Eindige Elementen Methode Opgaven bij de cursus Gebruik in de lineair elastische vaste stof mechanica ; Cursus , Trimester 2.
|
|
- Siebe van Doorn
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Eindige Eementen Methode Opgaven bij de crss Gebrik in de ineair eastische vaste stof mechanica ; Crss -, rimester. ir. J.H.P. de Vree echnische Universiteit Eindhoven Facteit Werktigbowknde Materias echnoogy
2 Inhod Opgaven Antwoorden van de even opgaven. Uitwerkingen van de oneven opgaven Opdrachten met het programmapakket MARC Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
3 Opgaven De antwoorden staan achterin. Opgave. Gegeven de vakke staafconstrctie bestaande it de staven,, en tssen de knooppnten,, en zoas in onderstaande figr weergegeven. De afmetingen staan in de figr aangegeven. Ae staven hebben een oppervak van de dwarsdoorsnede A en zijn van een materiaa met easticiteitsmods E. De knooppnten en zijn scharnierend met de vaste wered verbonden. In knooppnt is horizontaa een kracht F naar inks en vertikaa een verpaatsing v omhoog voorgeschreven. In knooppnt is een kracht F voorgeschreven onder een hoek π/ met de horizontaa omhoog (zie figr). De verpaatsingen worden kein verondersted ten opzichte van. F v F De okatiematrix met de gobae knooppntnmmers Eement nmmer Eement knoop-pnt nmmer Eement knoop-pntnmmer a. Bepaa de stijfheidsmatrices K t/m K van de staven t/m behorend bij de eementverpaatsingskoommen zoas in het diktaat gedefinieerd. b Bepaa de totae stijfheidsmatrix a K van de constrctie behorend bij de totae verpaatsingskoom en krachtenkoom f gedefinieerd vogens bz. - van het diktaat. c. Schrijf het reevante stese vergeijkingen voor het bepaen van de onbekende verpaatsingen op. d. Drk de onbekende verpaatsingen van de constrctie it in F, v, E, A en. e. Drk de onbekende reactiekrachten it in F, ν, E, Aen. Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
4 Opgave. Gegeven een vakwerk met staven beast met kracht F zoas in onderstaande tekening weergegeven. v A,E F,5 a. Bereken met de kassieke methode van het eerste jaar de horizontae en vertikae verpaatsingen en v van het koppepnt van de staven. b. Bereken de totae stijfheidsmatrix van dit vakwerk en reken en v it met behp van de eindige eementen methode. Bepaa van ieder eement de stijfheidsmatrix. Assembeer de stijfheidsmatrices. Ste het op te ossen stese vergeijkingen op. Verdisconteer de dynamische en kinematische randvoorwaarden. Los het stese op Opgave. Gegeven de onderstaande -D bakconstrctie die in A ingekemd is en bij B scharnierend met de vaste wered verbonden is. De twee baken AB (oppervakte van de dwarsdoorsnede A, engte, bigstijfheid EI, ) en BC (oppervakte van de dwarsdoorsnede A, engte / en stijfheid EI) zijn in B aan ekaar geast. In C werkt een horizontae kracht F van N. F N y C EI,/,A A EI,,A B x 5 Neem as data: A m, m, E GPa, I m a. Bepaa de horizontae verpaatsing van pnt C met de vergeetmijnietjes. b. As we de constrctie in twee eementen AB en BC verdeen, hoe iden dan de stijfheidsmatrices van de eementen AB en CD in het gobae xy assenstese? Gebrik hierbij de normae definities van krachten en verpaatsingen zoas die in het diktaat zijn beschreven. Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
5 Hint: Bepaa eerst de stijfheidsmatrices in een okae assenstese met de okae x -as angs AB respektieveijk BC en bepaa vervogens van CD de stijfheidsmatrix in het gobae x-y assenstese. c. Bepaa de totae stijfheidsmatrix van de constrctie. d. Bepaa het reevante op te ossen stese voor de bepaing van de onbekende verpaatsingen. e. Bepaa de totae koom met verpaatsingen. f. Bepaa de reactiekrachten via vermenigvdiging van de stijfheidsmatrix met de verpaatsingskoom en controeer of aan evenwicht is vodaan. Opgave. Onderstaande aan weerszijden ingekemde vakke bakconstrctie ABC bestaat it twee aan ekaar geaste baken met engte m en vierkante dwarsdoorsnede b b met b, m (inker figr). De constrctie wordt beast met een vertikae kracht van F8 N. Vanwege de symmetrie behoeven we aeen bak AB te modeeren. De easticiteitsmods van het materiaa is E N/m. F B F B A 5 5 C A C a. Bepaa de stijfheidsmatrix van bak AB. b. Bepaa de vertikae verpaatsing van pnt B t.g.v. de vertikae kracht ter paatse. c. Bepaa de vertikae verpaatsing ook as we AB as een staafconstrctie modeeren. (zie rechter figr) en bepaa de procentee afwijking. d. Hoe groot wordt die procentee afwijking as de bakengte twee maa zo groot is. Opgave 5. Beschow een infinitesimaa kein kbsje in een cartesisch assenstese xyz assenstese met ribben evenwijdig aan de coördinaatassen en initiëe afmetingen dx, d y en dz en vome dv. Onder invoed van een azijdige drk p treedt eastische deformatie op( easticiteitsmods E en constante van Poisson ν ) en worden de afmetingen dx, d y en dz en het vome dv. Laat zien dat de vomerek, gedefinieerd as d V d V, bij keine rekken benaderd kan worden dv door p ν6. E Opgave 6. Bij ineair eastisch materiaagedrag idt het constittieve verband tssen de spanningen en de rekken vogens de wet van Hooke: σ D ε met definities: σ σ xx σ yy σ zz τ xy τ yz τ zx ε ε xx ε yy ε zz γ xy γ yz γ zx en Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 5
6 D 6 ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν6 ν ν E ν6 + ν6 ν6 6 Bij vakspanningsprobemen, met spanningen op een vakje met bitennormaa in de z-richting geijk aan n, wordt evenwe gewerkt met andere koommen met spanningen en rekken: σ σ xx σ yy τ xy en ε εxx ε yy γ xy a. Bewijs dat bij vakspanning gedt: ε νν ε ν ν ε zz xx yy b. Hoe ziet de matrix D er bij vakspanning it, as ook dan gedt :σ D ε? Opgave 7. We beschowen een constrctie waarin een zodanige vakvervormingstoestand heerst, dat gedt: ε zz γ yz γ zx. De koommen met reevante spanningen en rekken σ en ε zijn: σ σ xx σ yy τ xy en ε εxx ε yy γ xy Leid voor eastisch materiaagedrag (easticiteitsmods E en constante van Poisson ν ) de matrix D bij vakvervorming af, as gedt: σ D ε? Opgave 8. In een rotatiesymmetrisch beaste rotatiesymmetrische paat gedt bij benadering de vakspanningstoestand (in een rechtsdraaiend orthogonaa r, θ, z assenstese met radiae coördinaat r en axiae coördinaat z) d.w.z.: σ σ σ σ τ τ τ σ σ rr θθ zz rθ θz zr rr θθ en ε ε ε ε γ γ γ ε ε ε rr θθ zz rθ θz zr rr θθ zz a. Verkaar de nen. Voor rotatiesymmetrische vakspanning met rotatiesymmetrische beasting zen we voor de eenvod de vogende definities voor koommen met rekken en spanningen hanteren: σ σ rr σ θθ en ε ε rr ε θθ Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 6
7 We wien het verband tssen σ en ε gaan afeiden. b. Bepaa σ rr en σ θθ itgedrkt in ε rr en ε θθ. c. Bepaa ook ε zz itgedrkt in σ rr en σ θθ en itgedrkt in ε rr en ε θθ d. Hoe ziet de * matrix D er it die het verband aangeeft tssen σ σ D ε? en ε vogens: b e. As verder gegeven is: de radiae verpaatsing ar+ met a en b constanten, bepaa dan r de koom met rekken ε as fnctie van r. f. Bepaa de koom met spanningen σ as fnctie van r. Opgave 9. Beschow een rotatiesymmetrisch beaste cirkevormige dnne schijf met centraa gat, binnenstraa R i, bitenstraa R, dikte t6, r easticiteitsmods E, dwarscontractiecoëfficiënt ν, in een orthogonaa ciindrisch r, ϕ, z assenstese en veronderste een vakspanningstoestand. Hierin is de r richting de radiae richting en de z-richting oodrecht op het vak. De radiae verpaatsing van een pnt op straa r noemen we. a. Bepaa de koom ε ε ε rr θθ met reevante rekken in de radiae en de tangentiëe richting as fnctie van r en. b. Bepaa de koom met reevante spanningen σ σ σ rr θθ as fnctie van r en. c. Bepaa de evenwichtsvergeijking in de radiae richting itgedrkt in de componenten van σ door beschowing van het evenwicht van een segmentje d ϕ, d r it de paat. Verifieer dat die van de vogende vorm is: 6 6 d tσrr σrr σ + θθ t dr r Verifieer dat as t constant is deze differentiaavergeijking in onderstaande differentiaavergeijking in de radiae verpaatsing kan worden omgezet: d d + dr r dr r Dit is een zogenaamde differentiaavergeijking van Eer die opgeost wordt door te proberen Cr n. De exacte opossing voor de verpaatsing is dan van de vorm C C Cr + en ds gedt voor de spanningen σ rr C + r r en σ θθ C C r d. Drk Cen C it in Cen C. e. Bepaa de exacte opossing voor, σ rr en σ θθ in het geva: Ri R en R R met een onbeaste bitenrand en een gegeven verpaatsing a van de binnenrand in positieve radiae richting. Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 7
8 Opgave. Voor een drie-dimensionae configratie is in een Cartesisch coördinatensysteem gegeven het verpaatsingsved: x v + 8 xy w z xy 8 Bepaa de rekkoom ε en bij eastisch gedrag, de spanningkoom σ in pnt x x y z. Opgave. De middenijn AB van een staaf, met A in de oorsprong van een cartesisch xyz coördinatensysteem, igt initiee op de x-as en roteert in het xy vak over een grote hoek ϕ om pnt A. Er is geen rotatie om de as AB. We beschowen n een wiekerig pnt P van de staaf op de x-as met coördinaten x,,. y ϕ A P B x a. Drk de de verpaatsing van pnt P x,, x 6 it in ϕ en x. b. Bepaa de rek ε xx in P van de staaf met de reatie ε xx. x c. Vindt het niet vreemd dat deze rek niet geijk aan is? Weke concsie knt hieraan verbinden? Opgave. De cartesische componenten van de spanning in een eastisch ichaam zijn gegeven: σ y+ z ; σ x+ z; σ x+ y xx yy zz τ xy z ; τ yz y ; τ zx x Bepaa de koom met vomekrachten q. Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 8
9 Opgave. Bij bak biging in het xy-vak van een carthesisch coördinatenstese met de afspraken gemaakt voor de knooppntsverpaatsingen vogens: y v v x z ϕ z en voor de knooppntskrachten vogens: ϕ z y V V x z M z M z kan voor de stijfheidsmatrix worden afgeeid: K EI z 6EI z EI z 6EI z 6EI z EI z 6EI z EI z EI 6EI EI 6EI 6EI z EI z 6EI z EI z z z z z Daarbij gedt K f met v ϕ v ϕ en f V M V M z z z z. a. Bepaa f bij een wiekerige verpaatsing as star ichaam. b. Hoe kan je aan deze stijfheidsmatrix zien dat aan evenwicht van de knooppntskrachten vodaan is? c. Laat in het geva van een aan de inkerzijde ingekemde bak met M z dat voor de eastische energie gedt: Eeast K en V F zien Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 9
