NOTITIES OVER KABELS EN BOGEN

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "NOTITIES OVER KABELS EN BOGEN"

Transcriptie

1 NOTITIES OVER KBELS EN BOGEN Parametrisch modeeren met MPLE Ir J.W. Weeman Oktober 0

2 ans Weeman, Den oorn 00-0 Niets uit deze uitgave mag worden verveevoudigd en/of openbaar gemaakt worden door midde van druk, fotokopie, microfim of op weke andere wijze dan ook zonder voorafgaande schrifteijke toestemming van de uitgever de Betonvereniging. De auteursrechten van deze pubicatie berusten bij de auteur J.W. Weeman. Ir J.W. Weeman Oktober 0 ii

3 I N O U D S O P G V E INLEIDING.... OVERZICT VN DE ONDERWERPEN.... OPZET....3 VERNTWOORDING... KBELS EENVOUDIGE KBELSYSTEMEN, EVENWICTSMETODE KBELVERGELIJKING KETTINGLIJN SPNKRCT IN DE KBEL Kabes met een bekende engte Kabes met een spankracht KBELVERLENGING....6 GEVOELIGEID VN VOOR VRITIE IN DE BELSTING....7 ORIZONTLE VERPLTSINGEN IN KBELSYSTEMEN KBEL EN BUIGLIGGER LS PRLLEL DRGSYSTEEM OPDRCTEN BOGEN EENVOUDIGE BOOG EN DE DRUKLIJN Voorbeed : Drukijn van een drie-scharnierspant Voorbeed : Boogbrug met meerdere veden KLSSIEKE OPLOSSINGSMETODE VOOR BOGEN Voorbeed : paraboische boog met een geijkmatig verdeede beasting Voorbeed : sinus boog met een geijkmatig verdeede beasting Momentenverdeing in het statisch bepaade hoofdsysteem Voorbeed: boog met gedeeteijke ast DIFFERENTILVERGELIJKING VOOR BOGEN Voorbeed: boog met inkemming en scharnierende ondersteuning DE UITGEBREIDE DIFFERENTILVERGELIJKING VOOR DE BOOG * KRCTEN IN DE BOOG, VERGELIJKING MET RMWERKPROGRMMTUUR Voorbeed : EEM versus MPLE OPDRCTEN LITERTUURVERWIJZINGEN BIJLGEN YPERBOLISCE FUNCTIES TYLORREEKS ONTWIKKELING LENGTEVERNDERING VOOR DE BOOG DOOR DDITIONELE BELSTING NTWOORDEN VRGSTUKKEN KBELS BOGEN Ir J.W. Weeman Oktober 0 iii

4 Ir J.W. Weeman Oktober 0 iv

5 INLEIDING Kabeconstructies en bogen zijn speciae draagconstructies die vaen in de categorie kromijnige constructies. Deze constructietypen worden over het agemeen niet meer met de hand doorgerekend. Veea wordt, na de behandeing van ijnvormige (rechte) constructietypen en de daarbij behorende kassieke opossingstechnieken, de eindigeeementenmethode [4,5] geïntroduceerd waarmee vervogens constructies kunnen worden geanayseerd m.b.t. de krachtsverdeing en het vervormingsgedrag. andberekeningsmethoden voor het bepaen van de krachtsverdeing en vervormingsgedrag van kabe- en boogconstructies bestaan echter we degeijk en met deze notitie za worden gedemonstreerd dat deze ook heemaa niet zo gecompiceerd hoeven te zijn. Met de komst van symboische agebra computerpakketten zoas MPLE zijn juist de kassieke methoden eenvoudig toepasbaar. Met MPLE kunnen in het ontwerpstadium sne parametrische modeen worden opgested waarmee ontwerpvarianten kunnen worden onderzocht voordat met de eindige-eementenmethode grootschaige berekeningen worden uitgevoerd. De toepassing van kabeconstructies en boogvormige constructies komen heaas niet zo hee vee meer voor, rationaisatie van de uitvoering eidt veea tot (recht-)ijnige constructietypen. Toch ontdekken steeds meer vormgevers de spanning van kromijnige vormen kortom kabes, bogen, dubbe gekromde schaen en bobs worden hip as door smart engineering de kosten aag gehouden kunnen worden.. Overzicht van de onderwerpen Deze notitie start met de kabe as draagsysteem waarna vervogens dit principe verder wordt toegepast op de boogvorm. Eenvoudig is voor te steen dat een boog kan worden verkregen door de kabe te spiegeen, een aanpak die veevudig is gebruikt door ntoni Gaudi (85-96). Uiteraard kunnen kabes aeen trekkrachten opnemen en geen buiging, de boog kan zowe trek as drukkrachten opnemen aangezien deze naast axiae stijfheid ook buigstijfheid heeft. In het geva van grotere drukkrachten kan een boog ook knikverschijnseen vertonen, een fenomeen dat natuurijk bij kabes niet voorkomt. De focus igt op de hoofddraagwerking en niet op de detaiering. Uiteraard is de detaiering bij bogen en kabes ook van bijzonder groot beang aangezien beide constructietypen gevoeig zijn voor de wijze waarop bijvoorbeed aansuitingen zijn uitgevoerd. De detaiering is onderwerp van de beton- en staaessen.. Opzet Dit eermidde gaat uit van een bacheor (kennis)niveau van de Toegepaste Mechanica. ier voor wordt verwezen naar de boeken van artsuijker [] en Weeman [,]. Vee van de voorbeeden zuen worden uitgewerkt met MPLE..3 Verantwoording Bij het tot stand komen van deze notitie is dankbaar gebruik gemaakt van het werk van andere auteurs [5,6]. et doe van deze notitie is om een samenhangende introductie te geven over het onderwerp. Daarnaast hoop ik met deze opzet de gevestigde iteratuur toegankeijk te maken voor de cursist. Ir J.W. Weeman Oktober 0

6 Ir J.W. Weeman Oktober 0

7 KBELS x F q z w Kabes vormen een (krom-) ijnig draagsysteem waarbij de draagwerking gebaseerd is op outer en aeen trekkrachten in het draagsysteem. De kracht in de kabe heeft atijd de richting van de kabe aangezien deze geen buigstijfheid heeft. Eventuee axiae vervorming (verenging) kan meegenomen worden. De stand die de kabe inneemt is afhankeijk van de beasting. In dit hoofdstuk beperken we ons tot kabes die aeen beast worden in de verticae richting. De beasting kan een puntast of een verdeede beasting zijn.. Eenvoudige kabesystemen, evenwichtsmethode Eenvoudige kabesystemen waarbij direct m.b.v. het evenwicht de stand van de kabe kan worden bepaad zijn uitgebreid beschreven in de basisboeken. s voorbeed wordt het onderstaande voorbeed gepresenteerd om de evenwichtsmethode die hierbij wordt toegepast nog eens te demonstreren. Daarbij wordt uitgegaan van een rekoze kabe die outer en aeen wordt beast met een verticae beasting. De stand van de kabe wordt aangeduid met de afstand z k. Dit is de verticae afstand van de suitijn B naar de kabe. v z k B v B h F a b Figuur. : Kabe met puntast. De evenwichtsaanpak gaat ervan uit dat in ieder punt van de kabe het moment bekend is, dit is nameijk nu. Eenvoudig kan worden ingezien dat de horizontae opegreacties inks en rechts, onbekenden zijn die in ieder geva, bij het ontbreken van een horizontae beasting, even groot en tegengested aan ekaar moeten zijn. Deze opegreactie geven we aan met. s vervogens op een wiekeurige positie in het kabesysteem een verticae snede wordt aangebracht, za moeten geden dat de horizontae component van de kabekracht in deze snede geijk moet zijn aan. Dat gedt voor de gehee kabe waarmee een soort constante wordt, deze wordt dan ook we een kabeconstante genoemd. Ir J.W. Weeman Oktober 0 3

8 Voor het opossen van de onbekenden in kan gebruik worden gemaakt van twee evenwichtsvergeijkingen. De eerste is het momentenevenwicht van de hee constructie om punt B en de tweede vergeijking is het momentenevenwicht van een dee van de constructie om een wiekeurig punt van de kabe. Een handig punt is hiervoor een snede juist inks van het aangrijpingspunt van de puntast zoas in de onderstaande figuur is aangegeven. v h a a + b z k C a Figuur. : Vrijgemaakt dee van de kabe. De twee evenwichtsvergeijkingen die kunnen worden opgested zijn ( ) B ( ) ( a + b) h F b = 0 T gehee = 0 v ha v a + zk = 0 T inkerdee = 0 C a + b Eiminatie van de verticae opegreactie in deze twee vergeijkingen resuteert in: z Fab b = k a + () s de geometrie van de kabe bekend is, doordat bijvoorbeed de totae engte van de kabe bekend is, dan kan hiermee de onbekende worden bepaad. Omgekeerd kan met een bekende de stand van de kabe worden bepaad. Merk op : In feite kan deze aanpak op iedere paats van de kabe worden uitgevoerd. De stand die de kabe inneemt onder de suitijn B wordt dan een functie die afhankeijk is van x en aangeduid met zk ( x ). In de uitdrukking van vergeijking () komt het rechterid hopeijk zeer bekend voor. Ir J.W. Weeman Oktober 0 4

9 s dezefde beasting wordt aangebracht op een horizontae igger ontstaat de situatie van figuur.3. De momentenijn voor deze situatie is in de figuur getekend. a F b B v = Fb B v a + b M-ijn M C M C = Fab a + b Figuur.3 : Ligger met identiek beastingschema en momentenijn. Met de eementaire kennis van de mechanica kan het moment onder de puntast worden bepaad op basis van de opegreacties: M C = Fab a + b De vorm van de momentenijn van het iggersysteem is identiek aan de stand die de kabe inneemt onder de suitijn B uit figuur.. De afstand z k is daarbij recht evenredig met de grootte van het moment M c. De horizontae component van de kabekracht is daarbij een schaingsfactor: z k Fab a b M = + = C Ook voor een kabe beast onder een geijkmatig verdeede beasting kan worden onderzocht of de gevonden reatie gedig is. In het onderstaande probeem wordt een kabe beast met een geijkmatig verdeede beasting per eenheid van horizontaa gemeten engte. q B x v zk ( x ) B v z Figuur.4 : Kabe met geijkmatig verdeede beasting. Geijkmatig verdeede beasting per eenheid kabeengte wordt in een vogende paragraaf behanded. Ir J.W. Weeman Oktober 0 5

10 Vanwege symmetrie is in te zien dat de verticae opegreacties even groot zuen zijn en geijk zijn aan de heft van de totae beasting. q snede q zk V ( x ) x-as x z-as Figuur.5 : Vrijgemaakt kabedee. Door een verticae snede aan te brengen op een afstand x vanaf en vervogens het momentenevenwicht om de snede te nemen, ontstaat de vogende evenwichtseis: q x qx x zk ( x) = 0 zk ( x) = qx( x) De stand van de kabe voor iedere waarde van x is hiermee te bepaen indien de horizontae component van de kracht in de kabe bekend is. et rechterid in vergeijking () is juist geijk aan de paraboische momentenijn van een igger op twee steunpunten, beast met een geijkmatig verdeede beasting (ga dat zef maar eens na). Ook nu weer gedt: qx( x) M ( x) zk ( x) = = De stand van de kabe onder de suitijn -B is op een schaingsconstante na, geijk aan de momentenijn van de igger op twee steunpunten met een identieke beasting. averwege de overspanning za de hierboven geschetste kabe een doorhang hebben van: () z ( ) = k q 8 Deze aanpak gedt uiteraard ook voor een kabe met steunpunten op ongeijke hoogten en beast met een geijkmatig verdeede beasting. De waarde van vogt meesta uit een gegeven kabeengte of een bekende spankracht op het kabesysteem. ierop za ater verder worden ingegaan. Deze evenwichtsaanpak staat ook we bekend as de ingenieursmethode voor kabes en is de tegenhanger van een meer wiskundige aanpak op basis van de differentiaavergeijking voor de kabe. Ir J.W. Weeman Oktober 0 6

11 . Kabevergeijking Een meer formee afeiding voor de stand van de kabe kan worden gevonden door naar een kein dee van een kabe te kijken. In de onderstaande figuur is een kabemootje getekend waar bij in de inkersnede en rechtersnede de krachten op de kabe zijn aangegeven met en V. Uiteraard moet de samensteing van deze componenten de kabekracht T opeveren die de richting heeft van de kabe t.p.v. de snede. In de rechtersnede is de verticae component van de kracht in de kabe een beetje gewijzigd. De horizontae component, is bij afwezigheid van horizontae beasting, geijk. De paatsfunctie van de kabe is aangegeven met z. T snede V q snede α z x-as V + V x T + T z-as Figuur.6 : Kabemootje Ter paatse van de inkersnede gedt dat de heing van de kabe geijk is aan: dz tanα = (3a) angezien de horizontae en verticae component van de kracht in de kabe een resutante hebben in de richting van de kabe moet ook geden: en V tanα = (3b) V T = + V = + = + tan α zie noot Uit het verticae evenwicht vogt: V + q x + V + V = 0 V x = q (3c) Merk op dat de kabekracht T maximaa is daar waar de kabe de grootste heing heeft. Ir J.W. Weeman Oktober 0 7

