INLEIDING TOT DE HOGERE WISKUNDE

Transcriptie

1 INLEIING TOT E HOGERE WISKUNE EEL 2: Analyse van reële functies van meerdere reële veranderlijken Arno KUIJLAARS Stefaan POETS epartement Wiskunde, Katholieke Universiteit Leuven, Celestijnenlaan 2 B, 3 Heverlee

2 Voorwoord We hebben in deel de analyse van reële functies van één reële veranderlijke besproken. We hebben ook gezien dat heel wat problemen na wiskundige vertaling zo n functie van één reële veranderlijke opleveren. Vervolgens hebben we in deel een aantal wiskundige technieken ingevoerd die kunnen aangewend worden om het probleem verder op te lossen: bv. integratie, afleiding, reeksontwikkeling... Er zijn echter ook heel wat problemen in de moderne samenleving waarin meerdere veranderlijken voorkomen. e wiskundige modelering van dergelijke problemen leidt tot functies van meerdere reële veranderlijken. Stel bv. dat x i de hoeveelheid van een product i voorstelt en P i de prijs per eenheid van datzelfde product. e kostprijs van een goederenpakket dat samengesteld is uit de goederen, 2,..., n kan dan voorgesteld worden door de lineaire kostenfunctie: f : A R n R : x P x + P 2 x P n x n = P x. it is een eenvoudig voorbeeld van een functie van n reële veranderlijken. Er bestaan natuurlijk ook complexere kostenfuncties waarbij de prijs bv. afhangt van de hoeveelheid en de samenstelling van het aangekochte goederenpakket. Zo n functies van meerdere veranderlijken komen ook voor in beursmodellen, klimaatmodellen, productieprocessen, enz. ergelijke functies worden besproken in dit tweede deel van de cursus Inleiding tot de Hogere Wiskunde. We zullen in dit tweede deel van de cursus methoden afleiden en toepassen om optimalisatieproblemen op te lossen waarin reële functies van meerdere reële veranderlijken voorkomen; optimalisatieproblemen op te lossen met meerdere veranderlijken en één of meerdere nevenvoorwaarden; volumes te bepalen van lichamen die begrensd worden door willekeurige oppervlakken; We zullen hiertoe een aantal begrippen, eigenschappen en technieken van reële functies van één reële veranderlijke veralgemenen of uitbreiden naar reële functies van meerdere reële veranderlijken. Stellingen van deel worden algemener geformuleerd maar niet altijd bewezen. Nieuwe eigenschappen, specifiek voor functies van meerdere veranderlijken, worden vaak enkel bewezen voor functies van twee veranderlijken. Ook in dit deel van de cursus worden eigenschappen en definities uitvoerig geïllusteerd met uitgewerkte voorbeelden en vele figuren. ank gaat ook voor dit deel uit naar collega Stefaan Poedts voor het ter beschikking stellen van zijn cursus wiskunde voor de ste Kan. Bio-ingenieurs, waarop deze tekst gebaseerd is. Arno Kuijlaars Heverlee, 6 augustus 24

3 Inhoudsopgave efinities en Inleidende Begrippen. e n-dimensionale ruimte R n Rechten en vlakken Parametervergelijking Cartesische vergelijking Omzetting Ligging van rechten en vlakken in R Vlakkenbundels in R Projectie Afstanden in R Hoeken in R Cilindercoördinaten en bolcoördinaten Cilindercoördinaten Bolcoördinaten Reële functies van n reële veranderlijken efinitie en voorbeelden Grafische voorstelling Niveaukrommen en niveau-oppervlakken Continuïteit en limieten Uitbreiding van het begrip continuïteit Uitbreiding van het begrip limiet Krommen in R n Vectorfuncties en geparameteriseerde krommen in R n Afgeleide vectorfunctie, vectoriële snelheid Lengte van een geparameteriseerde kromme Herparameterisatie van krommen Oefeningen ifferentiaalrekening Partiële afgeleiden Voorbeelden en definitie Partiële afgeleiden van hogere orde Gradiënt en afleidbaarheid Kettingregel en richtingsafgeleide Afgeleide van een functie langs een kromme K Richtingsafgeleide Raakvlak aan het niveau-oppervlak Raakvlak aan de grafiek Oefeningen i

4 ii Inhoudsopgave 3 Extrema van functies van meerdere veranderlijken Extrema Maximum en minimum Kritieke punten Tweede afgeleide test Extrema van functies van 2 veranderlijken Optimalisatieproblemen met nevenvoorwaarden Substitutiemethode Lagrange-techniek Algemene formulering van de Lagrange-techniek Extremum met 2 nevenvoorwaarden van functies van 3 veranderlijken Extremum van een functie van n reële veranderlijken met m nevenvoorwaarden Kleinste kwadraten benadering Kleinste kwadraten oplossing atafitting met kleinste kwadraten Lineaire regressie atafitting met veeltermen Oefeningen Integraalrekening Bepaalde integralen van reële functies van twee veranderlijken Riemann-integraal van een functie van twee veranderlijken Meetkundige interpretatie Eigenschappen Herhaalde integralen Toepassingen van bepaalde integralen van reële functies van twee veranderlijken Berekening van de oppervlakte van een gebied in het xy-vlak Berekening van volumes Transformatie van coördinaten Transformatie van coördinaten voor twee veranderlijken Overgang van Cartesische coördinaten naar poolcoördinaten Voorbeelden Toepassing: e Gaussische integraal Bepaalde integralen van reële functies van drie veranderlijken rievoudige herhaalde integralen Transformatie van coördinaten Oefeningen Index 35

5 Hoofdstuk efinities en Inleidende Begrippen it tweede deel van de cursus Inleiding tot de Hogere Wiskunde handelt over reële functies van meerdere reële veranderlijken. Het gaat hierbij voornamelijk om functies f van R n naar R f : R n R : x = (x, x 2,..., x n ) f( x) = f(x, x 2,..., x n ). In dit eerste hoofdstuk bespreken we de n dimensionale ruimte R n met bijzondere nadruk op n = 2 en n = 3. Vervolgens behandelen we de definitie, de grafische voorstelling en de continuïteit van reële functies van meerdere veranderlijken. We zullen bij de studie van reële functies van meerdere veranderlijken regelmatig reeds gekende resultaten van reële functies van één veranderlijke gebruiken en uitbreiden.. e n-dimensionale ruimte R n e verzameling R n bestaat uit n-tallen (x, x 2,..., x n ) met reële getallen x j R, j =,..., n. Een element (x, x 2,..., x n ) van R n noemen we ook wel een punt van R n. e getallen x, x 2,..., x n zijn de coördinaten van (x, x 2,..., x n ). Twee elementen (x, x 2,..., x n ) en (y, y 2,..., y n ) van R n kunnen we optellen (x, x 2,..., x n ) + (y, y 2,..., y n ) = (x + y, x 2 + y 2,..., x n + y n ) (.) en een element (x, x 2,..., x n ) van R n kunnen we met een scalar α R vermenigvuldigen α(x, x 2,..., x n ) = (αx, αx 2,..., αx n ). (.2) e bewerkingen (.) en (.2) worden coördinaatsgewijs uigevoerd. Zoals bekend uit de lineaire algebra is R n met de bewerkingen (.) en (.2) een vectorruimte. Elementen van R n zullen we ook vectoren noemen. e notatie die we zullen hanteren voor punten van R n is x = (x, x 2,..., x n ) R n. (.3) oor het pijltje wordt benadrukt dat we te maken hebben met een vector. e vectorruimte R n is n-dimensionaal. at houdt in dat elke basis van R n uit n elementen bestaat. e standaardbasis van R n bestaat uit de vectoren e, e 2,..., e n met e k = (,,...,,,,..., ), k =, 2,..., n. } {{ } k nullen

6 2 Hoofdstuk Het nulelement van R n (ook wel nulvector) is = (,,..., ) (n nullen). noemen we ook wel de oorsprong van R n. Soms zullen we de coördinaten van een vector niet als een rij x = (x, x 2,..., x n ) maar als een kolom x x 2 x = (.4). x n willen noteren. In dit verband spreken we dan van (.4) als een kolomvector en van (.3) als een rijvector. Standaard zien we vectoren als rijvectoren. e twee-dimensionale vectorruimte R 2 identificeren we met het platte vlak. In plaats van x = (x, x 2 ) schrijven we meestal x = (x, y). e drie-dimensionale vectorruimte R 3 identificeren we met de drie-dimensionale ruimte. In plaats van x = (x, x 2, x 3 ) R 3 schrijven we meestal x = (x, y, z). e lengte, of norm, van een vector x = (x, x 2,..., x n ) R n is x = ( ( x 2 + x ) n /2 /2 x2 n = xk) 2. (.5) e norm x heeft de volgende eigenschappen. () x. (2) x = als en slechts als x =. (3) α x = α x voor α R. (4) x + y x + y. Eigenschap (4) heet de driehoeksongelijkheid. Een vector x met norm wordt wel een eenheidsvector genoemd. e standaard-basisvectoren e, e 2,..., e n zijn eenheidsvectoren. Met elke vector x verschillend van de nulvector kunnen we een eenheidsvector x verbinden door x = x x. x is de eenheidsvector in de richting van x. e norm van de verschilvector x y is de Euclidische afstand tussen de vectoren x en y ( n ) /2 d( x, y) = x y = (x k y k ) 2. (.6) k= Uit de driehoeksongelijkheid voor de norm volgt dat k= d( x, z) d( x, y) + d( y, z).

7 efinities en Inleidende Begrippen 3 Ook deze eigenschap heet wel de driehoeksongelijkheid. Het scalair product op R n is de afbeelding : R n R n R : ( x, y) x y die aan de vectoren x = (x, x 2,..., x n ) en y = (y, y 2,..., y n ) het reëel getal x y = x y + x 2 y x n y n = n x k y k (.7) toevoegt. Het scalair product heet ook wel inwendig product of inproduct. Voor het scalair product x y wordt ook wel de notatie x, y gebruikt. Het scalair product is symmetrisch en lineair in beide argumenten x y = y x k= (α x + α 2 x 2 ) y = α ( x y) + α 2 ( x 2 y), x (β y + β 2 y 2 ) = β ( x y ) + β 2 ( x y 2 ). e norm van een vector x hangt samen met het scalair product omdat Stelling.: x = x x. Ongelijkheid van Cauchy Schwarz: Voor elk tweetal vectoren x, y R n geldt x y x y (.8) Bewijs: Voor elk willekeurig reëel getal t R geldt vanwege de symmetrie en de lineariteit van het scalair product t x + y 2 = (t x + y) (t x + y) = t 2 x x + 2t( x y) + y y = t 2 x 2 + 2t ( x y) + y 2. Voor elke t R is dus e kwadratische functie t 2 x 2 + 2t ( x y) + y 2. t t 2 x 2 + 2t ( x y) + y 2 verandert dus niet van teken en heeft bijgevolg een discriminant die negatief is of nul: = [2 ( x y)] 2 4 x 2 y 2. it betekent ( x y) 2 x 2 y 2

8 4 Hoofdstuk en dus x y x y, hetgeen te bewijzen was. Uit de ongelijkheid van Cauchy Schwarz volgt dat voor niet-nulvectoren x en y geldt x y x y. e hoek tussen x en y wordt gedefinieerd als de hoek θ [, π] waarvoor an is dus cos θ = x y x y. (.9) x y = x y cos θ. Twee niet-nulvectoren x, y R n staan in dezelfde richting als de hoek θ tussen x en y gelijk is aan. In dat geval is x = α y voor zekere α >. e vectoren staan in tegengestelde richting als de hoek θ gelijk is aan π. an is x = α y met α <. e twee niet-nulvectoren x en y staan loodrecht of orthogonaal en we noteren x y indien θ gelijk is aan π/2. an is cos θ =, zodat x y =. e standaard-basisvectoren e k staan onderling loodrecht, want voor j k geldt e j e k =..2 Rechten en vlakken.2. Parametervergelijking Een rechte in R n is een deelverzameling L van R n die geschreven kan worden als L = { p + t r t R} met p en r twee vaste vectoren uit R n. Bovendien is r. e vector r is een richtvector van L en p een steunvector. e vector p behoort tot L. Als p = (p, p 2,..., p n ) en r = (r, r 2,..., r n ) dan bevat L alle vectoren x van de vorm x = p + t r = p p 2. p n + t r r 2. r n. (.) (.) is een parametervergelijking van de rechte L. In (.) zijn we overgegaan op de schrijfwijze met kolomvectoren. Als p = dan bevat de rechte de oorsprong, en L is dan een deelruimte van R n van dimensie. Elke -dimensionale deelruimte kan op deze manier bekomen worden.

9 efinities en Inleidende Begrippen 5 Het is belangrijk op te merken dat de parametervergelijking (.) voor de rechte L niet uniek bepaald is. e steunvector en richtvector van L liggen dus ook niet eenduidig vast. Indien q L en α R dan bepaalt de parametervergelijking x = q + t(α r) dezelfde rechte L. Bij de keuze van steunvector hebben we dus de vrijheid om een willekeurig punt van L te nemen. e richtvector van L is bepaald op een scalair veelvoud (ongelijk aan ) na. Een vlak in R n is een deelverzameling V die geschreven kan worden als V = { p + t r + t 2 r 2 t, t 2 R} waarin p, r, r 2 vectoren zijn in R n. Bovendien moeten de vectoren r en r 2 lineair onafhankelijk zijn. e vectoren r en r 2 zijn richtvectoren van het vlak V en de vector p is een steunvector. Als p = (p, p 2,..., p n ), r = (r, r 2,..., r n ) en r 2 = (r 2, r 22,..., r n2 ), dan bevat L alle vectoren x van de vorm x = p + t r + t 2 r 2 = p p 2. p n + t r r 2. r n + t 2 r 2 r 22. r n2 (.) met t, t 2 R. (.) is een parametervergelijking van het vlak V. Als p = dan bevat het vlak de oorsprong, en V is dan een 2-dimensionale deelruimte van R n met basis r, r 2. Elke 2-dimensionale deelruimte van R n kan op deze manier bekomen worden. e parametervergelijking (.) voor V is niet uniek bepaald. In plaats van p zouden we een willekeurig ander punt van V kunnen nemen als steunvector. Bij de keuze van richtvectoren hebben we de vrijheid om over te gaan op s en s 2 wanneer s en s 2 dezelfde deelruimte van R n opspannen als r en r 2. Elke niet-nul vector van deze deelruimte wordt dan ook wel een richtvector van V genoemd. Alle richtvectoren van een vlak V vormen, samen met de nulvector, een 2-dimensionale deelruimte van R n. Meer algemeen kan men voor elke k =, 2,..., n een k-vlak in R n definiëren als een deelverzameling van de vorm { p + k t j r j t,..., t k R} j= waarbij r, r 2,..., r k lineair onafhankelijke vectoren zijn in R n en p R n. Met deze definitie is een rechte een -vlak, en een vlak een 2-vlak. Een n-vlak is gelijk aan de hele ruimte R n. We zullen ons in het vervolg voornamelijk bezighouden met rechten en vlakken in R 3. Een rechte is vaak niet bepaald door een richtvector en een steunvector, maar door twee punten op de rechte. Elk tweetal vectoren p en q met p q bepaalt een unieke rechte L. Als richtvector van L kunnen we nemen q p en een parametervergelijking van L is L : x = p + t( q p).

10 6 Hoofdstuk Voorbeeld.: e rechte in R 3 door de punten p = (, 2, ) en q = (2,, 3) heeft parametervergelijking x = p + t( q p) = 2 + t 2. 4 Elk drietal punten p, p, p 2 R n die niet op een rechte liggen bepaalt een uniek vlak V waar ze alle drie toe behoren. Als steunvector kunnen we p nemen, en als richtvectoren Een parametervergelijking van V is dan r = p p, r 2 = p 2 p. V : x = p + t ( p p ) + t 2 ( p 2 p ). Voorbeeld.2: Het vlak in R 3 bepaald door de punten (2, 2, 2), (, 2, ) en (,, ) heeft als parametervergelijking x = Cartesische vergelijking + t 2 + t 2 Rechten en vlakken kunnen ook met Cartesische vergelijkingen beschreven worden in plaats van met parametervergelijkingen. We beperken ons tot rechten en vlakken in R efinitie: Een vector n is een normaal van een vlak V in R 3 indien n loodrecht staat op elke richtvector van V. We zeggen dan dat n loodrecht staat op V. Als n = dan is n een eenheidsnormaal van V. Neem een vast punt p V. Voor elke x V is de verschilvector x p een richtvector van V. Een normaal n van V staat loodrecht op deze richtvector, zodat ofwel n ( x p) n ( x p) =. (.2) Omgekeerd behoort elke vector x die aan (.2) voldoet tot het vlak door p met normaal n. Het vlak V is dus volledig vastgelegd door de normaal en één punt van V. e vergelijking (.2) is een Cartesische vergelijking van V. Als dan komt (.2) overeen met ofwel als d = ax + by + cz, n = (a, b, c), p = (x, y, z ) en x = (x, y, z) a(x x ) + b(y y ) + c(z z ) =, ax + by + cz = d (.3) met (a, b, c) (,, ). it is de standaardvorm voor een Cartesische vergelijking van een vlak in R 3. In (.3) zien we de normaal n = (a, b, c) terug.

11 efinities en Inleidende Begrippen 7 efinitie: Een vector n staat loodrecht op een rechte L in R 3 als n loodrecht staat op de richtvector van L. Zij L een rechte in R 3 met richtvector r en steunvector p. Als n loodrecht op L staat dan is n r zodat n r =. Elke x L kunnen we schrijven als x = p + t r voor zekere t R, zodat x p een veelvoud is van r. an is ook n ( x p) =. (.4) (.4) is de Cartesische vergelijking van een vlak waartoe L behoort. Er zijn vele vectoren n die loodrecht op L staan. We kunnen twee lineair onafhankelijke vectoren n en n 2 vinden die loodrecht op L staan. eze twee vectoren bepalen twee vlakken en V : n ( x p) =, (.5) V 2 : n 2 ( x p) =. (.6) e rechte L is de doorsnede van deze twee vlakken. L is dus voor te stellen met twee Cartesische vergelijkingen { n ( x p) =, L : (.7) n 2 ( x p) =. Als x = (x, y, z), n = (a, b, c ), n 2 = (a 2, b 2, c 2 ), n p = d en n 2 p = d 2, dan wordt (.7) L : { a x + b y + c z = d, a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2. (.8) it is de standaard voorstelling van een rechte met Cartesische vergelijkingen..2.3 Omzetting We hebben twee manieren gezien om rechten en vlakken voor te stellen: met parametervergelijkingen of met Cartesische vergelijkingen. We onderzoeken hier hoe we van de ene voorstelling naar de andere overgaan. Van belang hierbij is het vectorproduct tussen twee vectoren in R 3 dat we nu eerst behandelen. Het vectorproduct efinitie: Het vectorproduct x x 2 van de vectoren x = (x, y, z ) en x 2 = (x 2, y 2, z 2 ) uit R 3 is de vector x x 2 = (y z 2 z y 2, z x 2 x z 2, x y 2 y x 2 ) R 3. Het vectorproduct heet ook wel uitwendig product of uitproduct. We merken op dat het vectorproduct kenmerkend voor R 3. In andere dimensies is er geen vectorproduct. Met de kolomnotatie voor vectoren hebben we x x 2 = x y z x 2 y 2 z 2 = y z 2 z y 2 z x 2 x z 2 x y 2 y x 2. (.9)

12 8 Hoofdstuk Het is duidelijk dat het vectorproduct anti-symmetrisch is: Het is ook duidelijk dat x x 2 = x 2 x. x x =. Het vectorproduct van een vector met zichzelf levert altijd de nulvector op. Het belang van het vectorproduct bestaat erin dat x x 2 loodrecht staat op zowel x als x 2. Er geldt namelijk x ( x x 2 ) = (.2) en x 2 ( x x 2 ) =. (.2) e relaties (.2) en (.2) zijn door directe berekening eenvoudig na te gaan. Hulpstelling.2: e vectoren x en x 2 zijn lineair afhankelijk als en slechts als x x 2 =. (.22) Bewijs: Indien x =, dan is het duidelijk dat de vectoren lineair afhankelijk zijn en dat (.22) geldt. We mogen dus verder aannemen dat x. Neem aan dat x en x 2 lineair afhankelijk zijn. Omdat x volgt daaruit dat er een t R is met x 2 = t x. an geldt x x 2 = t( x x ) = t =. us (.22) geldt. Neem nu omgekeerd aan dat (.22) geldt. Uit (.9) volgen dan de drie gelijkheden: y z 2 = z y 2, z x 2 = x z 2 en x y 2 = y x 2 voor de coördinaten van x en x 2. Omdat x is minstens één van de coördinaten van x ongelijk aan nul. Neem aan dat x ; de andere gevallen verlopen analoog. efinieer Uit x y 2 = y x 2 volgt dan dat en uit z x 2 = x z 2 dat us t = x 2 x zodat x 2 = tx. y 2 = y x 2 x = ty z 2 = z x 2 x = tz. x 2 = (x 2, y 2, z 2 ) = t(x, y, z ) = t x zodat de vectoren x en x 2 lineair afhankelijk zijn. Uit de hulpstelling volgt dat voor lineair onafhankelijke vectoren x en x 2 het vectorproduct x x 2 ongelijk is aan de nulvector. Vanwege (.2) en (.2) is het vectorproduct dan een niet-nulvector die loodrecht staat op zowel x als x 2.

13 efinities en Inleidende Begrippen 9 Omzetting van parametervergelijking van een vlak naar een Cartesische vergelijking Indien een vlak V gegeven is door de parametervergelijking V : x = p + t r + t 2 r 2 met een steunvector p en twee lineair onafhankelijke richtvectoren r en r 2 dan nemen we n = r r 2. e vector n is dan een niet-nulvector die loodrecht staat op beide richtvectoren. Een Cartesische vergelijking van V is dan V : n ( x p) =. Omzetting van parametervergelijking van een rechte naar Cartesische vergelijkingen Indien een rechte L gegeven is door de parametervergelijking L : x = p + t r met p = (p, p 2, p 3 ) en r = (r, r 2, r 3 ), dan hebben we x = p + tr, y = p 2 + tr 2 en z = p 3 + tr 3. e Cartesische vergelijkingen vinden we door t te elimineren. gebeuren. Als bijvoorbeeld r, dan is it kan op vele manieren en vervolgens t = x p r y = p 2 + x p r r 2 en z = p 3 + x p r r 3. it geeft de Cartesische vergelijkingen { r2 x + r L : y = p 2 p r 2 r 3 x + r z = p 3 p r 3 Als r = dan is r 2 of r 3 en kunnen we op gelijkaardige wijze te werk gaan. Omzetting van Cartesische vergelijking van een vlak naar een parametervergelijking Indien het vlak V gegeven is door een Cartesische vergelijking V : ax + by + cz = d met (a, b, c) (,, ) dan is n = (a, b, c) een normaal van het vlak. Men vindt eenvoudig twee lineair onafhankelijke vectoren r en r 2 die loodrecht staan op n. Als bijvoorbeeld a, dan kunnen we nemen r = b/a en r 2 = c/a.

14 Hoofdstuk eze vectoren kunnen we nemen als richtvectoren van het vlak. Een steunvector p is ook eenvoudig uit de Cartesische vergelijking te vinden. Als wederom bijvoorbeeld a dan kunnen we nemen d/a p =. e parametervergelijking van V is dan V : x = p + t r + t 2 r 2. Omzetting van Cartesische vergelijkingen van een rechte naar een parametervergelijking Indien de rechte L gegeven is door de Cartesische vergelijkingen { a x + b L : y + c z = d a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 dan zijn n = (a, b, c ) en n 2 = (a 2, b 2, c 2 ) lineair onafhankelijke vectoren. Immers, als ze lineair afhankelijk zouden zijn, dan zouden de normalen van de twee vlakken V : a x + b y + c z = d V 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 dezelfde richting hebben, en V en V 2 zouden dan ofwel samenvallen ofwel evenwijdig zijn met lege doorsnede. In beide gevallen is de doorsnede niet gelijk aan een rechte. Omdat n en n 2 lineair onafhankelijk zijn is het vectorproduct r = n n 2 niet de nulvector. We kunnen r dan nemen als richtvector van L. Een steunvector vinden we als particuliere oplossing van het stelsel Cartesische vergelijkingen. Een parametervergelijking is L : x = p + t r..2.4 Ligging van rechten en vlakken in R 3 Ligging van twee vlakken We zeggen dat twee vlakken evenwijdig zijn indien de normalen lineair afhankelijk zijn. In R 3 kunnen we de volgende gevallen onderscheiden voor de ligging van twee vlakken V en V 2 ten opzichte van elkaar. Er geldt één van de volgende gevallen () V en V 2 vallen samen. (2) V en V 2 zijn evenwijdig met lege doorsnede. (3) V en V 2 snijden elkaar in een rechte. We kunnen onderzoeken hoe twee vlakken ten opzichte van elkaar liggen door naar de Cartesische vergelijkingen te kijken. Neem aan dat V : a x + b y + c z = d, V 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2. e normalen zijn respectievelijk n = (a, b, c ) en n 2 = (a 2, b 2, c 2 ). Als de normalen lineair onafhankelijk zijn, dan is de doorsnede van V met V 2 een rechte. Als ze afhankelijk zijn, zeg n 2 = t n, dan vallen de vlakken samen als d 2 = td en zijn ze evenwijdig met lege doorsnede als d 2 td.

15 efinities en Inleidende Begrippen Ligging van twee rechten Twee rechten zijn evenwijdig als de richtvectoren lineair afhankelijk zijn. Voor twee rechten L en L 2 in R 3 zijn er de volgende mogelijkheden. () L en L 2 vallen samen. (2) L en L 2 snijden elkaar in één punt. (3) L en L 2 zijn evenwijdig met lege doorsnede. (4) L en L 2 zijn niet evenwijdig en hebben lege doorsnede. (We zeggen dan dat ze kruisen.) Neem aan dat L en L 2 gegeven zijn door parametervergelijkingen L : x = p + t r, L 2 : x = p 2 + t r 2. Indien r en r 2 lineair afhankelijk zijn dan zijn de rechten evenwijdig en hebben we mogelijkheid () of (3). Als de verschilvector p 2 p ook lineair afhankelijk is met r en r 2 dan vallen de rechten samen, anders zijn ze evenwijdig met lege doorsnede. Indien r en r 2 lineair onafhankelijk zijn, dan spannen r en r 2 een vlak V op. Als de verschilvector p 2 p behoort tot dit vlak, dan zijn er scalairen t en t 2 zodanig dat ofwel Het punt p 2 p = t r + t 2 r 2 p + t r = p 2 t 2 r 2. x = p + t r = p 2 t 2 r 2 behoort dan zowel tot L als tot L 2. e doorsnede van L met L 2 is dan dit ene punt. Als de verschilvector p 2 p niet behoort tot het vlak V dan kruisen de twee rechten. Ligging van rechte en vlak Voor de ligging van een rechte L ten opzichte van een vlak V zijn de volgende mogelijkheden: () L is bevat in V. (2) L snijdt V in precies één punt. (3) L en V hebben lege doorsnede. Om de ligging te onderzoeken nemen we een parametervergelijking van L en een Cartesische vergelijking van V L : x = p + t r V : ax + by + cz = d met normaal n = (a, b, c). Zij x = p + t r een punt van L. Het punt behoort ook tot het vlak V als n x = d.

16 2 Hoofdstuk it betekent ofwel d = n ( p + t r) = n p + t( n r), t( n r) = d n p. (.23) We zien hieruit het volgende: Wanneer n r dan is er juist een waarde van t waarvoor (.23) geldt, namelijk t = d n p. n r Er is dan precies één snijpunt van L met V. Wanneer n r = en d n p dan voldoet geen enkele t aan (.23). e rechte en het vlak hebben dan een lege doorsnede. Wanneer n r = en ook d n p = dan voldoet elke waarde van t aan (.23). Bijgevolg ligt elk punt van L ook in V en L is bevat in V..2.5 Vlakkenbundels in R 3 Neem aan dat twee vlakken V en V 2 in Cartesische coördinaten gegeven zijn door hetgeen we afkorten tot respectievelijk V : a x + b y + c z d =, V 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z d 2 =, v = en v 2 =. e vlakkenbundel bepaald door V en V 2 is de verzameling van alle vlakken van de vorm V : λ v + λ 2 v 2 = met (λ, λ 2 ) (, ). (.24) Wanneer de vlakken V en V 2 elkaar snijden in een rechte L dan bevat elk vlak uit de vlakkenbundel (.24) de rechte L, en omgekeerd, elk vlak dat de rechte L bevat behoort tot de vlakkenbundel. Wanneer de vlakken V en V 2 evenwijdig zijn met lege doorsnede, dan bestaat de vlakkenbundel (.24) uit alle vlakken die evenwijdig zijn met V en V 2. Wanneer tenslotte V en V 2 samenvallen dan bevat de vlakkenbundel enkel het vlak V. Een vlak uit de vlakkenbundel (.24) met λ kan ook geschreven worden als V : v + λv 2 = (.25) waarin λ = λ 2 /λ. Met λ = correspondeert het vlak V 2. We kunnen concluderen dat de vlakkenbundel (.24) bestaat uit alle vlakken van de vorm (.25) samen met het vlak V 2. Toepassing: vlak door L evenwijdig met L 2 We gebruiken vlakkenbundels om het vlak te construeren door een rechte dat evenwijdig is met een andere rechte.