10 Opgave. Bij biging om de okae y-as knnen we een koom met knooppntsverpaatsingen en een koom met knooppntskrachten definiëren met: w ϕ w ϕ y y y z x w w ϕ y ϕ y en f W M W M y y z y x W W M y M y Hierin zijn w en w respectieveijk W en W de knooppntsverpaatsingen en de knooppntskrachten in de z-richting, en zijn ϕ y en ϕ y respectieveijk M y en M y hoekverdraaiingen en bigende momenten om de y-as in de knooppnten en. Vokomen anaoog aan het geva met biging om de z-as vinden we n weer: K f Leidt met de vergeetmijnietjes af dat gedt: K EI 6EI EI 6EI 6EI y EI y 6EI y EI y EI y 6EI y EI y 6EI y 6EI y EI y 6EI y EI y y y y y Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
11 Opgave. 5. Gegeven een trekstaaf met engte zoas in onderstaande figr weergegeven. Aan de rechterzijde op x werkt een homogene constante trekspanning σ xx σ en daar gedt ook τ τ. Aan de inkerzijde bij x gedt: xy xz 6 6, v,, z, w, y, y x σ σ xx Bepaa x, y, z6 vx, y, z6 wx, y, z6 voor de trekstaaf. Zo dat ook knnen as de trekstaaf bij x gehee ingekemd zo zijn? Opgave 6. Een tweeknoops staafeement met engte heeft as knooppntsverpaatsingen. x We voeren een dimensieoze okae parameter ξ in met ξ ; ξ. We wien het verpaatsingsved binnen het eement schrijven as 6 ξ N6 ξ N 6 ξ N 6 ξ. a. Bepaa N 6 ξ en N 6 ξ. d dn b. Bepaa de rek it ε dx dx. c. Hoe idt de matrix B in dit geva. N Matrix B is hier gedefinieerd as: B d ten behoeve van ε B. dx d. Hoe groot is in dit geva de determinant van Jacobi J? Opgave 7. Een drieknoops staafeement met engte heeft as knooppntsverpaatsingen. x x We voeren een dimensieoze okae parameter ξ in met ξ ; ξ. x Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
12 We wien het verpaatsingsved binnen het eement kwadratisch in ξ interpoeren via : 6 ξ N6 ξ N 6 ξ N 6 ξ N 6 ξ a. Bepaa N ξ, N ξ en N ξ d dn b. Bepaa de rek it ε dx dx. c. Hoe idt de matrix B in dit geva gedefinieerd as: B N d dx worden ε B. d. Hoe groot is in dit geva de determinant van Jacobi J? Opgave 8. Gegeven een bakeement zoas in onderstaande figr weergegeven. y waarmee geschreven kan ϕ z v v,ei x x We voeren een dimensieoze okae coördinaat ξ in met ξ ; ξ. De vertikae verpaatsing v as fnctie van ξ drkken we as vogt it met de knooppntsverpaatsingen as parameters : v ϕ z v ϕ z 6 ξ 6 ξ 6 ξ 6 ξ as gegeven is dat v ξ v ξ N N ξ N ξ N ξ N ξ a. Bepaa N N N N 6 een derdegraads poynoom is. d v b. In de bakentheorie gedt bij een constante dwarsdoorsnede: EI qx dx 6 x een kracht per engte-eenheid in de y-richting. Wat impiceert het feit dat v6 ξ een derdegraads poynoom is, voor de aard van de verdeede beasting q( x) die met dit bakeement kan worden gemodeeerd.? v c. De rek wordt bij baken bepaad door de kromming κ z d dx Bepaa de matrix B6 ξ waarmee de rek gedefinieerd wordt m.b.v. de vergeijking κ z ξ B ξ 6 6 d. Weke spanningsgrootheid past bij deze rekgrootheid? ϕ z Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
13 Opgave 9 (vervaen). Het bakeement it de vorige opgave wordt aan de inkerkant bij ξ ingekemd en heeft een constante verdeede beasting in de positieve y-richting q. a. Weke vervangende knooppntskrachten aan de rechterkant bij ξ everen aan die kant dezefde verpaatsingen as die t.g.v. de verdeede beasting? Kopt de hoekverdaaiing bij ξ dan ook nog? b. Koppen de verpaatsingen en hoekverdraaiingen tssen de knooppnten ook? c. We verdeen een aan de inkerzijde ingekemde horizontae bak met engte en met een constante verdeede kracht per engte-eenheid q in de negatieve -richting, in eementen met geijke engte. We vervangen de verdeede beasting door knooppntsgrootheden. Hoe knnen we dat dan doen as we de knooppntsverpaatsingen jist wien berekenen? Opgave.Bij vakspanning wordt de verpaatsingskoom ξ, η v ξ, η as Nξ, η6 met (bij een vierknoops eement): N N N N N ξ, η N N N N 6 en v v v v 6 6 geschreven y v v (-,) η (,) v v v (-,-) (,-) ξ 6 voor ae? x Waarom gedt N ξ, η ξ Opgave. Voor -D probemen wordt de verpaatsingskoom met v geschreven as Nξ, η6 ( is de koom met vrijheidsgraden van het eement) met bij een vierknoops eement: N ξ, η6 N N N N N N N N en v v v v Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
14 Waarom gedt ξ η6 voor ae ξ en η? N i, i v (-,) η (,) ξ (-,-) (,-) Opgave. Een horizontaa tweeknoops -D bakeement heeft derdegraads interpoatiefncties in de axiae coördinaat x voor de transversae verpaatsing v6. x De knooppnten iggen op x en x Voor de koom met knooppntsverpaatsingen (met verpaatsingen en hoekverdraaingen van de knooppnten) v v ϕ ϕ gedt : α met α <<. a. Schets de initiëe en verpaatste positie van de bak in één figr. Wat stet deze verpaatsing voor? b. Waarom is de kromming κ voor ae waarden van x? Opgave. Onderstaand rechthoekig eement heeft in het gobae x-y assenstese afmetingen zoas in de figr weergegeven.de isoparametrische coördinaten zijn ξ + en η +.en behoeve van de nmerieke integratie moet de determinant van Jacobi J detjξ, η6 bepaad worden. Hoe groot is J en weke dimensie heeft J? η y η - ξ,5 m ξ, m x - Opgave. Het onderstaande paraeogramvormige vierknoops eement heeft in het gobae xy-assenstese afmetingen zoas in de figr weergegeven. De isoparametrische coördinaten zijn ξ + en η +. Hoe groot is de determinant van de matrix van Jacobi J detjξ, η6 en weke dimensie heeft die? y η cm cm ξ x Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
15 Opgave 5. Beschow weer de rotatiesymmetrisch beaste cirkevormige dnne schijf met centraa gat, binnenstraa R i, bitenstraa R, dikte t6, r easticiteitsmods E, dwarscontractiecoëfficiënt ν, in een orthogonaa ciindrisch r, ϕ, z assenstese it opgave 9. We hebben gezien dat gedt ε εrr ε θθ. De enige reevante verpaatsing is hier de radiae verpaatsing 6. r We verdeen de paat in axiaasymmetrische ringeementen (met dikte t ) met okae knooppnten en op r r respectieveijk r r. Deze eementen hebben een engte r r. Het radiae verpaatsingsved wordt gediscretiseerd met interpoatiefncties die ineair zijn in r r8 de coördinaat ξ met ξ. Er gedt dan ds N met de koom met knooppntsverpaatsingen a. Bepaa de matrix B waarmee we de rekken knnen schrijven as ε B σ rr b. Hoe iden de spanningen σ itgedrkt in Ben (zie opgave 9). σ θθ Opgave 6. Een -D vak vierknoops isoparametrisch eement met rechte randen heeft knopen,, en op pnten (-,), (,-), (,) en (,) in het x-y vak. a. Schets het eement en bepaa it de vergeijkingen voor de isoparametrische transformatie x y x x N Nx y x y de matrix van Jacobi en met behp hiervan de matrix B, waarmee we knnen schrijven B m.a.w. de rekken knnen itdrkken in de knooppntsverpaatsingen. ε ξ r r ξ ξ r r r r r r. Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 5
16 Opgave 7. Beschow een tweeknoops staafeement met engte dat angs de x-as igt tssen x en x. De easticiteitsmods is E en het oppervak van de dwarsdoorsnede Ax 6 is een ineaire fnctie van x met Ax 6 A en Ax 6 A. De axiae verpaatsing van de knooppnten en zijn en. Knooppnt is aan de vaste wered geknoopt en knooppnt is vrij. Op knooppnt werkt een axiae kracht F en op knooppnt werkt ds een reactiekracht R. x Er wordt en dimensieoze coördinaat ξ genomen waarvoor gedt ξ. We discretiseren het verpaatsingsved met 6 ξ N6 ξ met waarbij N ineaire fncties in ξ bevat. R x ξ ξ ξ De opossing van het probeem, de bepaing van de verpaatsing van het rechter iteinde en de grootte van de reactiekracht R is anaytisch spersimpe maar we bepaen n op een betrekkeijk ingewikkede manier een opossing in het kader van de e.e.m.. a. Hoe idt de itdrkking A6 ξ as fnctie van ξ? b. Hoe idt N6 ξ? c. We gaan it van de okae evenwichtsvergeijking d N (waarom is dat zo?) met N de dx normaakracht. I dn De gewogen afwijkingen formering hiervan idt: wx 6 x x w 6 d d x Hoe idt de zwakke formering hiervan en eidt af dat met discretisering van de weegfnctie vogens Gaerkin gedt: I 6 d N d dx EA x N dx d N R x N F N d. We definiëren de matrix B met B d en schrijven daarmee het gediscretiseerde stese dx evenwichtsvergeijkingen as: K f met K B EA6 R x Bd x en f F I We integreren nmeriek met integratiepnt op ξ. F Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 6
17 6. Leid dan af dat voor de stijfheidsmatrix gedt: K E A A + e. Leid it het stese K f af dat gedt: F E A + A 6 en R F. Opgave 8. Voor een rotatiesymmetrische cirkevormige dnne schijf met constante dikte kan de vogende okae evenwichtsvergeijking worden afgeeid (zie opgave 9): 6 6 d σ rr σ rr σ + θθ dr r a. Beschow een eement met binnenstraa r en bitenstraa r. Hoe idt de gewogen afwijkingen formering van deze aatste differentiaavergeijking voor dit eement? Neem hierbij as weegfnctie w6. ξ b. Om de orde van de afgeeiden van te veragen gebriken we partiëe integratie toe en verkrijgen daarmee de zogenaamde zwakke formering van het evenwicht. Hoe ziet die zwakke formering er in dit geva it? c. Laat zien dat we de zwakke formering n knnen schrijven as: I Ve K f met K B DBd V dv π rtd r en f πrtn σ rr7 r r De matrix B is hierbij iteraard gedefinieerd vogens het antwoord op opgave 5, de matrix D is gedefinieerd vogens het antwoord op opgave 8c. Opgave 9. In opgave 9 zochten we anaytisch een opossing voor een ronde paat met diameter 6R, dikte t en een centraa gat met een diameter van R, waarbij de radiae verpaatsing van de binnenrand a bedraagt. Deze opossing was: en σ rr ν ar r 9R + ν a + + 8ν + 8ν r Ea 9EaR Ea 9EaR σ θθ + 8 ν R + 8 ; + ν r + 8 ν R + 8 ν r We knnen ook een eindige eementen methode opossing genereren met behp van het restaat van opgave 8. We verdeen daartoe de paat in ring-eementen. Voor eement gedt R r R en voor eement gedt R r R. 5 We nemen: R, m; t, 5 m; a m; E Pa; ν ; Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 7
