Antwoordenbundel. Module: Stabiliteit van het evenwicht. Constructiemechanica 3. ANTWOORDEN Constructiemechanica 3

Transcriptie

1 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Antwoordenbnde Mode: Stabiiteit van het evenwicht Constrctiemechanica Behorend bij: Constrctiemechanica Mode: stabiiteit van het evenwicht Dee : vraagstkken CT0 C. Hartsijker en J.W.Weeman aatste wijziging: Martijn van den Hoogen van 5

2 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Inhodsopgave Voorwoord... 4 Hoofdstk : Stabiiteit van het evenwicht... 5 Vraagstk Vraagstk Vraagstk.-/... 5 Vraagstk Vraagstk Vraagstk Hoofdstk : Knik van starre staafsystemen met vrijheidsgraad... 6 Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk.9... Vraagstk.0... Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Hoofdstk : Knik van gekoppede starre staven Vraagstk aatste wijziging: Martijn van den Hoogen van 5

3 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk Vraagstk aatste wijziging: Martijn van den Hoogen van 5

4 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Voorwoord In deze bnde zijn de itwerkingen van de opgaven behorend bij de mode stabiiteit opgenomen. De opgaven zijn zovee mogeijk parametrisch (met symboen) itgewerkt om dideijk de te vogen strategie neer te zetten en geen verwarring met getaen te veroorzaken. Getaen knnen desgewenst zef ingevd worden om de nmerieke antwoorden te vinden. Om de antwoorden enigszins compact te hoden word in sommige vraagstkken eerder afgeeide kennis as bekend verondersted. ( Bijvoorbeed de veerstijfheid van een igger op stenpnten ). Geadviseerd wordt dan ook om eerst met de makkeijke vragen (agere vraagnmmering) te beginnen daar deze vaak itgebreidere iteg hebben. Tevens is van de vraagstkken met meerdere varianten steeds variant itgewerkt. De overigen hebben in de meeste gevaen dezefde opossingssystematiek. Vee pezier met de opgaven! Martijn van den Hoogen Maart 0 aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 4 van 5

5 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Hoofdstk : Stabiiteit van het evenwicht Vraagstk. Een evenwicht is stabie as het systeem vanit ae mogeijke verpaatste standen in de brt van de evenwichtsstand weer tergkeert naar de evenwichtsstand. ( verpaatste stand wordt ook we aangedid as kinematisch mogeijke configratie) Vraagstk. Of een systeem stabie is afhankeijk van de beasting en de geometrie. Onder constrctie vat aeen de geometrie ( paatsvastheid, vormvastheid ). As men het heeft over evenwicht dan neemt men zowe beasting as geometrie mee. Vraagstk.-/ In de onderstaande figren zijn vier mogeijke configraties geschetst. Vraagstk.4 In een geometrisch niet ineaire berekening wordt de verpaatste stand meegenomen in de berekening van het krachtenspe. ( Krachten knnen bijvoorbeed extra moment genereren door een veroorzaakte itwijken en zo het effect versterken ) Vraagstk.5 Bij netraa evenwicht zijn er in de brt van de evenwichtstand niewe evenwichtsstanden mogeijk. Het systeem is indifferent in waar het staat. Bij een instabie evenwicht is dit niet het geva en kapt de constrctie in. ( Vergeijk het met een baetje op een heve) Vraagstk.6 Het evenwicht is instabie. As het baetje een tik naar rechts krijgt rot het eerst omhoog maar za vervogens atijd door zijn evenwicht stand roen. aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 5 van 5

6 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Hoofdstk : Knik van starre staafsystemen met vrijheidsgraad Daar waar geen bigstijfheid is aangegeven kan een starre staaf worden verondersted. Vraagstk. Eerst wordt de constrctie in zijn verpaatste stand getekend met ae krachten die erop werken: / /4 A m g m g Vervogens steen we het momentenevenwicht rondom het stenpnt op: k + m g mg 0 4 Hierit vinden we de knikast door het wegdeen van de onbepaade itwijking: k mg m g 4 aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 6 van 5

