NOTITIES OVER KABELS EN BOGEN

Transcriptie

1 NOTITIES OVER KBELS EN BOGEN Parametrisch modeeren met MPLE Ir J.W. Weeman Oktober 0

2 ans Weeman, Den oorn 00-0 Niets uit deze uitgave mag worden verveevoudigd en/of openbaar gemaakt worden door midde van druk, fotokopie, microfim of op weke andere wijze dan ook zonder voorafgaande schrifteijke toestemming van de uitgever de Betonvereniging. De auteursrechten van deze pubicatie berusten bij de auteur J.W. Weeman. Ir J.W. Weeman Oktober 0 ii

3 I N O U D S O P G V E INLEIDING.... OVERZICT VN DE ONDERWERPEN.... OPZET....3 VERNTWOORDING... KBELS EENVOUDIGE KBELSYSTEMEN, EVENWICTSMETODE KBELVERGELIJKING KETTINGLIJN SPNKRCT IN DE KBEL Kabes met een bekende engte Kabes met een spankracht KBELVERLENGING....6 GEVOELIGEID VN VOOR VRITIE IN DE BELSTING....7 ORIZONTLE VERPLTSINGEN IN KBELSYSTEMEN KBEL EN BUIGLIGGER LS PRLLEL DRGSYSTEEM OPDRCTEN BOGEN EENVOUDIGE BOOG EN DE DRUKLIJN Voorbeed : Drukijn van een drie-scharnierspant Voorbeed : Boogbrug met meerdere veden KLSSIEKE OPLOSSINGSMETODE VOOR BOGEN Voorbeed : paraboische boog met een geijkmatig verdeede beasting Voorbeed : sinus boog met een geijkmatig verdeede beasting Momentenverdeing in het statisch bepaade hoofdsysteem Voorbeed: boog met gedeeteijke ast DIFFERENTILVERGELIJKING VOOR BOGEN Voorbeed: boog met inkemming en scharnierende ondersteuning DE UITGEBREIDE DIFFERENTILVERGELIJKING VOOR DE BOOG * KRCTEN IN DE BOOG, VERGELIJKING MET RMWERKPROGRMMTUUR Voorbeed : EEM versus MPLE OPDRCTEN LITERTUURVERWIJZINGEN BIJLGEN YPERBOLISCE FUNCTIES TYLORREEKS ONTWIKKELING LENGTEVERNDERING VOOR DE BOOG DOOR DDITIONELE BELSTING NTWOORDEN VRGSTUKKEN KBELS BOGEN Ir J.W. Weeman Oktober 0 iii

4 Ir J.W. Weeman Oktober 0 iv

5 INLEIDING Kabeconstructies en bogen zijn speciae draagconstructies die vaen in de categorie kromijnige constructies. Deze constructietypen worden over het agemeen niet meer met de hand doorgerekend. Veea wordt, na de behandeing van ijnvormige (rechte) constructietypen en de daarbij behorende kassieke opossingstechnieken, de eindigeeementenmethode [4,5] geïntroduceerd waarmee vervogens constructies kunnen worden geanayseerd m.b.t. de krachtsverdeing en het vervormingsgedrag. andberekeningsmethoden voor het bepaen van de krachtsverdeing en vervormingsgedrag van kabe- en boogconstructies bestaan echter we degeijk en met deze notitie za worden gedemonstreerd dat deze ook heemaa niet zo gecompiceerd hoeven te zijn. Met de komst van symboische agebra computerpakketten zoas MPLE zijn juist de kassieke methoden eenvoudig toepasbaar. Met MPLE kunnen in het ontwerpstadium sne parametrische modeen worden opgested waarmee ontwerpvarianten kunnen worden onderzocht voordat met de eindige-eementenmethode grootschaige berekeningen worden uitgevoerd. De toepassing van kabeconstructies en boogvormige constructies komen heaas niet zo hee vee meer voor, rationaisatie van de uitvoering eidt veea tot (recht-)ijnige constructietypen. Toch ontdekken steeds meer vormgevers de spanning van kromijnige vormen kortom kabes, bogen, dubbe gekromde schaen en bobs worden hip as door smart engineering de kosten aag gehouden kunnen worden.. Overzicht van de onderwerpen Deze notitie start met de kabe as draagsysteem waarna vervogens dit principe verder wordt toegepast op de boogvorm. Eenvoudig is voor te steen dat een boog kan worden verkregen door de kabe te spiegeen, een aanpak die veevudig is gebruikt door ntoni Gaudi (85-96). Uiteraard kunnen kabes aeen trekkrachten opnemen en geen buiging, de boog kan zowe trek as drukkrachten opnemen aangezien deze naast axiae stijfheid ook buigstijfheid heeft. In het geva van grotere drukkrachten kan een boog ook knikverschijnseen vertonen, een fenomeen dat natuurijk bij kabes niet voorkomt. De focus igt op de hoofddraagwerking en niet op de detaiering. Uiteraard is de detaiering bij bogen en kabes ook van bijzonder groot beang aangezien beide constructietypen gevoeig zijn voor de wijze waarop bijvoorbeed aansuitingen zijn uitgevoerd. De detaiering is onderwerp van de beton- en staaessen.. Opzet Dit eermidde gaat uit van een bacheor (kennis)niveau van de Toegepaste Mechanica. ier voor wordt verwezen naar de boeken van artsuijker [] en Weeman [,]. Vee van de voorbeeden zuen worden uitgewerkt met MPLE..3 Verantwoording Bij het tot stand komen van deze notitie is dankbaar gebruik gemaakt van het werk van andere auteurs [5,6]. et doe van deze notitie is om een samenhangende introductie te geven over het onderwerp. Daarnaast hoop ik met deze opzet de gevestigde iteratuur toegankeijk te maken voor de cursist. Ir J.W. Weeman Oktober 0