12 In de imiet waarbij de engte van het kabemootje nadert tot nu gaat (3a) over in: dv q = Door (3a) te substitueren in (3b) ontstaat: (3d) dz dv d z V = tanα = = (3e) In evenwichtsvergeijking (3d) wordt de afgeeide van V gebruikt. Echter met (3e) hebben we een reatie tussen de veranderijke V en de afgeeide van de paatsfunctie en nog niet een reatie tussen de beasting q en de paatsfunctie z van de kabe. In het gehee kabeprobeem is een constante. Door de aatste vergeijking eenmaa te differentiëren naar x en dit resutaat te substitueren in (3d) ontstaat uiteindeijk: d z d q x = (4) Deze aatste vergeijking staat bekend as de differentiaavergeijking voor de kabe. De constante horizontae component van de kracht in de kabe geeft direct de beperking weer van deze vergeijking. Deze DV is aeen gedig voor kabes beast met outer en aeen verticae beastingen. Met deze DV is er een reatie geegd tussen de stand van de kabe z en de beasting op de kabe. In het onderstaande schema is de aanpak nog eens systematisch samengevat: uitwendig inwendig uitwendig w α V q (a) (b) (c) Differentiaavergeijking (DV) De differentiaavergeijkingen voor ae basisdraagsystemen in de mechanica kunnen met dit schema worden afgeeid. De reaties (a), (b) en (c) hebben ook een eigen naam: - kinematische reatie, egt een verband tussen de verpaatsingen (uitwendig) en de vervormingen (inwendig) - constitutieve reatie, egt een verband tussen de (inwendige) vervorming en de (inwendige) spanning of gegeneraiseerde spanning (krachtsgrootheid) - evenwichtsreatie, egt een verband tussen de (inwendige) spanning of gegeneraiseerde spanning en de (uitwendige) beasting. De aangegeven vogorde waarin de vergeijkingen worden gesubstitueerd om de DV te verkrijgen staat bekend as de verpaatsingenmethode. Immers de verpaatsing is de onbekende in de DV. Voor het opossen van de differentiaavergeijking gedt standaard: gemene opossing DE opossing = homogene opossing + particuiere opossing = verwerken van de randvoorwaarden in de agemene opossing Ir J.W. Weeman Oktober 0 8

13 Met een eenvoudige toepassing kan tevens een reatie worden geegd met het eerder gevonden resutaat m.b.v. de ingenieursmethode. De kabe beast met een geijkmatig verdeede beasting per eenheid van horizontaa gemeten engte is hieronder nog eens weergegeven. q B x v zk ( x ) B v z Figuur.7 : Kabemootje Toepassen van de differentiaavergeijking betekent dat we voor deze e orde DV twee randvoorwaarden moeten opsteen. Door de randvoorwaarden in de agemene opossing te verwerken kan de opossing van de DV worden bepaad. In het bovenstaande voorbeed is sne in te zien dat de paatsfunctie van de kabe bekend is voor x = 0 en x =. De waarde z is daar immers nu. De agemene opossing van de DV kan eenvoudig worden gevonden door de DV twee maa te integreren (aternatief voor de nette aanpak m.b.v. de homogene en particuiere opossing) : = + + z qx Cx C De beide integratieconstanten vogen uit het verwerken van de randvoorwaarden: x = 0; z = 0 : 0 = C C = 0 x = ; z = 0 : 0 = q + C C = q Met deze opossing voor de constanten wordt de opossing voor dit specifieke probeem: z = qx( x) () Deze uitkomst is identiek aan uitdrukking () die m.b.v. de ingenieursmethode werd gevonden. De kabevergeijking is aeen gedig op een ved waar de in de afeiding aangenomen beasting werkt. Daar waar de beasting verandert of waar puntasten worden aangebracht moet een vedrand worden aangebracht. Kabes met verschiende beastingen zuen moeten worden opgedeed in veden en per ved moet een kabevergeijking (DV) worden opgeost. Uiteraard moet aan de randen van het probeem worden vodaan aan de randvoorwaarden en in de overgang van ved naar ved moet worden vodaan aan overgangsvoorwaarden. Met een voorbeed za deze aanpak worden gedemonstreerd. Ir J.W. Weeman Oktober 0 9

14 Voorbeed: Kabevergeijking voor meerdere veden Een kabe met ophangpunten op ongeijke hoogte, wordt beast met een puntast en een geijkmatig verdeede beasting zoas aangegeven in de onderstaande figuur. Gegeven is dat de kabeconstante bekend is. q F x z zk ( x ) a b -a-b ved ved ved 3 B h Gegeven: q F a b h = 5 kn/m = 5 kn =,0 m =,0 m = 6,0 m =,0 m = 30 kn Figuur.8 : Kabevergeijking voor meerdere veden Gevraagd wordt om de stand van de kabe te bepaen in het aangegeven assenstese. We kiezen hier nu niet voor de ingenieursaanpak maar voor de formee wiskundige route op basis van de DV. Bij het opossen za de kabe in drie veden moeten worden opgedeed aangezien de beasting niet constant is. Voor ieder ved wordt een paatsfunctie geïntroduceerd met de daarbij behorende differentiaavergeijking: ved d z = q z = qx + C + Cx ved d z = 0 z = C3 + C4x ved 3 d z3 = 0 z 3 = C5 + C6x De paatsfunctie z(x) bestaat uit drie segmenten met totaa zes onbekende integratieconstanten. an de randen van de kabe geden de randvoorwaarden. angezien de differentiaavergeijking van de e orde is, moeten er ook twee randvoorwaarden worden gedefinieerd: x = 0; z = 0 x = ; z = h 3 Deze randvoorwaarde zeggen iets over de verpaatsing en worden daarom ook we kinematische randvoorwaarden genoemd. Dit in tegensteing tot voorwaarden die iets zeggen Ir J.W. Weeman Oktober 0 0

15 over krachten. Deze worden dynamische randvoorwaarden genoemd. Op de overgang van veden geden om dezefde reden ook twee overgangsvoorwaarden. Voor de overgang van ved naar ved gedt: x = a; z = z dz dz = is indentiek aan : V = V Dat de heing in de overgang van ved naar ved geijk is vogt eigenijk uit een evenwichtseis voor de verticae component van de krachten in de snede op de overgang. Feiteijk is hier dus sprake van een dynamische overgangsvoorwaarde. Voor de overgang van ved naar ved 3 gedt naast de eis dat de kabe inks en rechts aan moet suiten tevens de eis dat de verticae component van de kabekracht inks en recht van de puntast F evenwicht moet maken met deze puntast (maak zef een schetsje!): x = a + b; z = z 3 dz dz3 V + F + V3 = 0 met: V = ; V3 = In deze overgang zien we dus ook zowe een kinematische- as een dynamische overgangsvoorwaarde verschijnen. V V iermee zijn zes vergeijkingen geformueerd waarmee de zes onbekende integratieconstanten kunnen worden bepaad. Met deze constanten kan uiteindeijk de stand van de kabe worden bepaad. andwerk is hier uit den boze, met MPLE kan een dergeijk probeem zeer eenvoudig worden beschreven en opgeost. De compete MPLE invoer is daarom hieronder opgenomen. > restart; > z:=(-/)*((/)*q*x^+c+c*x); > z:=(-/)*(c3+c4*x); > z3:=(-/)*(c5+c6*x); > V:=*diff(z,x); V:=*diff(z,x); V3:=*diff(z3,x); > x:=0; eq:=z=0; > x:=a; eq:=z=z; eq3:=v=v; > x:=a+b; eq4:=z=z3; eq5:=-v+f+v3=0; > x:=; eq6:=z3=h; > so:=sove({eq,eq,eq3,eq4,eq5,eq6},{c,c,c3,c4,c5,c6}); assign(so); > :=30; a:=; b:=; :=6; h:=; q:=5; F:=5; > x:=a; print(z); x:=a+b; print(z); > x:='x'; > with (pots): > :=pot(-z,x=0..a,tite="paatsfunctie van de kabe"): B:=pot(-z,x=a..a+b): C:=pot(-z3,x=a+b..): > dispay({,b,c}); Figuur.9 : MPLE invoer De zes vergeijkingen worden aangeduid met eq t/m eq6. De verticae component van de kracht in ieder kabesegment is aangeduid met V t/m V3. Ir J.W. Weeman Oktober 0

16 Op de vedranden wordt voor de paatsfunctie van de kabe gevonden: x =,0 m z = m 9 9 x = 4,0 m z = m 9 De uiteindeijke paatsfunctie kan met MPLE worden gepot. Figuur.0 : Paatsfunctie van de kabe Noot: Om de kabe omaag te aten verpaatsen in de figuur moet in MPLE een negatieve z-ordinaat worden ingevoerd. Opmerking: et opdeen in veden is noodzakeijk i.v.m. het niet continu zijn van de beasting. In MPLE kan echter een puntast worden ingevoerd as een dirac functie (pus). ermee kan a.h.w. een continue beasting worden verkregen en kan de kabe met één ved worden opgeost. Bij het onderwerp bogen za deze aanpak worden toegeicht. oewe deze formee methode uitstekend werkt met behup van MPLE, is het toch we behoorijk zwaar geschut voor een tameijk eenvoudig probeem. Ga zef na dat dit probeem ook hee eenvoudig op te ossen is met de ingenieursmethode door eerst de momentijn te bepaen van een horizontae igger op twee steunpunten met dezefde beasting. De paatsfunctie van de kabe onder de suitijn tussen de steunpunten is dan vervogens op een schaingsconstante na, geijk aan deze momentenijn. Ir J.W. Weeman Oktober 0

17 .3 Kettingijn In de aanpak tot nu toe is voor de geijkmatig verdeede beasting aangenomen dat deze werkt per eenheid van horizontaa gemeten engte. Voor een dakconstructie waarbij een verhoudingsgewijs zwaar dak hangt aan een kabe is dit een redeijke benadering. q B dak Werkeijke beasting van het dak wordt geschematiseerd as een geijkmatig verdeede beasting per eenheid van horizontaa gemeten engte Werkeijke beasting van aeen de zware kabe wordt geschematiseerd as een geijkmatig verdeede beasting per eenheid van gemeten engte angs de kabe Figuur. : Typen verdeede beasting Voor echter aeen het gewicht van een zware kabe is dit mode niet correct en za de beasting moeten worden bepaad per eenheid van engte gemeten angs de kabe. Op het oog ijkt dit geen grote verandering. De consequenties zuen netjes worden bekeken door opnieuw door de afeiding te open van de kabevergeijking. V s α q V + V z x-as x x z-as s z Figuur. : angepast mode met verdeede beasting per eenheid van engte angs de kabe Ir J.W. Weeman Oktober 0 3

18 een de vergeijking voor het verticae evenwicht verandert. V s V + q s + V + V = 0 = q x x De engte van de kabe, angs de boog gemeten, voor een kein mootje van de kabe kan worden bepaad met behup van Pythagoras, zie figuur.: z s = x + z s = x + x Door deze uitdrukking te verwerken in de evenwichtsvergeijking ontstaat: z x + V x V z = q = q + x x x x In de imiet overgang waarbij de engte van het mootje naar nu nadert, gaat deze uitdrukking over in: dv dz = q + Door (3a) te substitueren in (3b) en dat resutaat net as eerder te substitueren in de bovenstaande evenwichtsvergeijking ontstaat: d z dz = q + (5) Deze differentiaavergeijking heeft een rechterid waarin ook termen zitten die afhankeijk zijn van de paatsfunctie z. We kunnen nu niet sne een agemene opossing vinden door inks en rechts direct te integreren. De opossing van deze DV kan gevonden worden door eerst een substitutie uit te voeren: dz = sinhς (stap ) iermee ontstaat: d( sinh ς ) = q + sinh ς Deze uitdrukking aat zich verder vereenvoudigen tot: dς d cosh cosh d q ς ς = ς = x q Van deze eerste orde DV kunnen we door integreren de opossing bepaen: qx ς = + C (stap ) Ir J.W. Weeman Oktober 0 4