7 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.- Eerst wordt de constrctie in zijn verpaatste stand getekend: sin( α) m g h v cos( α ) cos( α ) m g Gevraagd wordt de verhoding tssen de twee massa s as de hoek 0 graden is. Uit de tekening vat op te maken dat het tegenwerkend en meewerkend moment dan geijk is aan: Ttegen mg sin( α) Tmee m g sin( α) Hierbij is een keine hoek aangenomen. Dan vogt dat voor een stabie systeem moet geden: m > m Vervogens is de strategie om de meewerkende en tegenwerkende momenten te bepaen. De afstanden zijn gegeven in de constrctie boven. Met enig herschrijven is te vinden dat het schine koord een engte heeft van: 5 4cos( α) Het meewerkend moment: Tmee m g sin( α) Het tegenwerkend moment: T sin( α)* + cos( α)* tegen v h cos( α) sin( α) Ttegen m g sin( α) + mg cos( α) 5 4cos( α) 5 4cos( α) Door n te steen dat: T T mee tegen Knnen we een verhoding vinden tssen de twee gewichten zoas gevraagd. Voor een hoek van 0 graden wordt die natrijk: (ERGENS KLOPT dit niet, antwoord moet toch ook it de goniometrische reaties vogen?) m > m aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 7 van 5

8 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.- Eerst tekenen we het bok in de verpaatste stand: k / G k Vervogens steen we het momenten evenwicht om de onderkant op, waarbij de massa aangrijpt in het middepnt van het bok: Tmee G Het bok verdraait onder een hoek van: θ a Dan worden de veren ingedrkt met: veer a a N vogt: Ttegen ka ka Het kritieke gewicht vogt n it: T T mee tegen G ka aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 8 van 5

9 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.4- Dezefde strategie as bij de vorige vraag wordt gevogd aeen n met de horizontaa gepaatste veren en een kracht op de bovenkant. Tmee G + a a Ttegen k k Opossen van Tmee Ttegen geeft: a k G Vraagstk.5- a.) Eerst word de constrctie weer vrijgemaakt en in de verpaatste stand getekend met de daarop werkende krachten: T tegen Er vogt: Tmee en Ttegen kr, Opossen van Tmee Ttegen geeft: kr k b. ) As de engte groter wordt neemt de knikkracht af. aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 9 van 5

10 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.6- a. ) Eerst tekenen we de constrctie in de verpaatste stand: Vervogens knnen we het meewerkend en tegenwerkend moment opsteen: Tmee en Ttegen ( ) k, Opossen van Tmee Ttegen geeft: k k b. ) it de afgeeide forme voor de knikkracht knnen we zien dat as de koomengte groter wordt en de veren op dezefde hoogte bijven de knikast afneemt. c. ) Ook as de veren ager worden gepaatst neemt de knikast af. aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 0 van 5

11 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.7- Eerst tekenen we de constrctie in zijn verpaatste stand: T tegen θ We knnen de verbonden igger schematiseren tot een rotatieveer die een moment evert afhankeijk van de hoekverdraaiing. Uit de mechanica weten we dat voor de hoekverdraaiing van een eenvodig opgeegde igger gedt: M θ, dit is ook andersom it te drkken as: M θ en ds kr N knnen we weer het momentenevenwicht opsteen om het onderste pnt. Tmee en T tegen, Opossen van Tmee Ttegen geeft: k aatste wijziging: Martijn van den Hoogen van 5

12 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.8- Eerst tekenen we de constrctie in zijn verpaatste stand: θ T tegen T tegen θ Het vat op de staven in het midden niet horizontaa knnen verpaatsen maar de onderkant we. N knnen we het momenten evenwicht opsteen om het onderste pnt. Tmee en Ttegen, Opossen van Tmee Ttegen geeft: 6 k aatste wijziging: Martijn van den Hoogen van 5

13 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.9- Eerst tekenen we de constrctie in zijn verpaatste stand: θ T tegen θ T tegen N knnen we het momenten evenwicht opsteen om het onderste pnt. 6 Tmee en Ttegen, Opossen van Tmee Ttegen geeft: 6 k aatste wijziging: Martijn van den Hoogen van 5

14 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.0- Eerst tekenen we de constrctie in zijn verpaatste stand: θ T tegen T tegen θ N knnen we het momenten evenwicht opsteen om het onderste pnt waarbij we n verschiende stijfheden hebben omdat de iggers verschiend in engte zijn. Tmee en Ttegen +, Opossen van Tmee Ttegen geeft: k + aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 4 van 5

15 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.- Eerste tekenen we de constrctie in de verpaatste stand: k k Gevraagd is de veerstijfheid waarbij de constrctie stabie is. Dit is feiteijk gewoon T T opossen voor de veerstijfheid k. We weten: mee tegen Tmee en Ttegen k, Opossen van Tmee Ttegen geeft: k aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 5 van 5

