1. (a) De methode die in deze opgave wordt gebruikt is als volgt gedefinieerd

Transcriptie

1 . (a) De metode die in deze opgave wordt gebruikt is als volgt gedefinieerd u = u n + βf(t n, u n ) () u n+ = u + ( β)f(t n + β, u ) () We gaan te werk als in et bepalen van de lokale afbreekfout van de Modified Euler metode op blz. 8 van et dictaat. Als eerste vervangen we de numerieke waarde u n door de exacte waarde y n, dus z = y n + βf(t n, y n ) (3) y n+ = z + ( β)f(t n + β, z ) (4) We beginnen met de Taylorontwikkeling van f(t n +β, z ) rond et punt (t n, y n ) : f(t n + β, z ) = f(t n, u n ) + β(f t ) n + (z y(t n ))(f y ) n + β (f tt ) n + + (z y(t n )) (f yy ) n + β(z y(t n ))(f ty ) n. (5) Met beulp van (3) volgt dat (5) gelijk wordt aan f(t n + β, z ) = f(t n, y n ) + β(f t + ff y ) + O( ). (6) Als we nu vervolgens (6) substitueren in () verkrijgen we z n+ = y n + βf(t n, y n ) + ( β)f(t n, y n ) + ( β)β (f t + ff t ) n + O( 3 ) = = y n + f(t n, y n ) + ( β)β (f t + ff t ) n + O( 3 ). De Taylorontwikkeling van de exacte oplossing y n+ wordt gegeven door y n+ = y n + y n + y n + O( 3 ). Gebruikmakend van et feit dat y = f(t, y) volgt dat y n+ z n+ gelijk is aan ( ) y n+ z n+ = β( β) y n + O( 3 ) = O( ). De laatste gelijkeid volgt door et feit dat β( β) ongelijk aan nul is voor alle β. Nu volgt eenvoudig dat de afbreekfout τ n+ door y n+ z n+ = O(). (b) De versterkingsfactor wordt bepaald door de metode toe te passen op de testvergelijking y = λy. We verkrijgen met f(t n, u n ) gelijk aan λu n in () en () : u = u n + βλu n u n+ = u + ( β)λu. (7)

2 Substitueren van u in (7) geeft u n+ = u n + βλu n + ( β)λ(u n + βλu n ) = = ( + βλ + ( β)λ + β( β)(λ) ) u n = = ( + λ + β( β)(λ) ) u n = = Q(λ)u n. De versterkingsfactor is Q(λ) = + λ + β( β)(λ). (c) De niet-lineaire differentiaal vergelijking y = f(y) met f(y) = y 4y moet worden gelineariseerd rond y =. Er volgt dat de linearisatie van f(y) rond y = gegeven is als f(y) f( ) + (y )f ( ) = y +. De gelineariseerde differentiaalvergelijking is dus y = y+. Voor stabiliteit is et voldoende om te kijken naar de vergelijking y = 6y. Dit is de testvergelijking met λ =. De testvergelijking is stabiel als geldt : Q(λ) voor λ = 6 en β =. Invullen geeft dat voor de stapgrootte geldt dat deze moet voldoen aan de ongelijkeid +. Aan de recterongelijkeid wordt voldaan als. Aan de linker ongelijkeid voldoet deze voorwaarde ook (en we vinden geen strictere voorwaarde). De conclusie is dat de metode stabiel is in dit punt als.. (i) De Trapeziumregel voor et oplossen van een beginwaardeprobleem is gegeven als w n+ = w n + (f(t n, w n ) + f(t n+, w n+ )). (8) Merk daarbij op dat dit een impliciete metode is om de oplossing van et beginwaarde probleem y = f(t, y) te benaderen. De versterkingsfactor Q(λ) wordt als volgt afgeleid. Bescouw de testvergelijking y = λy. Toepassen van de Trapeziumregel op deze testvergelijking geeft een Q(λ) zodanig dat w j+ = Q(λ)w j. Toepassen van (8) op de testvergelijking y = λy geeft : w j+ = w j + (λw j + λw j+ ) (9)

