Technische Universiteit Delft Faculteit der Civiele Techniek en Geowetenschappen. De effectieve kiplengte van houten liggers

Transcriptie

1 Technische Universiteit Deft Facuteit der Civiee Techniek en Geowetenschappen De effectieve kipengte van houten iggers Roeand van Straten November 1

2

3 Technische Universiteit Deft Facuteit der Civiee Techniek en Geowetenschappen De effectieve kipengte van houten iggers Bepaing aan de hand van anaytische methoden, energievergeijkingen en EEM berekeningen. Student: Roeand van Straten Studienummer: Begeeiders: Supervisie: Ir. G.J.P. Ravenshorst Ir. J.W. Weeman Dr. Ir. P.C.J. Hoogenboom Prof. Dr. Ir. J.W.G. van de Kuien November 1 iii

4

5 Voorwoord Dit rapport is tot stand gekomen in het kader van het vak extra dee afstudeerwerk (CIE55-9) aan de facuteit Civiee Techniek en Geowetenschappen van de Technische Universiteit in Deft. Doe van het vak is het zefstandig uitvoeren van onderzoek op een academisch niveau, waarbij het gekozen onderwerp niet gereateerd hoeft te zijn aan het onderwerp van het uiteindeijke afstudeerwerk. Dit eindrapport gaat over het bepaen van de effectieve kipengtes van houten iggers. In juni 11 is door deze auteur (1) reeds onderzoek uitgevoerd naar het bepaen van de effectieve kipengte voor de meest standaard beastingsconfiguraties. In dit rapport is een dee van dat rapport overgenomen zodat een compeet rapport ontstaat over het bepaen van de effectieve kipengte. De overgenomen deen zijn gemarkeerd met een asterisk achter de paragraaftite. In juni 1 heeft Khaid Saeh () de effectieve kipengte bepaad voor beastingsconfiguraties met ongeijke negatieve eindmomenten. Van deze opossing za in dit onderzoek gebruik worden gemaakt. Gedurende dit onderzoek ben ik begeeid door Ir. G.J.P. Ravenshorst, Ir. J.W. Weeman en Dr. Ir. P.C.J. Hoogenboom. Hiervoor wi ik graag mijn dank uitspreken. Steenwijk, oktober 1 Roeand van Straten v

6

7 Samenvatting In dit extra afstudeerwerk is onderzoek gedaan naar het bepaen van de effectieve kipengte voor een rechthoekige houten igger. Aereerst zijn verschiende methoden voor het bepaen van de effectieve kipengte uit de iteratuur met ekaar vergeeken. Daaruit beek dat de effectieve kipengtes aeen bekend zijn voor iggers op steunpunten voor een aanta standaard beastingsconfiguraties en dat de iteratuur geen methode aanreikt waarmee de effectieve kipengtes voor onbekende beastingsconfiguraties bepaad kunnen worden. Op anaytische wijze is geverifieerd dat voor het kritieke kipmoment van een igger, beast met een constant moment over de iggerengte, gedt: MM = π EEEE k yyyy GEE ee. Hierin wordt de inkemmingsfactor k bepaad aan de hand van de rotatieveerstijfheid in het horizontae vak ter paatse van de gaffeopeggingen. Heaas is op anaytische wijze geen uitdrukking te vinden voor het kritieke kipmoment van een igger voor andere beastingsgevaen. Met behup van een energiebeschouwing kan ek beastingsgeva worden vertaad naar een equivaent uniform moment over de igger, waarvan het kritieke kipmoment reeds bekend is. De effectieve kipengte is dus een virtuee engte die de wijze van beasten in rekening brengt op het kritieke kipmoment van een igger. Voor ek beastingsgeva kan de effectieve kipengte worden bepaad met de equivaente uniforme momentfactor m vogens: eeeeee = mm. Met behup van een energiebeschouwing is tevens een methode bepaad waarmee de equivaente momentfactor bepaad kan worden voor een igger beast met een q-ast en ongeijke eindmomenten. Deze methode kan gebruikt worden om voor de osse overspanningen van een doorgaande igger of de ongesteunde deen in een igger met kipsteunen de equivaente momentfactor te bepaen. Met behup van een energiebeschouwing is tevens de invoed bepaad van een beasting die aangrijpt boven of onder het normaakrachtencentrum op de effectieve kipengte. Heaas is de invoed van rotatieveren voor andere beastingsgevaen dan het basisgeva niet af te eiden met behup van een energiebeschouwing. Met behup van EEM berekeningen zijn de opossingen met behup van anaytische methoden en de opossingen met behup van energievergeijkingen geverifieerd. De equivaente momentfactoren voor iggers zonder rotatieveren in het x-y vak ter paatse van de gaffeopeggingen bijken goed overeen te komen met de iteratuur of de gevonden opossingen. Voor iggers met rotatieveren is aangetoond dat de inkemmingsfactor aeen kan worden toegepast op het basisgeva. Voor andere beastingsconfiguraties wordt een schattingsmethode aangereikt waarmee de effectieve inkemmingsfactor te bepaen is voor eindige rotatiestijfheden, vervogonderzoek moet echter aantonen of dit een veiige benadering geeft van de effectieve kipengte. Voor iggers met oneindig stijve rotatiestijfheden worden in de iteratuur momentenfactoren gevonden voor het bepaen van de effectieve kipengte. vii

8 Inhoudsopgave VOORWOORD... V SAMENVATTING... VII 1 INLEIDING AANLEIDING DOEL UITGANGSPUNTEN TEKENAFSPRAKEN LEESWIJZER... TOETSING OP KIPINSTABILITEIT BEPALEN VAN DE KRITIEKE BUIGSPANNING * ACHTERGROND INSTABILITEITSFACTOR LITERATUURONDERZOEK NAAR DE EFFECTIEVE KIPLENGTE EUROCODE * STEP * Anaogie met effectieve kipengte * Kirby and Nethercot * Vergeijking met de Eurocode * DIN * Vergeijking met equivaente momentfactoren * TRAHAIR FRUCHTENGARTEN SAMENVATTEND AFLEIDING KIPLENGTES MET ANALYTISCHE METHODE EVENWICHTSVERGELIJKINGEN * ALGEMENE DV VOOR KIP * BASISGEVAL * DV OPLOSSEN VOOR ANDERE BELASTINGSGEVALLEN * KIPMOMENT VOOR BASISGEVAL MET ROTATIEVEREN Differentiaavergeijking Opossen van transcendente vergeijking Situatie met geijke rotatiestijfheden Voorbeed SAMENVATTEND AFLEIDING KIPLENGTES MET ENERGIEBESCHOUWING... 6 viii 5.1 THEORIE * Totae energievergeijking * Vormveranderingsenergie * Arbeid verricht door de puntast F * Vinden van de equivaente momentfactor m * PUNTLAST OP ½ L * PUNTLAST OP AFSTAND AL * VERDEELDE BELASTING Q * TWEE PUNTLASTEN OP AL EN BL VAN DE OVERSPANNING *... 34

