Het tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven.

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Fysische Transportverschijnselen voor W (3B47) op donderdag 8 april 5, uur. Het tentamen levert maximaal 3 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven. 1. Beantwoord de volgende vragen met ja of nee en geef daarbij een korte argumentatie. Bij een goed antwoord met goede argumentatie krijgt men per vraag 1 punt. Bij een ernstige fout in de argumentatie wordt geen punt toegekend. Voor een correct antwoord zonder argumentatie wordt slechts een punt toegekend. 1 (a) Gegeven een instationair twee-dimensionaal (dimensieloos) snelheidsveld v = (u, v) in het x, y-vlak met u = xt + y v = xt yt. Kan deze stroming met een stroomfunctie Ψ worden beschreven? (b) Is de stroming van onderdeel (a) rotatievrij? (c) Beschouw weer de stroming van onderdeel (a). Is het waar dat een vloeistofdeeltje dat zich op tijdstip t = in het punt (x, y) = (1, ) bevindt, een versnelling ondervindt ter grootte a = (4, 1)? (d) Is het waar dat de reksnelheidstensor D voor de stroming van onderdeel (a) de volgende vorm heeft? ( t D = ( ) t) 1 + 1t t (e) Kunnen twee stroomlijnen elkaar snijden? (f) Mag de wet van Bernoulli worden toegepast in een stationaire Couettestroming? (g) Het snelheidsprofiel in een laminaire grenslaag aan een vlakke plaat wordt benaderd met u V = { sin ( πy δ ), y δ 1, y δ met V de hoofdstroomsnelheid en δ = δ(x) de plaatselijke grenslaagdikte, en (x, y) Cartesische coördinaten langs resp. loodrecht op de plaat. Is het waar dat de verplaatsingsdikte gelijk is aan δ = ( 1 π ) δ? 1

2 (h) Beschouw de Stokes-stroming om een bol. De wrijvingsweerstand D van de bol wordt dan gegeven door de Stokes-formule D = 6πµRV, met µ de dynamische viscositeit, R de bolstraal, en V de aanstroomsnelheid. Is het waar dat de weerstandscoëfficiënt C D voor deze stroming rechtevenredig is met het Reynolds-getal Re, d.w.z. C D Re? (i) Beschouw de vloeistofstroming door een buis (met diameter D) waarin lokaal een vernauwing (met diameter d) is aangebracht. De vloeistof heeft een dichtheid ρ (kg/m 3 ) en een kinematische viscositeit ν (m /s). De over de doorsnede gemiddelde stroomsnelheid is u (m/s). Over de vernauwing meet men een drukval p [kg/ms ]. Is het waar dat dit probleem door drie kentallen (dimensieloze parameter-clusters) wordt beschreven? (j) Is het waar dat de liftkracht op een vliegtuigvleugel op zeer grote hoogte (ca. 1 km) bij gelijke vliegtuigsnelheid en invalshoek kleiner is dan dichter bij de grond?

3 . Een viskeuze vloeistof met dichtheid ρ en kinematische viscositeit ν stroomt langs een oneindig uitgestrekte poreuze, vlakke wand (zie figuur). Teneinde de grenslaaggroei te beperken, wordt door de wand vloeistof afgezogen. Dit gebeurt met een constante snelheid V, die vanwege de zeer kleine poriën als uniform mag worden opgevat. Nu blijkt zich enige tijd na het aanschakelen van de afzuiging een stationaire, laminaire stroming in te stellen. De stroming is dan volledig ontwikkeld (dus eindeffecten aan de rand van de plaat zijn verwaarloosbaar). We kiezen een assenstelsel met de x-coördinaat parallel aan de plaat (en in vlak van de tekening) en de y-coördinaat loodrecht op de plaat. De stroming is onafhankelijk van de x-coördinaat. Op zeer grote afstand van de wand zijn de x- en y-snelheidscomponen- ten u = (U, V ). Bovendien is daar de druk constant verondersteld (dus onafhankelijk van de x-coördinaat). De stroming mag als twee-dimensionaal verondersteld worden, en de zwaartekracht speelt geen rol van betekenis. (1 pnt) ( pnt) (3 pnt) ( pnt) (a) Toon aan met behulp van de continuïteitsvergelijking dat voor de snelheidscomponent in de y-richting geldt: v = V. (b) Reduceer de x- en y-componenten van de Navier-Stokes vergelijking door gebruik te maken van de gegeven aannames. Geef argumentatie. (c) Bepaal uit deze gereduceerde vergelijkingen de snelheid u(y) als functie van de gegeven parameters U, V en ν. (d) Bereken uit het voorgaande de wandschuifspanning τ. 3

