Oplossing examen AJ ste zittijd. Theorie - potentiële energie

Transcriptie

1 Oplossing examen AJ ste zittijd Theorie - potentiële energie Neem de x-as naar boven met oorsprong ter hoogte van de voet. De uitwijking v positief naar links; EI = buigstijfheid van de staaf. Pas een gelineariseerde bifurcatietheorie toe. restart; W=EI/*int(diff(diff(v(x),x),x)^,x=..)-int(p*1/*int(diff(v (x1),x1)^,x1=..x),x=..); W = 1 EI d dx v x dx K p d dx1 v x1 dx1 dx Partiële integratie van de tweede term in het rechterlid: W=EI/*int(diff(diff(v(x),x),x)^,x=..)-p/*(*int(diff(v(x1), x1)^,x1=..)-int(x*diff(diff(v(x),x),x),x=..)); W = 1 EI d dx v x dx K 1 p 1 x d dx1 v x1 dx1 K x d dx v x (1) () dx W=EI/*int(diff(diff(v(x),x),x)^,x=..)-p/*int((-x)*diff(v (x),x)^,x=..); W = 1 EI d dx v x dx K 1 p Kx d dx v x dx (3)

2 delta(w):=ei*int(diff(diff(v(x),x),x)*diff(diff(delta(v)(x),x), x),x=..)-p*int((-x)*diff(v(x),x)*diff(delta(v)(x),x),x=..)= ; δ W := EI d dx v x d dx δ v x dx Kp (4) Kx d dx v x d dx δ v x dx = delta(w):=ei*diff(diff(v(x),x),x)*delta(diff(v(x),x))-ei*int(diff (diff(diff(v(x),x),x),x)*delta(diff(v(x),x)),x=..)-p*(-x)*diff (v(x),x)*delta(v(x))+p*int(delta(v)*(-diff(v(x),x)+(-x)*diff (diff(v(x),x),x)),x=..)=; δ W := EI d dx v x δ d dx v x KEI d 3 dx 3 v x δ d dx v x dx Kp (5) Kx d dx v x δ v x Cp δ v K d dx v x C Kx d dx v x dx = delta(w):=ei*diff(diff(v(x),x),x)*delta(diff(v(x),x))-ei*diff (diff(diff(v(x),x),x),x)*delta(v)+ei*int(diff(diff(diff(diff(v (x),x),x),x),x)*delta(v),x=..)-p*(-x)*diff(v(x),x)*delta(v(x)) +p*int(delta(v)*(-diff(v(x),x)+(-x)*diff(diff(v(x),x),x)),x=.. )=; δ W := EI d dx v x δ d dx v x KEI d 3 dx 3 v x δ v CEI d 4 dx 4 v x δ v (6) dx Kp Kx d dx v x δ v x Cp δ v K d dx v x C Kx d dx v x dx = Differentiaalvergelijking: DV:=EI*diff(diff(diff(diff(v(x),x),x),x),x)+(-diff(v(x),x)+(-x)* diff(diff(v(x),x),x))*p=; d 4 DV := EI (7) dx 4 v x C K d dx v x C Kx d dx v x p = Dynamische randvoorwaarden DRV1:=EI*diff(diff(v(x),x),x)=; #voor x = ; dat wil zeggen: het buigend moment is daar nul DRV1 := EI dx v x = DRV:=-EI*diff(diff(diff(v(x),x),x),x)=; #voor x = ; dat wil zeggen: de dwarskracht is daar nul d (8)

