Uitwerking tentamen Klassieke Mechanica II Maandag 21 oktober 2002

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Uitwerking tentamen Klassieke Mechanica II Maandag 21 oktober 2002"

Godelieve Koning
4 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 OPGAVE : Heend va Uitwering tentamen Kassiee Mechanica II Maandag otober m y m x θ a) Aangezien de beweging gehee paatsvindt in het va van de teening, hebben we per bo coördinaten nodig om zijn positie vast te eggen Voor de twee boen zijn dus n = 4 coördinaten nodig Het aanta vrijheidsgraden bedraagt m =, omdat beide boen gedwongen zijn om parae aan het va te bewegen, zodat er per bo nog maar één vrijheidsgraad overbijft b) Het igt voor de hand om een van de assen van het coördinatenstese parae te iezen aan het va en de tweede as daar oodrecht op Verder iezen we de oorsprong voor e van de boen zodanig dat de veer precies haar evenwichtsengte aanneemt as de boen zich e in hun eigen oorsprong bevinden De Lagrangiaan van dit systeem is dan tov die uitgangsconfiguratie: L= K V = m + m + m y + m y + mgx + mgx mgy cosθ mgy cosθ ( x x + ) + ( y y) De vier Lagrangevergeijingen zijn: mx + ( x x+ ) mg ( x x ) ( y y + + ) mx ( x x + ) mg ( x x ) ( y y + + ) my ( y y) mg cosθ Q y + + = ( x x + ) + ( y y) my ( y y) + mg cosθ =Q y ( x x + ) + ( y y ) Hierbij staan in de aatste twee vergeijingen de rachten Q y en Q y die door het va op de twee boen in de y-richting worden uitgeoefend

2 c) Op het systeem weren twee beperingen, nameij dat de twee y-coördinaten niet veranderen: y en y In de aatste twee Lagrangevergeijingen van b) worden hierdoor de versneingen in de y-richting geij aan nu Dit egt meteen de met de beperingen geassocieerde rachten vast: Q y = mgcosθ en Q y = mgcosθ d) De twee overgebeven Lagrangevergeijingen nemen de vorm aan: mx + ( x x) mg mx ( x x) mg As we deze vergeijingen bij eaar opteen, dan vaen de met de veer samenhangende termen weg en bijft er een vergeijijng over voor de beweging van het massamiddepunt van de twee boen: mx + mx mx + mx ( m+ m) g u = gsin θ met u m + m De opossing hiervan is: ut ( ) = u( ) + u( ) t+ gt Dit is een eenparig versnede vabeweging van het massamiddepunt u van de twee boen De tweede ineaire combinatie rijgen we door de eerste twee Lagrangevergeijingen van eaar af te treen, met gewichtsfactoren voor de eerste vergeijing en m voor de tweede Het resutaat is: mm ( x x) + ( m + m)( x x) v + v= m mm met v x x en effectieve massa meff m + m De opossing hiervan is een harmonische osciatie van de twee boen tov eaar: vt () = Acos( ωt+ α ), met ω = m eff e) Neem as uitgangspositie van bo : x De beginpositie van bo is uitgeween (uitgerete veer), vogens x = m g Omgereend in u en v beteent dit, u( ) mg = m ( + m ) v en ( ) eff m mg =, terwij u ( ) = en ( ) v mg (start vanuit stistand) Hieruit vinden we α en A= v( ) = De bewegingen van de afzonderije boen vinden we uit: m m x = u+ v en x = u v Invuen evert: m + m m + m () x t mg = gt + cosωt m ( ) ( ) + m en mg m x () t = gt + + cosωt ( m+ m) m