4 ( pnt) (e) Bereken deze τ eveneens uit een integrale impulsbalans over de gestippelde contour (die zich in de y-richting zeer ver uitstrekt zodat u = U ). 3. Een voorwerp wordt geplaatst in een uniforme parallelstroming met snelheid U. Ter beschrijving van de stroming hanteren we x, y-coördinaten zoals gedefinieerd in de schets. Voor het opstellen van de integrale massa- en impulsbalans kiezen we een contour zoals aangegeven met de onderbroken lijn: (1) linkervlak op x = () rechtervlak op x = L (3) bovenvlak op y = a (4) ondervlak op y = a Verder is het volgende gegeven: de stroming is stationair; de stroming is incompressibel (ρ is constant); de zwaartekracht speelt geen rol; overal langs de contour is de druk in goede benadering gelijk aan p = p ; de stroming is symmetrisch t.o.v. de x-as; de snelheidsverdeling op x = L is: u(l, y) = A + B cos ( ) } πy a, y a = U, y a (1) 4

5 langs boven- en ondervlak is } u(x, ±a) = U v(x, ±a) de breedte loodrecht op het vlak van tekening is W = 1. ( pnt) (3 pnt) (3 pnt) ( pnt) (a) Metingen hebben aangetoond dat u(l, ) = en bovendien dat het snelheidsprofiel u op x = L, y = ±a glad aansluit op de hoofdstroming. Bepaal de constanten A en B in (1). (b) Leid m.b.v. de integrale massabalans een uitdrukking af voor de massaflux φ m die door het bovenvlak ( < x < L; y = a) van de contour wegstroomt. [Door sectie 4 op y = a stroomt eenzelfde massaflux φ m uit de contour weg, maar vanwege de symmetrie t.o.v. de x-as kunnen we volstaan met het beschouwen van het bovenvlak < y < a]. (c) Bepaal de x-impulsfluxen door de vlakken (1), () en (3). [Er is gegeven dat cos zdz = 1z + 1 sin(z) + constante]. 4 (d) Stel de integrale impulsbalans op en bepaal hiermee de totale weerstandskracht die het voorwerp ondervindt. 5

6 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE VAKGROEP TRANSPORTFYSICA Uitwerkingen Tentamen FTV voor W (3B47) van donderdag 8 april (a) Ja. De stroming voldoet aan de (incompressibele) continuï- teitsvergelijking v = u x + v y =, dus er kan een stroomfunctie worden gedefinieerd. (b) Nee, immers ω z v u = t in het algemeen. x y (c) Nee. De versnelling van een deeltje wordt gegeven door de materiële afgeleide van de snelheid v: Dv Dt = v + (v )v. t Voor de x- en y-componenten vindt men in het punt (x, y) = (1, ) op t = : Du = u + u u + v u = Dt t x y = xt + (xt + y)t + (xt yt ) = = 4 Dv = v + u v + v v = Dt t x y = (x yt) + (xt + y) t + (xt yt ) t = = 33. (d) Nee. Voor deze twee-dimensionale stroming is de reksnelheidstensor ( t D = 1 + 1t ) 1 + 1t. t (e) Ja. Twee stroomlijnen kunnen elkaar snijden in een stuwpunt, alwaar de snelheid gelijk is aan nul. (f) Nee. Een (stationaire) Couette-stroming is viskeus-gedomi- neerd, en derhalve mag de wet van Bernoulli niet worden toegepast. (g) Ja. Na substitutie van u vindt men δ = ( ) 1 u [ ( )] V dy = δ 1 sin πy δ dy = = ( ) y + δ πy cos δ = ( ) 1 π δ π δ. 6