9 5.6 BENADERINGSFORMULE VOOR LINEAIRE MOMENTEN * INVLOED VAN NEGATIEVE EINDMOMENTEN OP EEN LIGGER MET EEN Q-LAST * INVLOED VAN NEGATIEVE EINDMOMENTEN OP EEN LIGGER MET EEN PUNTLAST F * Q-LAST MET ONGELIJKE NEGATIEVE EINDMOMENTEN Maximae moment Bepaen van de equivaente momentfactor Grafisch bepaen van de equivaente momentfactor Voorbeed BASISGEVAL MET DUBBELE GAFFELOPLEGGING BELASTING BOVEN NORMAALKRACHTENCENTRUM * Extra hoeveeheid arbeid * Terug naar de totae energievergeijking * Bepaen verkeiningsfactor * Vergeijking met Duitse DIN * Invoed verkeiningsfactor voor sanke en gedrongen iggers * Vergeijking met de Eurocode * SAMENVATTEND AFLEIDING KIPLENGTES MET EEM BEREKENINGEN MODELLEREN VAN HET KIPGEDRAG Eementtype Modeeren van hout Eementgrootte Opeggingen Beginexcentriciteit Beastingsgevaen en stapgroottes BASISGEVAL Theoretisch kipmoment Vergeijking beginexcentriciteiten Vergeijking vervormingen met handberekening Exce Basisgeva met rotatieveren Q-LAST Schatting van de effectieve kipengte voor rotatieveren PUNTLAST INGEKLEMDE Q-LAST MET ENKELE EN DUBBELE GAFFELOPLEGGINGEN DOORLOPENDE LIGGER Middeste overspanning Buitenste overspanning Modeering van de compete igger Beastingcombinaties LIGGER MET ZIJDELINGSE KIPSTEUNEN Mode voor buitenste ongesteunde deen Mode voor middeste ongesteunde dee Totae modeering KIPSTEUN IN DRUKZONE Aanpassingen aan mode Resutaten SAMENVATTEND ix

10 7 CONCLUSIES LITERATUURSTUDIE ANALYTISCHE OPLOSSING GEEFT BASISGEVAL ANALYTISCHE OPLOSSING GEEFT BASISGEVAL MET ROTATIEVEREN ENERGIEBESCHOUWING GEEFT EQUIVALENTE MOMENTFACTOR HOOGTEKAART GEEFT EQUIVALENTE MOMENTFACTOR BELASTINGSCONFIGURATIES MET ROTATIEVEREN KIPSTEUNEN AANBEVELINGEN VOOR PRAKTIJK GEBRUIK VAN EQUIVALENTE MOMENTFACTOR METHODE VOOR EEN Q-LAST MET ONGELIJKE EINDMOMENTEN TOETSING OP KIP MET EEM SOFTWARE KIPSTEUNEN AANBEVELINGEN VOOR VERVOLGONDERZOEK EFFECTIEVE INKLEMMINGSFACTOR INSTABILITEITSFACTOR K CRIT VERVOLGSTUDIES LITERATUURLIJST NAWOORD BIJLAGE 1: EQUIVALENT UNIFORM MOMENT FACTORS... 1 BIJLAGE : DIN-FACTOREN BIJLAGE 3: MOMENTENFACTOR FRUCHTENGARTEN... 1 BIJLAGE 4: MAPLE SCRIPTS A) ANALYTISCHE OPLOSSING B) BASISGEVAL MET ROTATIEVEREN C) PUNTLAST OP ½ L D) PUNTLAST OP AL E) VERDEELDE BELASTING Q F) PUNTLASTEN OP AL EN BL G) LINEAIRE MOMENTENLIJN H) Q-LAST MET EINDMOMENTEN I) PUNTLAST F MET EINDMOMENTEN J) Q-LAST MET ONGELIJKE EINDMOMENTEN K) BASISGEVAL MET DUBBELE GAFFELOPLEGGINGEN L) PUNTLAST BOVEN NC BIJLAGE 5: DIANA MODELLERING BIJLAGE 6: VERGEET-ME-NIETJES x

11 1 Ineiding De toetsingscriteria van iggers kunnen grofweg opgedeed worden in eisen aan de sterkte van de igger, eisen aan de doorbuiging van de igger en eisen aan de stabiiteit van de igger. Rekening houdend met de stabiiteit van een igger dient deze gecontroeerd te worden op knikinstabiiteit en kipinstabiiteit. De eerste vorm van stabiiteit treedt op onder invoed van een normaakracht in een igger of koom. De tweede vorm treedt op onder invoed van buiging, waarbij zijdeingse instabiiteit van de igger kan optreden, aangeduid met het kippen van de igger. In dit onderzoek za aatstgenoemde verder worden onderzocht, zonder daarbij een combinatie van knik en kip mee te nemen. Tijdens het kippen van een igger za de drukzone van de igger onder invoed van buiging in de sterke as zijdeings gaan verpaatsen zoas weergegeven in Figuur 1.1. Figuur 1.1 Visuaisatie van het kippen van een igger 1.1 Aaneiding In de iteratuur worden verschiende methoden aangereikt voor het toetsen van houtconstructies op kipinstabiiteit. Dit betekent niet dat de toetsing op kip nog erg onbekend is, maar is eerder het gevog van de ontwikkeing van de Eurocode. Voor die tijd bestonden er verschiende methoden in de nationae normen. Deze zijn echter meesta beperkt te gebruiken voor een paar standaard beastingsgevaen en de herkomst ervan is soms onduideijk. Voor veevoorkomende beastingsgevaen, zoas een doorgaande igger over meerdere steunpunten, is het onduideijk hoe het kipmoment bepaad kan worden. Dit is aaneiding om kipinstabiiteit van houten iggers nader te onderzoeken. 1. Doe Bij de toetsing op kipinstabiiteit wordt gebruik gemaakt van de effectieve kipengte ( eeeeee ). Dit is een virtuee engte die de wijze van beasten in rekening brengt op het kritieke kipmoment van de igger. Het doe van dit onderzoek is het bepaen van de effectieve kipengte voor verschiende beastingsconfiguraties en deze te vergeijken met waarden uit de iteratuur. Tevens za voor verschiende beastingsconfiguraties het kipgedrag worden gemodeeerd in EEM software. Enerzijds om de effectieve kipengtes voor de standaard beastingsconfiguraties te verifiëren en anderzijds om DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 1

12 de invoed van beastingsconfiguraties met rotatieveren en/of kipsteunen op de effectieve kipengte nader te onderzoeken. 1.3 Uitgangspunten In dit rapport za worden uitgegaan van een houten igger met een rechthoekige doorsnede, zodoende hoeft weving (fensbuiging) niet te worden meegenomen. Tevens wordt aangenomen dat de beginexcentriciteiten van de igger niet groter zijn dan e voor geamineerd hout en e 5 3 voor gezaagd hout, anders zijn de rekenreges uit de Eurocode niet gedig. Tot sot wordt, tenzij anders aangegeven, ervan uitgegaan dat de beasting aangrijpt in het normaakrachtencentrum (NC) van de doorsnede. 1.4 Tekenafspraken In dit gehee rapport za, tenzij expiciet anders vermed, worden uitgegaan van een igger beast op twee steunpunten met het in Figuur 1. aangegeven assenstese. De igger kan een verticae verpaatsing w en een horizontae verpaatsing u ondergaan. y z u w x Figuur 1. Ligger op twee steunpunten ondergaat een zakking w Tevens zuen de in Figuur 1.3 aangegeven positieve momenten worden aangehouden. Let op: dit is afwijkend ten opzichte van de notaties in de houtnormen, daar wordt voor het moment M z de notatie M y gebruikt en andersom. De hier aangehouden notatie komt voort uit het mechanica onderwijs op de TU Deft. x M z M z x M y M y x M x M x y z y z Figuur 1.3 Positieve momenten in het aangegeven assenstese 1.5 Leeswijzer Toetsing op kipinstabiiteit Om te beginnen za worden uitgeegd op weke wijze er getoetst wordt op kipinstabiiteit. Literatuuronderzoek naar de effectieve kipengte Vervogens wordt er in de iteratuur gekeken naar methoden om de effectieve kipengte te bepaen, weke vervogens met ekaar worden vergeeken. DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