16 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk. Eerste tekenen we de constrctie in de verpaatste stand. We nemen daarbij aan dat in de evenwichtsstand de bokken met onbekend gewicht G bok voor een afstand van h in het water gezonken zijn. De dichtheid van het water is ρ en het oppervak van de onbekende bokken is A ( in de vraag). Tevens nemen we aan dat de constrctie in E en verbonden is door een starre staaf die niet in D met de constrctie verbonden is. (Dit is een ondideijkheid in de vraag) We geven de constrctie itwijking. We krijgen dan de vogende figr: G ( h ) ρ A bok G ( h + ) ρ A bok G bok h h + G bok N steen we het evenwicht op om het rotatiepnt. De verticae itwijking van de bokken aan de onderkant is aan geijk aan omdat de engtes horizontaa geijk zijn. Tevens is de opwaartse kracht in het water geijk aan de massa van het verpaatste gewicht in water. T G + G ( + ) ( h + ) ρa( + ) mee bok T G ( ) ( h ) ρ A( ) tegen bok Dit knnen we opossen voor onbekende G: G ρ Ah + ρ A G bok Afhankeijk van wat de verbinding is tssen de pnten E,D, wordt het antwoord van deze vraag anders. Een andere variant is om bij pnt D de constrctie te verbinden met de starre staaf E. Dan worden de bokken paatsvast. Nog een andere optie is om de verbinding niet met een starre staaf maar met een kabe te maken. Dan bijft er ds bok verticaa hangen en het andere bok gaat schin hangen. aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 6 van 5

17 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk. Voor deze vraag moeten we de twee knikgevaen afzonderijk bekijken. In het ene geva knnen we AB en ED as transatieveer modeeren, in het andere geva as rotatieveer. As we beide verpaatste standen it handige oogpnten tekenen ziet dat er as vogt it (veerstijfheden in de tekening): G G θ k a b C k a B D A,E B,D C b b a Voor de eerste sitatie vonden we in vraagstk.- de opossingsstrategie. We krijgen hiermee b Tmee en T tegen b a, Opossen van Tmee Ttegen geeft: b k a Voor de tweede sitatie vonden we de knikast in vraag.5- as: kr k 6 De veerstijfheid is k a a 6 Ds: k a Hierit vogt dat: a b aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 7 van 5

18 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.4 Eerst tekenen we de constrctie in zijn verpaatste stand. Het vat op dat as de constrctie schin komt te staan de bitenste knopen niet verpaatsen doordat er midden bovenin een momentvaste verbinding zit. Hierdoor zijn in principe ae knopen paatsvast. qk qk qk qk 4 4 qk qk qk qk N knnen we de momentensommen opsteen. Tmee qk( + ) + qk( + ) + qk( + ) + qk( + ), ofwe: 4 4 Tmee 4 qk + qk( ) 4qk + qk 4 4 Ttegen qk( ) + qk( ) + qk( ) + qk( ) + kr 4 4 Ttegen 4qk qk + kr Opossen van Tmee Ttegen geeft: kr qk 0 aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 8 van 5

19 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.5- Eerst tekenen we de verpaatste stand. + N knnen we de momentensommen opsteen. T ( + ) mee tegen T + k ( ) r + + Opossen van Tmee Ttegen geeft met een beetje omschrijven: kr k ( + ) aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 9 van 5

20 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.6- Deevraag is interessant aangezien de inkerkant voedig paatsvast is en de rechterkant aeen een pntast bovenin heeft. De verpaatste stand ziet er as vogt it: h h a a N knnen we de momentensommen opsteen. T ( a + ) mee Ttegen ( a ) + kr h Opossen van Tmee Ttegen geeft: kr k h aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 0 van 5

21 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.7- Eerst tekenen we de constrctie in de verpaatste stand Vervogens steen we de momentenevenwicht op. T mee Ttegen k + k Opossen van Tmee Ttegen geeft: 5 k k 4 aatste wijziging: Martijn van den Hoogen van 5

22 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.8-4 Gegeven was onderstaande starre staaf. Gevraagd was een itdrkking voor de knikast. In de verpaatste stand ziet de constrctie er as vogt it: k r Zoas te zien kan de bovenkant niet horizontaa itwijken. De onderkant kan echter we verpaatsen met. Uit verticaa evenwicht vogt dat de kracht ook aan de onderkant as reactiekracht ontstaat. Het meewerkend moment op de staaf is dan (om de bovenste opegging): Tmee Het totae tegenwerkende moment ( rotatieveren, transatieveren, om de bovenste opegging)): T k + k θ tegen t r Voor de hoekverdraaiing van de staaf weten we: θ N vogt voor het totae momentenevenwicht (om de bovenste opegging): kt kr 0 En voor de knikast: k k kt + r aatste wijziging: Martijn van den Hoogen van 5