18 a. Bepaa de stijfheidsmatrices van eement en eement. Gebrik hierbij een nmeriek integratieschema met integratiepnt op ξ. b. Ste het geassembeerde stese a K a a f op. d. Bepaa de opossing van het stese (d.w.z. bepaa de koom met radiae knooppntsverpaatsingen, en bepaa daarmede de radiae en tangentiëe spanningen in de integratiepnten van eement en. e. Schets de anaytische opossing en de e.e.m. opossing in één figr. f. Hoe zo de spanningen in de knooppnten knnen berekenen? Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 8
19 Opgave. Schets de vogende fncties van ξ op het interva ξ en bereken de integraa f ξ dξ exact en met -pnts, -pnts en -pnts nmerieke integratie. Vergeijk de opossingen met de exacte opossingen en ever daarop commentaar. Ligging van de integratiepnten en de gewichtsfactoren bij Gass integratie Aanta pnten Locatie van ξ Gewicht 6 ±, , , f ξ + ξ + ξ + ξ. f 6 ξ ξ ξ 8 πξ. f ξ6 cos. f 6 ξ + ξ 5. f 6 ξ ξ, ξ < + ξ, ξ, , , I 6 Opgave. Drk de totae kinetische energie van een eement it in de massamatrix en de koom met knooppntssneheden. Opgave. Een niforme staaf met engte, oppervak van de dwarsdoorsnede A, easticiteitsmods E en dichtheid ρ is vastgezet aan de inkerkant en vrij aan het rechter iteinde. De bak is gemodeeerd met één -knoopseement met ineaire vormfncties. De axiae knooppntsverpaatsingen zijn en. De matrix met vormfncties is N + ξ6 ξ6 ξ ξ ξ a. Bepaa de kinematisch consistente massamatrix itgedrkt in de massa mρa. b. Vervaen Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 9
20 c. Bereken de benaderingen van de aagste eigentrivorm en de eigenfreqentie itgedrkt in m en k EA. d. Normeer de eigentriingskoom met de massamatrix as kern. Opgave. Een niforme staaf met engte, oppervak van de dwarsdoorsnede A, easticiteitsmods E en dichtheid ρ is vastgezet aan de inkerkant en vrij aan het rechter iteinde. De bak is gemodeeerd met twee geijke -knoopseement met ineaire vormfncties. De axiae knooppntsverpaatsingen zijn, en. a. Bepaa de kinematisch consistente massamatrix itgedrkt in de massa mρa. b. Bereken de benaderingen voor de eigentriingsvormen en de eigenfreqenties itgedrkt in m en k EA en teken ze. c. Vergeijk de opossingen met de exacte opossing waarbij voor de eigenfreqenties gedt: 6,,,..., π ω i k i m i en voor de op genormeerde bijbehorende eigentriingsampitdos bij eigentriingsvorm i: 6 πx i66 x sin i i,,,... Hierin is x de axiae coördinaat met de oorsprong x bij het inker vaste pnt. Opgave. De staaf vogens opgave is bij het vrije iteinde voorzien van een pntmassa M waarvoor gedt m<< M. a. Bepaa de exacte opossing voor de aagste eigenfreqentie bij verwaarozing van de massa van de staaf. b. Bepaa de massamatrix bij verwaarozing van de massa van de staaf. c. Bereken vervogens met de e.e.m. de aagste eigentrivorm en de eigenfreqentie itgedrkt in M en k EA. d. Normeer de eigentriingskoom met de massamatrix as kern. Opgave 5. Een niforme staaf met engte, oppervak van de dwarsdoorsnede A, easticiteitsmods E en dichtheid ρ is aan beide zijden vastgezet. De staaf is gemodeeerd met geijke ineaire eementen. a. Bereken de benadering voor de eigenfreqentie met behp van de kinematisch consistente massamatrix. Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
21 b. Vergeijk het restaat met de exacte opossing voor de aagste eigenfreqentie: E ω π ρ Opgave 6. Een niforme staaf met engte, oppervak van de dwarsdoorsnede A, easticiteitsmods E en dichtheid ρ is aan beide zijden vastgezet. De staaf is gemodeeerd met geijke ineaire eementen. a. Bereken de benaderingen voor de eigenfreqenties met behp van de kinematisch consistente massamatrix. b. Vergeijk ze met de exacte opossing: E ωi iπ i, ρ Opgave 7. Een -knoops kwadratisch staaf eement met massa m heeft as vrijheidsgraden de axiae knooppntsverpaatsingen, en. De matrix met vormfncties is N ξξ 6 ξ 8 ξ+ ξ6 ξ ξ ξ Bepaa de kinematisch consistente massamatrix itgedrkt in de massa m. Opgave 8. Herhaa opgave c met het -knoopseement van opgave 7. Vergeijk de itkomsten ook met die van opgave en de exacte opossing in opgave. De stijfheidsmatrix van dit eement is (verifieer dat ): K EA Gebrik de consistente massamatrix it opgave 7. Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
22 Opgave 9. Bepaa de kinematisch consistente massamatrix van het onderstaande -D vierknoops eement. De interpoatiefncties daarvan zijn: N ξ η + ξ 6 η 6 + ξ 6+ η 6 ξ 6+ η 6 ξ 6 η6 + ξ 6 η 6 + ξ 6+ η6 ξ 6+ η6 Verder gedt: N v v v v v dikte t η b ξ y a x Opgave. Bepaa een schatting voor de aagste twee eigenfreqenties en de eigentriingsvormen van een aan de inkerkant ingekemde horizontae bak door te modeeren met één -knoops bakeement. De exacte opossing voor de twee aagste eigenfreqenties is: EI EI ω, 5 en ω, 8 m m De massamatrix van een knoops bak is : Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
23 56 5 m M 5 56 Vergeijk de nmerieke benadering met de exacte opossing. Opgave. Op de staaf van opgave werkt op het rechter knooppnt een kracht F F cosω t6. Bereken de stationaire verpaatsingsrespons van dat knooppnt met behp van de modae anayse techniek. Opgave. Op de staaf van opgave werkt op het middeste knooppnt een kracht F Fcosα t6. en op het rechterpnt een kracht F Fsinβt6. Bereken met de directe methode de stationaire verpaatsingsrespons van de knooppnten en neem daarbij aan dat gedt: α β ω ω EA met ω m Opgave. Op de staaf van opgave gemodeeerd met het -knoops eement van opgave 7 en 8 werkt op het middeste knooppnt een kracht F Fcosα t6. en op het rechterpnt een kracht F Fsinβt6. (α en β zijn zoas in opgave ) Bereken de stationaire verpaatsingsrespons van de knooppnten met de directe methode. Opgave. Een horizontae aan de inker kant ingekemde staaf met engte, oppervak van de dwarsdoorsnede A,easticiteitsmods E en massa m wordt gemodeeerd met twee geijke ineaire eementen. De staaf is initiee in rst en spanningsoos op tijdstip t. Een eenheidsstapfnctie in de beasting wordt vervogens op het rechteriteinde gezet. Gebrik modae sperpositie om een opossing voor de knooppntsverpaatsingen in de tijd te berekenen. Gebrik hierbij de opossing van opgave. Opgave 5. Gegeven de scaaire differentiaavergeijking voor een vrij triend massa-veer systeem: m + k De exacte opossing hiervan is zoas bekend harmonisch. Ga na dat de differentievergeijking bij de expiciete centrae differentie methode in dat geva wordt: n+ + ω t6 9 n + n k met ω m Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
24 Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
25 Antwoorden even opgaven Antwoord. Voor het horizontae eement : K EA Voor eement gedt: K EA De totae stijfheidsmatrix is a K, 7, 57, 7, 57, 57, 79, 57, 79, 7, 57, 7, 57, 57, 79, 57, 79 EA Het op te ossen stese is, 7, 57, 7, 57, 57, 79, 57, 79, 7, 57, 7, 57, 57, 79, 57, 79 EA, 7, 57 F, 57, 79 v F v EA 9, 6 Kassieke weg: evenwicht van knooppnt, bepaing staafkrachten it evenwicht, spanningen, rekken, verengingen en meetknde. Antwoord. Restaat:v bak vb v staaf vs 8 6 procentee_afwijking % Bij gedt: procentee_afwijking,5 % Antwoord 6. σ σ τ xx yy xy ν E ν ν ν ε ε γ xx ν E D ν ν ν yy xy Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 5
26 Antwoord 8. a. Ae spanningscomponenten op een vakje met normaa in de z-richting zijn n wegens de definitie van vakspanning. De spanning τ r θ omdat er geen beasting in omtreksrichting is. E E b. σ rr ε rr + νε θθ 6 en σ θθ εθθ + νε ν rr6 ν c. ε d. zz σθθ 6 ν σrr + E E ν E ν σ ε ν ν D ν ν e.de rekkoom ε idt : b a ε r b + a r f. De koom met spanningen idt n: b ν + + b a a E σ r r ν b a + ν r + a b r Antwoord. ε,, 6 Antwoord. De evenwichtsvergeijkingen iden: q x+ y 5 E σ + ν 5 Uitwerking 6. a. Verpaatsingsved: 6 ξ N6 ξ N 6 ξ N 6 ξ ξ6 ξ 6 + b. Rek: ε c. Er gedt ds B dx d. J dξ Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 6
27 Antwoord 8. ξ + ξ ξ ξ + ξ N ξ ξ + + ξ ξ ξ b.het verpaatsingsved is bij q exact. 6ξ d v d v + ξ c. De rek is gedefinieerd as κ z6 ξ B dx dξ 6ξ + ξ d. Omdat de spanning varieert in de dwarsdoorsnede, wordt een geïntegreerde maat voor de spanning genomen, het moment M ξ EIκ ξ. z 6 z 6 Antwoord. Op de eementrand tssen de knooppnten en (waar gedt η ) moeten de verpaatsingen compatibe zijn en die mogen dan ds niet afhankeijk zijn van de verpaatsing van knooppnt. Daarom moet daar geden N ξ, η ξ 6 voor ae. Antwoord. De gegeven koom representeert een starre rotatie van α radiaen om knooppnt. De transversae verpaatsing is een derdegraads fnctie van x : v a + bx + cx + dx met a,b,c, en d constanten. Voor de hoekverdraaïng ϕ z knnen we dan schrijven ϕ z b+ cx+ dx. Inven van de randvoorwaarden α α α evert a c d ; b α. De verpaatsing is derhave ineair in x en de kromming Antwoord. J geeft okaa de verhoding van het wekeijke eement-oppervak en het dimensieoze basiseement-oppervak weer en heeft ds de grootte cm. Antwoord 6. i ϕ i x i ξ J i ϕ i x η i i i B i ϕ i y ξ i Ds J ϕ i y η en J ϕ ϕ ϕ ϕ x x x x ϕ ϕ ϕ ϕ y y y y ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ y x y x y x y x en J detj5 Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 7
28 6+ η + ξ + η ξ 6+ η + ξ η ξ B η + ξ + η ξ η + ξ + + η ξ η + ξ 6+ η + ξ + η ξ + η ξ η + ξ 6+ η + ξ + + η ξ η ξ Antwoord 8. a. De gewogen afwijkingen van het evenwicht idt: r I dσ rr σ rr σθθ6 w + πrtdr w dr r r b. oepassing van partiëe integratie evert de zwakke formering van het evenwicht: r I dw d dr r σ w t r w rt rr σθθ π π σ r + r rr6 r Antwoord. Samenvatting fnctie Aanta integratiepnten exacte opossing + ξ + ξ + ξ, , , ξ ξ 8,, , cos πξ + ξ ξ, ξ < + ξ, ξ,978,77,795,85,75986,887,5765,86668 Concsies: Bij derdegraads poynomen evert de nmerieke integratie reeds met integratiepnten zeer nawkerige restaten. De nawkerigheid hangt sterk van de aard van de fnctie af. De vierde fnctie heeft een asymptoot in het domein bij ξ, dat vraagt om probemen bij de nmerieke integratie. De vijfde fnctie heeft een discontinïteit in de eerste afgeeide. Het is dan beter om de integraa te spitsen in deeintegraen over domeinen waarin geen discontinïteiten voorkomen. Antwoord. a. De kinematisch consistente massamatrix is: M m 6. Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 8
