Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB augustus 2011, uur

Transcriptie

1 Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65 15 augustus 2011, uur Het tentamen bestaat uit drie, de hele stof omvattende opgaven, onderverdeeld in 15 deelopgaven die bij volledige en juiste beantwoording elk één punt opleveren. Er zijn tenminste 8.25 punten nodig om een voldoende te behalen. Lees tekst en vragen goed door vóór aan de beantwoording te beginnen. Vermeld op elk antwoordblad deelopgavenummer, naam en collegekaartnummer. Formuleer bondig, motiveer altijd uw antwoord en vergeet niet alle gebruikte symbolen expliciet te definiëren! 1

2 Opgave 1. Beschouw een zeer verdund gas van N ammoniak moleculen (NH 3 ) in een rigide afgesloten roestvrijstalen vat. Het vat ligt in een zeer groot waterbad dat op een constante temperatuur T [K] gehouden wordt. De beweging van de moleculen kan klassiek worden beschouwd. a) [1pt] Wat is een faseruimte? En wat is een fasebaan? b) [1pt] Wat is in de statistische fysica een ensemble? En welk ensemble is van toepassing op het hierboven geschetste systeem? c) [1pt] Wanneer de warmtecapaciteit C V van het gas gemeten wordt dan blijkt dat deze groter is dan nul: C V > 0. Verklaar het feit dat C V > 0 op basis van een microscopische (statistisch fysische) en een macroscopische (thermodynamische) overweging. Een ammoniakmolecuul heeft een permanent elektrisch dipoolmoment µ d [C m]. Voor de eenvoud nemen we aan dat in een elektrisch veld ξ [V/m] het dipoolmoment twee toestanden kan aannemen: parallel en anti-parallel aan het elektrisch veld. De energie van het gas kan dan beschreven worden met de volgende vergelijking: E = N p i 2 2m N µ d S i ξ, (1) waarin p i [kg m/s] de impuls is van ammoniakmolecuul i en m [kg] de massa van een ammoniakmolecuul. De variabele S i legt de oriëntatie van het dipoolmoment van molecuul i t.o.v. het elektrische veld vast: parallelle (S i = +1) en anti-parallelle oriëntatie (S i = 1). De toestandssom van het gas is te schrijven als Q (N, V, T, ξ) = 1 N! [q trans (V, T ) q veld (ξ, T )] N, (2) waarin de bijdrage aan de toestandssom t.g.v. het elektrische veld wordt gegeven door q veld (ξ, T ) = exp (βµ d Sξ). (3) In deze vergelijking is β = (k B T ) 1. S=±1 d) [1pt] Bespreek de achtergrond van de factor N! en de macht N in de vergelijking voor de toestandssom Q. Hoe blijkt uit de uitdrukking voor de energie E bij voorbaat al dat de ééndeeltjestoestandssom te schrijven moet zijn als het product q trans q veld. 2

