Voorblad bij tentamen

Transcriptie

1 Voorblad bij tentamen (in te vullen door de examinator) Vaknaam: MECHANICA Vakcode: 8MB09 Datum: 16 April 2015 Begintijd: Eindtijd: Aantal pagina s: 9 Aantal vragen: 10 Aantal te behalen punten/normering per vraag: 10 Wijze van vaststellen eindcijfer: totale score/10 (70%) tussentoets telt voor 30% Wijze van beantwoording vragen: formulering, ordening, onderbouwing, multiple choice: Opgave maken + onderbouwing Inzage: indien nodig op afspraak Overige opmerkingen: Instructies voor studenten en surveillanten Toegestane hulpmiddelen (mee te nemen door student): Notebook x Rekenmachine x Grafische rekenmachine Dictaat/boek 1 A4-tje met aantekeningen Woordenboek(en). Zo ja, welke: Let op: toiletbezoek is alleen onder begeleiding toegestaan binnen 15 minuten na aanvang en 15 minuten voor het einde mag de tentamenruimte niet worden verlaten, tenzij anders aangegeven er dient altijd tentamenwerk (volledig ingevuld tentamenpapier: naam, studentnummer e.d.) te worden ingeleverd tijdens het tentamen dienen de huisregels in acht te worden genomen aanwijzingen van examinatoren en surveillanten dienen opgevolgd te worden etui ligt niet op tafel onderling worden geen hulpmiddelen geleend/uitgewisseld Tijdens het maken van schriftelijke tentamens wordt onder (poging tot) fraude in ieder geval verstaan: gebruik van andermans ID-bewijs/campuskaart mobiele telefoon of enige andere media dragende devices liggen op tafel of zijn opgeborgen in de kleding (poging tot) gebruik van ongeoorloofde bronnen en hulpmiddelen, zoals internet, mobiele telefoon e.d. het gebruik van een clicker die niet je eigen clicker is ander papier voor handen hebben dan door de TU/e is verstrekt, tenzij anders aangegeven toiletbezoek (of naar buiten lopen) zonder toestemming of begeleiding Behorende bij Regeling centrale tentamenafname TU/e

2 HERKANSING: MECHANICA, 8MB09 Donderdag 16 April 2015; Code: 8MB09, BMT Bachelor Biomedische Technologie Technische Universitieit Eindhoven Dit is een gesloten-boek-examen. Het gebruik van een laptop is niet toegestaan. Een elektronische rekenmachine mag worden gebruikt. Elke vorm van draadloze communicatie is verboden. De in dit examen voorkomende kolommen en matrices bevatten componenten betrokken op een xyz-coördinatensysteem behorende bij de Cartesische basis { e x, e y, e z }. Vraag 1: 10 punten Gegeven is een Cartesische basis { e x, e y, e z }. De volgende twee vectoren definiëren een vlak in de drie-dimensionale ruimte: a = 3 e y b = 4 ey + 3 e z Bepaal een nieuwe vector c in een richting loodrecht op het vlak dat is opgespannen door a en b en waarvoor geldt: a b c = 1 Vraag 2: 10 punten Een tweezijdig ingeklemde staaf met lengte l, een constante Young s modulus E en dwarsdoorsnede A wordt belast met een verdeelde belasting (body force): q(x) = q 0 (l x). De staaf is ingeklemd bij x = 0 en x = l. Geef een uitdrukking voor de verplaatsing u(x) van de staaf in termen van x, q 0, E, A en l. 1

3 Vraag 3: 10 points In een laboratorium voor bewegingsanalyse worden reflecterende markeringen op het lichaam van vrijwilligers geplakt zodat bewegingen met een camera kunnen worden geregistreerd. In een bepaald experiment worden markeringen aangebracht op de massamiddelpunten van de arm A, de romp R (inclusief hoofd), het bovenbeen U, onderbeen L en de knie K. De vrijwilliger wordt beschreven met een simpel lijnenmodel, waarop de posities van de massamiddelpunten zijn aangegeven (zie figuur). Terwijl de persoon stil staat met gebogen knieën wordt de positie van de markeringen gegeven door: romp : x R = e x + 6 e y armen : x A = 3 e x + 7 e y bovenbeen : x U = 2 e x + 4 e y onderbeen : x L = 2 e x + 2 e y De positie van de knie wordt gegeven door: knie : x K = 3 e x + 3 e y Bereken de krachten en het moment dat in de knie K werkt, als functie van het gewicht van de armen G A, romp G R en de bovenbenen G U. 2