17 efinities en Inleidende Begrippen 3 Voorbeeld.3: Gegeven zijn de rechten L : { 3x + 2y + 2 = x + z = en L 2 : { 2x + y + z = x z + 2 = Gevraagd is het vlak door L dat evenwijdig is met L 2. Elk vlak door L, behalve x + z =, heeft de vorm met λ R. e normaal van dit vlak is 3x + 2y λ(x + z) = n = (3 + λ, 2, λ). it vlak is evenwijdig met L 2 als en slechts als de normaal n loodrecht staat op de richtvector r van L 2. We berekenen daarom de richtvector van L 2 door het vectorproduct r = 2 = 3. Omdat n r = (3 + λ) + 6 λ = 2λ + 3, zien we dat n loodrecht op r staat als en slechts als 2λ + 3 =, oftewel λ = 3 2. Het gezochte vlak is ofwel (3 + 3/2)x + 2y + (3/2)z + 2 = 9x + 4y + 3z + 4 =..2.6 Projectie Schuine projectie e projectie van een punt p op het vlak V evenwijdig aan de richting r verkrijgen we als snijpunt van V met de rechte x = p + t r. e projectie is alleen zinvol als de richting r geen richting van het vlak is. e projectie van een rechte L op een vlak V evenwijdig aan de richting r is per definitie gelijk aan de verzameling van alle projecties van de punten van L op V evenwijdig aan r. Om de projectie te vinden van een rechte L op een vlak V evenwijdig met de richting r gaan we als volgt te werk: () Bepaal het vlak V door L evenwijdig met r. (2) e gevraagde projectie is dan V V.

18 4 Hoofdstuk Voorbeeld.4: Gegeven zijn de rechte en het vlak L : { 2x + y + z = x + z + 2 = V : 3x + 2y + z + =. Gevraagd is de projectie van L op V evenwijdig met de richting (,, ). e vlakkenbundel door L bestaat uit de vlakken 2x + y + z + λ(x + z + 2) = samen met het vlak x + z + 2. We zoeken een vlak in de vlakkenbundel die evenwijdig is met (,, ). an moet (,, ) loodrecht staan op de normaal van het vlak. Er moet dus gelden it betekent (2 + λ,, + λ) (,, ) =. 2 + λ λ = 4 + 2λ =. us λ = 2 en het vlak V door L evenwijdig met (,, ) is e projectie van L is de rechte Loodrechte projectie V : y z 4 =. { 3x + 2y + z + = y z 4 =. Onder loodrechte projectie op een vlak V verstaan we projectie evenwijdig met de normaal van V. Voorbeeld.5: We berekenen de loodrechte projectie van de rechte L op het vlak V waarbij { 2x + y + z = L : en V : 3x + 2y z + =. x + z + 2 = e vlakkenbundel door L bestaat uit de vlakken 2x + y + z + λ(x + z + 2) = samen met het vlak x + z + 2 =. e normaal van V is (3, 2, ) en we zoeken dus het vlak V in de vlakkenbundel dat evenwijdig is met (3, 2, ). an moet gelden it betekent us λ = 7/2 en V is (2 + λ,, + λ) (3, 2, ) =. 3(2 + λ) + 2 λ = 7 + λ =. V : 3x + 2y 5z 4 =. e gezochte projectie is de rechte { 3x + 2y z + = 3x + 2y 5z 4 =

19 efinities en Inleidende Begrippen Afstanden in R 3 e afstand tussen twee punten x = (x, y, z ) en x 2 = (x 2, y 2, z 2 ) in R 3 is zoals we reeds gezien hebben in (.6) gelijk aan d( x, x 2 ) = x x 2 = (x x 2 ) 2 + (y y 2 ) 2 + (z z 2 ) 2. efinitie: e afstand tussen een punt p R 3 en een deelverzameling A van R 3 is gelijk aan d( p, A) = inf{d( p, a) a A}. e afstand tussen twee deelverzamelingen A en B van R 3 is gelijk aan d(a, B) = inf{d( a, b) a A, b B}. We gaan de afstand uitrekenen voor de gevallen dat A en B rechten of vlakken zijn. Afstand van een punt tot een vlak e afstand van een punt p tot een vlak V is gelijk aan de afstand tussen p en zijn loodrechte projectie op V. Zij p = (x, y, z ) en V : ax + by + cz = d. e rechte door p loodrecht op V heeft parametervergelijking Het punt x van L ligt in het vlak V als it wil zeggen dat en dus e projectie van p op V is daarmee L : x = p + t(a, b, c) = (x + ta, y + tb, z + tc). a(x + ta) + b(y + tb) + c(z + tc) = d. t(a 2 + b 2 + c 2 ) = d ax by cz, t = d ax by cz a 2 + b 2 + c 2. x = p + t(a, b, c) met t als hierboven en de gevraagde afstand is d( p, V) = p ( p + t(a, b, c)) = t(a, b, c) = t (a, b, c) = d ax by cz a 2 + b 2 + c 2 a 2 + b 2 + c 2 = ax + by + cz d a 2 + b 2 + c 2.

20 6 Hoofdstuk Afstand tussen twee kruisende rechten Om de afstand tussen twee kruisende rechten L en L 2 te bepalen gaat men als volgt te werk: () Construeer het vlak V door L dat evenwijdig is met L 2. (2) Neem een willekeurig punt p van L 2. e afstand tussen L en L 2 is gelijk aan de afstand tussen p en V. Voorbeeld.6: Beschouw de rechten { 3x + 2y + 2 = L : x + z = en L 2 : { 2x + y + z = x z + 2 = Het vlak V door L dat evenwijdig is met L 2 is reeds in een Voorbeeld.3 bepaald. Het is V : 9x + 4y + 3z + 4 =. We nemen nu een willekeurig punt p van L 2. Bijvoorbeeld e afstand van p tot V is en dit is ook de afstand tussen L en L Hoeken in R 3 p = (, 2, 2) L 2. d( p, V) = = 2 6 In (.9) hebben we gezien dat de hoek θ tussen twee niet-nulvectoren x en y voldoet aan cos θ = x y x y. We nemen θ [, π] zodat ( ) x y θ = bgcos x y Hoek tussen twee rechten We zouden de hoek tussen twee rechten L : x = p + t r en L 2 : x = p 2 + t r 2 willen definiëren als de hoek θ tussen de richtvectoren r en r 2 : cos θ = r r 2 r r 2. (.26) it is echter alleen een bevredigende definitie als de rechterkant van (.26) niet afhangt van de gekozen richtvectoren van L en L 2. Willekeurige richtvectoren zijn α r en α 2 r 2 met α en α 2. Als we deze richtvectoren in (.26) gebruiken volgt cos θ = (α r ) (α 2 r 2 ) α r α 2 r 2 = α α 2 ( r r 2 ) α α 2 r r 2 = ± r r 2 r r 2

21 efinities en Inleidende Begrippen 7 e cosinus van θ wordt dus door (.26) bepaald op een teken na. We zullen afspreken dat we de hoek θ tussen twee rechten altijd in [, π/2] zullen nemen. In dat geval is cos θ en geldt cos θ = r r 2 r r 2. (.27) e uitdrukking (.27) hangt niet af van de gekozen richtvectoren van L en L 2. Hoek tussen rechte en vlak e hoek tussen een rechte L en een vlak V is gelijk aan de hoek tussen L en de loodrechte projectie van L op V. Als de loodrechte projectie een punt zou zijn, dan staat L loodrecht op V en is de hoek gelijk aan π/2. In het algemeen is de loodrechte projectie van L op V een rechte. e hoek θ tussen een rechte L en een vlak V is het complement van de hoek tussen L en een normaal n van V. Als dus r een richtvector is van L dan geldt cos(π/2 θ) = r n r n, ofwel sin θ = r n r n (.28) met θ [, π/2]. Merk op dat (.28) niet afhangt van de gekozen richtvector van L en de gekozen normaal van V. Voorbeeld.7: Bereken de hoek tussen de rechte L door (, 2, ) en (,, ) en het vlak V : 2x y 2z = 3. Een richtvector van L is (,, ) en een normaal van V is (2,, 2). e hoek θ tussen L en V vindt men uit r n sin θ = r n = = us ( ) θ = bgsin 3. 3 Hoek tussen twee vlakken e hoek θ tussen twee vlakken V en V 2 met respectievellijke normalen n en n 2 definiëren we als cos θ = n n 2 (.29) n n 2 met θ [, π/2]. e uitdrukking (.29) hangt niet af van de gekozen normalen van V en V 2.

22 8 Hoofdstuk z P(x,y,z) P( ρ, θ,z) θ ρ y x Figuur.: Cilindercoördinaten..3 Cilindercoördinaten en bolcoördinaten In het vlak R 2 is het soms eenvoudiger te werken met poolcoördinaten (r, θ) die samenhangen met de Cartesische coördinaten (x, y) volgens x = r cos θ en y = r sin θ. Zie hiervoor deel van de cursus. Net zo is het in R 3 soms eenvoudiger om met een ander coördinatenstelsel te werken. We kennen in R 3 in het bijzonder de cilindercoördinaten en de bolcoördinaten..3. Cilindercoördinaten Bij cilindercoördinaten geeft men een punt met Cartesische coördinaten (x, y, z) weer met (ρ, θ, z) waarin x = ρ cos θ y = ρ sin θ z = z met ρ en θ [, 2π[ (of θ ] π, π]). it betekent in feite dat (ρ, θ) de poolcoördinaten van het punt (x, y) in R 2 zijn en dat de z-coördinaat overgenomen wordt..3.2 Bolcoördinaten Bij bolcoördinaten geeft men een punt met Cartesische coördinaten (x, y, z) weer door middel van (r, θ, φ) waarin x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ met r, θ [, π] en φ [, 2π[ (of φ ] π, π]). Hierin is r de afstand van (x, y, z) tot de oorsprong. e hoek φ is de hoek tussen de positieve x-as en het punt (x, y, ). e hoek θ is de hoek tussen de positieve z-as en het lijnstuk vanuit de oorsprong naar het punt (x, y, z).

23 efinities en Inleidende Begrippen 9 z θ r P(x,y,z) P(r, θ, ϕ ) y ϕ x Figuur.2: Bolcoördinaten..4 Reële functies van n reële veranderlijken.4. efinitie en voorbeelden efinitie: Een reële functie f van n reële veranderlijken is een relatie van een deelverzameling U van R n naar R die met elk element x van U juist één element van R laat overeenstemmen: f : U R : x = (x, x 2,..., x n ) f( x) = f(x, x 2,..., x n ). Het getal f( x) is de waarde van de functie f voor het element x. Het domein van f (notatie dom f) is een deelverzameling van R n, het beeld of bereik van f (notatie bld f) is een deelverzameling van R. Zoals voor functies van reële veranderlijke maken we ook hier geen onderscheid tussen functie en afbeelding. We kiezen het domein van f zodanig dat elk element van het domein voorkomt als argument van f. Voorbeeld.8: Beschouw de functie f : U R : x = (x, y) f(x, y) = 5 met domein de deelverzameling U van R 2 waarvoor geldt dat x2 9 y2 9 x2 9 y2 9. it betekent x 2 + y 2 9. Het domein van f is de verzameling van punten van het vlak binnen en op de cirkel met de oorsprong als middelpunt en met straal R = 3. Het bereik is het interval [, 5]. Het domein en bereik van f zijn aangegeven in Figuur.3.

24 2 Hoofdstuk y c= c=2.5 c=5 x Figuur.3: Een functie van 2 reële veranderlijken. Voorbeeld.9: Beschouw de functie f : U R : x = (x, y, z) f(x, y, z) = 5 x2 9 y2 9 z2 9. Het domein van f is de deelverzameling U van R 3 waarvoor geldt dat x2 9 y2 9 z2 9. it betekent x 2 + y 2 + z 2 9. Het definitiegebied van f is de verzameling van de punten van R 3 binnen en op de bol met de oorsprong als middelpunt en met straal R = 3. z c=2.5 c= c=5 y x Figuur.4: Een functie van 3 reële veranderlijken. Het bereik is het interval [, 5]. Figuur.4. Het domein en het bereik van f zijn aangegeven in

25 efinities en Inleidende Begrippen Grafische voorstelling efinitie: e grafiek van een reële functie f van n veranderlijken f : U R, notatie graf f, wordt gedefinieerd als de verzameling van de punten van R n+, (x, x 2,..., x n, x n+ ), waarvoor geldt dat (x, x 2,..., x n ) U en x n+ = f(x, x 2,..., x n ). Bijgevolg is graf f = { (x, x 2,..., x n, x n+ ) R n+ x n+ = f(x, x 2,..., x n ) }. (.3) eze definitie is consistent met de definitie van de grafiek van f die we in deel hebben gegeven voor reële functies van één veranderlijke. Voor reële functies van één reële veranderlijke is de grafiek een kromme in het geijkte vlak, voor reële functies van twee veranderlijken is de grafiek een oppervlak in R 3. Wanneer n 3 is de grafiek een deel van R n+ waarvoor geen concrete voorstelling kan gemaakt worden. Voorbeeld.: e grafiek van de functie f (zie Voorbeeld.8) is graf f = = { f(x, y) = 5 (x, y, z) R 3 z = 5 {(x, y, z) R 3 x 2 x2 9 y2 9 x2 9 y2 9 } 9 + y2 9 + z2 25 =, z e grafiek van f is het gedeelte van de omwentelingsellipsoïde met halve assen 3, 3 en 5 dat boven het xy-vlak ligt. Graf f is aangegeven in Figuur Niveaukrommen en niveau-oppervlakken Reële functies van meerdere veranderlijken kunnen grafisch worden voorgesteld met behulp van niveau-oppervlakken. }. efinitie: Het niveau-oppervlak van een reële functie f van n veranderlijken f : U R dat behoort bij het reële getal c is de verzameling van de punten x = (x, x 2,..., x n ) U waarvoor f( x) = c. Het niveau-oppervlak van een functie f bij een reëel getal c is de verzameling van de punten van het domein van f die door f op dezelfde waarde c worden afgebeeld. Als c niet behoort tot bld f dan is het niveau-oppervlak gelijk aan de lege verzameling. Merk op dat niveau-oppervlakken van f niet behoren tot de grafiek van f maar tot het domein van f. Het niveau-oppervlak voor een functie van twee veranderlijken f : (x, y) f(x, y) bij het reële getal c is de kromme van het platte vlak {(x, y) f(x, y) = c} en wordt om deze reden een niveaukromme van f genoemd. eze kromme kan ook worden bekomen als de snijding van de grafiek van f met het vlak z = c.

26 22 Hoofdstuk 5 4 z y x 2 3 Figuur.5: Graf f is een deel van een omwentelingsellipsoïde. Het niveau-oppervlak voor een functie f van drie veranderlijken f : (x, y, z) f(x, y, z) bij het reële getal c is het oppervlak van R 3 { (x, y, z) R 3 f(x, y, z) = c }. e niveau-oppervlakken van functies van n veranderlijken met n 4 kunnen niet concreet worden voorgesteld. Voorbeeld.: e niveaukromme bij c [, 5] van de reële functie f van twee veranderlijken gegeven door f(x, y) = 5 (zie Voorbeeld.8) wordt gegeven door { (x, y) R 2 5 x2 9 y2 9, } x2 9 y2 9 = c en dus { )} (x, y) R 2 x 2 + y 2 = 9 ( c2. 25 aar c 5 is 9( c2 c2 25 ) en we stellen 9( 25 ) = r2 met r 3. e niveau-kromme die behoort bij c is dan { (x, y) R 2 x 2 + y 2 = r 2 }. e niveau-krommen zijn concentrische cirkels met de oorsprong als middelpunt en met r als straal. e niveau-krommen behorend bij c = 5, c = 5 2 en c = zijn aangegeven in Figuur.3.

27 efinities en Inleidende Begrippen 23 Voorbeeld.2: Het niveau-oppervlak bij c [, 5] van de reële functie f van drie veranderlijken gegeven door f(x, y, z) = 5 x2 9 y2 9 z2 9, (zie Voorbeeld.9) is de verzameling { } (x, y, z) R 3 5 x2 9 y2 9 z2 9 = c, of { )} (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 9 ( c2. 25 ( ) aar c 5 en c2 25 stellen we 9 c2 25 = r 2 met r 3. Het niveau-oppervlak is dan de verzameling { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = r 2 } e niveau-oppervlakken zijn concentrische boloppervlakken met de oorsprong als middelpunt en r als straal. e niveau-oppervlakken die behoren bij c = 5, c = 5 2 en c = zijn aangegeven in Figuur.4..5 Continuïteit en limieten.5. Uitbreiding van het begrip continuïteit We hebben in deel het begrip continuïteit gedefinieerd voor een reële functie van één reële veranderlijke. We hebben intuïtief gezegd dat de functie f f : A R R : x f(x) continu is in x wanneer graf f ononderbroken verloopt in het punt (x, f(x )). e wiskundige formulering van deze uitspraak is: f is continu in x als en slechts als ε > : δ > : x dom f : x x < δ = f(x) f(x ) < ε. (.3) eze definitie drukt uit dat de afstand tussen de functiewaarden f(x) en f(x ) kleiner is dan een willekeurig (maar vast) te kiezen positief getal ɛ > wanneer de afstand tussen de argumenten x en x kleiner is dan δ >. We veralgemenen nu deze definitie (.3) tot reële functies van meerdere veranderlijken. Het enige punt waar we moeten op letten is dat voor een functie van één reële veranderlijke de argumenten reële getallen zijn en dat de afstand tussen twee reële getallen gelijk is aan de absolute waarde van hun verschil. Voor een functie van n reële veranderlijken zijn de argumenten vectoren x en x uit R n. e afstand tussen deze vectoren wordt gegeven door de norm van de verschilvector: x x. Voor een reële functie f van meerdere veranderlijken f : U R n R : x f( x). moeten we daarom in definitie (.3) x x vervangen door x x. efinitie: e functie f is continu in x U als ε > : δ > : x dom f : x x < δ = f( x) f( x ) < ε. (.32)

28 24 Hoofdstuk We moeten x dom f toevoegen in de definitie (.32) daar we slechts voor x dom f de functie f( x) kunnen vormen. We hebben in deel x dom f meestal weggelaten daar we veronderstelden dat dom f een open interval ]c, d[ bevat waartoe x behoort en dat δ in (.3) voldoende klein genomen wordt zodat ]x δ, x + δ[ ]c, d[ dom f. Het open interval ]x δ, x + δ[ wordt een δ-omgeving van x genoemd en het interval ]c, d[ wordt een omgeving van x genoemd. Analoge topologische begrippen bestaan in R n. eze zullen we nu kort bespreken. Topologische begrippen in R n efinitie: Stel x R n en r R. e deelverzameling van R n gedefinieerd als B( x, r) = { x R n x x < r}, wordt de open bol met middelpunt x en straal r in R n genoemd. Wanneer n = geldt (met x = x, x = x) B(x, r) = {x R x x < r} = ]x r, x + r[ R. Voor n = is B(x, r) de r-omgeving van x. Voor n = 2 (met x = (x, y ), x = (x, y)) is B( x, r) = { x R 2 x x < r } = { (x, y) R 2 } (x x ) 2 + (y y ) 2 < r = { (x, y) R 2 (x x ) 2 + (y y ) 2 < r 2}. r r x x B( x, r) is het gedeelte van het platte vlak gelegen binnen de cirkel met middelpunt (x, y ) en straal r. Voor n = 3 (met x = (x, y, z ), x = (x, y, z)) is Figuur.6: Een open (boven) en een gesloten bol (onder) voor n = 2. B( x, r) = { (x, y, z) R 3 (x x ) 2 + (y y ) 2 + (z z ) 2 < r 2}. B( x, r) is het deel van de ruimte R 3 (x, y, z ) en straal r. dat ligt binnen het boloppervlak met middelpunt efinitie: e deelverzameling van R n gedefinieerd als B( x, r) = { x R n x x r}, wordt de gesloten bol met middelpunt x en straal r in R n genoemd. efinitie: Het punt p S is een inwendig punt van de deelverzameling S van R n indien een open bol met middelpunt p bestaat die tot S behoort. us p is een inwendig punt van S δ > : B( p, δ) S.

29 efinities en Inleidende Begrippen 25 q p U S p q Figuur.7: Een open (links) en een gesloten (rechts) deel van R 2 met inwendig punt p en randpunt q. efinitie: Een punt q is een randpunt van S indien elke open bol met middelpunt q tenminste één punt van S en ook tenminste één punt dat niet tot S behoort bevat. Let op dat een randpunt van S niet noodzakelijk een element van S hoeft te zijn. efinitie: Een deelverzameling S van R n is gesloten indien S alle randpunten bevat. e verzameling S is open indien S de randpunten niet bevat. We zullen in wat volgt vaak veronderstellen dat het definitiegebied van een reële functie van meerdere veranderlijken een open deel van R n is. We kunnen dan bij de definitie (.32) van continuïteit x dom f weglaten, daar we steeds het getal δ > zo klein kunnen kiezen dat { x R n x x < δ} = B( x, δ) U = dom f. efinitie: Een deelverzameling S van R n is begrensd indien een reëel getal M > bestaat zodat x S : x M. We vermelden nu zonder bewijs een belangrijke stelling over continue functies. Stelling.3: Hoofdeigenschap van reële continue functies: Als f een reële continue functie is op een niet-leeg, gesloten en begrensd deel S van R n dan is f(s) een gesloten en begrensde deelverzameling van R. Tevens zijn er elementen p, q S zodanig dat x S : f( p) f( x) f( q). Uit de hoofdeigenschap van continue functies volgt dat een continue functie op een gesloten en begrensde verzameling haar infimum en supremum aanneemt. Immers als p en q de elementen van S zijn, zoals gegeven in de stelling, dan geldt f( p) = inf f(s), f( q) = sup f(s).

30 26 Hoofdstuk z P z=f(x,y) y x Figuur.8: -dimensionale beperking van een functie van twee veranderlijken tot rechten evenwijdig met de coördinatenassen. -dimensionale beperking van een functie We zullen met een reële functie f van meerdere veranderlijken f : U R n R : x = (x, x 2,..., x n ) f( x) = f(x, x 2,..., x n ) dikwijls een reële functie van één veranderlijke verbinden en de gekende resultaten van reële functies van één veranderlijke gebruiken. Een eenvoudige manier om met de reële functie f van meerdere veranderlijken een reële functie van één veranderlijke te verbinden is aan alle coördinaten x, x 2,..., x k, x k+,..., x n behalve één coördinaat, x k, vaste waarden p, p 2,..., p k, p k+,..., p n toe te kennen. We bekomen op deze manier de reële functie g k van één reële veranderlijke x k g k : I k R : x k g(x k ) = f(p, p 2,..., p k, x k, p k+,..., p n ). (.33) We moeten het interval I k zo kiezen dat x k I k = (p, p 2,..., p k, x k, p k+,..., p n ) dom f. Het interval I k zal afhangen van de gekozen waarden p,..., p k, p k+,..., p n. e functie g k is de -dimensionale beperking van de functie f tot de rechte door het punt p = (p, p 2,..., p k, p k, p k+,..., p n ) dom f en evenwijdig met de k-de coördinatenas.

31 efinities en Inleidende Begrippen 27 Continuïteit van f en van de -dimensionale beperking We nemen aan dat de reële functie f van n veranderlijken continu is in het punt p = (p, p 2,..., p k,..., p n ) dom f. Volgens (.32) geldt dan dat ε > : δ > : x p < δ = f( x) f( p) < ε. (.34) We kiezen nu x als an is en x = (p, p 2,..., p k, x k, p k+,..., p n ). x p = x k p k, f( x) f( p) = f(p,..., p k, x k, p k+,..., p n ) f(p,..., p k, p k, p k+,..., p n ) = g k (x k ) g k (p k ). (.34) kan dan herschreven worden als ε > : δ > : x k p k < δ = g k (x k ) g k (p k ) < ε. (.35) e functie g k is bijgevolg continu in p k, of anders gezegd: wanneer een reële functie f van meerdere veranderlijken continu is, dan is f continu ten opzichte van elk van de coördinaten. Let op dat het omgekeerde niet waar is. Het is mogelijk dat de beperkingen g k continu zijn in p k, terwijl f niet continu is in p = (p,..., p n )..5.2 Uitbreiding van het begrip limiet We hebben in deel lim f(x), x x gedefinieerd als de functiewaarde van de continue uitbreiding van f in x. Bijgevolg betekent lim x x f(x) = L, dat efinitie: Als ε > : δ > : < x x < δ = f(x) L < ε. f : U R : x f( x), en x R n, dan zeggen we dat de limiet lim x x f( x) bestaat als er een getal L R is zo dat ε > : δ > : < x x < δ = f( x) L < ε. (.36) In dat geval is lim x x f( x) = L.

32 28 Hoofdstuk.6 Krommen in R n We hebben in de vorige paragraaf reeds vermeld dat een reële functie van meerdere veranderlijken kan worden beperkt tot een rechte evenwijdig met een coördinatenas. We verbinden zo met de reële functie van meerdere veranderlijken een reële functie van één veranderlijke. Een rechte in R n is een bijzondere deelverzameling van R n die we kunnen beschrijven met één parameter. In feite kunnen we elke deelverzameling van R n die we kunnen beschrijven met één parameter gebruiken als definitiegebied van een -dimensionale beperking van de oorspronkelijke functie van meerdere veranderlijken. We bespreken om deze reden krommen in R n..6. Vectorfuncties en geparameteriseerde krommen in R n efinitie: Zij I R een interval. e functie c c : I R n : t c(t) = (c (t), c 2 (t),..., c n (t)), (.37) die met elk reëel getal t I juist één element van R n laat overeenstemmen wordt een vectorfunctie genoemd. e vectorfunctie c(t) wordt vastgelegd door de n coördinatenfuncties c (t), c 2 (t),..., c n (t) die elk reële functies van één veranderlijke zijn: c i : I R : t c i (t). (.38) y c(t) a t b a b x Figuur.9: Voorbeeld van een vectorfunctie. Geparameteriseerde krommen in R n We verbinden met behulp van de vectorfunctie c(t) met elk reëel getal t een element van R n met coördinaten (c (t), c 2 (t),..., c n (t)). Wanneer de parameter t het interval I doorloopt, beschrijft het punt c(t) R n in R n een kromme K. e grafische voorstelling van de vectorfunctie is de geparameteriseerde kromme K (zie Figuur.9). We zijn voornamelijk geïnteresseerd in krommen als deelverzamelingen van R n die beschreven worden met parameter. We zullen in wat volgt veelal geen onderscheid maken tussen de vectorfunctie en haar grafische voorstelling. We hebben in deel reeds geparameteriseerde krommen in R 2 beschouwd. e vectorfunctie c : I R 2 : t c(t) = (c (t), c 2 (t)),

33 efinities en Inleidende Begrippen 29 laat met elk element t van het interval I een element of punt van R 2 overeenstemmen. Wanneer t het interval I doorloopt, beschrijft het punt c(t) een kromme in R 2. Voorbeeld.3: e grafische voorstelling van de vectorfunctie c(t) = (cos t, sin t), t [, 2π], is de eenheidscirkel. Voorbeeld.4: e grafische voorstelling van de vectorfunctie is de cirkelschroeflijn. c(t) = (cos t, sin t, t), t R,.6.2 Afgeleide vectorfunctie, vectoriële snelheid We definiëren nu voor de vectorfunctie c : I R n : t c(t), de afgeleide vectorfunctie d c dt = c (t). Het differentiequotiënt ( c(t + h) c(t) c (t + h) c (t) = h h, c 2(t + h) c 2 (t),..., c n(t + h) c n (t) h h geeft de gemiddelde verandering van de positievector c(t) wanneer het argument het interval [t, t + h] doorloopt. Elke component van het differentiequotiënt c(t + h) c(t), h is het differentiequotiënt van de overeenstemmende coördinatenfunctie. ), efinitie: Wanneer de limiet van het differentiequotiënt lim h c k (t + h) c k (t), h bestaat voor elke coördinatenfunctie c k (t), dit is wanneer elke coördinatenfunctie c k (t) differentieerbaar is met afgeleide functie dc k dt, dan is de vectorfunctie c(t) differentieerbaar en wordt de afgeleide van de vectorfunctie c(t) gedefinieerd als c (t) = d c(t) ( dc = dt dt, dc 2 dt,..., dc ) n. dt e componenten van d c dt geven de lokale verandering aan van elk van de coördinatenfuncties van de positievector c(t). Indien t de tijd voorstelt dan zijn dc dt,..., dcn dt de ogenblikkelijke

34 3 Hoofdstuk veranderingen van de coördinaten in functie van de tijd t of de componenten van de snelheidsvector. We noemen om deze reden d c dt de vectoriële snelheid. Wanneer de vectorfunctie c(t) differentieerbaar is dan noemen we de geparameteriseerde kromme K differentieerbaar en de kromme K wordt doorlopen met snelheid d c dt. e lengte van de vectoriële snelheid is de scalaire snelheid v(t): { (dc ) v(t) = d c 2 ( ) 2 ( ) } 2 /2 dt = dc2 dcn dt dt dt { n ( ) } 2 /2 dcl =. (.39) dt l= e scalaire snelheid is een reële functie van reële veranderlijke. Meetkundige interpretatie van c (t) c (t) heeft een eenvoudige meetkundige betekenis. Het quotiënt c(t + h) c(t), h is een richtvector van de rechte door de punten p = c(t) en q = c(t + h). Wanneer h, dan wentelt deze rechte om p en heeft als limietstand de raaklijn in p aan de kromme K. aarom is c (t) een richtvector van de raaklijn in het punt c(t) aan de kromme K. Een vergelijking van de raaklijn in het punt met parameterwaarde t is dan x(u) = c(t) + u c (t), met u R de parameter van de raaklijn. c (t). a t t+h b Hierbij dienen we wel te veronderstellen dat y c (t) c(t) c(t+h) x Figuur.: Meetkundige interpretatie van c (t)..6.3 Lengte van een geparameteriseerde kromme In deel hebben we de lengte berekend van een geparameteriseerde kromme K die wordt bepaald door de parametervergelijkingen x = c (t), y = c 2 (t), tussen t = a en t = b. We hebben een partitie P op het interval [a, b] gekozen a = t < t < t 2 < < t m = b.