19 Dit resutaat vuen we vervogens in, in de formue van stap. Dit evert: dz qx = sinhς = sinh + C Na nog een integratie-stap ontstaat de agemene opossing van de DV: qx z = cosh + C + C q (stap 3) (6) Deze cosinus hyperboicus staat ook we bekend as de kettingijn. De opossing van de integratieconstanten veroopt as eerder beschreven. Door de randvoorwaarden van de kabe in te vuen in de agemene opossing kunnen de integratieconstanten worden bepaad en wordt de opossing verkregen van de paatsfunctie van de kabe uitgedrukt in q en. De vorm wijkt niet zo hee vee af van de paraboo. s we een Tayor-benadering ontwikkeen rond x = 0 dan vinden we de eerder gevonden paraboische opossing. Paraboisch resutaat : z = D + D x + D x 3 et verschi tussen de kettingijn en de paraboische opossing kan dimensieoos zichtbaar worden gemaakt door de kracht uit te drukken in de beasting q : β = q De paatsfunctie z = f van de kabe haverwege de overspanning kan ook dimensieoos worden gemaakt met: y = f In de figuur rechts is de doorhang y gepot tegen de kracht β in de kabe. Voor hoge kabekrachten, en daarmee strak gespannen kabes, is de paraboische opossing geijk aan de kettingijn en is de eenvoudige DV vogens vergeijking (4) van pagina 8 prima toepasbaar. Figuur.3 : Vergeijk paraboo met kettingijn Ir J.W. Weeman Oktober 0 5

20 .4 Spankracht in de kabe In de uiteg tot nu toe wordt uitgegaan van een bekende (constante) horizontae component van de kabekracht T. Deze kracht kan angs twee routes worden bepaad: Bekende engte van de kabe Bekende spankracht op het kabesysteem an de hand van voorbeeden worden beide routes toegeicht..4. Kabes met een bekende engte In deze paragraaf wordt de eerste route onderzocht aan de hand van twee voorbeeden. Voorbeed : Kabe met puntasten s een kabe van een gegeven engte wordt beast, za de stand die de kabe inneemt geijkvormig zijn aan de momentenijn van het iggersysteem onder een identieke beasting. s voorbeed wordt de kabeconstructie van de onderstaande figuur nader bekeken. B suitijn B z k z k 0 kn 60 kn 3,0 m 4,0 m,0 m 6,0 m C 3,0 m 3,0 m Figuur.4 : Kabe met gegeven kabeengte Van het kabedee B is gegeven dat de totae engte geijk is aan,6344 m. Met deze kabeengte wordt de dag van 9,0 m overspannen. De kabe heeft dus een finke overengte. oe de kabe op dit dee er precies bij staat is niet bekend, ter paatse van de puntasten zuen er we knikken optreden maar verder is de stand van de kabe ter paatse van de beide puntasten onbekend. Uiteraard zijn ae segmenten we rechte ijnen aangezien er geen verdeede beasting aangrijpt op de kabe. Gevraagd wordt om met dit gegeven de horizontae component van de kabekracht te bepaen. Er wordt in dit voorbeed gebruik gemaakt van de ingenieursaanpak: De stand die de kabe inneemt onder de suitijn B is op een constante na geijk aan de momentenijn van de igger op twee steunpunten met een identieke beasting. Ir J.W. Weeman Oktober 0 6

21 Toepassen van dit concept op dit probeem evert voor de momentenijn: 0 kn 60 kn 3,0 m 4,0 m,0 m 0 kn 50 kn M-ijn. z k. z k 60 knm Figuur.5: Liggersysteem met identieke beasting 00 knm De stand die de kabe inneemt onder de suitijn B is geijkvormig aan de hierboven weergegeven momentenijn. ieruit is op te maken dat gedt: z = z ; 00 = z ; = z = z k k k k k zk 00 6 Uit de geometrie van figuur.4 is vervogens op te maken dat de totae kabeengte geijk is aan de som van de drie segmenten: 7 k k k k L = 3 + ( z ) z ( z ) + + z Deze engte moet geijk zijn aan de gegeven engte van,6344 m. ieruit vogt: z =,0 m; z = 3 m; k k 3 Vervogens kan de horizontae component van de kabekracht worden bepaad met: 60 zk = 60 = = 30 kn,0 Met dit resutaat kan ten sotte de exacte stand van de kabe onder de gegeven beasting worden getekend. Ga zef na dat de kabe horizontaa oopt tussen de beide puntasten en merk op dat de opegreacties van het kabesysteem niet geijk zijn aan die van de igger! Ir J.W. Weeman Oktober 0 7

22 Voorbeed : Een kabe met een geijkmatig verdeede beasting De onderstaande kabe met een gegeven engte L wordt beast met een geijkmatig verdeede beasting. De kabe heeft haverwege een doorhang van f, ook we de pij van de paraboo genoemd. Bepaa de horizontae component van de kracht in de kabe. q B f L Figuur.6: Kabe met verdeede beasting Uit de eerdere anayse is afgeeid dat het kabeveroop paraboisch is en dat hiervoor de vogende uitdrukking is afgeeid: qx( x) z ( ) 4 fx( x) k x = of: zk ( x) = De engte van de totae kabe is gegeven. Om de engte van de kabe angs een boogsegment te bepaen is eerder gebruik gemaakt van: dz ds = + Voor de totae engte angs de boog gedt dan: x= x= dz L = ds = + x= 0 x= 0 Uitwerken van deze expressie eidt tot noga een pittige integraa. Voorgested wordt daarom om de boogengte te benaderen door een Tayor-benadering waardoor we verost raken van de diaboische worte onder het integraateken. Dit evert: dz dz q L = ds + = + = + 4 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= x= x= x= 3 Voor een gegeven beasting en overspanning kan de onbekende worden bepaad. s de overengte van de kabe wordt voorgested met dan gedt: q 4 3 = = L met: Ir J.W. Weeman Oktober 0 8

23 Vaak is het ook handig om sne de reatie te zien tussen de overengte en f, de pij van de paraboo. s de f kein is ten opzichte van de overspanning, spreken we van strak gespannen kabes. Uit de expressie voor de engte angs de kabe vinden we: 3 q = L = (7) 4 averwege de kabe moet tevens geden: f = q 8 ieruit vogt : 8 f 3 = of: f = 8 (8) 3 Dit zijn veea handige formues om sne de engte van de kabe te vertaen naar een maximae doorhang voor paraboische kabes..4. Kabes met een spankracht Met een voorbeed za worden uiteengezet hoe met een spankracht op een kabesysteem de horizontae component van de kabekracht kan worden bepaad. et voorbeed is outer iustratief voor een van de vee mogeijkheden die de ezer verder zef kan bedenken en kan uitwerken. In de onderstaande figuur is een kabe weergegeven die op spanning wordt gehouden met behup van een gewicht F aan de kabe die over een katro wordt geeid. q f L B. katro F opegreactie van de as van het katro componenten van de kabekracht F V krachtenveehoek voor het katro F krachten op het katro F F F Figuur.7: Kabe met een spankracht Ir J.W. Weeman Oktober 0 9

24 De kracht uit het gewicht za via het katro eiden tot een kracht in de kabe die even groot is. Deze kabekracht kan worden ontbonden in een verticae component V en een horizontae component. Deze aatste wien we bepaen. opegreactie van de as van het q B katro V T V f L V F. katro F Figuur.8: Vrijgemaakt kabeichaam met ae daarop werkende krachten De verticae component V moet op basis van verticaa evenwicht geijk zijn aan: V = q De kabekracht T is bekend en geijk aan de kracht F t.g.v. het gewicht. ieruit vogt voor : = F q (9) Voor een totae beasting q die kein is t.o.v. F aat uitkomst (9) zien dat min of meer geijk is aan F, bij toenemende beasting echter za afnemen. Met de uitdrukking voor kan de zakking haverwege worden bepaad met: f = q 8 q f = 8 F q Deze aatste expressie is aeen nog afhankeijk van de beasting q, de kracht F uit het gewicht en de overspanning. Opvaend aan deze expressie is dat de maximae doorhang f niet ineair afhankeijk is van de totae beasting q. Dat houdt in dat in geva van kabes niet zonder meer het superpositiebeginse kan worden toegepast. Immers een twee maa zo grote beasting eidt niet tot een twee maa zo grote doorhang. Op dit aspect za verderop worden ingegaan. Ir J.W. Weeman Oktober 0 0

25 .5 Kabeverenging Een kabe za in het agemeen rekken t.g.v. de optredende kabekracht T. De invoed hiervan is tot nu toe buiten beschouwing geaten. De verenging van een ineair eastisch op trek beast eement is eenvoudig te bepaen met behup van de wet van ooke. s de axiae stijfheid E is en de engte van het eement, dan za de verenging t.g.v. een normaakracht N geijk zijn aan: N = E De kabe heeft een trekkracht T in de kabe die op iedere paats de richting heeft die geijk is aan de raakijn aan de kabe. De trekkracht T is niet constant maar is de samensteing van de horizontae (constante) component en de verticae component V: dz dz T = + V = + = + Voor een infinitesimaa kabemootje ds kan de verenging δ worden bepaad met: T α Tds δ = E De engte angs de boog van de kabe kan, zoas we eerder hebben gezien, worden uitgedrukt met: dz ds = + ds Figuur.9: Verenging per mootje T ds dz dz De totae verenging van de kabe is de som van de verenging van ieder mootje: s= L x= x= Tds dz dz L = = + = + E E E E s= 0 x= 0 x= 0 (0) Voor een kabe onder een geijkmatig verdeede beasting (paraboisch veroop) evert dit: q 6 L = + = + f E E E 3 3 s de kabekracht op basis van een bekende engte wordt bepaad kan met deze uitkomst de uitdrukking voor de overengte vogens (7) worden verfijnd tot: = L + L (7b) In het ontwerpstadium is het redeijk om aeen de eerste term van (0) te gebruiken om de orde van grootte te bepaen van de verenging van de kabe. Daarom kan vaak worden vostaan met: L = E (voor paraboisch veroop met f 0, bijft de fout onder de 5 %) Ir J.W. Weeman Oktober 0

26 .6 Gevoeigheid van voor variatie in de beasting et feit dat een kabesysteem in feite een niet ineair systeem is maakt het noodzakeijk om iets verder te kijken naar de zgn. kabeconstante. s nameijk afhankeijk is van de beasting zoas in het voorgaande voorbeed duideijk werd, dan kunnen we niet meer spreken over een kabeconstante en kunnen we ook niet het superpositiebeginse toepassen zoas we dat bij andere constructies veea doen. Om de gevoeigheid van te onderzoeken za worden gekeken naar de opossing van een kabe t.g.v. een niet constante q-ast. In gedachte aten we op de inker heft van de kabe een q-ast werken die een beetje groter is geworden en op de rechter heft een q-ast die evenvee keiner is geworden. q = q + p q q = q p B L L Figuur.0 : Kabe met niet-symmetrische beasting Van de hierboven weergegeven kabe wordt onderzocht in hoeverre de horizontae component van de kabekracht afwijkt van die van een geijkmatig verdeede beasting q. De opossing van dit probeem aat zich gemakkeijk uitschrijven met behup van de kabevergeijking. We gaan er hierbij vanuit dat de kabeconstante is van de kabe met de geijkmatig verdeede beasting q en dat + de horizontae component van de kabekracht is van het nietsymmetrische beastingsgeva. Vanwege deze beasting spitsen we de constructie op in twee veden: ved d z ( + ) = q ( + ) z = q x + C + Cx ved d z ( + ) = q ( + ) z = qx + C3 + C4x De igging van de kabe is bekend as de vier integratieconstanten zijn bepaad. Met twee rand- en twee overgangsvooraarden zijn deze vier constanten te bepaen: x = 0 : z = 0; x = : z = z ; z ' = z ' x = ; z = 0; Voor de engte L van de kabe maken we gebruik van de uitkomst voor de kabe met een geijkmatig verdeede beasting q over de gehee dag: 3 q L = + 4 Ir J.W. Weeman Oktober 0

27 s we vervogens de opossing bepaen van de paatsfunctie van de kabe ten gevoge van de gewijzigde beasting za de totae engte van de kabe in dit geva natuurijk niet verandert zijn. Wiskundig houdt dit in: 3 x= x= q dz d z 4 0 x= x= L = + = Noot: Er wordt hierbij gebruik gemaakt van de vereenvoudigde Tayor-benadering voor de ontwikkede engte angs de kromme. Uitwerken van deze vergeijking geeft de opossing voor de toename van de horizontae component van de kabekracht: p = + () 4q Dit resutaat kan sne met MPLE worden verkregen, de code is hieronder weergegeven. > restart; > q:=q+p; q:=q-p; > z:=(-/(+d))*((/)*q*x^+c+c*x): z:=(-/(+d))*((/)*q*x^+c3+c4*x): > V:=(+d)*diff(z,x): V:=(+d)*diff(z,x): > x:=0: eq:=z=0: > x:=/: eq:=z=z: eq3:=v=v: > x:=; eq4:=z=0: > so:=sove({eq,eq,eq3,eq4},{c,c,c3,c4}); assign(so); x:='x': > eq5:=int(+(/)*(diff(z,x))^,x=0../)+ int(+(/)*(diff(z,x))^,x=/..)=+(q^*^3)/(4*^); > so:=sove(eq5,d); d:=so[]; Figuur. : MPLE invoer Met resutaat () kan ingezien worden dat indien de beasting met ca 5% fuctueert: q = q + p = q + q; q = q p = q q 4 4 De horizontae component van de kabekracht toeneemt met: = Dat betekent dat 5% beastingvariatie eidt tot een variatie van 0,78% in de horizontae component van de kabekracht. De kabeconstante is dus behoorijk constant. Een soortgeijke beschouwing kan ook worden uitgevoerd op de paatsfunctie van de kabe. Bij een geijkmatige beasting za op een kwart en driekwart van de overspanning de kabe een doorhang hebben van driekwart van de maximae doorhang: q 3q x = 4 ; z = 4 f = 4 z = 3 De opossing met de niet-symmetrische beasting vogens de MPLE invoer van figuur., za op een kwart van de overspanning bij een variatie van 5% in de beasting, een toename van de doorhang van de kabe geven van 7,5%. Deze gevoeigheid in stijfheid is niet te verwaarozen. Ir J.W. Weeman Oktober 0 3