29 b.de mped massamatrix is dan M m. def EA k c. Met k en ω m vogt: ω, 7ω De eigentriingskoom is ds of bij wegating van de onderdrkte vrijheidsgraad. d. Met wegating van de voorgeschreven vrijheidsgraad is de geredceerde genormeerde eigenkoom m Antwoord. De massamatrix is n M m 6 M M + k De opossing voor idt: ω M Dit is iteraard de exacte opossing voor een massa-veer-systeem met massa M en veerconstante k. De geredceerde eigentriingskoom is:. Genormeerd met de massamatrix as kern is dat met M M Antwoord 6. Eigenfreqenties: ω, 86ω ω 7, 85ω en eigenkoommen: b. De exacte eigenfreqenties zijn ω πω ω πω. Antwoord 8. k k.768 ω, 5767 ω m m k k (De exacte opossingen zijn: ω, 578 ω, 7 m m ) Hieronder zijn de exacte opossing en de benaderingsopossing in één figr weergegeven. Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 9
30 Mode Ampitde opg exact * benadering mode De aagste mode wordt met eement a goed gerepresenteerd. Antwoord. Voor de eigenfreqenties en eigenkoommen vinden we : ω,57ω ω,869ω met ω EI m Antwoord. α met ω,,,775 7,65 β en vogt ω r F i F r,59 k i 5,,79 k 7,79 F F t t,7697 k +,877 cosα 5,56 k,87 sinβ 5 Antwoord. EA In opgave is voor dit systeem met k gevonden: Er gedt:,5 k k,58 ω, 6 ; ω 5, 69 m m m,887 ; m x -,5 Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
31 qi i it i i η i i ω cos ω ; i 6 6 De respons is ds: 5 %, & k cos ', 6 k m t, 6, cos 5, 69 k m t,, 6 ( ) * Het restaat, een statische itwijking ps een gewogen som van eigentriingen. Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
32 Uitwerkingen oneven opgaven Uitwerking Voor een staafeement onder een hoek α met de horizontaa gedt bij de gemaakte afspraken: K En met EA cos α sinαcosα -cos α -sinαcosα sinαcosα sin α -sinαcosα -sin α -cos α -sinαcosα cos α sinαcosα -sinαcosα -sin α sinαcosα sin α α π π π ; α ; α ; α K K EA EA K b. a K ; K EA ½ -½ -½ ½ ¼ -¼ -¼ ¼ -½ ½ ½ -½ EA -½ ½ ½ -½ -¼ ¼ ¼ -¼ -¼ ¼ ¼ -¼ ½ -½ -½ ½ ¼ -¼ -¼ ¼ + ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ + ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ +¼ ; EA c. Het stese vergeijkingen idt ds: + ¼ ¼ ¼ ¼ EA ¼ + ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ +¼ v v F F -F V U V U V 6 Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
33 Het reevante dee van het stese is dan: EA + ¼ ds: EA v EA + ¼ + v F F - F + v F F -F EAv d. Na opossen vogt: F/ EA + v, v F / EA en v e. Sbstittie van de n bekende verpaatsingen in () evert de oorspronkeijk onbekende knooppntskrachten: V vea /, U, V - vea /, U, V -F ds f F F F vea / vea / F vea / vea / Controe: De som van de krachten in horizontae en vertikae richting en de som van de momenten om een as oodrecht op het vak van de constrctie is n. Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
34 Uitwerking. a. Beschow bak AB met onbekende krachten P en H (in pnt B.,5F H P Uit f B vogt P 5, F P, 75F EI EI F F F De hoekverdraaiing rechtsom bij B is ϕ B, 5 rad EI EI 8 EI De verpaatsing bij C naar rechts is dan: F F F fc + 5, 7 m 8 EI EI 8 EI b. Voor de stijfheidsmatrix in het okae (en gobae) coördinaten systeem van eement AB noteren we : AB AB K K EA EA EA EI 6EI EI 6EI 6EI EI 6EI EI EA EI 6EI EI 6EI 6EI EI 6EI EI Voor de okae stijfheidsmatrix van eement BC in het okae coördinaten systeem noteren we: BC K EA EA 96EI EI EI 8EI 96EI EI EI EI EA EA 96EI EI EI EI 96EI EI EI 8EI Voor het eement BC gedt: R x R y R z Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
35 Het reevante dee van de rotatiematrix idt (wegaten van derde, vierde, vijfde, negende, tiende en efde rij en koom van de voedige rotatiematrix zoas in het diktaat vermed ): R R Voor de stijfheidsmatrix van eement BC in het gobae stese vinden we n: K R K R BC BC 9 96EI EI 96EI EI EA EA EI 96EI EI EA 8EI EI EI EI 96EI EI EA EI EI 8EI De geassembeerde stijfheidsmatrix van de constrctie is: a K EA EA EI 6EI EI 6EI 6EI EI 6EI EI EA EA 96EI EI 96EI EI + EI 6EI EI EA 6EI EA + 6EI EI EI 6EI EI 8EI EI EI + 96EI EI 96EI EI EA EA EI EI EI 8EI Het reevante op te ossen stese is: EI 8EI EI + EI 96EI EI EI EI EI EA 8EI ϕ v B C C ϕ C F Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 5
36 De opossing idt: ϕ B C v C ϕ C 5, rad, 7 m m rad Voor de reactiekrachten vinden we: 6 f K a a a * 6 * * * 8 * 5,, 7 N Nm N N Nm N N Nm N Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 6
37 Uitwerking 5. dv dxdydz dx + εxx dy + εyy dz + εzz dv + εxx + εyy + εzz p dv ν5 E p ds εvome ν5. E Uitwerking 7. Bij ineair eastisch materiaagedrag geden vogens de wet van Hooke bij vakvervorming de vogende drie vergeijkingen: ε xx σ xx νσ yy νσ zz7; ε yy σ yy νσ zz νσ xx7; E E ε zz σ zz νσ xx νσ yy7 en ds σ zz νσ xx + σ yy7 E Sbstittie van de derde vergeijking in de twee eerste evert: E εxx ν σ xx ν ν6 8 + ν6σ ( % σ yy9 E K K ν ν ε Eν ν ν ε xx xx + yy ) & ε yy ν 8σ yy ν K K + ν6σ Eν xx9 * K ' K σ E ν ν ε E ν6 ν ν ε yy xx + yy E Verder gedt ook: τ γ ν γ xy G xy xy + 6 Voor de matrix D vogt dan: ν6 ν ν + ν6 ν6 + ν6 ν6 ν6 ν E D E + + ν6 ν ν6 ν6 ν6 ν6 + ν6 ν6 ν6 ν + ν ν Uitwerking 9. d a. ε dr r σ ν b. σ σ θθ ν ν d rr E dr ν E r d. Er gedt d C C en C C + dr r r r En voor de spanningen vinden we dan: 6. d + ν dr r d + ν r dr 6 Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 7
38 σ rr E d ν ν d r + r E ν C C ν C C E + ν C C ν r r % + & ν r Hierit vogt ds dat C EC EC en C ν + ν ' e. Uit R a CR C 5 vogt + a () R en it σ rr R6 vogt : ν ν + ν6 6 6 C C C 6 r + ν 9R C Sbstittie van () in () evert Voor C ν6r + ν69r C ν6 C + ν C Ra + ν + a C 9 en sbstittie hiervan in () evert: R + 8ν 9Ra + ν ν a R + 8ν + 8ν6R C vogt dan Ea -9EaR en C + 8ν R + 8ν en C 6 Hiermede vinden we ds en σ rr ν ar r 9R + ν a + + 8ν + 8ν r Ea 9EaR Ea 9EaR σ θθ + 8 ν R + 8 ; + ν r + 8 ν R + 8 ν r Uitwerking. a. De verpaatsingen van pnt P zijn x cosϕ v xsinϕ w b. ε xx cosϕ x c. Ja, we verwachten iteraard bij een starre rotatie dat ae rekken geijk aan zijn. Bij grote rotaties is deze rekdefinitie kenneijk onzinnig. ( ) * Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 8
39 Uitwerking. a. Een wiekerige starre ichaamsbeweging knnen we beschrijven met a ϕ a+ ϕ ϕ en daarmee gedt: f EIz 6EIz EIz 6EIz 6EIz EIz 6EIz EIz EI 6EI EI 6EI 6EIz EIz 6EIz EIz b. Voor wiekerige z z z z en z z gedt atijd: V + V M + M + V c. De eastische energie is geijk aan Eeast Fv V Mz F a ϕ a+ ϕ ϕ f K K v ϕ 9 Uitwerking 5. a. We nemen vooropig even aan dat de vogende homogene spanningstoestand gedt σ σ, σ σ τ τ τ. xx yy zz xy yz zx Dit spanningsved vodoet aan de evenwichtsvergeijkingen en de dynamische randvoorwaarden op x en het onbeaste bitenoppervak. σ xx σ νσ Ds dan gedt: ε xx εyy εzz,. E E E As verpaatsingsved gedt dan: σ E x v E y w νσ νσ,, E z en dit vodoet aan de kinematische randvoorwaarden op x. b. neen Uitwerking 7 a. Eenvodig is te zien dat voor het verpaatsingsved gedt: ξ N ξ N ξ N ξ N ξ ξ ξ ξ ξ ξ b. En voor de rek: Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 9
40 6 6 6 d d dξ d N ξ N ξ N ξ ε dx dξ dx dξ d. Er gedt ds B ξ ξ ξ +. dx e. J dξ ξ ξ ξ + Uitwerking 9. a. We verdeen de totae beasting q in twee vertikae krachten van,5q op het inker en rechter knooppnt. Op het rechter knooppnt zetten we ook een moment M rechtsom. Er moet dan vogens de vergeetmijnietjes geden 5, q EI M q q + M. EI 8EI 5, q Dit evert dan (bij toeva) ook de goede hoekverdraaiing op: ϕ EI q EI q 6EI b. ssen de knooppnten kopt het verpaatsingsved niet omdat we n een derdegraads verpaatsingsved hebben terwij bij een constante q een vierdegraads verpaatsingsved hoort. c. We knnen dan een verdeing maken as vogt: q q q q 8 q 8 De knooppntsverpaatsingen worden dan exact berekend. Uitwerking. Om de beweging as star ichaam goed te knnen beschrijven. Uitwerking. De determinant J is hier geijk aan de verhoding van het werkeijke oppervak van het eement en het oppervak van het basiseement in het isoparametrische vak. Ds 5,, J, 5 m. Uitwerking 5. a. We knnen schrijven N N N + ξ ξ. d d dξ De radiae rek is ds ε rr r ξ r d d d Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
41 ξ + ξ De tangentiëe rek is εθθ r r + r + ξ r + r + ξ We knnen n schrijven : ε B ξ + ξ r + r + ξ r + r + ξ ξ + ξ r + r + ξ r + r + ξ b. De spanningen knnen we met gebrikmaking van de restaten van opgave 9 schrijven as: σ σ σ rr ν E DB ν ν ξ + ξ r + r + ξ r + r + ξ θθ Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
42 Uitwerking 7. a. Aξ6 A ξ6 + A + ξ67. b. Nξ6 ξ + ξ I N c. Partiëe integratie van wx 6 d dx dx evert: I dw d dx N x x wn 6 Discretisering vogens Gaerkin betekent: N en w N w w N Sbstittie hiervan in de zwakke formering evert: w en ds ook: I I 6 d N dx EA x d N x w N N w dx d d N dx EA x d N dx d 6 x N N N N N N ξ 6 ξ 6 ξ 6 ξ 6 N R N N N F N d. sbstittie van B d N N x d dξ x d d dξ d d ξ evert: E E x K B EA x B x EB B A x x Ax x A I I I d 5 d 5d 5d 6 ξ d d ξ ξ I Integratie met integratiepnt op ξ evert: 6 6 K EA + A EA A +. e. Opossing van het stese E A A + 6 F en R F. E A + A 6 R F evert: Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
43 Uitwerking 9. Voor de stijfheidsmatrix van eement,met r R en r R schrijven we: I I I r r r r dr K B DB πrtd r B DBr πtdr B DBr πt dξ d ξ % & ' B DB t r r r π π RtB DB ξ dξ ξ 5π 8 B DB7 + + ξ d ξ ( ) * 7 Voor de matrix B gedt in het integratiepnt ξ (zie antwoord opgave 5): B Voor de matrix D gedt: D ξ + ξ r + r + ξ r + r + ξ E ν ν ν ξ Ds de stijfheidsmatrix van eement idt: K 5π π R,95,95,95, 7 En voor eement gedt voor de matrix B in het integratiepnt ξ : B ξ + ξ r + r + ξ r + r + ξ %&' ( )* ξ ξ K B DB r r + + ξ π t 5 dr 8 π B DB7ξ dξ Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