3 DRV :=KEI d 3 dx 3 v x = (9) Theorie - Gehler Beschouw een staaf die rechts is ingeklemd, onderworpen aan een constant linksdraaiend koppel Ml en een druknormaalkracht. Door het koppel draait het linker staafeind over een hoek θl restart;m[l]:=k*gamma*theta[l]; M l := K Γ θ l (1) Vermits θ toeneemt als de drukkracht N groter wordt en daar Ml onveranderlijk is, moet Γ afnemen. Bijgevolg is Γ monotoon dalend epsilon:=*sqrt(ncr/ei); #Een eenzijdig ingeklemde staaf knikt bij een gekende waarde van de drukkracht waardoor theta[l] verschillend wordt van nul terwijl Ml toch nul is. Bijgevolg moet Gamma voor de kritieke belasting nul zijn. Ncr ε := EI Ncr:=evalf(Pi^)*EI/(.699*)^;epsilon; EI Ncr := (1) Beschouw een tweezijdig ingeklemde staaf. Wanneer N nadert tot de knikbelasting knikt de staaf uit. Wanneer men het prille begin van het uitknikken bestudeert (gelineariseerde theorie!) zijn er inklemmingsmomenten die van nul verschillen. Toch zijn de hoekverdraaiingen aan de staafeinden nul wegens de inklemmingen. Bijgevolg moeten de stabiliteitsfuncties een oneindige waarde verkrijgen, zoniet zouden de inklemmingsmomenten nul zijn. Ncr:=4*Pi^*EI/(^);epsilon; Ncr := 4 π EI 4 Oefening - Bepaling van een doorbuiging π (11) (13) restart; v:=a+b*x+c*x^+d*x^3+e*x^4; #gegeven v := acb xcc x Cd x 3 Ce x 4 eq1:=eval(v,x=)=;eq:=eval(v,x=)=;a:=solve(eq1,a); #de verplaatsingen zijn nul aan de staafeinden eq1 := a = eq := acb Cc Cd 3 Ce 4 = a := (14) (15)

4 chi:=diff(diff(v,x),x); χ := cc6 d xc1 e x eq3:=eval(chi,x=)=;# de kromming is nul aan het linker uiteinde eq3 := c = (17) eq4:=eval(chi,x=)=;# en ook aan het rechter uiteinde eq4 := cc6 d C1 e = (18) b:=solve(eq,b);c:=solve(eq3,c);d:=solve(eq4,d); b :=K ccd Ce c := d :=K e vf:=eval(v,x=/4);#vf is de verplaatsing van het aangrijpingspunt van F, positief gerekend naar boven vf := e 4 W:=EI/*int(chi^,x=..)+F*vF; W := 1 5 EI e 5 C F e 4 eq:=diff(w,e)=;e:=solve(eq,e);#evenwichtsvoorwaarde eq := 4 5 EI e 5 C F 4 = e :=K F EI vf; K 5415 F EI vf1:=-1./ei/3*(f*3/4*/4*3/4*/4)*; #theoretisch (was niet gevraagd) F 3 vf1 :=K EI ratiod vf vf1 ; ratio := (16) (19) () (1) () (3) (4) (5) Oefening - Bepaling van de kritieke belasting restart; u:=a+b*x+c*x^+d*x^3; #gegeven u := acb xcc x Cd x 3 eq1:=eval(u,x=)=;eq:=eval(diff(u,x),x=)=;eq3:=eval(u,x=* /3)=;a:=solve(eq1,a);b:=solve(eq,b);c:=solve(eq3,c); #kinematische randvoorwaarden voor x = en X = eq1 := a = eq := b = eq3 := ac 3 b C 4 9 c C 8 7 d 3 = (6)

5 a := b := c :=K 3 d (7) W:=EI/.*int((diff(diff(u,x),x))^,x=..)-P*int(1/*(diff(u,x)) ^,x=..); W := EI d 3 K 53 7 P d 5 eq:=diff(w,d)=; eq := EI d 3 K P d 5 = Pcr:=solve(eq,P); Pcr := EI (8) (9) (3) Wringing met belemmerde welving igging van het zwaartepunt restart; t:=1.;a:=15*t;a:=t*a/4+t*a/4+*t*a+t*a; t := 1. a := 15. A := 5.5 S:=*t*a/4*a+*t*a*a/;# statisch moment om onderrand S := zg:=s/a; zg := (1.1) (1.) (1.3) Welvingsfunctie en ligging van het dwarskrachtenmiddelpunt

