Wiskunde * * Wiskunde met Excel. Dit uittreksel is te gebruiken bij: BEDRIJFSKUNDE, JAAR 1

Transcriptie

1 Wiskunde Dit uittreksel is te gebruiken bij: Wiskunde met Excel BEDRIJFSKUNDE, JAAR 1 *804065*

2 JoHo Samenvattingen JoHo biedt een compleet pakket samenvattingen aan. In dé studentenwinkels van Nederland vind je bijvoorbeeld uitgebreide boekuittreksels, stamplijsten, handige schema s, samenvattingen van arresten, collegeaantekeningen en oude tentamens met uitwerkingen. Deze producten zijn aanvullend op je lesstof en studieboeken, besparen je tijd, vergroten je slagingskans en worden niet voor niets door vrijwel iedere student in de grote studentensteden al jaren als onmisbaar ervaren! Kijk voor het actuele aanbod op JoHo.nl Bij de samenstelling van de samenvattingen proberen we zoveel mogelijk de kwaliteit te waarborgen. We kunnen echter geen verantwoordelijkheid aanvaarden voor het gebruik ervan. De materialen dienen als hulpmiddel en niet als vervanging van bijvoorbeeld het volgen van onderwijs of het bestuderen van boeken. Hoe te verkrijgen? In het JoHo center Het volledige aanbod is hardcopy verkrijgbaar in het JoHo center van jouw stad. Hoge kortingen voor JoHo leden. Online via JoHo.nl Een groot gedeelte van het aanbod is ook online gratis te downloaden voor JoHo leden. Werken voor JoHo JoHo zoekt voortdurend afgestudeerden voor het maken en controleren van de samenvattingen. JoHo centers Je vindt de JoHo centers in Amsterdam, Den Haag, Groningen, Leiden, Rotterdam en Utrecht. Voor adressen en openingstijden, kijk op JoHo.nl

3 Inhoudsopgave A B C D E F G H Matrices Functies met één variabele Machten en logaritmen Functies met twee variabelen Integreren Rijen en reeksen Differentiaalvergelijkingen Differentievergelijkingen c

4 A Matrices Inleiding Een matrix is een rechthoek met daarin getallen. Hierin worden matrices besproken met daarin slechts reële getallen. De matrix bestaat uit rijen (horizontaal) en kolommen (verticaal). Een matrix met drie rijen en vier kolommen wordt een (3 * 4) matrix genoemd. Een matrix met m rijen en n kolommen wordt een (m * n) matrix genoemd. Bijvoorbeeld (3 * 4) matrix A ziet er als volgt uit: A = Het getal op rij 3 en in kolom 1, 7, wordt aangeduid met a 31. Dus a 31 = 7. Een getal op rij i en in kolom j wordt aangeduid met a ij. Bijvoorbeeld (3*4) matrix A ziet er, op die manier weergegeven, als volgt uit: a 11 a 1 a 13 a 14 A = a 1 a a 3 a 4 a 31 a 3 a 33 a 34 De (3 * 4) matrix A is een rechthoekige matrix. Indien het aantal rijen gelijk is aan het aantal kolommen, is de matrix een vierkante matrix. Bijvoorbeeld de vierkante (3 * 3) Matrix B ziet er als volgt uit: B = Een vierkante matrix heeft een hoofddiagonaal, dat is de diagonaal van getallen van linksboven naar rechtsonder. De hoofddiagonaal van een (3 * 3) matrix zijn de getallen a 11, a, a 33. De hoofddiagonaal van (3 * 3) matrix B zijn de getallen 1, 5, 6. Een vierkante matrix is een symmetrische matrix indien ondanks het 'spiegelen' via de hoofddiagonaal de matrix hetzelfde blijft (De hierboven weergegeven vierkante (3 * 3) matrix B is niet symmetrisch). De vierkante (3 * 3) matrix C is symmetrisch: 7 3 C = De eenheidsmatrix E is een bijzondere vierkante symmetrische matrix. d

5 De (4 * 4) eenheidsmatrix E ziet er als volgt uit: E = Rekenen met matrices Optellen van matrices Optellen van matrices kan alleen van twee gelijkvormige matrices. De (3 * ) matrix A en de (3 * ) matrix B kunnen bij elkaar worden opgeteld. Het optellen gebeurt door de getallen op dezelfde plaats bij elkaar op te tellen. Dus a 11 van matrix A optellen bij a 11 van matrix B, de som van beide getallen is a 11 van matrix C. Daarna a 1 van matrix A optellen bij a 1 van matrix B, de som van beide getallen is a 1 van matrix C. Enzovoorts. Bijvoorbeeld het optellen van twee (3 * 3) matrices: = = Vermenigvuldigen van matrices Vermenigvuldigen van een matrix met een getal gebeurt door alle getallen van de matrix te vermenigvuldigen met dat getal. Bijvoorbeeld vermenigvuldigen van een (3 * 3) matrix met : 3 5 3* 5* * * = * 4* 7* = * 4* * Vermenigvuldigen van twee matrices gebeurt door de rijen van de eerste matrix te vermenigvuldigen met de kolommen van de tweede matrix. Het resultaat van die vermenigvuldiging is een matrix met het aantal rijen van de eerste matrix en met het aantal kolommen van de tweede matrix. Het vermenigvuldigen van de (3 * 3) Matrix A met de (3 * ) matrix B leidt tot de (3 * ) Matrix C. e

6 * + 5*0 + *1 3*1 + 5*5 + *3 4 7 * 0 5 = * + 4*0 + 7*1 *1 + 4*5 + 7* * + 4*0 + *1 7*1 + 4*5 + * = Bij het vermenigvuldigen van twee matrices is het belangrijk te onthouden dat A * B = AB (zoals hierboven weergegeven) en B * A = BA. AB is niet hetzelfde als BA. (Indien het resultaat van de vermenigvuldiging van twee matrices de eenheidsmatrix (E) is, dan is AB wel hetzelfde als BA) Het vermenigvuldigen van twee matrices is alleen mogelijk indien het aantal rijen van de eerste matrix gelijk is aan het aantal rijen van de tweede matrix. Het vermenigvuldigen van de (3 * ) Matrix B met de (3 * 3) matrix A is dus onmogelijk. BA is dan niet gedefinieerd. Getransponeerde matrix Het verwisselen van rijen en kolommen van (3 * ) matrix A leidt tot de ( * 3) getransponeerde matrix A (A T ) A = 4 transponeren: A T = Transponeren is soms nodig bij het vermenigvuldigen van twee matrices (zie nog hieronder). Vermenigvuldigen van tabellen Vermenigvuldigen van twee matrices kan worden gebruikt om twee tabellen te vermenigvuldigen. Bijvoorbeeld: Tabel 1: kg van de twee grondstoffen benodigd voor productie van een eenheid van elk van de drie halffabrikaten Halffabrikaat 1 Halffabrikaat Halffabrikaat 3 Grondstof 1 Grondstof f

7 Tabel : halffabrikaten (stuks) benodigd voor productie van een eenheid van elk van de twee eindproducten Halffabrikaat 1 Halffabrikaat Halffabrikaat 3 Eindproduct 1 1 Eindproduct 1 Beide tabellen kunnen als matrices worden geschreven: H1 H H3 M1 (tabel1) = G1 G H1 H H3 M (tabel ) = E1 1 E 1 Met matrixvermenigvuldiging kan nu worden berekend hoeveel kg grondstof nodig is voor de productie van elk van de drie eindproducten: Om de twee matrices te kunnen vermenigvuldigen moet eerst M getransponeerd worden: E1 E M T = H1 1 H 1 H3 Het vermenigvuldigen van de Matrix M1 met de matrix M T leidt tot: H1 H H3 E1 E E1 E G1 * H1 1 = G G H 1 G H3 Dus voor de productie van één eenheid eindproduct 1 is 10 kg van grondstof 1 en 15 kg van grondstof benodigd. Door het vermenigvuldigen van twee matrices zijn de halffabrikaten 'weggevallen'. Oplossen met Gauss-Jordan reductie-methode Matrixrekening kan worden gebruikt op een stelsel van vergelijking op te lossen. Bijvoorbeeld het volgende stelsel: x 1 - x + x 3 = 3 x 1 - x + 3x 3 = 5 x 1-3x + 6x 3 = 4 g

8 Het stelsel kan worden geschreven als de volgende matrix: Om het stelsel van vergelijkingen op te lossen moet het deel links van de verticale lijn gereduceerd worden tot een eenheidsmatrix. Het reduceren van de matrix gebeurt met de elementaire operaties van de Gauss-Jordan reductie-methode. Elementaire operaties * Rijen kunnen worden vermenigvuldigd met elk getal * Rijen kunnen worden verwisseld * Een rij kan worden opgeteld bij of afgetrokken van elke andere rij (Deze elementaire operaties kunnen ook op kolommen worden toegepast. Het is echter toepassen op of kolommen of rijen, een combinatie is niet mogelijk. Hierin worden alleen elementaire rijoperaties gebruikt) Het reduceren van de matrix gaat als volgt (achter de matrix staat aangegeven welke elementaire operatie toegepast wordt): rij - * rij1 -> > rij3 - * rij > rij3 + rij rij1 + rij > rij1 - rij > rij + rij3 -> > h

9 Het deel links van de verticale lijn is nu een eenheidsmatrix, de matrix is dus nu gereduceerd. Dit betekent de volgende oplossing van het stelsel van vergelijkingen: x 1 = 5, x = -4, x 3 = -3. Onoplosbare matrices Soms is het onmogelijk om het deel links van de verticale lijn tot een eenheidsmatrix te reduceren. Een stelsel kan strijdig zijn en een stelsel kan afhankelijk zijn. Een stelsel is strijdig als links van de verticale op een rij alleen nullen staan, terwijl rechts wel een getal staat. Bijvoorbeeld: Op de tweede rij staat nu 0 * x * x = -1, ofwel 0 = -1. Het stelsel is dus strijdig. Een stelsel is afhankelijk indien op een hele rij alleen nullen staan. Bijvoorbeeld: 0,5 0, De oplossing van dit stelsel is 0,5x 1 + 0,x = 1. Die vergelijking is een rechte lijn. Het stelsel heeft oneindig veel oplossingen die alle op die lijn liggen. Een ander voorbeeld van een afhankelijk stelsel is het volgende stelsel: x 1 - x + 4x 4 + x 5 = 6x 1-4x - x 3 + x 4 = 0 8x 1-6x + x 3 - x 5 = - x 1 - x - x 4 + x 5 = 0 Het stelsel kan worden geschreven als de volgende matrix: Het stelsel bevat vier vergelijkingen terwijl er vijf variabelen zijn. Dat betekent vooraf dat de matrix onoplosbaar is. Het reduceren van de matrix levert op: / / / /3 i

