TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Stroming & Diffusie 3D030) op vrijdag 26 augustus 2005, uur. Opgave Beantwoord de volgende vragen met ja of nee en geef daarbij een korte argumentatie. Bij een goed antwoord met goede argumentatie krijgt men per vraag punt. Bij een ernstige fout in de argumentatie wordt geen punt toegekend. Voor een correct antwoord zonder argumentatie wordt slechts een 2 punt toegekend. a) Gegeven een stationaire stroming in het x, y-vlak met snelheidscomponenten u = αx en v = αy. Is het waar dat de stroomlijnen rechte lijnen zijn? b) In de stationaire stroming van onderdeel a) wordt in het punt x 0, 0) een klein tracer-deeltje losgelaten. Is het waar dat dit deeltje een versnelling in x-richting krijgt ter grootte α 2 x 0? c) Beschouw een potentiaalstroming bestaande uit een bron sterkte Q) in x, y) = 0, 0) geplaatst in een uniforme parallelstroming met snelheid U in de x- richting. Is het waar dat deze stroming slechts één stuwpunt bezit? d) Is het waar dat het Strouhal-getal de verhouding weergeeft van de instationaire versnellingsterm en de viskeuze term in de Navier-Stokes-vergelijking? e) Is de weerstandscoëfficiënt van een bol in een Stokes-stroming gelijk aan nul? f) Kan men de wet van Bernoulli toepassen in een stationaire Couette-stroming? g) Beschouw een stroming met Reynoldsgetal Re= V L/ν) >> langs een vlakke plaat met lengte L; de hoofdstroomsnelheid is V, terwijl ν de kinematische viscositeit is. Aan de plaat stelt zich een dunne) grenslaag in. Is het waar dat in de grenslaag de snelheidscomponent v loodrecht op de plaat gelijk is aan nul? h) Ter beschrijving van de vloeistofstroming door een wand van poreus materiaal met dikte d hanteert men de zgn. wet van Darcy : φ V = Ak p µd p, waarbij A een oppervlak, k p de permeabiliteit [m 2 ] van het materiaal, en µ de dynamische viscositeit van de vloeistof zijn. Deze uitdrukking geeft dus een lineair verband tussen de volumeflux φ V en de drukval p. Is het waar dat de grootheid Akp µd de stromingsweerstand voor de stroming door het poreuze materiaal weergeeft? i) Op een warme zomerse dag zit meneer Jansen lekker in het zonnetje, achter in de tuin. Hij heeft zichzelf verwend met een lekker kopje thee, waarin hij zojuist een suikerklontje heeft gedaan. Hij heeft vergeten om een lepeltje mee

