeleraren uit Vlaanderen en Nederland uit om deel te nemen aan een wiskundewedstrijd. De tien vragen van de eerste editie, waarbij

Nadere informatie

Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van

Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =

Nadere informatie

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand

Nadere informatie

Ellips-constructies met Cabri

Ellips-constructies met Cabri Ellips-constructies met Cabri 0. Inleiding De meest gebruikte definitie van de ellips luidt: Een ellips is de verzameling van punten () waarvoor de som van de afstanden tot twee vaste punten (F 1 en F,

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 : De Cirkel

Hoofdstuk 8 : De Cirkel - 163 - Hoofdstuk 8 : De Cirkel Eventjes herhalen!!!! De cirkel met middelpunt O en straal r is de vlakke figuur die de verzameling is van alle punten die op een afstand r van O liggen. De schijf met middelpunt

Nadere informatie

Driehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008

Driehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008 Driehoeken Enkele speciale topics Arne Smeets Trainingsweekend Februari 2008 Trilineaire en barycentrische coördinaten Definitie van trilineaire coördinaten Beschouw (in het vlak) een driehoek ABC en een

Nadere informatie

ProefToelatingstoets Wiskunde B

ProefToelatingstoets Wiskunde B Uitwerking ProefToelatingstoets Wiskunde B Hulpmiddelen :tentamenpapier,kladpapier, een eenvoudige rekenmachine (dus geen grafische of programmeerbare rekenmachine) De te bepalen punten per opgave staan

Nadere informatie

5 Lijnen en vlakken. Verkennen. Uitleg

5 Lijnen en vlakken. Verkennen. Uitleg 5 Lijnen en vlakken Verkennen Lijnen en vlakken Inleiding Verkennen Bekijk de applet. Je ziet hoe een vlak kan worden beschreven met behulp van een vergelijking in x, en z. In de applet kun je de drie

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3. ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding

Nadere informatie

Bijkomende Oefeningen: Les 1

Bijkomende Oefeningen: Les 1 1 Inhoudstafel ijkomende Oefeningen: Les 1...2 ijkomende Oefeningen: Les 2...3 ijkomende Oefeningen: Les 3...4 ijkomende Oefeningen: Les 4...5 ijkomende Oefeningen: Les 5...6 ijkomende Oefeningen: Les

Nadere informatie

OEFENTOETS VWO B DEEL 3

OEFENTOETS VWO B DEEL 3 OEFENTOETS VWO B DEEL 3 HOOFDSTUK 0 MEETKUNDE MET VECTOREN OPGAVE Gegeven zijn de vectoren a, b en c die vanuit O de hoekpunten van driehoek ABC aanwijzen. Het punt P is het midden van AB, het punt Q is

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Projectief vlak. 1.1 Het gecompleteerd affien vlak

Hoofdstuk 1. Projectief vlak. 1.1 Het gecompleteerd affien vlak Hoofdstuk 1 Projectief vlak 1.1 Het gecompleteerd affien vlak We kiezen in R, E O, + een coördinatenstelsel met assen X, Y en Z. Het punt E(1, 1, 1) bepaalt de ijken op X-as, Y -as en Z-as. We beschouwen

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales

Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales - 127 1. Projectie op een rechte (boek pag 175) x en y zijn twee... rechten. We trekken door het punt A een evenwijdige rechte met de rechte y en noemen het

Nadere informatie

Vlakke meetkunde en geogebra

Vlakke meetkunde en geogebra Vlakke meetkunde en geogebra Open de geogebra-app. Kies het algebra- en tekenvenster. Aan de linkerkant zie je het algebravenster en rechts daarvan het tekenvenster met een x-as en een y-as. Om een rooster

Nadere informatie

Paragraaf 14.1 : Vergelijkingen in de meetkunde

Paragraaf 14.1 : Vergelijkingen in de meetkunde Hoofdstuk 14 Meetkunde Toepassen (V6 Wis B) Pagina 1 van 1 Paragraaf 14.1 : Vergelijkingen in de meetkunde Les 1 : Vergelijkingen maken bij meetkundige figuren Herhaling (1) Bijzondere rechthoekige driehoeken

Nadere informatie

DE VLAKKE MEETKUNDE VAN BOTTEMA THEMA: VERGETEN HELDEN

DE VLAKKE MEETKUNDE VAN BOTTEMA THEMA: VERGETEN HELDEN DE VLAKKE MEETKUNDE VAN BOTTEMA THEMA: VERGETEN HELDEN JAN M. AARTS EN AGNES VERWEIJ Samenvatting. Aan de hand van een serie van definities, voorbeelden, eigenschappen en stellingen betreffende driehoekscoördinaten

