Voorblad bij tentamen

Transcriptie

1 Studentnaam: Studentnummer: Voorblad bij tentamen (in te vullen door de examinator) Vaknaam: Solid Mechanics Vakcode: 4MB00 Datum: 16 april 015 Begintijd: 9:00 Eindtijd: 1:00 Aantal pagina s: 6 (excl. dit blad en formuleblad) Aantal vragen: 3 opgaven (met in totaal 16 deelvragen) Aantal te behalen punten is maximaal 100. De te behalen punten zijn bij elke deelvraag vermeld, rechts naast het kader Wijze van vaststellen eindcijfer: aantaal behaalde punten/10 Wijze van beantwoording vragen: het tentamen bestaat uit open vragen. De volledige uitwerkingen en antwoorden moeten worden gegeven in de omlijnde kaders op de opgavebladen. Deze worden allemaal, voorzien van naam en identiteitsnummer bovenaan dit blad en onderaan elke bladzijde, ingeleverd. Kladpapier wordt niet nagekeken en hoeft dus niet te worden ingeleverd. Inzage: op afspraak Instructies voor studenten en surveillanten Toegestane hulpmiddelen: Formuleblad (aangehecht aan dit tentamen) Het gebruik van boeken, laptop, gsm, rekenmachine, dictaat en aantekeningen is niet toegestaan. Wel toegestaan is het aangehechte formuleblad.. Let op: toiletbezoek is alleen onder begeleiding toegestaan binnen 15 minuten na aanvang en 15 minuten voor het einde mag de tentamenruimte niet worden verlaten, tenzij anders aangegeven er dient altijd tentamenwerk (volledig ingevuld tentamenpapier: naam, studentnummer e.d.) te worden ingeleverd tijdens het tentamen dienen de huisregels in acht te worden genomen aanwijzingen van examinatoren en surveillanten dienen opgevolgd te worden etui ligt niet op tafel onderling worden geen hulpmiddelen geleend/uitgewisseld Tijdens het maken van schriftelijke tentamens wordt onder (poging tot) fraude in ieder geval verstaan: gebruik van andermans ID-bewijs/campuskaart mobiele telefoon of enige andere media dragende devices liggen op tafel of zijn opgeborgen in de kleding (poging tot) gebruik van ongeoorloofde bronnen en hulpmiddelen, zoals internet, mobiele telefoon e.d. het gebruik van een clicker die niet je eigen clicker is ander papier voor handen hebben dan door de TU/e is verstrekt, tenzij anders aangegeven toiletbezoek (of naar buiten lopen) zonder toestemming of begeleiding Behorende bij Regeling centrale tentamenafname TU/e

2 Opgave 1 Het wegdek op een brug wordt gemodelleerd als een plaat, die in onvervormde toestand lengte l 0, breedte w 0 en dikte d 0 heeft. In de onderstaande figuur is deze uitgangssituatie aangeduid als toestand t 0. Een temperatuurverhoging T resulteert in een homogene volumetrische expansie zodat de plaat rechthoekig blijft en de afmetingen na de uitzetting worden aangeduid als l = (1+α T)l 0, w = (1+α T)w 0, d = (1+α T)d 0 waarbij α de uitzettingscoëfficiënt is. Deze ongehinderde uitzetting leidt tot de situatie die in onderstaande figuur als toestand t is aangeduid. Deze toestand is spanningsloos. Wanneer het wegdek op de brug gemonteerd is, kan de uitzetting in de 1-richting niet plaatsvinden, zodat in de uiteindelijke opgewarmde toestand geldt : l = l 0. In de andere twee richtingen wordt de deformatie niet verhinderd. Er treedt geen afschuiving op. De uiteindelijke breedte en dikte zijn w en d. De uiteindelijke situatie is in de figuur aangeduid als toestand t. l d d 0 w l w 0 t 0 t Het mechanisch materiaalgedrag van het wegdek is lineair elastisch en wordt gegeven door het onderstaand verband tussen de hoofdspanningen en hoofdrekken, waarbij A en B bekende materiaalparameters zijn : d w t σ 1 σ σ 3 = A B B B A B B B A ε 1 ε ε 3 l a. Geef de deformatietensor F, die de deformatie van t 0 naar t beschrijft? Drukdezedeformatietensoreerstuitindeafmetingenendebasisvectoren{ e 1, e, e 3 } langs de in de figuur getekende coördinaatassen en daarna in α en T. (10) 1