13 Afeiding kipengtes met anaytische opossing In dit hoofdstuk za op anaytische wijze een opossing worden gegeven voor het kritieke kipmoment van een igger door het opossen van een differentiaavergeijking. Tevens za worden bekeken wat de invoed is van rotatieveren in het horizontae vak op het kipmoment van de igger. Afeiding kipengtes met energiebeschouwing Vervogens wordt met behup van energievergeijkingen voor verschiende beastingsgevaen de effectieve kipengte bepaad. Afeiding kipengtes met EEM berekeningen Tot sot wordt het kipgedrag voor verschiende beastingsconfiguraties gemodeeerd in DIANA om de effectieve kipengtes te verifiëren voor beastingsgevaen afgeeid met anaytische methoden of afgeeid met een energiebeschouwing. Voor een igger met kipsteunen za de invoed op de effectieve kipengte worden bepaad. Concusies Dit hoofdstuk bevat de concusies die getrokken kunnen worden uit dit onderzoek. Aanbeveingen voor praktijk In dit hoofdstuk zuen concrete aanbeveingen worden gedaan die van toepassing zijn op de praktijk. Aanbeveingen voor vervogonderzoek Tot sot zuen de aanbeveingen voor vervogonderzoek worden gepresenteerd. Equation Chapter (Next) Section 1Equation Chapter (Next) Section 1 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 3

14 Toetsing op kipinstabiiteit Bij de toetsing op kipinstabiiteit dient de rekenwaarde van de buigspanning, berekent vogens een geometrisch ineaire (1 e orde) berekening uitgaande van ineair eastisch materiaagedrag, keiner te zijn dan de rekenwaarde van de buigsterkte vermenigvudigd met een instabiiteitsfactor k ceeiee : σ mm,,d k ceeiee f mm,o,d (.1) Deze factor k ceeiee zorgt ervoor dat de buigsterkte begrensd wordt, om zo de stabiiteit van de igger te garanderen. De instabiiteitsfactor is afhankeijk van de reatieve sankheid van de igger en het veroop ervan is weergegeven in Figuur.1. Figuur.1 Veroop instabiiteitsfactor as functie van de reatieve sankheid De reatieve sankheid is een factor die de theoretisch kritieke buigspanning σ ceeiee reateert aan de karakteristieke druksterkte en is gedefinieerd as: λ eeee = f mm,o,k σ ceeiee (.) Voor verschiende waarden van λ eeee is de instabiiteitsfactor weergegeven in Tabe.1. λ re k crit λ re.75 k ceeiee = 1.75 < λ re 1.4 k ceeiee = λ eeee < λ re k ceeiee = λ eeee Tabe.1 Waarde van de instabiiteitsfactor voor verschiende waarden van de reatieve sankheid 4 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

15 .1 Bepaen van de kritieke buigspanning * Om de reatieve sankheid te bepaen is het nodig de kritieke buigspanning σ ceeiee van de igger te bepaen. Deze wordt gegeven door: σ ceeiee = MM ceeiee W (.3) Hierbij is MM ceeiee het theoretische kipmoment van de igger, waarbij zijdeingse instabiiteit optreedt. Voor een igger die wordt beast met een constant moment over de igger en aan beide zijden een gaffeopegging heeft, gedt: MM ceeiee = π EEEE yyyy GEE ee eeeeee (.4) Waarin: eeeeee Effectieve kipengte EE Easticiteitsmoduus (5% ondergrenswaarde) EE yyyy Traagheidsmoment in zijdeingse richting G Afschuivingsmoduus (5% ondergrenswaarde) Torsietraagheidsmoment EE ee Er moet worden aangemerkt dat bij hout wordt gerekend met een 5% ondergrenswaarde voor de easticiteitsmoduus en de afschuivingsmoduus aangezien een gemiddede waarde bij hout te weinig zekerheid biedt. In het vervog van dit versag za dit niet meer expiciet worden vermed, maar wordt ervan uitgegaan dat de 5% ondergrenswaarde van de easticiteitsmoduus en afschuivingsmoduus za worden gebruikt bij de toetsing op kip. Tevens is het beangrijk om in te zien dat de notatie voor het traagheidmoment EE yyyy overeenkomt met de notatie EE zz wat gebruikt wordt in de houtnormen. Het kritieke kipmoment za in hoofdstuk 4 nog uitgebreid worden afgeeid.. Achtergrond instabiiteitsfactor Om meer inzicht te geven in het toetsen op kipinstabiiteit is het beangrijk om de achtergrond van de instabiiteitsfactor te weten. Aangezien de kritieke buigspanning bepaad wordt via het theoretische kipmoment, waarbij wordt uitgegaan van eastisch materiaagedrag, dient de instabiiteitsfactor de buigsterkte te begrenzen voor de werkeijk optredende bezwijkvorm. Het materiaa kan nameijk bezwijken voordat het theoretische kipmoment wordt bereikt. De instabiiteitsfactor is afhankeijk van de reatieve sankheid van de igger, aangezien het bezwijkgedrag voor een hoge reatieve sankheid afwijkt van iggers met een age reatieve sankheid. Voor iggers met hoge reatieve sankheid za het eastisch kipgedrag maatgevend zijn, aangezien het materiaa nog ang niet bezweken is voordat de igger gaat kippen. Voor iggers met age reatieve sankheid za het materiaa echter vee eerder bezwijken dan dat het theoretische kipmoment is bereikt. Daar tussenin bevindt zich een gebied waarbij een combinatie van beide bezwijkvormen optreedt, zie Figuur.. DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 5

16 Eastisch kipgedrag Materiaa bezwijkt Materiaa bezwijkt Combinatie Eastisch kipgedrag Figuur. Bezwijkvormen voor verschiende reatieve sankheden Aangezien de instabiiteitsfactor agemeen gedend is voor ae situaties is de verwachting dat de waarde van k crit aan de conservatieve kant is, de exacte afeiding is echter onbekend. In dit onderzoek za daar ook geen aandacht aan worden besteed. Een manier om de instabiiteitsfactor te omzeien is gebruik te maken van een geometrisch niet ineaire eindige eementen berekening, waarbij rekening gehouden dient te worden met de beginexcentriciteit van de igger. Op die manier vostaat een spanningstoetsing op de igger, aangezien een geometrisch niet ineaire berekening wordt uitgevoerd. Equation Chapter (Next) Section 1 6 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