28 .7 orizontae verpaatsingen in kabesystemen In de vorige paragraaf is beschreven hoe de gevoeigheid van een kabesysteem kan worden onderzocht bij variaties in de beasting. In figuur.0 is te zien dat het kabesysteem zich zet naar een nieuwe beasting. Te zien is dat in het inkerdee de kromming wat toeneemt en dat het rechterdee wat rechter wordt. et midden van de kabe za daardoor iets naar inks verpaatsen met een horizontae verpaatsing h zoas aangegeven. q = q + p q q = q p h L L B Figuur.: Kabe met niet-symmetrische beasting In de toegepaste modevorming met behup van de DV is echter aeen de verticae verpaatsing een vrijheidsgraad die kan worden opgeost. We hebben echter gezien in de vorige paragraaf dat de horizontae component van de kabekracht niet of nauweijks varieert bij variatie van de beasting. Door nu gebruik te maken van deze eigenschap kan het probeem van de variatie in de beasting ook anders worden beschreven. Ste dat de paatsfunctie z van de kabe hoort bij een geijkmatig verdeede beasting q en dat bovenop deze paatsfunctie een additionee verpaatsing w t.g.v. een variatie p in de beasting wordt aangebracht. Er gedt dan: ( + ) d z w d z ( + ) = q + p met: = q Door de verandering van te verwaarozen kan de verpaatsing w worden bepaad met: ( + ) d z w d z = q + p met: = q dus : d w = p De superpositie van de verpaatsing w op de paatsfunctie z is in de vogende figuur weergegeven. Kabedee B za door een additionee beasting p een verpaatsing ondergaan naar B. De oorspronkeijke punten van de kabe zuen daarbij ook een horizontae verpaatsing u ondergaan. Ir J.W. Weeman Oktober 0 4

29 w ds α B dz x u z α ds Figuur.3: Kabe met horizontae verpaatsing u t.g.v. additionee verpaatsing w De horizontae verpaatsing u die in deze situatie optreedt ontstaat outer en aeen t.g.v. de additionee verpaatsing w. Uit de bovenstaande figuur is af te ezen dat voor de horizontae verpaatsing du t.g.v. de additionee verpaatsing dw gedt: ieruit vogt: dz du = tanα dw met: tanα = d d d d du = z dw u = z w Door integratie van deze aatste uitdrukking is de horizontae verpaatsing te bepaen: dz dw u = x + C d () Meesta za bij een kabe in de beide ophangpunten geen horizontae verpaatsing mogeijk zijn waarmee moet geden: x= dz dw u( ) u(0) = = 0 (3) x= 0 B du α Dit resutaat kan ook verkregen worden op basis van de ontwikkede engte angs de kabe 3. Dat betekent dat met (3) twee viegen in een kap worden gesagen, ten eerste is deze uitdrukking hetzefde as de eis dat de engte van de kabe niet verandert en ten tweede evert () het gereedschap om de horizontae verpaatsing, t.o.v. de paatsfunctie, van punten op de kabe t.g.v. een additionee beasting p te bepaen. De hier afgeeide eis za ook in het vogende hoofdstuk over bogen een ro speen. dw 3 Bewijs hiervan is te vinden in de bijage. Ir J.W. Weeman Oktober 0 5

30 .8 Kabe en buigigger as parae draagsysteem Kabes worden vee toegepast as verstijvend eement bij het creëren van grote overspanningen zoas bijvoorbeed hangdaken en hangbruggen. Figuur.4: Severn Bridge nabij Bristo foto J.W. Weeman Over het agemeen is de permanente beasting bij dit soort constructies hoog ten opzichte van de veranderijke (mobiee) beasting. Bij de montage van bijvoorbeed een hangbrug wordt de brugigger veea spanningsoos gemonteerd, dat wi zeggen dat het eigen gewicht van de brugigger voedig wordt gedragen door de kabe waardoor in de brugigger, veea een buigigger, geen krachten optreden door de permanente beasting q. Een voorbeed van een mode voor de hoofdoverspanning van een brug is in figuur.5 gegeven. x z stijve hangers z(x) kabe h EI igger Figuur.5: Kabe en buigigger as draagsysteem voor een hangbrug Direct na montage gedt voor het draagsysteem: d z = q ( voedige permanente beasting gedragen door de kabe ) Na gereedkomen van de constructie za de veranderijke beasting p aaneiding geven tot vervormingen waarbij de extra optredende verticae verpaatsing w ten opzichte van de paatsfunctie z van de oorspronkeijke stand van de kabe, voor zowe de kabe as de brugigger identiek moeten zijn. We nemen dan gemakshave aan dat de hangers waarmee de brugigger aan de draagkabe is verbonden, niet vervormen door de optredende normaakracht. Uitgaande van het gegeven dat de veranderijke beasting kein is ten opzichte Ir J.W. Weeman Oktober 0 6

31 van de permanente beasting, mogen we ervan uitgaan dat de horizontae component van de kracht in de kabe niet of nauweijks verandert. Daarmee ontstaat een parae draagsysteem van kabe en brugigger. s de brugigger een buigigger is, za de totae draagwerking de som van de draagwerking zijn van de afzonderijke kabe en buigigger. ierbij za de kabe een nieuwe stand innemen die kan worden aangeduid met z+w terwij de buigigger een zakking ondergaat van w. ( z + w) d = q 4 d w EI = q 4 kabe buigigger Merk hierbij op dat uitgegaan wordt van een ongewijzigde. De totae beasting op het systeem is de permanente beasting q en de veranderijke beasting p. Deze totae beasting is uiteraard geijk aan de draagwerking van de kabe en de buigigger: q + p = q + q kabe buigigger iermee ontstaat de vogende differentiaavergeijking voor het draagsysteem. ( z + w) 4 d w d EI = q + p 4 angezien de voedige permanente beasting p wordt gedragen door aeen de kabe, zie de uitdrukking op de vorige badzijde, kan dat uitgangspunt worden verwerkt in de bovenstaande vergeijking. Er ontstaat dan: ( z + w) 4 d w d d z EI = + p 4 In deze vergeijking vat de term voor de permanente beasting er uit en resteert een differentiaavergeijking met aeen w as onbekende verpaatsingsgrootheid. 4 d d d EI w w = p met: z q (4) 4 Deze vergeijking is een bekende, een parae systeem van kabe en buiging waarbij de horizontae component van de kracht in de kabe bekend is m.b.v. de paatsfunctie z van de kabe en de permanente beasting q. De strategie vogens deze aanpak bijkt dan vrij eenvoudig te worden: stap : Los de onbekende op met de D.V. : stap : Los de additionee zakking w op met : d z = q 4 d w d w EI = p 4 s de veranderijke beasting aaneiding geeft tot een verandering van de horizontae component van de kabekracht, kan deze vereenvoudigde aanpak niet worden gevogd. et verwerken van de verandering van kan echter vrij eenvoudig worden meegenomen. Ir J.W. Weeman Oktober 0 7

32 Op basis van de draagwerking gedt: ( z + w) 4 d w d EI 4 ( + ) = q + p De permanente beasting wordt in eerste instantie nog steeds gedragen door aeen de kabe: d z = q s dit wordt verwerkt ontstaat: ( z + w) 4 d w d d z EI 4 ( + ) = + p Uitwerken evert in een aanta stappen: ( z + w) d ( z + w) 4 d w d d z EI = + p 4 4 d w d w d ( z + w) EI = p 4 4 d w d w d w d z EI = p d w d w d z EI 4 ( + ) = p + 4 d w d w q EI ( + ) = p + d d 4 x x Uiteindeijk resteert hiermee: 4 d w d 4 ( ) w d EI + = p q met: z = q (6) In deze differentiaavergeijking zijn w en nog onbekend. Er is een tweede vergeijking nodig om de twee onbekenden op te kunnen ossen. iervoor kan gebruik worden gemaakt van het gegeven (3) dat de engte van de kabe niet za veranderen: x= dz dw = 0 (3) x= 0 Voor het opossen van de compete differentiaavergeijking voor kabe en buigigger moet een stese vergeijkingen worden opgeost. Met de hand is dit een moeizame route maar MPLE is bijzonder geschikt voor het opossen van (6) en (3). s de verenging van de draagkabe wordt meegenomen kan (3) worden uitgebreid tot: x= 0 ( + ) = dz dw d x = (3b) E E x In deze uitdrukking wordt de kabeverenging afgeschat m.b.v. het rechterid, hetgeen veea vodoende nauwkeurigheid biedt in het ontwerpstadium. Ir J.W. Weeman Oktober 0 8

33 Voorbeed: angbrug vogens vereenvoudigd draagsysteem Een hangbrug bestaat uit een paraboisch veropende draagkabe met een gegeven axiae stijfheid E en een buigigger met buigstijfheid EI zoas in de onderstaande figuur is weergegeven. f=8.0 m brugigger met buigstijfheid EI Figuur.6: angbrug, kabe en buigigger as paraesysteem Van de constructie is gegeven: = 40,0 m e.g. kabe 0,6 kn/m e.g. igger 9, kn/m E EI 3 kabe 650,0 0 kn igger 800 knm Nadat de brugigger spanningoos is gemonteerd, wordt een veranderijke beasting van,0 kn/m aangebracht. Gevraagd wordt om de benodigde kabeengte te bepaen en de zakking van de constructie t.g.v. de mobiee beasting te bepaen haverwege de overspanning. Er mag daarbij worden uitgegaan van het gegeven dat de zakking w t.g.v. de veranderijke beasting kein is t.o.v. de paatsfunctie z van de kabe en dat de horizontae component van de kracht in de kabe min of meer constant bijft na het aanbrengen van de veranderijke beasting. De engte van de kabe kan gevonden worden met het gegeven dat het kabeveroop paraboisch is en dat zowe de overspanning as de pij f van de paraboo zijn gegeven. Met de eerder afgeeide Tayorbenadering is hiervoor met (8) gevonden: x= x= 8 f dz L = + = 44,667 m of exact met L = ds 43,99 m 3 = + = x= 0 x= 0 Deze engte moet nog worden gecorrigeerd voor de verenging van de kabe. iervoor is de horizontae component van de kabekracht nodig. De permanente beasting wordt voedig gedragen door het kabesysteem: d z 4 fx( x) 8 x(40 x) = q = 9,8 met z = = en 600 ieruit vogt : d z 8 f = 9, = = 45 kn 8 Ir J.W. Weeman Oktober 0 9

34 De verenging van de kabe kan hiermee worden bepaad. Een redeijke schatting vogt uit: = = = 0,0059 m E ( merk op : 6 mm ) De totaa benodigde kabeengte wordt hierdoor 43,93 m. Incusief de verenging is daarmee gegarandeerd dat onder het eigen gewicht de kabe de paraboo inneemt zoas in de figuur is weergegeven. De verenging van de kabe is erg kein t.o.v. de kabeengte waardoor er hier geen grote onnauwkeurigheid is ontstaan door de afschatting van de verenging. De veranderijke beasting p van,0 kn/m wordt gedragen door het paraesysteem van kabe en buigigger vogens: 4 4 d w d w d w d w p EI = p α = met: α = 4 4 EI EI De agemene opossing van deze D.V. uidt (toon dit zef aan met MPLE) : α x α x px 3 4 w = C + C x + C e + C e De integratieconstanten kunnen worden bepaad met behup van de randvoorwaarden: x = 0 w = 0 M = 0 x = w = 0 M = 0 ieruit vogt voor de integratieconstanten (toon dit zef aan met MPLE) : α p p p p e C = ; C = ; C3 = ; C 4 = ; α α α α ( e + ) α ( e + ) De zakkingsfunctie w t.g.v. de veranderijke beasting is hiermee bepaad. α p p p x p e x px w = α α x e e α α α + + α ( e + ) + α ( e + ) averwege de overspanning wordt voor de doorbuiging een waarde van,606 m gevonden. In de oude tijd werden dergeijke opossingen bepaad mb.v. Fourierreeksen. iermee konden dan vergeet-mij-nietjes voor gevorderen worden bepaad. Voor dit geva bestaat er ook een en hiermee wordt een zakking van,599 m gevonden: 4 4 q w = +... met γ = 4 π π EI + γ 9( 9 + γ ) 3 π EI Deze zakking is bepaad niet kein t.o.v. de paatsfunctie z van de paraboo. et igt daarom voor de hand om deze constructie ook nog eens door te rekenen met de uitgebreide differentiaavergeijking. Ir J.W. Weeman Oktober 0 30