10 De oplossing van dit stelsel is dus: x 1-3x 5 = -/3 x -4x 5 = -1 5 / 6 x 3 -x 5 = -1/ x 1 = -/3 + 3x 5 x = -1 5 / 6 + 4x 5 x 3 = -1/ + x 5 Nu invullen x 5 = λ x 1 = -/3 + 3λ x = -1 5 / 6 + 4λ x 3 = -1/ + λ De oplossing van dit stelsel wordt derhalve als volgt opgeschreven: x 1 -/3 3 x -1 5 / 6 4 x 3 = -1/ + λ * 1 x 4 1/3 0 x waarbij x 5 = λ R. Inverse matrix De Gauss-Jordan reductie-methode kan ook worden gebruikt om van matrix A de inverse matrix (A -1 ) te berekenen. Om de inverse matrix van A (A -1 ) te berkenenen moet naast matrix A een eenheidsmatrix geplaatst worden. Bijvoorbeeld (3 * 3) matrix A A = Naast die matrix wordt eenheidsmatrix geplaatst: De Gauss-Jordan reductie-methode wordt gebruikt om het deel links van de verticale lijn (de matrix A) tot een eenheidsmatrix te reduceren. Als het deel links van de verticale lijn tot een eenheidsmatrix gereduceerd is, staat rechts van de verticale lijn de inverse matrix van A (A -1 ). j

11 /8* rij > / 1/ 1/ rij - 6* rij1 -> rij3 - * rij1 1 1/ 1/ 1/ /8 1 0 rij +rij3 -> 0 0 -/ / 1/ 1/8 0 0 rij1-1/* rij > 0 0 -/8 0 1 rij3 - * rij /8-1/ -1/ > / /* rij /8-1/ -1/ rij - rij3 -> /8 1 1/ /8-1/ -1/ /8 0 1/ /8 1 1/ De inverse matrix van A (A -1 ) is dus: 5/8-1/ -1/ A -1 = -1/8 0 1/ -7/8 1 1/ Het vermenigvuldigen van de matrix met de inverse matrix levert een eenheidsmatrix op. Er geldt altijd: A * A -1 = E. Die regel kan worden gebruikt om de berekening van de inverse matrix te controleren /8-1/ -1/ A * A-1 = 6 4 * -1/8 0 1/ 3 1-7/8 1 1/ 8 * 5/8 +4 * -1/8 + 4 *7/8 8 * -1/ + 4 * * 1 8 * -1/ + 4 * 1/ + 4 * 1/ = 6 * 5/8 + * -1/8 + 4 *7/8 6 * -1/ + * * 1 6 * -1/ + * 1/ + 4 * 1/ * 5/8 +3 * -1/8 + 1 *7/8 * -1/ + 3 * * 1 * -1/ + 3 * 1/ + 4 * 1/ = = E k

12 Naast de hierboven in paragraaf 3 weegegeven manier om een stelsel van vergelijkingen op te lossen, kan ook de inverse matrix worden gebruikt om een stelsel van vergelijkingen op te lossen. Van het stelsel van vergelijkingen is hierboven weergegeven hoe de inverse van matrix A wordt berekend. 8x 1 + 4x + 4x 3 = 1 6x 1 + x + 4x 3 = 1 x 1 + 3x + x 3 = /8-1/ -1/ A = 6 4 A -1 = -1/8 0 1/ 3 1-7/8 1 1/ De oplossingen van het stelsel zijn te vinden door de inverse matrix (A -1 ) te vermenigvuldigen met de eenkolomsmatrix met daarin de getalleen rechts van de =- tekens (U). De Matrix U is: U = De oplossing van het stelsel van vergelijkingen: 5/8-1/ -1/ 1 5/8*1-1/*1-1/*4-1/8 0 1/ * 1 = -1/8*1 + 0*1 + 1/*4-7/8 1 1/ 4-7/8*1 + 1*1 + 1/* -1 7 / 8 = 1 7 / 8 1 / 8 Dit betekent de volgende oplossing van het stelsel van vergelijkingen: x 1 = -1 7 / 8, x = 1 7 / 8 en x 3 = 1 / 8. l

13 B Functies met één variabele Oplossen Hierin staan zgn. kwadratische functies centraal. Kwadratische functies met één variabele zien er als volgt uit: f(x) = ax + bx + c Bijvoorbeeld: f(x) = x + x - 6 Oplossen door functie gelijk te stellen aan nul: x + x - 6 = 0 Om de functie op te lossen eerste proberen te functie te herschrijven. Deze functie kan worden herschreven als : (x + 3)(x - ) = 0 x + 3 = 0 en x - = 0 x = -3 en x = De functie snijdt de x-as bij x = -3 en bij x =. Soms is het onmogelijk om de functie te herschrijven. De abc-formule kan altijd gebruikt worden om een kwadratische functie met één variabele op te lossen: De abc-formule (toepassen op f(x) = ax + bx + c) 1) Discriminant (D) berekenen: D = b - 4*a*c als D > 0 dan twee oplossingen als D = 0 dan een oplossing als D < 0 dan geen oplossingen ) Oplossing(en) berekenen: b ± D x = * a Bijvoorbeeld de hierboven weergegeven functie: f(x) = x + x - 6 = 0 a = 1 b = 1 c = -6 m

14 1) D = 1-4*1*(-6) = = 5 D > 0 dus twee oplossingen ) x = 1 5 *1 en 1+ 5 x = *1 x= - 6 / en x = 4 / x = -3 en x = Differentieren en differentieerregels Met differentieren kan de afgeleide van een functie worden berekend. De afgeleide van functie f(x) wordt aangegeven met f'(x). De afgeleide f'(x) geeft de richtingscoëfficiënt van de functie f(x) in punt x. Differentieren gaat als volgt: f(x) = bx a -> f'(x) = a*bx (a-1) dus f(x) = 1/6x 3 -> f'(x) = 3*1/6x = 1/x Belangrijke differentieerregels: f(x) =e ax -> f'(x) = ae ax f(x) = a x -> f'(x) = a x * lna f(x) = lnx -> f'(x) = 1 / x f(x) = a logx -> f'(x) = 1 / (x * lna) Bij complexe functies zijn er drie speciale regels voor het differentiëren: Productregel f(x) = g(x)*h(x) f'(x) = g(x) *h'(x) + g'(x) *h(x) n

15 Bijvoorbeeld: f(x) = x e x g(x) = x h(x) =e x -> g'(x) = x -> h'(x) = e x f'(x) = x *e x + x *e x Quotiëntregel Voor functies die een breuk zijn. f (x) = g(x) h(x) f' (x) h(x) * g' (x) g(x) * h' (x) = (h(x)) Ezelbruggetje om de quotiëntregel te onthouden: f (x) = f' (x) t n nat tan = n t = teller n = noemer at = afgeleide van teller an = afgeleide van noemer nat - tan is dus noemer * afgeleide van teller - teller * afgeleide van noemer Bijvoorbeeld: 5x (x) = 6x 3 f x g(x) = 5x > g'(x) = 15x h(x) = 6x + x -> h'(x) = 1x + o

16 (6x f' (x) = + x) *15x (6x (5x 3 + x) + 10) * (1x + ) f' (x) 90x = x 3 (60x (6x x + x) x + 0) f' (x) 30x = 4 + 0x (6x 3 10x 0 + x) Kettingregel voor samengestelde functies f(x) = g(h(x)) f'(x) = h'(x) * g'(h(x)) Bijvoorbeeld f(x) = (x + 5x + 5) 3 h(x) = x + 5x + 5 h'(x) = x + 5 g'(h(x)) = 3(h(x)) = 3(x + 5x + 5) f'(x) = 3(x + 5x + 5) * (x+5) Extremen (minima, maxima) De afgeleide kan worden gebruikt om extremen (minima, maxima) te berekenen. De functie f(x) heeft een extreem punt op het punt waar geldt f'(x) = 0 (In dat punt is de richtingscoëfficiënt van f(x) immers gelijk aan nul). Als f'(x) > 0 dan is de functie in punt x stijgend Als f'(x) < 0 dan is de functie in punt x dalend Bijvoorbeeld de in paragraaf weergegeven functie: f(x) = x + x - 6 = 0 (oplossing x=-3 en x=) f'(x) = x + 1 p

17 Extremen berekenen door afgeleide gelijk te stellen aan nul: x + 1 = 0 x = - 1 / De functie heeft een extreem punt bij x = - 1 / Om te bepalen of er bij x = - 1 / een minimum of maximum is moet het tekenoverzicht van de afgeleide gemaakt worden. f'(-1) = * = = -1 dus bij x = -1 is de richtingscoëfficiënt van f(x) kleiner dan nul dus is de functie daar dalend f'(0) = *0 + 1 = 1 dus bij x = 0 is de richtingscoëfficiënt van f(x) groter dan nul dus is de functie daar stijgend Tekenoverzicht van f'(x): f'(x) Links van x = -1/ daalt de functie, terwijl rechts van x = -1/ de functie stijgt. Bij x = - 1/ is er dus een minimum. (Als f'(x) = 0, maar desondanks blijkt uit het tekenoverzicht dat de functie blijft dalen of blijft stijgen, dan is er bij die x een buigpunt. Bijvoorbeeld f(x) = x 3 +1 heeft de functie een buigpunt bij x = 0) Buigpunten De tweede afgeleide (de afgeleide van de afgeleide) wordt gebruikt om buigpunten te berekenen. Als f''(x) > 0 dan is de functie in punt x convex Als f''(x) < 0 dan is de functie in punt x concaaf Bijvoorbeeld: -1/ x f(x) = x 3 + x + 3 f'(x) = 3x + 4x f''(x) = 6x + 4 Extremen berekenen door afgeleide gelijk te stellen aan nul: 3x + 4x = 0 x * (3x+4) = 0 x = 0 en 3x + 4 = 0 x = 0 en x = -1 1 / 3 q