3 Hergroeperen van w j+ en w j in (9) levert ( ) λ w j+ = ( + ) λ w j. Er volgt dat en dus is w j+ = + λ λw j, Q(λ) = + λ λ. (ii) Op blz. 80 van et dictaat vinden we dat de afbreekfout gelijk is aan τ j+ = y j+ Q(λ). De exacte oplossing van de testvergelijking wordt gegeven door y j+ = e λ y j. Combineren van deze beide resultaten geeft dat de afbreekfout van de testvergelijking wordt bepaald door et verscil van de exponentiële functie en de versterkingsfactor Q(λ), nl. τ j+ = eλ Q(λ) y j. (0) Het verscil tussen de exponentiële functie en de versterkingsfactor berekenen we als volgt : () Taylorontwikkeling van e λ () Taylorontwikkeling van λ vermenigvuldigt met + λ (3) Aftrekken : () () De Taylorontwikkeling van e λ met steunpunt 0 is : e λ = + λ + (λ) De Taylorontwikkeling van met steunpunt 0 is : λ + O( 3 ). () λ = + λ + 4 λ + O( 3 ). () Met beulp van () volgt dat + λ gelijk is aan λ + λ λ = + λ + (λ) + O( 3 ). (3)

4 Om nu e λ Q(λ) te bepalen, trekken we (3) af van (). Er volgt e λ Q(λ) = O( 3 ). (4) De afbreekfout vinden we nu door (4) in te vullen in (0). We vinden dan τ j+ = O( ). (iii) In paragraaf 6.5 (Stability of initial-value problems) wordt afgeleid dat een numerieke metode stabiel is dan en slects dan als Q(λ). De versterkingsfactor van de Trapeziumregel is Q(λ) = + λ λ. We moeten dus laten zien dat als λ 0 er volgt dat Q(λ) voor alle stapgrootten > 0. Uit Q(λ) volgt dat er aan de volgende ongelijkeid moet worden voldaan + λ λ. Bovenstaande ongelijkeid vermenigvuldigen met λ geeft + λ + λ λ. (5) Merk op dat ( λ) 0, dus et teken in de ongelijkeid klapt niet om. We weten dat λ 0 en moeten dus alleen controleren voor welke waarden voor aan (5) wordt voldaan. We beginnen met de linker ongelijkeid in (5), nl. + λ + λ. Als λ 0, dan voldoet deze ongelijkeid voor alle > 0. Voor de recter ongelijkeid van (5), nl. + λ λ, verkrijgen we etzelfde resultaat. Ook ier geldt dat er aan de ongelijkeid wordt voldaan voor alle > 0. De conclusie is dat de metode stabiel is voor alle > 0 als λ We bescouwen et niet-lineaire beginwaardenprobleem y = f(t, y) met f(t, y) = + (t y). Om de stabiliteit van Modified Euler in et punt (t =, y = ) te onderzoeken ebben we de volgende resultaten nodig :

5 Versterkingsfactor van Modified Euler Linearisatie van f(t, y). De versterkingsfactor van Modified Euler is Zie paragraaf 6.8 van et Dictaat. Q(λ) = + λ + λ. De linearisatie van f(t, y) rond et punt (t, y) = (, ) is f(t, y) f(, ) + (t ) f (, ) + (y ) f (, ) = t y = + (t ) (y ) = y + t = y + g(t). Het gelineariseerde beginwaardeprobleem is gelijk aan y = y + g(t). Voor stabiliteit is et voldoende om de vergelijking y = y te bescouwen. Merk op dat dit de testvergelijking is met λ =. Modified Euler is stabiel als Q(λ) met λ =. Dit geeft dat de metode stabiel is als voor de stapgrootte geldt +. Aan de linker ongelijkeid + wordt voldaan als 0. De recter ongelijkeid + als. Dus de stabiliteitsvoorwaarde wordt gegeven door Omdat de differentiaalvergelijking lineair is is de oeveeleid werk per stap voor beide metoden vergelijkbaar. De voorwaartse metode is stabiel als < voor alle keuzen van α. Beide metoden ebben als lokale afbreekfout: (α) /. Dus voor de nauwkeurigeid van beide metoden moet 0.0 zijn. Voor α = 0.05 levert dit α 8 en voor α = 0 geeft dit Hieruit volgt dat Euler acterwaarts et beste is voor α = Voor α = 0 is de efficiëntie van beide metoden etzelfde.