17 3 Literatuuronderzoek naar de effectieve kipengte In dit hoofdstuk za in de iteratuur worden gezocht naar methoden voor het bepaen van de effectieve kipengte voor gebruik bij een geometrisch ineaire (1 e orde) berekening, uitgaande van ineair eastisch materiaagedrag, waarna getoetst wordt met de instabiiteitsfactor k crit zoas uitgewerkt in het vorige hoofdstuk. De effectieve kipengte is een virtuee engte die de invoed van de beastingssituatie in rekening brengt op het kritieke kipmoment van een igger en is afhankeijk van de beastingssituatie en het aangrijpingspunt van de beasting. Voor zover mogeijk zuen de verschiende methoden ondering worden vergeeken. 3.1 Eurocode * In de Eurocode (3) zijn voor enkee beastingsgevaen de waarden van de effectieve kipengte gegeven, zie Tabe 3.1. Beastingtype Constant moment Puntast op ½ L Geijkmatig verdeede q-ast Tabe 3.1 Effectieve kipengtes uit de Eurocode Effectieve kipengte eeeeee = 1. L eeeeee =.8 L eeeeee =.9 L Tevens houdt de Eurocode rekening met het aangrijpingspunt van de beasting. De effectieve kipengte moet aangepast worden as de beasting boven de drukzone of onder de trekzone aangrijpt. In het eerste geva dient de effectieve kipengte met h te worden vergroot en in het tweede geva met.5 h te worden verminderd. 3. Step * In het Step-dictaat (4) wordt voorgested om ek ander beastingsgeva, anders dan het basisgeva om te rekenen naar een constant moment over de igger door gebruik te maken van een equivaante momentfactor mm. Voor een 9-ta standaard beastingsgevaen is de m-factor gegeven in bijage 1. Het kipmoment voor zo n nieuw beastingsgeva kan berekend worden vogens: MM ceeiee,nieeuw = 1 mm MM ceeiee,bbaasis (3.1) 3..1 Anaogie met effectieve kipengte * Het mag vokomen heder zijn dat gebruik van een equivaente momentfactor geijk staat aan het gebruik van de effectieve kipengte. Door de uitdrukking voor MM ceeiee,bbaasis in te vuen in de vorige vergeijking ontstaat: MM ceeiee,nieeuw = 1 mm MM ceeiee,bbaasis = 1 mm π EEEE yyyy GEE ee = Hieruit kan worden gevonden dat eeeeee = mm. π eeeeee EEEE yyyy GEE ee (3.) DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 7

18 3.. Kirby and Nethercot * In Kirby and Nethercot (5) is de momentenfactor voor een moment met een ineair veroop over de engte van de igger op anaytische wijze bepaad. Voor de exacte opossing wordt tevens een benaderingsformue gegeven waarmee de momentfactor bepaad kan worden, zie Figuur 3.1. De benaderingsformue uidt: mm = ββ +.1 ββ.43 (3.3) Hierin is β een factor die aangeeft hoevee het moment afneemt tot het einde van de igger. Voor de rechter momentenijn in Figuur 3.1 is β negatief. Bij een constant moment over de igger gedt: β=1. Deze benaderingsformue geeft waarden voor de momentfactor die hoger iggen dan de werkeijke waarden en geeft dus een veiige benadering voor de equivaente momentfactor. Figuur 3.1 Lineaire momentenverdeing Met deze formue zijn tevens beastingsgeva en 3 uit bijage 1 af te eiden: Moment aan één enkee zijde (β=): mm = =.57 (3.4) Moment aan twee zijden (tegengested, β=-1): mm = ( 1) = mm =.43 (3.5) Deze bijken overeen te komen met de waarden gegeven in bijage 1. Deze waarden zijn dus aan de veiige kant aangezien ze a benaderd zijn met formue (3.3) Vergeijking met de Eurocode * De factoren van de Eurocode worden in Tabe 3. vergeeken met de equivaente momentfactoren uit bijage 1. Te zien is dat de factoren in de Eurocode aan de conservatieve kant zijn aangezien deze hoger zijn geschat dan de factoren uit bijage 1, een te hoge m-factor eidt immers tot een te kein kipmoment. 8 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

19 Beastingtype Eurocode m-factor verschi Constant moment Puntast op ½ L Geijkmatig verdeede q-ast Tabe 3. Vergeijking tussen equivaente momentfactoren en de Eurocode 3.3 DIN * In de Duitse DIN (6) wordt voorgested om de vogende uitdrukking te gebruiken voor de effectieve kipengte: eeeeee = a 1 1 a a zz B T (3.6) Waarin: a 1 a a zz B T Lengte van de overspanning Factor 1 (afeiding onbekend) Factor, brengt beasting boven of onder het NC in rekening Afstand tussen NC en het aangrijpingspunt van de beasting (verticaa) Buigstijfheid EEEE yyyy Torsiestijfheid GEE ee Vergeijking met equivaente momentfactoren * Ervan uitgaande dat de beasting aangrijp in NC (a zz = ) kan de vergeijking worden herschreven tot: eeeeee = a 1 = 1 a 1 (3.7) Dit is identiek aan een momentfactor geijk aan mm = 1 aa 1. Ter vergeijking worden de factoren in de Duitse DIN omgerekend naar equivaente momentfactoren m en vergeeken met de waarden uit bijage 1. Het resutaat is te zien in Tabe 3.3. Beastingssituatie m-din-factor m-factor verschi Constant moment Moment op één van de iggereinden Puntast op ½ L q-ast = = = = Puntast op ½ L (inkemming) = q-ast 1 =.77 (inkemming) Tabe 3.3 Vergeijking tussen DIN en Step-dictaat Hieruit kan worden geconcudeerd dat de equivaente momentfactoren goed overeen bijken te komen met de factoren in de Duitse DIN. Waar het grote verschi in de aatste beastingssituatie vandaan komt wordt duideijk in hoofdstuk. DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 9

20 3.4 Trahair De effectieve kipengte voor een uniform moment over de iggerengte, waarbij de rotatie ter paatse van de gaffeopegging word verhinderd in het x-y vak, is vogens Trahair (7) te bepaen via: eeeeee = k In deze formue wordt k de inkemmingsfactor genoemd. Deze factor kan voor rotatieveren met geijke rotatiestijfheden worden bepaad uit Figuur 3.. Figuur 3. Reatie tussen k en de dimensieoze rotatiestijfheid vogens Trahair De exacte opossing is op anaytische wijze bepaad, de voedige afeiding van Figuur 3. is echter onbekend. Deze opossing kan vogens Trahair benaderd worden met onderstaande formue voor de inkemmingsfactor, afhankeijk van de rotatiestijfheid αα ee : k = + αα eel/eeee yy + αα ee L/EEEE yy (3.8) Het vreemde van deze benadering is dat deze onder de werkeijke opossing igt. Hierdoor geeft dit een te age inkemmingsfactor, waardoor een te hoog kipmoment wordt berekend. Dit za in vogende hoofdstukken nog worden behanded. Voor ongeijke rotatiestijfheden kan de inkemmingsfactor grafisch worden bepaad uit Figuur 3.3, ook hier is de afeiding voor deze opossing onbekend. Hierbij dient opgemerkt te worden dat een oneindige rotatiestijfheid αα ee eidt tot een dimensieoze rotatiestijfheid G A geijk aan. Dit is omgekeerd ten opzichte van de eerste verwachting van veen. Ter controe kan voor geijke rotatiestijfheden geijk aan uit beide figuren worden vastgested dat de inkemmingsfactor naar 1 gaat, wat overeenkomt met een effectieve kipengte geijk aan de overspanningsengte. Dit komt overeen met de vrije uitbuiging van een op druk beaste scharnierend opgeegde koom. Voor geijke rotatiestijfheden weke naar oneindig gaan, kan worden vastgested 1 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