35 .9 Opdrachten Vraagstuk De onderstaande kabe heeft twee ophangpunten en C die niet op geijke hoogte iggen. De kabe wordt beast met een geijkmatig verdeede beasting van 850 N/m per eenheid van horizontaa gemeten engte. Punt B is het aagste punt van de kabe. x-as 40,0 m z-as tekening niet op schaa C 850 N/m B 0,0 m 00,0 m Gevraagd : Figuur.4: Kabe vraagstuk a) Bepaa met behup van de D.V. de kracht in de kabe in de punten, B en C. b) Bepaa met de evenwichtsmethode de kracht in de kabe in de punten, B en C. c) Bepaa de engte van de kabe. Vraagstuk De onderstaande kabe heeft in onbeaste toestand een engte van 0,0 m, precies geijk aan de afstand tussen en B. De kabe wordt beast met de twee aangegeven puntasten. 5 kn 8 kn kabe, E=0000 kn B x-as 3,0 m 3,0 m z-as 0,0 m Gevraagd: Figuur.5: Kabe vraagstuk Bepaa de krachtsverdeing en de maximum zakking waarbij rekening wordt gehouden met de invoed van de normaakrachtvervorming. Ir J.W. Weeman Oktober 0 3

36 Vraagstuk 3 Een kabe met vodoende engte, is opgehangen in de steunpunten en B. De kabe wordt beast met de aangegeven beasting. Gegeven is dat de horizontae component van de kracht in de kabe geijk is aan 56 kn. 8 kn/m C 40 kn B x kabe z 4,0 m 4,0 m Gevraagd: Figuur.6: Kabe vraagstuk 3 a) Schets de vorm die de kabe inneemt en geef duideijk aan wat er bekend is t.a.v. het kabeveroop. b) Bereken voor x = 4,0 m de z-coordinaat van de kabe. c) Bereken de maximae trekkracht in de kabe en geef aan waar deze optreedt. d) Bepaa de engte van de kabe as de normaakrachtvervorming wordt verwaaroosd. Ir J.W. Weeman Oktober 0 3

37 Vraagstuk 4 De boveneiding van de spoorwegen bestaat uit een draagkabe met daaraan een rijkabe. De rijkabe is de stroomvoerende kabe en moet i.v.m. het contact met de pantograaf, een zo recht mogeijk veroop hebben. Deze kabe is gespannen met een kracht van 0 kn. In de figuur is het draagsysteem weergegeven. draagkabe q =5 N/m f =,53 m q =0 N/m f =0 m rijkabe α =0-5 =70.0 m Figuur.7: Kabe vraagstuk 4 De draagkabe heeft een paraboisch veroop en wordt aangeduid met index, de rijkabe met index. De ineaire uitzettingscoëfficiënt wordt met α aangeduid. e overige gegevens van het systeem zijn in de figuur weergegeven. Gevraagd: a) oe groot is de engte van de draagkabe? b) Wek dee van de beasting draagt de draagkabe? c) oe groot is de horizontae spankracht in de draagkabe? d) Ste de ucht warmt met 30 o op. Weke invoed heeft dit op het draagsysteem? e) Wat is nu de doorhang van de rijkabe? f) Wek dee van de beasting wordt door de rijkabe gedragen? g) Ste er is heemaa geen draagkabe, hoe groot is dan de doorhang? h) Wat is het nut van de draagkabe? Ir J.W. Weeman Oktober 0 33

38 3 BOGEN q F w z x Bogen vormen een (krom-) ijnig draagsysteem waarbij de draagwerking gebaseerd is op voornameijk drukkrachten. angezien bogen naast axiae stijfheid ook over buigstijfheid beschikken kunnen bogen ook buiging opnemen. Deze combinatie van druk en buiging maakt dat bogen anders reageren dan kabes. Voor de berekening van bogen worden twee methoden afgeeid, de eerste staat bekend as de kassieke boogaanpak maar deze is aeen geschikt voor enkevoudig statisch onbepaade bogen met scharnierende steunpunten. De tweede berekeningsmethode is gebaseerd op de differentiaavergeijking voor de boog. Deze methode kan uitstekend met MPLE worden toegepast waardoor diverse boogvormen sne kunnen worden geanayseerd. 3. Eenvoudige boog en de drukijn De meest eenvoudige boog kan worden verkregen door een kabesysteem om te draaien. De kabe heeft aeen trekkrachten in zich die ook nog eens samenvaen met de kabe. q B x kabe v E zk ( x ) B v z q E, EI z ( ) b x B x boog v B v Figuur 3.: Kabe en boog z nders gezegd, de krachtijn (trekijn) van het draagsysteem vat samen met de constructie-as. s het kabesysteem wordt omgedraaid en in gedachte de kabe vormvast wordt gedacht, dan worden ae trekkrachten drukkrachten en spreken we van een drukijn die samenvat met de constructie-as. De Romeinen kenden dit principe a en pasten het veevudig toe. Recenter, en wered beroemd, zijn uiteraard de studies naar kracht en vorm van ntoni Gaudi (85-96). Ir J.W. Weeman Oktober 0 34

39 Gaudi maakte eerst met fijne kettingen een hangend mode. Vanwege het eigen gewicht waren deze vormen geijkvormig aan de kettingijn. Vervogens werd een spiege onder het mode geegd. s in de spiege wordt gekeken, wordt het kabemode een bogenmode. In de onderstaande figuur wordt dit effect gesimueerd. Figuur 3.: ntoni Gaudi, studies naar boogwerking m.b.v. kettingmodeen angezien op druk beaste constructies veea ook enige buigstijfheid hebben is het niet noodzakeijk dat de krachtijn exact samenvat met de staafas. Zoang de drukijn binnen de kern van de doorsnede bijft za de gehee doorsnede onder druk bijven en kan in het geva van een steenachtig materiaa veiig worden geconstrueerd. Gaudi is op dit punt een perfecte eermeester en inspirator voor constructief ontwerpers. Figuur 3.3: ntoni Gaudi, Sagrada Famiia, Barceona Ir J.W. Weeman Oktober 0 35

ARBEIDS- en ENERGIEMETHODEN. Opgave 0 : Ligger met een koppel. Opgave 1 : Niet-lineair last-zakkingsdiagram. Opgave 2 : Horizontaal belast raamwerk

ARBEIDS- en ENERGIEMETHODEN. Opgave 0 : Ligger met een koppel. Opgave 1 : Niet-lineair last-zakkingsdiagram. Opgave 2 : Horizontaal belast raamwerk ARBDS- en ENERGIEMETHODEN Opgave 0 : Ligger met een koppe Van de rechts weergegeven igger wordt gevraagd om de rotatie in het rechter steunpunt ten gevoge van het koppe T te bepaen met behup van de e steing

Nadere informatie

Krachtsverdeling t.g.v. een temperatuursbelasting

Krachtsverdeling t.g.v. een temperatuursbelasting Kractsverdeing t.g.v. een temperatuursbeasting Een stijging van de temperatuur in een materiaa eidt tot een verenging. Deze verenging is afankeijk van de ineaire uitzettingscoëfficiënt α [ K - ] en de

Nadere informatie

Tentamen CT2031. ConstructieMechanica 3

Tentamen CT2031. ConstructieMechanica 3 Subfacuteit Civiee Techniek Vermed op baden van uw werk: Constructiemechanica STUDIENUMMER : NM : Tentamen CT031 ConstructieMechanica 3 14 apri 010 van 14:00 17:00 uur s de kandidaat niet vodoet aan de

Nadere informatie

Hertentamen CT2031. ConstructieMechanica 3

Hertentamen CT2031. ConstructieMechanica 3 Subfacuteit iviee Techniek Vermed op baden van uw werk: onstructiemechanica STUDIENUMMER : NM : Hertentamen T01 onstructiemechanica 18 ug 008 van 14:00 17:00 uur s de kandidaat niet vodoet aan de voorwaarden

Nadere informatie

OPGAVE 7 : ARBEID EN ENERGIE

OPGAVE 7 : ARBEID EN ENERGIE OPGAVE 7 : ARBD EN ENERGIE In de onderstaande figuur is een op druk beaste buigzame staaf weergegeen die haerwege beast wordt met een etra kracht. De normaakracht in de staaf is hierdoor niet constant.

Nadere informatie

KeCo-opgaven elektricitietsleer VWO4

KeCo-opgaven elektricitietsleer VWO4 KeCo-opgaven eektricitietseer VWO4 1 KeCo-opgaven eektricitietseer VWO4 E.1. a. Wat is een eektrische stroom? b. Vu in: Een eektrische stroomkring moet atijd.. zijn. c. Een negatief geaden voorwerp heeft

Nadere informatie

Hertentamen CT2031. ConstructieMechanica April :00 17:00 uur

Hertentamen CT2031. ConstructieMechanica April :00 17:00 uur 33 Subfacuteit Civiee Techniek Vermed op baden van uw werk: Constructiemechanica STUDIENUMMER : NAAM : Hertentamen CT031 ConstructieMechanica 3 15 Apri 013 14:00 17:00 uur As de kandidaat niet vodoet aan

Nadere informatie

BEKNOPTE ANTWOORDEN. Opgave 1. Vragen deel 1 : Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4 15 april 2013 S2 B. 2,0 m. 3,0 m 2,0 m 3,0 m 3,0 m

BEKNOPTE ANTWOORDEN. Opgave 1. Vragen deel 1 : Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4 15 april 2013 S2 B. 2,0 m. 3,0 m 2,0 m 3,0 m 3,0 m Tentamen CT3109 Constructieechanica 4 15 ari 013 Ogave 1 Vragen dee 1 : BEKNOPTE NTWOORDEN S1 S B S3 C D,0 m 3,0 m,0 m 3,0 m 3,0 m 4,0 m,0 C B V B V 1,67 V S3-rechts 0,67 V S3-rechts knm ϕ B rechte kn

Nadere informatie

NOTITIE : KRACHTENMETHODE

NOTITIE : KRACHTENMETHODE NOIIE : KRHENEHODE Een korte uiteenzetting over steunpuntszettingen, toevaige inkemmingsmomenten en temperatuurseffecten bij doorgaande iggers op buiging beast. Ir. J.W. Weeman pri 0 Kractsverdeing t.g.v.

Nadere informatie

STATISCH ONBEPAALDE CONSTRUCTIES

STATISCH ONBEPAALDE CONSTRUCTIES STTISH ONEPLDE ONSTRUTIES 1 Statisch onbepaade constructies Ineiding, systematiek Statisch onbepaadheid Voorbeeden onstructies met niet-verpaatsbare knopen keuze van het statisch bepaade hoofdsysteem en

Nadere informatie

Doorbuiging. Rekenvoorbeelden bij Eurocode 2 (10)

Doorbuiging. Rekenvoorbeelden bij Eurocode 2 (10) Rekenvoorbeeden bij Eurocode (0 In de serie met rekenvoorbeeden, waarin de diverse onderdeen van de Eurocode worden toegeicht, is het in dit tiende artike de beurt aan doorbuiging In het voorbeed wordt

Nadere informatie

STATISCH ONBEPAALDE CONSTRUCTIES COLLEGE 5 STATISCH ONBEPAALDE CONSTRUCTIES MET VERPLAATSBARE KNOPEN. Ir J.W. Welleman bladnr 1

STATISCH ONBEPAALDE CONSTRUCTIES COLLEGE 5 STATISCH ONBEPAALDE CONSTRUCTIES MET VERPLAATSBARE KNOPEN. Ir J.W. Welleman bladnr 1 T0 STTISH ONEPLDE ONSTRUTIES OLLEGE 5 STTISH ONEPLDE ONSTRUTIES ET VERPLTSRE KNOPEN (a) (b) Ir J.W. Weeman badnr SHE KRHTENETHODE voor STTISH ONEPLDE ONSTRUTIES (aeen vervorming t.g.v. buiging) reng in

Nadere informatie

Tentamen CT2031. ConstructieMechanica Maart van 18:30 21:30 uur

Tentamen CT2031. ConstructieMechanica Maart van 18:30 21:30 uur Subfacuteit iviee Technie Vermed op baden van uw wer: onstructiemechanica STUDIENUMMER : NM : Tentamen T01 onstructiemechanica 1 Maart 008 van 18:0 1:0 uur s de andidaat niet vodoet aan de voorwaarden

Nadere informatie

BEKNOPTE UITWERKING. σ = VRAAGSTUK 1 : Theorie. Deel 1

BEKNOPTE UITWERKING. σ = VRAAGSTUK 1 : Theorie. Deel 1 VRGSTUK 1 : Theorie Dee 1 KNOPT UITWRKING a) Voor starre systemen gedt dat de (aanendeende) beasting van mode (a) kan worden vervangen door een eqivaente beasting o mode (b) vogens: eq n i 1 i et een eenvodig

