Algebra Determinanten en stelsels. Cursus voor de vrije ruimte

Transcriptie

1 Algebra Determinanten en stelsels Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte

2 2

3 Hoofdstuk 1 Determinanten 1.1 Determinant van de orde twee We gaan na wat de voorwaarde is waaraan de elementen van een vierkante matrix moeten voldoen opdat de rijvectoren lineair afhankelijk zouden zijn. Daartoe bespreken we de rang van de matrix. 1. In geval a 0 ( ) a b A = c d (a) RangA=2 als ad bc 0 (b) RangA=1 als ad bc = 0 2. In geval a = 0 a 0 ( a b 0 ad bc ) (a) c 0 (c is Jordan-element) ( 0 b c d ) c 0 ( c d 0 b ) i. RangA=2 als b 0 In dit geval is ab bc = 0 bc 0 ii. RangA=1 als b = 0 In dit geval is ab bc = 0 0 = 0 (b) c = 0. In dit geval is steeds ab bc = 0 0 = 0 3

4 4 HOOFDSTUK 1. DETERMINANTEN Besluit i. b 0 ( 0 b 0 d RangA=1. ii. b = 0 en d 0 RangA=1. ( d ) ) b 0 ( 0 d 0 0 iii. b = d = 0 ( RangA=0. ( ) ) d 0 ) ( De rijvectoren van een matrix zijn lineair onafhankelijk (ranga=2) als en slechts als ab bc 0 en zijn lineair afhankelijk (ranga 1) als en slechts ad bc = 0. Het is handig om uitdrukking ad bc schematisch te kunnen voorstellen. Daarom definiëren we het begrip van determinant van de orde twee. Is de matrix A een vierkante matrix van de orde 2 2 dan is de determinant van een matrix A het reëel getal deta = a b c d = ad bc R. STELLING 1.1 Als we in een (2 2)-matrix de rijen en de kolommen met elkaar verwisselen dan blijft haar determinant onveranderd. Inderdaad, a c a b deta t = deta b d = ad bc c d = ad bc Opdat het al dan niet nul zijn van een determinant niet verandert als we de rijen met de kolommen verwisselen, kunnen we de volgende stelling definiëren. )

5 1.1. DETERMINANT VAN DE ORDE TWEE 5 STELLING 1.2 De rijvectoren (kolomvectoren) van een matrix zijn lineair onafhankelijk als en slechts als zijn determinant verschillend is van nul en zijn lineair afhankelijk als en slechts als zijn determinant gelijk is aan nul. Opmerking: 1. In geval c 0 en d 0 betekent a b c d = 0 a c = b met (c 0, d 0) d Dit betekent inderdaad dat de rijvectoren (a, b) en (c, d) lineair afhankelijk zijn. 2. In geval c = 0 is ab bc = 0 als a = 0 d = 0 a 0 = b d (a) c = a = 0 dan verkrijgen 0 0 = b d De vectoren (0, b) en (0, d) zijn inderdaad lineair afhankelijk. (b) c = d = 0 dan verkrijgen we a 0 = b 0 De vectoren (a, b) en (0, 0) zijn inderdaad lineair afhankelijk. De nulvector is afhankelijk van elke vector. Als in een evenredigheid de noemer nul is dan kan de evenredigheid maar voldaan zijn als ook de corresponderende teller gelijk is aan nul of als alle noemers gelijk zijn aan nul. STELLING 1.3 Als we in een (2 2)-matrix de 2 rijen (kolommen) met elkaar verwisselen dan gaat de determinant over in zijn tegengestelde. Inderdaad, Hieruit volgt a b c d = ad bc c d a b = bc ad a b c d = c d a b

6 6 HOOFDSTUK 1. DETERMINANTEN 1.2 Determinant van de orde drie Cofactor van een element van een (3 3)-matrix In een (3 3)-matrix zitten 9 determinanten van de orde 2 vermits er 9 deelmatrices zijn van de orde (2 2). Zo een deelmatrix bekomen we door een rij en een kolom te schrappen. Vandaar de volgende definitie. De cofactor van een element a ij van een matrix van de orde (3 3) is de determinant van de matrix van de orde (2 2) die we bekomen door de i-de rij en de j-de kolom te schrappen. Vóór deze determinant plaatsen we een + of een teken al naar gelang i + j even of oneven is. Is i + j even (oneven) dan zeggen we dat het element op een even (oneven) plaats staat. De cofactor van het element a ij in de vierkante matrix (a ij ) noteren we A ij. Hieronder geven we een schematische voorselling van alle cofactoren, di. de matrix waarin elk element van A vervangen werd door zijn cofactor. A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33 (1.1) Opmerking: De minor van een element a ij van de vierkante matrix (a ij ) is de determinant die we bekomen door de i-de rij en de j-de kolom te schrappen zonder rekening te houden met het teken van de plaats waar het element zich bevindt Definitie van determinant van de orde 3 De korte notatie A ij voor cofactor van een element van een matrix kunnen we goed gebruiken om de canonieke matrix te bepalen van een algemene (3 3)-matrix. De canonieke matrix van de (3 3)-matrix a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 in geval a 11 0 en A 33 0, is gelijk aan a 11 A 33 0 a 13 A 33 + a 12 A 32 0 A 33 A A 22 A 33 A 32 A 23 De rang van de matrix hangt af van het al of niet nul zijn van de cofactor A 22 A 33 A 32 A 23 van het element A 11 in de matrix 1.1. We berekenen A 22 A 33 A 32 A 23 in functie van de

