Figuur 1: Overzicht spanningen éénzijdig verlopende doorsnede

Transcriptie

1 1. Abstract In dit artikel wordt ingegaan op de spanningsverdeling in niet prismatische houten liggers met een éénzijdig verlopende doorsnede. Ten gevolge van niet evenwijdig aan de houtvezel verlopende randen treden er spanningen loodrecht op de houtvezel en schuispanningen op. Deze spanningen ontstaan door zowel moment als dwarskracht. Aan de hand van handberekeningen en computermodellen worden de spanningen bepaald om zo nodig tot een verbeterde rekenregel te komen. Om de spanningen te kunnen toetsen is een meer geavanceerd bezwijkcriterium voor de sterkte noodzakelijk. Het in de praktijk gebruikte Norris criterium wordt in dit artikel bekeken.. Aanleiding Het is niet moeilijk om van een prismatische ligger met parallelle randen een tapse ligger te zagen. Vandaar dat dit liggertpe veel in de praktijk voorkomt. Deze tapsheid geet mogelijkheden tot wateraschot als het dakliggers betret. Er zijn enkelzijdige en dubbelzijdige tapse liggers. Deze tpe liggers zijn architectonisch eleganter en technisch gezien eiciënter omdat de doorsnede de momentenlijn meer volgt dan een prismatische ligger. Voor het ontwerp is te beseen dat de aangesneden rand niet parallel loopt met de vezelrichting. Bekend is dat de sterkte varieert met de vezelrichting. iguur 1: Overzicht spanningen éénzijdig verlopende doorsnede spanning // vezel spanning vezel τ schuispanning De spanningsverdeling in niet prismatische houten liggers zijn niet te berekenen met de gebruikelijke ormules voor prismatische liggers. Ten gevolge van niet evenwijdig aan de houtvezel verlopende randen treden er spanningen loodrecht op de houtvezel en schuispanningen op, weergegeven in iguur 1. Aan het bepalen van deze spanningen, analtisch en numeriek, is in het verleden (rond 1980) aandacht besteed door o.a. Riberholt, Gutkowski, Dewe, oschi, o, Möhler, Blumer en Ehlbeck. Tevens wordt in STEP les B8, Eurocode 5 en NEN 6760 aandacht aan de niet prismatische liggers besteed. De ormules waarmee de spanningen worden berekend zijn niet doorzichtig. 1

2 Het doel binnen mijn astuderen is een brede basis te leggen voor vervolg onderzoek naar de spanningsverdeling bij niet prismatische houten liggers, waarbij de achtergrond van de verschillende geldende ormules in de norm duidelijk en helder is. In dit artikel wordt ingegaan op de niet-prismatische ligger met een éénzijdig verlopende doorsnede, weergegeven in iguur. iguur : niet-prismatische ligger met een éénzijdig verlopende doorsnede 3. Breukcriterium hout Ten gevolge van de simultaan in meerdere richtingen optredende spanningen is het ormuleren van een meer geavanceerd bezwijkcriterium voor de sterkte noodzakelijk. In de praktijk wordt het zogenaamde Norris criterium gebruikt. Dit is een bijzonder geval van het Tsai-Wu criterium. Het materiaal hout heet in de drie hoodrichtingen andere sterkte waarden, met bij een trekbelasting een bros bezwijkgedrag. In iguur 3 zijn de karakteristieke waarden van het gelamineerd naaldhout (GL8h) uitgezet. Door middel van een drietal eclipsen wordt een ruimtelijk iguur ingesloten. Combinaties van spanningen, die buiten deze iguur vallen, hebben theoretisch bezwijken tot gevolg. iguur 3: Karakteristieke waarden voor GL8h in N/mm (NEN-EN 1194) Het Tsui-Wu criterium [1] voor een anisotroop materiaal is een algemeen breukcriterium in de vorm van een polnoom. [] = 1 met: i, j =,, z (1) ij ij ijij ij