18 Buigpunten berekenen door tweede afgeleide gelijk te stellen aan nul: 6x + 4 = 0 x = - 4 / 6 = - / 3 De grafiek van f(x) ziet er zo uit: In de grafiek zijn de extremen bij x = -1 1 / 3 en x = 0 te zien. Ook is het buigpunt bij x = - / 3 te zien. Asymptoten Een asymptoot is een rechte lijn waaraan de functie nadert. Niet alle functies hebben asymptoten. Bijvoorbeeld een functie met een asymptoten is: f(x) = 1 / x Verticale asymptoten Bij x = 0 bestaat f(x) = 1 / x niet, want f(0) = 1 / 0. 1 / 0 bestaat niet. Deze functie heeft bij x = 0 een verticale asymptoot. Als deze functie vanaf x = 1 aan x = 0 nadert, gebeurt het volgende: Bij x = 1 is deze functie: f(1) = 1 Bij x = 0,1 is deze functie: f(0,1) = 10 Bij x = 0,01 is deze functie f(0,01) = 100 Bij x = 0,001 is deze functie: f(0,001) = 1000 Dus hoe dichter bij x = 0 hoe hoger de functie. Als deze functie vanaf x = -1 aan x = 0 nadert, geldt hoe dichter bij x = 0 hoe lager de functie. r

19 Dus x = 0 (de y-as) is een asymptoot, x = 0 is een rechte (verticale) lijn waaraan de functie nadert. Dat wordt ook wel als limiet opgeschreven. Voor het naderen naar x = 0 vanaf x = 1: lim x 0 = Voor het naderen naar x = 0 vanaf x = -1: lim x 0 = Horizontale asymptoten Een horizontale asymptoot is een rechte lijn waaraan de functie nadert als x nadert tot oneindig. Deze functie heeft een horizontale asymptoot. Als x naar oneindig nadert, gebeurt het volgende: Bij x = 1 is deze functie: f(1) = 1 Bij x = 10 is deze functie: f(10) = 0,1 Bij x = 100 is deze functie: f(100) = 0,01 Dus hoe dichter bij x =, hoe dichter de functie bij 0 komt. Dus y = 0 (de x-as) is een asymptoot, y = 0 is een rechte (horizontale) lijn waaraan de functie nadert. Dat wordt ook wel als limiet opgeschreven. Voor het naderen tot oneindig: lim = 0 x Voor het naderen tot min oneindig: lim = 0 x Voor het naderen tot oneindig van een functie die een breuk is, moet gekeken worden waar de grootste exponent staat. Als de grootste exponent is de teller staat, dan zal de functie naderen tot oneindig. Immers de teller stijgt harder dan de noemer. De functie heeft dan geen horizontale asymptoot. Als in de noemer de grootste exponent staan, dan zal de functie naderen tot een rechte (horizontale) lijn. De functie heeft dan wel een horizontale asymptoot. Als in teller en noemer gelijke exponenten staan, zal de functie ook naderen tot een rechte (horizontale) lijn. De functie heeft dan wel een horizontale asymptoot. s

20 Limieten berekenen Bijvoorbeeld de functie: x f(x) = 16 x De functie bestaat niet als 16 - x = 0 -x = -16 x = 16 x = -4 en x = 4 Dus x = -4 en x = 4 zijn verticale asymptoten. limieten berekenen: Oplossen door gelijk te stellen aan nul: x 16 x = 0 de functie is gelijk aan nul als x = 0 x = 0 x = 0 Extremen berekenen differentieren met quotiëntregel: g(x) = x g'(x) = x h(x) = 16 - x h'(x) = -x f' (x) (16 x ) * x x = (16 x ) * x f' (x) 3x x + x = (16 x ) 3 3 f' (x) 3x = (16 x ) Extremen berekenen door afgeleide gelijk te stellen aan nul: De afgeleide is gelijk aan nul als 3x = 0 3x = 0 t

21 x = 0 De functie heeft een extreem punt bij x = 0 f'(-1) = 3*-1/(16-1) = -0,14 dus links van x = 0 is de functie dalend f'(1) = 3*1/(16-1) = 0,14 dus rechts van x = 0 is de functie stijgend Tekenoverzicht f'(x): f'(x) 0 x Als deze functie vanaf x = -5 naar x = -4 nadert geldt hoe dichter bij x = -4 hoe lager de functie, de functie is daar immers dalend. Die limiet is dus: lim x 4 = Als deze functie vanaf x = -3 naar x = -4 nadert geldt hoe dichter bij x = -4 hoe hoger de functie, de functie is daar immers dalend. Die limiet is dus: lim x 4 = Als deze functie vanaf x = 3 naar x = 4 nadert geldt hoe dichter bij x = 4 hoe hoger de functie, de functie is daar immers stijgend. Die limiet is dus: lim x 4 = Als deze functie vanaf x = 5 naar x = 4 nadert geldt hoe dichter bij x = 4 hoe lager de functie, de functie is daar immers stijgend. Die limiet is dus: lim x 4 = Eventueel ter controle Als deze functie vanaf x = -5 aan x = -4 nadert gebeurt het volgende: Bij x = -3 is deze functie: f(-5) = -,8 Bij x = -3,9 is deze functie: f(-4,1) = -0,8 Bij x = -3,99 is deze functie f(-4,01) = -00,8 Dus hoe dichter bij x = -4 hoe lager de functie. In zowel de teller als in de noemer van de functie staat x. Als x nadert tot oneindig wordt de x in de teller oneindig groot en wordt de x in de noemer oneindig groot. Het getal 16 in de noemer wordt verwaarloosbaar en teller en noemer worden even groot. In de teller staat echter een positief getal en in de noemer staat een negatief getal. De u

22 functie nadert dus tot de (horizontale) rechte lijn x = -1. Dus x = -1 is een horizontale asymptoot. Bij deze functie: Bij x = 1 is deze functie: f(1) = 0,07 Bij x = 10 is deze functie: f(10) = -1, Bij x = 100 is deze functie: f(100) = -1,00, Dus hoe dichter bij x =, hoe dichter de functie bij -1 komt. Die limiet is dus: lim = 1 x Als x nadert tot min oneindig wordt de x in de teller oneindig groot en wordt de x in de noemer oneindig groot. Het getal 16 in de noemer wordt verwaarloosbaar en teller en noemer worden even groot. In de teller staat echter een positief getal en in de noemer staat een negatief getal. De functie nadert dus tot de (horizontale) rechte lijn x = -1. Dus x = -1 is een horizontale asymptoot. Dus hoe dichter bij x = -, hoe dichter de functie bij -1 komt. Die limiet is dus: lim x = 1 6 Domein De hierboven weergegeven f(x) = 1 / x bestaat niet voor x = 0. Voor alle andere x-en bestaat de functie gewoon. Sommige functies bestaan slechts voor een deel van alle mogelijke x-en. Bijvoorbeeld: f (x) = x De wortel van een negatief getal bestaat niet dus deze functie bestaat niet als x < 0. Het domein van de functie is derhalve: [0, ) v

23 C Machten en logaritmen Inleiding Eigenschappen van machten en logaritmen:!!! x 0 = 1!!! x 1 = x!!! x a * x b = x (a+b) dus x * x 3 = x 5!!! x a x b = x (a-b) dus x 5 x = x 3 dat is te onthouden door te bedenken dat x 5 gelijk is aan x*x*x*x*x en x gelijk is aan x*x x * x * x * x * x x 5 x = (twee x-en wegstrepen) = x*x*x = x 3 x * x!!! (x a ) b = x (a*b) dus (x ) 3 = x 6!!! x -a = 1 a x!!! x = x ½!!! = x (1/a) a x w

24 !!! a logb = x -> a x = b dus log8 = 3 -> 3 = 8!!! e logx = lnx (e,7188) Renteberekeningen Indien een bepaald bedrag op een spaarrekening wordt gezet, ontvangt men over dat bedrag rente. Stel dat de bank jaarlijks rente bijschrijft. In het eerste jaar neemt beginbedrag (K 0 ) toe met het bedrag dat de bank dat jaar aan rente bijschrijft K 0 *r. Na één jaar is het bedrag (K 1 ) op de spaarrekening dan K 0 *(1+r). K 1 = K 0 + K 0 *r = K 0 *(1+r). In het tweede jaar neemt K 1 toe met het bedrag dat de bank in dat jaar aan rente bijschrijft (K 1 *r). Na twee jaar is het bedrag (K ) op de spaarrekening dan K 1 *(1+r). Voor de rentebijschrijving in het tweede jaar kijkt de bank naar K 1, dus in het tweede jaar schrijft de bank rente bij over het beginbedrag en ook over de in het eerste jaar bijgeschreven rente ('rente op rente'). K = K 1 + K 1 *r = K 1 *(1+r) = K 0 *(1+r)*(1+r) = K 0 *(1+r). In het derde jaar enzovoorts. Na t jaar is een bedrag (K t ) dus (bij jaarlijkse rentebijschrijving): K t =K 0 *(1+r) t Bijvoorbeeld na drie jaar is een beginbedrag (K 0 ) van euro (bij jaarlijkse rentebijschrijving) met rente van 4% dus: K 3 = 1000 *(1+0,04) 3 = 1.14,86 In plaats van jaarlijks kan een bank ook een bepaald aantal keren per jaar rente bijschrijven. De berekening wordt dan anders. Er wordt vaker rente uitgekeerd en dat betekent meer rente op rente. Na t jaar is een bedrag (K t ) bij n rentebijschrijvingen per jaar: K t =K 0 *(1+ r / n ) (n*t) Bijvoorbeeld na drie jaar is een beginbedrag (K 0 ) van 1000 euro bij maandelijkse rentebijschrijving, dus bij rentebijschrijving 1 keer per jaar, met rente van 4% dus K 3 = 1000 *(1+ 0,04 / 1 ) (1*3) = 1000 *(1+0,00333) 36 = 1.17,7 (dat is.41 meer dan bij jaarlijkse rentebijschrijving) x