3 b. Bepaal de volumeveranderingsfactor J en druk deze uit in α en T. (4) c. Bepaal de lineaire rekken ε 1, ε en ε 3, die de deformatie van toestand t naar t beschrijven en druk ze uit in de gegeven afmetingen. d. Druk ε en ε 3 uit in ε 1, gebruik makend van het gegeven dat de deformatie in de - en 3-richting niet verhinderd is., d.w.z. σ = σ 3 = 0. (8) e. Bepaal in de uiteindelijke toestand t de spanning σ 1, uitgedrukt in de materiaalparameters A, B en α en de temperatuurverhoging T. (7)

4 Opgave In het laboratorium staat een cilindrisch drukvat waarin onder hoge druk experimenten kunnen worden uitgevoerd. De binnendiameter van het drukvat is d i = a en de buitendiameter is d u = b. Het vat is afgesloten door twee deksels en heeft lengte L. De inhoud van het drukvat kan tijdens een experiment worden geobserveerd door een venster in de wand. In de figuur is, in een doorsnede loodrecht op de as, dit venster aangegeven als ABCD. Bij een inwendige overdruk p zijn de radiale, tangentiële en axiale spanningen in de cilinderwand gegeven als functie van de radiale coördinaat r : σ rr = pa b a ) (1 b r, σ tt = pa b a ) (1+ b r, σ zz = Cp, met C = a b a σ tt D A C B r e t e r σ rr A φ e r e t B σ rr σ tt a. Welke vergelijking wordt gebruikt voor het bepalen van de axiale spanning σ zz? Geef de uitwerking en laat zien hoe de constante C wordt bepaald. (5) b. Bepaal de hoofdspanningen σ 1 > σ > σ 3 uitgedrukt in de hierboven gegeven spanningscomponenten σ rr, σ tt en σ zz. (5) 3

5 c. Bepaal de Von Mises spanning σ VM als functie van r. Druk σ VM uit in σ rr, σ tt en σ zz en vervolgens in de druk p en de gegeven afmetingen a en b. (8) d. Bepaal de Tresca spanning σ T als functie van r. Druk σ T uit in σ rr, σ tt en σ zz en vervolgens in de druk p en de gegeven afmetingen a en b. (5) Beschouw nu een infinitesimaal kubusvormig materiaalblokje in een punt van het grensvlak AB, op een afstand r van de as, zoals in de figuur is weergegeven. De rand AB maakt in het betreffende punt een hoek φ met de radiale coördinaatrichting. e. Bepaal de spanningsvector p op het vlak AB. Druk p uit in de spanningscomponenten σ rr en σ tt. 4

6 f. Bepaal de normaalspanning p n en de schuifspanning p s op het vlak AB. Opgave 3 Twee evenwijdige staven, a en b, zijn verbonden aan de vaste wereld en aan een star blok, dat uitsluitend horizontaal kan verplaatsen. De verplaatsing δ wordt veroorzaakt door een kracht F. Beide staven hebben in onbelaste toestand de lengte L en hetzelfde dwarsdoorsnede-oppervlak A. Aangenomen wordt dat dit dwarsdoorsnede-oppervlak niet verandert bij lengteverandering. a L A b L A F δ Het lineair elastisch gedrag van beide staven wordt beschreven door de elasticiteitsmodulus E. Staaf a heeft een initiële vloeispanning σ y0 en vertoont na vloeien lineaire kinematische versteviging met verstevigingsconstante K. Staaf b heeft initiële vloeispanning σ y0 en vertoont na vloeien ideaal plastisch gedrag. a. Teken voor beide staven het spannings-rek diagram. (9) 5

7 b. Bepaal de kracht F 0 waarbij voor het eerst vloeien in één van beide staven optreedt. Hoe groot is dan de verlenging δ 0? (4) c. Bepaal de kracht F 1 waarbij voor het eerst beide staven vloeien. Hoe groot is dan de verlenging δ 1? d. De kracht wordt nu verder verhoogd tot F = F = 7 σ y0a. Hoe groot is de verlenging δ? e. De kracht wordt tenslotte tot nul gereduceerd. (Dus : F 3 = 0.) Hoe groot is de resulterende axiale restspanning in de beide staven? ( Noem ze σ a 3 en σb 3.) (5) 6