7 1.2. DETERMINANT VAN DE ORDE DRIE 7 elementen a ij. A 22 A 33 A 32 A 23 = a 11 (a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 ) Vermits in de rijherleiding a 11 0, hangt het al dan niet nul zijn van A 22 A 33 A 32 A 23 enkel af van de factor a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32. (1.2) Ga zelf na dat voor gelijk welke keuze van de Jordan elementen in de rijherleiding van de matrix A, de canonieke gedaante steeds de factor 1.2 bezit. Dit betekent dat bij verwisseling van rijen deze factor steeds bekomen wordt. We definiëren 1.2 als de determinant van de (3 3)-matrix A en we noteren deta of A. De algemene term van deze som in 1.2 is van de gedaante: a 1k a 2l a 3m. Om alle termen van de ontwikkeling te bekomen, nemen we voor (k, l, m) de zes permutaties p i van (1, 2, 3) (met i {1, 2, 3, 4, 5, 6}). Staat in een permutatie p i van de elementen van een verzameling {1, 2, 3 n} een groter element links van een kleiner element, dan spreken we van een inversie. Een even permutatie is een permutatie met een even aantal inversies. Een oneven permutatie is een permutatie met een oneven aantal inversies. We zeggen dat een even permutatie een signatuur gelijk aan +1 heeft en een oneven permutatie een signatuur gelijk aan 1 heeft. We noteren sign(p i ) { = 1 pi is even sign(p i ) = 1 p i is oneven Je kan nu gemakkelijk nagaan dat in 1.2 een (+)teken voorkomt als (k, l, m) een even permutatie is van (1, 2, 3) en een (-)teken als (k, l, m) een oneven permutatie is. Met het sommatieteken kunnen we de uitdrukking voor de determinant als volgt noteren: A = deta = 6 sign(p i )a 1,pi (1)a 2,pi (2)a 3,pi (3). i=1 We kunnen de determinant van een matrix van de orde 3 3 ook bekomen door de zogenaamde regel van de driehoeken. De driehoeken worden bekomen door in de matrix de elementen die in de uitdrukking 1.2 samen horen in eenzelfde term met elkaar te verbinden. Zo ontstaan zes driehoeken.

8 8 HOOFDSTUK 1. DETERMINANTEN DERIVE berekent determinanten met het commando det(a) te schrijven. EXCEL berekent eveneens determinanten met in een cel het commando DETERMINANTMAT(A) te schrijven. 1.3 Uitbreiding van het begrip determinant We kunnen gemakkelijk het begrip van determinant uitbreiden naar een hogere orde dan de derde orde. Is een matrix van de orde (n n) dan heeft de determinant n! termen omdat een verzameling mat n elementen n! permutaties bezit. n! deta = sign(p i )a 1,pi (1)a 2,pi (2)... a n,pi (n). i=1 OPGAVEN 1 Bepaal de determinant van een symmetrische matrix van de orde Bereken de volgende determinanten met de regel van de driehoeken: , OPLOSSINGEN 2. (i). -80; (ii) 6.

9 1.4. EIGENSCHAPPEN VAN DETERMINANTEN Eigenschappen van determinanten STELLING 1.4 Vermenigvuldigen we de elementen van een willekeurige rij met resp. hun eigen cofactor en tellen we de bekomen producten op dan verkrijgen we steeds hetzelfde reëel getal, dat de determinant van de matrix is. We tonen dit aan voor een determinant van de orde 3. We kunnen in de uitdrukking 1.2 de termen rangschikken naar de elementen van eenzelfde rij. Als we bvb. rangschikken naar de elementen van de eerste rij dan krijgen we a 11 (a 22 a 33 a 23 a 32 ) a 12 (a 21 a 33 a 23 a 31 ) + a 13 (a 21 a 32 a 22 a 31 ) = a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 of korter: a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 (1.3) De uitdrukking 1.3 is de ontwikkeling naar de eerste rij van de determinant. Opmerking: Bij de ontwikkeling van een determinant van de orde n naar een bepaalde rij wordt de berekening herleid tot het uitrekenen van determinanten van één orde lager, nl. van de orde n 1. STELLING 1.5 De determinant van een driehoeksmatrix is gelijk aan het product van de diagonaalelementen. Bewijs zelf voor een determinant van de orde 3 en van de orde 4:

10 10 HOOFDSTUK 1. DETERMINANTEN OPGAVEN 3 Bereken de volgende determinanten door ze te ontwikkelen naar een rij of een kolom: , , Bewijs dat de determinant van elke scheefsymmetrische matrix van de orde 3 gelijk is aan nul (dit is trouwens waar voor elke oneven orde). 5 Bewijs dat de determinant van elke scheefsymmetrische matrix van de orde 4 met elementen in Z een volkomen kwadraat is (dit is trouwens waar voor elke even orde). OPLOSSINGEN 3. (i). 0; (ii). 0; (iii) Reciproke determinant van de determinant van een symmetrische matrix Gegeven een symmetrische matrix met determinant. a 11 a 12 a 13 a 12 a 22 a 23 a 13 a 23 a 33 We noemen de reciproke determinant van de determinant die we bekomen door elk element van te vervangen door zijn cofactor. De reciproke determinant van is A 11 A 12 A 13 A 12 A 22 A 23 A 13 A 23 A 33 STELLING 1.6 De cofactor van een element van de reciproke determinant van is gelijk aan het product van het overeenstemmend element uit met. A 22 A 33 A 2 23 = a 11, A 33 A 11 A 2 13 = a 22, A 11 A 22 A 2 12 = a 33 A 13 A 12 A 11 A 23 = a 23, A 12 A 23 A 22 A 13 = a 13, A 23 A 13 A 33 A 12 = a 12