4 Vraag 4: 10 points In een materieel punt in de ruimte heerst een spanningstoestand die beschreven wordt met de volgende spanningsmatrix σ t.o.v de Cartesische basis { e x, e y, e z }: σ = [kpa] Beschouw een vlak dat wordt opgespannen door de vectoren a en b die t.o.v. dezelfde basis geschreven worden als: 1 1 a = 0 ; b = Bereken de grootte van de normaalspanning die werkt op dit vlak. Vraag 5: 10 punten In een 2-dimensionale ruimte wordt de volgende Cartesische basis gedefinieerd { e x, e y }. Verder wordt een curve gegeven door de volgende parametervoorstelling: x = ξ e x + ξ 2 e y In die ruimte heerst een temperatuurveld dat beschreven wordt door: T (x, y, z) = T 0 + T 1 x 2 + y 2 L met x,y de cartesische coordinaten, T 0 en T 1 constanten met de dimensie temperatuur en L een constante positieve lengtemaat. Bepaal de afgeleide van het temperatuurveld in de richting van de parameterkromme voor ξ = 1 Vraag 6: 10 punten Een incompressibel materieel blokje wordt onderworpen aan een uniaxiale rek in x-richting (verlengingsfactor λ), waarbij de zijvlakken vrij kunnen bewegen. Deze vervorming wordt beschreven met de deformatietensor F 1. Vervolgens wordt het deeltje onderworpen aan een rotatie om de z-as met een hoek φ, beschreven met de deformatietensor F 2. De hoek is positief bij een draaiing van de positieve x-as in de richting van de positieve y-as. De totale deformatie is gelijk aan F tot = F 2 F 1. Geef een uitdrukking voor F tot als functie van cos(φ), sin(φ) en λ. 3

5 Vraag 7: 10 punten Van een homogeen deformerend blokvormig continuüm zijn door middel van onderstaande figuur de referentietoestand (op t = 0 s) en de eindtoestand (op t = 1 s) weergegeven in een Cartesisch xyz-coördinatensysteem. Tijdens de deformatie veranderen de ribben van het blok niet van richting. Het deformatieproces van 0 t 1, met t uitgedrukt in s, wordt beschreven met de deformatiematrix F (t), waarbij verder wordt vermeld dat alle componenten van F (t) lineair veranderen in de tijd t. Bereken de volumeveranderingsfactor J = det(f ) als functie van de tijd t. Vraag 8: 10 punten Van een dun rechthoekig membraan valt het middenvlak samen met het xy-vlak van een Carthesisch coördinatensysteem. Het membraan wordt in x-richting opgerekt (verlengingsfactor λ), in y-richting wordt de rek verhinderd en de dikterichting (z-richting) kan vrij contraheren. Het materiaal gedraagt zich incompressibel en de vervormingen zijn groot. Geef voor dit materiaal bij deze deformatietoestand de deformatietensor F, en het deviatorische deel van de Linkse Cauchy Green tensor B d, waarbij gegeven is dat: B = F T F en B d = B 1 3 tr(b)i. 4

6 Vraag 9: 10 punten In een Cartesisch xyz-coördinatensysteem bevindt zich een biologisch membraan met constante dikte h. Verder geldt voor het membraan: l x l en 2l y 2l. Het membraan wordt opgerekt in zowel x- als y-richting waarvoor een resulterende kracht van P in beide richtingen nodig is (zie figuur). Het membraan kan vrij vervormen in z-richting, waardoor in het hele membraan een homogene vlakspanningstoestand heerst. Het membraan gedraagt zich als een elastisch materiaal volgens de wet van Hooke met een Young s modulus E = 20 [MPa] en een Poisson s ratio ν = 1/3 [-]. Verder is gegeven dat: P = 12 [N], l = 10 [mm], h = 1 5 [mm]. De relevante rekken zijn klein. Bereken ε xx, ε yy en ε zz. Vraag 10: 10 punten Voor een incompressibele Newtonse vloeistof met viscositeit η geldt de volgende relatie tussen de spanning en de deformatiesnelheidstensor: σ = pi + 2ηD In een meetopstelling wordt het volgende snelheidsveld gecreëerd: 0 v = c y met c constant z waarbij een aan de meetopstelling vast verbonden Carthesisch xyz-coördinatensysteem is gehanteerd. De druk in de x-richting is voorgeschreven: σ xx = q met q een positieve constante. Bepaal de volledige spanningsmatrix. 5

