Examination cover sheet

Transcriptie

1 Examination cover sheet (to be completed by the examiner) Course name: MECHANICA EINDTOETS Course code: 8MB09 Date: 21 Januari 2016 Start time: 9.00 End time: Number of pages: 9 Number of questions: 10 Maximum number of points/distribution of points over questions: 10 Method of determining final grade: totale score /10 Answering style: formulation, order, foundation of arguments, multiple choice: Open vragen Exam inspection: op afspraak Other remarks: Instructions for students and invigilators Permitted examination aids (to be supplied by students): Notebook x Calculator x Graphic calculator Lecture notes/book One A4 sheet of annotations Dictionar(y)(ies). If yes, please specify: Important: examinees are only permitted to visit the toilets under supervision it is not permitted to leave the examination room within 15 minutes of the start and within the final 15 minutes of the examination, unless stated otherwise examination scripts (fully completed examination paper, stating name, student number, etc.) must always be handed in the house rules must be observed during the examination the instructions of examiners and invigilators must be followed no pencil cases are permitted on desks examinees are not permitted to share examination aids or lend them to each other During written examinations, the following actions will in any case be deemed to constitute fraud or attempted fraud: using another person's proof of identity/campus card (student identity card) having a mobile telephone or any other type of media-carrying device on your desk or in your clothes using, or attempting to use, unauthorized resources and aids, such as the internet, a mobile telephone, etc. using a clicker that does not belong to you having any paper at hand other than that provided by TU/e, unless stated otherwise visiting the toilet (or going outside) without permission or supervision Associated with the Central Examination Regulations

2 EINDTOETS: MECHANICA, 8MB09 Donderdag 21 JANUARI 2016; Dit is een gesloten-boek-examen. Het gebruik van een laptop is niet toegestaan. Een elektronische rekenmachine mag worden gebruikt. Elke vorm van draadloze communicatie is verboden. De in dit examen voorkomende kolommen en matrices bevatten componenten betrokken op een xyz-coördinatensysteem behorende bij de Cartesische basis { e x, e y, e z }. Vraag 1: 10 punten Gegeven is een Cartesische basis { e x, e y, e z }. Gegeven zijn de vectoren: a = 5 e x + 3 e y e z b = 3 ex + 2 e z Bereken het resultaat van: a) ( e x e x + e y e y ) a b) ( e x e x + e y e y ) b c) ( e x e z + e z e x ) b Vraag 2: 10 punten Een staaf met lengte l, een constante Young s modulus E en dwarsdoorsnede A wordt belast met een verdeelde belasting (body force): q. De staaf is aan 1 zijde ingeklemd en aan de andere zijde wordt de staaf belast met een externe kracht F. Voor de definitie van het coördinatensysteem en de richting van de lichaamskracht en externe kracht zie de figuur. Om het verplaatsingsveld uit te rekenen moeten we de evenwichtsvergelijking oplossen voor dit systeem. Geef de evenwichtsvergelijking en geef aan welke randvoorwaarden we moeten gebruiken om de vergelijking op te lossen? (let op: er wordt niet gevraagd de vergelijking daadwerkelijk op te lossen) 1

3 Vraag 3: 10 points Een persoon tilt een doos op vanaf de grond. Voor de houding van de persoon zie figuur. In verband met een houdingsstudie willen we weten wat de krachten en momenten zijn die in de rug en de gewrichten van de persoon werken. Daarom maken we een schematische weergave van de persoon (figuur rechts). Bereken op basis van de dimensies in de figuur en rekening houdend met de aangrijpingspunten van de krachten die werken t.g.v. het rompen hoofdgewicht en het gewicht van de doos, wat het moment en de vertikale kracht is die werken in de lage onderrug van de persoon bij punt B. Vraag 4: 10 points We beschouwen een materieel blokje waarvan de ribben zijn georiënteerd in de richting van de assen van een cartesisch x, y, z-coördinatensysteem (zie figuur). In deze figuur zijn op de zichtbare zijvlakken van het blokje ook de normaal- en schuifspanningen getekend (uitgedrukt in MPa). Bereken de grootte van de normaalspanning op het vlakje met de normaal n = 1 2 ( e x e y ). 2

4 Vraag 5: 10 punten In een 2-dimensionale ruimte wordt de volgende Cartesische basis gedefinieerd { e x, e y }. Verder wordt een curve gegeven door de volgende parametervoorstelling: x(ξ) = ξ e x + ξ 2 e y In die ruimte heerst een temperatuurveld dat beschreven wordt door: T (x, y) = x 2 + 2y 2 met x,y de cartesische coordinaten. Bepaal de afgeleide van het temperatuurveld in de richting van de parameterkromme voor ξ = 1 Vraag 6: 10 punten Op een stukje weefsel wordt een uniaxiale test uitgevoerd door een kracht uit te oefenen in de x-richting. De y- en z-richting zijn spanningsvrij. Dit leidt tot de volgende deformatie tensor F : F = α e x e x + λ e y e y + λ e z e z Het weefsel kan beschreven worden als een compressibel Neo-Hookean materiaal met de volgende wet: σ = K(det(F ) 1)I + G(B I) met B = F F T en I de eenheidstensor Leid een relatie af waarmee de verlengingsfactor λ kan worden uitgedrukt in K, G en α. 3