25 Exponentiele functies Bijvoorbeeld: f(x) = x f(x) = (½) x f(x) = e x Deze functies snijden de x-as niet. Oplossen door gelijk te stellen aan nul levert dus niets op. De grafiek van de functie f(x) = x ziet er als volgt uit: Aan de grafiek is de zien dat de functie, als x nadert naar oneindig, hard stijgt. (zie voor differentieerregels paragraaf van het vorige hoofdstuk) De limieten van de functie f(x) = x : Als x nadert tot oneindig nadert, komt deze functie alsmaar hoger. Er gebeurt het volgende: f(1) = f() = 4 f(3) = 8 f(4) = 16 f(5) = 3 enzovoorts Dus hoe dichter bij x =, hoe hoger de functie komt. Die limiet is dus: lim x x = Als x nadert tot min oneindig, komt deze functie alsmaar dichter bij nul. Er gebeurt het volgende: f(-1) = 1 / f(-) = 1 / 4 f(-3) = 1 / 8 f(-4) = 1 / 16 f(-5) = 1 / 3 enzovoorts y

26 Dus hoe dichter bij x = -, hoe dichter de functie bij 0 komt. Die limiet is dus: lim x x = 0 De limieten van de functie f(x) = (½) x zijn precies andersom. Als x nadert tot oneindig, dan komt de functie alsmaar dichter bij nul en als x nadert tot min oneindig, dan komt de functie alsmaar hoger. De limieten van deze functies zijn handig te weten als standaardlimieten: lim a x x = als a > 1 lim x a x = 0 als a > 1 lim a x x = 0 als 0 < a < 1 lim x a x = als 0 < a < 1 Als a in de functie f(x) =a x kleiner is dan nul (a < 0), verspringt de functie telkens van teken, bijvoorbeeld f() = (-1) = 1 en f(3) = (-1) 3 = -1. De functie heeft dan geen limieten. Logaritmische functies Bijvoorbeeld: f(x) = logx f(x) = lnx Deze functies bestaan niet als x kleiner is dan nul. De grafiek van f(x) = lnx ziet er als volgt uit: z

27 Aan de grafiek is de zien dat de functie, als x nadert naar oneindig, stijgt. De functie stijgt echter langzaam. (zie voor differentieerregels paragraaf van het vorige hoofdstuk) De limieten van deze functies zijn: lim ln x x = lim ln x = x 0 aa

28 D Functies met twee variabelen Inleiding In de vorige hoofdstukken kwamen functies met één variabele, x, aan bod. In dit hoofdstuk komen functies met twee variabelen, x en y, aan bod. Bijvoorbeeld: f(x,y) = 10x + 5y Functies met één variabele kunnen worden getekend in het twee-dimensionale x,yvlak. Functies met twee variabelen kunnen worden getekend in de drie-dimensionale x,y,zruimte. Partieel differentieren Het berekenen van de afgeleide van een functie met twee variabelen gaat door partieel differentieren. Het differentieren van een functie met twee variabelen gebeurt door eerst de functie te differentieren 'naar' de ene variabele, x, en daarna de functie te differentieren 'naar' de andere variabele, y. Bijvoorbeeld het differentieren van de functie: f(x,y) = 100/y + 0x - 3y x y +4y Partieel differentieren naar x: Bij het differentieren naar x wordt de afgeleide van de functie berekend waarbij x de enige variabele is. De andere variabele, y, wordt constant gehouden. δf/δx = 40x + 0xy want de afgeleide van 100/y is nul want y is hier een constante. de afgeleide van 0x is 40x. de afgeleide van -3y 3 is nul want y is hier een constante. de afgeleide van 10x y is 0xy want y is hier een constante en blijft staan, net zoals het getal 10 (ook een constante). de afgeleide van 4y is nul want y is hier een constante. Partieel differentieren naar y: Bij het differentieren naar y wordt de afgeleide van de functie berekend waarbij y de enige variabele is. De andere variabele, x, wordt constant gehouden. δf/δy = -100/y - 9y + 10x + 4 want de afgeleide van 100/y (=100y -1 ) is -100/y (=-100y - ). de afgeleide van 0x is nul want x is hier een constante. de afgeleide van -3y 3 is -9y. bb

29 de afgeleide van 10x y is 10x want x is hier een constante en blijft staan, net zoals het getal 10 (ook een constante). de afgeleide van 4y is 4. Het berekenen van de tweede afgeleide van een functie met twee variabelen gaat door partieel differentieren van de partieel gedifferentieerde functie. Partieel differentieren van δf/δx naar x: δ f δx = y Partieel differentieren van δf/δx naar y: δ f = 0x δxδy Partieel differentieren van δf/δy naar x: δ f = 0x δyδx Partieel differentieren van δf/δy naar y: δ f = δy 00/y 3-18y Stationaire punten, extremen en zadelpunten Een stationair punt is een punt waarin geldt: δf/δx = 0 en δf/δy = 0 Bijvoorbeeld: f(x,y) = x 3 - y 3-3x +1y δf/δx = 3x -3 3x - 3 = 0 3x = 3 x = 1 x = -1 en x = 1 δf/δy = -3y + 1-3y +1 = 0-3y = -1 y = 4 y - en y = Dus stationaire punten in (-1,-), (-1,), (1,-) en (1,). Een stationair punt kan een extreem punt (minimum, maximum) zijn, en kan een cc

30 zadelpunt zijn. De determinant moet worden uitgerekend om te bepalen of een stationair punt een minimum, maximum of zadelpunt is. De determinant wordt als volgt berekend: D = δ f δ f * δx δy δ f y x δ δ Als D < 0 dan zadelpunt Als D > 0 dan extreem punt, minimum als ook δ f δx > 0 maximum als ook δ f δx < 0 Dus: δ f δx = 6x δ f δy = -6y δ f δyδx = 0 Dus: D = 6x * -6y = -36xy De stationaire punten in (-1,-), (-1,), (1,-) en (1,) zijn dus: (-1,-) D = -36xy = -36 * -1 * - = -7 dus zadelpunt (-1,) D = -36xy = -36 * -1 * = 7 dus extreem punt, δ f/δx = 6x = 6 * -1 = -6 dus < 0 dus maximum (1,-) D = -36xy = -36 * 1 * - = 7 dus extreem punt, δ f/δx = 6x = 6 * 1= 6 dus > 0 dus minimum (1,) D = -36xy = -36 * 1 * = -7 dus zadelpunt dd

31 Extremen onder een beperkende voorwaarde: Langrange-methode De methode van Lagrange wordt gebruikt om extreme punten te vinden van een functie met twee variabelen onder een bepaalde (extra) voorwaarde. Bijvoorbeeld de functie: f(x,y) = 4xy met voorwaarde: x + y = 8 De voorwaarde moet worden herschreven: x + y = 8 x + y - 8 = 0 De voorwaarde wordt dan als functie van x en y als volgt opgeschreven: φ (x,y) = x + y - 8 Om de extreme punten te berekenen, moeten de vergelijkingen van Lagrange worden opgesteld. In de vergelijkingen van Lagrange staat de Langerage multiplier, λ. De vergelijkingen van Lagrange zien er als volgt uit: 1) δf/δx -λ *δφ/δx = 0 ) δf/δy -λ * δφ/δy = 0 3) φ(x,y)= 0 In het hierboven weergegeven voorbeeld is dat: 1) 4y - λ * x = 4y -xλ = 0 ) 4x - λ * y = 4x -yλ = 0 3) x + y - 8 = 0 Dit stelsel van vergelijkingen oplossen: Vergelijking 1) 4y - xλ = 0 4y = xλ 4y / x = λ y / x = λ invullen in vergelijking ) ee

32 Vergelijking ) 4x -yλ = 0 λ = y / x invullen in vergelijking 4x -y( y / x ) = 0 4x -4y /x = 0 links en rechts van =-teken vermenigvuldigen met x 4x - 4y = 0 x - y = 0 x = y invullen in vergelijking 3) Vergelijking 3) x + y - 8 =0 y = x invullen in vergelijking x + x -8 = 0 x = 8 x = 4 x = - en x = en x = y dus y = 4: y = 4 y = - en y = Dus stationaire punten in (-,-), (-,), (,-) en (,) Deze punten in de functie f(x,y) invullen De stationaire punten in (-,-), (-,), (,-) en (,) zijn dus: (-,-) f(-,-) = 4 * - * - =16 dus maximum (-,) f(-,) = 4 * - * = -16 dus minimum (,-) f(,-) = 4 * -* = -16 dus minimum (,) f(,) = 4 * * = 16 dus maximum Toepassingen Lagrange-methode De methode van Lagrange wordt gebruikt bij Cobb-Douglas functie. De Cobb-Douglas functie geeft aan hoeveel geproduceerd wordt bij inzet van bepaalde hoeveelheden kapitaal en arbeid. De voorwaarde is dan een budget waarvan bepaalde hoeveelheden kapitaal en arbeid aangeschaft kunnen worden. Cobb-Douglas functie: Q(K,L) = K a L b Q = productie K = Kapitaal L= Labour (Arbeid) Bijvoorbeeld de Cobb-Douglas functie: Q(K,L) = * L /3 K 1/3 onder voorwaarde: 500K + 50L = ff