35 efinities en Inleidende Begrippen 3 Met elk element t k van de partitie P komt een punt p k = (c (t k ), c 2 (t k )) van de kromme K overeen. e lengte L(K) is gelijk aan L(K) = lim m k= m d( p k, p k ), met d( p k, p k ) de lengte van het lijnstuk met beginpunt p k en eindpunt p k. Uiteraard is d( p k, p k ) = { (c (t k ) c (t k )) 2 + (c 2 (t k ) c 2 (t k )) 2} /2. We nemen aan dat de coördinatenfuncties c (t) en c 2 (t) continu en differentieerbaar zijn op het interval [a, b]. We kunnen dan de middelwaardestelling toepassen, zodat L(K) = lim m k= m (t k t k ) { [c (α,k)] 2 + [c 2 (α 2,k)] 2} /2, met α,k en α 2,k [t k, t k ]. Wanneer c (t) en c 2 (t) continu (en bijgevolg integreerbaar) zijn, vinden we b (dc ) 2 ( ) 2 dc2 L(K) = + dt. dt dt a e integrand in het rechterlid is niets anders dan de scalaire snelheid v(t), zodat L(K) = b a v(t) dt. e booglengte s(t), dat is de lengte van de kromme vanaf het beginpunt c(a) tot in het punt c(t), wordt gegeven door s(t) = t a v(u)du, en ds(t) = v(t). dt Wat we hierboven hebben uitgelegd (in feite herhaald) voor de lengte van een kromme K in R 2, kunnen we natuurlijk opschrijven voor een kromme in R n. Het enige verschil is dat we voor de parameterisatie van een kromme in R 2 twee coördinatenfuncties c (t) en c 2 (t) nodig hebben, terwijl we voor de parameterisatie van een kromme in R n n coördinatenfuncties nodig hebben. e lengte van de kromme K in R n met parametrisatie c : I R n : t c(t), kunnen we als volgt berekenen. We kiezen een partitie P op [a, b] a = t < t < t 2 < < t m = b. Met elk element t k van de partitie P komt een punt p k met de coördinaten (c (t k ), c 2 (t k ),..., c n (t k )) overeen. e lengte van de kromme K is gelijk aan L(K) = lim m k= m d( p k, p k )

36 32 Hoofdstuk met d( p k, p k ) de lengte van het lijnstuk met beginpunt p k en eindpunt p k. Uiteraard is d( p k, p k ) = p k p k = { [c (t k ) c (t k )] [c n (t k ) c n (t k )] 2} /2 /2 n = [c j (t k ) c j (t k )] 2. j= We nemen aan dat de coördinatenfuncties c j (t) continu en differentieerbaar zijn op [a, b]. Met behulp van de middelwaardestelling vinden we dan /2 n d( p k, p k ) = (t k t k ) [c j (α j,k)] 2, en L(K) = lim m k= j= m n (t k t k ) [c j(α j,k )] 2 met α,k, α 2,k,..., α n,k [t k, t k ]. We nemen verder aan dat de afgeleiden van de coördinatenfuncties c j (t) continu zijn op [a, b]. We kunnen dan lim schrijven als de m bepaalde integraal: L(K) = b a n [c j (t)]2 j= /2 dt = j= b a m k= /2, d c b dt dt = v(t)dt. (.4) e booglengte s(t) van de kromme K doorlopen tussen de parameterwaarden a en t is a en s(t) = t a v(u)du, ds dt = v(t). Voorbeeld.5: We berekenen de snelheid en de booglengte van de cirkelschroeflijn (zie Voorbeeld.4) e coördinatenfuncties zijn c : R R 3 : t c(t) = (cos t, sin t, t). x(t) = c (t) = cos t, y(t) = c 2 (t) = sin t, z(t) = c 3 (t) = t. e snelheidsvector op tijdstip t heeft componenten en dc (t) dt = sin t, dc 2 (t) dt = cos t, dc 3 (t) dt v(t) = d c dt sin = 2 t + cos 2 t + = 2. =,

37 efinities en Inleidende Begrippen 33 e scalaire snelheid is dus constant. e booglengte s(t) tussen de parameterwaarden en t is s(t) = t v(u)du =.6.4 Herparameterisatie van krommen t 2du = 2 t. We hebben in deel reeds gezien dat we een kromme in R 2 met verschillende parameters kunnen parameteriseren. We illustreren dit met een eenvoudig voorbeeld. Voorbeeld.6: We kunnen de eenheidscirkel parameteriseren als c(t) = (cos t, sin t), t [, 2π], met parameter t [, 2π] of als d(u) = (cos 2πu, sin 2πu), u [, ]. Merk op dat in de parameterisatie d de eenheidscirkel 2π keer sneller doorlopen wordt dan in de parameterisatie c. y c f c t f 2π x u Figuur.: e functies f, c en c f. We kunnen de tweede parameterisatie met de eerste verbinden door t uit te drukken als functie van u, namelijk t = 2πu en de samengestelde functie c f in te voeren met f(u) = 2πu, voor u [, ]. an ( c f)(u) = (c (f(u)), c 2 (f(u))) = (cos 2πu, sin 2πu). e functies f, c en c f zijn aangegeven in Figuur..

38 34 Hoofdstuk We gaan nog even nader in op de herparameterisatie van krommen in R 2 voor we de herparameterisatie van krommen in R n bespreken. K is een kromme in R 2 die we hebben geparameteriseerd met de parameter t op het interval I: c(t) = (c (t), c 2 (t)) met t I. e coördinaten (x, y) van een punt op de kromme K worden gegeven door x = c (t), y = c 2 (t). We kunnen de kromme K herparameteriseren met de nieuwe parameter u die we vastleggen met behulp van de bijectie f als f : J I : u f(u) = t. e coördinaten van een punt van de kromme K worden dan gegeven door x = c (t) = c (f(u)) = c f(u) en y = c 2 (t) = c 2 (f(u)) = c 2 f(u), of, in vectorvorm, x = c(f(u)). We kunnen de kromme K bijgevolg ook parameteriseren met de parameter u als c f(u) = c(f(u)) = (c (f(u)), c 2 (f(u))) met u J. e functies c, f, c f en de kromme K zijn aangegeven in Figuur.2. y I c f t c x J f u Figuur.2: e functies c, f en c f. We gebruiken nu het schema opgegeven voor de herparameterisatie van krommen in R 2 om algemeen de herparameterisatie van krommen in R n door te voeren. K is een kromme in R n met parametrisatie c(t) die gebruikt maakt van de parameter t. e positievector x van een punt van K gegeven wordt door x = c(t). We kunnen de kromme K herparameteriseren met de parameter u indien een bijectie f bestaat zodat f : J I : u f(u) = t.

39 efinities en Inleidende Begrippen 35 e vector x wordt nu gegeven door x = c(f(u)) = c f(u). e kromme K wordt dus ook geparameteriseerd met parameter u door middel van c f : J R n : u c f(u) = c(f(u)). We berekenen nu de afgeleide van de functie c f. at is dus de snelheid van de kromme K beschreven met parameter u. Per definitie geldt dat ( ) d d du ( c(f(u))) = du c d (f(u)), du c d 2(f(u)),..., du c n(f(u)). (.4) Nu geldt volgens de kettingregel voor reële functies van één reële veranderlijke dat d du c k(f(u)) = c k (f(u))df(u) du = dt c k (t) du. (.4) wordt dan d du ( c f)(u) = c (f(u))f (u), of (met t = f(u)) d c du = d c dt dt du. (.42) Uitdrukking (.42) is de kettingregel voor de afgeleide van een vectoriële functie. Volgens (.42) is de vectoriële snelheid van de kromme beschreven met de parameter u een veelvoud van de vectoriële snelheid van de kromme beschreven met t. e lengtes zijn in het algemeen verschillend. Immers d c du = d c dt dt du = d c dt f (u). (.43) We kunnen nu de opmerking in Voorbeeld.6 over de snelheid waarmee de kromme doorlopen wordt in de twee parameterisaties precies maken. Met t = f(u) = 2πu vinden we inderdaad: dd du = d c dt dt du = d c dt 2π. We zullen vervolgens laten zien dat de lengte van een kromme K onafhankelijk is van de gekozen parameterisatie. Als c : [a, b] R n een parameterisatie is van K dan geldt volgens (.4) b L(K) = d c dt dt. (.44) Als c f : [c, d] R n nu een herparameterisatie is van K met behulp van een bijectie a f : [c, d] [a, b] : u f(u) = t met f(c) = a en f(d) = b, en we voeren de substitutie t = f(u) door in (.44) dan volgt d L(K) = d c dt f (u) du. Vanwege (.43) is dit precies gelijk aan (merk op dat f (u) ) d L(K) = d c du du, c c zodat de lengte van de kromme inderdaad niet afhangt van de gekozen parameterisatie van de kromme K.

40 36 Hoofdstuk.7 Oefeningen Oefening. Schrijf de volgende rechten in parametervergelijking (a) e rechte in R 2 die door (, 2) gaat en evenwijdig is met de x-as. (b) e rechte in R 3 die door (, 2, 3) gaat en evenwijdig is met de x-as. (c) e rechte in R 2 die door (, 2) en (2, 3) gaat. (d) e rechte in R 3 die door (, 2, 3) en (,, 2) gaat. (e) e rechte in R 3 die dor (3,, 6) en (, 3, ) gaat. Oefening.2 bevat: Bepaal een parametervergelijking van het vlak in R 3 dat de gegeven punten (a) (,, 2), (2,, 4) en (3,, ) (b) (,, ), (,, ) en (,, ) (c) (,, ), (, 2, ) en (,, 3) Oefening.3 Bepaal een parametervergelijking van de rechte in R 3 door (x, y, z ) evenwijdig aan de rechte x = x + at, y = y + bt, z = z + ct. Oefening.4 bevat: Bepaal een Cartesische vergelijking van het vlak in R 3 dat de geven punten (a) (,, 2), (2,, 4) en (3,, ) (b) (, 2, 3), ( 2,, ) en (, 3, 2) (c) (, 2, 3), (,, ) en (, 3, 4) Oefening.5 vlak in R 3 Bepaal een Cartesische vergelijking en een parametervergelijking van het (a) door het punt (,, 2) met normaal (2,, 3) (b) door het punt (2,, 3) met normaal (, 4, 5) (c) door het punt (3,, 2) met normaal (2,, 5) Oefening.6 Bepaal een Cartesische vergelijking van het vlak in R 3 dat de punten (, 2, 3) en (2, 4, 2) bevat en dat ( 3,, 2) en (,, ) als richtvectoren heeft. Oefening.7 Zij L de rechte in R 3 door het punt (, 2, 8) met richtvector (3,, 4). (a) Voor welke waarden van a en b behoort het punt (a, 3, b) tot L? (b) Bepaal het snijpunt van L met het vlak door ( 4,, 3) met normaal (3, 2, 6). Oefening.8 Bepaal een Cartesische vergelijking van het vlak in R 3 door het punt (,, ) met normaal (, 3, 2).

41 efinities en Inleidende Begrippen 37 Oefening.9 Bepaal een Cartesische vergelijking van de rechte in R 3 door het punt (, 3, 2) die loodrecht staat op het vlak met richtvectoren (,, ) en (,, ). Oefening. Bepaal een Cartesische vergelijking van de rechte in R 3 door het punt (,, ) die loodrecht staat op het vlak met richtvectoren (,, ) en (,, ). Oefening. vergelijking Bepaal een parametervergelijking van de rechte in R 3 met Cartesische x 2 3 = y + 2 = z 4 Oefening.2 Bepaal een Cartesische vergelijking van de rechte in R 3 door de punten (4, 2, 3) en (2,, 6). Oefening.3 in R 3 Bepaal een parametervergelijking van de snijlijn van de volgende vlakken (a) 2x + 3y + 7z = 2 en x + 2y 3z + 5 = (b) 3x 5y + 2z = en z = Oefening.4 Bepaal een Cartesische vergelijking van de rechte in R 3 die het punt ( 2, 6, ) bevat en loodrecht staat op het vlak met Cartesische vergelijking y + 2z = 7. Oefening.5 Bepaal een Cartesische vergelijking van het vlak in R 3 dat het punt (, 2, ) bevat en loodrecht staat op de snijlijn van de vlakken 2x+y+z = 2 en x+2y+z = 3. Oefening.6 Bepaal een parametervergelijking van de rechte in R 3 die het punt (, 4, 3) bevat en loodrecht staat op het vlak 3x y + 5z + 99 =. Oefening.7 Bepaal een Cartesische vergelijking van het vlak in R 3 dat het punt (7, 2, 4) bevat en loodrecht staat op de rechte met parametervergelijking x = 9 + 6t y = 9 + 4t z = 9 + t Oefening.8 Onderzoek of de punten P, P 2 en P 3 op een rechte liggen. (a) P = (6, 9, 7), P 2 = (9, 2, ), P 3 = (, 5, 3) (b) P = (,, ), P 2 = (3, 4, 3, P 3 = (4, 6, 5) Oefening.9 Bepaal een Cartesische vergelijking van het vlak in R 3 gaande door het snijpunt van de drie vlakken x + y + z =, x + 2y + z =, x + 4y + 2z = en door de punten (,, ) en (,, ).

42 38 Hoofdstuk Oefening.2 Ga na of de gegeven rechten elkaar snijden. Indien ze snijden, bepaal dan het snijpunt en ga na of de rechten loodrecht staan (a) (b) x = 4 + t y = 2 3t z = 3 + 5t x = + 3t y = 3 t z = 4 + 3t en en x = + 3s y = 9 4s z = 4 3s x = 6 2s y = 2 + s z = 5 + 7s Oefening.2 Oefening.22 en het vlak Bereken het snijpunt van de rechten x = 2 + t y = 2 + 3t z = 3 + t en Bepaal de doorsnede van de rechte x = 5 + t y = 3t z = 2 + 4t x 3y + 2z = 25. x = 2 + s y = 3 + 4s z = 4 + 2s Oefening.23 Ga na of de rechte en het vlak loodrecht zijn x = + 2t (a) L : y = 4 + t en V : 4x + 2y 2z = z = t x = 3 t (b) L : y = 2 + t en V : 2x + 2y = 5 z = 3t Oefening.24 Stel een Cartesische vergelijking op van het vlak dat gaat { x + 2y + z = 2 (a) door de rechte en het punt ( 2, 2, ) x + y + z = (b) door de rechte (c) door de rechte { x + 3y + z = 2 x + y + z = { x + 3y + z = 2 x + 2y + z = en het punt ( 2, 2, ) en het punt ( 2, 2, ) Oefening.25 Bepaal een Cartesische vergelijking van het vlak dat het punt (, 2, 3) bevat en de rechte x + 2 = y 3 = z Oefening.26 Bepaal een Cartesische vergelijking van het vlak door de rechte x = + 3t, y = 5, z = 2 + t en loodrecht op het vlak 2x + 3y + z =.

43 efinities en Inleidende Begrippen 39 Oefening.27 Bepaal de cosinus van de hoek tussen de twee vlakken (a) V : x + 4y = 7 en V 2 : y = z 3 (b) V : x 3y + z = 7 en V 2 : 2x + 4z = Oefening.28 Bepaal een parametervergelijking van de rechte in R 3 die het punt (, 2, ) bevat en de rechte x = 2t, y = t, z = 2 + t loodrecht snijdt. Oefening.29 Bepaal de afstand tussen het punt ( 2,, ) en de rechte x = 3 t, y = t, z = + 2t Oefening.3 Bepaal de afstand tussen het punt (,, 2) en het vlak 2x + 3y z =. Oefening.3 Bepaal een Cartesische vergelijking van het vlak dat de rechte bevat en loodrecht staat op het vlak { 2x + 2y + z 2 = 2x z 2 = x + y + z =. Oefening.32 Bepaal een Cartesische vergelijking van het vlak door (2, 3, ) dat op gelijke afstand gelegen is van de punten (, 3, 5), (,, ) en (3,, 3). Oefening.33 Bepaal het definitiegebied U R 2, het bereik I R, de niveaukromme bij het reëel getal c en de grafiek van de volgende reële functies van twee veranderlijken: (a) f(x, y) = x 2 + y 2 (b) f(x, y) = x 2 + 2y 2 (c) f(x, y) = y 2 x 2 (d) f(x, y) = (e) f(x, y) = xy2 x 2 + y 4 xy x 2 + y 2 (f) f(x, y) = ln(x + y) (g) f(x, y) = y 3x 2 (h) f(x, y) = x2 4 + y2 6 (i) f(x, y) = x 2 + y 2 (j) f(x, y) = x2 25 y2 6 (k) f(x, y) = + x2 25 y2 6 Oefening.34 Schet een aantal niveaulijnen van de volgende functies (a) f(x, y) = x 2 y (b) f(x, y) = x 2 + y 2 (c) f(x, y) = x 2 y 2 (d) f(x, y) = x2 4 y2 9 x + y (e) f(x, y) = x y.

44 4 Hoofdstuk Oefening.35 Bepaal de limiet voor t a van c(t) (a) c(t) = (sin 2t, 3t, tan t), met a =. (b) c(t) = ( t, t 2 t +, 2t ), met a =. t (c) c(t) = (t 2, 2t, sin t t ), met a =. ( ) t (d) c(t) = bgtant, t + 3, cos(2/t), met a = +. Oefening.36 Bepaal c (t) (a) c(t) = (t 2, cos t, 2 sin t) (b) c(t) = (/t, bgtant, e 2t ) Oefening.37 Bepaal een parametervergelijking van de raaklijn aan c in het gegeven punt (a) c(t) = (t, sin 4t, cos 4t) in het punt t = π 8 (b) c(t) = (2t, t 2, t) in het punt t = (c) c(t) = (e t, e 2t, t 3 + ) in het punt t =. Oefening.38 c(t) is een differentieerbare kromme. Een rechte (of een vlak) wordt normaal tot de kromme c(t) in het punt P genoemd indien de rechte (of het vlak) loodrecht staat tot de snelheidsvector in P. Bepaal de vergelijking van de rechte normaal tot de kromme K in R 2 in het punt P : (a) c(t) = (cos t, sin t), P : t = π/3 (b) c(t) = (cos 3t, sin 3t), P : t = π/3 Bepaal de vergelijking van het vlak normaal tot de kromme in het aangegeven punt: (c) c(t) = (e t, t, t 2 ), P : t = (d) c(t) = (e t, t, t 2 ), P : t = (e) c(t) = (t, t 3, t 4 ), P : t = Oefening.39 Bepaal de parametervergelijking van de raaklijn aan de gegeven kromme in het gegeven punt: (a) c(t) = (cos 4t, sin 4t, t), t = π/8 (b) c(t) = (t, 2t, t 2 ), P = (, 2, ) (c) c(t) = (e 3t, e 3t, 3 2t), t = (d) c(t) = (t, t 3, t 4 ), P = (,, ) (e) c(t) = (e t, cos t, sin t), t =

45 efinities en Inleidende Begrippen 4 Oefening.4 c(t) = (a cos t, a sin t, bt) met a, b R is een differentieerbare kromme. Zij θ(t) de hoek tussen de raaklijn aan de kromme en de z-as. Bewijs dat cos θ(t) = b a 2 + b 2. Oefening.4 Twee krommen c (t) = (t 2 + 3, 3t, 2t 2 ) en c 2 (t) = (2t, t 5, t 2 /2) snijden elkaar in het punt (4, 3, 2). Bereken de hoek tussen de twee krommen in dat punt. ( 2t Oefening.42 Zij c(t) = + t 2, ) t2 + t 2,. Bewijs dat de hoek tussen de positievector c(t) en de snelheidsvector c (t) constant is. Oefening.43 Bepaal de snijpunten van de kromme c(t) = ( 2t 2, t, 3 + t 2) en het vlak 3x 4y + z =. Oefening.44 Bepaal de lengte van de volgende krommen tussen de aangegeven punten: (a) c(t) = (cos 2t, sin 2t, 3t) tussen t = en t = 3 (b) c(t) = (cos 4t, sin 4t, t) tussen t = en t = π/8 (c) c(t) = (t, 2t, t 2 ) tussen t = en t = 3 (d) c(t) = (e 3t, e 3t, 3 2t) tussen t = en t = /3 (e) c(t) = (t sin t, cos t) tussen t = en t = 2π (f) c(t) = (t, ln(cos t)) tussen t = en t = π/4 Oefening.45 een lengte heeft gelijk aan Toon aan dat een kromme die in cilindercoördinaten gegeven wordt door ρ = ρ(t), θ = θ(t), z = z(t), a t b L = b a (dρ dt ) 2 ( ) dθ 2 + ρ 2 + dt ( ) dz 2 dt. dt Gebruik dit om de lengte van de volgende krommen te bepalen (a) ρ = e 2t, θ = t, z = e 2t met t ln 2 (b) ρ = t 2, θ = log t, z = 3 t3 met t 2 Oefening.46 een lengte heeft gelijk aan Toon aan dat een kromme die in bolcoördinaten gegeven wordt door r = r(t), θ = θ(t), φ = φ(t), a t b L = b a (dr ) 2 + r 2 sin 2 θ dt ( dφ dt ) 2 ( ) dθ 2 + ρ 2 dt. dt Gebruik dit om de lengte van de volgende krommen te bepalen (a) r = e t, θ = π 4, φ = 2t met t 2 (b) r = 2t, θ = π 6, φ = log t met t 5

46 42 Hoofdstuk 2

47 Hoofdstuk 2 ifferentiaalrekening We bespreken in dit hoofdstuk afgeleiden van reële functies van meerdere veranderlijken. We behandelen achtereenvolgens partiële afgeleiden, gradiënt en afleidbaarheid, de kettingregel en de richtingsafgeleide. 2. Partiële afgeleiden 2.. Voorbeelden en definitie Neem aan dat f een reële functie is van n veranderlijken gedefinieerd op een deelverzameling U van R n f : U R n R (2.) en dat p = (p, p 2,..., p k,... p n ) een inwendig punt is van U. e lokale verandering van f in p is afhankelijk van de richting waarin de verandering wordt onderzocht. Omdat p een inwendig punt is, bestaat er een r > zodanig dat de bol rond p met straal r geheel binnen U ligt. it betekent dat een verandering van p tot p + p met p < r binnen de verzameling U blijft, en dus is f( p + p) gedefinieerd. We kunnen dus de lokale verandering van f in p in elke richting onderzoeken. We bekijken een voorbeeld. Voorbeeld 2.: We bekijken de functie f van Voorbeeld.8 uit het vorige hoofdstuk: met domein f(x, y) = 5 ( x2 + y 2 ) /2, 9 dom f = U = { (x, y) R 2 x 2 + y 2 9 }. We bekijken de lokale verandering van f in het inwendige punt p = (, 2). e niveaukromme door p is de cirkel met de oorsprong als middelpunt en r = 5 als straal en behoort bij de constante c = f( p) = f(, 2) = /3. Een richtingsvector die raakt aan de niveaukromme in p is a = (2/ 5, / 5). e vector a heeft lengte. e functie f verandert niet langs de niveaukromme zodat de lokale verandering van f in p in de richting a nul is. Een richtingsvector die loodrecht op de niveaukromme in p staat en wegwijst van de oorsprong is a 2 = (/ 5, 2/ 5), 43

48 44 Hoofdstuk Figuur 2.: Niveaukrommen van de functie in voorbeeld 2.. Teken zelf het punt p en de vectoren a, a 2 en a 3. en naar de oorsprong toe wijst is a 3 = ( / 5, 2/ 5). Ook de vectoren a 2 en a 3 hebben lengte één. e lokale verandering van f in p in de richting a 2 is negatief, terwijl de lokale verandering van f in p in de richting a 3 positief is. In R n zijn juist n lineair onafhankelijke vectoren (richtingen) en elke vector (richting) kan op juist één wijze als een lineaire combinatie van deze n lineair onafhankelijke vectoren worden geschreven. Wanneer we in een punt p dom f de lokale verandering van f volgens n lineair onafhankelijke richtingen kennen, moeten we bijgevolg de lokale verandering van f in p volgens om het even welke richting kunnen bepalen. e n orthonormale vectoren volgens de coördinatenassen zijn een voor de hand liggende keuze voor n lineair onafhankelijke vectoren in R n. Om deze reden berekenen we de lokale verandering van f in p volgens de n coördinatenassen. We bekijken de k-de coördinatenas. We bepalen de verandering van f in het punt p evenwijdig met de k-de coördinatenas. Zij p = (p,..., p k, p k, p k+,..., p n ) U een inwendig punt van U en h een reëel getal dat dicht genoeg bij ligt zodat ook (p,..., p k, p k + h, p k+,..., p n ) U.

49 ifferentiaalrekening 45 Het quotiënt f(p,..., p k + h,..., p n ) f(p,..., p k,..., p n ), (2.2) h geeft de gemiddelde verandering aan van de functie f wanneer de k-de coördinaat verandert van p k tot p k + h en de overige coördinaten worden vastgehouden (zie Figuur.8). efinitie: Wanneer de limiet voor h van het differentiequotiënt (2.2) bestaat, dan is de functie f partieel afleidbaar naar de veranderlijke x k in het punt p. We noteren f( p) x k f(p,..., p k + h,..., p n ) f(p,..., p k,..., p n ) = lim. h h Andere notaties die gebruikt worden voor de partiële afgeleide f( p) x k zijn: f x k ( p), k f( p), f xk ( p). e functie f is partieel afleidbaar naar x k in de verzameling U indien de functie partieel afleidbaar naar x k is in elk punt p van U. In dat geval kunnen we met de functie f een nieuwe functie f x k verbinden gedefinieerd als f f x k : U R : x f( x) x k. e partiële afgeleide x k wordt bekomen door in de functie f( x) = f(x, x 2,..., x n ) alle coördinaten vast te houden op de coördinaat x k na en de functie f als een functie van één veranderlijke af te leiden naar x k. e reële functie van meerdere veranderlijken f(x,..., x k,..., x n ) is stijgend ten opzichte van de coördinaat x k in het punt p wanneer f( p) x k >. Indien f( p) x k <, dan is f dalend ten opzichte van de coördinaat x k in p Partiële afgeleiden van hogere orde e partiële afgeleiden f f f x, x 2,..., x n zijn de partiële afgeleiden van eerste orde en zijn zelf reële functies van n veranderlijken, die op hun beurt mogelijk partieel afgeleid kunnen worden. We bekomen op deze manier de partiële afgeleiden van de tweede orde: die ook wel met i j f aangegeven worden. 2 f x i x j Voorbeeld 2.2: e functie f : R 2 R : (x, y) f(x, y) = 3x 2 y 2, heeft als eerste orde partiële afgeleiden f x = 6xy2 en f y = 6x2 y.

50 46 Hoofdstuk 2 e tweede orde partiële afgeleiden zijn 2 f x 2 = 6y2, 2 f x y = 2xy, 2 f y x = 2xy, 2 f y 2 = 6x2. e partiële afgeleiden 2 f x y en 2 f y x zijn gemengde partiële afgeleiden. In het voorbeeld zien we dat ze aan elkaar gelijk zijn. it is geen toeval, zoals blijkt uit de volgende stelling. Stelling 2.: Stelling van Schwarz en Young: Neem aan dat f een reële functie is van n veranderlijken gedefinieerd op een open deel U R n. Als de partiële afgeleiden van de eerste orde en de tweede orde bestaan en continu zijn op U, dan geldt voor elke i, j =, 2,..., n dat 2 f x i x j = 2 f x j x i. (2.3) Bewijs: We geven het bewijs uitsluitend voor reële functies van twee veranderlijken. Zij x = (x, y) U. We kiezen h = (h, k) R 2 zo dat de rechthoek met hoekpunten (x, y), (x + h, y), (x, y + k) en (x + h, y + k) tot U behoort met h > en k >. We definiëren de functie g als g (x) = f(x, y + k) f(x, y). (2.4) e functie g is een reële functie van de twee veranderlijken (x, y), maar daar we g beschouwen als functie van x, noteren we g (x). e functie g (x) is continu en afleidbaar op het interval [x, x + h]. Volgens de middelwaardestelling van reële functies van één reële veranderlijke geldt dat er een s [x, x + h] is met of met (2.4) g (x + h) g (x) = hg (s ), f(x + h, y + k) f(x + h, y) f(x, y + k) + f(x, y) = h [ f x (s, y + k) f ] x (s, y). (2.5) e functie f x is continu en afleidbaar naar y en voldoet als functie van y aan de voorwaarden van de middelwaardestelling op het interval [y, y + k], zodat er een getal s 2 [y, y + k] is met Met (2.6) wordt (2.5) f x (s, y + k) f x (s, y) = k 2 f y x (s, s 2 ). (2.6) f(x + h, y + k) f(x + h, y) f(x, y + k) + f(x, y) = hk 2 f y x (s, s 2 ). (2.7) We definiëren vervolgens de functie g 2 als g 2 (y) = f(x + h, y) f(x, y).