3 Voor een vlakke spanningstoestand, met alleen spanningen in één vlak, en zonder hogere orde termen, is het criterium uit te schrijven tot ormule () + = 1 met: i, j =, () ij ij ijij ij = 1 Hierin is met: 0;t 0;c 90;t 90;c v = 1 1 ; 90; t 90; c = 1 1 ; 90; t 90; c = 1 1 ; v v = 1 ; = 0; t 0; c 1 1 = 90; t 90; c treksterkte evenwijdig aan de vezelrichting druksterkte evenwijdig aan de vezelrichting treksterkte loodrecht op de vezelrichting druksterkte loodrecht op de vezelrichting schuisterkte v v α = 0, 5arctan De laatste term met staat voor de helling van de ellipsvormige curve. De Tsai-Wu vergelijking kan worden gereduceerd: de helling kan worden verwaarloosd waardoor = 0. Er vanuit gaande dat de sterkte in druk- en trekrichting evenwijdig- en loodrecht op de vezelrichting elkaar weinig ontlopen, kunnen alle ij parameters gelijk aan 0 worden gesteld. Hierdoor resteren alleen de termen met de spanningen in het kwadraat. + + = 1 (3) Dit spanningscriterium is ontwikkeld door Norris [3] en kan worden gezien als een bijzonder geval van het Tsai-Wu criterium, weergegeven in ormule (4) + + = v (4) De transormatie regels van het Tsai-Wu criterium zijn algemeen. ormule (3) geldt voor richtingen samenvallend met de hoodrichtingen: evenwijdig en loodrecht op de vezelrichting. Aan de ageschuinde zijde is de sterkte onder een hoek met de vezelrichting belangrijk. 3

4 iguur 4: analse spanningstoestand Uit het evenwicht van het element in iguur 4 volgt, dat behalve de spanning evenwijdig aan de vezel () ook schuispanningen (τ) op moeten treden en daardoor ook spanningen loodrecht op de vezel (). Horizontaal evenwicht: τ = tanα (5) Verticaal evenwicht: = τ tanα = tan α (6) Door ormule (5) en (6) in ormule (4) in te vullen, volgt na enkele omrekeningen de ormule zoals deze in de NEN6760 staat. α = cos α + sin α + cos α sin α Spanningsverdeling volgens Riberholt (7) De rekenregels in NEN6760 (art ) [4] zijn gebaseerd op het onderzoek naar de spanningen in de uiterste vezel bij een niet-prismatische ligger met een éénzijdig verlopende doorsnede van H. Riberholt. [5] iguur 5: Schematisatie tot wig Een niet prismatische ligger is te schematiseren tot een wig met aan de top een equivalente puntlast (P), waarvoor de spanningsverdeling bekend is. Op voldoende grote astand van de oplegging geldt M = R = P r (8) 4

5 Hout is een orthotroop materiaal waardoor ormule (9) geldig is. ε 1 ν 1 0 E0 E90 ν G ε 1 = E 0 E 90 γ τ ν ν = = ν (9) E E E met: De spanningen in de wig zijn volgens onderzoek van Lekhnittski uit 196 [6]. = 0 (10) θ τ = 0 rθ r 1 Acosθ + Bsinθ = met: L( ) r L( θ ) 4 4 cos α 1 ν sin θ = + cos α sin α + α E0 G E0 E90 De constante waarden A en B worden bepaald doordat er in het deel van de wig evenwicht moet optreden. De constanten worden aan de hand van ormule (11) opgelost. P AI1 + BI = cosω = 0 (11) b P P AI + BI3 = sinω = b b met: arctan ( tan ) arctan ( tan ) I1 E β β α = δ δ α 90 β δ I I ( β δ ) ( ) E cos α + β sin α = ln cos α + δ sin α 90 = E 1 1 arctan tan arctan tan β δ ( β α ) ( δ α ) ( β δ ) 3 90 Hier wordt voor β 1,13 en δ 3,97 aangehouden. A ( α) P b E B = g( α ) P b E kan de ormule worden Met = ( ) en ( ) 90 herschreven. Daarnaast is in de ormule een relatie gelegd tussen r en m, door benaderend aan te nemen dat M Pr. 90 P ( α )cos θ + g( α)sinθ M tan α ( α )cos θ + g( α)sinθ r = = r t E L W E L ( θ ) 6 ( θ ) (1) 5