23 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.9- Eerst tekenen we de constrctie in zijn verpaatste stand Q De restante van de verdeede beasting grijpt aan in het midden van de starre staaf. Het meewerkend moment wordt dan: Tmee Q De igger met bigstijfheid knnen we modeeren as een transatieveer met stijfheid: k Het tegenwerkend moment wordt dan: Ttegen Geijksteen evert: Qk aatste wijziging: Martijn van den Hoogen van 5

24 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.0- Eerst tekenen we de constrctie in de verpaatste stand. We knnen de rechter pendestaaf feiteijk modeeren as een roopegging aan de rechterkant. Deze vereenvodiging is toegestaan omdat de pende aeen de recher bovenkant verticaa op zijn paats hoden. (horizontaa kan dit pnt bewegen) Dan wordt het probeem soortgeijk aan vraagstk.7 T tegen θ We knnen de verbonden igger schematiseren tot een rotatieveer die een moment evert afhankeijk van de hoekverdraaiing. Uit de mechanica weten we dat voor de hoekverdraaiing van een eenvodig opgeegde igger gedt: M θ, dit is ook andersom it te drkken as: M θ en ds kr N knnen we weer het momentenevenwicht opsteen om het onderste pnt. Tmee en T tegen, Opossen van Tmee Ttegen geeft: k aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 4 van 5

25 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.- We knnen de constrctie modeeren as een starre staaf onderstend door een transatieveer. De vraag wordt dan om de stijfheid van de transatieveer te vinden. De constrctie in zijn verpaatste stand ziet er as vogt it: Om de stijfheid van de veer te vinden oefenen we een horizontae kracht H it en kijken we wat de itwijking daar za worden. We weten it de mechanica dat voor de verticae staaf gedt: H vert. staaf Hierbij moeten we nog het kwispeeffect opteen dat door de verende inkemming onderaan wordt geeverd. Het moment daar is: H En ds: H( ) H kwispe 6 De totae verpaatsing is dan: H vert. staaf + kwispe Vervogens vogt hierit de stijfheid van de transatieveer: k Uit bijvoorbeed vraagstk.6- weten we dat: k k Ds de knikast is bepaad as: k aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 5 van 5

26 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.- Bij deze vraag knnen we de twee staven met bigstijfheid wederom modeeren tot een transatieveer. De vraag wordt dan om de veerstijfheid van de transatieveer te vinden. We tekenen de constrctie in zijn verpaatste stand: H H Vervogens moeten we het verband vinden tssen H en. (de veerstijfheid k). We hebben hiervoor de momenten die ontstaan door H gemodeeerd as koppes in het knooppnt en er een scharnier van gemaakt. Hierdoor ontstaat een mechanisme en knnen we met hoekveranderingsvergeijkingen een reatie vinden voor de veerstijfheid. Voor het scharnierende knooppnt gedt: ϕ ϕ inks rechts H H De extra term in vogt it de verdraaiing van de verticae staaf. We vinden n voor de veerstijfheid: k Uit bijvoorbeed vraagstk.6- weten we dat: k k Ds de knikast is bepaad as: k aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 6 van 5

27 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.- Deze vraag is te modeeren as knikstaven met aebei een rotatieveer aan de bovenkant. De vraag is n wat de stijfheid van de rotatieveer is en hoe we dit stese van momenten evenwichten knnen opossen. Eerst tekenen we de verpaatste stand: θ θ θ θ We nemen in de horizontae staaf een onbekende trekkracht N aan en verwaarozen de dwarskracht daar deze iteindeijk kwadratische in paats van ineaire term van de hoekverdraaiing afhankeijk is. Tevens is it symmetrie overweging het moment M exact geijk aan beide zijdes. Immers, anders worden de beide hoekverdraaiingen in de bovenrege nooit geijk. We knnen n voor de hoekverdraaiing aan een van de iteindes van de rege opsteen: M M M θ 6 6 Hiermee wordt de veerstijfheid van de rotatieveren ds: 6 kr N knnen we de twee momentenevenwichten opsteen: 6 Tin ker. staaf θ + N θ 0 6 Trechter. staaf θ N θ 0 As we n de twee vergeijkingen handig bij ekaar opteen vat de onbekende N weg: θ θ 0 Hierit vogt de knikast: 6 aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 7 van 5