11 1.4. EIGENSCHAPPEN VAN DETERMINANTEN 11 STELLING 1.7 Als we in een vierkante matrix de rijen met de kolommen verwisselen dan blijft de determinant behouden. Anders geformuleerd: De determinant van een vierkante matrix is gelijk aan de determinant van zijn getransponeerde. We kunnen ook zeggen: Als we in een determinant de elementen spiegelen t.o.v. de hoofddiagonaal dan blijft de determinant behouden. Met symbolen: deta = deta t Bewijs voor determinanten van de orde 3: Voor het bewijs ontwikkelen we deta naar bvb. de eerste rij en deta t naar de eerste kolom. In deze twee ontwikkelingen zijn overeenkomstige elementen gelijk, alsook overeenkomstige cofactoren wegens stelling 1.1. Voorbeeld: = Deze eigenschap heeft tot gevolg dat alle volgende eigenschappen voor rijen ook geldig zijn voor kolommen. STELLING 1.8 Als we in een vierkante matrix twee rijen (of twee kolommen) met elkaar verwisselen dan gaat de determinant over in zijn tegengestelde. Bewijs voor determinanten van de orde 3: Verwisselen we bvb. de eerste twee rijen van A met elkaar dan bekomen we de matrix B. Voor het bewijs ontwikkelen deta en detb naar de derde rij. In beide ontwikkelingen zijn overeenkomstige elementen gelijk aan elkaar en overeenkomstige cofactoren tegengesteld. Voorbeeld: = We hebben kolom 1 met kolom 2 verwisseld, we noteren dit als K 12 = K 21. We aanvaarden de volgende stelling: STELLING 1.9 De rijvectoren (kolomvectoren) van een vierkante matrix zijn lineair afhankelijk of maw. de rang van de matrix is kleiner dan de orde van de matrix als en slechts als de determinant van de matrix gelijk is aan nul.

12 12 HOOFDSTUK 1. DETERMINANTEN De stelling is gelijkwaardig met de volgende stelling STELLING 1.10 De rijvectoren (kolomvectoren) van een vierkante matrix zijn lineair onafhankelijk of maw. de rang van de matrix is gelijk aan de orde van de matrix als en slechts als de determinant van de matrix verschillend is van nul. Voorbeelden: = 0 (K 2 = K 3 ) b c c 1 b 2 c 2 1 b 2 c 2 = 0 (R 2 = R 3 ) = 0 (R 3 = 2R 2 ); = 0 (R 2 = ( 2 + 3)R 1 ) = 0 (K 1 = 0-kolom) R = 7 3 R R 1 = Als theoretische toepassing kunnen we de volgende eigenschap gemakkelijk bewijzen.

13 1.4. EIGENSCHAPPEN VAN DETERMINANTEN 13 STELLING 1.11 Vermenigvuldigen we de elementen van een willekeurige rij (of kolom) van een vierkante matrix met resp. de cofactoren van de overeenkomstige elementen van een andere rij (of kolom) en tellen we de bekomen producten op dan is deze som gelijk aan nul. We vermenigvuldigen bijvoorbeeld de elementen van de eerste rij met de cofactoren van de overeenkomstige elementen van de tweede rij a 11 A 21 + a 12 A 22 + a 13 A 23 = a 11. a 12 a 13 a 32 a 33 + a 12. a 11 a 13 a 31 a 33 a 13. a 11 a 12 a 31 a 32 We zien dat het tweede lid de ontwikkeling is naar de tweede rij van de volgende determinant: a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 a 31 a 32 a 33 Deze determinant heeft twee gelijke rijen en is dus gelijk aan nul. STELLING 1.12 Als we in een vierkante matrix een rij (of kolom) met eenzelfde reëel getal vermenigvuldigen dan wordt haar determinant met dat reëel getal vermenigvuldigd. Bewijs: Het bewijs wordt gegeven door de determinant te ontwikkelen naar de rij of kolom die met het reëel getal wordt vermenigvuldigd. Voorbeeld: = = GEVOLG 1.1 r R : a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 ra 31 ra 32 a 33 = a 11 a 12 ra 13 a 21 a 22 ra 23 a 31 a 32 a 33 Pas dit gevolg toe om te bewijzen dat a b 2 c 1 b 1 c ac a = en b b c bc b 2 c 2 1 b c c b = a b c bc ac ab 1 b c c 1 b 2 c 2 1 b 2 c 2

14 14 HOOFDSTUK 1. DETERMINANTEN STELLING 1.13 Als we in een vierkante matrix een rij (of kolom) opvatten als de som van twee rijen (twee kolommen) dan is haar determinant gelijk aan de som van de determinanten van de matrices bekomen door de somrij (somkolom) beurtelings te vervangen door de termrijen (termkolommen). Het bewijs wordt gegeven door de determinant te ontwikkelen naar de rij (of kolom) die opgevat werd als de som van twee rijen (of twee kolommen). Voorbeeld: = = = STELLING 1.14 Als we in een vierkante matrix bij een rij (of kolom) een lineaire combinatie van de andere rijen (kolommen) optellen, dan blijft haar determinant behouden. Voor het bewijs steunen we op stelling 1.12 en Voorbeelden: R 2 R 1,R 3 R 1 = K 3 2K = ; R 1 = R 3 = 0 STELLING 1.15 De determinant van het product van twee vierkante matrices is gelijk aan het product van de determinanten van die matrices. Met symbolen: det(a.b) = detadetb (1.4) We kunnen het bewijs geven voor algemene matrices van de orde 2 2 en 3 3. Daartoe rekenen we beide leden uit en vergelijken de resultaten met elkaar. Algemeen echter kunnen we het product A.B opvatten als een matrix die onstaat uit A door elke kolom te vervangen door een lineaire combinatie van kolommen uit A. Door de rekenregels van determinanten toe te passen bekomen we de stelling. Dit is opnieuw niet zo moeilijk, maar wel langdrading en dus... (vul zelf in).