7 (h) Nee. Substitutie van D = 6πµRV in de definitie van de weerstandscoëfficiënt C D = D/ ( 1 ρv A ), met A = πr, levert C D = 4/Re, met Re = RV/ν. De weerstandscoëfficiënt is dus omgekeerd-evenredig met het Reynolds-getal: C D Re 1. (i) Ja. Dit stromingsprobleem wordt beschreven door 6 parameters ( p, d, D, ρ, ν, u), waarin 3 dimensies (massa M, lengte L, tijd T ) voorkomen. Volgens het Buckingham π-theorema kan het probleem worden beschreven met 6 3 = 3 onafhankelijke kentallen. De dimensieloze drukval kan men bijvoorbeeld schrijven als p ρu = f ( L D, ud ν ). (j) Ja. De liftkracht L wordt gegeven door het Kutta-Joukowski-theorema: L = ργv, waarbij ρ de dichtheid, Γ de circulatie rond de vleugel, en V de aanstroomsnelheid is. Op grotere hoogte is de luchtdichtheid kleiner, en de liftkracht L dus eveneens. 7

8 . Voor de stroming boven de poreuze plaat (zie figuur) wordt uitgegaan van de volgende veronderstellingen: de stroming is stationair, mag als tweedimensionaal beschouwd worden en de stroming is volledig ontwikkeld (eindeffecten verwaarloosbaar). De dichtheid ρ en viscositeit ν zijn constant. (a) De wand staat stil, dus u(y = ) =, en de verticale snelheid is daar v(y = ) = V. De stroming is volledig ontwikkeld, en eindeffecten u v zijn verwaarloosbaar: u = u(y) en v = v(y) (of: = en = ). x x Massabehoud vereenvoudigt tot u x + v y = dv dy =. () Hieruit blijkt dat v(y) = constant. De randvoorwaarde voor de verticale snelheidscomponent van de stroming aan de plaat geeft dan: v(y) = V. (b) De x- en y-component van de twee-dimensionale Navier-Stokes vergelijking hebben de volgende vorm: u t + u u x + v u y = 1 ρ v t + u v x + v v y = 1 ρ p x + u ν( x + u y ), (3) p y + v ν( x + v y ). (4) 8

9 Vanwege stationariteit volgt u = en v =. Inmiddels weten we t t dat u = en v = V x. Ver boven de plaat is de druk constant en onafhankelijk van de x-coördinaat, dus p =. x De y-component van de Navier-Stokes vergelijking reduceert dan tot: dp dy =. (5) Dat betekent dat de druk nergens van de y-coördinaat afhangt en dat dus overal geldt p =. De x-component van de Navier-Stokes vergelijking x reduceert dan tot: du V dy = ν d u dy. (6) (c) De x-component van de Navier-Stokes vergelijking lossen we als volgt op. Na één keer integreren (naar y) volgt: du dy + V ν u = C. (7) De particuliere oplossing van (7) is u p = Cν V, en de homogene oplossing is u h = C 1 exp ( V ν y ), en u(y) = u p + u h. Toepassing van de randvoorwaarden u(y = ) = en u(y ) = U om de integratieconstantes Cν C en C 1 te bepalen levert twee relaties: V = U en Cν V + C 1 =. Het snelheidsprofiel u(y) wordt dus: ( u(y) = U [1 exp V )] ν y. (8) (d) De wandschuifspanning τ volgt uit: τ = σ xy (y = ) = ρν ( u + v y x ρu V. ) y= = (e) Om de wandschuifspanning te bepalen met behulp van de integrale impulsbalans kunnen we ons beperken tot de x-component. Het controlevolume is geschetst in de figuur bij de opgave, en de contour waarmee het volume omsloten wordt is vastgelegd door de normaalvectoren ˆn i, met i {1,, 3, 4}, die loodrecht staan op de respectievelijke contoursegmenten S i : ˆn 1 = ( 1, ), u 1 = (u(y), V ), (u 1 ˆn 1 ) = u(y) ; ˆn = (1, ), u = (u(y), V ), (u ˆn ) = u(y) ; ˆn 3 = (, 1), u 3 = (U, V ), (u 3 ˆn 3 ) = V ; ˆn 4 = (, 1), u 4 = (, V ), (u 4 ˆn 4 ) = V. Voor de stroming geldt: stationair (dus u t = ); (9) 9