Nadere informatie

Tentamen CT3109 CONSTRUCTIEMECHANICA 4. 5 juli 2006, 09:00 12:00 uur

Tentamen CT3109 CONSTRUCTIEMECHANICA 4. 5 juli 2006, 09:00 12:00 uur Subfacuteit Civiee Techniek Vermed op baden van uw werk: Constructiemechanica STUDIENUMMER : NAAM : Tentamen CT309 CONSTRUCTIEMECHANICA 4 5 jui 006, 09:00 :00 uur GA NA AFLOOP VOOR DE GEZELLIGHD EN DE

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Faculteit der Civiele Techniek en Geowetenschappen. De effectieve kiplengte van houten liggers

Technische Universiteit Delft Faculteit der Civiele Techniek en Geowetenschappen. De effectieve kiplengte van houten liggers Technische Universiteit Deft Facuteit der Civiee Techniek en Geowetenschappen De effectieve kipengte van houten iggers Roeand van Straten November 1 Technische Universiteit Deft Facuteit der Civiee Techniek

Nadere informatie

Knik van een verend gesteunde kolom in een raamwerk

Knik van een verend gesteunde kolom in een raamwerk EINDVERSIE februari 007 Knik van een verend gesteunde koom in een raamwerk ir. J. Majaars, ir. H.M.G.M. Steenbergen, dr. ir. M.C.M. Bakker, prof. ir. H.H. Snijder Johan Majaars en Henri Steenbergen zijn

Nadere informatie

Tentamen CT3109 CONSTRUCTIEMECHANICA jan 2010, 09:00 12:00 uur

Tentamen CT3109 CONSTRUCTIEMECHANICA jan 2010, 09:00 12:00 uur Subfacuteit Civiee Techniek Vermed op baden van uw werk: Constructiemechanica STUDIENUER : NAA : Tentamen CT3109 CONSTRUCTIEECHANICA 4 18 jan 010, 09:00 1:00 uur Dit tentamen bestaat uit 4 opgaven. Werk

Nadere informatie

Beredeneer waarom de marginale productcurve de gemiddelde productcurve in het maximum snijdt.

Beredeneer waarom de marginale productcurve de gemiddelde productcurve in het maximum snijdt. Opgaven hoofdstuk 9 Opgave 1 Beredeneer waarom de marginae productcurve de gemiddede productcurve in het maximum snijdt. Opgave Vu de vogende tabe verder in en teken de bijbehorende curven voor het totae,

Nadere informatie

Tentamen CT2053 Constructief Ontwerpen 2 studiejaar 2009/2010 donderdag 26 augustus 2010 van 9.00 tot uur

Tentamen CT2053 Constructief Ontwerpen 2 studiejaar 2009/2010 donderdag 26 augustus 2010 van 9.00 tot uur Uitgangspunten: 1. Zet op ae baden naam en studienummer. 2. Werk netjes en systematisch, schrijf eesbaar. 3. Bij twijfe over een uitkomst kunt u toch nog punten scoren door uw twijfe te motiveren. 4. As

Nadere informatie

Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4 5 juli 2006 ANTWOORDEN

Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4 5 juli 2006 ANTWOORDEN Tentamen CT309 Constructieechanica 4 jui 006 OPGAVE ANTWOODEN a) Voor theorievragen ie de eermiddeen. b) De cirke van ohr is hieronder getekend. scae () ( ; ) (0,-30) r0 N/mm 0 ( ; ) (0,-30) 0 () 3 0 m60

Nadere informatie

Examen Algemene natuurkunde 1 18 januari 2016

Examen Algemene natuurkunde 1 18 januari 2016 Examen Agemene natuurkunde 8 januari 206 Lees zorgvudig de vragen en aarze niet om uiteg te vragen indien je iets onduideijk vindt. Denk er ook aan om je antwoorden vodoende te motiveren, aeen de uitkomst

Nadere informatie

Uitwerking tentamen CT2053 Constructief Ontwerpen 2 studiejaar 2009/2010 donderdag 24 juni 2010 van 14.00 tot 17.00 uur

Uitwerking tentamen CT2053 Constructief Ontwerpen 2 studiejaar 2009/2010 donderdag 24 juni 2010 van 14.00 tot 17.00 uur Vraag 1 Ontwerpen agemeen Vraag 1.1 Weke zaken wi je as constructief ontwerper aan het eind van de anaysefase vasteggen? PvE, Randvoorwaarden, Uitgangspunten, Ontwerpcriteria, mogeijkheden ontwerp Vraag

Nadere informatie

Antwoordenbundel. Module: Stabiliteit van het evenwicht. Constructiemechanica 3. ANTWOORDEN Constructiemechanica 3

Antwoordenbundel. Module: Stabiliteit van het evenwicht. Constructiemechanica 3. ANTWOORDEN Constructiemechanica 3 ANTWOORDEN Constrctiemechanica Mode: Stabiiteit van het evenwicht Dee : Antwoordenbnde Antwoordenbnde Mode: Stabiiteit van het evenwicht Constrctiemechanica Behorend bij: Constrctiemechanica Mode: stabiiteit

Nadere informatie

BROCHURE Cursus Klantgericht Werken. rendabel. tevreden. trouw. klantgericht. Klantgericht Werken. Sales Force Consulting

BROCHURE Cursus Klantgericht Werken. rendabel. tevreden. trouw. klantgericht. Klantgericht Werken. Sales Force Consulting BROCHURE Cursus Kantgericht Werken rendabe kantgericht tevreden trouw Kantgericht Werken Saes Force Consuting Ineiding De Cursus Kantgericht Werken gaat in eerste instantie over kantgerichtheid. Kort gezegd

Nadere informatie

Tentamen CT2053 Constructief Ontwerpen 2 studiejaar 2009/2010 donderdag 24 juni 2010 van 14.00 tot 17.00 uur

Tentamen CT2053 Constructief Ontwerpen 2 studiejaar 2009/2010 donderdag 24 juni 2010 van 14.00 tot 17.00 uur Uitgangspunten: 1. Zet op ae baden naam en studienummer, en ever deze na het tentamen in de omsag in. 2. Werk netjes en systematisch, schrijf eesbaar. 3. Bij twijfe over een uitkomst kunt u toch nog punten

Nadere informatie

CONSTRUCTIEMECHANICA 3

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 CTB10 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Modue : Stabiiteit van het evenwicht Dee 1 : Theorie December 016 C. Hartsuijker en J.W. Weeman CTB10 MODULE : STABILITEIT VAN HET EVENWICHT COENRAAD HARTSUIJKER HANS WELLEMAN

Nadere informatie

ConstructieMechanica 3

ConstructieMechanica 3 TB0 OLLEGE onstructiemechanica 7-7 tabiiteit van het evenwicht Ineiding tarre staaf (systeem met één vrijheidsgraad) ystemen met meer dan één vrijheidsgraad Buigzame staaf (oneindig vee vrijheidsgraden)

Nadere informatie

2 De elektrische huisinstallatie

2 De elektrische huisinstallatie Newton vwo dee a itwerkingen Hoofdstuk De eektrische huisinstaatie 6 De eektrische huisinstaatie. neiding Eektrische schakeingen Toeichting: hieronder vogen mogeijke ontwerpen. ndere ontwerpen die aan

Nadere informatie

Form follows Force. Robert-Jan Kustermans - 1390562 Docenten: Jan Engels, Tjalling Homans en Wim Kamerling Definitief rapport, 24-01-2013

Form follows Force. Robert-Jan Kustermans - 1390562 Docenten: Jan Engels, Tjalling Homans en Wim Kamerling Definitief rapport, 24-01-2013 Form foows Force Robert-Jan Kustermans - 139056 Docenten: Jan Enges, Tjaing Homans en Wim Kamering Definitief rapport, 4-01-013 0. Voorwoord en Leeswijzer A sinds de oudheid maken mensen gebruik van boogconstructies.

Nadere informatie

Module 5 Uitwerkingen van de opdrachten

Module 5 Uitwerkingen van de opdrachten Module 5 Uitwerkingen van de opdrachten Opdracht 1 Deze oefening heeft als doel vertrouwd te raken met het integreren van de diverse betrekkingen die er bestaan tussen de belasting en uiteindelijk de verplaatsing:

Nadere informatie

Module 2 Uitwerkingen van de opdrachten

Module 2 Uitwerkingen van de opdrachten 1 Modue Uitwerkingen vn de opdrchten Opdrcht 1 nyse Sttisch bepde constructie. Uitwendig evenwicht te bepen met evenwichtsvoorwrden. Drn op de gevrgde ptsen een denkbeedige snede nbrengen en met de evenwichtsvoorwrden

Nadere informatie

Tentamen Analyse van Continua

Tentamen Analyse van Continua Tentamen Anase van Continua d.d. 10 januari 2008, 14.00-17.00 uur Code: 4Q410 BMT-2.1 Facuteit Biomedische Technoogie Technische Universiteit Eindhoven Dit tentamen omvat 10 vraagstukken. De vraagstukken

Nadere informatie

Module 7 Uitwerkingen van de opdrachten

Module 7 Uitwerkingen van de opdrachten Modue 7 Uitweringen van de opdrachten Hoofdstu Ineiding Opdracht Het verschi in aanpa betreft het evenwicht in de verpaatste ( vervormde) toestand. Tot nu toe werd bij een evenwichtsbeschouwing van een

Nadere informatie

De griffier gewaardeerd Een klantenonderzoek onder staten- en gemeenteraadsleden

De griffier gewaardeerd Een klantenonderzoek onder staten- en gemeenteraadsleden De griffier gewaardeerd 2011 Een kantenonderzoek onder staten- en gemeenteraadseden Vereniging van Griffiers Apri 2011 Inhoudsopgave Samenvatting... 3 1 Ineiding... 4 1.1 Achtergrond... 4 1.2 Enquête en

Nadere informatie

www.toeatingsexamen-geneeskunde.be 1. Je staat met je twee voeten op de grond. Hoe verandert de druk die je uitoefent op de grond as je één been opheft? a. De druk haveert. b. De druk verdubbet. c. De

Nadere informatie

Wiskundige Methoden in de Fysica examen met modeloplossing

Wiskundige Methoden in de Fysica examen met modeloplossing Wiskundige Methoden in de Fysica examen met modeopossing januari 7 Voor dit examen krijg je u tijd en mag je de cursus en de oefeningenopgaven gebruiken. Niet toegeaten zijn opgeoste oefeningen, handboeken,

Nadere informatie

Voortplanting van trillingen - lopende golven

Voortplanting van trillingen - lopende golven Voortpanting van triingen - opende goven 8. Eigenschappen van goven Interferentie van goven Interferentie doet zich voor as goven ekaar samentreffen. Het is dus een samensteen van goven. COHERENTIEVOORWAARDE:

Nadere informatie

Opmerking: Kan ook sneller door met impulsmomentbehoud de nieuwe snelheid uit te rekenen en daarmee een uitspraak te doen over de energie.

Opmerking: Kan ook sneller door met impulsmomentbehoud de nieuwe snelheid uit te rekenen en daarmee een uitspraak te doen over de energie. Antwoorden ronde 04 toets RONDDRAAIENDE MASSA 5 (.9 van a guide to phys prob ) Trekken aan het touw evert geen krachtmoment aan de massa, dus impusmoment is behouden. Dus:. Voor de arbeid die nodig is

Nadere informatie

Kritische belastingen van stabiliteitselementen

Kritische belastingen van stabiliteitselementen Stabiiteit verdiepingbouw Kritiche beatingen van tabiiteiteementen Dit artike bechrijft een eenvoudige methode voor het berekenen van de kritiche beatingen van tabiiteiteementen in verdiepinggebouwen.

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO

Correctievoorschrift VWO Correctievoorschrift VWO 0 tijdvak natuurkunde tevens oud programma natuurkunde, Het correctievoorschrift bestaat uit: Reges voor de beoordeing Agemene reges 3 Vakspecifieke reges 4 Beoordeingsmode 5 Inzenden

Nadere informatie

BESLUIT. Besluit van de directeur-generaal van de Nederlandse mededingingsautoriteit als bedoeld in artikel 37, eerste lid, van de Mededingingswet.

BESLUIT. Besluit van de directeur-generaal van de Nederlandse mededingingsautoriteit als bedoeld in artikel 37, eerste lid, van de Mededingingswet. BESLUIT Besuit van de directeur-generaa van de Nederandse mededingingsautoriteit as bedoed in artike 37, eerste id, van de Mededingingswet. Zaaknummer 1264/Woningstichting 's-gravenhage - Woningstichting

Nadere informatie

Woningen met het Slimmer Kopen label hebben een lagere aankoopprijs. Het voordeel kan wel oplopen tot 25 procent!

Woningen met het Slimmer Kopen label hebben een lagere aankoopprijs. Het voordeel kan wel oplopen tot 25 procent! feiten & spereges Woningen met het Simmer Kopen abe hebben een agere aankoopprijs. Het voordee kan we opopen tot 25 procent! As koper van een Simmer Kopen woning bent u voor de voe honderd procent eigenaar.