15 1.4. EIGENSCHAPPEN VAN DETERMINANTEN 15 Opmerkingen: In het algemeen geldt maar er geldt steeds A B B A det(a B) = det(b A). Door de eigenschap 1.15 kunnen we het product van twee determinanten uitvoeren zoals we het product van twee matrices maken. Omdat de determinant van een matrix gelijk is aan de determinant van zijn getransponeerde kunnen we voor het product van twee determinanten, i.p.v. de rijen van de eerste determinant te vermenigvuldigen met de overeenkomstige elementen van de kolommen van de tweede determinant, de rijen van de eerste determinant vermenigvuldigen met de rijen van de tweede determinant of de kolommen van de eerste met de kolommen van de tweede. OPGAVEN 6 Bewijs: a. b. x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 b b b a a a = x 2 x 1 y 2 y 1 x 3 x 1 y 3 y 1 = 0 7 Bereken de volgende determinanten door gebruik te maken van de eigenschappen van de determinanten a 1 a b c. b c b d d e f Werk uit door gebruik te maken van de eigenschappen van determinanten: a. b. 7 a b 3 c d 1 x y a b 3 c d 0 x y

16 16 HOOFDSTUK 1. DETERMINANTEN c De volgende determinanten zijn gelijk aan nul. Welke rij is lineaire combinatie van de twee andere rijen? a b c Geef een ontbinding in factoren voor de uitwerking van de volgende determinanten: a a b a. 1 a 1 b. 1 c d c. a b c 1 1 a 1 a b b + c c + a a + b a b c 2a 2a a 2 (a + 1) 2 (a 1) 2 1 n n 2 + n d. 2b b c a 2b e. b 2 (b + 1) 2 (b 1) 2 f. 1 n + 1 n 2 + 3n + 2 2c 2c c a b c 2 (c + 1) 2 (c 1) 2 1 n + 2 n 2 + 5n * Geef een ontbinding in factoren voor de uitwerking van de volgende determinanten: ac bc a 2 + b 2 a b c d a. b 2 + c 2 ab ac b. b c d a a 2 b 2 (a + b) 2 ab a 2 + c 2 bc c d a b c. a 2 (c + a) 2 c 2 d a b c (b + c) 2 b 2 c 2 1 a a 2 a a d. 1 b b 2 b 3 1 c c 2 c 3 e b c 1 1 d d 2 d d Oplossingen: 7. a. -80 b. 6 c. 0 d e. 170 f a. ad bc b. 0 c a. R 1 = 2R 2 R 3 b. R 2 = 2R 1 c. R 2 = 0R 1 + 0R a. (1 a) 2 (2 + a); b. 2a(d b); c. 0; d. (a + b + c) 3 ; e. 4(a b)(b c)(c a); f. 2; 11. a. 4(abc) 2 b. (a + b + c + d)(a b + c d) ( (b d) 2 + (a c) )

17 1.4. EIGENSCHAPPEN VAN DETERMINANTEN 17 c. (a b)(b c)(c d)(a d)(a c)(b d) d. abcd(1 + 1 a + 1 b + 1 c + 1 d ) LIN.AL. HUISTAAK 1 1. Bereken de volgende determinanten door gebruik te maken van de eigenschappen van de determinanten. 1 a a 2 a. 1 b b 2 1 c c 2 + a 1 a b 1 b 2 b c 1 c c d Geef een ontbinding in factoren voor de uitwerking van de volgende determinant: b + c c + a a + b bc ca ab

18 18 HOOFDSTUK 1. DETERMINANTEN

19 Hoofdstuk 2 Stelsels 2.1 Stelsels van Cramer Bij een stelsel van Cramer is de rang van de coëfficiëntenmatrix die een vierkante (n n)- matrix is, gelijk aan n. Hieruit volgt dat de determinant van de coëfficiëntenmatrix verschillend is van nul. r = ranga = n deta De regel van Cramer De oplossing van een stelsel van Cramer kan op een specifieke manier bekomen worden, nl. met de zogenaamde regel van Cramer. Bij een stelsel van Cramer is het mogelijk een lineaire combinatie te maken van de n vergelijkingen zodanig dat alle onbekenden verdwijnen op één onbekende na. Op die manier kunnen we de waarden van alle onbekenden bepalen. Willen we de waarde van de eerste onbekende, dan vermenigvuldigen we de vergelijkingen in beide leden met resp. de cofactoren van de elementen van de eerste kolom van de coëfficiëntenmatrix en tellen de bekomen producten op. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b 1 A 11 = b 2 A 21.. = b n A n1 (a 11 A 11 + a 21 A a n1 A n1 )x 1 +(a 12 A 11 + a 22 A a n2 A n1 )x (a 1n A 11 + a 2n A a nn A n1 )x n = b 1 A 11 + b 2 A b n A n1 19

20 20 HOOFDSTUK 2. STELSELS In de vergelijking die we bekomen is de coëfficiënt van de eerste onbekende gelijk aan de determinant van A, de coëfficiënten van de andere onbekenden zijn nul. Dit steunt enerzijds op de definitie van de determinant van een matrix, nl. de determinant van een matrix is gelijk aan de som van de producten van de elementen van bepaalde kolom met hun corresponderende cofactor en anderzijds op de eigenschap dat de som van de producten van de elementen van een bepaalde kolom met de cofactoren van de corresponderende elementen van een andere kolom gelijk is aan nul. We bekomen dus (deta)x 1 = b 1 A 11 + b 2 A b n A n1 De uitdrukking in het tweede lid kan geschreven worden in de vorm van een determinant, dezelfde als van deta maar waarin de eerste kolom vervangen is door de constanten b i van het stelsel. (deta)x 1 = b 1 a a 1n b 2 a a 2n... b n a n2... a nn Aangezien deta 0 kunnen we de eerste onbekende uit de vergelijking oplossen. eerste onbekende is dan gelijk aan het quotiënt van twee determinanten. Op analoge wijze verkrijgen we de andere onbekenden. De * Regel van Cramer voor een lineair (2, 2)-stelsel. Een lineair (2, 2)-stelsel met rang gelijk aan 2 heeft juist één oplossing. De waarde van de eerste en tweede onbekende is gelijk aan het quotiënt van twee determinanten van de orde 2. De teller is de determinant van de matrix die we bekomen door in de coëfficiëntenmatrix A resp. de eerste en de tweede kolomvector te vervangen door de kolomvector van de constanten, de noemer is de determinant van de coëfficiëntenmatrix. { a11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 (met deta 0). De oplossing van dit stelsel is b 1 a 12 b 2 a 22 a 11 b 1 a 21 b 2 (x, y) = ( a 11 a 12, a 21 a 22 a 11 a 12 ). a 21 a 22