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar

Nadere informatie

1 Cartesische coördinaten

1 Cartesische coördinaten Cartesische coördinaten Verkennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Analytische Meetkunde Cartesische coördinaten Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] 12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] Stelling van de constante hoek: Voor de punten C en D op dezelfde cirkelboog AB geldt: ACB = ADB. Omgekeerde stelling van de constante hoek: Als punt D aan dezelfde

Nadere informatie

1 Introductie. 2 Oppervlakteformules

1 Introductie. 2 Oppervlakteformules Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus ook weergegeven met XY. Verder zullen we de volgende notatie

Nadere informatie

Opgaven bij Analytische meetkunde in een nieuw jasje

Opgaven bij Analytische meetkunde in een nieuw jasje Opgaven bij Analytische meetkunde in een nieuw jasje Opgave 1. Gegeven de lijnen m en n met vectorvoorstellingen 6 8 x = 7 + µ 0. Bepaal de afstand tussen m en n. 16 0 4 x = 2 + λ 1 en Opgave 2. Bewijs

Nadere informatie

R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet.

R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. R. Van Nieuwenhuyze Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@gmail.com Van Nieuwenhuyze Roger Probleemoplossend werken in de tweede graad

Nadere informatie

De arbelos. 1 Definitie

De arbelos. 1 Definitie De arbelos 1 Definitie De arbelos is een meetkundige figuur die bestaat uit drie aan elkaar rakende halve cirkels. De raakpunten liggen op een lijn. In onderstaande tekening is de arbelos de paarse figuur.

Nadere informatie

Wiskundige Technieken

Wiskundige Technieken 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen 1ste Bachelor Fysica en Sterrenkunde Academiejaar 014-015 1ste semester 1 oktober 014 Wiskundige Technieken 1. Beschouw een scalaire functie f : R R en een vectorveld

Nadere informatie

1 Inleiding. Zomercursus Wiskunde. Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie.

1 Inleiding. Zomercursus Wiskunde. Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Inleiding Y y p o θ r X fig In fig worden er op twee verschillende manieren coördinaten gegeven aan het punt p Een eerste

Nadere informatie

Dan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ²

Dan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ² 1 Herhaling 1.1 Het vlak, punten, afstand, midden Opdracht: Teken in het vlak de punten: A ( 1, 2) B(3,6) C( 5,7) Bepaal de coördinaat van het midden van (lijnstuk) [A B]: M [B C ]: N Bepaal de afstand

Nadere informatie

Cabri-werkblad. Apollonius-cirkels

Cabri-werkblad. Apollonius-cirkels Cabri-werkblad Apollonius-cirkels 1. Doel We zullen in dit werkblad kennismaken met de zogenoemde Apollonius-cirkels [1] van een driehoek. Daarvoor moeten ook enkele eigenschappen van (binnen- en buiten)bissectrices

Nadere informatie

13 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.

13 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde. 13 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1999-000: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt

Nadere informatie

Lineaire Algebra A en B. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven

Lineaire Algebra A en B. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven Lineaire Algebra A en B Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven 2010 2011 ii Syllabus bij Lineaire Algebra A (2WF07) en Lineaire Algebra B (2WF08) Inhoudsopgave 0 Vectorrekening

Nadere informatie

Over het Monge-punt van een viervlak

Over het Monge-punt van een viervlak Over het Monge-punt van een viervlak Dick Klingens Krimpenerwaard College, Krimpen ad IJssel september 2005 Inleiding Het is mogelijk door elke ribbe van een viervlak een vlak aan te brengen evenwijdig

Nadere informatie

Voorkennis meetkunde (tweede graad)

Voorkennis meetkunde (tweede graad) Voorkennis meetkunde (tweede graad) 1. Vlakke meetkunde Lengten van de zijden en grootte van de hoeken van driehoeken en vierhoeken - De som van de hoeken van een driehoek is 180 - Bij een rechthoekige

Nadere informatie

Uitwerkingen voorbeeldtentamen 1 Wiskunde B 2018

Uitwerkingen voorbeeldtentamen 1 Wiskunde B 2018 Uitwerkingen voorbeeldtentamen 1 Wiskunde B 2018 Vraag 1a 4 punten geeft ; geeft dus in punt A geldt ;, dus en Dit geeft Vraag 1b 4 punten ( ) ( ) ( ) Vraag 1c 4 punten ( ). Dit is de normaalvector van

Nadere informatie

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht Hoofdstuk 1 : Hoeken -1 - Complementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken zijn complementair als... van hun hoekgrootten... is. Supplementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken noemen we supplementair als...

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig

Nadere informatie

1. INLEIDING: DE KOERS VAN EEN BOOT

1. INLEIDING: DE KOERS VAN EEN BOOT KLAS 4N VECTOREN . INLEIDING: DE KOERS VAN EEN BOOT. Boot vaart van Roe naar Tui via Rul. De koersgegevens zijn: van Roe naar Rul: 0, 5 km van Rul naar Tui: 40, 5 km a. Wat zijn de koersgegevens als de

Nadere informatie