TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Stroming & Diffusie 3D030) op donderdag 18 augustus 2011, uur. Opgave 1 Beantwoord de volgende vragen met ja of nee en geef daarbij een korte argumentatie. Bij een goed antwoord met goede argumentatie krijgt men per vraag 1 punt. Bij een ernstige fout in de argumentatie wordt geen punt toegekend. a) Een stationaire stroming in de x,y,z-ruimte wordt beschreven door v = u,v,w) = αx,αy, 2αz), met α een constante. Is het waar dat deze stroming incompressibel is? b) Is het waar dat de versnelling van een vloeistofdeeltje in het stromingsveld van onderdeel a) gegeven is door Dv Dt = α2 x,α 2 y,4α 2 z)? c) Beschouw een Couette-stroming in het x, y-vlak, gegeven door het snelheidsveld u,v) = βy,0), met β een constante. Is het waar dat de schuifspanningen in deze stromingen gelijk zijn aan τ xy = τ yx = µβ? d) Kan een stroomlijn zichzelf snijden? e) Om de stroming in het menselijk hart te bestuderen maakt men een laboratoriummodel dat tweemaal zo groot is als het originele hart L m = 2L). De typische stroomsnelheid V m in het model-hart is de helft van die in het origineel V m = 1 2V ). De vloeistof die in het laboratorium-model wordt gebruikt heeft dezelfde dichtheid en dezelfde viskeuze eigenschappen als menselijk bloed. Men wil de stroming in het hart onderzoeken bij een frequentie van 80 slagen/min. Is het waar dat de frequentie van het model-hart dan 20 slagen/min moet zijn? f) Een harmonisch oscillerende stroming in een cilindrische buis diameter 2R) wordt gekarakteriseerd door het zgn. Womersley-getal α = R ω/ν, met ω de oscillatiefrequentie en ν de kinematische viscositeit. Is het waar dat voor α >> 1 de stroming goed benaderd kan worden door een oscillerende Poiseuille-stroming met een parabolische snelheidsverdeling)? g) Beschouw een stroming met Reynoldsgetal Re= V L/ν) >> 1 langs een vlakke plaat met lengte L; de hoofdstroomsnelheid is V, terwijl ν de kinematische viscositeit is. Aan de plaat stelt zich een dunne) grenslaag in. Is het waar dat in de grenslaag de snelheidscomponent v loodrecht op de plaat gelijk is aan nul? 1

2 h) Ter beschrijving van de vloeistofstroming door een wand van poreus materiaal met dikte d hanteert men de zgn. wet van Darcy : φ V = Ak p µd p, waarbij A een oppervlak, k p de permeabiliteit [m 2 ] van het materiaal, en µ de dynamische viscositeit van de vloeistof zijn. Deze uitdrukking geeft dus een lineair verband tussen de volumeflux φ V en de drukval p. Is het waar dat de grootheid Akp µd de stromingsweerstand voor de stroming door het poreuze materiaal weergeeft? i) Een bolletje diameter 2 cm) oplosbaar materiaal stof A) wordt geplaatst in een waterachtige omgevingsvloeistof stof B). De diffusiecoëfficiënt van stof A is D A = 10 8 m 2 /s. Een microprobe geplaatst op een afstand d = 2 mm van het oppervlak van het bolletje meet het concentratieverloop C A t) van stof A. Is het waar dat de probe al na ongeveer τ = 25 s iets van de concentratieverhoging meet? j) Is het waar dat men in een Stokes-stroming de vergelijking van Bernoulli mag toepassen om een verband tussen snelheid V en druk p te bepalen? 2