28 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.4 De wijze van aanpak is bij deze vraag hetzefde as bij de vorige vraag. We tekenen eerst de verpaatste stand: θ θ θ θ θ θ Gevraagd wordt n de engte van de reges maar iteindeijk bijft de vraag het vinden van de knikastforme. Doordat we n ook een rege onder hebben wordt de veerstijfheid van de rotatieveren twee keer zo groot. (serie systeem) Met de bij de vorige vraag afgeeide stijfheid worden de evenwichtsvergeijkingen dan: Tin ker. staaf θ + N θ 0 Trechter. staaf θ N θ 0 As we n de twee vergeijkingen handig bij ekaar opteen vat de onbekende N weg: 4 θ θ 0 Hierit vogt de knikast: Hierit knnen we de gevraagde engte berekenen as de knikast gegeven is. aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 8 van 5

29 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.5- a.) Bij deze vraag wordt dezefde strategie toegepast as in vraagstk.-. Enige verschi is n dat de kracht op de rechterkoom een factor is van de kracht op de inkerkoom. De verpaatste stand is: θ θ θ λ θ Voor de stijfheid van de rege vonden we eerder: 6 kr N knnen we de twee momentenevenwichten opsteen: 6 Tin ker. staaf θ + N θ 0 6 Trechter. staaf λθ N θ 0 As we n de twee vergeijkingen handig bij ekaar opteen vat de onbekende N weg: ( + λ) θ θ 0 Hierit vogt de kracht waarbij instabiiteit optreedt: ( + λ) b.) De totae beasting op de constrctie is: + λ ( + λ) ( + λ) ( ) + λ Ds de verdeing van de krachten over de twee koommen heeft geen invoed op de totae bovenbeasting bij bezwijken. Je knt dit ook zien door de twee koommen te modeeren as koom. Deze heeft dan atijd dezefde veerstijfheid die vogt it de igger. aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 9 van 5

30 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.6- De verpaatste stand is as vogt te tekenen: k t De horizontae igger en de transatieveer knnen worden gezien as achter ekaar gekoppede transatieveren. Dan knnen we rekenen met een vervangen veerstijfheid voor de transatieveer en de bigzame staaf star aannemen. Voor de stijfheid van de igger en zijn verpaatsing weten we: ( ) 4 en ds k De samengestede veerstijfheid wordt dan (serie geschakede veren): ktotaa + 4 kt Vervogens steen we het momentenevenwicht op. T mee Ttegen ktotaa Opossen van Tmee Ttegen geeft: k 4( + ) 4 k t Vraagstk.7 De inker constrctie is serie (zie hierboven) en de rechter constrctie is parae. Dit kan men zien door te kijken naar de vrijheidsgraad en de aangrijppnten van de tegenreactie aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 0 van 5

31 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.8- Deze constrctie bestaat it starre staaf en koommen met bigstijfheid die de veerstijfheid everen. We knnen de constrctie in de verpaatste stand zetten en de deen vrijmaken: N N N N De vraag is n om voor het momentenevenwicht bij de starre staaf de onbekende normaakracht N it te drkken in de veerstijfheden van de bigzame staven. We weten dat iedere staaf met verpaatst daar er geen normaakrachtvervorming van de iggers is. We knnen voor beide iggers de itwijking as fnctie van de krachten schrijven: ( N N) (inker koom) N (rechter koom) De tweede reatie in de eerste inven evert: N Ofwe een stijfheid van: 6 k Vervogens steen we het momentenevenwicht op. T T mee tegen k Opossen van Tmee Ttegen geeft: 6 k aatste wijziging: Martijn van den Hoogen van 5

32 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.9 a.) () en () hebben in serie geschakede veren (de veren ondergaan een verschiende beweging ) b.) () en (4) hebben in parae geschakede veren ( de veren ondergaan dezefde beweging) aatste wijziging: Martijn van den Hoogen van 5

33 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.0 Voor een kabe of staaf met rekstijfheid EA weten we dat de veerstijfheid geijk is aan: EA k Een kabe onder drk evert geen kracht ds de constrctie gaat itknikken naar die kant waarbij het de minste weerstand krijgt. De stijfheid van de actieve veer moet zo kein mogeijk zijn. Dit is het geva as de constrctie naar inks itknikt daar de veerstijfheid van de rechterkabe geijk is aan: EA k Voor de dideijkheid is hieronder de verpaatste stand getekend: De knikast kan n bepaad worden it de momentensom om het onderste opegpnt. T mee EA Ttegen k EA Opossen van Tmee Ttegen geeft: EA k aatste wijziging: Martijn van den Hoogen van 5