33 (het budget is , de prijs van één eenheid kapitaal is 500 en de prijs van één eenheid arbeid is 50, het bedrijf kan derhalve kiezen om of 10 eenheden kapitaal, of 40 eenheden arbeid, of een combinatie van beide productiefactoren in te zetten) De voorwaarde wordt dan als volgt opgeschreven: φ (K,L) = 500K + 50L De vergelijkingen van Lagrange zien er als volgt uit: 1) δq/δk -λ *δφ/δk = 1/3 * * L /3 K -/3 - λ * 500 = * L /3 K -/3-500λ = 0 ) δq/δl -λ * δφ/δl = /3 * * L -1/3 K 1/3 - λ * 50= * L -1/3 K 1/3-50λ = 0 3) φ(k,l)= 50L + 500K = 0 Vergelijking 1) * L /3 K -/3-500λ = * L /3 K -/3 = 500λ * L /3 K -/3 /500 = λ * L /3 K -/3 = λ Vergelijking ).000 * L -1/3 K 1/3-50λ = 0 invullen λ = * L /3 K - /3.000 * L -1/3 K 1/3-50*(* L /3 K -/3 ) = * L -1/3 K 1/3-500 * L /3 K -/3 = * L -1/3 K 1/3 = 500 * L /3 K -/3 1/ 3 K L.000 * = 500 * 1/ 3 L K / 3 / 3.000/500* K 1/3 *K /3 = L /3 *L 1/3 4* K = L Vergelijking 3) 50L + 500K = 0 invullen L = 4* K 50*4*K + 500* K K = K = 40 L = 4 * K = 160 Bij K = 40 en L = 160, bij inzet van 40 eenheden kapitaal en 160 eenheden arbeid, is gg

34 de productie maximaal. De maximale productie is Q = *(160) /3 *(40) 1/3 = Verandering beprekende voorwaarde Met de Lagrange-multiplier kan het effect van een verandering van de voorwaarde op de extreme waarde berekend worden. De Lagrange-multiplier kan worden berekend met de vergelijkingen van Lagrange (zie hierboven). In het hierboven weergegeven voorbeeld van de Cobb-Douglas functie, kan het effect van een verandering van het budget op de maximale productie worden berekend. Bij K = 40 en L = 160 is de Lagrange-multiplier: λ = * (160) /3 /(40) /3 5 De Lagrange-multiplier zegt hoeveel de maximale productie toeneemt indien het budget met 1 toeneemt. Dus indien het budget met 1 toeneemt tot , neemt de maximale productie met 5 toe. De maximale productie is dan (= ). Voorraadbeheer Bij het voorraadbeheer maakt een bedrijf verschillende typen kosten: bestelkosten, opslagkosten en naleveringskosten. Bedrijven willen die kosten minimaliseren. Bijvoorbeeld de volgende kosten van voorraadbeheer: Een bedrijf maakt de volgende kosten voor het voorraadbeheer van 480 stuks van een product (per jaar worden er 480 stuks van het product verkocht). Bestelkosten vaste bestelkosten variabele bestelkosten Opslagkosten vaste opslagkosten variabele opslagkosten e 7 per bestelling e 100 per stuk e 500 per jaar e 0 per stuk In dit voorbeeld zijn (nog) geen kosten van naleveringen opgenomen. In dit voorbeeld wordt er eerst van uit gegaan dat naleveringen niet mogelijk zijn. Het bedrijf kan dus één bestelling van 480 stuks per jaar plaatsen, maar in dat geval krijgt het bedrijf te maken met hoge opslagkosten. Het bedrijf kan ook 480 bestellingen van 1 stuks plaatsten. Het bedrijf heeft dan lage opslagkosten, maar krijgt te maken met hoge bestelkosten. De ordergrootte (hoeveel stuks van het product het bedrijf per bestelling bestelt) is de variabele (q). hh

35 Vaste bestelkosten per jaar zijn: Per jaar worden 480/q bestellingen geplaatst en de kosten per bestelling zijn 7 Vaste bestelkosten per jaar dus: (480/q) *7 = 1.960/q Variabele bestelkosten per jaar zijn: Per jaar worden 480 stuks besteld en de kosten per stuk zijn 100 Variabele bestelkosten per jaar dus: 480 * 100 = Vaste voorraadkosten zijn: Vaste voorraadkosten per jaar 500 Variabele voorraadkosten zijn: De gemiddelde omvang van de voorraad is ½q (de voorraad is maximaal, net nadat een bestelling is binnengekomen, q en minimaal nul) en de kosten per stuk zijn 0 variabele voorraadkosten per jaar dus: ½q * 0 = 10q Dus de totale kosten van het voorraadbeheer per jaar (K(q)): K (q) = + 10q q K (q) = + 10q q Dit is functie van één variabele (q = ordergrootte). De minimale totale kosten berekenen door de afgeleide van K (K') gelijk te stellen aan nul. K' = /q /q + 10 = /q = -10 q = /-10 = 1.96 q = 36 De totale kosten van het voorraadbeheer per jaar zijn minimaal bij q = 36 (als per bestelling 36 stuks worden besteld). De minimale kosten zijn dan: K(36) = 1.960/36 +10* = 49.0euro In dit voorbeeld werd ervan uitgegaan dat naleveringen niet mogelijk zijn. Er werd dus van uitgegaan dat het product altijd op voorraad gehouden wordt. Het product is altijd ii

36 leverbaar. De opslagkosten zijn daardoor relatief hoog. Als ervoor gekozen wordt het product niet langer altijd op voorraad te hebben, dalen de opslagkosten. Echter moet het bedrijf wel naleveringskosten maken, voor het naleveren van producten die zijn gekocht op een moment dat het product niet op voorraad was. Nu het voorbeeld uitgebreid: naleveringen zijn wel mogelijk. Naleveringskosten (variabele) naleveringskosten e 16 per stuk Variabele voorraadkosten zijn dan: De maximale voorraad is de nieuwe (tweede) variabele m. De maximale voorraad is dus m. De minimale voorraad is nul. Echter, omdat bij een voorraad van nul stuks niet meteen een nieuwe bestelling wordt geplaatst, is de berekening van de gemiddelde voorraad anders dan hierboven. De gemiddelde omvang van de voorraad is: m q en de kosten per stuk zijn 0 Variabele voorraadkosten per jaar dus: m 10m * 0 = q q Het gemiddeld aantal naleveringen per jaar is: en de kosten per stuk zijn 16 (q m) q Variabele naleveringskosten per jaar dus: (q m) q 16(q m) *16 = q 16(q = qm + m q ) = 16q q 3qm 16m + q q 8m = 8q 16m + q Dus de totale kosten van het voorraadbeheer per jaar (K(q,m)): K(q,m) = m q q 8m + 8q 16m + q K(q,m) m = + q q + 8q 16m Dit is een functie van twee variabelen (q = ordergrootte en m = maximale voorraad). jj

37 De minimale totale kosten berekenen met partieel differentieren: δk δq m = q q + 8 δk δm = 36 m 16 q Extremen berekenen: δk/δm = 36m/q -16 = 0 36m/q = 16 q = 36m/16 9 q = 4 m δk/δq = /q -18m /q + 8 = 0 -( m )/q + 8 = 0 -( m )/q = -8 q = -( m )/-8 q = ¼m 9 9 q = m q = m = m 5 1 / 16 m = / 4 m 13 / 16 m = 160 m = 576 m = 4 q = 9 / 4 *4 = 54 De totale kosten van het voorraadbeheer per jaar zijn minimaal als per bestelling 54 stuks worden besteld en de maximale voorraad 4 stuks is. De minimale kosten zijn dan: K(q,m) = K(54,4) = * (4) * * = euro De (minimale) kosten van het voorraadbeheer zijn lager als naleveringen wel mogelijk zijn. De kosten van het voorraadbeheer met naleveringen ( euro) zijn lager dan voorraadbeheer zonder naleveringen (49.0 euro). kk

38 E Integreren Inleiding Integreren is het tegenovergestelde van differentieren. Met integreren kan de primitieve van een functie worden berekend. De primitieve wordt aangegeven met F(x). Met de primitieve F(x) kan een oppervlakte onder een (kromme) functie worden berekend. Integreerregels Integreren gaat als volgt: f(x) = bx a -> 1 F(x) = * bx a + 1 a+ 1 + c (c is een willekeurige constante) dus f(x) = 1 / 6 x 3 -> F(x) = 1/ 4 * 1 / 6 x 4 = 1 / 4 x 4 + c Omdat integreren het tegenovergestelde is van differentieren, kan ter controle F(x) worden gedifferentieerd. Dat levert als het goed is f(x) op: F(x) = 1 / 4 x 4 + c (met bijvoorbeeld c = 1) F(x) = 1 / 4 x F'(x) = 4* 1 / 4 x 3 = 1 / 6 x 3 = f(x) Belangrijke integreerregels: f(x) =e ax -> F(x) = 1 / a *e ax + c f(x) = a x -> F(x) = 1 / lna *a x + c f(x) = 1 / x -> F(x) = ln x + c Berekenen oppervlakte onder functie Zoals gezegd kan met de primitieve het oppervlakte onder een deel van de functie worden berekend. De oppervlakte tussen x = 0 en x = 1 onder de functie f(x) = x is niet moeilijk, die oppervlakte is ½. Voor het berekenen van een oppervlakte onder een kromme functie is de primitieve nodig. ll

39 Bijvoorbeeld: 3 f (x) = x = x 1/ 3 Het oppervlakte begrensd aan de bovenkant door de functie, aan de onderkant door de x-as, aan de linkerkant door x = 1 en aan de rechterkant door x = 8, wordt hier berekend. De manier waarop de oppervlakte wiskundig wordt weergegeven, is als een integraal, als volgt: 8 f(x)dx 1 (boven staat de grens aan rechterzijde, de hoogste x-waarde en onder staat de grens aan linkerzijde, de laagste x-waarde) dus 8 1 x 1/ 3 dx De oppervlakte wordt berekend door de primitieve met x = 8 min de primitieve met x = 1. De primitieve is: F (x) = x = (1 + 1/ 3) 3 4 x dus 1 8 x 1/ 3 3 dx = x = F(8) F(1) De oppervlakte is dus: (¾* 8 1 1/3 ) - (¾ *1 1 1/3 ) = 1 - ¾ =11¼ De oppervlakte is dus 11¼. Bij complexe functies zijn er drie bijzondere integreerregels: Substitutiemethode Dit is de 'kettingregel van het integreren'. Voor samengestelde functies: f(x) = g(h(x)) mm