3 Opgave 2 Als gevolg van de zwaartekracht stroomt een viskeuze vloeistof in een dunne film langs een verticaal opgestelde cilinder met diameter 2R) neerwaarts. De filmdikte h is uniform. Eindeffecten zijn verwaarloosbaar. De stroming in de film is stationair, axisymmetrisch en zuiver verticaal. De wrijving met de omringende lucht mag verwaarloosd worden. De druk in de omringende lucht is atmosferisch: p a. Ter beschrijving van de stroming hanteren we een cilindrisch r, θ, z)-coördinatenstelsel; de overeenkomstige snelheidscomponenten zijn u,v,w). g h vloeistoffilm lucht p a z p a r 2R 1 pnt) 2 pnt) 1 pnt) 1 pnt) 1 pnt) 1 pnt) 3 pnt) a) Toon aan m.b.v. de continuïteitsvergelijking dat de snelheid w alleen afhangt van de straal r, dus w = wr). b) Toon aan dat de druk overal gelijk is aan p a, en leid af dat de z-component van de Navier-Stokes-vergelijking hier vereenvoudigt tot ν d r dw ) = g. r dr dr c) Formuleer de noodzakelijke randvoorwaarden) voor wr). d) Bepaal wr). e) Bepaal de viskeuze) schuifspanning die de vloeistof op de cilinderwand uitoefent. f) Bepaal de kracht per lengte-eenheid in axiale richting) die de vloeistof op de cilinder uitoefent. g) Stel de impulsbalans op over een cilindrisch contrôle-volume, waarvan de doorsnede in het r,z-vlak in de figuur zie volgende pagina) is aangegeven. 3

4 p a z = z 0 + L z = z 0 contour z r r = R r = R + h Bereken hiermee wederom de kracht per lengte-eenheid in de z-richting) die de vloeistof op de cilinder uitoefent. Is het resultaat in overeenstemming met wat bij onderdeel f) werd gevonden? 4

5 Opgave 3 Een medicijnafgifte systeem, bestaat uit een lange staaf met lengte L veel groter dan zijn radius R 1, omkapseld door een poreuze capsule met radius R 2 > R 1 R 2 << L). staaf mantel z r R 1 R 2 Het medicijn lost zo goed op dat ter plaatse van de overgang naar de poreuze capsule r = R 1 ) de concentratie gelijk is aan de saturatiewaarde c s. Het diffusieproces verloopt echter langzaam genoeg om te mogen veronderstellen dat de medicijnstaaf niet dunner wordt. Om de werking van de poreuze mantel te bestuderen bevindt het geheel zich in een oneindig groot vat met water waarin stevig wordt geroerd zodat de medicijnconcentratie buiten de poreuze mantel constant mag worden verondersteld en mag worden verwaarloosd t.o.v. de concentratie binnen de mantel. Binnen de mantel is de vloeistof in rust. 2 pnt) 2 pnt) 3 pnt) a) Beredeneer dat de concentratie cr, t) binnen de poreuze mantel wordt beschreven door de vergelijking ) c t = D1 c r r r voor R 1 r R 2 r met D de diffusiecoëfficiënt in water. b) Na verloop van tijd stelt zich een evenwicht in en is de medicijnconcentratie binnen de poreuze mantel alleen nog maar een functie van de straal r en geen functie meer van de tijd t. Geef een ruwe schatting van de tijd die nodig is voor het instellen van dit evenwicht. c) Geef de differentiaalvergelijking met bijbehorende randvoorwaarden die deze 5

6 3 pnt) evenwichtssituatie beschrijft. Laat bovendien zien dat de stationaire concentratieverdeling dan wordt gegeven door: cr) = c s lnr/r 2 ) lnr 1 /R 2 ). d) Bepaal de diffusieflux j zowel ter plaatse van de poreuze mantel r = R 2 ) als ter plaatse van de medicijnstaaf r = R 1 ). 6