6 Volgens het onderzoek van Riberholt geldt hiervoor bij benadering voor de twee maatgevende waarden: als θ = 0: r ( 1 3,7 tan ) als θ = α: r ( 1 3,7 tan ) + α (13) α In de NEN6760 (art ) is de actor voor θ = α aangepast tot als θ = α: r ( 1 4,4 tan ) m m α (14) m Deze aanpassing geet een te lage spanning vana een hoek α van 10, zoals weergegeven in iguur 6. Het is dan ook opmerkelijk dat de toetsing in de NEN6760 te gebruiken is tot een hoek α van ,7 tan α ormule 14: (θ=0) 1-4,4 tan α ormule 14: (θ=α) iguur 6: benadering spanningen volgens NEN Spanningsverdeling verkregen met eindige elementen modellen (EEM) Uit het onderzoek in het eindige elementen pakket Abaqus/CAE komen enkele interessante punten naar voren. Zo geven de spanningen, bepaald in het onderzoek van Riberholt, vana een doorsnede van minimaal h0 een goede weergave van de optredende spanningen. Het onderzoek van Riberholt is gebaseerd op een doorsnede waar naast een moment ( l) ook een dwarskracht ( ) optreedt. In een doorsnede waar een zuiver moment optreedt, geet de ormule voor spanningen evenwijdig aan de vezel uit het onderzoek van Riberholt een onveilige waarde, zoals in iguur 7 is weergegeven. Hoe groter de hoek α wordt, hoe onveiliger deze waarde is. Door de spanningen ten gevolge van moment en dwarskracht azonderlijk te bepalen, en later superponeren, kan men uiteindelijk een verbeterde rekenregel bepalen. De spanning evenwijdig aan de vezel, voor zowel moment als dwarskracht, is in iguur 8 voor verschillende waarden van α 6

7 weergegeven. In de iguren 9 en 10 is voor respectievelijk schuispanningen en spanningen loodrecht op de vezel deze opsplitsing bij een hoek α van 8 gedaan. EEM (zuiver moment) Riberholt (moment + dwarskracht) iguur 7: Spanningen evenwijdig aan de vezel () bij een hoek α van 14 ten gevolge van een zuiver moment b h iguur 8: spanning evenwijdig aan de vezel () bij een hoek α van 1 tot 15 ten gevolge van (a) moment (b) dwarskracht. 7

8 b h iguur 9: schuispanning (τ) bij een hoek α van 8 ten gevolge van (a) moment (b) dwarskracht. b h iguur 10: Spanningen loodrecht op de vezel () bij een hoek α van 8 ten gevolge van (a) moment (b) dwarskracht. Het is opvallend dat door belasting op een zuiver moment bij een niet prismatische ligger met een éénzijdig verlopende doorsnede trekspanningen loodrecht op de vezel ontstaan. Hoe groter de hoek α is, hoe groter deze spanningen zijn. Bij een hoek α groter dan 14 is voor het bezwijken van de 8