3 f) De wrijvingsrachten omen in de eerste twee Lagrangevergeijingen voor as extra rachten Q x = µ mgcosθ en Q x = µ mgcosθ De breu in e van de twee vergeijingen geeft aan dat de wrijvingsracht voor e bo atijd tegen de bewegingsrichting van dat bo in staat Vanwege de wrijving neemt de g sin g µ cosθ As de versneing van het massamiddepunt af van θ naar ( ) osciatieampitudes van beide boen zo ein zijn tov hun gezamenije sneheid (massamiddepunt) dat er geen omeringen (meer) optreden van de richting van de sneheden, dan za de wrijving verder niet eiden tot een veraging van de osciatie-ampitude Zoang de bewegingsrichting van (een van) de boen nog omeert, neemt de wrijving energie weg uit de osciatie en neemt de osciatie-ampitude af OPGAVE : Foucaut s Peugeot a) Op de auto weren (i) de zwaarterachtsversneing g, (ii) de centrifugaaversneing ω Rcosθ, waarbij ω de rotatiesneheid (hoesneheid) van de aarde is, R de aardstraa en θ = 5, (iii) de Corioisversneing ωv, (iv) en strit genomen oo de centrifugaaversneing v R tgv het rijden op een ronde aarde b) De grootte van de Corioisversneing bedraagt acor = ωv Deze versneing is voor de naar het noorden rijdende auto gericht naar het oosten In het ocae coördinatenstese, met de x-as naar het oosten, de y-as naar het noorden en de z-as oodrecht op het aardopperva (omhoog), is er dan uitsuitend een x- component c) We spitsen nu de sneheid van de auto in een component vcosφ in de positieve y-richting en een component vsinφ in de positieve x-richting De y-sneheid behandeen we anaoog aan de opossing bij b), en daarvoor vinden we een x bijdrage aan de Corioisversneing van acor = ωvcosφ De x-sneheid evert een Corioisversneing op ter grootte van ωv sinφ, die van de aardas is weg- z gericht Daarvan staat een component a = ωvcosθsinφ naar boven toe gericht en een component a y Cor = ωvsinφ in de y-richting d) We gebruien de bij c) bepaade x- en y-componenten van de Corioisversneing om de grootte van de totae horizontae Corioisversneing te bepaen: x y ( Cor ) ( Cor ) Cor a + a = ωv Deze grootte is inderdaad onafhaneij van de rijrichting φ De eenheidsvector in de richting van de sneheid is (sin φ,cos φ ) De richtingsvector van de horizontae component van de Corioisversneing bedraagt cos φ, sinφ Deze twee richtingen staan oodrecht op eaar, en we zo dat de ( ) Corioisversneing tov de sneheidsrichting atijd naar rechts wijst e) Omdat de grootte van de horizontae versneing atijd constant is en de richting atijd oodrecht staat op de bewegingsrichting, vogt de auto een cire Van boven gezien is dit een cire met de wijzers van de o mee De straa van de cire R

4 unnen we bepaen door de Corioisversneing geij te steen aan de voor een cire met straa R benodigde centripetaaversneing: v v = ωv R= R ω Voor een rondgang is een tijd nodig van: π R π dag T = = = Deze tijd is onafhaneij van de sneheid van de v ω auto f) In de buurt van de noordpoo gedt, zodat T dag Uiteraard opt dit niet met de verwachting van precies dag Dit is het gevog van het feit dat we de centrifugaaversneing tgv de aardrotatie hebben verwaaroosd As we deze correct in reening brengen, dan bedraagt de omooptijd bij de noordpoo we degeij dag Onze auto rijdt dan precies tegen de aardrotatie in en bijft tov een niet met de aarde meedraaiende waarnemer stistaan OPGAVE : Tuimeende boen h b a) Het traagheidsmoment I zz tov de as oodrecht op het b-va aat zich op meerdere manieren bereenen; bijvoorbeed door eerst het traagheidsmoment uit te reenen tov een paraee as door het midden van het bo en daarna het paraee-as theorema toe te passen Hier aten we de directe integratie zien: zz h b ( y ) ( ) ρ ( + ), waarbij M de totae I = ρ dz dy dx x + = hb b + = M b massa voorstet van het bo De drie gevraagde traagheidsproducten zijn: xy h b I = ρ dz dy dx xy = ρhb = Mb I I xz yz h b = ρ dz dy dx xz = h b = ρ dz dy dx yz = 4 4 b) De traagheidstensor, waarvan we bij a) de meeste componenten hebben uitgereend, heeft dus behave de drie diagonaaeementen sechts twee nietdiagonaaeementen die ongeij zijn aan nu, nameij I xy en I yx, en ziet er daarom as vogt uit:

5 Ixx Ixy Iyx Iyy I zz As we deze tensor aten weren op de drie rotaties ω, ω en ω, dan eidt dat aeen in het derde geva tot een impusmoment in de richting van de rotatievector Dat is dus de enige as waarbij voor rotatie geen rachtmoment nodig is Overigens is er, vanwege het feit dat de draaias niet door het massamiddepunt oopt, we voortdurend een centripetaaracht nodig voor de derde rotatie (oo voor de twee andere rotaties, natuurij) c) De Euervergeijingen: I ω+ ( I I) ωω I ω + ( I I) ωω I ω + ( I I) ωω d) Zoas gegeven, gaan we uit van een rotatie vrijwe precies rond richting, zodat ω ω, ω We nemen aan dat ω (vrijwe) constant is, en gebruien deze informatie om de Euervergeijingen voor ω en ω te vereenvoudigen: I I ω+ ω ω I ω+ Cω, met positieve constanten C en C I I ω ω C ω + ω ω I We substitueren nu de probeeropossing ω t = A e λt in beide vergeijingen en ( ),, deen de exponentiëe functie weg uit het resutaat: λ A+ CA A λ A C λ = CC = λ =±i CC = i λ A CA A C Het resutaat wordt een periodiee opossing voor zowe as ω, met een hoesneheid CC C A ω As we de opossing compeet wien maen, dan moeten we de (compexe) ampitudes A + en A voor de twee opossingen van λ zo iezen dat ze eaars compex toegevoegde zijn Zonder veries van agemeenheid unnen we de fase zodanig iezen dat op tijdstip t de component ω geij is aan nu Dan zijn de opossingen: C ω () t = Bcos( CC t) en ω () t = Bsin ( CC t) We zien dat de grootte van C de component oodrecht op ω (in deze benadering) schommet tussen B en C B C, maar verder geen groei of afname vertoont e) Voor een rotatie vrijwe precies rond richting schrijven we de Euervergeijingen op dezefde, vereenvoudigde wijze as bij d) Nu omen we echter uit op de vorm:

6 ω+ Cω, met positieve constanten C (et op: andere C dan bij d)) en C ω + Cω As we nu dezefde vorm ω t = A e λt voor onze probeerfunctie invuen, vinden (),, we: λ A+ CA A λ A C λ = CC = λ =± CC = λ A + CA A C A C Het resutaat is een combinatie van een exponentiee afnemende en een exponentiee toenemende opossing: ω () t CC t + CC t Ae + Ae CC t + CC t = en ω () t = A e + A e f) As we dezefde exercitie uitvoeren voor een rotatie vrijwe precies rond richting, dan vinden we, net as bij d) een periodiee opossing met een constante grootte van de afwijing in het - va g) Bij rotaties rondom assen en, dus de assen met het aagste of het hoogste traagheidsmoment, bijft de grootte van de afwijing van de rotatievector van de hoofdas constant Dit unnen we beschouwen as stabiee rotaties, vergeijbaar met het geva van een symmetrische to Bij rotatie rondom as, daarentegen, vinden we dat de afwijing as functie van de tijd exponentiee groeit Deze rotatie is daarom te beschouwen as instabie

Vergelijkbare documenten

Examen Algemene natuurkunde 1 18 januari 2016

Examen Algemene natuurkunde 1 18 januari 2016 Examen Agemene natuurkunde 8 januari 206 Lees zorgvudig de vragen en aarze niet om uiteg te vragen indien je iets onduideijk vindt. Denk er ook aan om je antwoorden vodoende te motiveren, aeen de uitkomst