44 K π , π 5 De geassembeerde stijfheidsmatrix idt: a K De verpaatsingskoom idt: 5 5 5, 95, 95, 95, 7 +, 6, 6965, 6965, De geassembeerde krachtenkoom idt: Het op te ossen stese is: 9 a 9 a f De opossing idt: 5, 5959, 869, 6, 6965, 6965, 75 f f f, 95, 95, 95, 59, 6965, 6965, 75 5 f, 95, 95, 95, 59, 6965, 6965, 75 en f 5, 89 Voor de koom met spanningen in de integratiepnten van eement en gedt: σ σ rr σ DB θθ rr σ σ σ DB θθ 5 f 5 7, ,5 8, , 5959, 869,88,5 Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
45 Hieronder zijn de anaytische opossing getrokken en de nmerieke opossing (voor de verpaatsingen aeen in de knooppnten en voor de spanningen aeen in de integratiepnten) met een + weergegeven. Verder weten we dat in de e.e.m. benadering de verpaatsingen binnen het eement ineair veropen. Het vat hierbij op dat de nmerieke benadering van het verpaatsingsved en de spanningen reeds met eementen zeer goed is. De spanningen in de knooppnten zoden we eenvodig knnen berekenen door de matrix B in de knooppnten te berekenen en vervogens op identieke wijze te werk gaan. Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 5
46 Uitwerking. I De kinetische energie is geijk aan V ρ d en discretisatie evert: I I I V V ρ dv ρ N NdV ρn NdV M V Uitwerking. Voor de stijfheidsmatrix en de massamatrix vinden we n: K k M m V EA met k en m ρa met vogt: k det m ω of λ λ λ ω k m k Hierit vogt ω, 6 en ω 5, 69 m k m (De exacte opossingen zijn: ω k, 578 ω, 7 m k m ) Voor de eigenkoommen vinden we:, 577, 577, 865, 865 Voor de genormeerde eigenkoommen (met de massamatrix as kern) vinden we dan:,5 M,58 ; M m,887 m -,5 Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 6
47 Genormeerd op ampitde in knooppnt zijn de eigenkoommen: Eerste eigenkoom en exacte opossing.5 ampitde -.5 weede eigenkoom en exacte opossing x Uitwerking 5. a. De stijfheidsmatrix en de massamatrix zijn: K k M m Er zijn eementen, eement met knooppnt inks en rechts, eement met knooppnt inks en rechts. De knooppnten en zijn vastgezet. Ds assembage evert: m k k ω ω ω, 6ω met ω ρ m k EA m A De nmeriek gevonden waarde komt wat hoger it dan de exacte waarde ω πω van de eigenfreqentie. b. De mped massamatrix is: M m Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 7
48 Dit evert dan na assembage de vogende vergeijking met opossing op: m k ω ω 8ω, 88ω De nmeriek gevonden waarde vat n ager it dan de exacte opossing. Uitwerking 7. De massamatrix is: IV ρa M ρn NdV 8 m 6 I ξ ξ ξ ξ + ξ De mped massamatrix is dan: M m 6 Uitwerking 9. a.de massamatrix is ξ ξ ξ ξ + ξ dξ met I ρ d M N N V V N ξ η + ξ 6 η 6 + ξ 6+ η 6 ξ 6+ η 6 ξ 6 η6 + ξ 6 η 6 + ξ 6+ η6 ξ 6+ η6 Ds M Ia Ib a b abt x y 6 ρ ξ η ρtd d ξ + ξ η+ η dξdη 6 II ρabt m + ξ + η dξdη + ξ + η dξdη 6 6 II m m + ξ + η dξd η 6 9 II II met m ρabt Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 8
49 Op soortgeijke wijze bepaen we de andere componenten van M. samengevat: α β δ γ α β δ γ β α γ δ M m II β α γ δ dξdη 6 δ γ α β δ γ α β γ δ β α γ δ β α met II II II II α + ξ + η en + ξ + η dξd η β ξ + η en ξ + η dξdη γ + ξ η en + ξ η dξdη δ ξ η en ξ η dξdη evert dit tensotte: M m 6 Uitwerking De genormeerde eigentriingsampitde van het vrije iteinde is a. Met modae anayse techniek: De beasting op het rechter knooppnt is F F cosωt5. * ds m Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 9
50 5 De modae beasting is q m F cos ωt De vergeijking voor de participatiecoëfficiënt is: 5 EA η + η cos ω m m m F t of 5 k η + ωη F cos ωt ω m m Voor de stationaire toestand gedt: η m F cosωt5 ω ω Het inschakeverschijnse is ds biten beschowing gebeven. Voor de opossing van de verpaatsing op het iteinde knnen we ds schrijven: * m F ω ω 5 cos ωt F m m ω ω 7 5 cos ωt Uitwerking. Voor de systeemmatrices gedt: M m 6 K k met k EA En de op te ossen steses zijn dan ds: en met α ω -8 7 α ω β ω 6 r r 6 i i β en vogt dan ω F k - F k Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 5
51 Hierit vogt: r r 6 6 i 5 i r r i i F k - F k F,7 F k,95 k F F,7 t t k +,885 cos α,865 k,65 sin β Uitwerking 5. De differentiaavergeijking idt: m + k,955, Het differentieschema bij de centrae differentiemethode is i. h. a. (zie afeiding in het diktaat): % & ' ( ) * M + t t C f K + M + t t C n n In dit -dimensionae geva wordt dit: m k + m t t n+ n n n of anders geformeerd 6 9 n+ n n + ω t + J + n n n n L Niets overgenomen it andermans of eigen via een itgever gepbiceerd werk Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 5
52 Opdrachten Er zijn 6 coeges van r over de theorie, 6 coeges van r over het practisch werken met een programmapakket en 6 keer r begeeide oefeningen bij dit vak. Voor het practische dee zijn 6 oefeningen ( bij hoofdstk ; bij de hoofdstkken, en ; en bij hoofdstk 5. Deze oefeningen knt in de zefstdietijd op het SOL of eders itvoeren. Op het practische dee van het tentamen knt soortgeijke opdrachten verwachten. Opdracht. Beschow een haakse -dimensionae portaaconstrctie ABCD zoas in onderstaande figr weergegeven, bestaande it baken AB, BC en CD van ieder m ang en een vierkante dwarsdoorsnede met een oppervak van cm. De patte vakken van de baken zijn evenwijdig aan of staan oodrecht op het vak van tekening. De baken zijn bij B en C aan ekaar geast en de constrctie is bij A star en in D via een roopegging met de vaste wered verbonden. In pnt D werkt een horizontae kracht van N op de constrctie. De easticiteitsmods van het materiaa is Pa. B C A D N a. Modeeer het portaa met bakeementen. Neem hiervoor het -D bakeement nr.5 b. Hoe groot is de verpaatsing van pnt D. c. Noteer de axiae spanningen in ieder van de eementen bij de knooppnten in het middenvak van de dwarsdoorsnede en op de iterste vezevakken. d. Bereken it de restaten van vraag c de snedegrootheden (normaakracht, dwarskracht en bigend moment) in de knooppnten van ieder eement. Geef dideijk de door gekozen tekenafspraken aan. e. Controeer het evenwicht van ek eement, het evenwicht van de constrctie as gehee en de wet van actie is reactie ter paatse van de knooppnten. f. Modeeer het portaa met bakeementen nr.5 (-D eastic beam). g. Noteer de snedegrootheden van ae knoopnten van ae eementen. Geef de tekenafspraken weer dideijk aan. ( voor eementen in knooppnten snedegrootheden) en vergeijk de restaten met de restaten van vraag d. Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 5
53 Opdracht Gegeven onderstaand vakke vakwerk opgebowd it vierkante kokerprofieen van meter engte dat aan de inkerzijde via een scharnier en aan de rechterzijde via een horizontae roopegging met de vaste wered is verbonden. De dnwandige kokers hebben itwendige maten * mm en een wanddikte van mm. De kokers zijn zodanig aan ekaar geast dat de vakken van de onderste en bovenste staven evenwijdig aan en oodrecht op het horizontae vak staan. De schine staven zijn onder verstek gezaagd zodat ze zonder gaten aan de horizontae staven geast knnen worden. Op het iterste knooppnt inksboven (A) werkt een vertikae kracht F naar beneden. De zakking f van pnt B is gevraagd. De easticiteitsmods van het materiaa is Pa. F A Neem F N. a. Modeeer de constrctie met staven (eement 9) en bereken f. b. Modeeer de constrctie met baken (eement 5) en bereken f. c. Bepaa het procentee verschi tssen de antwoorden a en b. We doen hierna twee berekeningen waarbij de itwendige maten van de vierkante kokerprofieen mm zijn en de wanddikte mm. d. Modeeer de constrctie met staven (eement 9) en bereken f. e. Modeeer de constrctie met baken (eement 5) en bereken f. f. Bepaa het procentee verschi tssen de antwoorden d en e. g. Wat kan geconcdeerd worden it de antwoorden op c en f? B f Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 5
54 Opdracht Beschow het gedrag van verschiende eementtypen bij de anayse van een eenzijdig ingekemde staen bak,.engte m en met een vierkante dwarsdoorsnede van,*, m. Het ondervak van de bak is evenwijdig aan het horizontae vak, het vak van tekening is vertikaa. De easticiteitsmods is N/m, de dwarscontractiecoëfficiënt, en de dichtheid 785 kg/m. ϕ, m a. Het vrije iteinde van de bak krijgt een voorgeschreven hoekverdraaiing ϕ 6, rad. Bereken met de vergeetmijnietjes het koppe M op het vrije iteinde dat hiervoor nodig is, en de zakking f in het geometrische middepnt van het vrije iteinde die daarvan het gevog is. (verwaaroos het eigen gewicht van de bak) Vergeijk f en σ max t.g.v. het eigen gewicht met f en σ max t.g.v. de voorgeschreven hoekverdraaiïng. b. De bak wordt vervogens gemodeeerd met: b ineair achtknoops D-eement (type 7). b ineair vierknoops vakvervormingseement (type ). b ineair vierknoops vakspanningseement (type ). b even grote ineaire vierknoops vakspanningseementen over de engte. b5 even grote ineaire vierknoops vakspanningseementen, over de engte. b6 6 even grote ineaire vierknoops vakspanningseementen, over de engte. b7 6 even grote ineaire vierknoops vakspanningseementen, 8 over de engte. b8 kwadratisch twintigknoops D-eement (nr ). b9 kwadratisch achtknoops vakspanningseement (nr 6). b D-bakeement (type 5). b D-bakeementen. m, m Maak een tabe met daarin het eementnmmer, het aanta eementen en f. Schets indien mogeijk de verdeing van de axiae spanning over de hoogte bij de inkemming voor deze modeeringen. Verkaar bondig de eventee afwijkingen van de anaytische opossing. c. Op de bak wordt n in paats van de voorgeschreven hoekverdraaiïng een over de knooppnten op het eindvak verdeede vertikae dwarskracht omaag ter grootte van het gewicht van de bak gezet. Het eigen gewicht wordt n ook meegenomen in de anayse. De bak wordt gemodeeerd met: c 6 even grote ineaire vierknoops vakspanningseementen, 8 over de engte. c even grote kwadratische achtknoops vakspanningseementen over de engte. c D-bakeementen. Bereken bij deze modeeringen f en schets indien mogeijk de verdeing van de axiae spanning over de hoogte bij de inkemming voor deze modeeringen. f Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 5