21 2.2. DE INVERSE MATRIX VAN EEN NIET-SINGULIERE MATRIX 21 Bijzonder geval: Is het lineair (2, 2)-stelsel een homogeen stelsel met rang gelijk aan 2 dan is de enige oplossing de nuloplossing (0, 0). * Regel van Cramer voor een lineair (3, 3)-stelsel. Een lineair (3, 3)-stelsel met rang gelijk aan 3 heeft juist één oplossing. De waarde van de eerste, tweede en derde onbekende is gelijk aan het quotiënt van twee determinanten van de orde 3. De teller is de determinant van de matrix die we bekomen door in de coëfficiëntenmatrix A resp. de eerste, de tweede en de derde kolomvector te vervangen door de kolomvector van de constanten, de noemer is de determinant van de coëfficiëntenmatrix. De oplossing van dit stelsel is (x, y, z) = ( a 11 x + a 12 y + a 13 z = b 1 a 21 x + a 22 y + a 23 z = b 2 (met deta 0). a 31 x + a 32 y + a 33 z = b 3 b 1 a 12 a 13 b 2 a 22 a 23 b 3 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33, a 11 b 1 a 13 a 21 b 2 a 23 a 31 b 3 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33, a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 a 31 a 32 b 3 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Bijzonder geval: Is het lineair (3, 3)-stelsel een homogeen stelsel met rang gelijk aan 3 dan is de enige oplossing de nuloplossing (0, 0, 0). OPGAVEN 12 Ga na of volgende stelsels stelsels zijn van Cramer. Indien zo, bepaal de oplossing met de { regel van Cramer. { 2x y = 5 x y = 2 a. b. x + y = 1 x + y = 2 ). c. x 3y + z = 2 2x y z = 3 3x 4y + z = 2 d. x + y + z = 4 2x + 5y 2z = 3 x + 7y 7z = 6 Oplossingen: 12 a. (2, 1); b. (0, 2); c. (3, 2, 1); d. geen stelsel van Cramer. 2.2 De inverse matrix van een niet-singuliere matrix De inverse matrix van een vierkante matrix A is de matrix A 1 waarvoor geldt: A.A 1 = I n = A 1.A

22 22 HOOFDSTUK 2. STELSELS Nemen we van beide leden de determinant det(a.a 1 ) = deti n = det(a 1.A) detadeta 1 = 1 Hieruit volgt dat deta 0. Een nodige voorwaarde opdat een matrix een inverse matrix zou bezitten is dus dat de determinant van de matrix verschillend is van nul. Dit laatste doet ons denken aan een stelsel van Cramer waar de determinant van de coëfficiëntenmatrix verschillend is van nul. We bewijzen nu met de theorie van de stelsels van Cramer dat elke matrix met determinant verschillend van nul een inverse matrix heeft door hem daadwerkelijk te construeren. Een stelsel van Cramer heeft juist één oplossing. We schrijven een algemeen stelsel van Cramer in verkorte matrixgedaante: A.X = B met deta 0 en A = X = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n... a n1 a n2 a nn x 1 x 2. x n en B = De vergelijking A.X = B is de matriciële vergelijking van het stelsel. Vermits het stelsel een stelsel van Cramer is, geldt dat de matrix A 1 bestaat. A.A 1 = I n = A 1.A A.X = B A 1.(A.X) = A 1.B (A 1 bestaat) (A 1.A).X = A 1.B ( prod. is ass.) I n.x = A 1.B ( def A 1 ) X = A 1.B (I n is neutr. el. vr. prod) Volgens de regel van Cramer is X = x 1 x 2. x n b 1 b 2. b n

23 2.2. DE INVERSE MATRIX VAN EEN NIET-SINGULIERE MATRIX 23 met 1 x 1 = (b 1A 11 + b 2 A b n A n1 ) deta 1 x 2 = (b 1A 12 + b 2 A b n A n2 ) deta.. 1 x n = (b 1A 1n + b 2 A 2n + + b n A nn ) deta x 1 = 1 deta x 2 = 1 deta. x 1 x 2. x n x n = 1 deta = 1 deta. ( ) A11 A A n1. ( ) A12 A A n2. ( ) A1n A 2n... A nn. A 11 A 21 A n1 A 12 A 22 A n2... A 1n A 2n A nn. b 1 b 2. b n b 1 b 2. b n b 1 b 2. b n. Uit deze laatste gelijkheid volgt dat A 11 A 21 A n1 A 1 = 1 deta. A 12 A 22 A n deta.aadj A 1n A 2n A nn De adjunct-matrix van A, genoteerd A Adj, is de getransponeerde matrix van de matrix die we bekomen uit de matrix A door elk element te vervangen door zijn cofactor. b 1 b 2. b n Besluit: Is deta 0

24 24 HOOFDSTUK 2. STELSELS dan is A 1 = AAdj deta (2.1) We zeggen dat de matrix A regulier of niet-singulier of invertibel of inverteerbaar is.