Nadere informatie

n-- J Bij elk ander verwarmingssysteem is dit niet het geval, de temperatuur tegen het '-.!:> plafond is altijd hoger dan bij de vloer.

n-- J Bij elk ander verwarmingssysteem is dit niet het geval, de temperatuur tegen het '-.!:> plafond is altijd hoger dan bij de vloer. Nummer 19 Onderwerp: Voerverwarming neiding Het systeem van voerverwarming is op de Nederandse markt nooit een gewedig sukses geworden. Was het jaren geeden een mooi systeem voor woningen weke in de koopsfeer

Nadere informatie

VOORBEELD. Supplement Netto, De Tijd - 22 Mar. 2014 Page 60

VOORBEELD. Supplement Netto, De Tijd - 22 Mar. 2014 Page 60 VOORBEELD Suppement Netto, De Tijd - 22 Mar. 2014 Page 60 Reaties zijn gemakkeijk vandaag. We stappen er sne in en zetten er ook sne een punt achter. Wat we durven te vergeten, is dat eke duurzame nieuwe

Nadere informatie

CONCEPT WATERWERKBLAD. AANLEG VAN LEIDINGWATERINSTALLATIES Bevestiging van leidingen

CONCEPT WATERWERKBLAD. AANLEG VAN LEIDINGWATERINSTALLATIES Bevestiging van leidingen Herziening van juni 2014 CONCEPT WATERWERKBLAD AANLEG VAN LEIDINGWATERINSTALLATIES Bevestiging van eidingen WB 3.6 DATUM: OKT 2014 Auteursrechten voorbehouden Met betrekking tot de bevestiging van eidingen

Nadere informatie

Antwoorden Natuurkunde Olympiade pagina 1

Antwoorden Natuurkunde Olympiade pagina 1 1. Voeyba 6pt a. (1) F = ps, met S = πr het oppervak van de ba op de paat. Er gedt r = (R h)h, zodat F = pπh(r h) 10 N. b. () Tijdens de botsing is de vervorming as in de tekening. De bo bijft bo, voor

Nadere informatie

WATERWERKBLAD. AANLEG VAN LEIDINGWATERINSTALLATIES Bevestiging van leidingen

WATERWERKBLAD. AANLEG VAN LEIDINGWATERINSTALLATIES Bevestiging van leidingen Herziening van juni 2004 WATERWERKBLAD AANLEG VAN LEIDINGWATERINSTALLATIES Bevestiging van eidingen WB 3.6 DATUM: DEC 2015 Auteursrechten voorbehouden Met betrekking tot de bevestiging van eidingen is

Nadere informatie

Marketingplan Verkoopleider. BROCHURE Workshop Marketingplan Verkoopleider. Sales Force Consulting. toekomstvisie. analyse factoren.

Marketingplan Verkoopleider. BROCHURE Workshop Marketingplan Verkoopleider. Sales Force Consulting. toekomstvisie. analyse factoren. BROCHURE Workshop Marketingpan Verkoopeider toekomstvisie anayse factoren verkoopstrategie marktbewerking organisatieontwikkeing Marketingpan Verkoopeider Saes Force Consuting ineiding Een goed functionerende

Nadere informatie

TOEGEPASTE MECHANICA 6 1 e Jaar. Ir J.W. (Hans) Welleman Universitair docent TU-Delft, Civiele Techniek, Constructiemechanica

TOEGEPASTE MECHANICA 6 1 e Jaar. Ir J.W. (Hans) Welleman Universitair docent TU-Delft, Civiele Techniek, Constructiemechanica blad nr 1 TOEGEPASTE MECHANICA 6 1 e Jaar Docent : Ir J.W. (Hans) Welleman Universitair docent TU-Delft, Civiele Techniek, Constructiemechanica e-mail : j.w.welleman@hetnet.nl URL : http://go.to/jw-welleman

Nadere informatie

Gespannen of overspannen? Sterk in ieders belang

Gespannen of overspannen? Sterk in ieders belang Gespannen of overspannen? Sterk in ieders beang Gespannen of overspannen? De boog kan niet atijd gespannen zijn. De kruik gaat net zo ang te water tot hij barst. Deze bekende gezegden geven aan dat er

Nadere informatie

STABILITEIT VAN HET EVENWICHT

STABILITEIT VAN HET EVENWICHT STABILITEIT VAN HET EVENWICHT 1 Introductie Basisbegrippen en definities Vormen van instabiiteit Starre staven Stabiiteitsonderzoe op starre staafmodeen Voorbeeden 3 Buigzame staven Afeiding van Euer (statisch

Nadere informatie

INTRODUCTIE VERPLAATSINGENMETHODE

INTRODUCTIE VERPLAATSINGENMETHODE INTROUTIE ERPLTSINGENMETHOE akerk Met behup van de verpaatsngenmethode a de krachtsverdeng n het onderstaande vakerk orden bepaad. Het vakerk bestaat ut vf staven en s opgeegd n en. 40 kn a = 1,0 m 1 2

Nadere informatie

Nieuw Unicum, zorg met toegevoegde waarde. Strategisch meerjaren beleidsplan 2011 2014

Nieuw Unicum, zorg met toegevoegde waarde. Strategisch meerjaren beleidsplan 2011 2014 Nieuw Unicum, zorg met toegevoegde waarde Strategisch meerjaren beeidspan 2011 2014 Introductie Nieuw Unicum is onomkeerbaar veranderd Dit strategisch meerjaren beeidspan 2011 2014 bouwt in ae opzichten

Nadere informatie

Sterftetafel: van verstreken leeftijden naar exacte leeftijden Update 4/9/2012

Sterftetafel: van verstreken leeftijden naar exacte leeftijden Update 4/9/2012 Sterftetafe: van verstreken eeftijden naar eacte eeftijden Update /9/ Ineiding Deze nota wi een eenvoudige methode geven om tafes tussen verstreken eeftijden, zoas voortaan gepubiceerd door de ADSEI, het

Nadere informatie

ouderparticipatie keuzedossier vmbo osb in de onderbouw Gemengde Leerweg

ouderparticipatie keuzedossier vmbo osb in de onderbouw Gemengde Leerweg euzedossier ouderparticipatie keuzedossier vmbo osb in de onderbouw Gemengde Leerweg Op vijf badzijden in het werkboek wordt de medewerking van de ouders of verzorgers van de eeringen gevraagd. Wanneer

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek 2 voor TeMa (2S195) op vrijdag ,

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek 2 voor TeMa (2S195) op vrijdag , TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Facuteit Wiskunde en Informatica Tentamen Statistiek 2 voor TeMa (2S95) op vrijdag 4-05-2004, 4.00-7.00 uur Bij het tentamen mag gebruik worden gemaakt van een zakrekenmachine,

Nadere informatie

Module 6 Uitwerkingen van de opdrachten

Module 6 Uitwerkingen van de opdrachten 1 Module 6 Uitwerkingen van de opdrachten Opdracht 1 De in figuur 6.1 gegeven constructie heeft vier punten waar deze is ondersteund. A B C D Figuur 6.1 De onbekende oplegreacties zijn: Moment in punt

Nadere informatie

Wat krijgt u in onze pensioenregeling?

Wat krijgt u in onze pensioenregeling? Hoe is uw pensioen gereged? In dit Pensioen 1-2-3 eest u wat u we en niet krijgt in onze pensioenregeing. Pensioen 1-2-3 bevat geen persoonijke informatie over uw pensioen. Die vindt u we op www.mijnpensioenoverzicht.n

Nadere informatie

Cursus Bedrijfsplan MKB

Cursus Bedrijfsplan MKB BROCHURE Cursus Bedrijfspan MKB visie anayse strategieën actiepannen Cursus Bedrijfspan MKB Saes Force Consuting ineiding Hoe groot of kein je onderneming ook is, je zut je regematig de vraag moeten steen

Nadere informatie

O N D E R Z O E K BORSTWERINGEN 1 STS 54 «BORST- 2 STABILITEIT VAN

O N D E R Z O E K BORSTWERINGEN 1 STS 54 «BORST- 2 STABILITEIT VAN SILIEI VN ORSWERINGEN In 199 verschenen de nieuwe SS 5 (Eengemaakte echnische Specifikaties) omtrent borstweringen in de PRKISHE EREKENING VOLGENS SS 5 om Van den ossche, ing., adviseur, afdeing echnisch

Nadere informatie

2 De Elektrische huisinstallatie

2 De Elektrische huisinstallatie Newton hao dee itwerkingen hoofdstuk De eektrische huisinstaatie 7 De Eektrische huisinstaatie. neiding Eektrische schakeingen Toeichting: hieronder ogen mogeijke ontwerpen. ndere ontwerpen, die aan de

Nadere informatie

l reeds gezien hebben in paragraaf De zwaartekracht leidt dus tot een extra term in de bewegingsvergelijkingen:

l reeds gezien hebben in paragraaf De zwaartekracht leidt dus tot een extra term in de bewegingsvergelijkingen: Hoofdstuk 4 N gekoppede singers 4.1 De bewegingsvergeijkingen We beschouwen een systeem vn N identieke singers met engte, wrvn de nburige singers met identieke veren gekopped zijn, zos ngegeven in figuur

Nadere informatie

euzedossier ouderparticipatie keuzedossier havo/vwo profielkeuze

euzedossier ouderparticipatie keuzedossier havo/vwo profielkeuze euzedossier ouderparticipatie keuzedossier havo/vwo profiekeuze Op zes badzijden in het werkboek wordt de medewerking van de ouders of verzorgers van de eeringen gevraagd. Wanneer de werkboeken op schoo

Nadere informatie

Sales Force Boost. een Strategisch Verkoopplan maken. Sales Force Consulting. Sales Force Consulting Brochure Sales Force Boost

Sales Force Boost. een Strategisch Verkoopplan maken. Sales Force Consulting. Sales Force Consulting Brochure Sales Force Boost Saes Force Boost een Strategisch Verkooppan maken Saes Force Consuting ineiding Saes Force Boost Saes Force Boost is een cursus voor commerciëe managers en verkoopeiders. De cursus is beschikbaar in 2

Nadere informatie

Verder. Tips en tricks voor verpleegkundig rekenen

Verder. Tips en tricks voor verpleegkundig rekenen Verder Tips en tricks voor verpeegkundig rekenen Inhoud 2 Van de druppesneheid van een infuus tot het kaarmaken van een injectie: het maken van berekeningen is onosmakeijk verbonden met het werk van verpeegkundigen.

Nadere informatie

evenementenlocatie P2 Euroborg

evenementenlocatie P2 Euroborg evenementenocatie P2 Euroborg Evenementen in de stad Groningen Groningen is een bruisende en eefbare stad met een ruim en gevarieerd aanbod aan evenementen. Dit aanbod is zowe binnen, in de vee theaters,

Nadere informatie

De materialen die worden gebruikt voor het voorbereiden van de vloer moeten worden gebruikt in overeenstemming met de instructies van de fabrikant.

De materialen die worden gebruikt voor het voorbereiden van de vloer moeten worden gebruikt in overeenstemming met de instructies van de fabrikant. Design foors cick 1 2 Instaatieinstructies Agemene voorwaarden Een goede voorbereiding is essentiee voor een probeemoze instaatie. De designvoer kan worden geegd op betonnen, houten, stenen en vee andere

Nadere informatie

Blz 64: Figuur De rondjes in de scharnierende ondersteuningen horen onder de doorgaande ligger te worden getekend.