51 ifferentiaalrekening 47 e functie g 2 is een functie van de twee veranderlijken (x, y), maar we beschouwen g 2 als functie van y. Op dezelfde manier als hierboven vinden we t [x, x + h] en t 2 [y, y + k] met f(x + h, y + k) f(x + h, y) f(x, y + k) + f(x, y) = hk 2 f x y (t, t 2 ). (2.8) aar per onderstelling h > en k > volgt uit (2.7) en (2.8) dat 2 f y x (s, s 2 ) = 2 f x y (t, t 2 ). e getallen s, s 2, t, t 2 hangen af van h en k. Als h = (h, k), dan convergeren s en t naar x en s 2 en t 2 naar y. Wegens de continuïteit van 2 f x y en 2 f y x hebben we dat en waaruit (2.3) volgt. lim h lim h 2 f y x (s, s 2 ) = 2 f (x, y) y x 2 f x y (t, t 2 ) = 2 f (x, y), x y 2.2 Gradiënt en afleidbaarheid e gradiënt Stel dat f een reële functie is van n veranderlijken gedefinieerd op een open deel U R n waarvan alle partiële afgeleiden van de eerste orde bestaan. eze n partiële afgeleiden van de eerste orde geven de lokale veranderingen van f in x volgens n orthonormale richtingen. We vatten de n afgeleiden van de eerste orde samen als de componenten van een vector, die we de gradiënt noemen. efinitie: e gradiënt van de functie f in het punt x wordt gedefinieerd als de vector waarvan de componenten de n partiële afgeleiden van de eerste orde van f in x zijn. us ( f grad f( x) =, f,..., f ). x x 2 x n Een andere notatie voor de gradiënt is f( x). Met elk punt x U wordt zo de vector f( x) verbonden. In het algemeen wordt een associatie van een vector van R n met elk punt van een open deel U R n een vectorveld op U genoemd. Voorbeeld 2.3: Beschouw de functie f : R 2 R : (x, y) f(x, y) = 3x 2 y 2. Als partiële afgeleiden vinden we f x = 6xy2 en f y = 6x2 y, zodat f( x) = (6xy 2, 6x 2 y).

52 48 Hoofdstuk 2 Voorbeeld 2.4: Beschouw de functie an is f : R 2 R : (x, y) f(x, y) = 3xy 2. f( x) = (3y 2, 6xy). Natuurlijk geldt dat en als c R (f + g)( x) = f( x) + g( x) (cf)( x) = c f( x). ifferentieerbaarheid We tonen nu aan dat de gradiënt f( x) voor een reële functie van meerdere veranderlijken de natuurlijke veralgemening is van de afgeleide functie f (x) van een reële functie van één veranderlijke. We formuleren eerst een definitie van afleidbaarheid voor reële functies van meerdere veranderlijken die consistent is met de definitie van afleidbaarheid voor reële functies van één veranderlijke. Een reële functie van één veranderlijke is afleidbaar indien lim h f(x + h) f(x), (2.9) h bestaat en de afgeleide functie f (x) is gelijk aan de waarde van de limiet (2.9). Wanneer we (2.9) willen veralgemenen tot reële functies van meerdere veranderlijken, dan moeten we x, x+h, h R vervangen door x, x+ h, h R n. aar deling door een vector h niet gedefinieerd is, kan (2.9) niet op een gepaste wijze worden uitgebreid. We geven om deze reden eerst een equivalente definitie voor afleidbaarheid van reële functies van één reële veranderlijke. Volgens (2.9) geldt dat f(x) afleidbaar is met afgeleide f (x) als en slechts als f(x + h) f(x) lim = f (x). (2.) h h We kunnen bij vaste x, R(h) = f(x + h) f(x) hf (x), beschouwen als functie van h. an volgt uit (2.) dat lim R(h)/h =. aarom geldt dat h f(x) afleidbaar is met afgeleide f (x) als en slechts als er een functie R(h) is met de twee eigenschappen f(x + h) f(x) = hf (x) + R(h), R(h) lim =. h h (2.) e definitie (2.) kan worden veralgemeend tot reële functies van meerdere veranderlijken.

53 ifferentiaalrekening 49 efinitie: Een reële functie f van n veranderlijken gedefinieerd op een open deelverzameling U van R n is afleidbaar of differentieerbaar in het punt x U als de partiële afgeleiden van de eerste orde bestaan en indien er een reële functie R( h) bestaat met de volgende twee eigenschappen f( x + h) f( x) = h f( x) + R( h), R( lim h) h h =. (2.2) Wanneer we de definities (2.) en (2.2) vergelijken kunnen we besluiten dat f( x) voor reële functies van meerdere veranderlijken de veralgemening is van afgeleide voor functies van één reële veranderlijke. We geven in volgende eigenschap een voldoende voorwaarde voor afleidbaarheid van een reële functie van meerdere veranderlijken. Stelling 2.2: Als de partiële afgeleiden van de eerste orde van een reële functie f : U R bestaan en continu zijn, dan is de functie afleidbaar op U. Bewijs: We geven het bewijs voor reële functies van twee veranderlijken x, y. Zij f een reële functie van twee veranderlijken x en y, met continue partiële afgeleiden f x en f y. We kiezen x U en h = (h, k) R 2 zo dat de rechthoek met hoekpunten (x, y), (x+h, y), (x, y +k) en (x+h, y +k) tot U behoort. e functie f is afleidbaar indien f voldoet aan (2.2). Nu is f( x + h) f( x) = f(x + h, y + k) f(x, y) = f(x + h, y + k) f(x, y + k) + f(x, y + k) f(x, y). (2.3) We weten dat f continu is en partieel afleidbaar naar x op U. Volgens de middelwaardestelling voor functies van één veranderlijke geldt dat er een s [x, x + h] bestaat met f(x + h, y + k) f(x, y + k) = h f (s, y + k). (2.4) x Net zo is f continu en partieel afleidbaar naar y op U, zodat er een t [y, y + k] is met Met (2.4) en (2.5) wordt (2.3) We noteren nu f(x, y + k) f(x, y) = k f f(x, t). (2.5) y f( x + h) f( x) = h f f (s, y + k) + k (x, t). (2.6) x y G ( h) = f x G 2 ( h) = f y f (s, y + k) f(x, y), (2.7) x f (x, t) (x, y). (2.8) y

54 5 Hoofdstuk 2 Als h dan convergeert s naar x en t naar y. Wegens de continuïteit van f x dat f f (s, y + k) = (x, y), x x en zodat Met (2.7) en (2.8) wordt (2.6) lim h lim h f y f (x, t) = (x, y), y en f y geldt lim G ( h) = en lim G 2 ( h) =. (2.9) h h f( x + h) f( x) = h f f (x, y) + k x y (x, y) + hg ( h) + kg 2 ( h) Als we (2.2) vergelijken met (2.2) dan zien we dat Bijgevolg is = h f(x, y) + hg ( h) + kg 2 ( h). (2.2) R( h) = hg ( h) + kg 2 ( h). R( h) h h G ( h) + k h G 2 ( h). h Vanwege h h 2 + k 2 = h en k h 2 + k 2 = h volgt hieruit dat R( h) h G ( h) + G 2 ( h). Wegens (2.9) geldt dan dat zodat f afleidbaar is. R( lim h) h h =, 2.3 Kettingregel en richtingsafgeleide We hebben reeds vermeld dat de lokale verandering van een reële functie f van meerdere veranderlijken in een punt p afhankelijk is van de richting waarin de verandering wordt onderzocht. e partiële afgeleide f x k ( p) geeft de verandering van f in p langs de rechte door p evenwijdig met de k-de coördinatenas Afgeleide van een functie langs een kromme K We stellen in deze paragraaf eerst een uitdrukking op voor de verandering van de functie f langs een kromme c(t) in het definitiegebied van f. We gebruiken deze uitdrukking om vervolgens de richtingsafgeleide in te voeren. We beschouwen een reële functie f van n veranderlijken gedefinieerd op een open deel U R n waarvoor de partiële afgeleiden van de eerste orde f x i bestaan en continu zijn, zodat f afleidbaar is volgens Stelling 2.2. We nemen een kromme Kin U die geparametriseerd wordt met behulp van de vectorfunctie c(t) c(t) = (c (t), c 2 (t),..., c n (t)).

55 ifferentiaalrekening 5 y U f x c I f c t t+h Figuur 2.2: e functie (f c) is de beperking van f tot c. We nemen aan dat c(t) afleidbaar is. e samengestelde functie f c (f c)(t) = f( c(t)) = f(c (t), c 2 (t),..., c n (t)) is een reële functie van één veranderlijke t. e samengestelde functie f c is de beperking van de functie f tot de kromme K en is aangegeven in Figuur 2.2. e verandering van de samengestelde functie f c is de verandering van f langs K. We berekenen daarom de afgeleide d dt (f c)(t). Stelling 2.3: Kettingregel Indien f een afleidbare reële functie van n veranderlijken is, gedefinieerd op een open deel U van R n en indien de vectorfunctie c afleidbaar is en waarden aanneemt in U, dan is de samengestelde functie f c eveneens afleidbaar en de afgeleide is d d c (f c)(t) = f( c(t)) dt dt. (2.2) Bewijs: e samengestelde functie (f c)(t) van de veranderlijke t is afleidbaar indien de limiet voor h van het differentiequotiënt (f c)(t + h) (f c)(t) h bestaat. We noteren h = c(t + h) c(t) zodat = f( c(t + h)) f( c(t)) h c(t + h) = c(t) + h.

56 52 Hoofdstuk 2 We herschrijven het differentiequotiënt als (f c)(t + h) (f c)(t) h aar de functie f afleidbaar is, geldt er dat met Het differentiequotiënt wordt dan = f( c(t) + h) f( c(t)). h f( c(t) + h) f( c(t)) = h f( c(t)) + R( h), (f c)(t + h) (f c)(t) h Omdat c afleidbaar is, geldt us R( lim h) h =. (2.22) h = h h f( c(t)) + R( h) h. (2.23) h lim h h = lim c(t + h) c(t) = d c(t) h h dt. (2.24) h d c(t) lim f( c(t)) = f( c(t)) = f( c(t)) d c(t) h h dt dt. (2.25) Uit (2.24) volgt ook dat h h begrensd blijft als h, zodat vanwege (2.22) R( lim ( h) R( = lim ) h) h h h h h =. (2.26) h Wegens (2.23), (2.25) en (2.26) geldt us f c is afleidbaar met afgeleide (f c)(t + h) (f c)(t) lim h h d d c (f c)(t) = f( c(t)) dt dt. = f( c(t)) d c dt. e afgeleide van de functie f langs de kromme K is gelijk aan de lengte van de projectie van f( x) op de raakvector d c dt aan de kromme K. Als θ de hoek is ingesloten tussen f( c(t)) en d c dt dan is d it is op de factor d c (f c)(t) = f( c(t)) dt dt = f( c(t)) d c dt cos θ. d c dt na gelijk aan de afgeleide van f langs de raakvector aan de kromme. Als de kromme K behoort tot een niveau-oppervlak van f, dan is de afgeleide van f langs K nul: In dat geval is cos θ =, zodat d (f c)(t) =. dt θ = π 2 of θ = π 2. us staat f loodrecht op d c d c dt. aar dt een rakende vector is aan het niveau-oppervlak en elke rakende vector op deze wijze bekomen kan worden, staat de gradiënt van f loodrecht op het niveau-oppervlak.

57 ifferentiaalrekening Richtingsafgeleide We gebruiken nu (2.2) om de afgeleide van f te bepalen in een punt p volgens de richting a. We nemen als kromme K de rechte door het punt p volgens de richting a zodat een parametrisatie van K gegeven wordt door c(t) = p + at. e afgeleide van de functie f langs de rechte c(t) = p + at is d dtf( p + at). it is volgens (2.2) ( p + at) = a, gelijk aan met d dt df( p + at) dt = f( p + at) a indien f afleidbaar is. e afgeleide van f in p langs de rechte c(t) = p + at is dan df( p + at) dt = f( p) a = f( p) a cos θ, t= met θ de hoek tussen f( p) en a. e notatie t= geeft aan dat de term in het linkerlid in de parameterwaarde t = moet geëvalueerd worden. e waarde van df( p + at) f( p + ah) f( p) dt = lim t= h h wordt mee bepaald door a. Voor de richtingsafgeleide willen we een uitdrukking die bepaald wordt door de functie f en door de richting, maar niet door de norm (lengte) van de vector die we gebruiken om deze richting vast te leggen. We nemen daarom steeds een eenheidsvector (d.w.z. vector met lengte één ) om de richting aan te geven. efinitie: e richtingsafgeleide van de functie f in het punt p volgens de richting a, notatie a f( p), wordt gedefinieerd als a f( p) = lim h f( p + a h) f( p) h met a = a a de eenheidsvector in de richting van de vector a. Als f afleidbaar is dan geldt a f( p) = f( p) a = f( p) a a. We gebruiken a in plaats van a in de definitie van a f( p), omdat dan a f( p) onafhankelijk is van de grootte van de vector a en alleen afhangt van de richting. Wanneer a f( p) >, dan is de functie f( p + at) stijgend in t =, zodat de functie f in het punt p toeneemt in de richting van de vector a. Wanneer a f( p) < dan geldt juist dat f in p afneemt in de richting van a. Omdat a f( p) = f( p) a cos θ = f( p) cos θ, met θ de hoek tussen de richting a en f( p) en cos θ volgt dat a f( p) f( p), en ook dat a f( p) = f( p) (θ = of θ = π).

58 54 Hoofdstuk 2 e richtingsafgeleide is maximaal in de richting van de gradiënt, met andere woorden, de richting van de vector f( p) is de richting waarin f maximaal toeneemt en de maximale toename van f in p wordt gegeven door f( p). e richtingsafgeleide is minimaal in de richting van f( p). us de functie f neemt het sterkst af in de richting tegengesteld aan de richting van f( p). We herhalen nog dat de functie f niet verandert langs het niveauoppervlak door p en dat de gradiënt f( p) loodrecht staat op het niveau-oppervlak door p. Voorbeeld 2.5: We berekenen de richtingsafgeleide van de functie f(x, y) = x 2 +y 2 in het punt p = ( /2, 3/2) volgens de richting a = (, 2). y U p c(t)=p+at f a I c x f c t We hebben voor de gradiënt van f, In het punt p = ( /2, 3/2) is dat e eenheidsvector in de richting van a is Figuur 2.3: Richtingsafgeleide van f volgens a. f( x) = (2x, 2y). a = f( p) = (, 3). a a = (, 2), 5 zodat de richtingsafgeleide in p in de richting a gelijk is aan a f( p) = f( p) a = 5 5 = 5. We kunnen nog de hoek uitrekenen tussen de gradiënt en de vector a. eze hoek θ voldoet aan cos θ = f( p) a f( p) = af( p) 5 2 f( p) = = 2. e hoek θ is dus θ = π 4.

59 ifferentiaalrekening Raakvlak aan het niveau-oppervlak Zij f een reële functie van meerdere veranderlijken die gedefinieerd is op een open deel U van R n en daar afleidbaar is. e verzameling { x U f( x) = c} is het niveau-oppervlak (of de niveaukromme wanneer n = 2) van de functie f bij het reëel getal c. y f(p) p f(x)=c c x t t Figuur 2.4: e gradiënt van f staat loodrecht op het niveau-oppervlak f( x) = c (illustratie voor geval n = 3). Neem aan dat p een punt is van het niveau-oppervlak en dat c(t) een parametrisatie is van een kromme die door p gaat en volledig in het niveau-oppervlak ligt. an is c(t ) = p voor zekere t en f( c(t)) = c voor elke t. e functie f c is dus constant, zodat d f( c(t)) =. dt Met de kettingregel volgt f( c(t)) c (t) =, en voor t = t f( p) c (t ) =. (2.27) e vergelijking (2.27) geldt voor elke kromme c(t) door p die volledig in het niveau-oppervlak ligt. e vector f( p) staat in p loodrecht op elke kromme door p die in het niveau-oppervlak ligt. aarmee is f( p) de normaal van het raakvlak door p aan het niveau-oppervlak. e (Cartesische) vergelijking van het raakvlak is dan ( x p) f( p) = (2.28) e richting van de gradiënt f( p) in het punt p is de richting waarin de functie f vanuit het punt p het sterkst toeneemt. e gradiënt staat loodrecht op het niveau-oppervlak door p.

60 56 Hoofdstuk 2 Voorbeeld 2.6: We gebruiken nu het bovenstaande om de vergelijking te bepalen van het raakvlak aan de grafiek van de functie f gegeven door f(x, y) = x 2 + y 2, in het punt q = (, 2, f(, 2)) = (, 2, 5). We hebben natuurlijk dat p = (, 2) in het domein van f ligt en dat q tot de grafiek van f behoort. Nu is graf f = { (x, y, z) R 3 z = x 2 + y 2} = { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 z = }. Als we de functie g definiëren als g : R 3 R : y = (x, y, z) g(x, y, z) = x 2 + y 2 z, dan is de grafiek van f gelijk aan het niveau-oppervlak van de functie g bij de constante c =. We duiden het argument van de functie g aan met y en we benadrukken het onderscheid tussen x in het domein van f en y in het domein van g. Het raakvlak aan de grafiek van f in q is gelijk aan het raakvlak aan het niveau-oppervlak van g bij c =. We kunnen bijgevolg de vergelijking (2.28) gebruiken, waarbij we de volgende substituties moeten maken e gezochte vergelijking is e gradiënt van g is In het punt q is dat f g, x y, p q. ( y q) g( q) =. g(x, y, z) = (2x, 2y, ). g( q) = (2, 4, ). e Cartesische vergelijking van het raakvlak is dus V : 2(x ) + 4(y 2) (z 5) =, oftewel V : z = 2x + 4y Raakvlak aan de grafiek We kunnen het resultaat van Voorbeeld 2.6 als volgt veralgemenen. e grafiek van een reële functie f van n reële veranderlijken f : U R is gedefinieerd als de volgende deelverzameling van R n+ : graf f = { (x, x 2,..., x n, x n+ ) R n+ x n+ = f(x, x 2,..., x n ) }. e grafiek van f is bijgevolg het oppervlak met als vergelijking x n+ = f(x, x 2,..., x n ), oftewel f(x, x 2,..., x n ) x n+ =.

61 ifferentiaalrekening y x 2 4 Figuur 2.5: Graf f en raakvlak V. it betekent dat de grafiek van f gelijk is aan het niveau-oppervlak van de functie g gedefinieerd door g( y) = g(x, x 2,..., x n, x n+ ) = f(x, x 2,..., x n ) x n+, bij c =. We duiden het argument van de functie g aan met y. We benadrukken het onderscheid tussen x = (x, x 2,..., x n ) R n, en y = (x, x 2,..., x n, x n+ ) R n+. Met het punt p = (p, p 2,..., p n ) in het domein van f komt het punt q = (p, p 2,..., p n, p n+ ) in de grafiek van f overeen waarbij natuurlijk p n+ = f(p, p 2,..., p n ). Het raakvlak in het punt q aan de grafiek is het raakvlak aan het niveau-oppervlak van de functie g bij c = in q. We kunnen bijgevolg de vergelijking (2.28) gebruiken, waarbij we volgende substituties moeten maken f g, x y, p q, zodat de gezochte Cartesische vergelijking van het raakvlak wordt V : ( y q) g( q) =. Hierin is y de veranderlijke. Het punt q is uiteraard gekend. e gradiënt g( q) kunnen we gemakkelijk berekenen. e eerste n partiële afgeleiden van g zijn gelijk aan de eerste n partiële afgeleiden van f, en de (n + )-de afgeleide van g is, zodat g( q) = ( f, f,..., f ( f, ) =, x x 2 x n y= q f,..., f, ). x x 2 x n x= p

62 58 Hoofdstuk 2 e vergelijking van het raakvlak aan de grafiek is dan V : (x p ) f x ( p) + (x 2 p 2 ) f x 2 ( p) + + (x n p n ) f x n ( p) (x n+ p n+ ) =, oftewel of nog V : x n+ = f(p, p 2,..., p n ) + (x p ) f x ( p) + + (x n p n ) f x n ( p), V : x n+ = f( p) + ( x p) f( p). (2.29) We vergelijken (2.29) met de vergelijking van de raaklijn in het punt (x, f(x )) aan graf f van de reële functie van één veranderlijke: y = f(x ) + (x x )f (x ). (2.3) e overeenkomst is duidelijk. e eerste term in het rechterlid is de waarde van f in x, respectievelijk in p ; de tweede term is het product van het verschil van de argumenten x en x met f (x ), respectievelijk het scalair product van de verschilvector x p met f( p). Het linkerlid is de 2-de coördinaat als f een functie is van veranderlijke, de (n+)-de coördinaat als f een functie is van n veranderlijken.

63 ifferentiaalrekening Oefeningen Oefening 2. (a) f(x, y) = 2x 2 3xy + y 2 (b) f(x, y) = Bereken de partiële afgeleiden van de eerste orde van de volgende functies: 2xy x 2 + y 2 + (c) f(x, y) = bgtan y x xy (d) f(x, y) = x 2 + y 2 als (x, y) (, ) als (x, y) = (, ) Oefening 2.2 Oefening 2.3 Ga na dat 2 f x y = 2 f y x voor de functie f(x, y) = x 2 y sin(xy 2 ). Gegeven is f(x, y) = 9 x 2 7y 3. Bereken f x (3, ) en f (3, ). y Oefening 2.4 (a) f(x, y) = x 3 3xy 2 (b) f(x, y) = e x sin y + e y cos x (c) f(x, y) = log x 2 + y 2 Oefening 2.5 Is f x continu in (, )? Toon aan dat de volgende functies voldoen aan de Laplace-vergelijking f (x, y) = x 2 f x f y 2 =. Zij f(x, y) = (x 2 + y 2 ) 2/3. Toon aan dat 4x 4(x 2 + y 2 ) /3 als (x, y) (, ) als (x, y) = (, ). Oefening 2.6 Schets de niveaukrommen van de functie f(x, y) = xy. Bereken de gradiënt van f in het punt (, 2). Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de niveaukromme in (, 2). Oefening 2.7 Bepaal de gradiënt van de gegeven functie in het gegeven punt (a) f(x, y, z) = xy + z in (, 2, 3) (b) f(x, y, z) = x 2 sin xy in (, π, π) (c) f(x, y) = ln[x + sin(y 2 x)] in (, ) (d) f(x, y, z) = x y in (2, 2) (e) f(x, y, z) = e 2x cos yz in (, π, π) (f) f(x, y, z) = e 3x+y sin 5z in (6,, π/6) (g) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 in (,, ) (h) f(x, y, z) = xy + yz + xz in (, 2, 3)

64 6 Hoofdstuk 2 Oefening 2.8 Bepaal een Cartesische vergelijking van het raakvlak voor de volgende oppervlakken in de aangegeven punten. Geef ook een parametervergelijking voor de normaal op het vlak in de gegeven punten. (a) x 2 + y 2 + z 2 = 49 in (6, 3, 2) (b) xy + yz + xz = in (,, ) (c) x 2 + xy 2 + y 3 + z + = in (2, 3, 4) (d) 2y z 2 3xz = in (, 7, 2) (e) sin xy + sin yz + sin xz = in (, π/2, ) Oefening 2.9 (a) de gradiënt van f in p Zij f(x, y, z) = z e x sin y en p = (ln 3, 3π 2, 3). Bepaal: (b) de normaal in p op het niveauoppervlak van f door p (c) een Cartesische vergelijking van het raakvlak aan het niveauoppervlak in p. Oefening 2. Gebruik de kettingregel om de afgeleide van f c te bepalen, als (a) f(x, y) = 3x 2 + 2xy 3 en c(t) = ( t, t 2 ) (b) f(x, y) = e +xy en c(t) = (t 2, sin t) (c) f(x, y, z) = 2x 2 + 3y 2 6xyz en c(t) = (t, t, t /3 ). Oefening 2. Bepaal een parametervergelijking van de raaklijn aan de snijdingskromme van de volgende oppervlakken in het aangegeven punt: (a) x 2 + y 2 + z 2 = 49, en x 2 + y 2 = 3, in het punt (3, 2, 6) (b) xy + z =, en x 2 + y 2 + z 2 = 9, in het punt (2,, 2) (c) x 2 y 2 z 2 =, en x 2 + y 2 z 2 = 9, in het punt (3, 2, 2) Oefening 2.2 het punt P : Bepaal de vergelijking van het raakvlak aan het oppervlak z = f(x, y) in (a) f(x, y) = x 2 + y 2, in het punt (3, 4, 25) (b) f(x, y) = x (x 2 +y 2 ) /2, in het punt (3, 4, 3/5) (c) f(x, y) = sin xy, in het punt (, π, ) Oefening 2.3 Bepaal de richtingsafgeleide a f( p): (a) f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) /2 in het punt p = (, ) in de richting a = (2, ) (b) f(x, y, z) = xy + xz + yz in het punt p = (,, 7) in de richting a = (3, 4, 2) (c) f(x, y) = 4x 2 + 9y 2 in het punt p = (2, ) in de richting a = f( p) (d) f(x, y) = 4xy + 3y 2 in het punt p = (, ) in de richting a = (2, ) (e) f(x, y, z) = (x + y) 2 + (y + z) 2 + (x + z) 2 in het punt p = (2,, 2) in de richting a = f( p) (f) f(x, y) = ln x 2 + y 2 in het punt p = (a, b) in de richting p.