25 2.2. DE INVERSE MATRIX VAN EEN NIET-SINGULIERE MATRIX 25 Verband tussen een matrix en zijn adjunct-matrix Vermenigvuldigen we beide leden van de formule 2.1 met deta dan is deta.a 1 = A Adj. Vermenigvuldigen we achtereenvolgens de laatste uitdrukking links en rechts met de matrix A dan verkrijgen we de formule die een verband uitdrukt tussen de matrix A en zijn adjunct. A Adj.A = A.A Adj = deta.i n (2.2) De determinant van de adjunct-matrix Nemen we van beide leden van de formule 2.2 de determinant dan bekomen we deta deta Adj = (deta) n deta Adj = (deta) n 1. LIN.AL. HUISTAAK 2 1. Toon aan dat (A Adj ) Adj = (deta) n 2 A. 2. Los het volgend stelsel op met de regel van Cramer en met de matriciële methode: x + y z = 0 2x 3y + z = 5 x + y 4z = 3

26 26 HOOFDSTUK 2. STELSELS 2.3 Rang van een matrix bepalen met determinanten STELLING 2.1 Is de rang van een matrix van de orde r n gelijk aan het aantal rijen r dan bestaat er een vierkante deelmatrix van de orde r r waarvan de determinant verschillend is van nul. Bewijs: De r rijvectoren van de matrix zijn lineair onafhankelijk vermits de rang gelijk is aan het aantal rijvectoren. Stel dat de determinanten van alle deelmatrices van de orde r gelijk zijn aan nul dan zouden de rijen lineair afhankelijk zijn, wat in strijd is met het feit dat de rijvectoren lineair onafhankelijk zijn. STELLING 2.2 Is de rang van een matrix van de orde m n gelijk aan r, dan hebben alle vierkante deelmatrices van een orde strikt groter dan r r een determinant gelijk aan nul en dan bestaat er een vierkante deelmatrix van de orde r r waarvoor de determinant verschillend is van nul. Bewijs: 1. Aangezien de rang van de matrix gelijk is aan r, is een verzameling rijvectoren waarvan het aantal groter is dan r een niet vrije verzameling. Beschouwen we de matrix behorende bij deze rijvectoren dan is de determinant van elke vierkante deelmatrix van de orde groter dan r r gelijk aan nul, vermits de rijvectoren daarin lineair afhankelijk zijn. Hieruit besluiten we dat de determinant van elke deelmatrix van een orde groter dan r r gelijk is aan nul. 2. Aangezien de rang van de matrix gelijk is aan r, bestaat er een deelmatrix van de orde r n waarvan de rang ook gelijk is aan r (de rijvectoren vormen hier een minimaal voortbrengend deel). Volgens de voorgaande stelling bestaat er in die matrix een vierkante deelmatrix van de orde r r waarvan de determinant verschillend is van nul. Deze stelling laat toe derang van een matrix te definiëren als het grootste getal r waarvoor er een niet-nul deelmatrix bestaat van de orde r r met determinant verschillend van nul. Daar de determinant van een matrix gelijk is aan de determinant van zijn getransponeerde matrix, hebben we: GEVOLG 2.1 De rang van een matrix is dezelfde als deze van zijn getransponeerde.

27 2.3. RANG VAN EEN MATRIX BEPALEN MET DETERMINANTEN 27 Anders geformuleerd geeft dit het volgend belangrijk resultaat: GEVOLG 2.2 De dimensie van de vectorruimte voortgebracht door de rijvectoren is dezelfde als deze van de vectorruimte voortgebracht door de kolomvectoren. We zeggen dat de rijenrang gelijk is aan de kolommenrang van de matrix. OPGAVEN 13 Bespreek de rang van de volgende matrices met behulp van determinanten. a. ( ) ( ) p q 1 p 1 1 b. q p 1 1 p p a 1 b c. 1 1 ab d. a b c 1 a b bc ac ab Oplossingen: 13: e. g. 1 1 a 1 a 1 a + 1 a 1 a b c a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 a. r = 2 p q en r = 1 p = q; b. r = 2; c. * r = 3 b 0 a 2 a 1 * r = 2 (b = 0 a 1) a = 2 * r = 1 a = 1 f. h. 1 a a2 1 a ab b a a 2 b x a a a x a a a x d. * r = 3 de 3 parameters 2à 2 verschillend zijn van elkaar; * r = 2 2 parameters gelijk aan elkaar maar verschillend van de derde; * r = 1 de 3 parameters gelijk aan elkaar. e. * r = 3 a 0 a 1 a 1 * r = 2 (a = 0 a = 1 a = 1) f. * r = 3 a 0 a b b 1 * r = 2 (a = b a 0 a 1) (b = 1 a 0 a 1) * r = 1 a = b = 1 a = 0 g. * r = 3 de 3 parameters 2à 2 verschillend zijn van elkaar en verschillend van nul; * r = 2 2 parameters gelijk aan elkaar maar verschillend van de derde en allemaal verschillend van nul of 1 parameter gelijk aan nul en de 2 andere parameters verschillend van nul en verschillend van elkaar; * r = 1 de 3 parameters gelijk aan nul.