Tentamen CT2031. ConstructieMechanica 3
Subfacuteit Civiee Techniek Vermed op baden van uw werk: Constructiemechanica STUDIENUMMER : NM : Tentamen CT031 ConstructieMechanica 3 14 apri 010 van 14:00 17:00 uur s de kandidaat niet vodoet aan de
Nadere informatieTentamen CT2031 ConstructieMechanica 3 2 april 2007 MODELUITWERKING. a) De grenzen kunnen m.b.v. de basisgevallen van Euler worden bepaald:
MODELUITWERKING VRAAGSTUK : Theorie Dee a) De grenzen kunnen m.b.v. de basisgevaen van Euer worden bepaad: r 0 en k 0 : π k 4 r inf en k 0 : r inf en k inf: 4π k r 0 en k inf : De knikast kan, afhankeijk
Nadere informatieTentamen Analyse van Continua
Tentamen Anase van Continua d.d. 10 januari 2008, 14.00-17.00 uur Code: 4Q410 BMT-2.1 Facuteit Biomedische Technoogie Technische Universiteit Eindhoven Dit tentamen omvat 10 vraagstukken. De vraagstukken
Nadere informatieHertentamen CT2031. ConstructieMechanica 3
Subfacuteit iviee Techniek Vermed op baden van uw werk: onstructiemechanica STUDIENUMMER : NM : Hertentamen T01 onstructiemechanica 18 ug 008 van 14:00 17:00 uur s de kandidaat niet vodoet aan de voorwaarden
Nadere informatieBEKNOPTE UITWERKING. σ = VRAAGSTUK 1 : Theorie. Deel 1
VRGSTUK 1 : Theorie Dee 1 KNOPT UITWRKING a) Voor starre systemen gedt dat de (aanendeende) beasting van mode (a) kan worden vervangen door een eqivaente beasting o mode (b) vogens: eq n i 1 i et een eenvodig
Nadere informatieARBEIDS- en ENERGIEMETHODEN. Opgave 0 : Ligger met een koppel. Opgave 1 : Niet-lineair last-zakkingsdiagram. Opgave 2 : Horizontaal belast raamwerk
ARBDS- en ENERGIEMETHODEN Opgave 0 : Ligger met een koppe Van de rechts weergegeven igger wordt gevraagd om de rotatie in het rechter steunpunt ten gevoge van het koppe T te bepaen met behup van de e steing
Nadere informatieAntwoordenbundel. Module: Stabiliteit van het evenwicht. Constructiemechanica 3. ANTWOORDEN Constructiemechanica 3
ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Antwoordenbnde Mode: Stabiiteit van het evenwicht Constrctiemechanica Behorend bij: Constrctiemechanica Mode: stabiiteit
Nadere informatieHertentamen CT2031. ConstructieMechanica April :00 17:00 uur
33 Subfacuteit Civiee Techniek Vermed op baden van uw werk: Constructiemechanica STUDIENUMMER : NAAM : Hertentamen CT031 ConstructieMechanica 3 15 Apri 013 14:00 17:00 uur As de kandidaat niet vodoet aan
Nadere informatieTentamen CT3109 CONSTRUCTIEMECHANICA 4. 5 juli 2006, 09:00 12:00 uur
Subfacuteit Civiee Techniek Vermed op baden van uw werk: Constructiemechanica STUDIENUMMER : NAAM : Tentamen CT309 CONSTRUCTIEMECHANICA 4 5 jui 006, 09:00 :00 uur GA NA AFLOOP VOOR DE GEZELLIGHD EN DE
Nadere informatieTentamen CT2031. ConstructieMechanica Maart van 18:30 21:30 uur
Subfacuteit iviee Technie Vermed op baden van uw wer: onstructiemechanica STUDIENUMMER : NM : Tentamen T01 onstructiemechanica 1 Maart 008 van 18:0 1:0 uur s de andidaat niet vodoet aan de voorwaarden
Nadere informatieBEKNOPTE ANTWOORDEN. Opgave 1. Vragen deel 1 : Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4 15 april 2013 S2 B. 2,0 m. 3,0 m 2,0 m 3,0 m 3,0 m
Tentamen CT3109 Constructieechanica 4 15 ari 013 Ogave 1 Vragen dee 1 : BEKNOPTE NTWOORDEN S1 S B S3 C D,0 m 3,0 m,0 m 3,0 m 3,0 m 4,0 m,0 C B V B V 1,67 V S3-rechts 0,67 V S3-rechts knm ϕ B rechte kn
Nadere informatieExamen Algemene natuurkunde 1 18 januari 2016
Examen Agemene natuurkunde 8 januari 206 Lees zorgvudig de vragen en aarze niet om uiteg te vragen indien je iets onduideijk vindt. Denk er ook aan om je antwoorden vodoende te motiveren, aeen de uitkomst
Nadere informatieOPGAVE 7 : ARBEID EN ENERGIE
OPGAVE 7 : ARBD EN ENERGIE In de onderstaande figuur is een op druk beaste buigzame staaf weergegeen die haerwege beast wordt met een etra kracht. De normaakracht in de staaf is hierdoor niet constant.
Nadere informatieTentamen CT3109 CONSTRUCTIEMECHANICA jan 2010, 09:00 12:00 uur
Subfacuteit Civiee Techniek Vermed op baden van uw werk: Constructiemechanica STUDIENUER : NAA : Tentamen CT3109 CONSTRUCTIEECHANICA 4 18 jan 010, 09:00 1:00 uur Dit tentamen bestaat uit 4 opgaven. Werk
Nadere informatieWiskundige Methoden in de Fysica examen met modeloplossing
Wiskundige Methoden in de Fysica examen met modeopossing januari 7 Voor dit examen krijg je u tijd en mag je de cursus en de oefeningenopgaven gebruiken. Niet toegeaten zijn opgeoste oefeningen, handboeken,
Nadere informatieConstructieMechanica 3
TB0 OLLEGE onstructiemechanica 7-7 tabiiteit van het evenwicht Ineiding tarre staaf (systeem met één vrijheidsgraad) ystemen met meer dan één vrijheidsgraad Buigzame staaf (oneindig vee vrijheidsgraden)
Nadere informatieSTATISCH ONBEPAALDE CONSTRUCTIES COLLEGE 5 STATISCH ONBEPAALDE CONSTRUCTIES MET VERPLAATSBARE KNOPEN. Ir J.W. Welleman bladnr 1
T0 STTISH ONEPLDE ONSTRUTIES OLLEGE 5 STTISH ONEPLDE ONSTRUTIES ET VERPLTSRE KNOPEN (a) (b) Ir J.W. Weeman badnr SHE KRHTENETHODE voor STTISH ONEPLDE ONSTRUTIES (aeen vervorming t.g.v. buiging) reng in
Nadere informatieDoorbuiging. Rekenvoorbeelden bij Eurocode 2 (10)
Rekenvoorbeeden bij Eurocode (0 In de serie met rekenvoorbeeden, waarin de diverse onderdeen van de Eurocode worden toegeicht, is het in dit tiende artike de beurt aan doorbuiging In het voorbeed wordt
Nadere informatieKnik van een verend gesteunde kolom in een raamwerk
EINDVERSIE februari 007 Knik van een verend gesteunde koom in een raamwerk ir. J. Majaars, ir. H.M.G.M. Steenbergen, dr. ir. M.C.M. Bakker, prof. ir. H.H. Snijder Johan Majaars en Henri Steenbergen zijn
Nadere informatieCOLLEGE ONDERWERPEN. 1 Spanningstensor Spanningsdefinitie Spanningstoestanden en voorbeelden 2 Rektensor CTB2210 : ELASTICITEITSLEER
CTB0 : ELASTICITEITSLEER COLLEGE ONDERWERPEN Spanningstensor Spanningsdefinitie Spanningstoestanden en voorbeeden Retensor Reatieve verpaatsingen Redefinities Retensor 3 Tensoreigenschappen Introdctie
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Stralingsfysica (3D100) d.d. 21 november 2005 van 14:00 17:00 uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Tentamen Straingsfysica (3D) d.d. november 5 van 4: 7: uur Vu de presentiekaart in boketters in en onderteken deze. Gebruik van boek, aantekeningen of notebook is niet
Nadere informatieVoortplanting van trillingen - lopende golven
Voortpanting van triingen - opende goven 8. Eigenschappen van goven Interferentie van goven Interferentie doet zich voor as goven ekaar samentreffen. Het is dus een samensteen van goven. COHERENTIEVOORWAARDE:
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft Faculteit der Civiele Techniek en Geowetenschappen. De effectieve kiplengte van houten liggers
Technische Universiteit Deft Facuteit der Civiee Techniek en Geowetenschappen De effectieve kipengte van houten iggers Roeand van Straten November 1 Technische Universiteit Deft Facuteit der Civiee Techniek
Nadere informatieModule 7 Uitwerkingen van de opdrachten
Modue 7 Uitweringen van de opdrachten Hoofdstu Ineiding Opdracht Het verschi in aanpa betreft het evenwicht in de verpaatste ( vervormde) toestand. Tot nu toe werd bij een evenwichtsbeschouwing van een
Nadere informatiewww.toeatingsexamen-geneeskunde.be 1. Je staat met je twee voeten op de grond. Hoe verandert de druk die je uitoefent op de grond as je één been opheft? a. De druk haveert. b. De druk verdubbet. c. De
Nadere informatieSTATISCH ONBEPAALDE CONSTRUCTIES
STTISH ONEPLDE ONSTRUTIES 1 Statisch onbepaade constructies Ineiding, systematiek Statisch onbepaadheid Voorbeeden onstructies met niet-verpaatsbare knopen keuze van het statisch bepaade hoofdsysteem en
Nadere informatieUitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C Januari uur
Uitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C030 25 Januari 2007-4.00-7.00 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina s. Op pagina 3 staat voor
Nadere informatieKeCo-opgaven elektricitietsleer VWO4
KeCo-opgaven eektricitietseer VWO4 1 KeCo-opgaven eektricitietseer VWO4 E.1. a. Wat is een eektrische stroom? b. Vu in: Een eektrische stroomkring moet atijd.. zijn. c. Een negatief geaden voorwerp heeft
Nadere informatieKrachtsverdeling t.g.v. een temperatuursbelasting
Kractsverdeing t.g.v. een temperatuursbeasting Een stijging van de temperatuur in een materiaa eidt tot een verenging. Deze verenging is afankeijk van de ineaire uitzettingscoëfficiënt α [ K - ] en de
Nadere informatieUITWERKING MET ANTWOORDEN
Tentamen T0 onstructieechanica Januari 0 UITWERKING ET ANTWOORDEN Opgave a) Drie rekstrookjes b) Onder hoeken van 45 graden c) Tussen 0,5l en 0,7l (basisgevallen van Euler) d) () : Nee de vergrotingsfactor
Nadere informatie1 Uitwendige versus inwendige krachten
H1C8 Toegepaste mechanica, deel FORMULRIUM STERKTELEER 1 G. Lombaert en L. Schueremans 1 december 1 1 Uitwendige versus inwendige krachten Relaties tussen belasting en snedekrachten: n(x) = dn p(x) = dv
Nadere informatie8 pagina s excl voorblad van 13:30-16:30 uur J.W. (Hans) Welleman
Faculteit Civiele Techniek en Geowetenschappen Schriftelijk tentamen CTB10 ConstructieMechanica 3 Totaal aantal pagina s Datum en tijd Verantwoordelijk docent 8 pagina s excl voorblad 14-04-016 van 13:30-16:30
Nadere informatieVAK: Mechanica - Sterkteleer HWTK
VAK: Mechanica - Sterkteleer HWTK Proeftoets Beschikbare tijd: 100 minuten Instructies voor het invullen van het antwoordblad. 1. Dit open boek tentamen bestaat uit 10 opgaven.. U mag tijdens het tentamen
Nadere informatieOpmerking: Kan ook sneller door met impulsmomentbehoud de nieuwe snelheid uit te rekenen en daarmee een uitspraak te doen over de energie.