40 Voorbeeld 1 f(x) = 6x(3x + 1) 4 De eerst stap bij het berekenen van de primitieve is het opschrijven als integraal: 4 6x(3x + 1) dx Met de substitutiemethode kan f(x) geïntegreerd worden indien f(x) is een samenstelling is van een functie en de afgeleide van die functie ook in f(x) staat. In deze functie is dat zo. 6x is de afgeleide van 3x x + 1 wordt dan u genoemd. u = 3x + 1 en du/dx (= de afgeleide van u) = 6x Indien u en du/dx in de integraal ingevuld worden, levert dat op: du (u) 4 dx dx Nu wordt dx weggestreept, immers zowel boven als onder de breukstreep staat dx. Dat levert op: u4 du Nu staat er de primitieve van de functie u 4 (omdat in de integraal du staat, wordt gekeken naar een functie afhankelijk van u en niet meer een functie afhankelijk van x). Het berekenen van de primitieve van de functie u 4 is niet moeilijk: F(u) = 1 / 5 u 5 Daarna weer u invullen (3x +1 invullen voor u). De primitieve van de functie f(x) = 6x(3x + 1) 4 is dus: F(x) = 1 / 5 (3x +1) 5 Voorbeeld : f(x) = 1x(3x + 1) 4 opgeschreven als integraal: 4 1x(3x + 1) dx De afgeleide van 3x + 1 is 6x. In f(x) staat echter 1x. Nu kan 1x ook worden geschreven als * 6x. Dan staat de afgeleide van de functie wel in f(x). nn

41 4 * 6x(3x + 1) dx u = 3x + 1 du/dx = 6x u 4 du De primitieve met u is dus: F(u) = * 1 / 5 u 5 = / 5 u 5 Weer u invullen. De primitieve is dus: F(x) = / 5 *(3x + 1) 5 Voorbeeld 3: x f(x) = x + 1 opgeschreven als integraal: x dx x x 1 x * * dx * dx x + 1 = x + 1 u = x + 1 du/dx = x 1 * du = u * u du De primitieve met u is dus: F(u) = ½ *ln(u) Weer u invullen. De primitieve is dus: F(x) = ½ *ln(x + 1) oo

42 Partieel integreren Dit is de 'productregel van het integreren'. Voor functies: f(x) = g(x) * h'(x) (g(x) * h' (x))dx = g(x) * h(x) (g' (x) * h(x)) dx Bijvoorbeeld: f(x) = 10xe x g(x) = 10x g'(x) = 10 h'(x) = e x h(x) = ½e x (g(x) * h' (x))dx = 5xe x 5e x 1 x 1 x = 10x * e (10 * e ) dx dx = 5xe x -5/ e x = 5xe x - 1 / e x De primitieve is dus F(x) = 5xe x - 1 / e x Berekenen consumptie- en productiesurplus Op een markt komen vraag en aanbod bij elkaar. Veelal worden vraag- een aanbod op de markt benaderd met functies. De vraagfunctie is de dalende functie en de aanbodfunctie is de stijgende functie(zie ook grafiek hieronder). Waar die twee functies elkaar snijden is de markt in evenwicht. Bij die prijs (de evenwichtsprijs) wordt het product ge- en verkocht en wel in die hoeveelheid. Productiesurplus Het productiesurplus is het oppervlakte begrensd aan de bovenkant door de horizontale lijn door de evenwichtsprijs, aan de onderkant door de aanbodfunctie en aan de linkerkant door q = 0 (de y-as). Zie ook de grafiek hieronder. Het productiesurplus kan worden berekend door de oppervlakte van de rechthoek tussen de horizontale lijn door de evenwichtsprijs en de x-as te berekenen en daarvan de oppervlakte onder de aanbodfunctie vanaf te trekken. Consumptiesurplus Het consumptiesurplus is het oppervlakte begrensd aan de bovenkant door de vraagfunctie, aan de onderkant door de horizontale lijn door de evenwichtsprijs, en aan de linkerkant door de q = 0 (de y-as). Zie ook de grafiek hieronder. pp

43 Het consumptiesurplus kan worden berekend door de oppervlakte onder de vraagfunctie te berekenen en daarvan de oppervlakte van de rechthoek tussen de horizontale lijn door de evenwichtsprijs en de x-as af te trekken. Bijvoorbeeld: vraagfunctie : p 1000 = (0,05q + 4) aanbodfunc tie : p = 1,5q + 10 Vraag- en aanbodfunctie zijn in de grafiek getekend. Met pijlen is aangegeven waar het consumptie- en productiesurplus in de grafiek te zien is: consumptiesurplus productiesurplus vraag aanbod De oppervlakte onder de aanbodfunctie wordt als volgt berekend: 0 (1,5q + 10)dq 0 De primitieve is dus: 1 / *1,5q + 10q = 3 / 4 q + 10q De oppervlakte is dus: 3 q q 0 0 = (3/4*0 + 10*0) - (3/4*0 +10*0) = (300+00) - 0 = 500 qq

44 De oppervlakte onder de aanbodfunctie is dus 500. Om het productiesurplus te berekenen moet dat getal worden afgetrokken van de oppervlakte van de rechthoek tussen de horizontale lijn door de evenwichtsprijs en de x-as. De oppervlakte van die rechthoek is 0*40 = 800 Het productiesurplus is dus 300 (= ) De oppervlakte onder de vraagfunctie wordt als volgt berekend: (0,05q + 4) dq is gelijk aan: * (0,05q + 4) dq u = 0,05q + 4 du/dq = 0, * 0,05 * (0,05q + 4) * u du De primitieve met u is dus: 1 / (1-) * 0000 *u -1 = -0000* 1/u Weer u invullen. De primitieve is dus: -0000/(0,05q+4) De oppervlakte is dus: dq 0 [ ] = 0000 /(0,05q + 4) 0 (-0000/(0,05*0+4)) - (-0000/(0,05*0+4)) = = 1000 De oppervlakte onder de vraagfunctie is dus Om het consumptiesurplus te berekenen moet daarvan de oppervlakte van de rechthoek tussen de horizontale lijn door de evenwichtsprijs en de x-as af worden getrokken. De oppervlakte van die rechthoek is 0*40 = 800 Het consumptiesurplus is dus 00 (= ) rr

45 F Rijen en reeksen Inleiding Een rij is een opeenvolgend aantal getallen. De getallen in de rij worden termen genoemd. Er bestaan twee soorten rijen: rekenkundige en meetkundige. Een rekenkundige rij is een rij waarin tussen twee opeenvolgende termen telkens een constant verschil is. Bijvoorbeeld:, 4, 6, 8 Tussen opeenvolgende termen een verschil van. Een meetkundige rij is een rij waarin de opvolgende term met een bepaalde waarde (de reden) vermenigvuldigd wordt. Bijvoorbeeld:, 4, 8, 16, 3 Opvolgende term vermenigvuldigd met Er bestaan eindige en oneindige rijen. Een eindige rij heeft een eindig aantal termen. Een oneindige rij heeft een oneindig aantal termen. Omdat een oneindig aantal termen onmogelijk opgeschreven kan worden, wordt een oneindige rij weergegeven met puntjes. Daarmee wordt aangegeven dat de rij eigenlijk nog verder gaat. Bijvoorbeeld de weergave van een oneindige rij:, 4, 6, 8,... Rekenkundige rijen Hierboven is al kort uiteengezet dat een rekenkundige een rij is waarin tussen twee opeenvolgende termen telkens een constant verschil is. Dat constante verschil wordt aangeduid met de letter v. De beginterm, de startwaarde, wordt aangeduid met de letter a. In het hierboven weergeven voorbeeld:, 4, 6, 8 geldt dus a = en v =. Voor term n geldt: t n = a + (n - 1) * v Ter controle: De derde term moet 6 zijn: t 3 = + (3-1) * = + * = + 4 = 6 ss

46 Som rekenkundige rij De som van alle termen van een eindige rekenkundige rij. De formule blijkt aan de hand van een getallenvoorbeeld: Bijvoorbeeld de eindige rekenkundige rij:, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 16, 18, 0,, 4 Deze rij heeft twaalf termen. Twaalf termen is wat veel om op te schrijven en daarom wordt deze rij over het algemeen opgeschreven als:, 4, 6, 8,... 4 De puntjes geven aan dat de rij verder gaat totaan de laatste term 4. De som van deze rij kan ook worden berekend door 'gewoon' alle termen op te tellen, maar een algemene formule is nodig voor langere rijen. De rij wordt twee keer opgeschreven. de eerste keer gewoon en daaronder achterstevoren., 4, 6, 8, ,, 0, 18,... dan optellen:, 4, 6, 8, ,, 0, 18, , 6, 6, 6,... 6 Beide rijen bij elkaar opgeteld levert op 1 * 6 = 31. De som van de rij is de helft daarvan, dus 156. De som van de rij is dus de helft van het aantal termen maal de eerste term plus de laatste term: S = ½ * n * (a + a + (n - 1) * v) Dat wordt als volgt herschreven: S = ½ * n * (a + (n - 1) * v) S = ½ * (na + n(n - 1)v) S = na + ½ * n(n - 1)v Meetkundige rijen Hierboven is al kort uiteengezet dat een meetkundige een rij is waarin de opvolgende term met een bepaalde waarde (de reden) vermenigvuldigd wordt. De reden wordt tt