2 te nemen, en hij is te lui om even naar de keuken te lopen. Hij stelt zich de vraag: hoe lang duurt het voordat ik met het vrije thee-oppervlak iets zal proeven van de zoetigheid? Hij schat de diepte van het kopje op 6 cm, en hij weet dat de diffusiecoëfficiënt van suiker in water ongeveer A = 0 9 m 2 /s bedraagt. Hij begint te rekenen, maar het zweet breekt hem uit... Is het waar aannemende dat de thee niet in beweging is dat het ongeveer 3 minuten duurt alvorens men bovenin het kopje iets van de suiker zal proeven? j) Een Poiseuille-buisstroming heeft het volgende snelheidsprofiel: v z r) = dp 4µ dz R2 r 2 ) met dp dz de axiale drukgradiënt, r de straal, 2R de buisdiameter, µ de dynamische viscositeit, en v z r) de snelheid in axiale richting. Is het waar dat de axiale schuifspanning τ rz r) = dp 2r2 dz? Opgave 2 Met behulp van het spin-coating proces kan men een dunne film van een bepaald materiaal op een vaste ondergrond aanbrengen zoals de fosforlaag aan de binnenzijde van een beeldscherm). Hiertoe brengt men een viskeuze vloeistof waarin het materiaal is opgelost aan op de vaste ondergrond, en laat deze vervolgens met grote snelheid roteren: de vloeistof wordt dan in radiale richting uitgespreid, en er ontstaat een dunne film. Om de stroming in de film te analyseren nemen we het volgende aan: de vloeistof heeft Newtonse eigenschappen, en bezit een kinematische viscositeit ν. Voor het beschrijven van de stroming hanteren we een cilindrisch coördinatenstelsel r, θ, z) zoals in onderstaande figuur aangegeven; de snelheidscomponenten zijn v r, v θ, v z ). Na enige tijd na het opspinnen van de bodemplaat) stelt zich een dunne film in met een uniforme dikte ht). De stroming in de film is axisymmetrisch en quasi-stationair, en de drukopbouw is quasi-hydrostatisch. De lucht oefent geen schuifkracht uit op de film. Omdat de film zeer dun is, en de vloeistof zeer viskeus, beweegt de vloeistof in azimutale richting met de plaat mee: v θ = Ωr. De stroming in de radiale richting wordt aangedreven door de centrifugaal-kracht die op de vloeistof werkt; deze stroming kan verder worden opgevat als een kruipstroming. De radiale component van de Navier-Stokes-vergelijking is: v r t + v v r r r + v θ v r r θ + v v r z z v2 θ r = 2

3 p ρ r + ν 2 v r v r r 2 2 ) v θ r 2 θ met 2 = r r ) + 2 r r r 2 θ z 2. 2 pnt) 2 pnt) 2 pnt) 2 pnt) 2 pnt) a) Laat zien dat deze vergelijking onder genoemde condities en met h R waarbij R een karakteristieke radiale lengteschaal is) reduceert tot: v2 θ r = ν 2 v r z 2. ) Geef bij alle weggelaten termen duidelijk aan waarom ze wegvallen! b) Vergelijking ) stelt ons in staat om v r te bepalen. Geef de randvoorwaarden voor v r en leid de oplossing af. c) De axiale snelheidscomponent v z kunnen we vervolgens bepalen m.b.v. de continuïteitsvergelijking r r rv r) + v z z = 0. Geef de randvoorwaarde voor v z op de plaat z = 0), en leid de oplossing voor v z af. d) De snelheid waarmee de filmdikte verandert kunnen we schrijven als v z z = h) = dh dt. 2) Met behulp van het bij c) gevonden resultaat wordt dit: dh dt = h 3 2Ω2. 3) 3ν Leid de algemene oplossing door ht) af. Noem ht = 0) = h 0. e) Voor grotere t-waarden is ht) h 0, zodat het bij d) gevonden resultaat overgaat in ) 3ν /2 ht) = 4Ω 2. 4) t Bereken de tijd benodigd voor het verkrijgen van een filmdikte h = 0, mm = 0 4 m), als gegeven is dat Ω = 0 omw/s en ν = m 2 /s. 3

4 Opgave 3 Een medicijnafgifte systeem, bestaat uit een lange staaf met lengte L veel groter dan zijn radius R, omkapseld door een poreuze capsule met radius R 2 > R R 2 << L). staaf mantel z r R R2 Het medicijn lost zo goed op dat ter plaatse van de overgang naar de poreuze capsule r = R ) de concentratie gelijk is aan de saturatiewaarde c s. Het diffusieproces verloopt echter langzaam genoeg om te mogen veronderstellen dat de medicijnstaaf niet dunner wordt. Om de werking van de poreuze mantel te bestuderen bevindt het geheel zich in een oneindig groot vat met water waarin stevig wordt geroerd zodat de medicijnconcentratie buiten de poreuze mantel constant mag worden verondersteld en mag worden verwaarloosd t.o.v. de concentratie binnen de mantel. Binnen de mantel is de vloeistof in rust. 2 pnt) 2 pnt) 3 pnt) 3 pnt) a) Beredeneer dat de concentratie cr, t) binnen de poreuze mantel wordt beschreven door de vergelijking c t = D r c ) voor R r R 2 r r r met D de diffusiecoëfficiënt in water. b) Na verloop van tijd stelt zich een evenwicht in en is de medicijnconcentratie binnen de poreuze mantel alleen nog maar een functie van de straal r en geen functie meer van de tijd t. Geef een ruwe schatting van de tijd die nodig is voor het instellen van dit evenwicht. c) Geef de differentiaalvergelijking met bijbehorende randvoorwaarden die deze evenwichtssituatie beschrijft. Laat bovendien zien dat de stationaire concentratieverdeling dan wordt gegeven door: cr) = c s lnr/r 2 ) lnr /R 2 ). d) Bepaal de diffusieflux j zowel ter plaatse van de poreuze mantel r = R 2 ) als ter plaatse van de medicijnstaaf r = R ). 4