65 ifferentiaalrekening 6 Oefening 2.4 Gegeven is dat de gradiënt van f in (4, 5) gelijk is aan (2, ). Bepaal de richtingsafgeleide van f in (4, 5) in de richting a = (5, 2). Oefening 2.5 Bepaal alle eenheidsvectoren a waarvoor a f( p) = als (a) f(x, y) = x 3 y 3 xy en p = (, ) (b) f(x, y) = xe y en p = ( 2, ) Oefening 2.6 Bepaal de richting waarin de toename van de functie f maximaal is in het punt p en bepaal de richtingsafgeleide in deze richting. (a) f(x, y) = x 2 + xy + y 2 in het punt p = (, ) (b) f(x, y) = + 6 cos x cos y + 3 cos 2x + 4 cos 3y in het punt p = ( π 3, π ) 3 (c) f(x, y, z) = x 2 y + yz e xy in het punt p = (,, ) Oefening 2.7 Toon aan dat de oppervlakken x 2 + y 2 + z 2 = 6 en x 2 + y 2 = z 2 elkaar snijden in (2, 2, 2 2) en dat de raakvlakken in dat punt onderling loodrecht zijn. Oefening 2.8 Bepaal een punt op de grafiek van f(x, y) = 8 3x 2 2y 2 waarin het raakvlak loodrecht is met de rechte x = 2 3t y = 7 + 8t z = 5 t

66 62 Hoofdstuk 3

67 Hoofdstuk 3 Extrema van functies van meerdere veranderlijken 3. Extrema We hebben in deel uitgelegd hoe we de extrema van een reële functie van één veranderlijke kunnen bepalen. We hebben eerst de kritieke punten bepaald en we hebben vervolgens nagegaan welke kritieke punten overeenkomen met extrema. We volgen een gelijkaardig schema voor de bepaling van de extrema van een reële functie van meerdere veranderlijken. We geven eerst de definities van extrema en kritieke punten van functies van meerdere veranderlijken. eze definities zijn consistent met de overeenkomstige definities voor reële functies van één veranderlijke. 3.. Maximum en minimum Zij f : U R een reële functie van n veranderlijken gedefinieerd op de deelverzameling U van R n. efinitie: e functie f bereikt een absoluut (of globaal) maximum in het punt p U indien x U : f( x) f( p). (3.) e functie f bereikt een absoluut (of globaal) minimum in het punt p U indien x U : f( x) f( p). (3.2) efinitie: e functie f bereikt een lokaal of relatief maximum in het punt p wanneer er een open bol B( p, δ) met middelpunt p en straal δ > bestaat zo dat x U B( p, δ) : f( x) f( p). (3.3) e functie f bereikt een lokaal of relatief minimum in het punt p wanneer er een open bol B( p, δ) met middelpunt p en straal δ > bestaat zo dat x U B( p, δ) : f( x) f( p). (3.4) We herhalen dat een continue functie f op een gesloten en begrensd deel van R n haar minimum en maximum bereikt. it is de hoofdeigenschap van continue functies, zie Stelling 63

68 64 Hoofdstuk 3.3. e functie f kan haar (lokaal) maximum en/of minimum bereiken in een randpunt. Voorbeeld 3.: Beschouw de functie met domein f : S R : (x, y) f(x, y) = x 2 y, S = {(x, y) x, y }. S is een gesloten en begrensd deel van R 2. e functie f bereikt haar minimum in de punten (x, y) S met x = of y = en haar maximum voor (x, y) = (, ). e functie f bereikt haar extrema in randpunten van S. Voorbeeld 3.2: We bekijken de volgende drie functies van de twee reële veranderlijken (x, y). f (x, y) = 4 2(x 2) 2 2(y 2) 2, f 2 (x, y) = 4 + 2(x 2) 2 + 2(y 2) 2, f 3 (x, y) = 4 2(x 2) 2 + 2(y 2) 2. e grafieken van f en f 2 zijn elliptische paraboloïden. Omdat de kwadraten (x 2) 2 en (y 2) 2 zeker niet negatief zijn, zien we eenvoudig dat voor elke (x, y) R 2 geldt f (x, y) f(2, 2) = 4, en f 2 (x, y) f(2, 2) = 4. e functie f bereikt haar absoluut maximum in het inwendig punt (2, 2) van R 2 en de functie f 2 bereikt haar absoluut minimum in het inwendig punt (2, 2). We hebben ook dat f ( x) = ( 4(x 2), 4(y 2)), f (2, 2) = (, ), f 2 ( x) = (4(x 2), 4(y 2)), f 2 (2, 2) = (, ), f 3 ( x) = ( 4(x 2), 4(y 2)), f 3 (2, 2) = (, ). e grafiek van f 3 is een hyperbolische paraboloïde. e functie f 3 bereikt geen maximum en ook geen minimum in het punt (2, 2). e lezer wordt gevraagd de nodige aandacht aan dit eenvoudige voorbeeld te besteden. Het illustreert de verschillende gevallen die we bij het zoeken naar extrema zullen ontmoeten Kritieke punten In het vorige voorbeeld hebben we gezien dat de functies f en f 2 een extremum bereiken in het inwendig punt (2, 2) van hun domein. We hebben ook gezien dat f(2, 2) = (, ). Vandaar de volgende definitie. efinitie: Een punt p in het domein van f is een kritiek punt van f indien f( p) =. (3.5)

69 Extrema 65 Voorbeeld 3.3: Beschouw de functie We hebben f x (x, y) = 2xe (x2 +y 2), f(x, y) = e (x2 +y 2). f y (x, y) = 2ye (x2 +y 2). e factor e (x2 +y 2) is nooit gelijk aan nul. Vandaar dat f x alleen nul is voor x = en dat f y alleen nul is voor y =. Bijgevolg is (, ) het enige punt waarvoor de beide partiële afgeleiden nul zijn. (, ) is dus het enige kritieke punt. In Voorbeeld 3.2 is (2, 2) het enige kritieke punt van f, f 2 en van f 3. We tonen nu aan dat een inwendig punt van het domein van f waar een afleidbare functie f een lokaal extremum bereikt een kritiek punt is. Stelling 3.: Zij f een reële functie van n veranderlijken die gedefinieerd en afleidbaar is op een deelverzameling U van R n. Indien f een lokaal extremum bereikt in een inwendig punt p van U dan is p een kritiek punt van de functie f. Bewijs: We veronderstellen dat f een lokaal maximum bereikt in het inwendig punt p van het U, zodat volgens de definitie er een δ > bestaat met x B( p, δ) U : f( x) f( p). Omdat het hier om een inwendig punt p gaat kunnen we door eventueel over te gaan op een kleinere waarde voor δ aannemen dat B( p, δ) U. an is de toevoeging U overbodig en we bekomen dat er een δ > is met x B( p, δ) : f( x) f( p). Zij a een willekeurige eenheidsvector in R n. We kiezen waarden van de parameter t zodat p + t a B( p, δ). e parameter t moet bijgevolg voldoen aan t a < δ. Omdat a een eenheidsvector is geldt a =, zodat t moet voldoen aan t < δ. us We hebben bijgevolg dat We definiëren de functie g(t) als t ] δ, δ[. t ] δ, δ[ : f( p + t a) f( p). g(t) = f( p + t a). an is g(t) g() voor alle t ] δ, δ[, en dus bereikt de functie g(t) een lokaal maximum in t =. Als een afleidbare functie van reële veranderlijke een lokaal maximum bereikt in een inwendig punt van haar definitiegebied, dan is dit inwendig punt een kritiek punt van deze functie. Bijgevolg geldt hier dat g () =. Vanwege de kettingregel is dan a f( p) =. (3.6)

70 66 Hoofdstuk 3 x y y.6.8 y x x Figuur 3.: Verloop van een reële functie van één veranderlijke rond kritieke punten. z y x z y x z y x.5 Figuur 3.2: Verloop van een reële functie van meerdere veranderlijken in de buurt van kritieke punten. (3.6) is juist voor elke eenheidsvector a R n. Bijgevolg moet f( p) = en dit betekent dat p een kritiek punt is van f. Zoals in het geval van een reële functie van één veranderlijke kan een kritiek punt van een reële functie van meerdere veranderlijken overeenkomen met een maximum, een minimum of met geen van beide. We herhalen de grafieken van een reële functie van één veranderlijke voor deze drie gevallen (zie Figuur 3.). Bij reële functies van meerdere veranderlijken zijn nog meer gevallen mogelijk. We hebben in Figuur 3.2 de grafieken aangegeven voor enkele reële functies van meerdere veranderlijken. We verwijzen de lezer ook naar Voorbeeld Tweede afgeleide test We gaan nu na welke van de inwendige kritieke punten van een reële functie van meerdere veranderlijken overeenkomen met een extremum. Voor reële functies van één veranderlijke kunnen we dit nagaan met de test van de tweede afgeleide (zie deel ). Als f een reële functie is die gedefinieerd is op een open interval ]a, b[ R en waarvoor f en f bestaan en continu zijn op ]a, b[, dan bereikt f in een punt x ]a, b[ waarvoor geldt dat f (x ) = en f (x ) < een lokaal maximum. Als f (x ) = en f (x ) > dan bereikt f in x een lokaal minimum. We bespreken hier het overeenkomstige resultaat voor reële functies van n veranderlijken. In wat volgt zullen we aannemen dat f een reële functie van n veranderlijken is, waarvan de partiële afgeleiden van de eerste en tweede orde bestaan en continu zijn. We nemen verder aan dat p een kritiek punt is van f dat gelegen is in het inwendige van het domein van f. We weten dus dat f( p) =. Voor een functie van één veranderlijke weten we dat de tweede afgeleide een rol speelt in de tweede afgeleide test. Voor de reële functie f van n veranderlijken hebben we n 2 mogelijkheden om een tweede orde partiële afgeleide in een punt

71 Extrema 67 p te vormen, namelijk 2 f x k x l ( p), met k =,..., n, l =,..., n. eze n 2 partiële afgeleiden van tweede orde nemen we samen in een matrix H, die de Hessiaan (ofwel de matrix van Hesse) genoemd wordt. efinitie: e Hessiaan van f in het punt p is de n n matrix 2 f 2 f x 2 ( p) ( p) x x 2 H = 2 f x 2 x ( p). 2 f x 2 ( p) 2 2 f x n x ( p) 2 f x x n ( p) f x 2 ( p) n. (3.7) Vanwege de stelling van Schwarz en Young geldt en dus is H een symmetrische matrix. H = H t 2 f x k x j = 2 f x j x k. it betekent dat We onderzoeken nu de functie f op een rechte door het kritieke punt p. e rechte wordt gegeven als beeld van de vectorfunctie c(t) = p + t x, waarin x = (x, x 2,..., x n ) een vast gekozen niet-nulvector uit R n is. e functie t f( p + t x) is dan gelijk aan de samenstelling f c. Vanwege de kettingregel geldt d d c f( p + t x) = f( c(t)) dt dt = f( p + t x) x = n j= f x j ( p + t x)x j. (3.8) Omdat p een kritiek punt van f is, zijn alle eerste orde partiële afgeleiden van f in p gelijk aan nul. Er volgt dat d dt f( p + t x) =. (3.9) t= e uitdrukking (3.8) willen we nogmaals naar t differentiëren. precies zoals in (3.8) (met f x j in plaats van f) d f ( p + t x) = dt x j n k= 2 f x k x j ( p + t x)x k. Voor elke j vinden we

72 68 Hoofdstuk 3 Als we (3.8) differentiëren dan vinden we dus d 2 n ( ) d dt 2 f( p + t x) = f ( p + t x) dt x j = j= In het bijzonder geldt voor t = dat d 2 dt 2 f( p + t x) = t= n n j= k= n j= k= x j 2 f x k x j ( p + t x)x k x j. n 2 f x k x j ( p)x k x j. (3.) Als we x zien als kolomvector en x t als rijvector dan kunnen we (3.) ook schrijven als d 2 dt 2 f( p + t x) = x t H x (3.) t= waarin H de Hessiaan van f in p is. Beschouw nu eerst het bijzondere geval dat x een eigenvector is van H met eigenwaarde λ. an is x t H x = x t (λ x) = λ x 2. (3.2) We concluderen uit (3.9), (3.) en (3.2) het volgende: Als λ > dan heeft t f( p + t x) in t = een eerste afgeleide nul en een tweede afgeleide die positief is. Bijgevolg heeft deze functie in t = een lokaal minimum. Als λ < dan heeft t f( p + t x) in t = een eerste afgeleide nul en een tweede afgeleide die negatief is. Bijgevolg heeft deze functie in t = een lokaal maximum. Als λ = dan heeft t f( p + t x) in t = een eerste en tweede afgeleide die nul zijn. We kunnen dan geen uitspraak doen omtrent een lokaal extreem in t =. Zonder bewijs vermelden we de volgende eigenschap van symmetrische matrices. Stelling 3.2: Een reële symmetrische n n matrix heeft enkel reële eigenwaarden n eigenvectoren x,..., x n die een orthonormale basis van R n vormen. Een orthonormale basis wil zeggen dat de vectoren x,..., x n onderling orthogonaal zijn, dat wil zeggen x j x k = als j k, (3.3) en dat elke vector lengte één heeft, dus x j = voor alle j. (3.4) Omdat de Hessiaan H een symmetrische matrix is, zijn er vanwege de stelling eigenvectoren x, x 2,..., x n die een orthonormale basis van H vormen. Neem aan dat λ,..., λ n de bijbehorende eigenwaarden zijn. us H x j = λ j x j.

73 Extrema 69 Omdat { x,..., x n } een basis van R n is, kunnen we een willekeurige vector x schrijven als lineaire combinatie van de eigenvectoren, zeg x = n α j x j. j= an vinden we x t H x = = = n n t α j x j H α j x j j= j= ( n α k x t) n k α j λ j x j k= n k= j= j= n α k α j λ j ( x k x j ). Uit (3.3) volgt dat alle termen met j k gelijk aan nul zijn, en uit (3.4) volgt dat de term met j = k gelijk is aan α 2 j λ j. us n x t H x = α 2 jλ j. j= Vanwege (3.) geldt d 2 dt 2 f( p + t x) = x t H x = t= n α 2 jλ j. (3.5) j= Uit (3.5) concluderen we Indien alle λ j >, dan is (3.5) strikt positief voor elke x. In dat geval heeft f in p een lokaal minimum. Indien alle λ j <, dan is (3.5) strikt negatief voor elke x. In dat geval heeft f in p een lokaal maximum. Indien sommige λ j > en andere λ j <, dan heeft f in p geen extreem. Het kritieke punt p heet dan een zadelpunt van f. Schema voor de bepaling van extrema We kunnen volgend schema gebruiken om de extrema van reële functies van meerdere veranderlijken te onderzoeken.

74 7 Hoofdstuk 3. Bepaal de kritieke punten p van de functie f. eze punten worden gevonden als oplossingen van de vergelijking f( x) =. 2. Bepaal de Hessiaan van de functie f in elk van de kritieke punten p. 3. Bereken de eigenwaarden λ, λ 2,..., λ n van de Hessiaan. 4. Indien alle eigenwaarden positief zijn dan bereikt f een lokaal minimum in het kritieke punt p. Indien alle eigenwaarden negatief zijn dan bereikt f een lokaal maximum in p. Indien er zowel positieve als negatieve eigenwaarden zijn dan is p een zadelpunt van f en f bereikt in p geen extremum. Indien nul als eigenwaarde van de Hessiaan voorkomt, terwijl de niet-nul eigenwaarden hetzelfde teken hebben, dan doet het bovenstaande schema geen uitspraak over het al dan niet extreem zijn van f in het kritieke punt p Extrema van functies van 2 veranderlijken We schrijven het voorgaande nog eens expliciet op voor een reële functie van twee veranderlijken. Zij f(x, y) een reële functie van twee veranderlijken waarvan de partiële afgeleiden van eerste en tweede orde bestaan en continu zijn. Zij p = (a, b) een kritiek punt van f: f (a, b) =, e Hessiaan in p is de matrix x f( p) = H = 2 f (a, b) x2 2 f (a, b) x y f (a, b) =. y 2 f (a, b) x y 2 f (a, b) y2 eze symmetrische matrix heeft twee reële eigenwaarden λ en λ 2. Zoals we gezien hebben bereikt f in het kritieke punt een maximum als beide eigenwaarden negatief zijn, en een minimum als beide eigenwaarden positief zijn. Het kritieke punt (a, b) is een zadelpunt indien λ en λ 2 van teken verschillen. Lokaal verloop van de functie rond het kritieke punt Zij (a, b) een kritiek punt van de functie f. Neem aan dat λ en λ 2 de eigenwaarden van de Hessiaan in (a, b) zijn. Het verloop van f(x, y) f(a, b) voor (x, y) dicht bij (a, b) is hetzelfde als het verloop van de kwadratische vorm Q(x, y) = λ x 2 + λ 2 y 2 voor (x, y) dicht bij (, ). We bepalen daarom de grafiek en niveaukrommen van Q. We onderscheiden drie gevallen. () λ < en λ 2 <.

75 Extrema 7 an bereikt Q in het punt (, ) een maximum. e grafiek van Q is graf Q = { (x, y, z) z = λ x 2 + λ 2 y 2} = } {(x, y, z) z = x2 α 2 y2 β 2, waarin λ = α 2 en λ 2 = β 2. e grafiek is een elliptische paraboloïde die gelegen is onder het xy-vlak. e niveaukrommen bij c < is λ x λ 2y 2 2 = c..8.5 z y x.5 y x Figuur 3.3: e grafiek en de niveaukrommen in de buurt van een maximum. e niveaukrommen zijn ellipsen die de oorsprong omcirkelen. e grafiek en enkele niveaukrommen van Q zijn gegeven in Figuur 3.3 voor het bijzondere geval dat λ = λ 2 =. Voor de functie f betekent dit dat de niveaukrommen rond het kritieke punt (a, b) gesloten krommen zijn die het punt (a, b) omcirkelen. e niveaukrommen zijn echter niet noodzakelijk precies gelijk aan ellipsen. (2) λ > en λ 2 > e functie Q bereikt in dit geval een minimum in (, ). e grafiek van Q is graf Q = { (x, y, z) z = λ x 2 + λ 2 y 2} = } {(x, y, z) z = x2 α 2 + y2 β 2, waarin λ = α 2 en λ 2 = β 2. e grafiek is een elliptische paraboloïde die gelegen is boven het xy-vlak. e niveaukromme bij c > is een ellips die de oorsprong omcirkelt. e grafiek en de niveaukrommen zijn gegeven in Figuur 3.4 voor het bijzondere geval dat λ = λ 2 =. (3) λ > en λ 2 <

76 72 Hoofdstuk z y x.5 y x Figuur 3.4: e grafiek en de niveaukrommen in de buurt van een minimum. (Het geval λ < en λ 2 > kan op dezelfde manier behandeld worden.) e grafiek van Q is graf Q = { (x, y, z) z = λ x 2 + λ 2 y 2} = } {(x, y, z) z = x2 α 2 y2 β 2, met λ = α 2 en λ 2 = β 2. e grafiek is een hyperbolische paraboloïde. e niveaukromme x 2 2 α 2 y2 2 β 2 = c, bestaat uit twee snijdende rechten als c = en is een hyperbool als c > of c <. e niveaukrommen omcirkelen het kritieke punt niet. Het kritieke punt is een zadelpunt. e grafiek en enkele niveaukrommen zijn aangegeven in Figuur 3.5 voor het bijzondere geval dat λ = en λ 2 =..8.5 z y x.5 y x Figuur 3.5: e grafiek en de niveaukrommen in de buurt van een zadelpunt.

77 Extrema 73 Voorwaarden voor een lokaal maximum, lokaal minimum, zadelpunt We hebben gezien dat de functie f in het kritieke punt een maximum bereikt wanneer λ < en λ 2 < ; een minimum wanneer λ > en λ 2 > en een zadelpunt wanneer λ λ 2 <. Hierin zijn λ en λ 2 de eigenwaarden van de Hessiaan van de functie f in het kritieke punt. Om de eigenwaarden te berekenen, beschouwen we de karakteristieke veelterm det(h λi 2 ) = = 2 f x 2 λ 2 f x y 2 f 2 f x y y 2 λ ( 2 ) ( f 2 ) x 2 λ f y 2 λ ( 2 f x f y 2 = λ 2 ( 2 ) 2 f x y ) λ + 2 f x 2 2 f y 2 ( 2 ) 2 f. x y it betekent det(h λi 2 ) = λ 2 (sp H)λ + det H (3.6) waarin det H de determinant van H is en sp H = H + H 22 het spoor van H is (dat wil zeggen, de som van de diagonaalelementen van H). e karakteristieke veelterm heeft twee nulpunten λ en λ 2. Er geldt bijgevolg ook det(h λi 2 ) = (λ λ )(λ λ 2 ) = λ 2 (λ + λ 2 )λ + λ λ 2. (3.7) Uit (3.6) en (3.7) volgt en λ + λ 2 = sp H λ λ 2 = det H. We kunnen hieruit de volgende conclusies trekken. Indien det H < dan is λ λ 2 < en hebben de twee eigenwaarden tegengesteld teken. Het punt p is dan een zadelpunt van de functie f. Indien det H > dan is λ λ 2 > en hebben de twee eigenwaarden hetzelfde teken. We kunnen dan aan het spoor van H zien of dit teken positief of negatief is. Indien det H > en sp H > dan zijn de twee eigenwaarden positief. an bereikt f een lokaal minimum in het kritieke punt p. Indien det H > en sp H < dan zijn de twee eigenwaarden negatief. an bereikt f een lokaal maximum in p. Indien det H = dan is een eigenwaarde van H en kunnen we geen algemeen geldende conclusies trekken. We illustreren het voorgaande met enkele voorbeelden.

78 74 Hoofdstuk 3 Voorbeeld 3.4: We bepalen de kritieke punten van de functie f(x, y) = ln( + x 2 + y 2 ) en we gaan na welke van de kritieke punten extrema of zadelpunten zijn. We hebben f x = 2x + x 2 + y 2 en f y = 2y + x 2 + y 2. Hieruit zien we dat f x = f y = { x = y = e oorsprong is dus het enige kritieke punt. Voor de tweede orde partiële afgeleiden vinden we na enig rekenwerk 2 f x 2 = 2 2x2 + 2y 2 ( + x 2 + y 2 ) 2, 2 f (, ) = 2, x2 2 f y 2 = 2 + 2x2 2y 2 ( + x 2 + y 2 ) 2, 2 f (, ) = 2, y2 2 f x y = 4xy ( + x 2 + y 2 ) 2, 2 f (, ) =. x y We hebben bijgevolg de Hessiaan H = [ 2 2 ]. e eigenwaarden van H zijn λ = λ 2 = 2 en deze zijn beide positief. Het kritieke punt (, ) is daarom een lokaal minimum. Voorbeeld 3.5: Beschouw f(x, y) = x + y sin x. e partiële afgeleiden zijn f x = + y cos x, en f y = sin x. e kritieke punten zijn { x = 2kπ, k Z y =, en { x = (2k + )π, k Z y =. e tweede orde partiële afgeleiden zijn 2 f = y sin x, x2 2 f y 2 =, 2 f x y = cos x.

79 Extrema 75 We behandelen bij wijze van voorbeeld de kritieke punten die overeenstemmen met k = : p = (, ) en p 2 = (π, ). We hebben voor p : voor p 2 : e Hessianen zijn voor p : 2 f x 2 ( p ) =, 2 f x 2 ( p 2) =, ( 2 f y 2 ( p ) =, 2 f y 2 ( p 2) =, ), voor p 2 : 2 f x y ( p ) =, 2 f x y ( p 2) =. ( ). e determinant van beide matrices is. e eigenwaarden λ en λ 2 voldoen dus aan λ λ 2 = det H =. Bijgevolg is er een positieve eigenwaarde en een negatieve. e punten p en p 2 komen dus beide overeen met zadelpunten. 3.2 Optimalisatieproblemen met nevenvoorwaarden In het voorgaande hebben we gezien hoe we extrema kunnen bepalen van reële functies van meerdere reële veranderlijken. it betekent dat we ook optimalisatieproblemen met meerdere veranderlijken kunnen oplossen. Optimalisatieproblemen met meerdere veranderlijken hebben vaak een bijkomende moeilijkheid. Er moet namelijk vaak aan één of meerdere bijkomende voorwaarden voldaan worden. Zo moet bijvoorbeeld bij een reclamecampagne voor een bepaald product een zeker budget gerespecteerd worden; en bij het ontwerp van conserven moet er bijvoorbeeld rekening gehouden worden met het feit dat de inhoud precies liter moet bedragen. In deze paragraaf zullen we zien hoe we dergelijke problemen met nevenvoorwaarden kunnen oplossen. We vertrekken hiervoor van het onderstaande modelprobleem dat op het eerste gezicht niets te maken heeft met de problemen die hierboven vermeld werden, maar na wiskundige vertaling equivalent blijkt te zijn. Motiverend voorbeeld: nutsoptimalisatie Stel dat we een bedrag b te besteden hebben voor het kopen van twee producten: een product x dat 2 Euro/stuk kost en een product x 2 dat Euro/stuk kost. Stel vervolgens dat we van product x een hoeveelheid van x stuks kopen en van product x 2 een hoeveelheid van y stuks. Stel tenslotte dat het nut van het aangekochte pakket (x, y) wordt uitgedrukt door de nutsfunctie n: n(x, y) = xy + 2x. Wat is het nuttigste pakket dat we kunnen aankopen met ons budget b? de toename van het nut als het budget minimaal verhoogd wordt, m.a.w. hoe gevoelig is het nut ten opzichte van het budget? Wiskundig vertaalt dit probleem zich als een optimalisatieprobleem met een nevenvoorwaarde, namelijk bepaal het maximum van de reële functie van twee veranderlijken n(x, y) (dus de waarden van x en y die maximaal nut opleveren) onder de nevenvoorwaarde dat 2x + y = b.

80 76 Hoofdstuk Substitutiemethode Een eerste werkwijze om het extremum te bepalen van een functie van n veranderlijken f(x, x 2,..., x n ) met nevenvoorwaarde bestaat uit de volgende stappen: h(x, x 2,..., x n ) = c. Bepaal uit de nevenvoorwaarde één veranderlijke in functie van de andere veranderlijken, bijvoorbeeld x n : h(x, x 2,..., x n ) = c = x n = g(x, x 2,..., x n ). 2. oor deze x n in f te substitueren bekomen we een nieuwe functie F van slechts n veranderlijken: f(x, x 2,..., x n, g(x, x 2,..., x n )) = F (x, x 2,..., x n ). 3. Bepaal het extremum van F (x, x 2,..., x n ) zonder nevenvoorwaarde. it is het gezochte extremum. We illustreren deze substitutiemethode nu aan de hand van enkele voorbeelden. Voorbeeld 3.6: Als eerste voorbeeld lossen we het nutsoptimalisatieprobleem op dat in het begin van deze paragraaf ter sprake kwam. Uit de nevenvoorwaarde kunnen we y uitdrukken in functie van x: y = b 2x, waarbij x en y moeten zijn aangezien x en y een hoeveelheid goederen voorstelt (bijgevolg is x b/2). We substitueren dit in de nutsfunctie n(x, y) en bekomen een nieuwe functie (van enkel x), N(x): N(x) = n(x, b 2x) = x(b 2x) + 2x. We bepalen nu het extremum van N(x) door de afgeleide te berekenen en gelijk aan nul te stellen. dn = 4x + (2 + b) =. dx Hieruit volgt en daar y = b 2x, x = b y = b 2 2. e tweede afgeleide van N naar x is 4 zodat het gevonden extremum een maximum betreft. Het maximum van N(x) en dus tevens van n(x, y) is dan ( ) b + 2 N = 4 (b + 2)2, 8

81 Extrema 77 en dit maximum wordt bereikt in het punt ( b+2 4, b 2 ) 2. We hebben er bij deze afleiding geen rekening mee gehouden dat het oorspronkelijke nutsoptimalisatieprobleem handelt over aantallen x en y, en dat dus zeker moet gelden x en y. it is in feite nog een extra nevenvoorwaarde waar we rekening mee moeten houden. Indien b 2 dan wordt het gevonden maximum inderdaad bereikt voor niet-negatieve waarden van x en y. Als het budget beperkt is tot b < 2 Euro, dan is de gevonden waarde van y = (b 2)/2 negatief. We moeten dan bedenken dat de nevenvoorwaarden x en y betekenen dat x beperkt is tot het interval [, b/2]. In feite willen we het extremum bepalen van N beperkt tot [, b/2]. N : [, b/2] R : x x(b 2x) + 2x. N heeft geen maximum in een inwendig punt wanneer b < 2. Het maximum van N, en tevens van n, wordt in dit geval bereikt in een randpunt van de budgetlijn, namelijk x = b/2, en N(b/2) = b. it correspondeert met y =. Voorbeeld 3.7: We bepalen de afstand van het vlak ax + by + cz = (met c ) tot de oorsprong. e afstand van een punt (x, y, z) tot de oorsprong is x 2 + y 2 + z 2 en deze afstand moeten we minimaliseren onder de nevenvoorwaarde ax + by + cz =. Het is eenvoudiger om niet met de afstand te werken, maar met het kwadraat van de afstand. an vermijden we het rekenen met vierkantswortels. Het kwadraat van de afstand van een punt (x, y, z) tot de oorsprong is x 2 + y 2 + z 2. We kunnen hiermee een functie van drie veranderlijken definiëren: f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2. We zoeken nu het minimum van deze functie onder de voorwaarde dat het punt (x, y, z) in het gegeven vlak ligt, met andere woorden de nevenvoorwaarde is h(x, y, z) = ax + by + cz =. aar c kunnen we hiermee z uitdrukken in functie van x en y: z = ax by. c Substitutie in f levert een functie van twee veranderlijken op: x 2 + y 2 + z 2 = x 2 + y 2 + ( ax by)2 c 2 = F (x, y). Om het minimum van F te bepalen, hebben we de partiële afgeleiden naar x en naar y nodig: F x F y 2a = 2x c 2 ( ax by) = 2(a2 + c 2 ) c 2 x + 2ab c 2 y 2a c 2, = 2y 2b c 2 ( ax by) = 2(b2 + c 2 ) c 2 y + 2ab c 2 x 2b c 2. e partiële afgeleiden gelijk aan nul stellen geeft de twee vergelijkingen { (a 2 + c 2 ) x + ab y = a, ab x + (b 2 + c 2 ) y = b.