21 dat de inkemmingsfactor.5 nadert. De effectieve kipengte is dan geijk aan de heft van de overspanningsengte, dit komt overeen met een op druk beaste koom weke aan beide zijden is ingekemd. Tot sot za worden gekeken naar de situatie met aan een zijde een rotatiestijfheid geijk aan en aan de andere zijde een oneindig stijve rotatieveer. Vogens Figuur 3.3 nadert de inkemmingsfactor dan een waarde van.7. De effectieve kipengte komt wederom overeen met een op druk beaste koom weke in dit geva aan een zijde is ingekemd. Figuur 3.3 k-waarden uit Trahair voor ongeijke dimensieoze rotatiestijfheden G A en G B 3.5 Fruchtengarten In Fruchtengarten (8) is de invoed van verhinderde rotatie in het x-y vak bepaad met behup van eindige eementen berekeningen voor gangbare staaprofieen voor verschiende beastingsconfiguraties. De resutaten voor vrije rotatie en verhinderde rotatie in het x-y vak ter paatse van de opeggingen worden weergegeven in Tabe 3.4 voor de meest standaard beastingconfiguraties, daarbij worden de momentenfactoren omgerekend naar equivaente momentenfactoren. Andere beastingsconfiguraties zijn opgenomen in bijage 3. Beastingssituatie Constant moment Moment op één van de iggereinden Puntast op ½ L q-ast Vrije rotatie Enkee gaffeopegging Puntast op ½ L (inkemming) q-ast (inkemming) Tabe 3.4 Momentenfactoren uit Fruchtengarten Verhinderde rotatie Dubbee gaffeopegging 1 =.99 1 = = =.54 1 = = =.7 1 = = =.88 1 = = =.57 1 = = =.38 1 =.34.6 = Inkemmingsfactor (k min ) DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 11

22 De equivaente momentfactoren voor een enkee gaffeopegging aten goede overeenkomsten zien met de eerder gevonden waarden in de iteratuur. Het is met name interessant om de equivaente momentenfactoren te bekijken voor een dubbee gaffeopegging (zie ook Figuur 3.4). Dit aat zien dat ang niet voor ae beastingconfiguraties de equivaente momentenfactor gehaveerd wordt ten opzicht van een enkee gaffeopegging, zoas de verwachting is met behup van de inkemmingsfactor uit de vorige paragraaf voor het basisgeva. Voor ek beastingsgeva ijkt een minimae inkemmingsfactor te geden, aangezien de dubbee gaffeopegging niet voor ek beastinggeva een inkemmingsfactor van.5 aat zien. De equivaente momentenfactoren voor een dubbee gaffeopegging zuen in hoofdstuk 6 worden geverifieerd. 3.6 Samenvattend De effectieve kipengtes uit de behandede iteratuur bijken, op één beastingsgeva na, goed met ekaar overeen te komen, a is de Eurocode wat aan de conservatieve kant. De effectieve kipengtes zijn aeen bekend voor iggers op steunpunten, met aan beide uiteinden gaffeopeggingen, voor een aanta standaard beastingsconfiguraties. Er is echter onbekend wat de effectieve kipengte is voor een doorgaande igger over meerdere steunpunten met rotatiestijfheid in het x-y vak ter paatse van de gaffeopeggingen. Tevens is de afeiding van de inkemmingsfactor vogens Trahair (7) (voor iggers beast met een constant moment) onbekend. De vogende vragen bijven dus onbeantwoord in dit hoofdstuk en zuen in de vogende hoofdstukken worden behanded: - Op weke manier kunnen de effectieve kipengtes worden bepaad voor beastingconfiguraties weke niet in de iteratuur worden gegeven voor iggers met en zonder rotatieveren in het x-y vak ter paatse van de gaffeopeggingen? - Kan de afwijking tussen de DIN (6) en het Step-dictaat (4) voor een igger beast met een q-ast en aan beide zijden ingekemd worden verkaard? - Wat is de afeiding voor de inkemmingsfactor vogens Trahair (7) voor een igger beast met een constant moment en met rotatieveren in het x-y vak ter paatse van de gaffeopeggingen? Tenzij anders vermed wordt steeds uitgegaan van de situatie zonder rotatiestijfheid, dus zonder rotatieveer ter paatse van de gaffeopegging, zie de bovenste situatie in Figuur 3.4. Het bovenaanzicht van de igger za daarbij niet expiciet worden getekend zonder rotatieveren. Indien een situatie met rotatieveren behanded wordt za het bovenaanzicht we expiciet worden weergegeven, zoas geschetst in de onderste situatie in Figuur 3.4 voor oneindig stijve rotatieveren. Figuur 3.4 Bovenaanzicht igger, situatie met en zonder rotatieveren in het x-y vak Equation Chapter (Next) Section 1 1 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

23 4 Afeiding kipengtes met anaytische methode In dit hoofdstuk za een differentiaavergeijking worden afgeeid, waarmee het kipverschijnse kan worden beschreven. Op die manier kan het kritieke kipmoment worden bepaad, waarbij de igger za gaan kippen. Hiermee is tevens de effectieve kipengte bekend. We beschouwen een igger op twee steunpunten, weke een zakking w, een zijdeingse verpaatsing u en een rotatie φφ kan ondergaan zoas weergegeven in Figuur 4.1 t/m Figuur 4.3. z z x w x Figuur 4.1 Ligger op twee steunpunten ondergaat een zakking w φφ zz u x y y x Figuur 4. De igger ondergaat tevens een zijdeingse verpaatsing u u y y z z w φφ Figuur 4.3 Zijaanzicht van de igger, gedraaid met een hoek φ 4.1 Evenwichtsvergeijkingen * In het gedraaide dd, y, z -assenstese wordt het evenwicht van de igger bekeken. Voor buiging van de igger in het dd -z -vak gedt er de vogende evenwichtsvergeijking: EEEE zz dd ww dddd = MM zz (4.1) Tevens gedt er voor de buiging in het dd -y vak de vogende vergeijking: EEEE yy dd u dddd = MM yy (4.) DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 13

24 Voor de wringing in de verdraaide doorsnede kan in het mechanica boek (9) tevens voor het evenwicht worden gevonden dat moet geden: GEE ee ddφφ dddd = MM xx (4.3) Aangezien een rechthoekige doorsnede as uitgangspunt is genomen hoeft weving hierin niet te worden meegenomen. Vervogens kunnen deze termen worden uitgedrukt in de uitwendige beasting. In de verdraaide doorsnede kan worden ingezien dat onder aanname van een keine hoek φφ gedt: MM zz = cos φφ MM zz MM zz (4.4) MM yy = sin φφ MM zz φφ MM zz (4.5) M z M z φφ M z φφ Figuur 4.4 Reatie tussen de momenten in de gedraaide doorsnede Voor het torderend moment MM xx kan in Figuur 4.5 worden ingezien dat, door een zekere rotatie φφ zz om de z-as, het moment kan worden uitgedrukt in MM zz : MM xx = sin φφ zz MM zz φφ zz MM zz (4.6) 14 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