10 twee-dimensionaal (D, dus u = (u, v, )); zwaartekracht speelt geen rol, en ρ=constant; overal langs contour: p=constant; De integrale impulsbalans heeft de volgende vorm: ρudv + ρu(u ˆn)dS = ρgdv ˆnpdS t V S V S + ˆn σds + K. De druk is overal constant, dus oefent geen netto kracht uit op de stroming in het controlevolume. Er werken geen externe krachten op de stroming in het controlevolume. Bovendien speelt zwaartekracht geen rol en is de stroming stationair. Dit leidt tot een vereenvoudigde versie van de impulsbalans. De x-component is 4 ρ u(y)(u ˆn)dS i = τ ds 4, (1) S i S 4 i=1 waarbij we tevens gebruikt hebben dat bij S 3 de schuifspanning nul is (snelheid constant), en dat de viskeuze krachten bij S 1 en S elkaar precies opheffen (onafhankelijk van de x-coördinaat). De impulsbalans (1) wordt nu: ρ H u (y)dy + ρ H S u (y)dy ρu V L = τ L τ = ρu V. 3. (a) u(l, ) = A + B = u(l, ±a) = U A B = U Hieruit volgt: A = B = 1 U, dus: u(l, y) = 1 ( )] πy [1 U cos. ( ) a } (b) Massabalans: S ρ(v n)ds = met S = S 1 + S + S 3 voor het bovenvlak ( x L, y a): (1) n = ( 1, ), v = (U, ) v n = U ρ(v n)ds = ρua S 1 () n = (1, ), v = (u(l, y), ) v n = +u(l, y) a ρ(v n)ds = ρ u(l, y)dy S 1

11 (3) n = (, 1), v = (U,??) ρ(v n)ds = φ m. S 3 De massabalans levert: φ m = ρ a van (*) vindt men a u(l, y)dy = 1 U a zodat: φ m = 1 ρua. [U u(l, y)] dy. Na substitutie [ ( )] πy 1 cos dy = 1 a Ua, (c) x-impulsflux: S ρu(v n)ds Met het bovenstaande leiden we af voor het bovenvlak ( x L ; y a): (1) S 1 ρu(v n)ds = ρu a () S ρu(v n)ds = +ρ a u (L, y)dy Met (*) wordt deze integraal: a u (L, y)dy = 1U [ ( )] a 4 1 cos πy a dy = 1 4 U a [ 1 cos ( πy a = 1U [ y a 4 a sin ( ) ] πy π a a ) ( )] + cos πy a dy + 1U ( ) a 4 cos πy a dy ( ) Nu is: a ( ) πy cos dy = a a ( ) ( ) πy πy cos d = a π a a [ a 1 πy π a + 1 ] πy a sin = 1 4 a a, zodat (**) wordt: 1 [a 4 U + 1 ] a = 3 8 au dus de impulsflux door (): 3ρU a. 8 (3) ρu(v n)ds = U φ m = 1 S 3 ρu a. (d) Symmetrie t.o.v. de x-as impliceert dat het voorwerp geen kracht in de y-richting ondervindt. Impulsbalans in de x-richting: ρu(v n)ds = pnds + F x. S S Aangezien de druk langs de contour uniform is, is de netto drukbijdrage gelijk aan nul. Over blijft (zie onderdeel (c)): ρu a ρu a + 1 ρu a = F x F x = 1 8 ρu a. 11

12 Dit is de kracht die op de vloeistof binnen de contour wordt uitgeoefend (door het voorwerp), berekend voor alleen het boven-halfvlak ( x L ; y ). De (totale) kracht op het voorwerp is dus: F x = F x = ρu a. 1