47 aangeduid met de letter r. De beginterm, de startwaarde, wordt aangeduid met de letter a. Bijvoorbeeld: 1,, 4, 8,... Voor term n geldt: n = a*r n-1 Ter controle: De vierde term moet 8 zijn: t 4 = 1 * () 3 = 8 Renteberekening zoals hierboven in paragraaf van hoofdstuk 3, is een meetkundige reeks. Elk jaar wordt het bedrag met (1+r) vermenigvuldigd. De reden van die rij is dus (1+r). Na n jaar geldt: a * (1 + r) n Bijvoorbeeld na 10 jaar is een bedrag van euro bij een rente van 3,5% dus: 5000 *(1+0,035) 10 = 7.05,99 (Let op in een rij is dit term 11, n = 11, t n = 1000*(1+0,035) (11-1) = 7.05,99) Som meetkundige rij Som eindige meetkundige rij De som van alle termen van een eindige meetkundige rij. De formule blijkt aan de hand van een getallenvoorbeeld: Bijvoorbeeld de eindige meetkundige rij:, 4, 8, 16,,56 De som van deze rij kan ook worden berekend door 'gewoon' alle termen op te tellen, maar een algemene formule is nodig voor langere rijen. De rij wordt twee keer opgeschreven. De eerste keer gewoon en daaronder de hele rij vermenigvuldigd met twee. S = *S = Als de som van de rij vermenigvuldigd met twee wordt afgetrokken van de som van de rij, dan vallen de 'binnenste' termen tegen elkaar weg. De som is dan makkelijk te berekenen: S -*S = S = -510 S = 510 uu

48 In dit voorbeeld klopt de berekening omdat de rij vermenigvuldigd is met de reden van de rij. Meer algemeen moet daarom de berekening als volgt zijn: S = a + ar + ar ar n-1 r*s = ar +ar +ar ar n-1 + ar n - Als de som van de rij vermenigvuldigd met de reden wordt afgetrokken van de som van de rij, dan vallen de 'binnenste' termen tegen elkaar weg. De som is dan makkelijk te berekenen: S - r*s = a - ar n (1-r) * S = a * (1-r n ) De formule voor de som van een eindige meetkundige rij is dus: n 1 r S = a (1 r) Ter controle de eindige meetkundige rij, 4, 8, 16,.., 56 is 510 (zie boven): 1 S = = 510 (1 ) 8 Als r = 1 dan geldt deze formule niet. Als r = 1 dan neemt de opvolgende term niet toe of af, immers de opvolgende term wordt met 1 vermenigvuldigd en blijft dus hetzelfde. De som van een rij met reden 1 is dus n*a. als r =1 S = na Som oneindige meetkundige rij Omdat een oneindige rij uit een oneindig aantal termen bestaat, kan de som niet zomaar worden berekend. Bijvoorbeeld de oneindige meetkundige rij:, 4, 8, 16,... De som van deze meetkundige rij, volgens de formule: n 1 r S = a (1 r) is dus: n 1 S = ( 1) = (1 n ) vv

49 Omdat de rij oneindig veel termen heeft (n ), is de som oneindig. Indien -1 < r < 1, dan nadert r n tot nul. De oneindige meetkundige rij met reden ½ en startwaarde van 1: 1, 1 /, 1 / 4, 1 / 16,... De som van deze meetkundige rij, volgens de formule is dus: 1 n 1 ( / ) S = 1 1 (1 / ) Omdat ( 1 / ) n nadert tot nul, is de som van deze rij gelijk aan: S = a / (1-r) = 1 / (1-1/) = Indien r < -1, bijvoorbeeld -, dan wisselt het teken van r n, (-) =4 en (-) 3 = -8. De som kan niet worden uitgerekend. Dus de som van een oneindige meetkundige rij is: als r > 1 als 0 < r < 1 als r < 0 oneindig S = a / (1-r) bestaan niet ww

50 F Differentiaalvergelijkingen Inleiding Een differentiaalvergelijking is een functie waarin de afgeleide van de functie staat, die uitgedrukt wordt als functie van de onafhankelijke variabele t. Bijvoorbeeld: f(t) = e -t f'(t) = -e -t Nu wordt e -t gelijkgesteld aan x(t): f'(t) = dx(t)/dt = - * x(t) De afgeleide van de functie (dx(t)/dt) wordt uitgedrukt als functie van x(t) die afhankelijk is van de (onafhankelijke) variabele t. De differentiaalvergelijking ziet er in dit voorbeeld als volgt uit: dx(t) = x(t) dt De afgeleide (dx(t)/dt) wordt ook wel geschreven als een x met een punt daarboven. De differentiaalvergelijking ziet er dan als volgt uit:. x = x of. x+ x = 0 Eerste orde differentiaalvergelijkingen Eerste orde differentiaalvergelijkingen zijn differentiaalvergelijkingen zoals in het hierboven weergegeven voorbeeld. De eerste orde differentiaalvergelijking is afhankelijk van slechts één variabele, namelijk van x(t). Eerste orde differentiaalvergelijkingen zien er als volgt uit: dx(t) = ax(t) + b dt Hierin worden slechts eerste orde differentiaalvergelijkingen behandeld. In paragraf 5 wordt kort stilgestaan bij twee en hogere orde differentiaalvergelijkingen, maar daarop wordt niet inhoudelijk ingegaan. xx

51 Oplossen met methode van scheiden van variabelen Bijvoorbeeld de differentiaalvergelijking Voorbeeld 1: dx(t) = x(t) dt x(t) voor het gemak als slechts x schrijven: dx dt scheiden van variabelen (links van het =-teken x en rechts van het =-teken t) levert op: dx x = x = dt links en rechts van het =-teken als integralen schrijven: is gelijk aan: dx x = dt 1 x dx = dt links en rechts van =-teken integreren: ln x + c = -t + c i.p.v. twee volstaat één constante: ln x = -t + c oplossen: ln x = -t +c x = e -t+c x = e -t *e c x = ± e -t *e c (e c is een willekeurige positieve of negatieve constante en kan als c worden geschreven) x(t) = c *e -t yy

52 Vaak wordt bij de differentiaalvergelijking een beginwaarde gegeven, bijvoorbeeld beginwaarde x(0) = ½. Die beginwaarde levert in dit voorbeeld op: x(0) = c *e -*0 = ½ c *e 0 = ½ c *1 = ½ c = ½ De oplossing met inachtneming van de beginwaarde is dus: x(t) = ½ * e -t Voorbeeld : dx = dt x scheiden van variabelen: dx = x dt als integralen schrijven: 1 dx = dt x integreren: x 1/ = t + c oplossen: x 1/ = t + c (c is een willekeurige constante en kan daarom ook hier als c worden geschreven en i.p.v. als ½c) x(t) = (t + c) Voorbeeld 3: dx = dt tx zz

53 scheiden van variabelen: dx = x tdt als integralen schrijven: 1 x dx = tdt integreren: ln x = ½ *t + c ln x = t + c oplossen: x = e t + c x = e t *e c x = ± e t *e c x(t) = c *e t Voorbeeld 4: dx t dt = (t 1)x met beginwaarde x(1) = e scheiden van variabelen: dx x (t 1) = dt t dx 1 = (t t )dt x als integralen schrijven: 1 1 dx = (t t ) dt x aaa

54 integreren: ln x = ln(t) + t -1 + c oplossen: ln(t)+ 1/t + c x = e x = e ln(t) *e 1/t *e c x = t *e 1/t *e c x = ± t *e 1/t *e c x = c* t *e 1/t met beginwaarde x(1) = e x(0) = c*1*e 1 = e c = e / e = 1 De oplossing met inachtneming van de beginwaarde is dus: x(t) = t *e 1/t Oplossen van casus Veel wordt gevraagd een differentiaalvergelijking op te lossen die eerst afgeleid moet worden uit een casus. Uit de gegevens van een casus kan een differentiaalvergelijking worden afgeleid die vervolgens moet worden opgelost met de methode van scheiden van variabelen (zie voor die methode hierboven). Differentiaalvergelijkingen zien er als volgt uit: dx(t) = ax(t) + b dt dx(t)/dt is de afgeleide van x(t) en wordt in casus veelal als een verschil aangeduid. Bijvoorbeeld een casus over een bepaalde stof die is opgelost in een ton water en die, omdat er vers water in de ton stroomt, uit de ton stroomt. De hoeveelheid van de stof opgelost in het water in de ton wordt aangegeven met x(t). Aanvankelijk zit er 5 kg van de stof opgelost in de ton, per minut stroomt er 5 liter water uit de 100 liter grote ton. Geef de differentiaalvergelijking voor het uit de ton stromen van de stof. Er wordt gevraagd naar de differentiaalvergelijking van het uit de ton stromen van de stof. Dat is een verschil (dx(t)/dt). Hoeveel van de stof uit de ton stroomt is in de eerste plaats afhankelijk van hoeveel bbb

55 water die uit de ton stroomt. Per minuut stroomt 5 van de 100 liter uit de ton (dus - 5/100). En is in de tweede plaats afhankelijk van hoeveel van de stof nog opgelost in het water in de ton zit (dus x(t)). De differentiaalvergelijking is dus: dx(t) 5 = x(t) dt 100 is gelijk aan: dx(t) = 0,05x(t) dt oplossen met scheiden van variabelen: dx x = 0,05dt 1 x dx = 0,05dt ln x = -0,05t +c x = e -0,05t+c x = c* e -0,05t met beginwaarde x(0) = 5, want aanvankelijk zat er 5 kg van de stof opgelost in de ton. x(0) = c* e -0,05*0 = 5 c * 1 = 5 c = 5 De oplossing met inachtneming van de beginwaarde is dus: x(t) = 5 *e -0,05t Met die vergelijking kan bijvoorbeeld de vraag na hoeveel tijd er nog maar de helft van de stof opgelost in de ton zit, beantwoord worden. x(t) = 5 *e -0,05t = 1,5 e -0,05t = 1,5/5 = ½ ln(e -0,05t ) = ln(½) -0,05t = ln(½) t = ln(½)/-0,05 13,86 t 13,86 minuten (13 minuten en 43 seconden) ccc

56 Dus na 13 minuten en 43 seconden is de nog maar de helft van de stof die aanvankelijk opgelost in de ton zat nog aanwezig. Tweede en hogere orde differentiaalvergelijkingen Tweede en hogere orde differentiaalvergelijkingen zijn afhankelijk van twee (tweede orde) of meer (hogere orde) variabelen. Tweede orde differentiaalvergelijkingen zijn afhankelijk van bijvoorbeeld x 1 (t) en x (t). Tweede orde differentiaalvergelijkingen zien er als volgt uit: dx 1 (t) = a1x1(t) + ax(t) b dt + ddd