7 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Uitwerkingen tentamen Stroming & Diffusie 3D030) van 18 augustus Opgave 1 a) Ja, immers u x + v y + w z = α + α 2α = 0 b) Ja. De versnelling van een vloeistofdeeltje is: Dv Dt = v v + v )v = t t + u x + v y + w z Met u x + v y + w ) = αx z x + αy y 2αz ) z vinden we Dv ) Dt = α 2 x,α 2 y,4α 2 z. c) Ja, immers u, v) = βy, 0) gesubstitueerd in ) u 1 u x 2 y + v x τ = 2µ 1 2 u y + v x levert 0 1 τ = 2µ 2 β ) 1 2 β, dus τ xy = τ yx = µβ. ) v y ) v. d) Ja, zo n snijpunt is dan een stuwpunt. Een voorbeeld van een zichzelf snijdende stroomlijn komen we tegen in een potentiaalwervel geplaatst in een uniforme parallelstroming figuur volgende pagina): 7

8 e) Ja. Voorwaarde voor een dynamisch gelijkvormig schaalmodel is dat zowel het Reynolds-getal Re = V L/ν als het Strouhal-getal Sr = ωl/v voor origineel en model dezelfde waarden moeten hebben: Re = V L ν = V ml m, Sr = ωl ν m V = ω ml m. V m Met L m = 2L,V m = 1 2 V en ν m = ν vinden we ω m = 1 4ω, dus het hart-model dient een slag-frequentie te hebben van 20 slagen/min. f) Nee. Voor grote waarden van het Womersley-getal is de stroming als nietviskeus te beschouwen: zij bestaat dan uit een heen en weer gaande prop - stroming met uniforme snelheid Ut) = û sin ωt, waarbij û de snelheidsamplitude en ω de frequentie zijn. g) Nee. Een schalingsanalyse leert dat uit de continuïteitsvergelijking u y = 0 volgt dat de grootte-orde van de snelheidscomponent loodrecht op de plaat gelijk is aan: Ov) = δ LV. Aangezien δ << L is deze snelheid weliswaar klein t.o.v. de hoofdstroomsnelheid V ), doch essentieel ongelijk aan nul. x + v h) Nee. In analogie met de wet van Ohm V = IR beschrijft in de wet van Darcy p = µd Ak p φ v niet de grootheid µd/ak p ) 1 maar µd/ak p ) de stromingsweerstand. i) Ja. De diffusie-indringdiepte wordt in goede benadering gegeven door δt) = 4 D A t. De micro-probe neemt op t = τ een concentratie-verandering waar, met andere woorden dus δτ) = 4 D A τ = d, τ = d2 = = 25s. 16D A j) Nee. De vergelijking van Bernoulli mag alleen worden toegepast in een nietviskeuze stroming. Een Stokes-stroming is juist viskeus-gedomineerd. 8

9 Opgave 2 a) De continuïteitsvergelijking heeft de volgende vorm: 1 r r ru) + 1 r v θ + w z = 0 w Omdat u = 0 en v = 0 beweging zuiver verticaal) blijft over: ) z = 0. Aangezien de stroming axisymmetrisch is θ = 0 volgt dan: w = wr). b) De z-component van de Navier-Stokes vergelijking heeft de volgende vorm: w t + u w r + v w r θ + w w z = 1 p ρ z + ν [ 1 r w ) + 1 ] 2 w r r r r 2 θ w 1) z 2 g Met de volgende gegevens: ) stroming is stationair t = 0 ) stroming is axisymmetrisch θ = 0 stroming is zuiver verticaal u = 0, v = 0) w = wr) vereenvoudigt deze vergelijking tot: 0 = 1 p ρ z + ν d r dw ) g 2) r dr dr Uit de r-en θ-componenten van de NS-vergelijking volgt: p r = p θ = 0 p = pz) Omdat de omgevende lucht een uniforme atmosferische druk p a bezit, volgt dan voor de druk in de film: p = p a. Van 2) blijft dan over: ν d r dw ) = g 3) r dr dr c) De randvoorwaarden zijn: r = R : w = 0 plakvoorwaarde) r = R + h : = 0 geen luchtwrijving) dw dr d) Vergelijking 3) wordt geschreven als d r dw ) = rg dr dr ν Na tweemaal integreren vinden we: wr) = r2 g 4ν + a ln r + b, waarbij a en b integratieconstanten zijn. Na toepassing van de randvoorwaarden volgt: a = R + h)2 g 2ν, b = R + h)2 g lnr R2 g 2ν 4ν, 9