5 Vraag 7: 10 punten Van een plaatje materiaal ABCD, liggend in een x, y-assenstelsel, zijn zowel de referentie configuratie als de momentane configuratie gegeven (zie onderstaande figuur). De deformatie is homogeen. Bereken de Green-Lagrange rek van de diagonalen AC en BD in de momentane toestand t.o.v. de referentietoestand. Vraag 8: 10 punten Uit een numerieke berekening volgt voor een plaatje de spanningstoestand als weergegeven in onderstaande figuur. De spanningen zijn gegeven in [kpa]. Het betreft hier een vlakspanningstoestand, dus σ zz = σ xz = σ yz = 0. De vervormingen zijn klein. Het materiaal gedraagt zich isotroop en is te beschrijven met de wet van Hooke. De Young s modulus E = 2 [MPa] en de dwarscontractiecoëfficient ν = 2 5 [-]. Bereken het spoor van de lineaire rekmatrix tr(ε). 4

6 Vraag 9: 10 punten In een cartesisch xyz-coördinatensysteem wordt een cilindrisch vat (lengte l) beschouwd waardoor een vloeistof stroomt met constante sneldheid: v = V e y. Zie figuur De temperatuur T in het vat is een lineaire functie van de ruimtelijke coördinaat y: T = T 0 + y l (T l T 0 ) T 0 en T l constant Beschouwd wordt het materiële vloeistofdeeltje dat op het tijdstip t = τ de positievector x = l/2 e y heeft. Bereken de materiële tijdsafgeleide T van dit deeltje. Vraag 10: 10 punten Gegeven is een materieel volume in de vorm van een tetraeder (viervlak) ABCD. De posities van de hoekpunten gedefinieerd in een Cartesisch xyz-coördinatensysteem zijn vermeld (uitgedrukt in mm) in de volgende tabel: A B C D x y z Gegeven is de spanningsvector (uitgedrukt in kpa) op het vlakje ABC: p = 1200 e x. Bereken de normaalspanningsvector p n en de schuifspanningsvector p s op het vlakje ABC. 5

7 Equations Mechanica 1 Chapter 1 Inner product: a b = a b cos(φ) Cross product or vector product: c = a b ; c = a b sin(φ) Triple product: a b c = ( a b) c Dyadic product: a b p = a( b p) Operations that are used once a Cartesian vector basis { e x, e y, e z } is defined: Inner product a b = a x b x + a y b y + a z b z Cross product a b = (a y b z a z b y ) e x + (a z b x a x b z ) e y + (a x b y a y b x ) e z Chapter 2 The component F t of a force F in the direction of a unit vector e is given by: ( ) F t = F e e The moment of a force F acting on point Q with position vector x Q with respect to point P with position vector x P is given by: Chapter 6 M = ( x Q x P ) F Differential equation for a one-dimensional continuous elastic medium: ( d EA du ) + q = 0 dx dx Chapter 7 The directional derivative dp de dp de = e P of a scalar property P in the direction of the unit vector e: Velocity of a point x that rotates with angular velocity ω around an axis through point x S : v( x) = ω ( x x S ) 6

8 Chapter 8 Equilibrium equations (absence of a distributed load): σ xx x σ xy x σ xz x + σ xy y + σ yy y + σ yz y + σ xz z + σ yz z + σ zz z = 0 = 0 = 0 The equivalent stress σ M according to von Mises: σ M = with: σ d = σ 1 3 tr(σ)i 3 2 tr(σd σ d 3 ) = 2 tr(σd σ d ) The stress vector s working on a plane with outward unit normal n can be derived from the stress tensor σ by: s = σ n Chapter 9 The material time derivative of a scalar variable T : [ ] T T = t x 0 constant The spatial time derivative of a scalar variable T : [ ] δt T δt = t x constant Relation between material and spatial time derivative: T = v T + δt δt The acceleration satisfies: a = v = v v + δ v δt Chapter 10 The deformation tensor: d x = F d x 0 ; F = ( 0 x) T = I + ( 0 u 0 = F T ; J = det(f ) The right Cauchy Green deformation tensor: C = F T F ) T 7

9 The left Cauchy Green deformation tensor: B = F F T The Green Lagrange strain tensor: E = 1 ( 2 F T F I ) ( ( 0 ) ( ) ) T The linear strain tensor: ɛ = 1 2 u + 0 u The velocity gradient tensor: d x = L d x ( ) T L = v = Ḟ F 1 The rate of deformation tensor: D = 1 ( L + L T ) = 1 ( ( v ) T ( ) ) + v = 1 (Ḟ ) F 1 + F T Ḟ T The rotation velocity or spin tensor: Ω = 1 2 Logarithmic strain rate: λ = e D e λ Rate of volume change: J = Jtr(D) Chapter 12 ( L L T ) = 1 ( ( v ) T ( ) ) v = 1 (Ḟ ) F 1 F T 2 2 Ḟ T Hooke s law for solids (small deformations!): ( σ = K 2G ) tr(ɛ)i + 2Gɛ 3 Constitutive law for Newtonian fluid: σ = pi + 2ηD 8

10 Alternative formulations for linear Hooke s law: ε xx = 1 E ( σ xx ν σ yy ν σ zz ) ε yy = 1 E ( ν σ xx + σ yy ν σ zz ) ε zz = 1 E ( ν σ xx ν σ yy + σ zz ) The reverse relation: σ xx = σ yy = σ zz = E (1 + ν)(1 2ν) ((1 ν)ɛ xx + ν ɛ yy + ν ɛ zz ) E (1 + ν)(1 2ν) ( ν ɛ xx + (1 ν)ɛ yy + ν ɛ zz ) E (1 + ν)(1 2ν) ( ν ɛ xx + ν ɛ yy + (1 ν)ɛ zz ) The equations for the shear strains and stresses: ɛ xy = ɛ yx = 1 2G σ xy = 1 2G σ yx ɛ xz = ɛ zx = 1 2G σ xz = 1 2G σ zx ɛ zy = ɛ yz = 1 2G σ yz = 1 2G σ zy Relation between shear modulus, Young s modulus and Poisson s constant: G = E 2(1 + ν) 9