82 78 Hoofdstuk 3 e determinant van dit stelsel is c 2 (a 2 + b 2 + c 2 ) >, zodat er precies één oplossing is, namelijk a x = a 2 + b 2 + c 2, y = b a 2 + b 2 + c 2. Stemt deze oplossing nu overeen met een minimum van F? Om dit na te gaan hebben we de tweede orde partiële afgeleiden nodig: 2 F x 2 = 2(a2 + c 2 ) c 2, 2 F x y = 2ab c 2, 2 F y 2 = 2(b2 + c 2 ) c 2. e Hessiaan is dus ( 2 ) ( F H = = 2 a 2 + c 2 ab x i x j c 2 ab b 2 + c 2 e eigenwaarden λ en λ 2 voldoen aan ). λ + λ 2 = 2 c 2 (a2 + b 2 + 2c 2 ) >, (3.8) λ λ 2 = 4 c 2 (a2 + b 2 + c 2 ) >, (3.9) zodat λ > en λ 2 > en het gevonden kritieke punt is inderdaad een minimum. e z-waarde van het minimum is z = ax by c = c a 2 + b 2 + c 2, zodat de waarde van f in het minimum gelijk is aan f min = a 2 + b 2 + c 2. e gezochte minimale afstand is dus / a 2 + b 2 + c 2. Merk op dat dit overeenkomt met het resultaat van paragraaf.2.7 waar we de afstand van een punt tot een vlak met meetkundige middelen berekend hebben Lagrange-techniek Met de substitutiemethode die we in de vorige subparagraaf besproken hebben, kunnen we heel wat optimalisatieproblemen met nevenvoorwaarden oplossen op voorwaarde dat we één veranderlijke expliciet kunnen oplossen uit de nevenvoorwaarde en dat we het stelsel dat we verkrijgen door de partiële afgeleiden van nieuwe functie F gelijk aan nul te stellen expliciet kunnen oplossen. Het gebeurt in de praktijk echter vrij vaak dat dit niet kan of bijzonder ingewikkeld wordt. In deze gevallen biedt de Lagrange-techniek een uitkomst. e Lagrange-techniek is een veralgemening van de substitutiemethode en wordt hier om nog een andere reden uitgewerkt, namelijk het vergelijkend onderzoek van een optimalisatieprobleem (cf. de tweede vraag in het modelprobleem). We bespreken nu de Lagrange-techniek eerst voor reële functies van twee reële veranderlijken. We zullen de techniek later veralgemenen naar functies van drie en meer veranderlijken én naar extrema met meer dan één nevenvoorwaarde. Stel dat we het extremum moeten bepalen van de functie f van twee veranderlijken f(x, y)

83 Extrema 79 onder de nevenvoorwaarde dat h(x, y) = c. Merk op dat de grafische voorstelling van h(x, y) = c een kromme is. Als concreet voorbeeld kijken we naar Voorbeeld 3.8 (zie hieronder) waarin de nevenvoorwaarde h(x, y) = y x2 2 = 2 een parabool K bepaalt. it wordt geïllustreerd in Figuur 3.6. We zien dat f(x, y) = 25 x 2 y 2 op deze kromme K een extremum bereikt in het punt (x, y ) waar de kromme rakend is aan de niveaukromme door (x, y ). y 5 h f z x 4 2 y x 2 4 Figuur 3.6: Illustratie bij de oplossing van Voorbeeld 3.8 met de Lagrange-techniek. e Lagrange-techniek berust op de volgende observatie. Als de vector t raakt aan de kromme K : h(x, y) = c in het punt (x, y ) dan geldt dat t loodrecht staat op de gradiënt h(x, y ). In (x, y ) raakt deze vector ook aan de niveaukromme van f: f(x, y) = f(x, y ) zodat ook t f(x, y ). Bijgevolg moeten in (x, y ) de gradiënten h en f in dezelfde richting wijzen, zodat λ R : f λ h =, (3.2) h(x, y) = c. (3.2) it is een stelsel van drie scalaire vergelijkingen (de eerste vergelijking is een vectorvergelijking met twee componenten) voor de drie onbekenden x, y en λ. Elke oplossing van dit stelsel noemen we een stationair punt van Lagrange of ook wel kritiek punt van Lagrange. Het gevraagde extremum is een stationair punt van Lagrange, maar niet elk stationair punt is noodzakelijk een extremum. Net zoals bij het optimaliseren zonder nevenvoorwaarden kan er sprake zijn van een zadelpunt. e hulpveranderlijke λ wordt een vermenigvuldiger (multiplicator) van Lagrange genoemd. Voorbeeld 3.8: We bepalen het extremum van de functie f(x, y) = 25 x 2 y 2

84 8 Hoofdstuk 3 voor de punten die behoren tot de parabool We hebben h(x, y) = y x 2 /2 en f = We krijgen het volgende stelsel vergelijkingen: y = 2 + x2 2. (x, y), en h = ( x, ). 25 x 2 y2 x + λx =, (3.22) 25 x 2 y2 y λ =, (3.23) 25 x 2 y2 Uit vergelijking (3.22) volgt dat y = 2 + x2 2. (3.24) x = of λ = 25 x 2 y 2. Er zijn dus twee mogelijkheden die we apart onderzoeken. We beginnen met de mogelijkheid dat λ = 25 x 2 y. 2 oor deze uitdrukking voor λ te substitueren in (3.23) zien we dat y =, en dan leidt (3.24) tot x 2 = 6. it levert geen reële oplossingen. e tweede mogelijkheid is x =. oor dit te substitueren in vergelijking (3.24) bekomen we y = 2 zodat de coördinaten bekend zijn: (, 2). e tweede vergelijking levert dan de waarde van λ op: λ = 2/ 2. Het extremum zelf is dan f(, 2) = 2. Marginale nutsverbetering e Lagrangemultiplicator lijkt een kunstmatige hulpveranderlijke te zijn. Er is echter een relevante interpretatie voor deze veranderlijke. We lossen hiervoor het nutsoptimalisatieprobleem eens op met de Lagrange-techniek. We hebben zodat we het volgende stelsel krijgen: n = (y + 2, x), en h = (2, ), y + 2 2λ =, (3.25) x λ =, (3.26) 2x + y b =. (3.27)

85 Extrema 8 Uit vergelijking (3.25) volgt dat y = 2λ 2 en uit vergelijking (3.26) volgt dat x = λ. Als we dit substitueren in vergelijking (3.27) vinden we λ = (b + 2)/4. Als b > 2 dan is (x, y, λ) = ((b + 2)/4, (b 2)/2, (b + 2)/2) het enige stationaire punt van Lagrange. We hebben eerder al berekend dat ( b + 2 n max (b) = n 4, b 2 ) (b + 2)2 = als b > it maximum hangt dus af van de waarde van b. it brengt ons bij de tweede vraag van het modelprobleem. e maximale n max is een functie van het budget b. e marginale nutsverbetering is per definitie de afgeleide van n max naar b. Hier zien we dat n max (b) = (b + 2)/4 en dit is precies even groot als de multiplicator van Lagrange. it is geen toeval en is algemeen geldig. e multiplicator van Lagrange is gelijk aan de marginale nutsverbetering en geeft dus aan hoe gevoelig het extremum is ten opzichte van de nevenvoorwaarde (in dit geval het budget) Algemene formulering van de Lagrange-techniek We willen de Lagrange-techniek veralgemenen naar functies van n veranderlijken. Bovendien willen we ook optimalisatieproblemen met meer dan nevenvoorwaarde kunnen oplossen. Als tussenstappen beschouwen we eerst functies van 3 veranderlijken en extrema met en 2 nevenvoorwaarden. Geparameteriseerde krommen en oppervlakken in R 3 en R n We hebben gezien dat een kromme K in R n geparametriseerd wordt door een vectorfunctie g(t) = (g (t), g 2 (t),..., g n (t)). Geparameteriseerde oppervlakken worden op een analoge manier gedefinieerd. In R 3 worden oppervlakken beschreven door twee parameters, bijvoorbeeld u en v. e vergelijking: of in vectornotatie: x = a u + b v + c y = a 2 u + b 2 v + c 2 met u, v R, z = a 3 u + b 3 v + c 3 x = au + bv + c met x, a, b, c R 3, stelt een vlak voor door het punt x = c met richtvectoren a en b. We kunnen dit algemener noteren als x = g (u, v), y = g 2 (u, v), z = g 3 (u, v), met 3 functie g (u, v), g 2 (u, v) en g 3 (u, v) van de twee veranderlijken u en v. In vectornotatie wordt dit korter genoteerd als x = (x, y, z) = (g (u, v), g 2 (u, v), g 3 (u, v)) = g(u, v). Hierbij is g(u, v) een vectorfunctie van twee veranderlijken: g(u, v) = (g (u, v), g 2 (u, v), g 3 (u, v)).

86 82 Hoofdstuk 3 z x=g(u,v ) h(q) Q t 2 x=g(u,v) σ t v y x v P u u Figuur 3.7: Een oppervlak in R 3, beschreven met twee parameters u en v. e grafiek van g(u, v) is het oppervlak σ. Geparameteriseerde oppervlakken in R n worden op analoge wijze bepaald met behulp van een vectorfunctie van twee veranderlijken: g : R 2 R n : (u, v) g(u, v) = (g (u, v), g 2 (u, v),... g n (u, v)). Algemene formulering Stel dat we het extremum moeten bepalen van de functie f : R 3 R : (x, y, z) f(x, y, z), onder de voorwaarde dat h(x, y, z) = c. e nevenvoorwaarde stelt een oppervlak σ voor in R 3. it oppervlak kan ook beschreven worden met parameters u en v zoals hierboven beschreven: x = g (u, v) h(x, y, z) = c = y = g 2 (u, v) z = g 3 (u, v)

87 Extrema 83 of, in vectornotatie, x = (x, y, z) = (g (u, v), g 2 (u, v), g 3 (u, v)) = g(u, v), met g(u, v) een vectorfunctie van twee veranderlijken. e punten (u, v) worden door g afgebeeld op het oppervlak σ. Het punt P = (u, v ) R 2 stemt overeen met een punt Q σ zoals aangegeven in Figuur 3.7. Wanneer we de parameter v = v vasthouden maar u laten variëren dan beschrijft het beeldpunt een kromme K in het oppervlak σ: e vector K : x = g(u, v ). t = g(u, v ), u raakt aan deze kromme (en dus ook aan σ) in het punt Q. Analoog, wanneer we de parameter u = u vasthouden maar v laten variëren dan beschrijft het beeldpunt een kromme K 2 in het oppervlak σ: K 2 : x = g(u, v). e vector t 2 = g(u, v), v raakt aan K 2 en ook aan het oppervlak σ in het punt Q. e twee vectoren t en t 2 liggen beide in het raakvlak aan σ in Q. Het extremum van f(x, y, z) met de nevenvoorwaarde h(x, y, z) = c of komt overeen met het extremum van x = g (u, v), y = g 2 (u, v), z = g 3 (u, v), f(g (u, v), g } {{ } 2 (u, v), g } {{ } 3 (u, v) ) = F (u, v), } {{ } x y z een functie van twee veranderlijken bekomen door substitutie van de nevenvoorwaarde (in parametervorm) in f. Het extremum van F is een kritiek punt van F zodat F u = f x g u + f y g 2 u + f z g 3 u = f( x) g u =, F v = f x g v + f y g 2 v + f z g 3 v = f( x) g v =. Bijgevolg is (veralgemening van de kettingregel) f( x) t = g u en f( x) t 2 = g v. e gradiënt van f staat bijgevolg loodrecht op de twee vectoren t en t 2 uit het raakvlak aan σ. us is f een normaal van het raakvlak. Ook h is een normaal van het raakvlak. Hieruit volgt λ R : f( x) λ h( x) =.

88 84 Hoofdstuk 3 e Lagrange-techniek voor de bepaling van een extremum van een functie van drie veranderlijken met één nevenvoorwaarde leidt dus tot een stelsel van vier scalaire vergelijkingen: { f( x) λ h( x) =, h( x) = c. e oplossingen van dit stelsel worden de stationaire punten van Lagrange genoemd. Uit de afleiding blijkt echter dat niet elk stationair punt van Lagrange met een extremum van de functie f overeenstemt. Inderdaad, het stelsel is alleen een noodzakelijke voorwaarde voor een extremum. Het is dus nodig om na te gaan of de functie in de bekomen stationaire punten inderdaad een extremum heeft Extremum met 2 nevenvoorwaarden van functies van 3 veranderlijken e Lagrange-techniek kan ook makkelijk veralgemeend worden naar meerdere nevenvoorwaarden. Stel dat we het extremum moeten bepalen van de functie f : R 3 R : (x, y, z) f(x, y, z), onder de voorwaarden { h (x, y, z) = c, h 2 (x, y, z) = c 2, met h ( x) en h 2 ( x) lineair onafhankelijke vectoren. e nevenvoorwaarden stemmen overeen met, respectievelijk, oppervlakken σ en σ 2. eze oppervlakken snijden elkaar in een kromme K, zoals geïllustreerd in Figuur 3.8. h (x,y,z) 2 Q h (x,y,z) g (u) x=g(u) h (x,y,z)=c 2 σ 2 2 σ h (x,y,z)=c Figuur 3.8: Twee oppervlakken in R 3 die elkaar snijden in een kromme. e kromme K kan beschreven worden met behulp van een parametervergelijking: K : x = g(u),

89 Extrema 85 met g een vectorfunctie g(u) = (g (u), g 2 (u), g 3 (u)). Beschouw het punt u I. it punt stemt overeen met een punt Q op de kromme K (zie Figuur 3.8). e vectoren h en h 2 staan in Q loodrecht op het raakvlak aan, respectievelijk, σ en σ 2. e vectoriële snelheid g (u) in Q daarentegen raakt aan K en dus ook aan σ en σ 2. Bijgevolg geldt dat h g (u) en h 2 g (u), zodat (in het algemeen) h, h 2 en g (u) drie lineair onafhankelijke vectoren zijn in R 3. [N.B. In bijzondere gevallen kan dit niet gelden, bijvoorbeeld als h en h 2 afhankelijke vectoren zijn, of als g (u) =. it zijn echter uitzonderingen.] Het extremum van f(x, y, z) met nevenvoorwaarden h (x, y, z) = c en h 2 (x, y, z) = c 2 of komt overeen met het extremum van x = g (u), y = g 2 (u), z = g 3 (u), f(g (u), g } {{ } 2 (u), g } {{ } 3 (u)) = F (u). } {{ } x y z Het extremum van F is een kritiek punt van F zodat df du = f dg x du + f dg 2 y du + f dg 3 z du = f( x) d g du =. Aangezien h, h 2 en g (u) drie lineair onafhankelijke vectoren zijn, vormen ze een basis van R 3. We kunnen f( x) uitdrukken in termen van deze drie vectoren: f( x) = λ h ( x) + λ 2 h 2 ( x) + q d g du. e factor q kunnen we bepalen door het scalair product te nemen van deze uitdrukking met d g du : f( x) d g du } {{ } = = λ h ( x) d g du } {{ } = +λ 2 h 2 ( x) d g du zodat q =. Hieruit volgt dat er λ en λ 2 in R zijn met } {{ } = f( x) λ h ( x) λ 2 h 2 ( x) =. We noemen λ en λ 2 multiplicatoren van Lagrange. +q d g 2 du, } {{ } e Lagrange-techniek voor de bepaling van een extremum van een functie van drie veranderlijken met twee nevenvoorwaarden leidt dus tot een stelsel van vijf scalaire vergelijkingen: f( x) λ h ( x) λ 2 h 2 ( x) =, h ( x) = c, h 2 ( x) = c 2. We herhalen dat het stelsel hierboven alleen een noodzakelijke voorwaarde voor een extremum is. Het blijft dus nodig om na te gaan of de functie in de oplossingen van dit stelsel inderdaad een extremum heeft.

90 86 Hoofdstuk 3 Voorbeeld 3.9: We bepalen het extremum van de functie f : R 3 R : (x, y, z) f(x, y, z) = (x ) 2 + (y ) 2 + (z ) 2, met de nevenvoorwaarden { h : 2x + y z =, h 2 : x y + z = 2. We bepalen daartoe de gradiënten van f, h en h 2 : f = (2(x ), 2(y ), 2(z )), h = (2,, ), h 2 = (,, ). We moeten bijgevolg het volgende stelsel oplossen: 2(x ) 2λ λ 2 =, 2(y ) λ + λ 2 =, 2(z ) + λ λ 2 =, 2x + y z =, x y + z = 2. Uit de eerste drie vergelijkingen volgt respectievelijk x = 2λ + λ 2 2 +, y = λ λ 2 2 +, z = λ + λ Substitutie van deze uitdrukkingen voor x, y en z in de vierde en vijfde vergelijking geeft respectievelijk λ = 3 Zodat het stationair punt van Lagrange gelijk is aan en λ 2 = 2 3. x =, y = 2, z = 3 2. Het blijkt dat f een minimum bereikt in dit punt Extremum van een functie van n reële veranderlijken met m nevenvoorwaarden We geven nu de meest algemene formulering van de Lagrange-techniek. We geven geen expliciet bewijs of afleiding van deze algemene vorm van de stelling. Het voorgaande maakt de algemene stelling meer dan aannemelijk. Stel dat we het extremum moeten bepalen van de functie f van n veranderlijken f(x, x 2,..., x n ),

91 Extrema 87 onder de m voorwaarden h (x, x 2,..., x n ) = c, h 2 (x, x 2,..., x n ) = c 2,. h m (x, x 2,..., x n ) = c m, met h ( x), h 2 ( x),..., h m ( x) lineair onafhankelijke vectoren. e Lagrange-techniek voor de bepaling van een extremum van een functie van n veranderlijken met m nevenvoorwaarden leidt op analoge wijze als in de vorige subparagrafen tot een stelsel van m + n scalaire vergelijkingen: f( x) λ h ( x) λ m h m ( x) =, h ( x) = c,. h m ( x) = c m. e reële getallen λ, λ 2,..., λ m worden multiplicatoren van Lagrange genoemd. 3.3 Kleinste kwadraten benadering 3.3. Kleinste kwadraten oplossing In deze paragraaf behandelen we benaderende oplossingen van een stelsel lineaire vergelijking dat strijdig is. Beschouw bijvoorbeeld het stelsel x + x 2 = 4 2x + x 2 = 8 x + 2x 2 = 5 van 3 vergelijkingen voor 2 onbekenden. Het is eenvoudig in te zien dat het stelsel strijdig is. Er zijn dus geen oplossingen, en dat is wat meestal het geval is indien er meer vergelijkingen dan onbekenden zijn. Veel belangrijke problemen leiden tot strijdige stelsels. Omdat er geen exacte oplossing is, zoekt men in plaats daarvan een vector x die zo dicht mogelijk ligt bij een oplossing van het stelsel. Om duidelijk te maken wat we bedoelen met zo dicht mogelijk kijken we naar de meetkundige interpretatie van het bovenstaande stelsel. e coëfficiëntenmatrix A = 2 2 heeft kolomvectoren a = 2 en a 2 = 2. e kolomvectoren a en a 2 spannen een twee-dimensionale deelruimte V op van R 3 (een vlak

92 88 Hoofdstuk 3 door de oorsprong). e vector met de rechterleden b = behoort niet tot het vlak V. Immers elke vector p V is een lineaire combinatie van a en a 2, zeg p = x a + x 2 a 2. it betekent precies dat ( ) x p = A x met x =. Omdat het stelsel A x = b strijdig is, behoort b dus niet tot V. In plaats van een exacte oplossing van A x = b zoeken we nu een vector x waarvoor geldt dat A x zo dicht mogelijk ligt bij b. Anders gezegd, we zoeken x waarvoor A x b zo klein mogelijk is. Of nog, waarvoor het kwadraat van de norm minimaal is. A x b 2 x 2 efinitie: Zij A een m n matrix en b R m. Een vector x R n waarvoor us A x b minimaal is, heet een kleinste kwadraten oplossing van het stelsel A x = b. Als A = (a ij ) en b = (b i ) dan heeft A x b de elementen n a ij x j b i voor i =,..., m. j= 2 A x m n b 2 = a ij x j b i. i= We krijgen nu een optimalisatieprobleem. We moeten bovenstaande som van kwadraten minimaliseren over alle mogelijke waarden van x, x 2,..., x n. We kunnen dit dus zien als het vinden van het minimum van de functie 2 m n F (x, x 2,..., x n ) = a ij x j b i. i= Uit paragraaf 3. weten we dat in een minimum alle partiële afgeleiden nul moeten zijn. We berekenen daarom ( F m n ) ( n ) m m = 2 a ik x k b i a ij = 2 a ij a ik x k a ij b i x j i= k= j= j= k= i= i=

93 Extrema 89 voor j =,..., n. Als we dit gelijk aan stellen, dan vinden we dat n m a ij a ik x k = k= i= m a ij b i, j =,..., n. i= it zijn weer lineaire vergelijkingen, en wel n vergelijkingen voor n onbekenden x,..., x n. it is een vierkant stelsel dat er in matrixvorm uitziet als A t A x = A t b. (Ga na!) e matrix A t is de getransponeerde van A die uit A bekomen wordt door de rol van de rijen en kolommen te verwisselen. (A t ) ij = A ji We hebben nu het belangrijke resultaat dat de kleinste kwadraten oplossing gekarakteriseerd wordt als oplossing van het stelsel A t A x = A t b. it stelsel heet het normale stelsel behorende bij het strijdige, overgedetermineerde stelsel A x = b. Het normale stelsel heeft altijd een oplossing. Als de kolommen van A lineair onafhankelijk zijn, dan is de oplossing tevens enig atafitting met kleinste kwadraten Een belangrijk probleem in de wetenschappen is het vinden van verbanden tussen empirisch gevonden gegevens. Vaak zoekt men een eenvoudig verband waaraan de gegevens bij benadering zouden moeten voldoen. Het beste verband binnen een bepaalde klasse kan dan gevonden worden met de kleinste kwadraten methode. Neem aan dat we een aantal data-punten (x, y ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ) bekomen hebben als resultaat van metingen of observaties. Het doel van datafitting is om een functioneel verband y = f(x) te vinden waaraan de gegevens zo goed mogelijk voldoen. Het eenvoudigste model is om aan te nemen dat er een lineair verband bestaat tussen de x-waarden en de y-waarden: y = a + bx voor zekere constanten a en b. Als de data-punten hier exact aan zouden voldoen, dan zouden ze precies op een rechte liggen. it zal in de praktijk nooit precies het geval zijn, maar soms wel bij benadering. Als we de punten (x, y ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ) in de vergelijking invullen, dan vinden we a + bx = y a + bx 2 = y 2 a + bx n = y n it zijn n vergelijkingen voor de twee onbekenden a en b. Het is hoogst waarschijnlijk dat dit stelsel strijdig is. Er is dan geen exacte oplossing, maar wel een kleinste kwadraten oplossing. In matrixvorm hebben we A x = b.

94 9 Hoofdstuk 3 met x = ( a b ), A = x x 2.., b = x n e kleinste kwadraten oplossing vinden we uit het normale stelsel A t A x = A t b y y 2. y n. hetgeen is ( x x 2 x n x ) x 2 ( a.. b x n ) ( = x x 2 x n ) y y 2. y n. Als we de matrixvermenigvuldigingen uitvoeren dan vinden we de twee vergelijkingen na + ( x i ) b = y i ( x i ) a + ( x 2 i ) b = xi y i waarin elke sommatie gaat van i = tot i = n. it zijn de normale vergelijkingen voor het fitten van een rechte y = ax + b door n gegeven data-punten Lineaire regressie Het kleinste kwadraten probleem van de vorige paragraaf kan uitgebreid worden tot een algemenere situatie die bekend staat als lineaire regressie. Het doel hierbij is om een veranderlijke y uit te drukken als lineaire combinatie van een aantal andere veranderlijken x, x 2,..., x n. We nemen hierbij aan dat er constanten α, α,..., α n zijn met y = α + α x + α 2 x α n x n. ata-punten zijn nu punten (x, x 2,..., x n, y) R n+ die we kunnen samennemen in een tabel x x 2 y Elke regel in de tabel leidt tot één vergelijking voor de onbekenden α, α,..., α n. Als er meer data-punten zijn dan onbekenden (wat veelal het geval zal zijn), hebben we meer vergelijkingen dan onbekenden, en zal het stelsel in het algemeen strijdig zijn. We kunnen dan weer vragen naar de kleinste kwadraten oplossing atafitting met veeltermen Soms is het duidelijk dat we zeker geen lineair verband tussen x en y moeten zoeken. Het kan zijn dat we eerder een kwadratisch verband y = a + bx + cx 2...

95 Extrema 9 of een derde-graads verband zouden verwachten. Neem aan dat we een veelterm y = a + bx + cx 2 + dx 3 y = a + a x + a 2 x a k x k van graad k zoeken die het best de data-punten (x, y ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ) fit. it leidt tot het lineaire stelsel x x 2 x k a y x 2 x 2 2 x k 2 a = y 2. x n x 2 n x k n a k y n voor de onbekende coëfficiënten a, a,..., a k. Als n > k + dan hebben we meer vergelijkingen dan onbekenden, en we zoeken weer een kleinste kwadraten oplossing voor het stelsel.

96 92 Hoofdstuk Oefeningen Oefening 3. Schets de niveaukrommen van de volgende kwadratische functies en ga na welke functies een maximum of een minimum bereiken in de oorsprong: (a) f(x, y) = 2x 2 y 2 (b) f(x, y) = 3x 2 + 4y 2 (c) f(x, y) = 4 ( x 2 + 5y 2) (d) f(x, y) = 2y 2 x 2 (e) f(x, y) = 2xy (f) f(x, y) = 3x 2 4xy + y 2 (g) f(x, y) = 4x 2 + xy + 5y 2 (h) f(x, y) = 6x 2 + xy 2y 2 (i) f(x, y) = 3x 2 + 7xy y 2 (j) f(x, y) = x 2 + 3xy + 4y 2 Oefening 3.2 Bepaal de kritieke punten van de volgende functies en ga na welke kritieke punten overeenstemmen met extrema: (a) x 2 + 4xy y 2 8x 6y (b) x + y sin(x) (c) x 2 + y 2 + z 2 (d) xy + yz (e) (x + y) e xy (f) (x y) 4 (g) x 2 y 2 (h) 3x 2 4xy + y 2 (i) e (x2 +y 2 +z 2 ) (j) cos(x + y) (k) x 2 + 2y 2 x (l) x 4 + y 2 (m) x 2 y + y 3 y (n) x 3 + x 2 y 3 + y 2 (o) x + y y 2 + z Oefening 3.3 Toon aan (a) 6x + 22y 2x 2 + 2xy 3y 2 8 bereikt een lokaal maximum in (7, 6). (b) x 2 xy + y 2 + 2x + 2y 4 bereikt een lokaal minimum in ( 2, 2). (c) e x2 y 2 2x+4y 5 bereikt een lokaal maximum in (, 2). (d) x 2 y 2 heeft een zadelpunt in (, ). (e) xy heeft een zadelpunt in (, ). Oefening 3.4 Bepaal en klassificeer de kritieke punten van de volgende functies (a) x 3 + y 3 + 3xy (b) x 2 + y 2 4x + 6y + 25 Oefening 3.5 Bepaal het punt of de punten van de volgende oppervlakken die het dichtst bij de oorsprong liggen. (a) 2x y + 2z = 6 (b) xy = z +

97 Extrema 93 Oefening 3.6 Bereken de extrema van de functie f(x, y, z) = x 3 + xy 2 + z onder de voorwaarden x 2 + y 2 = en z = 2. Oefening 3.7 Vind de extreme waarden van f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 onder de condities dat x y = en y + z =. Oefening 3.8 Bepaal de extrema van de volgende functies f(x, y) onder de gegeven nevenvoorwaarde h(x, y) = c. (a) f(x, y) = x 2 + y 2, h(x, y) = x 4 + y 4, c = ; (b) f(x, y) = x 3 + y 3, h(x, y) = x 2 + y 2, c = ; (c) f(x, y) = 6 4x 3y, h(x, y) = x 2 + y 2, c = ; (d) f(x, y) = x 2 + y 2, h(x, y) = 4x 3y, c = 6; (e) f(x, y) = xy, h(x, y) = x + y, c = ; (f) f(x, y) = x + 2y, h(x, y) = x 2 + y 2, c = 5; (g) f(x, y) = cos 2 x + cos 2 y, h(x, y) = y x, c = π 4 ; (h) f(x, y) = 5x 2 + 6y 2 xy, h(x, y) = x + 2y, c = 24. Oefening 3.9 Bepaal de extrema van de volgende functies f(x, y, z) onder de gegeven nevenvoorwaarde h(x, y, z) = C. (a) f(x, y, z) = 2 2y + 2z, h(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2, C = 9. (b) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2, waarbij a > b > c >. h(x, y, z) = x2 a + y2 2 b + z2 2 c, C =, 2 Oefening 3. Een bedrijf maakt drie producten A, B en C. Stel dat x het aantal eenheden is dat per dag geproduceerd wordt van product A, y het aantal eenheden van product B en z het aantal eenheden van product C. e opbrengst van deze 3 producten wordt bepaald door de volgende functie: O(x, y, z) = xy 2 z 3x 3y 3z. Per dag worden van de 3 producten samen stuks gemaakt. Welk productieschema maximaliseert de dagopbrengsten? Oefening 3. Een onderneming brengt 2 producten op de markt. Voor de lancering van de producten is een reclamebudget voorzien van Euro. Men veronderstelt dat de verkoop van beide producten positief beïnvloed wordt door de reclame-uitgaven en wel op de volgende manier: q = 5+ 9R en q 2 = 7+ 4R 2 met q i de hoeveelheid die verkocht wordt van product i en R i de reclame-uitgaven voor product i. e prijs van product bedraagt p = 5 Euro. e prijs van product 2 is p 2 = 3 Euro. e variabele kosten v en v 2 zijn 25 resp. (per stuk). e vaste kosten (dus voor de hele productie) bedragen voor de beide producten 5 Euro. Hoe moet men de reclame-uitgaven over de 2 producten verdelen opdat de winst maximaal zou zijn?