Blz 64: Figuur De rondjes in de scharnierende ondersteuningen horen onder de doorgaande ligger te worden getekend. lgemene opmerking De zetter heeft bij de formuleopmaak in uitwerkingen veelal geen cursieve l gebruikt voor de lengte maar l. Dit is een storend probleem want hiermee is het onderscheid met het getal 1

Nadere informatie

Auteur(s): D. Kistemaker, H. Faber Titel: De wind van voren Jaargang: 19 Jaartal: 2001 Nummer: 3 Oorspronkelijke paginanummers:

Auteur(s): D. Kistemaker, H. Faber Titel: De wind van voren Jaargang: 19 Jaartal: 2001 Nummer: 3 Oorspronkelijke paginanummers: Versus Tijdschrift oor Fysiotherapie, 19e jrg 001, no. 3 (pp. 161-168) Auteur(s): D. Kistemaker, H. Faber Tite: De wind an oren Jaargang: 19 Jaarta: 001 Nummer: 3 Oorspronkeijke paginanummers:161-168 Deze

Nadere informatie

Zonder zorgen blijven rijden. Met de Autoverzekering van Centraal Beheer Achmea

Zonder zorgen blijven rijden. Met de Autoverzekering van Centraal Beheer Achmea Zonder zorgen bijven rijden. Met de Autoverzekering van Centraa Beheer Achmea 1 Inhoud Een goede basis voor uw auto. 3 Een goede basis voor uw auto. Daarom kiest u voor onze Autoverzekering! 4 U kiest

Nadere informatie

U kiest voor vrijheid, u rijdt zonder zorgen. Met de Bromfietsverzekering van Centraal Beheer Achmea

U kiest voor vrijheid, u rijdt zonder zorgen. Met de Bromfietsverzekering van Centraal Beheer Achmea U kiest voor vrijheid, u rijdt zonder zorgen. Met de Bromfietsverzekering van Centraa Beheer Achmea 1 Inhoud Een goede basis voor uw auto. 3 Een goede basis voor uw bromfiets. Daarom kiest u voor onze

Nadere informatie

Module 6 Uitwerkingen van de opdrachten

Module 6 Uitwerkingen van de opdrachten 1 Module 6 Uitwerkingen van de opdrachten Hoofdstuk 2 Statisch onbepaald Opdracht 1 De in figuur 6.1 gegeven constructie heeft vier punten waar deze is ondersteund. Figuur 6.1 De onbekende oplegreacties

Nadere informatie

J J. September 2015 I ~I= =1= = 1

J J. September 2015 I ~I= =1= = 1 j September 2015 ~= =1= = 1 ~ ~ " neiding De voetbavereniging Vathermond bestaat nu 85 jaar en is niet aeen een begrip in het dorp Vathermond maar ook in de wijde omgeving. Veen uit het dorp beeven zef

Nadere informatie

Een evenementenvergunning

Een evenementenvergunning Een evenementenvergunning aanvragen 2 Een evenementenvergunning aanvragen In onze gemeente worden jaarijks vee activiteiten georganiseerd. Dat is euk. Maar soms kan een evenement ook voor irritatie en

Nadere informatie

UITWERKINGSFORMULIER. Tentamen CT1031 CONSTRUCTIEMECHANICA 1 2 november 2009, 09:00 12:00 uur

UITWERKINGSFORMULIER. Tentamen CT1031 CONSTRUCTIEMECHANICA 1 2 november 2009, 09:00 12:00 uur Opleiding BSc iviele Techniek Vermeld op bladen van uw werk: onstructiemechanica STUDIENUMMER : NM : UITWERKINGSFORMULIER Tentamen T1031 ONSTRUTIEMEHNI 1 2 november 2009, 09:00 12:00 uur Dit tentamen bestaat

Nadere informatie

BROCHURE Training Klantgericht Verkopen. Klantgerichte Verkooptraining. Sales Force Consulting

BROCHURE Training Klantgericht Verkopen. Klantgerichte Verkooptraining. Sales Force Consulting BROCHURE Training Kantgericht Verkopen Kantgerichte Verkooptraining Saes Force Consuting ineiding Kanten vormen de beangrijkste inkomstenbron van je onderneming. Je wit dan ook optimaa rekening houden

Nadere informatie

Een parallelle multilevel Monte-Carlo-methode voor de simulatie van stochastische partiële differentiaalvergelijkingen

Een parallelle multilevel Monte-Carlo-methode voor de simulatie van stochastische partiële differentiaalvergelijkingen Een paraee mutieve Monte-Caro-methode voor de simuatie van stochastische partiëe differentiaavergeijkingen Pieterjan Robbe Thesis voorgedragen tot het behaen van de graad van Master of Science in de ingenieurswetenschappen:

Nadere informatie

VEILIGHEIDSYSTEMEN. Persoonlijke bescherming. Clip systemen voor bitumen en kunststof dakbedekkingen

VEILIGHEIDSYSTEMEN. Persoonlijke bescherming. Clip systemen voor bitumen en kunststof dakbedekkingen VEILIGHEIDSYSTEMEN Persoonijke bescherming Cip systemen voor bitumen en kunststof dakbedekkingen Nebiprofa: De zekerheid van kwaiteit Meer dan 65 jaar ervaring in: - bitumen dakbedekkingen - voeibare bitumen

Nadere informatie

Tentamen CT3109 CONSTRUCTIEMECHANICA april 2013, 09:00 12:00 uur

Tentamen CT3109 CONSTRUCTIEMECHANICA april 2013, 09:00 12:00 uur Subfaculteit Civiele Techniek Vermeld op bladen van uw werk: Constructiemechanica STUDIENUMMER : NAAM : Tentamen CT3109 CONSTRUCTIEMECHANICA 4 15 april 013, 09:00 1:00 uur Dit tentamen bestaat uit 4 opgaven.

Nadere informatie

Aanvragen zelf beleggen zonder advies (voor ondernemers) SNS Zelf Beleggen (Zakelijk)

Aanvragen zelf beleggen zonder advies (voor ondernemers) SNS Zelf Beleggen (Zakelijk) Aanvragen zef beeggen zonder advies (voor ondernemers) SNS Zef Beeggen (Zakeijk) Aeen voedig ingevude formuieren nemen we in behandeing. I Mijn gegevens A Gegevens bedrijf Rechtsnaam Postcode en vestigingspaats

Nadere informatie

Zelf klussen in uw huurwoning

Zelf klussen in uw huurwoning Zef kussen in uw huurwoning U wit iets aan uw huurwoning veranderen zodat deze beter bij u past. Een nieuwe keuken, een andere badkamer of misschien we een dakkape. Wij geven u graag de geegenheid om zef

Nadere informatie

COLLEGE ONDERWERPEN. 1 Spanningstensor Spanningsdefinitie Spanningstoestanden en voorbeelden 2 Rektensor CTB2210 : ELASTICITEITSLEER

COLLEGE ONDERWERPEN. 1 Spanningstensor Spanningsdefinitie Spanningstoestanden en voorbeelden 2 Rektensor CTB2210 : ELASTICITEITSLEER CTB0 : ELASTICITEITSLEER COLLEGE ONDERWERPEN Spanningstensor Spanningsdefinitie Spanningstoestanden en voorbeeden Retensor Reatieve verpaatsingen Redefinities Retensor 3 Tensoreigenschappen Introdctie

Nadere informatie

/m;. n;;ïum - 9 ju);! ydo. Provinciale Staten van Zeeland Postbus 165. Onderwerp: alternatief advies voor bef beheer van ganzen

/m;. n;;ïum - 9 ju);! ydo. Provinciale Staten van Zeeland Postbus 165. Onderwerp: alternatief advies voor bef beheer van ganzen Provinciae Staten van Zeeand Postbus 165 AFD. SG AMT. 4330 AD Middeburg AFD. 'I'ERMIJN f i n;;ïum - 9 ju);! 2011 -ydo J S e Onderwerp: aternatief advies voor bef beheer van ganzen Amsteveen, 7 juni 201

Nadere informatie

CAGO GAS. Installatie - en gebruiks handleiding. Infrarood kachel IRV PETITE 63. Artikel nummer: 801206 CE 0051

CAGO GAS. Installatie - en gebruiks handleiding. Infrarood kachel IRV PETITE 63. Artikel nummer: 801206 CE 0051 CAGO GAS Instaatie - en gebruiks handeiding Infrarood kache IRV PETITE 63 Artike nummer: 801206 CE 0051 Maximae votooiing: 2800W - 200 g/h LPG Voor gebruik van dit toeste a.u.b. zorgvudig de instaatie

Nadere informatie

VAK: Mechanica - Sterkteleer HWTK

VAK: Mechanica - Sterkteleer HWTK VAK: Mechanica - Sterkteleer HWTK Proeftoets Beschikbare tijd: 100 minuten Instructies voor het invullen van het antwoordblad. 1. Dit open boek tentamen bestaat uit 10 opgaven.. U mag tijdens het tentamen

Nadere informatie

KWALITEITSONDERZOEK IN HET KADER VAN HET ONDERWIJSVERSLAG 2007/2008 HET MONTESSORI LYCEUM HERMAN JORDAN

KWALITEITSONDERZOEK IN HET KADER VAN HET ONDERWIJSVERSLAG 2007/2008 HET MONTESSORI LYCEUM HERMAN JORDAN RAPPORT KWALITEITSONDERZOEK IN HET KADER VAN HET ONDERWIJSVERSLAG 2007/2008 HET MONTESSORI LYCEUM HERMAN JORDAN Schoo/insteing/vestiging: Montessori Lyceum Herman Jordan Afdeing: vwo Paats: Zeist BRIN-nummer:

Nadere informatie

RC4-2. Gebruiksaanwijzing RC4-2 afstandsbediening

RC4-2. Gebruiksaanwijzing RC4-2 afstandsbediening RC4-2 Gebruiksaanwijzing RC4-2 afstandsbediening Inhoud De afstandsbediening en andere onderdeen die in deze gebruiksaanwijzing zijn afgebeed kunnen er in werkeijkheid anders uitzien. Daarnaast behouden

Nadere informatie

Mobiele compressoren MOBILAIR M52/M64 Met het wereldwijd erkende SIGMA PROFIEL Debiet: 5,2 / 6,4 m³/min. www.kaeser.com

Mobiele compressoren MOBILAIR M52/M64 Met het wereldwijd erkende SIGMA PROFIEL Debiet: 5,2 / 6,4 m³/min. www.kaeser.com Mobiee compressoren MOBILAIR M52/M64 Met het weredwijd erkende SIGMA PROFIEL Debiet: / 6,4 m³/min www.kaeser.com Made in Germany Op de ocatie Coburg/Noord-Beieren worden vakbij de hoofdfabriek van KAESER

Nadere informatie

flexibele mechanica (lange versie)

flexibele mechanica (lange versie) Scoop februari 3 feibee mechanica Jorn Moe feibee mechanica (ange verie) Kaieke mechanica gaat meeta over tarre objecten. Een vaend bok, een roende chijf of een roterende taaf. Mechanica wordt pa echt

Nadere informatie

makelaars haarlem.hiermakelaars.nl

makelaars haarlem.hiermakelaars.nl makeaars Nagtzaamstraat 68 2032 TH Haarem 224 000,- k.k. haarem.hiermakeaars.n Hier Makeaars Houtpein 26 2012 DH Haarem te (023) 5 531 631 haarem@hiermakeaars.n Agemeen Nagtzaamstraat 68, 2032 TH Haarem

Nadere informatie

OPQ Manager Plus Rapport

OPQ Manager Plus Rapport OPQ Profie OPQ Manager Pus Rapport Naam Dhr. Sampe Candidate Datum 25 september 2013 www.ceb.sh.com INTRODUCTIE Dit rapport is bestemd voor gebruik door ijnmanagers en HR professionas. Het bevat aerei

Nadere informatie

M-V-N-lijnen Nadruk op de differentiaalvergelijking. Hans Welleman 1

M-V-N-lijnen Nadruk op de differentiaalvergelijking. Hans Welleman 1 M-V-N-lijnen Nadruk op de differentiaalvergelijking Hans Welleman 1 Uitwendige krachten 50 kn 120 kn 98,49 kn 40 kn 40 kn 30 kn 90 kn 4,0 m 2,0 m 2,0 m werklijnen van de reactiekrachten Hans Welleman 2

Nadere informatie

adressen en gebouwen

adressen en gebouwen &cual 1YAsS Herinspectierapportage Wet basisregistraties adressen en gebouwen Deze rapportage vormt de weersag van de in opdracht van Burgemeester en Wethouders van de gemeente Heeren bij hun gemeente

Nadere informatie

CAGO GAS. IRV 42/C Mod Windfire 373 en 374 Turbo. Artikel nummer: 810007 CE 0051

CAGO GAS. IRV 42/C Mod Windfire 373 en 374 Turbo. Artikel nummer: 810007 CE 0051 CAGO GAS Instaatie - en gebruiks handeiding Infrarood kache IRV 42/C Mod Windfire 373 en 374 Turbo Artike nummer: 810007 CE 0051 Maximae votooiing: 4200W - 305 g/h LPG Voor gebruik van dit toeste a.u.b.

Nadere informatie

Module 2 Uitwerkingen van de opdrachten

Module 2 Uitwerkingen van de opdrachten Module Uitwerkingen van de opdrachten Hoofdstuk 3 Inwendige krachten in lineaire constructiedelen Opdracht Statisch bepaalde constructie. Uitwendig evenwicht te bepalen met evenwichtsvoorwaarden. Daarna

Nadere informatie

Atab in de IKO groep. Atab onderscheidt zich door: IKO setting the standard

Atab in de IKO groep. Atab onderscheidt zich door: IKO setting the standard Vanuit Begië is Atab gegroeid van markteider Beneux tot internationaa bedrijf in de waterdichting. Atab onderscheidt zich door: 100 jaar ervaring in waterdichting expertise in dakdichtingsmateriaen expertise

Nadere informatie

Eindige Elementen Methode Opgaven bij de cursus Gebruik in de lineair elastische vaste stof mechanica ; Cursus , Trimester 2.

Eindige Elementen Methode Opgaven bij de cursus Gebruik in de lineair elastische vaste stof mechanica ; Cursus , Trimester 2. Eindige Eementen Methode Opgaven bij de crss Gebrik in de ineair eastische vaste stof mechanica ; Crss -, rimester. ir. J.H.P. de Vree echnische Universiteit Eindhoven Facteit Werktigbowknde Materias echnoogy

Nadere informatie