7 Equations Mechanica 1 Chapter 1 Inner product: a b = a b cos(φ) Cross product or vector product: c = a b ; c = a b sin(φ) Triple product: a b c = ( a b) c Dyadic product: a b p = a( b p) Operations that are used once a Cartesian vector basis { e x, e y, e z } is defined: Inner product a b = a x b x + a y b y + a z b z Cross product a b = (a y b z a z b y ) e x + (a z b x a x b z ) e y + (a x b y a y b x ) e z Chapter 2 The component F t of a force F in the direction of a unit vector e is given by: ( ) F t = F e e The moment of a force F acting on point Q with position vector x Q with respect to point P with position vector x P is given by: Chapter 6 M = ( x Q x P ) F Differential equation for a one-dimensional continuous elastic medium: ( d EA du ) + q = 0 dx dx Chapter 7 The directional derivative dp de dp de = e P of a scalar property P in the direction of the unit vector e: Velocity of a point x that rotates with angular velocity ω around an axis through point x S : v( x) = ω ( x x S ) 6

8 Chapter 8 Equilibrium equations (absence of a distributed load): σ xx x σ xy x σ xz x + σ xy y + σ yy y + σ yz y + σ xz z + σ yz z + σ zz z = 0 = 0 = 0 The equivalent stress σ M according to von Mises: σ M = with: σ d = σ 1 3 tr(σ)i 3 2 tr(σd σ d 3 ) = 2 tr(σd σ d ) The stress vector s working on a plane with outward unit normal n can be derived from the stress tensor σ by: s = σ n Chapter 9 The material time derivative of a scalar variable T : [ ] T T = t x 0 constant The spatial time derivative of a scalar variable T : [ ] δt T δt = t x constant Relation between material and spatial time derivative: T = v T + δt δt The acceleration satisfies: a = v = v v + δ v δt Chapter 10 The deformation tensor: d x = F d x 0 ; F = ( 0 x) T = I + ( 0 u 0 = F T ; J = det(f ) The right Cauchy Green deformation tensor: C = F T F ) T 7

9 The left Cauchy Green deformation tensor: B = F F T The Green Lagrange strain tensor: E = 1 ( 2 F T F I ) ( ( 0 ) ( ) ) T The linear strain tensor: ɛ = 1 2 u + 0 u The velocity gradient tensor: d x = L d x ( ) T L = v = Ḟ F 1 The rate of deformation tensor: D = 1 ( L + L T ) = 1 ( ( v ) T ( ) ) + v = 1 (Ḟ ) F 1 + F T Ḟ T The rotation velocity or spin tensor: Ω = 1 2 Logarithmic strain rate: λ = e D e λ Rate of volume change: J = Jtr(D) Chapter 12 ( L L T ) = 1 ( ( v ) T ( ) ) v = 1 (Ḟ ) F 1 F T 2 2 Ḟ T Hooke s law for solids (small deformations!): ( σ = K 2G ) tr(ɛ)i + 2Gɛ 3 Constitutive law for Newtonian fluid: σ = pi + 2ηD 8

10 Alternative formulations for linear Hooke s law: ε xx = 1 E ( σ xx ν σ yy ν σ zz ) ε yy = 1 E ( ν σ xx + σ yy ν σ zz ) ε zz = 1 E ( ν σ xx ν σ yy + σ zz ) The reverse relation: σ xx = σ yy = σ zz = E (1 + ν)(1 2ν) ((1 ν)ɛ xx + ν ɛ yy + ν ɛ zz ) E (1 + ν)(1 2ν) ( ν ɛ xx + (1 ν)ɛ yy + ν ɛ zz ) E (1 + ν)(1 2ν) ( ν ɛ xx + ν ɛ yy + (1 ν)ɛ zz ) The equations for the shear strains and stresses: ɛ xy = ɛ yx = 1 2G σ xy = 1 2G σ yx ɛ xz = ɛ zx = 1 2G σ xz = 1 2G σ zx ɛ zy = ɛ yz = 1 2G σ yz = 1 2G σ zy Relation between shear modulus, Young s modulus and Poisson s constant: G = E 2(1 + ν) 9