57 H Differentievergelijkingen Inleiding Een differentievergelijking geeft in een functie aan in hoe de waarde op een bepaald tijdstip afhangt van de waarde op een vorig tijdstip. Het tijdstip wordt aangegeven als een index bij x. Differentievergelijkingen zien er als volgt uit: x t - x t-1 = 4 De waarde van x op tijdstip t hangt dus af van de waarde van x op het vorige tijdstip, namelijk de waarde van x op tijdstip t-1. I.p.v. de letter t wordt vaak ook de letter n als index bij x gebruikt. Eerste orde differentievergelijkingen Als in de differentievergelijking de waarde op een bepaald tijdstip afhankelijk is van één vorig tijdstip, dan is het een eerste orde differentievergelijking. De hierboven weergegeven differentievergelijking is een eerste orde differentievergelijking. Eerste orde differentievergelijkingen zien er als volgt uit: x t - ax t-1 = r Oplossen De algemene oplossing van de differentievergelijking x n - ax n-1 = r is: n x = Ca n (C is een willekeurige constante) De algemene oplossing bestaat uit twee delen. het laatste deel r/(1-a) is de particuliere oplossing. De hier weergegeven algemene oplossing geldt niet als a = 1. Als a = 1 dan ziet de differentievergelijking er als volgt uit: x n+1 - x n = r r + 1 a De differentievergelijking is een rekenkundige rij met tussen de termen een constant verschil r, immers het verschil tussen x n en x n-1 is r. Als a = 1 dan is de algemene oplossing: x n = C + rn (C is een willekeurige constante) eee

58 Voorbeeld 1: x n+1 = ¼ x n + 6 Bij oplossen eerst rangschikken; x-en links van het =-teken: x n+1 - ¼ x n = 6 In deze differentievergelijking staan niet een x n en een x n-1 (zoals in het hierboven weergegeven voorbeeld). In deze differentievergelijking staan een x n+1 en een x n. Dat maakt niet uit want nog steeds wordt het verschil met het vorige tijdstip aangegeven. Bij het rangschikken moet de x met hoogste index altijd uiterst links komen te staan. De differentievergelijking moet voldoen aan de volgende opmaak: x n - ax n-1 = r. Dat is hier al het geval. x n+1 - ¼ x n = 6 a = ¼ r = 6 De algemene oplossing is dus: x n = C(¼) n + 6 /¾ = C(¼) n + 8 Voorbeeld : x n = x n Rangschikken x-en links van het =-teken: x n -x n+1 = 8 Hoogste index uiterst links: -x n+1 + x n = 8 De differentievergelijking moet voldoen aan de volgende opmaak: x n - ax n-1 = r (d.w.z. delen door -): x n+1 - ½ x n = -4 a = ½ r = -4 De algemene oplossing is dus: x n = C(½) n - 4 /½ = C(½) n - 8 fff

59 Voorbeeld 3: x n+1-1/3x n = 4 a = 1/3 r = 4 De algemene oplossing is dus: x n = C(1/3) n + 4 / 1-1/3 = C(1/3) n + 6 Vaak wordt bij de differentiaalvergelijking een beginwaarde gegeven, bijvoorbeeld beginwaarde x 0 = 5. Die beginvoorwaarde levert in dit voorbeeld op: x 0 = C*(1/3) = 5 C*1 + 6 = 5 C = 5-6 = -1 De algemene oplossing met inachtneming van de beginwaarde is dus: x n = -(1/3) n + 6 Voorbeeld 4: x n+1-4x n = 0 met beginwaarde x 0 = 1 / 16 a = 4 r = 0 De algemene oplossing is dus: x n = C(4) n + 0 / (1-4) = C(4) n + 0 = C(4) n met beginwaarde x 0 = 1 / 16 : x 0 = C*4 0 = 1 / 16 C*1 = 1 / 16 C = 1 / 16 De algemene oplossing met inachtneming van de beginwaarde is dus: x n = 1 / 16 *(4) n ggg

60 Cobweb-model Het Cobweb-model is een model voor vraag en aanbod op een markt, waarin de vraag afhankelijk is van de prijs op tijdstip t, terwijl de productie afhankelijk is van de prijs op het vorig tijdstip, op t-1. De veronderstelling van het Cobweb-model derhalve is de volgende: Consumenten (vraag) kunnen snel reageren op een bepaalde prijs(verandering). Producenten (aanbod) moeten hun productieproces aanpassen en dat kost meer tijd, producenten kunnen dus minder snel reageren op een bepaalde prijs(verandering). Bijvoorbeeld de volgende vraag- en aanbodfuncties: vraag q v = -6p t + 70 aanbod q a = 1½p t-1-60 Met vraag- en aanbodfuncties moet een differentievergelijking opgesteld worden: q v = q a -6p t + 70 = 1½p t-1-60 Rangschikken p-en links van het =-teken en hoogste index uiterst links: -6p t -1½p t-1 = p t -1½p t-1 = -780 De differentievergelijking moet voldoen aan de volgende opmaak: x n - ax n-1 = r (d.w.z. delen door -6): p t + ¼ p t-1 = 130 a = -¼ r = 130 De algemene oplossing is dus: p n n n = C + C + 1 = 4 (1 ) Eventueel met bijvoorbeeld beginwaarde p 0 = 110: 0 1 p = C = 110 hhh

61 C* = 110 C = = 6 De algemene oplossing met inachtneming van de beginwaarde p 0 = 110 is dus: p n n + 1 = De evenwichtsoplossing is het tweede deel van de algemene oplossing: r 1 a Er is dus een evenwicht(soplossing) bij 104 (p = 104). Ter controle kunnen ook vraag- en aanbodfuncties aan elkaar gelijk worden gesteld, waarbij indices worden weggelaten: q v = q a -6p + 70 = 1½p p - 1½p = ½ p = -780 p =104 (evenwicht bij p=104) Evenwicht stabiel en instabiel Omdat consumenten en producenten in het Cobweb-model anders op de prijs reageren, is het de vraag of (uiteindelijk) vraag en aanbod in evenwicht raken. De evenwichtsoplossing, in dit voorbeeld bij 104, kan een stabiel of een instabiel evenwicht zijn. Met het eerste deel van de van de algemene oplossing kan dat onderzocht worden. De limiet van het eerste deel van de algemene oplossing, als t naar oneindig nadert, is 1 lim C = 0 t 4 in dit voorbeeld nul. n De limiet van het eerste deel van de algemene oplossing, als t naar oneindig nadert, is nul want -1< a < 1. De limiet van de (gehele) algemene oplossing, als t naar oneindig nadert, is dus gelijk aan de evenwichtsoplossing. Als t nadert naar oneindig nadert de algemene oplossing dus naar 104. Het evenwicht bij 104 is daarom en stabiel evenwicht. iii

62 Er geldt dus: * Als de limiet van de algemene oplossing, als t nadert naar oneindig, gelijk is aan de evenwichtsoplossing, dan is het evenwicht stabiel. Het evenwicht is stabiel als -1 < a < 1. * Als de limiet van de algemene oplossing, als t nadert naar oneindig, ongelijk is aan de evenwichtsoplossing, dan is het evenwicht instabiel. Het evenwicht is instabiel als a > 1. Tweede en hogere orde differentievergelijkingen Als in de differentievergelijking de waarde op een bepaald tijdstip afhankelijk is van twee of meer vorige tijdstippen, dan is het een tweede of hogere orde differentievergelijking. Tweede orde differentievergelijkingen zien er als volgt uit: x t - ax t-1 - bx t- = r jjj

63 Werken bij JoHo - De ideale studentenbijbanen! Student-managers (vanaf 10 uur per week) Als student-manager ben je in één van de JoHo support centers samen met één of twee collega's verantwoordelijk voor het gehele traject rondom het uitgeven van samenvattingen. Een zeer veelzijdige functie waarbij je in 1,5 jaar met alle aspecten van de bedrijfsvoering te maken krijgt. Profiel: Enthousiaste student, binnen de relevante studies Zelfstandig en in teamverband kunnen werken Geen moeite hebben met zo nu en dan leiding geven en aansturen Organisatorische vaardigheden Commercieel inzicht Student-auteurs Voor het maken van de boekuittreksels en samenvattingen, maken wij gebruik van ervaren auteurs, voornamelijk Masterstudenten en/of (pas-)afgestudeerden. De hulp van studenten die het vak volgen is echter hard nodig om ons aanbod perfect te laten aansluiten op de wensen van de student! Dus: 1. Heb jij aanleg om netjes en overzichtelijk te schrijven en wil je deze vaardigheden verder ontwikkelen? Vind je deadlines geen probleem en vind je het prettig om in je eigen tempo daar naartoe te werken? Word dan student-auteur! Als student-auteur help je JoHo met het verbeteren van de samenvattingen, door bijvoorbeeld bestaande samenvattingen te controleren op inhoud en spelling, het schrijven van aanvullende teksten en het maken van collegeaantekeningen.. Naast de verdiensten voor de gemaakte opdracht verbeter je ook je schrijfvaardigheden en krijg je gratis hulpgidsen om effectiever te studeren en beter je tentamens voor te bereiden. Studie-coördinatoren (4 tot 8 uur per maand) Sta jij graag veel in contact met je medestudenten en ben jij van alles op de hoogte rondom je studie? Zoek je een bijbaan voor maar enkele uren in de maand, die perfect aansluit bij je werkzaamheden voor je studie? Word dan studie-coördinator! Als studie-coördinator help je JoHo met het verzamelen van alle relevante info voor jouw studie en zorg je ervoor dat je medestudenten weten wanneer de samenvattingen beschikbaar zijn. Tevens help je JoHo met het vinden van nieuwe auteurs en je medestudenten met een passende bijbaan. Naast de vaste verdiensten per maand, maak je gratis gebruik van een groot deel van de samenvattingen voor jouw studie Interesse in een van bovenstaande functies? Stuur je motivatiebrief en CV naar: personeelszaken@joho.nl t.a.v de procescoördinator P&O (je hoeft de mail niet persoonlijk aan iemand te richten) Heb je nog vragen dan kan je iedere dinsdag tussen 1.00 en uur via contact opnemen met de Procescoördinator P&O. kkk

64 lll