Antwoorden ronde 04 toets RONDDRAAIENDE MASSA 5 (.9 van a guide to phys prob ) Trekken aan het touw evert geen krachtmoment aan de massa, dus impusmoment is behouden. Dus:. Voor de arbeid die nodig is
Nadere informatieTentamen CT3109 ConstructieMechanica 4 5 juli 2006 ANTWOORDEN
Tentamen CT309 Constructieechanica 4 jui 006 OPGAVE ANTWOODEN a) Voor theorievragen ie de eermiddeen. b) De cirke van ohr is hieronder getekend. scae () ( ; ) (0,-30) r0 N/mm 0 ( ; ) (0,-30) 0 () 3 0 m60
Nadere informatieExamen Klassieke Mechanica
Examen Klassieke Mechanica Herbert De Gersem, Eef Temmerman 23 januari 2009, academiejaar 08-09 IW2 en BIW2 NAAM: RICHTING: vraag 1 (/4) vraag 2 (/4) vraag 3 (/5) vraag 4 (/4) vraag 5 (/3) TOTAAL (/20)
Nadere informatieEindtoets: Numerieke Analyse van Continua
Eindtoets: Numerieke Analyse van Continua Donderdag 3 November: 9.00-12.00 u Code: 8MC00, BMT 3.1 Biomedische Technologie Technische Universiteit Eindhoven Dit is een open boek examen. Het gebruik van
Nadere informatieCONSTRUCTIEMECHANICA 3
CTB10 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Modue : Stabiiteit van het evenwicht Dee 1 : Theorie December 016 C. Hartsuijker en J.W. Weeman CTB10 MODULE : STABILITEIT VAN HET EVENWICHT COENRAAD HARTSUIJKER HANS WELLEMAN
Nadere informatieOplossing Ijkingstoets industrieel ingenieur UGent/VUB, juli 2015
Opossin IJkinstoets jui 5 - reeks - p. / Opossin Ijkinstoets industriee inenieur UGent/VUB, jui 5 Oefenin Om een pank een heinshoek α te even, wordt een ronde staaf ebruikt zoas aaneeven in onderstaande
Nadere informatieAntwoorden Natuurkunde Olympiade pagina 1
1. Voeyba 6pt a. (1) F = ps, met S = πr het oppervak van de ba op de paat. Er gedt r = (R h)h, zodat F = pπh(r h) 10 N. b. () Tijdens de botsing is de vervorming as in de tekening. De bo bijft bo, voor
Nadere informatieToepassing van de Fourier transformatie
Les 6 Toepassing van de Forier transformatie 6. Belangrijke voorbeelden We zllen in deze les een aantal belangrijke Forier transformaties expliciet berekenen. Rechthoek impls Zij f(t) een rechthoek impls
Nadere informatieUitwerking Hertentamen Inleiding Kansrekening 6 juli 2015, uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander
Uitwerking Hertentamen Inleiding Kansrekening 6 jli 5, 4. 7. r Docent: Prof. dr. F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebrik van boek en aantekeningen niet toegestaan. Er zijn vragen. Elke vraag is
Nadere informatiex D In de punten A en B grijpt respectivelijk een vertikale constante kracht F 1 en F 2 aan.
VRIJE UNIVERSITEIT RUSSE FUTEIT TOEGEPSTE WETENSHPPEN NYTISHE MEHNI I Tentamen 1ste Kandidatuur urgerlijk Ingenieur cademiejaar 00-00 4 januari 00 Vraag : F1 γ β F ovenstaand stelsel bestaat uit twee identieke
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Nadere informatieMechanica, deel 2. Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven
Mechanica, deel Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven Academiejaar 010-011 Voorwoord Dit is een verzameling van opgeloste oefeningen van vorige jaren die ik heb
Nadere informatieMechanica - Sterkteleer - HWTK PROEFTOETS versie C - OPGAVEN en UITWERKINGEN.doc 1/16
VAK: Mechanica - Sterkteleer HWTK Set Proeftoets 07-0 versie C Mechanica - Sterkteleer - HWTK PROEFTOETS- 07-0-versie C - OPGAVEN en UITWERKINGEN.doc 1/16 DIT EERST LEZEN EN VOORZIEN VAN NAAM EN LEERLINGNUMMER!
Nadere informatieBeredeneer waarom de marginale productcurve de gemiddelde productcurve in het maximum snijdt.
Opgaven hoofdstuk 9 Opgave 1 Beredeneer waarom de marginae productcurve de gemiddede productcurve in het maximum snijdt. Opgave Vu de vogende tabe verder in en teken de bijbehorende curven voor het totae,
Nadere informatieTentamen CT3109 CONSTRUCTIEMECHANICA april 2013, 09:00 12:00 uur
Subfaculteit Civiele Techniek Vermeld op bladen van uw werk: Constructiemechanica STUDIENUMMER : NAAM : Tentamen CT3109 CONSTRUCTIEMECHANICA 4 15 april 013, 09:00 1:00 uur Dit tentamen bestaat uit 4 opgaven.
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 6 collegejaar : 8-9 college : 6 build : 2 oktober 28 slides : 38 Vandaag Minecraft globe van remi993 2 erhaalde 3 4 intro VA Drievoudige integralen Section 5.5 Definitie Een rechthoekig blok is
Nadere informatieSTABILITEIT VAN HET EVENWICHT
STABILITEIT VAN HET EVENWICHT 1 Introductie Basisbegrippen en definities Vormen van instabiiteit Starre staven Stabiiteitsonderzoe op starre staafmodeen Voorbeeden 3 Buigzame staven Afeiding van Euer (statisch
Nadere informatieTussentoets 2 Mechanica 4RA03 17 oktober 2012 van 9:45 10:30 uur
Tussentoets 2 Mechanica 4RA03 7 oktober 20 van 9:45 0:30 uur De onderstaande balkconstructie bestaat uit een horizontale tweezijdig ingeklemde (bij punten A en D) rechte balk met een lengte van m die zowel
Nadere informatieS3 Oefeningen Krachtenleer Hoofdstuk II II-3. II-3 Grafisch: 1cm. II-3 Analytisch. Sinusregel: R F 1
S3 Oefeningen Krachtenleer Hoofdstuk II II-3 Bepaal grafisch en analytisch de richting en grootte van de resultante, in volgende gevallen; F 1 = 4 kn F = 7 kn : 1) α = 30 ) α = 45 F 1 3) α = 90 α 4) α
Nadere informatieOpgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Nadere informatieModule 5 Uitwerkingen van de opdrachten
Module 5 Uitwerkingen van de opdrachten Opdracht 1 Deze oefening heeft als doel vertrouwd te raken met het integreren van de diverse betrekkingen die er bestaan tussen de belasting en uiteindelijk de verplaatsing:
Nadere informatieTentamen CT2053 Constructief Ontwerpen 2 studiejaar 2009/2010 donderdag 26 augustus 2010 van 9.00 tot uur
Uitgangspunten: 1. Zet op ae baden naam en studienummer. 2. Werk netjes en systematisch, schrijf eesbaar. 3. Bij twijfe over een uitkomst kunt u toch nog punten scoren door uw twijfe te motiveren. 4. As
Nadere informatie1.5 Kettingregel. sin( x ) 1 4. y = cos (3 )
.5 Kettingregel Dit hoofdstk gaat over het differentiëren van fncties als: = + = = sin( ) 64 4 cos (3 ) enz., kortom over het differentiëren van kettingfncties. De regel die hierop betrekking heeft, de
Nadere informatieOpgaven voor Tensoren en Toepassingen. 1 Metrieken en transformatiegedrag
Opgaven voor Tensoren en Toepassingen collegejaar 2009-2010 1 Metrieken en transformatiegedrag 1.1 Poolcoördinaten We bekijken het plaate tweedimensional vlak. Laat x µ (µ = 1, 2) Cartesische coördinaten
Nadere informatieNOTITIE : KRACHTENMETHODE
NOIIE : KRHENEHODE Een korte uiteenzetting over steunpuntszettingen, toevaige inkemmingsmomenten en temperatuurseffecten bij doorgaande iggers op buiging beast. Ir. J.W. Weeman pri 0 Kractsverdeing t.g.v.
Nadere informatiecompact weer te geven (ken ook een waarde toe aan n).
1 HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 2 - Oplossingen Opgave 1: Er geldt n 3 en we hebben de compacte uitdrukking y i a r i x r, waarbij we gebruik maken van de Einsteinsommatieconventie. a Schrijf
Nadere informatieTentamen CT3109 CONSTRUCTIEMECHANICA april 2012, 09:00 12:00 uur
Subfaculteit Civiele Techniek Vermeld op bladen van uw werk: Constructiemechanica STUDIENUMMER : NM : Tentamen CT3109 CONSTRUCTIEMECHNIC 4 16 april 01, 09:00 1:00 uur Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven.