98 94 Hoofdstuk 3 Oefening 3.2 Een (vereenvoudigde) student spendeert zijn maandgeld aan 3 dingen: maaltijden in Alma (x keer per maand, 4 Euro per maaltijd), film (x 2 keer per maand, 5 Euro per film) en vervoer (x 3 ritten per maand, 4,5 Euro per rit). e student wil natuurlijk zo weinig mogelijk uitgeven en toch een constant nutsniveau hebben van 2. Hoe verdeelt hij zijn geld optimaal als zijn nutsfunctie de volgende is: U(x, x 2, x 3 ) = x,3 x,5 2 x,2 3? Oefening 3.3 Een bedrijf wil een nieuw product lanceren. Wanneer er R-duizend Euro besteed wordt aan research en P -duizend Euro aan promotie voor het product, zullen er 6R 6 + R + 32P stuks van verkocht worden. Het bedrijf kan het product fabriceren voor 8 + P 2 Euro per stuk en wil het verkopen voor 6 Euro per stuk.. Wat is de maximale winst die dit bedrijf met dit product kan realiseren als er geen budgetaire beperkingen zijn? 2. Het bedrijf wil aan research en promotie samen 32 Euro spenderen. Hoe moeten deze beschikbare middelen verdeeld worden over research en promotie om een maximale winst te realiseren? Wat is dan die maximale winst? (Gebruik de methode van Lagrange) 3. Gebruik de waarde van de Lagrangemultiplicator in 2. om te schatten hoeveel de maximaal haalbare winst zou zijn als er 32 Euro beschikbaar is voor research en promotie. Vergelijk deze schatting met de werkelijk haalbare winst. 4. Stel dat C gelijk is aan het bedrag dat bij maximale winst besteed wordt aan research en promotie samen in het scenario., dus zonder a priori budgetaire beperkingen. Los nu met de methode van Lagrange opnieuw het extremalisatieprobleem op met de randvoorwaarde dat C het bedrag moet zijn dat gezamelijk aan research en promotie gespendeerd wordt. Wat is de waarde van de Lagrangemultiplicator in dit geval? Oefening 3.4 Wat is de maximale inhoud van een balk met zijden evenwijdig aan de x- en y-as, gelegen binnen de ellipsoïde met vergelijking x2 a 2 + y2 b 2 + z2 =? Hierin zijn a >, c2 b > en c >. Vind de extrema van de functie f(x, y, z) = xyz onder de nevenvoorwaar- Oefening 3.5 den x + y + z = 5, en xy + yz + zx = 8. Oefening 3.6 Bepaal maximum of minimum van de gegeven functie f(x, y) onder de gegeven nevenvoorwaarden. (a) Maximum van f(x, y) = x + y als x 2 + y 2. (b) Minimum van f(x, y) = x 2 + y 2 2y + als x e y. (c) Maximum van f(x, y) = x + y als x + 2y en 2x + y. (d) Maximum van f(x, y) = 2x + xy x 2 2y 2 als x + y. (e) Maximum van f(x, y) = 6x + y als x + y 3 en x + 4y 4.

99 Extrema 95 Oefening 3.7 Vind de punten op de kromme in R 3 met vergelijking die het dichtst bij de oorsprong liggen. { x 2 xy + y 2 z 2 = x 2 + y 2 =, Oefening 3.8 Vind de kleinste kwadraten oplossing van de stelsels x + x 2 = 3 (a) x x 2 = 2x x 2 = 2 (b) (c) (d) Oefening 3.9 x + 2x 2 = 3 x x 2 = 2x + x 2 = 6 x + 2x 2 = 3 2x + x 2 2x 3 = 6 x x 3 = 3 x + x 2 = 9 x + x 2 x 3 = 6 x x 2 + x 3 = 5 x 3 = 3x + x 2 2x 3 = 5 3x x 2 + x 3 = (a) Vind het punt op de rechte door de oorsprong opgespannen door (,, ) dat het dichtst ligt bij (4, 5, 6). (b) Vind het punt in het vlak opgespannen door (, 2, ) en (,, 2) dat het dichtst ligt bij (3,, 8). Oefening 3.2 Wat is de kleinste kwadraten oplossing van het lineair stelsel x = b, x = b 2,..., x = b m van m vergelijkingen voor één enkele veranderlijke x? Oefening 3.2 Find de rechte die het best de volgende data fit: (a) (b) (c) x y x 2 3 y x y

100 96 Hoofdstuk 3 Oefening 3.22 Vind voor onderstaande gegevens de beste fit van de vorm y = ae kx. x y Hint: merk op dat ln y = ln a + kx een lineair verband is tussen ln y en x. Oefening 3.23 Vind voor onderstaande gegevens de beste fit van de vorm y = ax k. x y Hint: merk op dat ln y = ln a + k ln x een lineair verband is tussen ln y en ln x. Oefening 3.24 e tijd T die een geoefende loper voor de marathon nodig heeft hangt af van veel factoren zoals lengte, gewicht, leeftijd, trainingsinspanning, enzovoort. Uit studies blijkt dat twee factoren in het bijzonder van belang zijn x is aantal trainingskilometers gedurende de laatste acht weken; x 2 is de leeftijd. Een lineair model veronderstelt dat de tijd T (in minuten) voldoet aan T = α + α x + α 2 x 2. (a) Gebaseerd op de vijf observaties in onderstaande tabel, vind de waarden van α, α en α 2 uit de kleinste kwadratenbenadering. x x 2 T (b) Geef een verwachting voor de marathontijd van een 43-jaar oude loper, die de afgelopen acht weken 72 kilometer getraind heeft. (c) Wat is uw eigen verwachte marathontijd? Oefening 3.25 Vind de kwadratische veelterm y = a + bx + cx 2 dat het best de volgende gegevens fit. x -2-2 y Hoe groot is de afwijking tussen de gegeven y-waarden en de voorspelde y-waarden uit de kleinste-kwadraten fit bij x = 2,,, 2?

101 Hoofdstuk 4 Integraalrekening We behandelen in dit hoofdstuk bepaalde integralen van reële functies van twee en drie veranderlijken. We veralgemenen eerst een aantal begrippen die we reeds invoerden bij de studie van reële functies van één reële veranderlijke. Vervolgens bespreken we een aantal toepassingen van integraalrekening van reële functies van meerdere veranderlijken, zoals de berekening van volumes en oppervlakten. 4. Bepaalde integralen van reële functies van twee veranderlijken We bespreken in deze paragraaf de bepaalde integralen van reële functies van twee veranderlijken. We herhalen eerst het begrip bepaalde integraal voor een reële functie f van één veranderlijke over een interval [a, b]. Herhaling: Bepaalde integraal van een functie van één veranderlijke over [a, b] Zij f een begrensde reële functie van één reële veranderlijke gedefinieerd op het interval [a, b] f : [a, b] R : x f(x). We beschouwen op het interval [a, b] een partitie P = {x, x,..., x n } met x = a en y y a b x a b x Figuur 4.: Ondersom (links) en bovensom (rechts) bij eenzelfde partitie. 97

102 98 Hoofdstuk 4 x n = b en we berekenen bij deze partitie achtereenvolgens een Riemann-som de ondersom en de bovensom n (x k x k )f(c k ), (4.) k= O b a(f, P) = B b a(f, P) = n (x k x k )m k, (4.2) k= n (x k x k )M k, (4.3) k= met c k [x k, x k ] en m k en M k het infimum en het supremum van f over [x k, x k ]. We hebben natuurlijk n Oa(f, b P) (x k x k )f(c k ) Ba(f, b P). k= Wanneer Q een verfijning is van de partitie P, dan geldt O b a(f, P) O b a(f, Q) B b a(f, Q) B b a(f, P). e verzameling van de ondersommen (bovensommen) heeft een supremum (infimum), en we noemen dit supremum (infimum) de onderintegraal O b a(f) (de bovenintegraal B b a(f)): O b a(f) = sup {O b a(f, P) P is een partitie van [a, b]} (4.4) B b a(f) = inf {B b a(f, P) P is een partitie van [a, b]}. (4.5) e functie f is Riemann-integreerbaar over [a, b] wanneer O b a (f) = Bb a (f) In dat geval is de integraal van f over [a, b] gedefinieerd als b a f(x) dx = Oa b (f) = Bb a (f). (4.6) We hebben aangetoond dat de functie f Riemann-integreerbaar is over [a, b] indien f continu is op [a, b]. 4.. Riemann-integraal van een functie van twee veranderlijken We gaan nu het procédé dat we gebruikt hebben bij de definitie van de bepaalde integraal van een reële functie f van één veranderlijke, met name het interval [a, b] verdelen in een aantal deelintervallen en in elk deelinterval de functie benaderen door een constante, gebruiken bij de definitie van de bepaalde integraal van een reële functie van twee reële veranderlijken. Zij f een begrensde reële functie van twee veranderlijken gedefinieerd op een gesloten begrensde deelverzameling van R 2 : f : R : (x, y) f(x, y). Het definitiegebied heeft de oppervlakte S. We verdelen het definitiegebied in deelgebieden (bijvoorbeeld met rechten die evenwijdig zijn met de x-as of de y-as), 2,..., n waarvoor geldt dat de doorsnede ledig is op de randpunten na en de unie van de deelgebieden

103 Integraalrekening 99 z f(p) k z=f(x,y) a c P k d y x b Figuur 4.2: Illustratie van een partitie en de betekenis van een Riemann-som voor functies van twee reële veranderlijken. is. We noteren de oppervlakte van het deelgebied k als S k. We noemen de verzameling P = {, 2,..., n } een partitie van. We kiezen in elk deelgebied k een punt p k en we vormen de som n f( p k ) S k. (4.7) k= (4.7) is een Riemann-som van de functie f over bij de partitie P. Wanneer we nemen m k = inf {f( x) x k }, en M k = sup {f( x) x k }, dan is O (f, P) = de ondersom O (f, P) en B (f, P) = n m k S k k= n M k S k k= de bovensom B (f, P) van f behorende bij de partitie P. Natuurlijk geldt er dat n O (f, P) f( p k ) S k B (f, P). k=

104 Hoofdstuk 4 e stellingen die in deel zijn gegeven voor de ondersommen en de bovensommen van reële functies van één veranderlijke, gelden eveneens voor de ondersommen en de bovensommen van reële functies van meerdere veranderlijken. In het bijzonder geldt dat de verzameling {O (f, P) P is een partitie van }, naar boven begrensd is, en dat de verzameling {B (f, P) Pis een partitie van }, naar onder begrensd is. eze twee verzamelingen bezitten bijgevolg respectievelijk een supremum en een infimum. We noemen dit supremum de onderintegraal O (f) en dit infimum de bovenintegraal B (f): O (f) = sup {O (f, P) P is een partitie van } (4.8) B (f) = inf {B (f, P) P is een partitie van }. (4.9) Natuurlijk geldt dat O (f) B (f). efinitie: Een begrensde reële functie f van twee veranderlijken x en y is Riemannintegreerbaar over (of kortweg integreerbaar) indien O (f) = B (f). Als de functie Riemann-integreerbaar is, dan wordt de integraal van f over gedefinieerd als de gemeenschappelijke waarde van de bovenintegraal en de onderintegraal, en deze gemeenschappelijke waarde wordt genoteerd als f(x, y) dx dy Meetkundige interpretatie Indien f niet-negatief is, zodat voor elke f( x) voor elke x, dan kunnen we f( p k ) S k beschouwen als het volume V k van een cilindervormig lichaam met grondvlak k in het xy-vlak en met hoogte f( p k ), zodat n f( p k ) S k = k= n V k. k= Wanneer we de limiet n nemen vinden we dat f(x, y) dx dy = V, met V het volume van het lichaam met grondvlak in het xy-vlak en langs boven begrensd door het oppervlak z = f(x, y), dat wil zeggen door de grafiek van f.

105 Integraalrekening 4..3 Eigenschappen Zoals voor bepaalde integralen van reële functies van één veranderlijke gelden volgende stellingen voor bepaalde integralen van reële functies van twee veranderlijken. Stelling 4.: Als de reële functie f van de twee veranderlijken x en y continu is over de gesloten en begrensde deelverzameling van R 2 dan is f Riemann-integreerbaar over. Stelling 4.2: Indien f(x, y) en g(x, y) reële functies zijn van de twee veranderlijken x en y zijn die Riemann-integreerbaar zijn over een gebied R 2 dan geldt dat {f(x, y) + g(x, y)} dxdy = f(x, y) dxdy + g(x, y) dxdy, rf(x, y) dxdy = r Indien P = {, 2,..., n } een partitie is van dan geldt f(x, y) dxdy = (4.) f(x, y) dxdy. (4.) n k= k f(x, y) dxdy. (4.2) 4.2 Herhaalde integralen e gegeven definitie kan in principe gebruikt worden om de integraal f(x, y) dxdy te berekenen. In de praktijk is deze berekeningswijze zeer omslachtig. We geven om deze reden een andere berekeningswijze met behulp van herhaalde integralen. Een gesloten en begrensde deelverzameling van R 2 wordt regulier genoemd in de y- richting indien de doorsnede van met een willekeurige rechte evenwijdig aan de y-as leeg is of gelijk is aan een interval. Het interval mag hierbij ook uit slechts één punt bestaan. Net zo is regulier in de x-richting indien de doorsnede van met een willekeurige rechte evenwijdig aan de x-as leeg is of gelijk aan een interval. Een gebied dat regulier is in de y-richting kan door middel van volgende ongelijkheden : a x b, ϕ (x) y ϕ 2 (x) (4.3) beschreven worden. Hierin zijn a en b de uiterste waarden waartussen x zich kan bevinden. Bij vaste x [a, b] is de doorsnede van met de verticale rechte {(x, y) y R} een interval. e grenzen van het interval hangen af van x. Ze worden gegeven door de functies ϕ (x) en ϕ 2 (x). e kromme met vergelijking y = ϕ (x) is het onderste gedeelte van de rand van en de kromme met vergelijking y = ϕ 2 (x) is het bovenste gedeelte. In het geval dat regulier is in de x-richting kunnen we beschreven met ongelijkheden van de vorm : c y d, ψ (y) x ψ 2 (y) (4.4)

106 2 Hoofdstuk 4 y d ϕ y= (x) 2 y E a c b y= (x) ϕ x x Figuur 4.3: Het gebied is regulier in de y-riching en in de x-riching, het gebied E niet. waarin [c, d] het gesloten interval waartoe de y-coördinaat van een punt van behoort. efinitie: Indien regulier is in de y-richting en gegeven wordt door de ongelijkheden (4.3) dan definiëren we de herhaalde integraal van de functie f over als { b } ϕ2 (x) f(x, y) dy dx (4.5) a ϕ (x) We berekenen de herhaalde integraal (4.5) door eerst voor elke vaste x [a, b] de integraal F (x) = ϕ2 (x) ϕ (x) f(x, y) dy, te berekenen. it wil zeggen dat we f(x, y) bij vaste x naar y integreren tussen de grenzen ϕ (x) en ϕ 2 (x). Het resultaat is een waarde F (x) die afhangt van x [a, b]. Vervolgens wordt de bekomen functie F (x) naar x geïntegreeerd tussen de grenzen a en b. We merken op dat bij vaste x, z = f(x, y) een kromme bepaalt in het yz-vlak. F (x) is de oppervlakte onder deze kromme tussen y = ϕ (x) en y = ϕ 2 (x). Voor gebieden die regulier zijn in de x-richting hebben we de analoge definitie. efinitie: Indien regulier is in de x-richting en gegeven wordt door de ongelijkheden (4.4) dan definiëren we de herhaalde integraal van de functie f over als { d } ψ2 (y) f(x, y) dx dy. (4.6) c ψ (y) Riemann-integraal en herhaalde integraal Een belangrijk resultaat is dat voor continue functies de herhaalde integraal over een regulier gebied gelijk is aan de Riemann-integraal. We formuleren dit resultaat hier zonder bewijs.

107 Integraalrekening 3 Stelling 4.3: Indien de functie f continu is op het gebied gegeven door (4.3) dan geldt { b } ϕ2 (x) f(x, y) dxdy = f(x, y) dy dx (4.7) a ϕ (x) Indien gegeven wordt door de ongelijkheden (4.4) dan geldt { d } ψ2 (y) f(x, y) dxdy = f(x, y) dx dy. (4.8) c ψ (y) e integraal van f over kan berekend worden door herhaalde integratie van functies van één veranderlijke. We illustreren het voorgaande met enkele voorbeelden. Voorbeeld 4.: We bereken f(x, y) dxdy met f(x, y) = x + y en y = {(x, y) x y }. x Figuur 4.4: Het gebied van Voorbeeld 4.. Het gebied is aangegeven in Figuur 4.4. Het gebied is regulier in zowel de y-richting als de x-richting. e integraal is dus op twee manieren te schrijven als een herhaalde integraal. We kiezen hier voor de beschrijving van door x en x y. e integraal over is dan een herhaalde integraal als volgt { } f(x, y) dxdy = (x + y) dy dx. x

108 4 Hoofdstuk 4 e binnenste integraal is x (x + y) dy = ] [xy + y2 = 3 2 x 2 x2 + x + 2, zodat f(x, y) dxdy = y { 3 2 x2 + x + } 2 dx = 2. x Figuur 4.5: Het gebied van Voorbeeld 4.2. Voorbeeld 4.2: We berekenen f(x, y) dxdy met f(x, y) = x 2 + y 2 en = {(x, y) x en y x 2 }. Het gebied is aangegeven in Figuur 4.5. Het is regulier in beide richtingen. We nemen x en y x 2. an f(x, y) dxdy = = { } x 2 (x 2 + y 2 ) dy dx = (x x6 ) [ x 5 dx = 5 + x7 2 ] { [ x 2 y + 3 y3 = ] x 2 } dx Voorbeeld 4.3: We berekenen f(x, y) dxdy met f(x, y) = + x + y en het gedeelte van het xy-vlak begrensd door y = x, y = x 2 en y = 2. Het gebied is aangegeven in Figuur 4.6.

109 Integraalrekening 5 y x Figuur 4.6: Het gebied van Voorbeeld 4.3. We splitsen de integraal op in twee gedeelten f(x, y) dxdy = f(x, y) dxdy + 2 f(x, y) dxdy, met en 2 gegeven door voor : 2 x : x y 2, voor 2 : x 2 : x 2 y 2. Bijgevolg waarin en dus Net zo is met zodat 2 x f(x, y) dxdy = 2 f(x, y) dxdy = ( + x + y) dy = 2 2 f(x, y) dxdy = x 2 ( + x + y) dy = 2 f(x, y) dxdy = 2 { 2 } ( + x + y) dy dx, x ] 2 [( + x)y + y2 = 4 + 3x + x2 2 x 2, (4 + 3x + x2 2 ) dx = 2 ] 2 [( + x)y + y2 2 x 2 2 [4x + 32 ] x2 + x3 = { 2 } ( + x + y) dy dx, x 2 = 4 + 2x x 2 x 3 x4 2, ) (4 + 2x x 2 x 3 x4 2 dx = ] [4x + x 2 x3 3 x4 4 x5 2 =

110 6 Hoofdstuk 4 Uiteindelijk vinden we f(x, y) dxdy = =. 5 5 y 2 2 x Figuur 4.7: Het gebied van Voorbeeld 4.4. Voorbeeld 4.4: We berekenen f(x, y) dxdy met f(x, y) = x x 2 +y 2 en het gebied van het xy-vlak ingesloten door de krommen y = x en y = x2 2. Het gebied is aangegeven in Figuur 4.7. Het gebied is regulier in beide richtingen. Het blijkt dat in dit voorbeeld de berekening het eenvoudigst is als we de regulariteit van in de x-richting gebruiken. We hebben zodat e binnenste integraal is 2y y y 2 en y x 2y, x x 2 + y 2 dxdy = 2 { 2y y } x x 2 + y 2 dx x x 2 + y 2 dx = 2y d(x 2 + y 2 ) 2 y x 2 + y 2 = [ ln(x 2 + y 2 ) ] 2y = [ln(y + 2) ln(2y)]. 2 y 2 dy. it levert x x 2 + y 2 dxdy = 2 2 [ln(y + 2) ln(2y)] dy = 2 [(y + 2) ln(y + 2) (y + 2) y ln(2y) + y]2 = ln 2.

111 Integraalrekening 7 We hebben tot nog toe steeds reguliere gebieden beschouwd. Indien een gebied is dat niet regulier is in één van de richtingen, dan kunnen we opsplitsen in een aantal gebieden, 2,..., n die wel regulier zijn in de x- of y-richting. Natuurlijk geldt dat n f(x, y) dxdy = k= k f(x, y) dxdy. Elke integraal f(x, y) dxdy kan vervolgens worden berekend met een herhaalde integraal. k We illustreren dit met een voorbeeld. y x - -2 Figuur 4.8: Het gebied van Voorbeeld 4.5. Voorbeeld 4.5: We berekenen f(x, y) dxdy met f(x, y) = x 2 en = {(x, y) 2 x 2, 2 y 2} \ {(x, y) < x <, < y < }, Het gebied is aangegeven in Figuur 4.8. We verdelen in vier gebieden die regulier zijn in de y-richting. : 2 x, 2 y 2, 2 : x, y 2, 3 : x, 2 y, 4 : x 2, 2 y 2.

112 8 Hoofdstuk 4 e integralen over deze vier reguliere gebieden worden door herhaalde integratie uitgerekend. { 2 } f(x, y) dxdy = x 2 [ dy dx = x 2 y ] 2 2 dx [ ] 4x = 4 x 2 3 dx = = , { 2 } f(x, y) dxdy = x 2 [ dy dx = x 2 y ] 2 dx 2 [ ] x = x 2 3 dx = = 2 3 3, { } f(x, y) dxdy = x 2 [ dy dx = x 2 y ] 2 dx = x 2 dx = 2 2 3, 3 2 { 2 } f(x, y) dxdy = x 2 dy dx = 28 3, 4 zodat x 2 dxdy = = Toepassingen van bepaalde integralen van reële functies van twee veranderlijken We bespreken een aantal toepassingen van bepaalde integralen van reële functies van twee veranderlijken Berekening van de oppervlakte van een gebied in het xy-vlak Zij een gebied in het xy-vlak begrensd door de krommen K : y = ϕ (x) met a x b en K 2 : y = ϕ 2 (x) met a x b. e oppervlakte van het gebied is gelijk aan de integraal over van de constante functie. us S = dxdy, (4.9) e oppervlakte kan met herhaalde integratie worden uitgerekend. { b } ϕ2 (x) b S = dxdy = dy dx = ϕ 2 (x) dx a ϕ (x) a b a ϕ (x) dx. Voorbeeld 4.6: We berekenen de oppervlakte van het gebied omsloten door de rechte y = x en de parabool y = 2 x 2 met behulp van dxdy. e snijpunten van de rechte y = x met de parabool y = 2 x 2 zijn ( 2, 2) en (, ). We hebben bijgevolg 2 x en ϕ (x) = x en ϕ 2 (x) = 2 x 2.

113 Integraalrekening 9 y ϕ y= (x) 2 a ϕ y= (x) b Figuur 4.9: Berekening van de oppervlakte van een gebied in het xy-vlak. y 2 x -2 2 x -2 Figuur 4.: Berekening van de oppervlakte van een gebied in het xy-vlak (Voorbeeld 4.6). us S = dxdy = { 2 x 2 2 x dy } dx = 2 (2 x x 2 ) dx = 9 2. Voorbeeld 4.7: We berekenen de oppervlakte van het gebied omsloten door de rechte y = x en de parabool y = x 2. We hebben x en x 2 y x. us S = dxdy = { x x 2 } dy dx = ( x x 2 ) dx = 6.

114 Hoofdstuk 4 y - x Figuur 4.: Berekening van de oppervlakte van een gebied in het xy-vlak (Voorbeeld 4.7) Berekening van volumes We hebben bij de definitie van f(x, y) dxdy reeds vermeld dat voor functies f waarvoor geldt dat f( x) voor alle x de integraal f(x, y) dxdy het volume is van het lichaam met grondvlak en begrensd door het oppervlak z = f(x, y), dus V = f(x, y) dxdy. (4.2) Indien f(x, y) zowel positieve als negatieve waarden aanneemt op dan geldt V = f(x, y) dxdy. (4.2) Het volume van het gedeelte van de driedimensionale ruimte dat langs onder wordt begrensd door het oppervlak z = ϕ (x, y) en langs boven door het oppervlak z = ϕ 2 (x, y) wordt gegeven door V = [ϕ 2 (x, y) ϕ (x, y)] dxdy. (4.22) is het definitiegebied van ϕ (x, y) en ϕ 2 (x, y). Natuurlijk moet ϕ (x, y) ϕ 2 (x, y) voor alle (x, y). Het gebied kan ook gezien worden als de projectie van het beschouwde gedeelte van R 3 op het xy-vlak. Voorbeeld 4.8: We berekenen het volume van het lichaam begrensd door de vlakken x =, y =, z = en x + y + z =. Hier is V = f(x, y) dxdy, met f(x, y) = x y,

115 Integraalrekening z z= ϕ2 (x,y) ϕ z= (x,y) y x Figuur 4.2: Illustratie bij de berekening van een volume. z y x+y+z= x+y= x x+y= y x Figuur 4.3: Berekening van de inhoud (Voorbeeld 4.8). en = {(x, y) x, y x}.

116 2 Hoofdstuk 4 us V = = f(x, y) dxdy = ] x [y xy y2 2 { x dx = 2 } ( x y) dy dx (x ) 2 dx = 6 [ (x ) 3 ] = z y x.6.8 Figuur 4.4: Berekening van de inhoud (Voorbeeld 4.9). Voorbeeld 4.9: We berekenen het volume van het gedeelte van de driedimensionale ruimte begrensd door de vlakken x =, y =, x =, y = 2, z = en z = x 2 + y 2 (zie Figuur 4.4). We hebben V = f(x, y) dxdy, met en e integraal is f(x, y) = x 2 + y 2 = {(x, y) x, y 2}. V = { 2 } (x 2 + y 2 ) dy dx = 3.

117 Integraalrekening Transformatie van coördinaten e berekening van x x 2 +y 2 dxdy is relatief ingewikkeld in het (x, y)-coördinatenstelsel, maar eenvoudig in het poolcoördinatenstelsel (zie Voorbeeld 4.3). We bespreken om deze reden transformaties van coördinaten bij bepaalde integralen van reële functies van twee veranderlijken. x a ϕ b t Figuur 4.5: e functie ϕ(t). t t 2 Herhaling: integralen van functies van veranderlijke We herhalen eerst de substitutiemethode bij bepaalde integralen van reële functies van één veranderlijke. Zij f een reële functie van één veranderlijke die Riemann-integreerbaar is op [a, b] zodat b bestaat. We gebruiken de bijectieve functie ϕ a f(x) dx (4.23) ϕ : [t, t 2 ] [a, b] : t ϕ(t), waarvan de afgeleide functie dϕ dt bestaat en continu is en waarvoor geldt dat ϕ(t ) = a en ϕ(t 2 ) = b om de bepaalde integraal (4.23) te herschrijven als b a f(x) dx = t2 t f(ϕ(t)) dϕ dt dt. (4.24) e functie ϕ(t) is aangegeven in Figuur Transformatie van coördinaten voor twee veranderlijken We gebruiken nu hetzelfde schema voor coördinatentransformatie bij bepaalde integralen van reële functies van twee veranderlijken. We vertrekken van f(x, y) dxdy, (4.25) met een gesloten en begrensd deel van R 2.

118 4 Hoofdstuk 4 We gebruiken twee reële functies ϕ(u, v) en ψ(u, v) die gedefinieerd zijn op een gesloten begrensd gebied in R 2 ϕ : R : (u, v) ϕ(u, v), (4.26) ψ : R : (u, v) ψ(u, v), (4.27) om een - duidig verband vast te leggen tussen de punten p = (x, y) en p = (u, v) volgens het voorschrift dat { x = ϕ(u, v), (4.28) y = ψ(u, v). Het - verband is aangegeven in Figuur 4.6. v u=c y u=c P v=c 2 P v=c 2 u x Figuur 4.6: e functies ϕ(u, v) en ψ(u, v). We veronderstellen dat de partiële afgeleiden van ϕ(u, v) en ψ(u, v) van de eerste orde bestaan en continu zijn. We kunnen f(x, y) herschrijven in de nieuwe coördinaten u en v als Nu geldt per definitie en volgens (4.29) f(x, y) = f(ϕ(u, v), ψ(u, v)) = F (u, v). (4.29) f(x, y) dxdy = lim f(x, y) dxdy = lim n k= n k= n f( p k ) S k, n F ( p k ) S k. (4.3) We willen het rechterlid van (4.3) schrijven als de integraal over van een nog nader te bepalen functie van u en v. In de som moet dan zeker S k voorkomen in plaats van S k. S k is de oppervlakte van het k-de deelgebied van de partitie van ; S k is de oppervlakte van het overeenstemmende k-de deelgebied van de partitie. We berekenen daarom het verband tussen S k en S k voor n +, dit is voor S k en S k. We berekenen bijgevolg S k lim. S k We bepalen een partitie van met evenwijdigen aan de coördinatenassen zoals aangegeven in Figuur 4.7. We laten voor de eenvoud van notatie bij de berekening van de opgegeven limiet de index k weg. We hebben dan S k S = u v.

