Eindtoets 3BTX1: Thermische Fysica. Datum: 3 juli 2014 Tijd: uur Locatie: paviljoen study hub 2 vak c & d

Transcriptie

1 Eindtoets 3BTX1: Thermische Fysica Datum: 3 juli 2014 Tijd: uur Locatie: paviljoen study hub 2 vak c & d Deze toets bestaat uit 3 opgaven die elk op een nieuwe pagina aanvangen. Maak de opgaven 1, 2 en 3 ieder op een apart vel. Een formuleblad is bijgesloten. Alle gebruikte betrekkingen die niet op het formuleblad staan, moeten worden afgeleid. Probeer de antwoorden van de vragen kort en bondig te houden. Beargumenteer wel alle in een berekening gemaakte stappen. Definiëer alle in het antwoord gebruikte symbolen. Zorg ervoor dat je duidelijk leesbaar schrijft. Voor elk onderdeel staat het aantal te behalen punten vermeld. Het gebruik van een rekenapparaat is toegestaan. 1

2 Opgave 1. (25 pnt) Voor ethanol is bij standaardcondities (25 C, 1 atm) de latente warmte voor verdamping l 23 = 38,56 kj mol 1 en de overeenkomstige entropieverandering is s 23 = 109,67 J mol 1 K -1. In deze opgave nemen we aan dat ethanoldamp zich gedraagt als een ideaal gas. (2 pnt) (a) Hoe groot is de verandering van de Gibbs functie g 23 bij het kookpunt van ethanol waar vloeistof en dampfase met elkaar in evenwicht zijn? Bereken nu ook met de gegeven waarden voor l 23 en s 23 het kookpunt van ethanol op 1 decimaal nauwkeurig. (4 pnt) (b) Voor de drukafhankelijkheid van de chemische potentiaal geldt: v. P T Leidt nu af dat voor de dampdruk als functie van T geldt: l Ts P ( T ) P exp RT waarin P 0 = 1 atm. en bereken de dampdruk van ethanol bij 20 C. Hierbij mag je er vanuit gaan dat het volume van de vloeistoffase te verwaarlozen is ten opzichte van het volume van de dampfase. (4 pnt) (c) Laat zien dat je bovenstaande uitdrukking ook kunt afleiden uit de vergelijking van Clapeyron. (3 pnt) (d) Algemeen zijn l 23 en s 23 temperatuurafhankelijk en drukafhankelijk. Laat zien dat voor de temperatuurafhankelijkheid bij constante druk geldt: dl dt 23 c P en ds23 c P, waarin c P = c P (3) c P (2). dt T (3 pnt) (e) Bereken l 23 en s 23 bij het kookpunt van ethanol (1 atm) als gegeven is dat c P (3) = 78,28 J mol -1 K -1 en c P (2) = 112,4 J mol -1 K -1. Wat is nu het kookpunt dat je berekent? h v (3 pnt) (f) Toon aan dat T v P T T P (4 pnt) (g) De drukafhankelijkheid van l 23 is gegeven door: l23 dl23 dp. Toon met behulp van het resultaat verkregen bij (f) aan dat P T l23 de term te verwaarlozen is als ethanol een ideaal gas is. P T (2 pnt) (h) Het tripelpunt van ethanol ligt bij P = Pa en T = 150 K. De latente warmte voor sublimatie van vast ethanol is l 13 = 43,50 kj mol 1. Wat is de latente warmte voor smelten van ethanol? 2

3 Opgave 2. (25 pnt) Er bestaan volgens de kwantummechanica twee soorten deeltjes: bosonen en fermionen. Deze voldoen volgens de statistische thermodynamica aan verschillende soorten statistiek, te weten Bose-Einstein-statistiek en Fermi-Dirac-statistiek. (2 pnt) (a) De statistische thermodynamica is opgebouwd rond het Statistisch Postulaat en de Ergodenstelling. Beschrijf wat wordt verstaan onder deze twee begrippen. (2 pnt) (b) Geef aan hoe fermionen en bosonen zijn geclassificeerd. In de klassieke limiet gedragen zich bosonen en fermionen identiek, en kan de kanonieke N- deeltjestoestandssom geschreven worden als,, 1,! althans als de deeltjes niet wisselwerken en structuurloos zijn, d.w.z. puntdeeltjes. Hier is, Λ de toestandssom van één deeltje, het volume waarin deze zich bevinden en ΛΛ de thermische golflengte van de deeltjes. (3 pnt) (c) Geef aan onder welke omstandigheid geldt de klassieke limiet opgaat, waar de factor 1/! vandaan komt in de uitdrukking voor en waarom deze evenredig is met. (3 pnt) (d) Laat zien dat op grond van de bovenstaande uitdrukking voor de verandering van de Helmholtz vrije energie van twee even grote volumina V gas van een gelijk aantal identieke deeltjes N en van gelijke temperatuur T na mengen gelijk is aan nul. Geef een verklaring voor dit resultaat. Als we niet helemaal voldoen aan de voorwaarde die geldt voor de klassieke limiet, voldoet de druk p van het gas niet aan de ideale gaswet zelfs als de deeltjes niet onderling wisselwerken. Tot op eerste orde in de dichtheid / geldt voor de kwantumcorrectie op de ideale gaswet 12 / Λ waarbij het min-teken geldt voor bosonen en het plus-teken voor fermionen. We verwaarlozen voor het gemak de hogere orde correcties in de dichtheid. (3 pnt) (e) Verklaar waarom de druk van het boson-gas lager is dan wordt voorspeld door de ideale gaswet terwijl dat hoger is voor het fermion-gas. (4 pnt) (f) Bereken uitgaande van de bovenstaande toestandsvergelijking de isotherme compressibiliteit van het boson-gas en laat zien dat voor voldoend lage temperatuur het gas thermodynamisch instabiel wordt. (3 pnt) (g) Geef de temperatuur waarbij dat het boson-gas thermodynamisch instabiel wordt en beschrijf wat er met de deeltjes gebeurt beneden deze temperatuur. 3