3 e) [1pt] De polarisatie P is gegeven door P = N µ ds i. Leid een wiskundige uitdrukking af voor de verwachtingswaarde van de polarisatie P die alleen nog afhangt van ξ, µ d, β en N. Opgave 2. Een manier om water te reinigen is door het langs een koolstoffilter te leiden. Een koolstoffilter is een buis volgepakt met koolstofdeeltjes. Wanneer vervuild water tussen de koolstofdeeltjes doorstroomt, dan binden de vervuilende stoffen zich aan het oppervlak van het koolstoffilter. Stel dat water is vervuild met benzeen en dat de fractie van de benzeenmoleculen in het water gelijk is aan ρ. Aangezien er steeds nieuw vervuild water wordt aangevoerd is de dichtheid en dus ook de chemische potentiaal µ [J] van het benzeen constant. Verder is de watertemperatuur T [K] ook constant. Om een model van het bindingsproces te construeren maken we de keuze om de watermoleculen niet expliciet in onze beschouwingen mee te nemen. We beschouwen nu een koolstofoppervlak met een oppervlakte A [m 2 ], waarop zich L bindingsplekken bevinden. Aan elke bindingsplek i kunnen zich clusters van benzeenmoleculen hechten, die kunnen variëren in het aantal n i van aangehechte moleculen. Voor het gemak nemen we aan dat dit aantal onbeperkt is: n i = 0, 1, 2,...,. Verder heeft een cluster gebonden aan een bindingsplek i een energie E i = n i ɛ [J] met ɛ < 0. De grootkanonieke toestandssom Ξ (µ, A, T ) voor dit systeem van benzeenmoleculen wordt gegeven door waarin β (k B T ) 1. Ξ (µ, A, T ) = 1 (1 exp ( β[ɛ µ])) L, (4) a) [1pt] Het in deze opgave beschreven systeem wordt wel een ideaal systeem genoemd. Wat in dit systeem gedraagt zich ideaal? Hoe is dat terug zien in de gevonden uitdrukking voor de toestandssom? b) [1pt] Leid de bovenstaande uitdrukking voor de toestandssom af. Hierbij mag gebruik gemaakt worden van de volgende geometrische reeks: k=0 λk = (1 λ) 1 voor λ < 1. M.b.v. het gegeven dat de chemische potentiaal gelijk is aan µ = µ +k B T ln ρ (µ is een constante) kan worden aangetoond dat de oppervlaktedichtheid geadsorbeerde benzeenmoleculen Γ N /A gelijk is aan ( ) L ρ exp ( β (ɛ µ )) Γ = A 1 ρ exp ( β (ɛ µ )). (5) 3

4 c) [1pt] Laat zien dat Γ inderdaad door deze vergelijking beschreven wordt. d) [1pt] Leg uit wat de overeenkomst is tussen het systeem van geadsorbeerde benzeenmoleculen en een gas van bosonen? e) [1pt] Wat verstaan we onder de thermodynamische limiet? Laat zien dat de relatieve grootte van de fluctuaties van het aantal geadsorbeerde benzeenmoleculen, (δn) 2 / N, naar nul gaat in de thermodynamische limiet. Opgave 3. We beschouwen een systeem van N spins s i (i = 1,..., N) die langs de z-richting omhoog (s i = 1) of omlaag (s i = 1) kunnen staan. De spins bevinden zich in een magneetveld H langs de z-richting en hebben een onderlinge nabuurinteractie J [J] met z naburen. Een toestand ν van dit systeem is bepaald door een bepaalde spinconfiguratie {s i }. In de gemiddelde-veld benadering is de energie van een toestand ν gegeven door E ν = E ({s i }) = 1 2 JNz s 2 H mol µ B met s de gemiddelde spin, µ B het Bohr-magneton en N s i, (6) H mol = H + Jz s µ 1 B. (7) a) [1pt] Beargumenteer of de gemiddelde-veld benadering beter of slechter wordt met toenemende dimensie van het spin-systeem? b) [1pt] Laat zien dat in de gemiddelde-veld benadering de volgende uitdrukking afgeleid kan worden voor de vrije energie: met β = (k B T ) 1. βf = 1 2 βnjz s 2 N ln [2 cosh(βh mol µ B )], (8) Stel nu H = 0 zodat H mol = Jz s µ 1 B. Uit bovenstaande uitdrukking voor de vrije energie kan nu de volgende vergelijking afgeleid worden voor s : s = tanh(βjz s ), (9) c) [1pt] Met behulp van welke conditie kan deze vergelijking uit de uitdrukking voor de vrije energie worden afgeleid? Leid deze vergelijking ook zelf af. 4

5 d) [1pt] Schets in één grafiek zowel s als tanh(βjz s ) als functie van s voor het geval dat βjz s < 1 en βjz s > 1. Wat is het fysische verschil tussen beide situaties? e) [1pt] Bereken 2 F/ s 2 voor s = 0. Geef een fysische verklaring voor het gedrag van het teken van 2 F/ s 2 als functie van de temperatuur. 5