25 Ter herinnering worden de verschiende notaties voor een moment Mz weergegeven in Figuur 4.6. De rotatie φφ zz is ook we bekend as de eerste afgeeide naar het verpaatsingsved u, en kan dus geschreven worden as: φφ zz = ddu dddd (4.7) Zodoende gedt er voor MM xx : MM xx = ddu dddd MM zz (4.8) MM zz MM xx φφ zz dx du y z x Figuur 4.5 Reatie tussen Mz en MM xx door een verpaatsing u Mz Figuur 4.6 Diverse notaties voor eenzefde moment 4. Agemene DV voor kip * Invuen van (4.4), (4.5) en (4.8) in de gevonden evenwichtsvergeijkingen (4.1), (4.) en (4.3) evert: EEEE zzzz dd ww dddd = MM zz (4.9) EEEE yyyy dd u dddd = φφ MM zz (4.1) ddφφ GEE ee dddd = ddu dddd MM (4.11) zz De eerste vergeijking bijft een osstaande differentiaavergeijking die de zakking van de igger in het x-z-vak beschrijft. De aatste twee zijn aan ekaar gekopped en zuen gecombineerd worden tot een enkee DV die het kipgedrag beschrijft. Differentiëren van vergeijking (4.11) geeft: dd φφ GEE ee dddd = dd u dddd MM zz Herschrijven van (4.1) geeft een uitdrukking voor d u dxx : dd u dddd = φφ MM zz EEEE yyyy (4.1) (4.13) DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 15

26 Invuen van (4.13) in (4.1) evert: dd φφ GEE ee dddd = φφ MM zz EEEE yyyy (4.14) De rechterterm naar de inkerkant brengen evert de agemene differentiaavergeijking voor kip: dd φφ GEE ee dddd + φφ MM zz = EEEE yyyy (4.15) 4.3 Basisgeva * Er za nu voor een igger die beast wordt door een constant moment M worden afgeeid wat de kritische kipbeasting is. De beastingssituatie is aangegeven in Figuur 4.7. M M M M Figuur 4.7 Ligger op twee steunpunten beast door een constant moment Aangezien de igger enke met een constant moment MM beast wordt, gedt er: MM zz = MM. Invuen in de DV evert vervogens: dd φφ GEE ee dddd + φφ MM = (4.16) EEEE yyyy Deze kan vereenvoudigd worden tot: φφ + k φφ = met: k = MM EEEE yyyy GEE ee (4.17) De agemene opossing van deze differentiaavergeijking heeft de vogende vorm: φφ(dd) = A sin(kdd) + B cos(kdd) (4.18) De igger za op beide uiteinden worden opgeegd met een gaffeopegging, zodat deze niet kan roteren om de x-as. Zodoende kunnen de vogende randvoorwaarden worden opgested: φφ() = en φφ() = (4.19) 16 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

27 gaffe gaffe Figuur 4.8 Een gaffeopegging Uitwerken evert: φφ() = A + B 1 = B = (4.) φφ() = A sin(k) + cos(k) = A sin(k) = (4.1) Ervan uitgaande dat A moet geden: sin(k) =, dit gedt aeen voor: k = nπ. De keinste waarde voor de kritieke beasting wordt gevonden door te kiezen voor n = 1 en na invuen van k geeft dat: k = π MM EEEE yyyy GEE ee = π MM = π EEEE yyyy GEE ee (4.) De factor A in vergeijking (4.1), en daarmee de rotatie φφ, bijft hiermee onbekend. Dit wordt veroorzaakt door het opossen van een eigenwaardeprobeem, waarbij de variabee zef onbekend bijft. Aeen de sinus-vorm is in dit geva te herkennen. Hetzefde antwoord kan tevens op een snee manier met mape 1 worden gevonden, zie bijage 4A. Op deze manier is een uitdrukking gevonden voor het kritische kipmoment van een igger beast met een constant moment over de engte van de igger. Deze bijkt overeen te komen met vergeijking (.4), afkomstig uit de Eurocode, met een effectieve kipengte geijk aan de voedige engte van de overspanning. Zodoende kan voor een igger beast met een constant moment de effectieve engte geijk worden gested aan de overspanningsengte: eeeeee = 1. (4.3) Hetzefde kan worden geconcudeerd door te kijken naar bijage 1, waarbij de equivaente momentfactor voor een constant moment geijk wordt gested aan 1.. Tevens vat te zien dat voor beastingsgeva 1.4 in bijage de a 1 -factor geijk wordt gested aan 1.. Uitwerken van de gegeven vergeijkingen in hoofdstuk 3 geeft hetzefde resutaat as formue (4.). 1 Mape is een computerprogramma waarmee symboische en agebraische berekeningen op gestructureerde wijze kunnen worden uitgevoerd, zie DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 17

28 4.4 DV opossen voor andere beastingsgevaen * Nu het basisgeva op anaytische wijze is afgeeid zou de weg open moeten staan om ook andere beastingsgevaen op anaytische wijze op te ossen. Het enige verschi met de voorgaande situatie is dat het moment M z afhangt van de ocatie x op de iggeras. De functie voor de momentenijn hangt dus af van de variabee x. Uitgaande van een ineair of kwadratisch momentenveroop komt de DV er as vogt uit te zien: φφ(dd) + C 1 φφ(dd) + C φφ(dd) dd + C 3 φφ(dd) dd = (4.4) met constanten C 1, C en C 3. Voor een ineair veropend moment zijn de constanten C 1 en C 3 geijk aan nu. Voor een kwadratisch veropend moment zijn de constanten C 1 en C geijk aan nu. Voor een constant moment gedt C 1 = M met de overige constanten geijk aan nu, dit evert tevens EI yy GI t de differentiaavergeijking op weke is opgeost in de vorige paragraaf. Het probeem met het opossen van de differentiaavergeijking, waarin C of C 3 ongeijk aan nu, is dat mape een enorm ange agemene opossing geeft waarvoor het kipmoment vervogens niet meer oposbaar is. Een poging om de momentenijn te benaderen met een reeks van sinus-functies bood ook geen opossing. Mape kan dus geen opossing vinden voor het theoretische kipmoment van andere beastingsgevaen dan het basisgeva. Er za dus naar een andere methode moeten worden gekeken om voor andere beastingsgevaen het kipmoment te bepaen, dit wordt gedaan in hoofdstuk. 4.5 Kipmoment voor basisgeva met rotatieveren Nu de opossing voor het basisgeva bekend is za worden bekeken wat de invoed is van rotatieveren in het z-y vak op het kipmoment van de igger. Tot noch toe was aangenomen dat de igger een voedig vrije uitbuigingsvorm heeft in de vorm van een sinus. As de igger echter doorgaand over meerdere steunpunten is uitgevoerd kan deze vrije rotatie niet optreden. Dit gedrag kan worden gemodeeerd met rotatieveren, weke zichtbaar zijn in het bovenaanzicht ter paatse van de gaffeopeggingen, zie Figuur 4.9. De igger wordt beast met een constant moment M over de igger. M M k r1 u k r M M Figuur 4.9 Basisgeva met in het bovenaanzicht aan beide zijde een rotatieveer Differentiaavergeijking Aereerst za de differentiaavergeijking worden herschreven naar de onbekende zijdeingse verpaatsing u van de igger, zoas weergegeven in Figuur 4.9. Door het tweemaa differentiëren van formue 4.1 kan een uitdrukking worden gevonden voor de tweede afgeeide van de rotatie: 18 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