28 28 HOOFDSTUK 2. STELSELS 2.4 Regel van Rouché voor de oplosbaarheid van een lineair stelsel We beschouwen een lineair (m, n)-stelsel waarvan de rang gelijk is aan r met r < m. De determinant behorende bij een hoofdmatrix noemen we een hoofddeterminant van het stelsel. Een hoofddeterminant is steeds verschillend van nul. STELLING 2.3 (De regel van Rouché) Een lineair (m, n)-stelsel waarvan de rang r < m, is oplosbaar als en slechts als de (m r) karakteristieke determinanten t.o.v. een hoofddeterminant gelijk zijn aan nul. De karakteristieke determinanten zijn van de orde r + 1. Is het stelsel oplosbaar, dan is elke nevenvergelijking een lineaire combinatie van de r hoofdvergelijkingen. Elke oplossing van het stelsel hoofdvergelijkingen is ook oplossing van de nevenvergelijkingen. D.w.z. dat het lineair (m, n)-stelsel zich herleidt tot een stelsel van r hoofdvergelijkingen. In het geval r = n heeft het stelsel juist één oplossing en in geval r < n heeft het stelsel oneindig veel oplossingen met (n r) vrije onbekenden of er zijn n r oplossingen. Het stelsel is (n r)-voudig onbepaald. Het stelsel is onoplosbaar als en slechts als minstens één van de karakteristieke determinanten verschillend is van nul. Bewijs: Voor het bewijs van de regel van Rouché zullen we zonder aan de algemeenheid van de redenering te schaden ons beperken tot een lineair (4, 3)-stelsel met bvb. rang gelijk aan 2. a 11 x + a 12 y + a 13 z = b 1 a 21 x + a 22 y + a 23 z = b 2 (met ranga = 2). a 31 x + a 32 y + a 33 z = b 3 a 41 x + a 42 y + a 43 z = b 4 Brengen we in elke vergelijking van het stelsel de constante b i naar het eerste lid, dan kunnen we elke vergelijking kort schrijven als V i = 0 met i {1, 2, 3, 4}. Het stelsel kunnen we kort schrijven: V 1 = 0 V 2 = 0 V 3 = 0 V 4 = 0 We nemen bvb. als hoofddeterminant de determinant δ = a 11 a 12 a 21 a Een stelsel hoofdvergelijkingen is hier het stelsel bestaande uit de eerste twee vergelijkin-

29 2.4. REGEL VAN ROUCHÉ VOOR DE OPLOSBAARHEID VAN EEN LINEAIR STELSEL29 gen van het gegeven stelsel. Het stelsel hoofdvergelijkingen is oplosbaar met 1 oplossingen en is dus enkelvoudig onbepaald. Beschouwen we de volgende determinanten van de derde orde a 11 a 12 V 1 a 21 a 22 V 2 a 31 a 32 V 3 en a 11 a 12 V 1 a 21 a 22 V 2 a 41 a 42 V 4 en stellen α = a 21 a 22 a 31 a 32 en β = a 11 a 12 a 31 a 32. Door uitwerking van beide determinanten van de derde orde op twee verschillende manieren (enerzijds door te ontwikkelen naar de laatste kolom en anderzijds door gebruik te maken van de eigenschappen van de determinanten) leiden we volgende identiteiten af: a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 a 31 a 32 b 3 a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 a 41 a 42 b 4 = V 1.α + V 2.β + V 3.δ (2.3) = V 1.α + V 2.β + V 4.δ (2.4) In de tweede leden van 2.3 en 2.4 treden x, y en z op terwijl de eerste leden enkel de gegeven coëfficiënten van het stelsel bevatten en onafhankelijk zijn van x, y en z. Nu zijn 2.3 en 2.4 geldig voor elke waarde van x, y en z en in het bijzonder ook voor de eventuele oplossingen van het stelsel. We gaan nu bewijzen dat het stelsel oplosbaar is als en slechts de determinanten van 2.3 en 2.4 gelijk zijn aan nul. 1. = Is het stelsel oplosbaar dan worden de tweede leden van 2.3 en 2.4 nul, als we een oplossing invullen. Dit betekent dat voor een oplosbaar stelsel de constante eerste leden steeds nul zijn. a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 a 31 a 32 b 3 = 0 en Is het stelsel oplosbaar, dan geldt tevens: a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 a 41 a 42 b 4 = 0.

30 30 HOOFDSTUK 2. STELSELS (x, y, z) R 3 : { V1.α + V 2.β + V 3.δ = 0 V 1.α + V 2.β + V 4.δ = 0 (δ 0) { (x, y, z) R 3 V3 = α :.V δ 1 β.v δ 2 V 4 = α.v δ 1 β.v δ 2 Is het lineair (4, 3)-stelsel met r = 2 oplosbaar dan is het eerste lid van elke nevenvergelijking te schrijven als een lineaire combinatie van de eerste leden van de twee hoofdvergelijkingen. Hier zijn de eerste leden van de derde en de vierde vergelijking te schrijven als lineaire combinaties van de eerste leden van de eerste twee vergelijkingen, die hoofdvergelijkingen zijn. 2. = Als a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 a 31 a 32 b 3 = 0 en a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 a 41 a 42 b 4 = 0, dan zijn volgens 2.3 en 2.4, V 3 en V 4 te schrijven als lineaire combinaties van V 1 en V 2. Elke oplossing van het stelsel bestaande uit de eerste twee vergelijkingen is ook oplossing van de laatste twee vergelijkingen. Hieruit volgt dat het lineair (4, 3)-stelsel oplosbaar is. Besluit: De nodige en voldoende voorwaarde opdat het lineair (4, 3)-stelsel met rang gelijk aan 2 oplosbaar zou zijn is dat de twee determinanten gelijk zijn aan nul. Deze twee determinanten worden daarom de karakteristieke determinanten t.o.v. een hoofddeterminant van het lineair stelsel genoemd. Ze worden gevormd door een hoofddeterminant van de coëfficiëntenmatrix te randen met de overeenkomstige constanten en de overeenkomstige coëfficiënten uit de nevenvergelijkingen. Het aantal karakteristieke determinanten is gelijk aan het aantal nevenvergelijkingen van het stelsel. De orde van een karakteristieke determinant is één hoger dan de orde van een hoofddeterminant. De nodige en voldoende voorwaarde opdat het lineair (4, 3)-stelsel met rang gelijk aan 2 oplosbaar zou zijn is ook dat de twee nevenvergelijkingen lineaire combinaties zijn van de twee hoofdvergelijkingen.