6 psi[1]:=psi[];y[1]:=-a/4; ψ 1 :=ψ y 1 :=K3.75 psi[]:=psi[1]-a/4*(a+e);y[]:=-a/; ψ :=ψ K56.5K3.75 e y :=K7.5 psi[3]:=psi[]-a*a/;y[3]:=-a/; ψ 3 :=ψ K168.75K3.75 e y 3 :=K7.5 psi[4]:=psi[3]+e*a/=;psi[]:=solve(psi[4],psi[]);# hou rekening met keersymmetrie ψ 4 :=ψ K168.75C3.75 e = (.1) (.) (.3) ψ := K3.75 e psi[5]:=-psi[3];y[5]:=-y[3]; ψ 5 := 7.5 e y 5 := 7.5 psi[6]:=-psi[];y[6]:=-y[]; ψ 6 :=K11.5C7.5 e y 6 := 7.5 psi[7]:=-psi[1];y[7]:=-y[1]; ψ 7 :=K168.75C3.75 e y 7 := 3.75 eq:=t/6*(a/4*psi[1]*(*y[1]+y[])+a/4*psi[]*(*y[]+y[1])+a* psi[]*(*y[]+y[3])+a*psi[3]*(*y[3]+y[])+ a*psi[3]*(*y[3]+y[5])+a*psi[5]*(*y[5]+y[3])+a*psi[5]*(*y[5]+ y[6])+a*psi[6]*(*y[6]+y[5])+ a/4*psi[6]*(*y[6]+y[7])+a/4*psi[7]*(*y[7]+y[6]))=; eq := K C e = e:=solve(eq,e); e := psi[1];psi[];psi[3];psi[4];psi[5];psi[6];psi[7]; K6.5. = 6.5 K5. K137.5 Welfconstante (.4) (.5) (.6) (.7) (.8) (.9) (.1)

7 Iw:=t/6*(a/4*psi[1]*(*psi[1]+psi[])+a/4*psi[]*(*psi[]+psi [1])+a*psi[]*(*psi[]+psi[3])+a*psi[3]*(*psi[3]+psi[])+ a*psi[3]*(*psi[3]+psi[5])+a*psi[5]*(*psi[5]+psi[3])+a*psi[5]* (*psi[5]+psi[6])+a*psi[6]*(*psi[6]+psi[5])+ a/4*psi[6]*(*psi[6]+psi[7])+a/4*psi[7]*(*psi[7]+psi[6])); Iw := (3.1) Oplossing differentiaalvergelijking E:=1;G:=E/(*(1+.3));It:=*a/4*t^3/3+*a*t^3/3+a*t^3/3; E := 1 G := It := 17.5 GIt:=G*It;EIw:=E*Iw; GIt := EIw := lambda:=sqrt(git/eiw); λ := mx:=1;:=3; mx := 1 := 3 T:=mx*/-mx*x1; T := 15Kx1 (4.4) (4.5) phi:=a1+b*exp(-lambda*x)+c*exp(lambda*x)+1/git*int(t,x1=..x); φ := A1CB e K x CC e x C x (4.6) K x phi1:=diff(phi,x); φ1 :=K B e K x C C e x C K x phi:=diff(phi1,x); φ := B e K x C C e x K phi3:=diff(phi,x); φ3 :=K B e K x C C e x eq1:=eval(phi,x=)=; eq1 := A1C1. BC1. C = eq:=eval(phi,x=)=; eq := A1C BC C = eq3:=eval(phi,x=)=; eq3 := BC CK = A1:=solve(eq1,A1);B:=solve(eq,B);C:=solve(eq3,C); A1 :=K1. BK1. C B := C C := (4.1) (4.) (4.3) (4.7) (4.8) (4.9) (4.1) (4.11) (4.1) (4.13)

8 T1:=GIt*phi1;T:=-EIw*phi3; T1 :=K e K x C e x C15. K1. x T := e K x K e x x1:=x;plot([t1,t,t],x=..); x1 := x 15 (4.14) x K5 K1 K15 bimoment:=eiw*phi; bimoment := e K x C e x K plot(bimoment,x=..); (4.15)

9 K1 1 3 x K K3 K4 K5 K6 K7 sigma_max:=eval(bimoment,x=/)*psi[1]/iw; sigma_max :=K phi_max:=eval(phi,x=/); phi_max := tau_max:=eval(phi1,x=)*g*t; tau_max := Plooien van plaatvelden (4.16) (4.17) (4.18) restart; a:=4.:b:=36;e:=1.;fy:=7.5;t:=3.; b := 36 E := 1. fy := 7.5 t := 3. psi:=;sigma1:=1.;tau1:=1; ψ := σ1 := 1. (31)