9 ligger deze trekspanning loodrecht op de vezel zels maatgevend boven de buigspanning in de uiterste vezel. De spanning evenwijdig aan de vezel, weergegeven in iguur 8, kan worden benaderd met behulp van een vierdegraads polnoom. Evenals in het onderzoek van A.C.Maki en E.W.Kuenzi uit 1965 [7] kunnen de schuispanning en spanning loodrecht op de vezel met behulp van polnomen worden benaderd, weergegeven in ormule (15) M * * * * * = a b c d e bh h h h h 4 3 * * * * * + g + h + i + j tanα bh h h h h τ * 5 * 4 * 3 * 6M 6a 5b 4c 3d * = e tanα bh 5 h 4 h 3 h h h 6 a b c d bh 5 h 4 h 3 h h h * 5 * 4 * 3 * * e * * * * + g + h + i bh h h h h + j * tanα h * 6 * 5 * 4 3 6M 7a 3b 5c * * = d 3e tan α bh 5 h h 3 h h h * 6 * 5 * 4 * 3 6 a b c d * e tanα + bh 5 h 4 h 3 h h h * * * * * + g + h + i + j tan α bh h h h h h Hierbij hebben de constante a * tot en met j * per hoek α een andere waarde. 6. Verbeterde rekenregel Met behulp van ormule (15) kan voor een niet prismatische ligger met een éénzijdig verlopende doorsnede een ormule voor de maatgevende spanning evenwijdig aan de rand worden gegeven. Aan de rand, evenwijdig aan de vezel geldt de verbeterde rekenregel, weergegeven m.b.v. ormule (16). als θ = 0: M d 53α Vd ( 1+ 4,3tan α ) W 500 A (16) volgens NEN: M d ( 1+ 3,7 tan α ) W (15) 9

10 De spanning evenwijdig aan de ageschuinde zijde is een combinatie van een spanning evenwijdig aan de vezel, schuispanningen en spanning loodrecht op de vezel. De spanning aan de ageschuinde zijde kan worden bepaald met = α + α + τ α α (17) α cos sin sin cos ormule (17) wordt met de volgende verbeterde rekenregel benaderd. 3 d als θ = α: α ( 1 16,8 tan α 10, tan α ) ( 0,45α 0,014α ) volgens NEN: ( α ) M d + + (18) M d 1 4,4 tan W Beide verbeterde rekenregels geven tot een hoek α van 10 de optredende spanning nauwkeurig weer. Bij een grotere hoek gaat de krachtsadracht van buiging over naar boogwerking in de niet prismatische ligger. W V A b h h0 = 00 mm b = 50 mm R = 10 kn α = 10 iguur 11: voorbeeldberekening: ametingen niet prismatische ligger De spanningsverdeling volgens ormule (16) en (18) is voor een voorbeeld, weergegeven in iguur 11, per η (=h/h0) met de getrokken lijn weergegeven in iguur 1. De gestreepte lijn is de spanning die volgens NEN6760 optreedt. In de doorsnede η = (bij een hoek α van 10 ) is de spanning evenwijdig aan de vezel aan de niet ageschuinde zijde 3,9% hoger en de spanning evenwijdig aan de ageschuinde zijde 10,8% lager dan de spanning volgens NEN6760. iguur 1: Spanningen volgens verbeterde rekenregel tov NEN6760 bij een hoek α van 10 (a) niet ageschuinde zijde (ormule (16)) (b) ageschuinde zijde (ormule (18)). 10

11 7. Bronvermelding [1] S. W.Tsai, E. M.Wu, A general theor o strength or anisotropic materials. Journal o Composite Materials. vol. 5, pp , 1971 [] A.Leijten. Tapse, gebogen- en gekeepte liggers. In PAO cursus: Eurocode 5 en de Nationale anne: construeren met hout [3] C.B. Norris, Strength o orthotropic materials subjected to combined stresses.. orest Products Laborator (U.S.), Rept.no.1816, 196. [4] NEN Technische grondslagen voor bouwconstructies TGB 1990 Houtconstructies Basiseisen Eisen en bepalingsmethoden. NEN, Delt, 003. [5] H. Riberholt. Tapered timber beams. CIB working commission W18, paper W18/ , Wenen, [6] S.G. Lekhnitskii. Anisotropic plates. Gordon and Break Science Publisher, 1968 [7] A.C.Maki, E.W.Kuenzi, Delection and stresses o tapered wood beams. orest Products Laborator (U.S.), PL paper 34,