29 dd φφ dddd = EEEE yyyy dd 4 u MM zz dddd 4 (4.5) Invuen in vergeijking 4.1 evert: GEE eeeeee yyyy dd 4 u MM zz dddd 4 = dd u dddd MM zz (4.6) Dit is te herschrijven tot onderstaande differentiaavergeijking voor de zijdeingse uitbuiging van de igger: GEE ee EEEE yyyy MM zz Dit vat te vereenvoudigen tot: dd 4 u dddd 4 + dd u dddd MM zz = (4.7) u + αα u = met: αα = MM zz GEE ee EEEE yyyy (4.8) De agemene opossing van deze differentiaavergeijking kan as vogt worden geschreven: u = C 1 cos(ααdd) + C sin(ααdd) + C 3 dd + C 4 (4.9) Hierin zijn de constanten C 1 t/m C 4 afhankeijk van de randvoorwaarden. Op beide uiteinden van de igger kunnen randvoorwaarden worden opgested. Op beide einden dient de zijdeingse verpaatsing geijk aan nu te zijn. Tevens dient op beide einden het moment in evenwicht te zijn met het product van de rotatiestijfheid en de hoekverdraaiing. dd = : u = dd = : MM yy kr 1 φφ = dd = L: u = (4.3) dd = L: MM yy + kr φφ = Uitwerken van de bekende uitdrukkingen voor het moment MM = EEEE d u dxx en de hoekverdraaiing φφ = du everen de vogende randvoorwaarden op: dxx C 1 + C 4 = EEEE dd u dddd + kr ddu 1 dddd = EEEE αα C 1 + kr 1 αα C + kr 1 C 3 cos(ααl) C 1 + sin(ααl) C + L C 3 + C 4 = (4.31) EEEE dd u dddd kr ddu dddd = EEEE (cos(ααl) αα C 1 + sin(ααl) αα C ) + kr (sin(ααl) αα C 1 cos(ααl) αα C C 3 ) = DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 19

30 Herschrijven in matrixnotatie evert: 1 EEEE αα kr 1 αα cos(ααl) sin(ααl) EEEE cos(ααl) αα + kr sin(ααl)αα EEEE sin(ααl) αα kr cos(ααl)αα 1 C 1 kr 1 C = (4.3) L 1 C 3 kr C 4 De triviae opossing (constanten C 1, C, C 3 en C 4 geijk aan nu) is niet interessant, aangezien de zijdeingse verpaatsing van de igger dan geijk aan nu is. Een niet-triviae opossing wordt gevonden door de determinant van de matrix geijk aan nu te steen. Dit evert de vogende vergeijking op: Det = αα(kr 1 kr + kr 1 αα sin(ααl) kr 1 kr cos(ααl) + kr EEEE αα sin(ααl) + EEEE αα 3 L sin(ααl) kr EEEEαα L cos(ααl) kr 1 EEEEαα L cos(ααl) kr 1 kr ααl sin(ααl)) = De opossing αα = vervat omdat dit een onbeaste igger betreft. Vervogens wordt gezocht naar een opossing van onderstaande vergeijking: kr 1 kr + kr 1 EEEEαα sin(ααl) kr 1 kr cos(ααl) + kr EEEE αα sin(ααl) + EEEE αα 3 L sin(ααl) kr EEEEαα L cos(ααl) kr 1 EEEEαα L cos(ααl) kr 1 kr ααl sin(ααl) = (4.33) (4.34) Vermenigvudigen van de vergeijking met L EI evert: kr 1L kr L EEEE EEEE + kr 1L EEEE ααl sin(ααl) kr 1L EEEE + (ααl) 3 sin(ααl) kr L kr 1L EEEE kr L ααl sin(ααl) = EEEE Vervogens worden twee dimensieoze grootheden ingevoerd: ρ 1 = kr 1L EEEE ρ = kr L EEEE Derhave kan de vergeijking worden herschreven tot: kr L EEEE cos(ααl) + kr L EEEE EEEE (ααl) cos(ααl) kr 1L ααl sin(ααl) EEEE (ααl) cos(ααl) ρ 1 ρ + ρ 1 ααl sin(ααl) ρ 1 ρ cos(ααl) + ρ ααl sin(ααl) + (ααl) 3 sin(ααl) ρ (ααl) cos(ααl) ρ 1 (ααl) cos(ααl) ρ 1 ρ ααl sin(ααl) = Vereenvoudiging van deze vergeijking evert: ( ρ 1 + ρ )ααl(sin(ααl) ααl cos(ααl)) + ρ 1 ρ ( cos(ααl) ααl sin(ααl)) + (ααl) 3 sin(ααl) = (4.35) (4.36) (4.37) (4.38) Deen door sin(ααl)evert: ( ρ 1 + ρ )ααl 1 ααl cos(ααl) sin(ααl) + ρ 1ρ 1 cos(ααl) ααl + (ααl) sin(ααl) 3 = (4.39) Gebruik makend van de vogende reges uit de goniometrie: cot(αα) = cos(αα) sin(αα) sin (αα) = 1 cos(αα) sin(αα) = sin(αα) cos(αα) (4.4) DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

31 kan de vergeijking worden herschreven tot: ( ρ 1 + ρ )ααl(1 ααl cot(ααl)) + ρ 1 ρ 4 = sin ααl sin ααl ααl + (ααl) 3 cos ααl (4.41) Tot sot kan gebruik worden gemaakt van het feit dat tan(αα) = sin(α) cos(α) : ( ρ 1 + ρ )ααl(1 ααl cot(ααl)) + ρ 1 ρ tan ααl ααl + (ααl)3 = (4.4) Dit evert exact dezefde vergeijking op as gegeven in het dictaat van CT31 (1) voor het knikprobeem van een op druk beaste staaf met rotatieveren ter paatse van de opeggingen. Vergeijking met iteratuur Indien G A = en G ρ B = dan kan de transcendente vergeijking worden herschreven tot: 1 ρ G A + G B ααl(1 ααl cot(ααl)) + tan ααl ααl G AG B (ααl) 3 = G A + G B tan ααl (1 ααl cot(ααl)) ααl 4 G AG B (ααl) = 1 Dit is exact dezefde vergeijking as formue 6.39 in Trahair (7). (4.43) Figuur 4.1 k-waarden afhankeijk van de dimensieoze veerstijfheden G A en G B DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 1

32 4.5. Opossen van transcendente vergeijking Deze transcendente vergeijking dient opgeost te worden om het kritieke kipmoment van de igger te kunnen bepaen. De keinste positieve worte in ααl za de kritieke waarde van het kipmoment everen: MM = ααl L EEEE yyyy GEE ee (4.44) Het keinste positieve worte in ααl igt op het interva π < ααl < π. Indien ervan wordt uitgegaan dat ααl = π gedt er: k MM = π kl EEEE yyyy GEE ee (4.45) De keinste positieve worte van de inkemmingsfactor k igt op het interva.5 < k < 1.. De transcendente vergeijking kan vervogens worden opgeost door waarden van k tussen.5 en 1. in te vuen in de vergeijking. De vergeijking reduceert zich dan tot een vergeijking waarin aeen nog G A en G B as onbekenden voorkomen. Zo n vergeijking is vaak gemakkeijk te herschrijven tot G B = f(g A ). Deze functie kan vervogens worden gepot. De beschreven procedure is uitgevoerd in mape, waarmee voor verschiende waarden van k de afhankeijkheidsreatie tussen G A en G B is gepot. Het voedige mape script is te zien in bijage 4B, het resutaat is te zien in Figuur 4.1. De k-waarden komen goed overeen met de waarden uit Trahair (7), weke gepot zijn in Figuur Situatie met geijke rotatiestijfheden Uitgaande van geijke rotatiestijfheden reduceert de vergeijking zich tot: ρ ααl(1 ααl cot(ααl)) + ρ tan ααl ααl + (ααl)3 = (4.46) Op eenzefde manier as eerder kan de waarde van k, waarmee ααl bepaad is, worden ingevud in de formue. Vervogens kan de dimensieoze rotatiestijfheid ρ worden opgeost, aangezien dit de enige Afhankeijkheid k - ρ k 1,95,9,85,8,75,7,65,6,55, ρ=k r L/EI Figuur 4.11 Afhankeijkheid inkemmingsfactor k en dimensieoze rotatiestijfheid ρ DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