5 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Uitwerkingen tentamen Stroming & Diffusie 3D030) van 26 augustus a) Nee. Stroomlijnen worden berekend volgens: dx u = dy v Integratie levert: dx αx = dy αy. lnx = lny + const. xy = constant. De stroomlijnen hebben dus de vorm van hyperbolen. b) Ja. Op de x-as is v = 0, zodat het deeltje alleen langs de x-as zal bewegen. De bijbehorende versnelling is: Du Dt = u t + uu x = 0 + α2 x. Het bewuste deeltje ondervindt in x 0, 0) dus een versnelling ter grootte α 2 x 0. c) Ja. De snelheidspotentiaal voor deze configuratie is φ = Ux + Q 2π lnx2 + y 2 ) /2 + constante. De snelheidscomponenten in x, y-richtingen zijn: u = v = φ x = U + Q φ 4π = 0 + Q y 4π 2x x 2 + y 2 2y x 2 + y 2 In een stuwpunt is u = v = 0. Blijkbaar is v = 0 alleen op de x-as y = 0). Substitutie van y = 0 in de andere snelheidscomponent levert: uy = 0) = U + Q 2πx. Er bestaat dus slechts één punt waar uy = 0) = 0, nl: x, y) = Q 2πU, 0). d) Nee. Het Strouhal-getal beschrijft de verhouding tussen instationaire en convectieve versnellingstermen in de Navier-Stokes-vergelijking. e) Nee. In een viskeus-gedomineerde) Stokes-stroming is de weerstandscoëfficiënt essentieel ongelijk aan nul. Voor Re << geldt C D = 24 Re. f) Nee. Een Couette-stroming is volledig gedomineerd door viskeuze krachten. De vergelijking van Bernoulli geldt niet in een viskeuze stroming. g) Nee. Een schalingsanalyse leert dat uit de continuïteitsvergelijking u x + v y = 0 volgt dat de grootte-orde van de snelheidscomponent loodrecht op de plaat gelijk is aan: Ov) = δ LV. Aangezien δ << L is deze snelheid weliswaar klein t.o.v. de hoofdstroomsnelheid V ), doch essentieel ongelijk aan nul. 5