10 print('het_plaatveld_plooit'); Het_plaatveld_plooit Onderzoek het gehalveerde veld: langsverstijver op halve hoogte alpha:=a/(b/);b:=b/; α := b := 18 sigma:=sigma1/;psi:=sigma/sigma1; σ := 5. τ1 := 1 sigma[eff]:=sqrt(sigma1^+3*tau1^); σ eff := alpha:=a/b; α := k_sigma:=8./1.5; k_sigma := k_tau:=4+5.34/alpha^; k_tau := sigma[,cr]:=k_sigma*evalf(pi)^*e*(t/b)^/(1*(1-.3^)); σ, cr := tau[,cr]:=k_tau*evalf(pi)^*e*(t/b)^/(1*(1-.3^)); τ, cr := zeta:=1/(1/4*sigma1/sigma[,cr]+1/4*sqrt(9*sigma1^/sigma[,cr] ^+16*tau1^/tau[,cr]^)); ζ := sigma[eff,cr,ideëel]:=zeta*sigma[eff]; σ eff, cr, ideëel := ψ :=.5 k_sigma:=8./(1.5+psi); k_sigma := k_tau:=5.34+4/alpha^; k_tau := sigma[,cr]:=k_sigma*evalf(pi)^*e*(t/b)^/(1*(1-.3^)); σ, cr := tau[,cr]:=k_tau*evalf(pi)^*e*(t/b)^/(1*(1-.3^)); τ, cr := zeta:=1/((1+psi)/4*sigma1/sigma[,cr]+1/4*sqrt((3-psi)* sigma1^/sigma[,cr]^+16*tau1^/tau[,cr]^)); ζ := sigma[eff,cr,ideëel]:=zeta*sigma[eff]; σ eff, cr, ideëel := lambda:=sqrt(fy/sigma[eff,cr,ideëel]); (3) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (4) (41) (4) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49)

11 λ := eta:=(+sqrt(5-lambda^4))/(5+lambda^4); η := sigma[eff,cr]:=eta*fy; σ eff, cr := mu[tau]:=1.5; µ τ := 1.5 mu[sigma]:= *(1+psi); µ σ :=.885 mu[ref]:=sqrt((mu[sigma]*sigma1/sigma[,cr]+mu[tau]*tau1/tau[, cr])/(sigma1/sigma[,cr]+tau1/tau[,cr])); µ ref := grenswaarde:= mu[ref]*sigma[eff,cr]; grenswaarde := if grenswaarde= sigma[eff] then print(`het gehalveerde veld plooit niet`) end if; Het gehalveerde veld plooit niet unprotect(gamma); b:=b*;alpha:=a/b;gamma[,sigma]:=.53*(alpha^/*(16*(1+*delta) -)-alpha^4/+(1+*delta)/); gamma[,tau]:=5.4*alpha^*(*alpha+.5*alpha^-alpha^3-1); b := 36 α := γ, σ := C δ (5) (51) (5) (53) (54) (55) (56) (57) γ, τ := gamma[]:=4*gamma[,tau]; γ := 11. I_langs:=b*t^3/1/(1-.3^)*gamma[]; I_langs := tp:=1.5;beff:=15*sqrt(3.5/fy)*t*+tp; tp := 1.5 beff := c:=.5*h; c :=.5 h A:=c*tp+h*tp+beff*t; A :=.5 hc S:=c*tp*tp/+h*tp*(tp+h/)+beff*t*(tp+h+t/); xg:=s/a; S := hc1.5 h 1.5C 1 h C (58) (59) (6) (61) (6) (63) (64) (65)

12 hc1.5 h 1.5C 1 h C xg := (65).5 hc eq:=c*tp^3/1+c*tp*(xg-tp/)^+h^3/1*tp+h*tp*(xg-tp-h/)^+beff* t^3/1+beff*t*(xg-tp-h-t/)^=i_langs; eq :=.1465 hc.75 h hc1.5 h 1.5C 1 h C hc (66) K.75 C.15 h hc1.5 h 1.5C 1 h C C1.5 h.5 hc C K1.5K 1 h C hc1.5 h 1.5C 1 h C hc K3. Kh = h:=solve(eq,h); h := , K C I, K , K K I print `Neem h = cm` ; Neem h = cm h:=;delta:=(a-beff*t)/(b*t); h := gamma[,sigma]; δ := γ[,σ] is kleiner dan γ[,τ] zodat een nieuwe berekening niet nodig is: de schuifspanningen zijn maatgevend. (67) (68) (69) (7)