4 (5 pnt) (h) Leidt de bovenstaande kwantumcorrectie op de ideale gaswet af, uitgaande van de statistisch thermodynamische relatie ln 1 exp waarbij en respectievelijk de energie en de ontaarding van energieniveau 1,,, het volume van het gas, de absolute temperatuur en de constante van Boltzmann. is de chemische potentiaal van de deeltjes. 4

5 Opgave 3. (25 pnt) Koolstofnanobuisjes zijn cylindertjes bestaande uit één of meer lagen aan elkaar gebonden koolstofatomen in een honingraatstructuur, en typisch van de orde 10-6 [m] lang en 10-9 [m] breed. Op elkaar geperste koolstofnanobuisjes lijken geschikt als materiaal voor filters, omdat het een groot specifiek oppervlak heeft (>1000 [m 2 /g]) en organische moleculen, zoals benzeen, aan zich bindt. We beschouwen de binding van N benzeenmoleculen aan een enkel koolstofnanobuisje van lengte L. Omwille van de eenvoud doen we net alsof het een oneindig dun, één-dimensionaal object betreft en alsof de benzeenmoleculen puntdeeltjes zijn. De benzeenmoleculen, die geen spin hebben, zijn via een harmonische potentiaal gebonden aan het buisje in de richting loodrecht op de hoofdas van het buisje maar wel kunnen vrij bewegen langs de hoofdas. We nemen aan dat de gebonden deeltjes niet met elkaar wisselwerken en dat de (absolute) omgevingstemperatuur 300 [K] bedraagt. De kwantummechanische energie van een enkel deeltje, [J] is dan de som van de energie van de translatievrijheidsgraad parallel ( ) aan de hoofdas 2 met bijbehorende kwantumgetal 1,2,3, en m de massa van het deeltje m, en van de energie van de vrijheidsgraden loodrecht () daarop 1 2 met 0,1,2,3, het kwantumgetal, /2 [Js], h de constante van Planck [J s], 0 [J] de bindingsenergie van het benzeen aan het koolstofnanobuisje. De hoekfrequentie van de oscillator is [s -1 ]. De toestanden zijn niet ontaard. (2 pnt) (a) Toon aan de ééndeeltjestoestandssom geschreven kan worden als het product van de toestandsommen en. (3 pnt) (b) Laat zien dat Λ als we weten dat bij kamertemperatuur voor het benzeenmolecuul geldt dat /2 1 waarbij de constante van Boltzmann. (3 pnt) (c) Toon aan dat exp / /1 exp/ met de grondtoestandsenergie van een benzeenmolecuul op een koolstofnanobuisje en / de karakteristieke temperatuur voor het harmonisch gebonden deeltje. (4 pnt) (d) Bereken de verwachtingswaarde van de interne energie van de N gebonden deeltjes. (3 pnt) (e) Beargumenteer waarom dat als we weten dat de karakteristieke temperatuur voor de harmonisch gebonden benzeenmoleculen ca 13 [K] bedraagt, dat voor 5

6 de isochore warmtecapaciteit even bij kamertemperatuur moet gelden als deze zich inderdaad gedragen als puntdeeltjes. (3 pnt) (f) Toon aan dat de chemische potentiaal van N benzeenmoleculen op een nanobuisje gelijk is aan ln/ lnλ/, rekening houdende met het feit dat / 13/ We brengen een kleine hoeveelheid koolstofnanobuisjes in contact met een groot volume V met daarin benzeendamp op de verzadigingsdampdruk die [N m -2 ] bedraagt bij dezelfde omgevingstemperatuur van 300 [K]. Er ontstaat chemisch evenwicht tussen de benzeenmoleculen in de damp en die op de nanobuisjes. De druk van de damp volgt bij zeer goede benadering de ideale gaswet. De molecuulmassa van benzeen is 78 [g mol -1 ] en de diameter ongeveer 0.4 [nm]. (4 pnt) (g) Laat zien dat het aantal benzeenmoleculen dat zich per lengte-eenheid op de nanobuisjes adsorberen als functie van de de druk van de damp voldoet aan de relatie / Λ / exp / [m -1 ]. (3 pnt) (h) Berekeningen laten zien dat / 10. Bereken / en daaruit het percentage van de lengte van de buisjes dat bezet is met moleculen, gegeven de omvang van de benzeenmoleculen. Zijn de nanobuisjes geschikt om benzeen te binden? Benodigde constanten: / [J s], [mol -1 ], [J K -1 ]. 6