6 h) Nee. In analogie met de wet van Ohm V = IR beschrijft in de wet van Darcy p = µd Ak p φ v niet de grootheid µd/ak p ) maar µd/ak p ) de stromingsweerstand. i) Nee. De diffusie-indringdiepte wordt gegeven door δt) = 4 At. De tijd τ die benodigd is om via diffusie het oppervlak te bereiken is dan δτ) = 6cm τ = [δτ)] 4A = = 9 05 sec. j) Nee. De schuifspanningscomponent τ rz zie formuleblad) is [ vr τ rz r) = µ z + v ] z = r 2 rdp dz. 2. a) Stroming is quasi-stationair en axisymmetrisch, dus t = 0 en θ = 0. De stroming wordt gedomineerd door viskeuze en centrifugale) krachten gegeven: kruipstroming ), dus alle termen in het linkerlid behalve natuurlijk vθ 2 /r) zijn verwaarloosbaar klein. De buitendruk is uniform en gelijk aan p a ; aangezien de drukopbouw in de film hydrostatisch is, impliceert dit dat in de film p = 0. Van de viskeuze termen blijven over: r r r r ) v r v r r v r z 2. In radiale en axiale richting hebben we karakteristieke lengteschalen R resp. h, zodat de termen de volgende grootte-orden hebben: ) ) ) vr vr vr O R 2, O R 2, O h 2. Aangezien h R is de laatste term dominant. b) Randvoorwaarden: z = 0 : v r = 0 plakvoorwaarde) z = h : = 0 schuifspanning nul) v r z Substitutie van v θ = Ωr in ) levert: 2 v r z 2 = v2 θ rν = ν rω2. Na tweemaal integreren krijgen we: v r r, z) = 2ν rω2 z 2 + Ar)z + Br). De grootheden A en B worden bepaald m.b.v. de randvoorwaarden, met als resultaat: v r r, z) = rω2 2ν 2hz z2 ). r 6

7 c) Substitutie van dit resultaat in de continuïteitsvergelijking levert: v z z = Ω2 ν 2hz z2 ) en na integratie naar z: v z z) = Ω2 ν hz2 3 z3 ) + C. De integratieconstante C vindt men na toepassing van de randvoorwaarde v z z = 0) = 0, namelijk: C = 0. d) Vergelijking 3) wordt omgeschreven tot dh h 3 = 2Ω2 3ν dt en na integratie vindt men: 2 h 2 = +2Ω2 3ν t + B. Met ht = 0) = h 0 blijkt: B = 2 h 2 h 2 0 = 4Ω2 3ν t. e) We schrijven 4) als: t = 3ν 4Ω 2 h 2 h 2 0, zodat Invullen van de gegevens ν = m 2 /s, Ω = 0 omw/s= 0 2π rad/s en h = 0 4 m) levert: t = 76 s. Opgave 3 a) De advectie-diffusie-vergelijking luidt: c t + v c = D 2 c zie formuleblad) Binnen de mantel is: v = 0. De diffusieterm in cilindercoördinaten: 2 c = r c ) + 2 c r r r r 2 θ c z 2 Aangezien L >> R 2 volgt : Axisymmetrie impliceert: θ = 0, zodat 2 c = r r r c r ) z = 0.. 7

8 Er blijft dus over: c t = D r c ) r r r b) Er treedt nog diffusie op als de termen in linker- en rechterlid van dezelfde grootte-orde zijn: ) cs c 0 O = O D c ) s c 0 τ R 2 R ) 2 dus als τ = O R2 R ) 2 ) D c) Voor de evenwichtssituatie reduceert de diffusievergelijking tot: D r c ) = 0. r r r Na integratie vindt men: r c r = a c r = a r c = alnr + b Na toepassing van de randvoorwaarden cr ) = c s en cr 2 ) = 0 vinden we cr ) = alnr + b = c s en cr 2 ) = alnr 2 + b = 0. Hieruit volgt: b = alnr 2 en alnr alnr 2 = c s. De constanten zijn dus: a = c s lnr lnr 2 = c s b = lnr /R 2 ) lnr 2. c s lnr /R 2 ) De evenwichts-concentratieverdeling is dan: cr) = d) De diffusieflux is: c s lnr /R 2 ) lnr c s lnr /R 2 ) lnr lnr/r 2 ) 2 = c s lnr /R 2 ). j = D c = D c r e r + c r θ e θ + c ) z e z = D c r e r = c sd R 2 lnr /R 2 ) r jr = R 2 ) = c sd e r lnr /R 2 ) R 2 R 2 e r = jr = R ) = c sd lnr /R 2 ) e r. R c sd lnr /R 2 ) r e r 8