34 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk. Deze vraag bordrt voort op de vorige vraag. As we een voorspankracht in de kabe aanbrengen hangt het inkerdee niet direct sap omdat er een trekkracht aanwezig is. De constrctie ziet er dan as vogt it: As we n de momenten bekijken ziet dat er as vogt it. T + ( S k) + S EA mee 0 0 EA Ttegen ( k + S0) + S0 EA + S0 Opossen van Tmee Ttegen geeft: k EA Een voorspanning evert ds een hogere knikast op. Het dient opgemerkt te worden dat deze opossing gedt tot een bepaade itwijking. Vanaf S0 k wordt de bijdrage van de inker kabe geijk aan 0 en veranderd het gedrag van de dan a geknikte constrctie. aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 4 van 5

35 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.- a.) Het menseijk gevoe zegt dat constrctie () abie is, constrctie () abie en () netraa. b.) De vraag is natrijk hoe we dat knnen inzien. De constrctie wi weg in zijn zwakst onderstende richting, de zijkanten. As we de constrctie dan in zijn verpaatste stand tekenen, een itwijking geven en agemene engtematen aannemen krijgen we het vogende: a + b N b + b N b We nemen in de kabes een totae trekkracht aan van N. De horizontae en verticae componenten zijn weergegeven in de tekening. Ste we zoeken eerst de grenssitatie met een netrae aard. Het momentenevenwicht om de opegging geeft dan: T T 0 mee tegen b N Na 0 + b + b Wegdeen van de geijke termen geeft: b a 0 Ds inderdaad as voor b a is het evenwicht van netrae aard. As b > a is het wegdrijvend moment groter dan het tergdrijvend moment en hebben we een abie evenwicht. Voor b<a is het evenwicht netraa. aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 5 van 5

36 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk. Bij deze vraag knnen we de koommen met en de kabes zien as in serie geschakede veren. In de verpaatste stand doet maar kabe mee. Het probeem ziet er dan as vogt it: De vervangende veerstijfheid van de veren is as vogt te bepaen (zie ook vraag.6-): ktotaa + kt Vervogens steen we het momentenevenwicht op. Het gewicht van het bok grijpt aan op / van de hoogte. Het zwaartepnt van de driehoek. Tmee G T k tegen totaa Opossen van Tmee Ttegen geeft: G k k totaa aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 6 van 5

37 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.4- Eerst tekenen we de constrctie in zijn verpaatste stand. Aeen de draad op trek doet mee in het krachtenspe. As men de goniometrie itschrijft kan het vogende paatje worden verkregen met een horizontae component en een verticae component van de kabekracht: cosα kabe sinα cosα N sinα N α tanα De normaakracht N in de kabe kan worden itgedrkt as: EA EA EA N kabe cosα sinα cosα kabe sinα Vervogens steen we het momentenevenwicht op. Het gewicht van het bok grijpt aan op / van de hoogte. EA Tmee + sinα N + sinα cosα sinα EA Ttegen cosα N cosα sinα cosα We knnen de term met kwadraat verwaarozen aangezien a vee keiner za zijn vergeeken met de overige engtematen. En kwadratisch ds verwaaroosbaar kein. Opossen van Tmee Ttegen geeft: k EAcos α sinα aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 7 van 5

38 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.5 De constrctiedeen worden vrijgemaakt en de constrctie wordt in zijn verpaatste stand getekend: V θ V N θ θ V N θ V θ θ M M De rechterkoom roteert twee keer zovee as de inker. De vraag is n wat de stijfheid van de igger wordt. We weten dat: θ M M 6 en M M θ + 6 Door deze vergeijkingen om te schrijven knnen we vinden: 4 4 M θ + θ en M θ + θ We weten ook dat θ θ en θ θ it de geometrie. Dan vinden we dat: 8 0 M θ en M θ Hiermee zijn de rotatieveren onderaan bepaad. N vogt: 8 Tin ker. staaf θ + N + Vθ θ 0 0 Trechter. staaf N Vθ θ 0 We weten ook dat de dwarskracht it de bovenstaaf de heft is van de normaakracht (verhodingen). Dit inven evert: 8 8 Tin ker. staaf θ + N( + θ ) θ 0 Tin ker. staaf θ + N θ Trechter. staaf N( θ ) θ 0 Trechter. staaf N θ 0 We knnen aannemen dat en ½ vee groter zijn dan θ. Dan vereenvodigen de vergeijkingen (en vat N erit bij handig opteen). Er vogt dat: 8 k aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 8 van 5