8 Formuleblad Solid Mechanics (4MB00) Vectoren en tensoren gradiëntoperator in Cartesische basis = e 1 + e + e 3 x 1 x x 3 gradiëntoperator in cilindrische basis = e r r + 1 r e θ θ + e z z eerste invariant J 1 (A) = tr(a) tweede invariant ( J (A) = 1 tr (A) tr(a A) ) derde invariant J 3 (A) = det(a) deviatorische deel A d = A 1 3 tr(a)i eigenwaarden en -vectoren A n i = λ i n i spectrale representatie (symm. tensor) A = λ 1 n 1 n 1 + λ n n + λ 3 n 3 n 3 Kinematica deformatietensor F = ( 0 x ) T d x = F d X 0 ( Green-Lagrange rektensor E = 1 FT F I ) ( Lineaire (infinitesimale) rektensor ε = 1 u + ( u) T) ( infinitesimale rotatietensor ω = 1 u ( u) T) volumetrische rek e = tr(ε) normaalrek ε nn = n ε n afschuifrek ε ns = ε n ε nn n hoofdrekken ε N i = ɛ i N i Spanningen en evenwicht spanningsvector normaalspanning afschuifspanning hydrostatische druk hoofdspanningen octahedrale normaalpanning p = σ n σ nn = n σ n σ ns = σ n σ nn n p = 1 3 tr(σ) σ M i = σ i M i σ oct = 1 3 tr(σ) octahedrale afschuifspanning τ oct = 3 1 (σ1 σ ) + (σ σ 3 ) + (σ 3 σ 1 ) maximale afschuifspanning τ max = 1 (σ 1 σ 3 ) richtingen maximale afschuifspanning n τmax = ± cos 45 o M i ± sin 45 o M j with i = j translatie-evenwicht σ T + ρ q = 0 rotatie-evenwicht σ = σ T 1

9 Lineaire elasticiteit gegeneraliseerde wet van Hooke σ = 4 C : ε ε = 4 S : σ isotrope lineaire elasticiteit σ = λ tr(ε)i + µε, ε = 1 9K tr(σ)i + 1 G σ d Lamé constanten λ = Eν (1+ν)(1 ν), µ = E (1+ν) glijdingsmodulus & compressiemodulus G = µ = E (1+ν), K = E 3(1 ν) Young s modulus & Poisson-factor matrixnotatie vlakke rek vlakspanning Limietcriteria E = (G+3λ)G λ+g, ν = λ (λ+g) = ε ε 11 = ε 33 1 ν ν ν σ 11 ν 1 ν ν ε 11 σ ν ν 1 ν ε σ 33 E = ν 0 0 ε τ 1 (1 + ν)(1 ν) 33 τ ν ε 0 1 ε 3 τ ν ε 31 σ 11 1 ν ν 0 E σ = ν 1 ν 0 ε 11 ε σ (1 + ν)(1 ν) (1 ν) ε 1 σ 11 1 ν 0 E σ = σ 1 ν ν ε 11 1 (1 ν) ε ε 1 Rankine σ R = max σ i σ y i Tresca σ T = σ 1 σ 3 σ y 3 Von Mises σ V M = σ d : σ d σ y Mohr-Coulomb Drucker-Prager 1 (σ 1 σ 3 ) + sin φ 1 (σ 1 + σ 3 ) cos φ c 3 σ d : σ d + 6 sin φ 3 sin φ p 6 cos φ 3 sin φ c Hill orthotroop F(σ σ 33 ) + G(σ 33 σ 11 ) + H(σ 11 σ ) +Lσ 3 + Mσ 31 + Nσ 1 σ y ε 11 1D grote rekken Rekken ε l = λ 1, ε ln = ln(λ),ε gl = 1 (λ 1) Volumeverandering J = V V 0 = Al A 0 l 0 = λµ Spanningen σ = F A, σ n = F A 0 Hyper-elastische materiaal modellen Specifieke energie W = W(λ 1,λ,λ 3 ), dw = σ 1 ε ln1 + σ ε ln + σ 3 ε ln3 Neo-Hookean W = C(λ 1 + λ + λ 3 3) Elasto-plastische materiaal modellen Yield criterion f = (σ q) σ y 0 Versteviging modellen σ y = σ(σ y0, ε p ), q = q(ε p ) Lineair versteviging σ y = σ y0 + H ε p, q = Kε p f < 0, σ = E ε f = 0, σ = E(H+K) E+H+K ε