Nadere informatieMechanica van Materialen: Voorbeeldoefeningen uit de cursus
Mechanica van Materialen: Voorbeeldoefeningen uit de cursus Hoofdstuk 1 : Krachten, spanningen en rekken Voorbeeld 1.1 (p. 11) Gegeven is een vakwerk met twee steunpunten A en B. Bereken de reactiekrachten/momenten
Nadere informatie34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 1.11 Vraagstukken Vraagstuk 1.11.1 Beschouw het beginwaardeprobleem = 2x (y 1), y(0) = y 0. Los dit beginwaardeprobleem op voor y 0 R en maak een
Nadere informatieEindige Elementen Methode Syllabus over het gebruik in de lineair elastische vaste stof mechanica; Cursus 2001-2002, Trimester 2.2
Endge Eementen Methode Syabs over het gebrk n de near eastsche vaste stof mechanca; Crss -, rmester. r. J.H.P. de Vree echnsche Unverstet Endhoven Factet Werktgbowknde Materas echnoogy Inhod Inedng Notateafspraken
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 12 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 12 4 september 217 3 ail Training Vessel 263 tad Amsterdam 1 2 3 4 stelling van Gauss stelling van Green Conservatieve vectorvelden 1 VA
Nadere informatieErrata bij Statica, 13e editie
rrata bij Statica, 13e editie earson heeft vastgesteld dat in een aantal opgaven van Statica, 13e editie van Rssel. Hibbeler foten staan. In dit docment vind je de jiste opgaven. 1.10. ekijk de volgende
Nadere informatie168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a
Nadere informatieTentamen Fundamentals of Deformation and Linear Elasticity (4A450)
Tentamen Fundamentals of Deformation and Linear Elasticity (4A450) Datum: 22 november 2001 Tijd: 14:00 17:00 uur Locatie: Auditorium, zaal 9, 10, 15 en 16 Dit tentamen bestaat uit drie opgaven. Het gebruik
Nadere informatie14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:
14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64
Nadere informatie5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm
5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm x y + xy + (x ν )y = met ν R (1) heet een Bessel (differentiaal)vergelijking. De waarde van ν noemt men ook wel de orde
Nadere informatieBuiging van een belaste balk
Buiging van een belaste balk (Modelbouw III) G. van Delft Studienummer: 0480 E-mail: gerardvandelft@email.com Tel.: 06-49608704 4 juli 005 Doorbuigen van een balk Wanneer een men een balk op het uiteinde
Nadere informatieTentamen numerieke analyse van continua I
Tentamen numerieke analse van continua I Maandag 12 januari 2009; 1.00-17.00 Code: 8W030, BMT 3.1 Faculteit Biomedische Technologie Technische Universiteit Eindhoven Het eamen is een volledig open boek
Nadere informatieHoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen
Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Les 0 (Extra) Aant. Voorkennis: Hoeken en afstanden Theorie A: Sinus, Cosinus en tangens O RHZ tan A = A RHZ O RHZ sin A = SZ A RHZ cos A = SZ Afspraak: Graden afronden
Nadere informatieSolid Mechanics (4MB00) Toets 2 versie 1
Solid Mechanics (4MB00) Toets 2 versie 1 Faculteit : Werktuigbouwkunde Datum : 1 april 2015 Tijd : 13.45-15.30 uur Locatie : Matrix Atelier Deze toets bestaat uit 3 opgaven. De opgaven moeten worden gemaakt
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D020. Datum: Vrijdag 26 maart 2004. Tijd: 14.00 17.00 uur. Plaats: MA 1.41 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf
Nadere informatieVoorbeelden en toepassingen van de Fourier transformatie
Wisknde voor knstmatige intelligentie, 5 Deel II. Forier theorie Les 9 Voorbeelden en toepassingen van de Forier transformatie We hebben in de vorige les de theorie van de Forier transformatie behandeld
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Elektromagnetisme 3 (3NC30) donderdag 30 juni 2011 van 14u00-17u00
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Elektromagnetisme 3 (3NC30) donderdag 30 juni 20 van 4u00-7u00 Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven met elk 3 onderdelen. Voor elk
Nadere informatieModule 2 Uitwerkingen van de opdrachten
1 Modue Uitwerkingen vn de opdrchten Opdrcht 1 nyse Sttisch bepde constructie. Uitwendig evenwicht te bepen met evenwichtsvoorwrden. Drn op de gevrgde ptsen een denkbeedige snede nbrengen en met de evenwichtsvoorwrden
Nadere informatieVoorbeelden en toepassingen van de Fourier transformatie
Wisknde voor knstmatige intelligentie, 7/8 Deel II. Forier theorie Les 9 Voorbeelden en toepassingen van de Forier transformatie We hebben in de vorige les de theorie van de Forier transformatie behandeld
Nadere informatieTentamen CT2053 Constructief Ontwerpen 2 studiejaar 2009/2010 donderdag 24 juni 2010 van 14.00 tot 17.00 uur
Uitgangspunten: 1. Zet op ae baden naam en studienummer, en ever deze na het tentamen in de omsag in. 2. Werk netjes en systematisch, schrijf eesbaar. 3. Bij twijfe over een uitkomst kunt u toch nog punten
Nadere informatieUitwerking Tentamen Klassieke Mechanica I Dinsdag 10 juni 2003
Uitwerking Tentamen Klassieke Mechanica I Dinsdag juni 3 OPGAE : de horizontale slinger θ T = mg cosθ mg m mg tanθ mg a) Op de massa werken twee krachten, namelijk de zwaartekracht, ter grootte mg, en
Nadere informatieAanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen
de Bachelor EIT 2de en de Bachelor Wiskunde Academiejaar 215-216 1ste semester 26 januari 216 Aanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen 1. Gegeven een homogene lineaire partiële
Nadere informatie9 pagina s excl voorblad van 13:30-16:30 uur J.W. (Hans) Welleman
Faculteit Civiele Technie en Geowetenschappen Schriftelij tentamen CTB0 ConstructieMechanica 3 Totaal aantal pagina s Datum en tijd Verantwoordelij docent 9 pagina s excl voorblad 30-0-07 van 3:30-6:30
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 11 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 11 23 oktober 2017 35 De sterrennacht Vincent van Gogh, 1889 1 2 3 4 5 Verband met de stelling van n 1 VA intro ection 16.7 Definitie Equation
Nadere informatieUitwerking tentamen CT2053 Constructief Ontwerpen 2 studiejaar 2009/2010 donderdag 24 juni 2010 van 14.00 tot 17.00 uur
Vraag 1 Ontwerpen agemeen Vraag 1.1 Weke zaken wi je as constructief ontwerper aan het eind van de anaysefase vasteggen? PvE, Randvoorwaarden, Uitgangspunten, Ontwerpcriteria, mogeijkheden ontwerp Vraag
Nadere informatie: Vermeld op alle bladen van uw werk uw naam. : Het tentamen bestaat uit 4 bladzijden inclusief dit voorblad en een uitwerkingsblad.
POST HBO-OPLEIDINGEN Betonconstructeur BV Staalconstructeur BmS Professional master of structural engineering Toegepaste mechanica Materiaalmodellen en niet-lineaire mechanica docent : dr ir P.C.J. Hoogenboom
Nadere informatieIJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 2017: algemene feedback
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 18 september 017 - reeks 1 - p. 1/14 IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 017: algemene feedback Positionering ten opzichte van andere deelnemers
Nadere informatie. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom
8. Fouriertheorie Periodieke functies. Veel verschijnselen en processen hebben een periodiek karakter. Na een zekere tijd, de periode, komt hetzelfde patroon terug. Denk maar aan draaiende of heen en weer
Nadere informatieOplossing examen AJ ste zittijd. Theorie - potentiële energie
Oplossing examen AJ 1-13 - 1ste zittijd Theorie - potentiële energie Neem de x-as naar boven met oorsprong ter hoogte van de voet. De uitwijking v positief naar links; EI = buigstijfheid van de staaf.
Nadere informatiewoensdag 6 augustus 2008, u Code: 8W020, BMT 1.3 Faculteit Biomedische Technologie Technische Universiteit Eindhoven
Tentamen Biomechanica woensdag 6 augustus 2008, 9.00-12.00 u Code: 8W020, BMT 1.3 Faculteit Biomedische Technologie Technische Universiteit Eindhoven Dit examen bestaat uit 6 opgaven. Het aantal punten
Nadere informatiePROJECT 4: Kinematics of Stephenson 2 mechanism
KINEMATICA EN DYNAMICA VAN MECHANISMEN PROJECT 4: Kinematics of Stephenson 2 mechanism ien De Dijn en Celine Carbonez 3 e bachelor in de Ingenieurswetenschappen: Werktuigkunde-Elektrotechniek Prof. Dr.
Nadere informatieToets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017, 13:30 16:30 uur
Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017, 13:30 16:30 uur Technische Universiteit Delft, Delft Institute of Applied Mathematics Naam: Groep (omcirkel): (Leids) studentnummer: A (Keijzer)
Nadere informatiePUNTSGEWIJZE EN UNIFORME CONVERGENTIE
IX PUNTSGEWIJZE EN UNIFORME CONVERGENTIE In vorige hoofdstkken hebben we convergentie van getallenrijen bestdeerd. In de Analyse zijn echter rijen die fncties als termen hebben van groot belang. Zlke fnctierijen
Nadere informatieInhoud. Toetsing dwarskrachtcapaciteit Heinenoordtunnel volgens de TNO- IBBC methode. Henco Burggraaf en Jan Zwarthoed
Toetsing dwarskrachtcapaciteit Heinenoordtunnel volgens de TNO- IBBC methode Henco Burggraaf en Jan Zwarthoed Inhoud Onderzoek kunstwerken RWS Bouwdienst e Heinenoordtunnel Uitgangspunten berekening door
Nadere informatieV A D E M E C U M M E C H A N I C A. 2 e 3 e graad. Willy Cochet Pagina 1
V A D E M E C U M M E C H A N I C A e 3 e graad Willy Cochet Pagina 1 Vooraf 1. Dit is een basiswerk waarbij de vakleerkracht eventuele aanpassingen kan doen voor zijn specifieke studierichting : vectoren
Nadere informatie: Vermeld op alle bladen van uw werk uw naam. : Het tentamen bestaat uit 3 bladzijden inclusief dit voorblad.
POST HBO-OPLEIDINGEN Betonconstructeur BV Staalconstructeur BmS Professional master of structural engineering Toegepaste mechanica Materiaalmodellen en niet-lineaire mechanica docent : dr. ir. P.C.J. Hoogenboom
Nadere informatieIJkingstoets september 2015: statistisch rapport
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van de
Nadere informatie4.1 Rekenen met wortels [1]
4.1 Rekenen met wortels [1] Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B 3) A 2 A Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.1 Rekenen met wortels [1] Voorbeeld 3:
Nadere informatieParagraaf 4.1 : Gelijkvormigheid
Hoofdstuk 4 Meetkunde (V4 Wis B) Pagina 1 van 8 Paragraaf 4.1 : Gelijkvormigheid Les 1 : Gelijkvormigheid Definities sin( A) = Overstaande Schuine cos( A) = Aanliggende Schuine = O S = A S tan( A) = Overstaande
Nadere informatieTentamen numerieke analyse van continua I
Tentamen numerieke analyse van continua I Donderdag 13 november 2008; 14.00-17.00 Code: 8W030, BMT 3.1 Faculteit Biomedische Technologie Technische Universiteit Eindhoven Het eamen is een volledig open
Nadere informatieIJkingstoets september 2015: statistisch rapport
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van
Nadere informatie