39 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.6- Eerst tekenen we de constrctie zijn in verpaatste stand: totaa k k We zien dat de totae verpaatsing is opgebowd it bijdrages. De vraag is n wat de verhoding tssen die twee bijdrages is. We weten dat: veer. onder veer. boven totaa + + k k Echter it horizontaa evenwicht in de grens sitatie moet geden: veer. onder veer. boven v Dan vogt dat: totaa + ( + ) v k k N vogt voor de verhodingen van de verpaatsingen: v v k k k k en totaa ( + ) v ( + ) totaa ( + ) v ( + ) k k k k k k k k N knnen we de momentensom opsteen om bijvoorbeed het onderste pnt: k totaa k k totaa 0 ( + ) k k Opossen geeft: k ( + ) k k aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 9 van 5

40 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Hoofdstk : Knik van gekoppede starre staven Vraagstk.- Eerst wordt de constrctie vrijgemaakt en in zijn verpaatste stand getekend. We nemen een trekkracht aan in de bovenstaaf. Men kan ook een drkkracht aannemen, de kracht vat iteindeijk toch it de vergeijkingen. N N k t Vervogens steen we de twee momentenevenwichten om de onderste opeggingen op: T N in ker. staaf + 0 T N k rechter. staaf t 0 Opteen van de vergeijkingen en erit vaen van de onbekende normaakracht resteert in: ( + ) k 0 t En hierit vogt as antwoord voor k t : + kt aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 40 van 5

41 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.. Eerst wordt de constrctie in zijn verpaatste stand getekend: N N N N k r M kr Vervogens steen we de drie momentenevenwichten om de onderste opeggingen op: T N in ker. staaf + 0 T N N midden. staaf + 0 T N k rechter. staaf r 0 Opteen van de vergeijkingen en erit vaen van de onbekende normaakracht resteert in: kr 0 En hierit vogt as antwoord voor k : kr k aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 4 van 5

42 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.. Eerst tekenen we de constrctie in de verpaatste stand. Voor de beide reges is aangenomen dat er een onbekende drkkracht S en S in zit. De rechter koom za vanwege deze drkkracht itbigen zoas in de onderstaande tekening is weergegeven. S S S S We weten it het vorige hoofdstk dat we de igger met bigstijfheid knnen modeeren as een transatieveer met de vogende stijfheidsreatie: S ofwe: S Voor de beide overige koommen knnen twee momenten-evenwichtsvergeijkingen worden opgested om resp. de onderste opegpnten. T S 0 stenpnt-inkerskoom T S S stenpnt-middenkoom + 0 Eimineren van S evert: S 0 Of met de stijfheidsreatie ingevd: 6 0 Hierit vogt: k aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 4 van 5

43 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.4 Eerst tekenen we de constrctie in de verpaatste stand. Daarbij nemen we in de horizontae rege een onbekende trekkracht N aan. Tevens definieren we onbekende dwarskrachten V en V r komend it de igger. In de figr zijn de interactiekrachten weergegeven in paren. De vraag is n hoe deze dwarskrachten afhangen van beasting. k t N N V a b Vr Uit het momentenevenwicht van de horizontae rege om beide iteindes knnen we het vogende afeiden: a V r a + b b V a + b Hiermee gewapend knnen we de momentenevenwichten voor de twee poten: T k N V in ker. staaf t 0 T N V rechter. staaf + r 0 Of met de gevonden reatie voor de dwarskrachten: b T in ker. staaf kt N 0 a + b a T rechter. staaf N + 0 a + b Vermenigvdigen met - van de bovenste vergeijking en opteen bij de onderste geeft: k kt (Note: it de vergeijking komt k t, waar gaat het mis? ) De verhoding a/b waarbij het evenwicht atijd stabie is treed op as de kracht voedig inks staat. Dan wordt de beasting heemaa per trek doorgevoerd naar de inker verticae staaf. Dit is ds bij a/b 0. aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 4 van 5

44 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.5. Aereerst wordt de constrctie in de verpaatste stand getekend. Voor de bovenrege wordt verpaatsing aangenomen en een onbekende trekkracht N. N M N Voor de verende onderrege weten it het vorige hoofdstk dat voor de veerstijfheid gedt: kr Het moment geprodceerd door deze rege is bovenin de figr weergegeven. Vervogens knnen we de momentenevenwichten opsteen om de twee onderste opegpnten: Tin ker. staaf + N 0 T rechter. staaf N + 0 Opossen van de vergeijkingen door de bovenste met te vermenigvdigen en op te teen bij de onderste evert: k 5 aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 44 van 5