119 Integraalrekening 5 v v v+ v P 4 P 3 S P P 2 y P4 S P P 3 P 2 u u+ u u x Figuur 4.7: Het verband tussen S k en S k. e punten p, p 2, p 3 en p 4 hebben coördinaten: p (u, v ), p 2 (u + u, v ), p 3 (u + u, v + v), p 4 (u, v + v). e coördinaten van de punten p, p 2, p 3 en p 4 zijn dan { x = ϕ(u, v ), y = ψ(u, v ), x 2 = ϕ(u + u, v ) = ϕ(u, v ) + ϕ u u + (4.3) y 2 = ψ(u + u, v ) = ψ(u, v ) + ψ u u + (4.32) x 3 = ϕ(u + u, v + v) = ϕ(u, v ) + ϕ ϕ u u + v v + (4.33) y 3 = ψ(u + u, v + v) = ψ(u, v ) + ψ ψ u u + v v + x 4 = ϕ(u, v + v) = ϕ(u, v ) + ϕ v v + y 4 = ϕ(u, v + v) = ϕ(u, v ) + ψ v v + (4.34) We hebben in de reeksontwikkelingen in (4.32), (4.33) en (4.34) alle termen van de tweede en hogere orde in u, v verwaarloosd. e oppervlakte S is dan tot op eerste orde gelijk aan de oppervlakte van de vierhoek met de hoekpunten p, p 2, p 3, p 4 en deze is ( ϕ = ϕ u + u v v ( ϕ u = det ψ v ϕ v ϕ u ψ u ϕ v ψ v ) ψ v v ) ψ u u v u v ( ψ ψ u + u v v ) ϕ v v met = J(u, v) S (4.35) ϕ J(u, v) = det u ψ u ϕ v ψ, (4.36) v

120 6 Hoofdstuk 4 de determinant van Jacobi, of ook wel Jacobiaan, van de functies ϕ en ψ. uit (4.35) dan S lim S S = J(u, v). We kunnen (4.3) dan schrijven als f(x, y) dxdy = lim = n + k= n F ( p k ) J( p k ) S k F (u, v) J(u, v) dudv We hebben = f(ϕ(u, v), ψ(u, v)) J(u, v) dudv. We hebben bijgevolg bij overgang van de coördinaten (x, y) naar coördinaten (u, v) dat f(x, y) dxdy = f(ϕ(u, v), ψ(u, v)) J(u, v) dudv (4.37) y P(x,y) P( ρ, θ) ρ θ Figuur 4.8: Overgang van Cartesische coördinaten naar poolcoördinaten. x Overgang van Cartesische coördinaten naar poolcoördinaten We gebruiken (4.37) bij de overgang van Cartesische coördinaten naar poolcoördinaten. We hebben { x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, e Jacobiaan is J(ρ, θ) = x ρ y ρ x θ y θ = cos θ sin θ ρ sin θ ρ cos θ = ρ,

121 Integraalrekening 7 zodat we de berekening van de integraal in Cartesische coördinaten kunnen herleiden tot de berekening van een integraal in poolcoördinaten volgens f(x, y) dxdy = f(ρ cos θ, ρ sin θ) ρ dρdθ (4.38) Voorbeelden Voorbeeld 4.: We berekenen x x 2 +y 2 dxdy met = {(x, y) x, y, x 2 + y 2 }. We gaan over op poolcoördinaten. We hebben en het gebied gaat over in het gebied Bijgevolg is vanwege (4.38) x = cos θ, x 2 + y2 = {(ρ, θ) ρ, θ π/2}. x x 2 + y dxdy = 2 cos θ ρ dρdθ = π 2 cos θ dθ ρ dρ = 2. We gebruiken coördinatentransformaties ook om integralen te herleiden tot integralen over integratiegebieden met constante grenzen. We illustreren dit in het volgende voorbeeld. y 2 v x 2 u Figuur 4.9: Het gebied van Voorbeeld 4. en de coördinatentransformatie. Voorbeeld 4.: We berekenen y+x y x dxdy met het deel van het platte vlak begrensd door de rechten y + x =, y + x = 2, y x = en y x = 2. Het gebied is aangegeven in Figuur 4.9. We definiëren nieuwe coördinaten u en v als { { u = y + x x = 2 (u v), v = y x y = 2 (u + v).

122 8 Hoofdstuk 4 Het integratiegebied wordt bepaald door de rechten u =, u = 2, v = en v = 2. Het gebied is ook aangegeven in Figuur 4.9. e partiële afgeleiden van de coördinaatfuncties zijn x u = 2, x v = 2, y u = 2, y v = 2, zodat J(u, v) = x u y u x v y v = 4 = 2. e integraal over transformeert bijgevolg tot een integraal over als volgt: y + x y x dxdy = u v 2 dudv = 2 2 { 2 } u v du dv = 3 ln z y x Figuur 4.2: Het volume van Voorbeeld 4.2. Voorbeeld 4.2: We berekenen het volume van het deel van de driedimensionale ruimte boven het xy-vlak, onder het oppervlak z = 3 x 2 2y 2 en binnen de cilinder x 2 + y 2 =. Een vierde deel van dit gebied is aangegeven in Figuur 4.2. We hebben V = (3 x 2 2y 2 ) dxdy,

123 Integraalrekening 9 met de cirkelschijf met de oorsprong als middelpunt en als straal. poolcoördinaten. We hebben V = (3 ρ 2 cos 2 θ 2ρ 2 sin 2 θ) ρ dρ dθ We gaan over op = 2π { } dθ (3 2ρ 2 + ρ 2 cos 2 θ) ρ dρ = 9π Toepassing: e Gaussische integraal e Gaussische functie f : R R : x f(x) = e x2 treedt veel op in kansrekening en statistiek. Een integraal van f is niet eenvoudig uit te rekenen. e primitieve van f is namelijk niet uit te drukken in elementaire functies. Het blijkt echter dat de integraal van f over de hele R wel expliciet uit te rekenen is. We maken hierbij gebruik van de theorie van meervoudige integratie. We zijn dus geïnteresseerd in de oneigenlijke integraal I = e x2 dx. Hiervan nemen we het kwadraat ( ) ( ) I 2 = e x2 dx e y2 dy, die we kunnen schrijven als herhaalde integraal { I 2 = { = } e x2 e y2 dy } e (x2 +y 2) dy eze herhaalde integraal is gelijk aan de tweedimensionale integraal over de ruimte R 2 I 2 (x = e 2 +y 2) dxdy. R 2 Vervolgens gaan we over op poolcoördinaten. e ruimte R 2 wordt beschreven in poolcoördinaten door r < en θ 2π. us { 2π } I 2 = e r2 r dφ dr = 2π = π = π. We vinden hieruit het mooie resultaat e r2 r dr [ e r2] dx dx. e x2 dx = π. (4.39)

124 2 Hoofdstuk 4 Leid zelf af dat geldt Hierin is µ R en σ >. e (x µ)2 2σ 2 dx = 2πσ. 4.5 Bepaalde integralen van reële functies van drie veranderlijken Bepaalde integralen van reële functies van drie veranderlijken worden op analoge wijze ingevoerd als bepaalde integralen van reële functies van twee veranderlijken, zie paragraaf 4.. Zij f een begrensde reële functie van drie veranderlijken gedefinieerd op een gesloten en begrensde deelverzameling van R 3. Het definitiegebied heeft volume V. Een partitie van is een verzameling deelgebieden P = {, 2,..., n } waarvoor geldt dat de doorsnede leeg is op de randpunten na en de unie van de gebieden k is. Het volume van het deelgebied k is V k. We kiezen in elk deelgebied k een punt p k k. an is de som n f( p k ) V k. (4.4) een Riemann-som van de functie f behorende bij de partitie P. Als en dan is k= m k = inf {f( x) x k }, f( p k ) = M k = sup {f( x) x k }, n m k V k k= de ondersom O (f, P) van f behorende bij P en n M k V k k= bovensom B (f, P). e onderintegraal O (f) en de bovenintegraal B (f) van f over zijn gedefinieerd als O (f) = sup {O (f, P) P is een partitie van } (4.4) Er geldt dat efinitie: B (f) = inf {B (f, P) P is een partitie van }. (4.42) O (f) B (f). Een begrensde functie f van de drie veranderlijken x, y en z is Riemannintegreerbaar over indien O (f) = B (f). Als de functie Riemannintegreerbaar is, dan wordt de integraal van f over gedefinieerd als de gemeenschappelijke waarde van de bovenintegraal en de onderintegraal, en deze gemeenschappelijke waarde wordt genoteerd als f(x, y, z) dxdydz. (4.43) e integraal (4.43) kan berekend worden met drievoudige herhaalde integralen.

125 Integraalrekening 2 z y x xy Figuur 4.2: rievoudige herhaalde integralen rievoudige herhaalde integralen Een gesloten begrensde deelverzameling van R 3 wordt regulier genoemd in de z-richting indien elke rechte evenwijdig met de z-as het gebied doorsnijdt in een interval of een lege doorsnede heeft met. Neem aan dat regulier is in de z-richting, met projectie xy in het xy-vlak. an kan beschreven worden door (x, y) xy, ϕ (x, y) z ϕ 2 (x, y). xy is een deel van R 2 en we veronderstellen dat xy regulier is in de y-richting. an wordt xy beschreven door ongelijkheden xy : a x b, ψ (x) y ψ 2 (x). We kunnen het gebied dan als volgt beschrijven a x b, : ψ (x) y ψ 2 (x), ϕ (x, y) z ϕ 2 (x, y). (4.44) We definiëren de drievoudige herhaalde integraal van de functie f over het gebied gegeven door (4.44) als { b [ ψ2 (x) ] } ϕ2 (x,y) f(x, y, z) dz dy dx. a ψ (x) ϕ (x,y)

126 22 Hoofdstuk 4 e drievoudige integraal wordt uitgerekend door eerst bij vaste x en y de integraal F (x, y) = ϕ2 (x,y) ϕ (x,y) f(x, y, z) dz uit te rekenen. e waarde van de integraal hangt af van x en y en definieert een functie F (x, y). eze functie wordt vervolgens bij vaste waarde van x naar de veranderlijke y geïntegreerd G(x) = ψ2 (x) ψ (x) F (x, y) dy. Het resultaat is een functie G van x. eze functie wordt tenslotte naar x geïntegreerd. b a G(x) dx. Net als voor bepaalde integralen voor functies van twee veranderlijken, kan nu aangetoond worden dat voor een continue functie f geldt f(x, y, z) dxdydz = b a { [ ψ2 (x) ] } ϕ2 (x,y) f(x, y, z) dz dy dx. (4.45) ψ (x) ϕ (x,y) e driedimensionale integraal is dus gelijk aan een drievoudig herhaalde integraal. Merk op dat we bij de overgang naar herhaalde integralen de coördinaten x, y en z van rol kunnen laten wisselen. Als bijvoorbeeld gegeven wordt door de ongelijkheden c y d, : f (y) z f 2 (y), g (y, z) x g 2 (y, z), dan geldt uiteraard f(x, y, z) dxdydz = d c { [ f2 (y) ] g2 (y,z) f(x, y, z) dx f (y) g (y,z) dz } dy. Het volume V van een gebied wordt gegeven door V = dxdydz Indien een gebied is van R 3 dat beschreven kan worden door de ongelijkheden uit (4.44) dan geldt { b [ ψ2 (x) ] } ϕ2 (x,y) V = dz dy dx. a ψ (x) ϕ (x,y)

127 Integraalrekening 23 z ϕ z= (x,y) 2 ϕ z= (x,y) b x c a y ψ ψ y= (x) y= (x) Figuur 4.22: Riemann-integraal en drievoudige integraal. 2 Voorbeeld 4.3: We berekenen z. We hebben zodat x 2 dxdydz met het gedeelte van R 3 vastgelegd door x 2 + y 2 + z 2 en f(x, y, z) dxdydz = x, : x 2 y x 2, z x 2 y 2, = { [ + x 2 ] } x 2 y 2 x 2 dz dy dx x Transformatie van coördinaten e berekening van een drievoudige integraal π 2 ( x2 )x 2 dx = 2π 5. f(x, y, z) dxdydz kan in bepaalde gevallen worden vereenvoudigd door over te gaan naar nieuwe coördinaten. We gebruiken de volgende functies gedefinieerd op een deelverzameling van R 3 : ϕ : R : (u, v, w) ϕ(u, v, w), (4.46)

128 24 Hoofdstuk Figuur 4.23: Het gebied van Voorbeeld 4.5. ψ : R : (u, v, w) ψ(u, v, w), (4.47) χ : R : (u, v, w) χ(u, v, w), (4.48) om een - duidig verband vast te leggen tussen de punten p = (x, y, z) en p = (u, v, w) volgens het voorschrift x = ϕ(u, v, w), y = ψ(u, v, w), z = χ(u, v, w). Zoals voor dubbele integralen kunnen we aantonen dat f(x, y, z) dxdydz = (4.49) f(ϕ(u, v, w), ψ(u, v, w), χ(u, v, w)) J(u, v, w) du dv dw, (4.5) met J(u, v, w) de Jacobiaan van de functies ϕ, ψ en χ: ϕ u J(u, v, w) = ψ u χ u ϕ v ψ v χ v ϕ w ψ w. (4.5) χ w We gebruiken (4.5) en (4.5) bij de overgang van Cartesische coördinaten naar cilindercoördinaten en bolcoördinaten.

129 Integraalrekening 25 z P(x,y,z) P( ρ, θ,z) θ ρ y x Figuur 4.24: Cilindercoördinaten. Overgang van Cartesische coördinaten naar cilindercoördinaten We hebben in het geval van cilindercoördinaten (ρ, θ, z) x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, z = z. (4.52) e Jacobiaan is J(ρ, θ, z) = x ρ y ρ z ρ x θ y θ z θ x z y z z z = cos θ ρ sin θ sin θ ρ cos θ = ρ. e integraal in cilindercoördinaten wordt daarmee f(x, y, z) dxdydz = f(ρ cos θ, ρ sin θ, z) ρ dρ dθ dz. (4.53) Overgang van Cartesische coördinaten naar bolcoördinaten We hebben in het geval van bolcoördinaten (r, θ, ϕ) x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ. (4.54)

130 26 Hoofdstuk 4 z θ r P(x,y,z) P(r, θ, ϕ ) y ϕ x Figuur 4.25: Bolcoördinaten. e Jacobiaan is nu J(r, θ, ϕ) = = x x x r θ ϕ y y y r θ ϕ z z z r θ ϕ sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ r sin θ sin ϕ sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ cos θ r sin θ = r 2 sin θ. (4.55) e integraal in bolcoördinaten is dus f(x, y, z) dxdydz = f(r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ) r 2 sin θ dr dθ dϕ. (4.56) Voorbeeld 4.4: We berekenen (x 2 + y 2 + z 2 ) dxdydz met = {(x, y, z) x 2 + y 2, z 4 x 2 y 2 }. We gaan over op cilindercoördinaten (ρ, θ, z) = {(ρ, θ, z) z 4 ρ 2, ρ, θ 2π}.

131 Integraalrekening 27 4 z y x.5 Figuur 4.26: Het gebied van Voorbeeld 4.4. an (x 2 + y 2 + z 2 ) dxdydz = 2π { [ ] } 4 ρ 2 ρ(ρ 2 + z 2 ) dz dρ dθ = 65 4 π. Voorbeeld 4.5: We berekenen (x 2 + y 2 ) dxdydz met = {(x, y, z) x 2 + y 2 + z 2, x 2 + y 2 z 2, z }. We gaan over op bolcoördinaten (r, θ, ϕ) zodat = {(r, θ, ϕ) ϕ 2π, θ π } 4, r. e integraal wordt in bolcoördinaten (x 2 + y 2 ) dxdydz = = 2π r 4 sin 3 θ dr dθ dϕ π 4 dϕ sin 3 θ dθ r 4 dr = π. 3

132 28 Hoofdstuk z y x Figuur 4.27: Het gebied van Voorbeeld 4.5.

133 Integraalrekening Oefeningen Oefening 4. (a) (b) (c) (d) x ln 2 Schets het integratiegebied in R 2 en bereken de integraal: (3x 2y) dxdy ( + x 2 y 2 ) dxdy x 2 (2x 5y) dydx y 2xe y dxdy (e) π/2 y y sin x cos y dxdy Oefening 4.2 Bepaal de integratiegrenzen in f(x, y) dxdy als gegeven wordt door = {(x, y) R 2 y x, x, y }. Oefening 4.3 Oefening 4.4 Keer de integratievolgorde om in { y y 2 f(x, y) dx Bereken f(x, y) dxdy met: } dy. (a) f(x, y) = xy 2 + x 2 y, = { (x, y) R 2 x, y 2 }, (b) f(x, y) = e x/y, = { (x, y) R 2 x, x y }, (c) f(x, y) = x y, = { (x, y) R 2 x, x 2 y 2 x 2}, (d) f(x, y) = xy, = {(x, y) R 2 x π } 4, sin x y cos x, { (e) f(x, y) =, = (x, y) R 2 x 4, x2 y } x, { (f) f(x, y) = 4 x 2 y 2, = (x, y) R 2 x, y 3 }, 2 (g) f(x, y) = + x, = { (x, y) R 2 x 2, x y x 2 + }, (h) f(x, y) = cos(x + y), = het trapezium met als hoekpunten ( π/2, ), (π/2, ), ( π, π/2) en (π, π/2), (i) f(x, y) = x 2 y, = { (x, y) R 2 x, x 2 y x }, (j) f(x, y) = xy, = het gedeelte van het xy-vlak begrepen tussen de rechte y = x 2 en de parabool x = y 2,

134 3 Hoofdstuk 4 Oefening 4.5 Bereken de volgende dubbele integralen (a) (b) (c) (d) 2 2π { y { y 3/2 } e y/x dx dy } x y 2 dx dy { } x 2 x 2 y 2 dy dx { a } y dy dx a sin x (e) (f) (g) (h) 2π { cos y ln { } x 3 sin y dx dy } xye y2x dy dx x(x 2 + y) /2 dxdy e x e y dxdy Oefening 4.6 Keer de integratievolgorde om en bereken (a) x 2 dydx (b) (c) (d) (e) 4 2 x 2 e y π/2 x + y 3 dydx (x 2y) dydx + f(x, y) dxdy f(x, y) dxdy bgsiny 2 2 x (x 2y) dydx Oefening 4.7 Bepaal de oppervlakte van de volgende gebieden : (a) = het gedeelte van het vlak begrepen tussen de rechte y = x en y 2 = 2x; (b) met randkrommen y 2 = 2x, x + y = 9; (c) = {(x, y) x π } 4, sin x y cos x. Oefening 4.8 Bereken ydxdy waarin het gebied is in het eerste kwadrant dat begrensd wordt door y 2 = 4x en y 2 = 5 x. Oefening 4.9 Bereken xdxdy waarbij het gebied is dat begrensd wordt door het lijnstuk tussen (2, ) en (, 2) en de cirkelboog met straal en middelpunt in (, ). Oefening 4. y = x 2, x = 2 en y =. Bepaal (x 2 + y 2 )dxdy waarbij het gebied is dat begrensd wordt door

135 Integraalrekening 3 Oefening 4. Bepaal 9 x 2 y 2 dxdy waarbij het deel van de schijf x 2 + y 2 3 in het eerste kwadrant is. Oefening 4.2 Gegeven is 3 4 y (x + y) dxdy. (a) Schets het gebied waarover geïntegreerd wordt. (b) Keer de integraal om. (c) Bereken de dubbele integraal. Oefening 4.3 Gegeven is 2xy dxdy met het gebied begrensd door y = x 3 en x = y 2. (a) Geef de herhaalde integraal waarbij eerst over x geïntegreerd wordt. (b) Geef de herhaalde integraal waarbij eerst over y geïntegreerd wordt. (c) Bereken de integraal. Oefening 4.4 2y = x en x + 3y =. Gegeven is (2x y) dxdy met de driehoek begrensd door y = 3x, (a) Geef de herhaalde integraal waarbij eerst over x geïntegreerd wordt. (b) Geef de herhaalde integraal waarbij eerst over y geïntegreerd wordt. (c) Bereken de integraal. Oefening 4.5 Gegeven is (x 2y) dxdy met het gebied begrensd door x = ln y, x = en y =. (a) Geef de herhaalde integraal waarbij eerst over x geïntegreerd wordt. (b) Geef de herhaalde integraal waarbij eerst over y geïntegreerd wordt. (c) Bereken de integraal. Oefening 4.6 x 3 = y. Gegeven is x + y xy dxdy met het gebied begrensd door y = x 2 en (a) Geef de herhaalde integraal waarbij eerst over x geïntegreerd wordt. (b) Geef de herhaalde integraal waarbij eerst over y geïntegreerd wordt. (c) Bereken de integraal.

136 32 Hoofdstuk 4 Oefening 4.7 Bereken het volume van het aangegeven gedeelte van de ruimte R 3 : (a) Het afgeknotte prisma met opstaande zijvlakken x =, x = 2, y =, y =, als grondvlak z = en als bovenvlak x + y + 2z = 4; (b) Het gebied gelegen tussen de cilinders x 2 + y 2 = en x 2 + z 2 = ; (c) Het afgeknotte prisma begrensd door de vlakken x =, x = 2, y =, y =, z = en x y 2z + 2 = ; (d) Het gedeelte van de ruimte begrensd door de coördinaatsvlakken en het vlak x+2y+3z = 6; (e) Het gebied binnen de cilinder x 2 + y 2 = en begrepen tussen de vlakken z = en x + y + z = 3; (f) Het gebied begrensd door de vlakken x =, x = 2, y =, z = en de oppervlakken y = x 2 en z = x 2 + y 2. Oefening 4.8 Bereken f(x, y) dxdy met f(x, y) en gelijk aan: (a) f(x, y) = y x, = het gebied begrensd door y x =, y x = 3, y + 3 x = 7 3, en y + 3 x = 5, (b) f(x, y) = x 2 y 2, = { (x, y) R 2 x 2 + y 2 }, (c) f(x, y) = x 2 y 2 { (x 2 + y 2 ) 2, = (d) f(x, y) = exp(x 2 + y 2 ), = (x, y) R 2 } x 2 + y 2 2, { (x, y) R 2 < x, < y, x 2 + y 2 3 }. Oefening 4.9 Bereken de volgende integralen door over te gaan op poolcoördinaten. (a) 2 y 4 y 2 dxdy (b) (c) 3/2 9 x 2 3x e x2 e y2 dydx (x 2 + y 2 ) dxdy met het gebied begrensd door de kromme x 2 + y 2 = 2ax (met a > ). (d) e x2 y 2 dxdy met het gebied binnen de cirkel x 2 + y 2 =. (e) x 2 + y 2 + y = x en x 2 + y 2 = 4. dxdy met het gebied in het eerste kwadrant begrensd door y =,

137 Integraalrekening 33 Oefening 4.2 Zij het gebied begrensd door x + y =, x = en y =. Toon aan dat ( ) x y cos dxdy = sin x + y 2. Hint: Ga over op nieuwe coördinaten u = x y en v = x + y. Oefening 4.2 Zij het gebied begrensd door x 2 y 2 =, x 2 y 2 = 9, xy = 2 en xy = 4. (a) Schets. (b) Bereken de Jacobiaan behorende bij de coördinatentransformatie u = x 2 y 2, v = xy. (c) Bepaal (x 2 + y 2 ) dxdy. Oefening 4.22 Laat zien dat voor µ R en σ > geldt e (x µ)2 2σ 2 dx = 2πσ. Oefening 4.23 Bereken het volume van het aangegeven gedeelte van R 3 : (a) Het gedeelte dat door de cilinder x 2 +y 2 = wordt uitgesneden uit de bol x 2 +y 2 +z 2 = 4; (b) Het gedeelte van R 3 boven het xy-vlak, onder het oppervlak z = x 2 + y 2 en binnen de cilinder x 2 + y 2 = ; (c) Het gedeelte van R 3 begrepen tussen de bol x 2 + y 2 + z 2 = 4a 2 en de cilinder x 2 + y 2 = 2ay (a > ); (d) Het gedeelte van R 3 tussen de oppervlakken z = x 2, z = en x 2 + y 2 =. Oefening 4.24 Schets het driedimensionale gebied dat begrensd wordt door de vlakken x + y + z = a (met a > ), x =, y = en z =. Bereken (x 2 + y 2 + z 2 ) dxdydz. Oefening 4.25 Bereken f(x, y, z) dxdydz met f(x, y, z) en gelijk aan: (a) f(x, y, z) = xyz, = het gedeelte van R 3 begrensd door de coördinaatvlakken en het vlak x + y + z =, (b) f(x, y, z) = ( + x + y + z) 3, = het gedeelte aangegeven onder (a), (c) f(x, y, z) = 4z, = de bol met de oorsprong als middelpunt en straal, (d) f(x, y, z) = x + z, = { (x, y, z) R 3 x, y, z, x 2 + y 2 + z 2 }, (e) f(x, y, z) = xy, = { (x, y, z) R 3 x, y, z, x 2 + y 2 }, (f) f(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2, = { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 }.

138 34 Hoofdstuk 4 Oefening 4.26 Bereken het volume van het gegeven lichaam: (a) Het lichaam begrensd door de bol x 2 + y 2 + z 2 = 4 en de paraboloïde x 2 + y 2 = 3z. (b) e omwentelingsellipsoïde x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 =. (c) e bol met straal R.

139 Index -dimensionale beperking continuïteit, 27 definitie, 26 absoluut maximum, 63 minimum, 63 afgeleide in een richting, 53 langs een kromme, 5 partieel, 45 afleidbaarheid, 49 partieel, 45 afstand, 2 begrensde deelverzameling, 25 bolcoördinaten, 8, 25 bovenintegraal, bovensom, 99 budgetlijn, 77 Cartesische vergelijking, 6 Cauchy Schwarz ongelijkheid, 3 cilindercoördinaten, 8, 25 coördinaten, coördinatentransformatie, 3 bolcoördinaten, 25 cilindercoördinaten, 25 poolcoördinaten, 6 continuïteit, 24, 27 datafitting, 89, 9 determinant, 73 van Jacobi, 6 differentiequotiënt, 29 driehoeksongelijkheid, 2 drievoudige herhaalde integraal, 2 eenheidsnormaal, 6 eenheidsvector, 2 elliptische paraboloïde, 7 evenwijdig,, geparameteriseerd oppervlak, 8 geparameteriseerde kromme definitie, 29 in R 3, 8 lengte, 3 gesloten bol, 24 gesloten deelverzameling, 25 gradiënt definitie, 47 graf f, 2 herhaalde integraal definitie, 2 drievoudig, 2 verband met Riemann-integraal, 2 herparameterisatie van krommen, 33 hoek, 4 hoofdeigenschap reële continue functies, 25 inwendig punt, 25 Jacobiaan, 6, 24 kettingregel reële functie, 5 vectoriële functie, 35 kleinste kwadraten methode, 89 kleinste kwadraten oplossing, 88 kolomvector, 2 kritiek punt, 64 van Lagrange, 79 Lagrange kritiek punt, 79 stationair punt, 79 vermenigvuldiger, 79 Lagrange-techniek, 78 algemene formulering, 8 limiet, 27 lineaire regressie, 9 lokaal min/max definitie, 63 schema, 69 35

140 36 Index voorwaarden, 73 lokaal verloop van f, 7 loodrecht, 4 loodrechte projectie, 4 marginale nutsverbetering, 8 maximum absoluut, 63 relatief, 63 minimum absoluut, 63 relatief, 63 multiplicator van Lagrange, 79, 85 nevenvoorwaarde, 76 niveau-oppervlak, 2 niveaukromme, 2 norm, 2 normaal, 6 nulelement, 2 nutsoptimalisatie, 75 onderintegraal, ondersom, 99 ongelijkheid van Cauchy Schwarz, 3 oorsprong, 2 open bol, 24 open deelverzameling, 25 oppervlakte van een gebied, 8 optimalisatie Lagrange-techniek, 78 substitutiemethode, 76 orthogonaal, 4 partiële afgeleide eerste orde, 45 hogere orde, 45 partieel afleidbaar, 45 partitie, 99 poolcoördinaten, 6 projectie, 3 loodrecht, 4 raakvlak aan grafiek, 56 aan niveau-oppervlak, 55 raakvlak aan graf f vergelijking, 58 randpunt, 25 reële functie van n reële veranderlijken -dimensionale beperking, 26 afleidbaarheid, 49 bereik, 9 continuïteit, 24, 27 definitie, 9 definitiegebied, 9 gradiënt, 47 grafiek, 2 kettingregel, 5 niveau-oppervlak, 2 niveaukromme, 2 rechte, 4 regulier in x-richting, in y-richting, regulier gebied, regulier gesloten deel opsplitsing in, 7 relatief min/max definitie, 63 schema, 69 voorwaarden, 73 richtingsafgeleide definitie, 53 maximaal/minimaal, 54 richtvector, 4, 5 Riemann-integraal definitie,, 2 toepassingen, 8 Riemann-integreerbaarheid definitie,, 2 interpretatie, Riemann-som, 99 rijvector, 2 scalair product, 3 scalaire snelheid, 3 spoor, 73 stationair punt van Lagrange, 79 stationaire punten van Lagrange, 84 stelling van Schwarz en Young, 46 strijdig lineair stelsel, 87 substitutiemethode, 76 transformatie van coördinaten, 3 tweede afgeleide test, 66 vectorfunctie afgeleide, 29 definitie, 28 vectoriële snelheid definitie, 29 lengte, 3

141 Index 37 meetkundige betekenis, 3 vectorproduct, 7 vectorveld, 47 vermenigvuldiger van Lagrange, 79 vlak, 5 vlakkenbundel, 2 volume (berekening van), zadelpunt, 69 voorwaarden, 73