33 onbekende variabee is in de vergeijking. Aeen de positieve worte wordt as opossing meegenomen. Door voor verschiende k-waarden tussen.5 en 1 de rotatiestijfheid op te ossen, kan een grafiek worden gepot door a deze bekende punten. As k kein wordt genomen, ontstaat een voeiende ijn, weke wordt weergegeven in Figuur Vogens Trahair (7) kan de waarde van k het beste worden uitgezet tegen een dimensieoze rotatiestijfheid weke is gedefinieerd vogens: ρ eeeeaahaaiee = ρ 1 + ρ (4.47) Een pot met deze aangepaste dimensieoze rotatiestijfheid is weergegeven in Figuur ,9,8 Vergeijking met Trahair k,7,6,5,1,,3,4,5,6,7,8,9 1 ρ trahair Opossing Benadering vogens Trahair Figuur 4.1 Vergeijking met Trahair De opossing wijkt af de exacte opossing vogens Trahair (Figuur 3.), maar komt we overeen met Figuur 3.3 met ongeijke rotatiestijfheden. Deze vergeijking wordt hieronder uitgewerkt in een voorbeed. DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 3

34 4.5.4 Voorbeed As voorbeed wordt de situatie bekeken waarvoor gedt: k ee1 = k ee = EI. Zodoende gedt er voor de dimensieoze rotatiestijfheden: ρ 1 = ρ = kee 1L EI L = 1, G A = G B = = en ρ ρ eeeeaahaaiee = ρ =.5. Met 1 1+ρ behup van deze dimensieoze rotatiestijfheden wordt de inkemmingsfactor afgeezen uit de figuren: Figuur 3., Figuur 4.1 en Figuur 3.3. Dit is weergegeven in Figuur Afezen in Figuur 4.1 of Figuur 3.3 evert k=.855. Afezen in Figuur 4.1 evert tevens k=.855. Afezen in Figuur 3. evert vogens de benadering k=.75 en vogens de exacte opossing k=.78. De opossing voor geijke rotatiestijfheden vogens Trahair (7) wijkt dus af van de eerdere opossing voor ongeijke rotatiestijfheden. Er za in hoofdstuk 6 worden bekeken wat er in werkeijkheid gebeurt. k=.78 k 1,9,8,7,6,5,4,3,,1 k=.855,1,,3,4,5,6,7,8,9 1 ρ trahair Opossing Benadering vogens Trahair k=.855 Figuur 4.13 Afezen van de inkemmingsfactor uit de verschiende grafieken 4 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

35 Tot sot za Figuur 4.11 worden uitvergroot, zodat een goed afeesbare grafiek ontstaat waarmee de inkemmingsfactor k bepaad kan worden, zie Figuur Afhankeijkheid k - ρ k 1,95,9,85,8,75,7,65,6,55, ρ=k r L/EI Figuur 4.14 Afhankeijkheid k ρ 4.6 Samenvattend In dit hoofdstuk is op anaytische wijze het kipmoment voor het basisgeva bepaad, dit is overeenkomstig met de iteratuur. Heaas kan op anaytische wijze geen opossing worden gevonden voor het kipmoment voor andere beastingsconfiguraties. In dit hoofdstuk is tevens het kipmoment voor een igger beast met een constant moment en met rotatieveren in het het x-y vak ter paatse van de gaffeopeggingen afgeeid. De opossing voor ongeijke rotatieveerstijfheden komt goed overeen met Trahair (7). De opossing voor geijke rotatiestijfheden wijkt echter af van de opossing vogens Trahair. Zodoende zijn/bijven de vogende vragen onbeantwoord in dit hoofdstuk en zuen in de vogende hoofdstukken worden behanded: - Op weke manier kunnen de effectieve kipengtes worden bepaad voor beastingconfiguraties weke niet in de iteratuur worden gegeven voor iggers met en zonder rotatieveren in het x-y vak ter paatse van de gaffeopeggingen? - Kan de afwijking tussen de DIN (6) en het Step-dictaat (4) voor een igger beast met een q-ast en aan beide zijden ingekemd worden verkaard? - Kan de afwijking van de inkemmingsfactor tussen de afgeeide opossing en Trahair voor geijke rotatiestijfheden worden verkaard? Equation Chapter (Next) Section 1 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 5

36 5 Afeiding kipengtes met energiebeschouwing In dit hoofdstuk zuen de equivaente momentfactoren worden berekend met behup van energievergeijkingen en daarmee het theoretische kipmoment voor andere beastingsgevaen dan het basisgeva. Om te beginnen za een methode worden uitgeegd waarmee de factoren bepaad kunnen worden. Vervogens za in een aanta voorbeeden de berekening van de equivaente momentfactoren worden uitgevoerd voor verschiende beastingsconfiguraties. Tot sot za worden bekeken wat de invoed is as de beasting niet anger aangrijpt in het normaakrachtencentrum. 5.1 Theorie * In deze paragraaf za de equivaente momentfactor worden bepaad door gebruik te maken van energievergeijkingen. Deze methode is gebaseerd op het feit dat de totae hoeveeheid energie aanwezig in en op het systeem geijk moet bijven tijdens het kippen van de igger. Om dit principe uit te eggen za worden gekeken naar een igger beast met een puntast F op het midden van de overspanning. F / / Figuur 5.1 Beastingssituatie voor een igger beast met een puntast haverwege de overspanning Totae energievergeijking * Doordat de igger gaat buigen en torderen za deze vervormen, de opgesagen energie in de constructie door de vervorming wordt vervormingsenergie genoemd. Doordat de igger gaat doorbuigen zuen de krachten op de igger, in verticae zin, verpaatsen. De hoeveeheid potentiëe energie van die kracht neemt dus af, de kracht verricht een zekere hoeveeheid arbeid. Deze arbeid moet geijk staan aan de hoeveeheid vormveranderingsenergie die wordt opgesagen in de constructie. Zodoende gedt er voor de vormveranderingsenergie en de potentiëe energie tijdens het beasten: EE v + EE p = constant (5.1) 5.1. Vormveranderingsenergie * Voordat de igger gaat kippen heeft deze a een zekere doorbuiging w en heeft de kracht a een bepaade hoeveeheid arbeid verricht. Dit is uiteraard vogens het principe van energievergeijkingen met ekaar in evenwicht. Na het kippen za de igger geroteerd zijn onder een hoek φφ, weke as kein wordt aangenomen. Zoas in hoofdstuk 6 (Figuur 6.7) bijkt is de rotatie, tot op het moment van kippen, nog as kein te verondersteen. Zodoende kan voor het moment MM zz wederom worden geschreven: MM zz = cos φφ MM zz MM zz (5.) De verpaatsing ten gevoge van dit moment za geijk zijn aan ww, doordat de hoek φφ kein is gedt er: ww = cos φφ ww 1 ww 1 (5.3) 6 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS