Voorblad bij tentamen

Transcriptie

1 Studentnaam: Studentnummer: Voorblad bij tentamen (in te vullen door de examinator) Vaknaam: Solid Mechanics Vakcode: 4MB00 Datum: 14 april 016 Begintijd: 9:00 Eindtijd: 1:00 Aantal pagina s: 8 (excl. dit blad en formuleblad) Aantal vragen: 3 opgaven (met in totaal 15 deelvragen) Aantal te behalen punten is maximaal 100. De te behalen punten zijn bij elke deelvraag vermeld, rechts naast het kader Wijze van vaststellen eindcijfer: aantaal behaalde punten/10 Wijze van beantwoording vragen: het tentamen bestaat uit open vragen. De volledige uitwerkingen en antwoorden moeten worden gegeven in de omlijnde kaders op de opgavebladen. Deze worden allemaal, voorzien van naam en identiteitsnummer bovenaan dit blad en onderaan elke bladzijde, ingeleverd. Kladpapier wordt niet nagekeken en hoeft dus niet te worden ingeleverd. Inzage: op afspraak Instructies voor studenten en surveillanten Toegestane hulpmiddelen: Formuleblad (aangehecht aan dit tentamen) Het gebruik van boeken, laptop, gsm, rekenmachine, dictaat en aantekeningen is niet toegestaan. Wel toegestaan is het aangehechte formuleblad.. Let op: toiletbezoek is alleen onder begeleiding toegestaan binnen 15 minuten na aanvang en 15 minuten voor het einde mag de tentamenruimte niet worden verlaten, tenzij anders aangegeven er dient altijd tentamenwerk (volledig ingevuld tentamenpapier: naam, studentnummer e.d.) te worden ingeleverd tijdens het tentamen dienen de huisregels in acht te worden genomen aanwijzingen van examinatoren en surveillanten dienen opgevolgd te worden etui ligt niet op tafel onderling worden geen hulpmiddelen geleend/uitgewisseld Tijdens het maken van schriftelijke tentamens wordt onder (poging tot) fraude in ieder geval verstaan: gebruik van andermans ID-bewijs/campuskaart mobiele telefoon of enige andere media dragende devices liggen op tafel of zijn opgeborgen in de kleding (poging tot) gebruik van ongeoorloofde bronnen en hulpmiddelen, zoals internet, mobiele telefoon e.d. het gebruik van een clicker die niet je eigen clicker is ander papier voor handen hebben dan door de TU/e is verstrekt, tenzij anders aangegeven toiletbezoek (of naar buiten lopen) zonder toestemming of begeleiding Behorende bij Regeling centrale tentamenafname TU/e

2 Opgave 1 In deze opgave wordt een drijfas van een autowiel beschouwd. De drijfas wordt gemodelleerd als een holle cilinder met binnenstraal r 0 en buitenstraal R. Door een zij-impact op het wiel ondergaat de as een (zeer kleine) vervorming, zoals geschetst is in de figuur. z r 0 R θ r De verplaatsing van de materiepunten van de as is dan gegeven door de verplaatsingsvector u = u z e z = bθ π e z waarbij b een constante is en θ de tangentiële coördinaat. De bij deze verplaatsing behorende lineaire rektensor wordt ten opzichte van de cilindrische basis { e r, e t, e z } geschreven als ε = AI + B( e z e t + e t e z ) a. Druk de parameters A en B uit in de gegeven geometrieparameters. Geef de afleiding.

3 b. Bepaal de hydrostatische (ε h ) en de deviatorische (ε d ) rektensor. Schrijf ook deze tensoren in componentvorm t.o.v. de cilindrische basis. Het lineair elastisch materiaalgedrag wordt gegeven door onderstaande relatie tussen de spanningstensor σ en de rektensor ε : σ = 4 C : ε = [c 0 II + c 1 4 I s ] : ε met c 0 = Eν (1 + ν)(1 ν) en c 1 = E 1 + ν c. Laat zien dat de spanningstensor σ die het gevolg is van de deformatie van de drijfas luidt: σ = Gb 1 π r ( e z e t + e t e z ) d. Bereken voor het gegeven spanningsveld de verdeelde belasting q die nodig is om aan het translatie-evenwicht te voldoen.

4 e. De elastische limiet (initiële vloeispanning) van het materiaal van de as wordt aangeduid met σ y0. Waar in de cilinder wordt de vloeispanning σ y0 het eerst bereikt? Druk de maximale verplaatsingsconstante b max uit in ander parameters van het model (geometrische parameters en materiaal constanten) volgens het Tresca vloeicriterium.

5 Opgave Een onderdeel van een (metalen) brug wordt benaderd als een plaat dikte t, hoogte h en lengte l die aan de rand met [x = 0, h < z < h ] bevestigd is aan de vaste wereld. De plaat wordt aan de rand met [x = l, h < z < h ] belast door een verdeelde belasting kracht per oppervlakte-eenheid in negatieve z-richting. De resultante van deze verdeelde belasting is de kracht P. De volumetrische verdeelde belasting kan worden verwaarloosd. z l z t h/ x y h/ P In de plaat heerst een vlakspanningstoestand met σ yy = σ xy = σ zy = 0. De optredende vervorming is gering. Het materiaalgedrag is lineair, isotroop elastisch met elasticiteitsmodulus E en dwarscontractiecoëfficiënt ν. Gegeven zijn de volgende uitdrukkingen voor de spanningscomponenten σ xx, σ xz en σ zz : σ xx = α(l x)z ; σ xz = β + γz ; σ zz = 0 waarin α, β, γ en δ constanten zijn. Er zijn twee relevante evenwichtsvergelijkingen waaraan de spanningscomponenten moeten voldoen. Krachtenevenwicht in x-richting leidt tot de eerste : σ xx x + σ xz z = 0 a. Hoe luidt de evenwichtsvergelijking, volgend uit het krachtenevenwicht in z-richting?

6 b. Wat is de relatie tussen de constanten α en γ? Geef de afleiding. c. Als gegeven is dat de boven- en onderrand dus de randen met [0 < x < l,z = ± h ] van de plaat onbelast zijn, bepaal dan de relatie tussen β en γ. Geef de afleiding. d. Druk β uit in de resulterende kracht P. e. Druk de rekcomponenten ε xx, ε yy, ε zz en ε zx uit in de gegeven spanningscomponenten.

7 Opgave 3 Onderstaande figuur toont twee parallelle staven a en b, die hetzelfde dwarsdoorsnedeoppervlak A hebben. De lengte van staaf a is L en de lengte van staaf b is L. Het rechter uiteinde van beide staven is verbonden met een star blok, dat uitsluitend in x-richting kan verplaatsen. De verplaatsing is δ. Het linker uiteinde van staaf a is verbonden met de vaste wereld. Het linker uiteinde van staaf b, aangeduid als punt P, kan uitsluitend in x-richting verplaatsen. De verplaatsing in positieve x-richting is u. Deze verplaatsing wordt veroorzaakt doordat in dit punt een kracht F in positieve x-richting wordt aangebracht. y P x L L A A δ u F De vervorming van de staven is zodanig gering dat verondersteld kan worden dat hun dwarsdoorsnede-oppervlak niet verandert. De staven zijn gemaakt van hetzelfde materiaal. Wanneer de axiale spanning σ in een staaf in absolute zin kleiner is dan de initiële vloeispanning σ y0, is het materiaalgedrag lineair elastisch met elasticiteitsmodulus E en dwarscontractiecoëfficiënt ν. Na vloeien treedt er lineaire isotrope versteviging op met verstevigingsconstante H. a. Teken in één figuur de spanning-rek krommen (= σε-diagrammen) van de beide staven. (8)

8 b. Druk de rek van staaf a, ε a, uit in δ en L. Druk de rek van staaf b, ε b, uit in δ, u en L. (4) c. Hoe groot is de kracht F 0 wanneer voor het eerst vloeien optreedt? Hoe groot is dan de spanning en de rek in de staven? uit in de gegeven geometrische grootheden en materiaalpara- Druk σ0 a, σb 0, εa 0 en εb 0 meters. (4) Hoe groot is de verplaatsing δ 0 van het starre blok? Hoe groot is de verplaatsing u 0 van punt P? (4)

9 d. De kracht wordt nu tweemaal zo groot gemaakt : F 1 = F 0. Hoe groot is de rek ε a 1 van staaf a? (4) Hoe groot is de plastische rek ε a p1 van staaf a? () e. De kracht wordt tot nul gereduceerd : F = 0. Hoe groot is de blijvende verplaatsing δ van het starre blok? Hoe groot is de blijvende verplaatsing u van punt P? (4)

10 Formuleblad Solid Mechanics (4MB00) Vectoren en tensoren gradiëntoperator in Cartesische basis = e 1 + e + e 3 x 1 x x 3 gradiëntoperator in cilindrische basis = e r r + 1 r e θ θ + e z z eerste invariant J 1 (A) = tr(a) tweede invariant ( J (A) = 1 tr (A) tr(a A) ) derde invariant J 3 (A) = det(a) deviatorische deel A d = A 1 3 tr(a)i eigenwaarden en -vectoren A n i = λ i n i spectrale representatie (symm. tensor) A = λ 1 n 1 n 1 + λ n n + λ 3 n 3 n 3 Kinematica deformatietensor F = ( 0 x ) T d x = F d X 0 ( Green-Lagrange rektensor E = 1 FT F I ) ( Lineaire (infinitesimale) rektensor ε = 1 u + ( u) T) ( infinitesimale rotatietensor ω = 1 u ( u) T) volumetrische rek e = tr(ε) normaalrek ε nn = n ε n afschuifrek ε ns = ε n ε nn n hoofdrekken ε N i = ɛ i N i Spanningen en evenwicht spanningsvector normaalspanning afschuifspanning hydrostatische druk hoofdspanningen octahedrale normaalpanning p = σ n σ nn = n σ n σ ns = σ n σ nn n p = 1 3 tr(σ) σ M i = σ i M i σ oct = 1 3 tr(σ) octahedrale afschuifspanning τ oct = 3 1 (σ1 σ ) + (σ σ 3 ) + (σ 3 σ 1 ) maximale afschuifspanning τ max = 1 (σ 1 σ 3 ) richtingen maximale afschuifspanning n τmax = ± cos 45 o M i ± sin 45 o M j with i = j translatie-evenwicht σ T + ρ q = 0 rotatie-evenwicht σ = σ T 1

11 Lineaire elasticiteit gegeneraliseerde wet van Hooke σ = 4 C : ε ε = 4 S : σ isotrope lineaire elasticiteit σ = λ tr(ε)i + µε, ε = 1 9K tr(σ)i + 1 G σ d Lamé constanten λ = Eν (1+ν)(1 ν), µ = E (1+ν) glijdingsmodulus & compressiemodulus G = µ = E (1+ν), K = E 3(1 ν) Young s modulus & Poisson-factor matrixnotatie vlakke rek vlakspanning Limietcriteria E = (G+3λ)G λ+g, ν = λ (λ+g) = ε ε 11 = ε 33 1 ν ν ν σ 11 ν 1 ν ν ε 11 σ ν ν 1 ν ε σ 33 E = ν 0 0 ε τ 1 (1 + ν)(1 ν) 33 τ ν ε 0 1 ε 3 τ ν ε 31 σ 11 1 ν ν 0 E σ = ν 1 ν 0 ε 11 ε σ (1 + ν)(1 ν) (1 ν) ε 1 σ 11 1 ν 0 E σ = σ 1 ν ν ε 11 1 (1 ν) ε ε 1 Rankine σ R = max σ i σ y i Tresca σ T = σ 1 σ 3 σ y 3 Von Mises σ V M = σ d : σ d σ y Mohr-Coulomb Drucker-Prager 1 (σ 1 σ 3 ) + sin φ 1 (σ 1 + σ 3 ) cos φ c 3 σ d : σ d + 6 sin φ 3 sin φ p 6 cos φ 3 sin φ c Hill orthotroop F(σ σ 33 ) + G(σ 33 σ 11 ) + H(σ 11 σ ) +Lσ 3 + Mσ 31 + Nσ 1 σ y ε 11 1D grote rekken Rekken ε l = λ 1, ε ln = ln(λ),ε gl = 1 (λ 1) Volumeverandering J = V V 0 = Al A 0 l 0 = λµ Spanningen σ = F A, σ n = F A 0 Hyper-elastische materiaal modellen Specifieke energie W = W(λ 1,λ,λ 3 ), dw = σ 1 ε ln1 + σ ε ln + σ 3 ε ln3 Neo-Hookean W = C(λ 1 + λ + λ 3 3) Elasto-plastische materiaal modellen Yield criterion f = (σ q) σ y 0 Versteviging modellen σ y = σ(σ y0, ε p ), q = q(ε p ) Lineair versteviging σ y = σ y0 + H ε p, q = Kε p f < 0, σ = E ε f = 0, σ = E(H+K) E+H+K ε