31 2.5. WISKUNDE-CULTUUR 31 OPGAVEN 14 Bespreek de oplosbaarheid van volgende stelsel d.m.v. determinanten en geef in elk geval de oplossingen. a. b. c. x + ay + z u = 0 x ay + z u = 0 x + ay + z + bu = 0 x + ay + z + u = 1 x + ay + az + 5u = 0 ax + 4y + 3z + 3au = 1 x 3y az + u = 4 y + az + 3u = 0 ax + 2ay + z + 2u = 2 3x 5y + 2az + au = 1 d. e. f. x ay + z u = 0 x + ay z u = 1 x + y + az bu = 2 x + y z u = 1 x y + z u = a x + y + az + au = 3 x + y + z + 4u = a x 3y + az + u = 4 x + 2y + z + 2u = 2 bx 5y + 2az + 2u = Wiskunde-Cultuur 1. GAUSS Carl Friedrich Vreemd is het dat geen enkel ontwikkeld mens zou willen toegeven niets van Shakespeare af te weten - waarschijnlijk de grootste schrijver die ooit bestaan heeft, vooropgesteld dat zo n titel enige betekenis heeft - maar dat zeer weinig ontwikkelde mensen er moeite mee hebben hun onwetendheid over Gauss, EULER ( ), POINCARÉ ( ), enzovoort, toe te geven. Op de scheidingslijn tussen de achttiende en negentiende eeuw verheft zich de Olympische gestalte van Carl Friedrich Gauss. Hij was de zoon van een arbeider in Brunswijk, maar zijn vroege begaafdheid bracht hem onder de aandacht van de hertog van Brunswijk, die voor de opvoeding van het wonderkind zorg droeg. Na van in Göttingen gestudeerd te hebben verkreeg de jonge Gauss in 1799 de graad van doctor in Helmstedt, waar J.f. PFAFF (Duits evangelisch theoloog ) professor was. Van 1807 tot zijn dood in 1855 werkte hij ongestoord als directeur van de sterrenwacht en professor aan de universiteit van Göttingen. Zijn tamelijk streng isolement, zijn beheersing van de zuivere als wel de toegepaste wiskunde, zijn grote astronomische belangstellingen zijn voorliefde voor het Latijn als taal waarin hij publiceerde, geven aan zijn figuur een achttiende eeuws karakter, maar in zijn eigen gebied van de exacte wetenschappen wist hij aan de nieuwe ideeën op diepzinnige, doch ook klare wijze uitdrukking te verlenen. Gauss en Jacobi waren vrijwel de laatsten die in het Latijn schreven. Gauss begon op zeventienjarige leeftijd merkwaardige ontdekkingen te doen. Gauss bracht het eerste strenge bewijs van de zogenaamde hoofdstelling van de algebra. Deze stelling, volgens welke een algebraïsche vergelijking van graad n juist n wortels heeft in de verzameling van de complexe getallen, gaan we dit schooljaar nog zien. Gauss hield van deze stelling en gaf later nog twee bewijzen. Gauss gaf een merkwaardige aanvulling van de Griekse meetkunde door een constructie te geven met passer en lineaal van een regelmatige zeventienhoek. Dit geldt voor alle regel-

32 32 HOOFDSTUK 2. STELSELS matige n-hoeken waarvoor n = 2 p, p = 2 k, n priemgetal, k = 0, 1, 2, 3,..., dus b.v. ook n = 257. Een standbeeld in Göttingen stelt Gauss met zijn jongere medewerker Wilhelm WEBER voor op het ogenblik dat zij bezig zijn de electrische telegraaf te ontdekken. Dit gebeurde in de jaren in de tijd dat Gauss begon fysica te beoefenen. Gauss was reeds in 1816 in het bezit van de niet-euclidisch meetkunde (later herontdekt). Gauss betwijfelde de toen algemeen aanvaarde leer van KANT ( ) die onze ruimtevoorstelling a priori voor euclidisch hield. Hij schijnt wel de eerste geweest te zijn die geloofde in de onafhankelijkheid van het parallellenaxioma en dus tot de conclusie kwam dat andere meetkunden, die op een ander axioma berusten, logisch mogelijk waren. Gauss maakte zijn gedachten over dit onderwerp niet publiek. De eerste die openlijk de autoriteiten van tweeduizend jaar wiskunde durfden tegen te spreken en een niet-euclidische meetkunde construeerden waren een Rus en een Hongaar. De eerste wiskundige van de eerste rang, die het belang van de niet-euclidische meetkunde volledig begreep, was RIEMANN ( ). Volledige erkenning van deze andere meetkunden kwam eerst toen, na 1870, een jongere generatie Riemanns ideeën begon te begrijpen en uit te werken. 2. JORDAN Camille is een Frans wiskundige van 1838 tot LIN.AL. HUISTAAK 3 Bespreek de oplosbaarheid van het volgend stelsel. Geef ook telkens de oplossingen. x + az + a 2 u = a 3 y + bz + b 2 u = 0 x + cy + c 2 u = c 3 y + dz + d 2 u = 0

33 2.5. WISKUNDE-CULTUUR 33 PROEFHERHALINGSTOETS 1. Bespreek de rang van de volgende matrix met behulp van determinanten. 1 b 1 a c 1 2. Bespreek de oplosbaarheid van het volgend stelsel. Geef ook telkens de oplossingen. ax + y + bz = a (a 1)x + z = a b + 1 ax + y + az = b x + ay + z = a + b Wanneer stellen de stelsels van de eerste twee vergelijkingen en van de laatste twee vergelijkingen rechten voor (a) die kruisend zijn? (b) die snijdend zijn? (c) die parallel zijn?

34 34 HOOFDSTUK 2. STELSELS

35 Inhoudsopgave 1 Determinanten Determinant van de orde twee Determinant van de orde drie Cofactor van een element van een (3 3)-matrix Definitie van determinant van de orde Uitbreiding van het begrip determinant Eigenschappen van determinanten Reciproke determinant van de determinant van een symmetrische matrix Stelsels Stelsels van Cramer De regel van Cramer De inverse matrix van een niet-singuliere matrix Rang van een matrix bepalen met determinanten Regel van Rouché voor de oplosbaarheid van een lineair stelsel Wiskunde-Cultuur