10 waarmee wr) bekend is: ) wr) = R2 g r 2 4ν R 2 1 R + h)2 g ln r 2ν R e) De schuifspanning op de cilinderwand is: u τ rz r = R) = µ z + w ) R = µ dw r dr = ρg R 2R R2 R + h) 2 ). f) De verticale kracht per lengte-eenheid) is dan: W = 2πR τ rz r = R) = πρgr 2 R + h) 2 ). Deze is gelijk aan het gewicht per lengte-eenheid) van de vloeistoffilm. g) De integrale impulsbalans voor een stationaire stroming: ρ vv n)ds = pnds + ΣF. S S We passen deze toe op het cilindrische contrôle-volume, zoals geschetst in de opgave. Alleen de z-component is hier relevant. Omdat w wz) is de impuls-influx aan de bovenzijde gelijk aan de impulsuitflux aan de onderzijde: er is dus een netto impulsflux gelijk aan nul. De druk is overal in de film en daarbuiten) gelijk aan p a, zodat er geen netto drukbijdrage is. Blijft over van de balans: ΣF = 0, d.w.z. de som van de krachten die op de vloeistof werken is nul. De op de vloeistof werkende krachten zijn: zwaartekracht ρgv ol = ρgπ { R + h) 2 R 2} H wrijvingskracht aan cilinderwand W omhoog). Blijkbaar is W = ρgπ { R + h) 2 R 2} H. De kracht die de vloeistof per lengte-eenheid op de cilinder uitoefent is dus W = W /H. 10

11 Opgave 3 a) De advectie-diffusie-vergelijking luidt: c t + v c = D 2 c zie formuleblad) Binnen de mantel is: v = 0. De diffusieterm in cilindercoördinaten: 2 c = 1 r c ) c r r r r 2 θ c z 2 Aangezien L >> R 2 volgt : Axisymmetrie impliceert: θ = 0, zodat 2 c = 1 r r r c r ) Er blijft dus over: c t = D1 r c ) r r r z = 0.. b) Er treedt nog diffusie op als de termen in linker- en rechterlid van dezelfde grootte-orde zijn: ) cs c 0 O = O D c ) s c 0 τ R 2 R 1 ) 2 dus als τ = O R2 R 1 ) 2 ) D c) Voor de evenwichtssituatie reduceert de diffusievergelijking tot: D r c ) = 0. r r r Na integratie vindt men: r c r = a c r = a r c = aln r + b Na toepassing van de randvoorwaarden cr 1 ) = c s en cr 2 ) = 0 vinden we cr 1 ) = aln R 1 + b = c s en cr 2 ) = aln R 2 + b = 0. Hieruit volgt: b = aln R 2 en aln R 1 aln R 2 = c s. De constanten zijn dus: a = c s ln R 1 ln R 2 = c s b = lnr 1 /R 2 ) ln R 2. c s lnr 1 /R 2 ) 11

12 De evenwichts-concentratieverdeling is dan: cr) = d) De diffusieflux is: c s lnr 1 /R 2 ) ln r c s lnr 1 /R 2 ) ln R lnr/r 2 ) 2 = c s lnr 1 /R 2 ). j = D c = D c r e r + 1 c r θ e θ + c ) z e z = D c r e r = c sd R 2 lnr 1 /R 2 ) r jr = R 2 ) = c sd 1 e r lnr 1 /R 2 ) R 2 1 R 2 e r = jr = R 1 ) = c sd lnr 1 /R 2 ) 1 e r. R 1 c sd lnr 1 /R 2 ) 1 r e r 12