45 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.6 ( In odere versies van het opdrachtendictaat kan er een misdrk zitten in het paatje waarbij de rechterkoom ontbreekt.) Eerst tekenen we de constrctie in de verpaatste stand: λ λ λ N N N N M In deze vraag hebben we verbonden starre koommen. We moeten ds zoeken naar momentenevenwichten: T 0 in ker. staaf λ + N T λ N N midden. staaf + 0 Trechter. staaf λ N 0 Te n de heft van de eerste vergeijking op bij de tweede, en te de derde op bij de tweede. Zo vaen de onbekende normaakrachten weg. Het restaat: a. λ b. As aeen een waarde heeft: k c. As de kracht in B of C staat wordt de knikast: k. Dit is hiermee de gevaarijkste pek (aagste knikast) d. As aedrie de krachten hetzefde zijn vogt it bovenstaande forme: 6 k 5 aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 45 van 5

46 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.7. Eerst zetten we de constrctie in de verpaatste stand. We zien dat de onderste igger doorbigt. Voor de zakking van de onderste igger onder een pntast in het midden weten we: 48 Ofwe as we de igger zoden vervangen door een transatieveer kan dat door die een stijfheid te geven van: 48 k We knnen n de bovenste igger vrijmaken en de het krachtenspe weergeven: veer 48 opegging 4 De kracht itgeoefend op de bovenste igger door de veer is dan: 48 veer Uit verticaa evenwicht vogt voor beide opegreacties: 4 opegging N knnen we de knikkracht vinden door het momentenevenwicht van de rechterheft te nemen om de scharnier in het midden: 4 Trechter. heft 0 Hierit vogt: k aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 46 van 5

47 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.8. Aereerst teken we de constrctie in de verpaatste stand: q k q k k r De rotatieveer in het midden verdraait over een hoek van: θ ( + ) Hierdoor is er in de rotatieveer een moment van: M ( + ) k r Dit wordt op zowe de onderste staaf as de middeste staaf itgeoefend (snedekracht). We weten ook dat de verdeede beasting voor de heft wordt overgebracht op de verticae staaf. N knnen we het momentenevenwicht opsteen om van de verticae staafdeen: T rechter. heft qk ( ) kr 0 + Hierit vogt de knikbeasting: ( + ) k r qk Opmerking: De horizontae opegkrachten boven en onderaan de verticae staven zijn n in tegensteing tot vorige vraagstk. aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 47 van 5

48 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.9. Aereerst wordt de constrctie in de verpaatste stand getekend: M h M M + M In de rechterfigr is de verticae staaf vrijgemaakt en zijn ae krachten getekend die erop werken. Daarbij is de dwarskracht it de bovenste rege verwaaroosd. N dienen itdrkkingen te worden gevonden voor a deze krachten. Voor de momenten weten we it hoofdstk (beide momenten werken de knikbeweging tegen) M M Door n de momentensom om een van de opegpnten te nemen vogt de grote van de horizontae opegreacties: M M h + + N knnen we de knikast vinden door het momentenevenwicht om het bovenste dee van de staaf op te steen: T + M bovenste. dee h 0 Door bovenstaande itdrkkingen in te ven en op te ossen voor is te vinden: ( + ) k ( + ) aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 48 van 5

49 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.0. Eerst wordt de constrctie in de verpaatste gestand getekend M k r M k r k r N N k r k r M k k r r r M k Vervogens knnen we voor beide deen de momentenevenwichten opsteen om de onderste draaipnten. Tin ker. staaf N + kr 0 Trechter. staaf N + kr 0 Opteen van de vergeijkingen en opossen voor de onbekende kracht evert: k ( kr + kr ) ONDUIDELIJKHD: Hoe is het verticae evenwicht van de bovenste staaf. Waar exact grijpen de tergdraaiende momenten aan en hoe beïnvoed dit de dwarskracht in de bovenste staaf. Zo is de vraag we erg simpe. aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 49 van 5

50 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk.. Aereerst wordt de constrctie in de verpaatste stand getekend en wordt de bovenrege vrijgemaakt. De snedekrachten worden benoemd en getekend in de figr N N k r M k r k r M k r De kracht midden op de bovenrege wordt geijk verdeed over de inker en rechterkoom daar beide koommen scharnierend verbonden zijn. ( Een eenvodige momentensom om van de iteindes van de bovenrege bevestigt dit. ) N knnen de momentensommen om de onderste opegpnten worden opgested. Opetten omdat de rechterstaat in feite minder (,5 maa) roteert door zijn grotere engte. Tin ker. staaf N + kr 0 Trechter. staaf N + kr 0 Opteen van de vergeijkingen en opossen voor de onbekende knikkracht evert: ( k + k ) k r r aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 50 van 5

51 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Vraagstk. aatste wijziging: Martijn van den Hoogen 5 van 5