6 Ir J.W. Weeman Oktober 0

7 KBELS x F q z w Kabes vormen een (krom-) ijnig draagsysteem waarbij de draagwerking gebaseerd is op outer en aeen trekkrachten in het draagsysteem. De kracht in de kabe heeft atijd de richting van de kabe aangezien deze geen buigstijfheid heeft. Eventuee axiae vervorming (verenging) kan meegenomen worden. De stand die de kabe inneemt is afhankeijk van de beasting. In dit hoofdstuk beperken we ons tot kabes die aeen beast worden in de verticae richting. De beasting kan een puntast of een verdeede beasting zijn.. Eenvoudige kabesystemen, evenwichtsmethode Eenvoudige kabesystemen waarbij direct m.b.v. het evenwicht de stand van de kabe kan worden bepaad zijn uitgebreid beschreven in de basisboeken. s voorbeed wordt het onderstaande voorbeed gepresenteerd om de evenwichtsmethode die hierbij wordt toegepast nog eens te demonstreren. Daarbij wordt uitgegaan van een rekoze kabe die outer en aeen wordt beast met een verticae beasting. De stand van de kabe wordt aangeduid met de afstand z k. Dit is de verticae afstand van de suitijn B naar de kabe. v z k B v B h F a b Figuur. : Kabe met puntast. De evenwichtsaanpak gaat ervan uit dat in ieder punt van de kabe het moment bekend is, dit is nameijk nu. Eenvoudig kan worden ingezien dat de horizontae opegreacties inks en rechts, onbekenden zijn die in ieder geva, bij het ontbreken van een horizontae beasting, even groot en tegengested aan ekaar moeten zijn. Deze opegreactie geven we aan met. s vervogens op een wiekeurige positie in het kabesysteem een verticae snede wordt aangebracht, za moeten geden dat de horizontae component van de kabekracht in deze snede geijk moet zijn aan. Dat gedt voor de gehee kabe waarmee een soort constante wordt, deze wordt dan ook we een kabeconstante genoemd. Ir J.W. Weeman Oktober 0 3

8 Voor het opossen van de onbekenden in kan gebruik worden gemaakt van twee evenwichtsvergeijkingen. De eerste is het momentenevenwicht van de hee constructie om punt B en de tweede vergeijking is het momentenevenwicht van een dee van de constructie om een wiekeurig punt van de kabe. Een handig punt is hiervoor een snede juist inks van het aangrijpingspunt van de puntast zoas in de onderstaande figuur is aangegeven. v h a a + b z k C a Figuur. : Vrijgemaakt dee van de kabe. De twee evenwichtsvergeijkingen die kunnen worden opgested zijn ( ) B ( ) ( a + b) h F b = 0 T gehee = 0 v ha v a + zk = 0 T inkerdee = 0 C a + b Eiminatie van de verticae opegreactie in deze twee vergeijkingen resuteert in: z Fab b = k a + () s de geometrie van de kabe bekend is, doordat bijvoorbeed de totae engte van de kabe bekend is, dan kan hiermee de onbekende worden bepaad. Omgekeerd kan met een bekende de stand van de kabe worden bepaad. Merk op : In feite kan deze aanpak op iedere paats van de kabe worden uitgevoerd. De stand die de kabe inneemt onder de suitijn B wordt dan een functie die afhankeijk is van x en aangeduid met zk ( x ). In de uitdrukking van vergeijking () komt het rechterid hopeijk zeer bekend voor. Ir J.W. Weeman Oktober 0 4

9 s dezefde beasting wordt aangebracht op een horizontae igger ontstaat de situatie van figuur.3. De momentenijn voor deze situatie is in de figuur getekend. a F b B v = Fb B v a + b M-ijn M C M C = Fab a + b Figuur.3 : Ligger met identiek beastingschema en momentenijn. Met de eementaire kennis van de mechanica kan het moment onder de puntast worden bepaad op basis van de opegreacties: M C = Fab a + b De vorm van de momentenijn van het iggersysteem is identiek aan de stand die de kabe inneemt onder de suitijn B uit figuur.. De afstand z k is daarbij recht evenredig met de grootte van het moment M c. De horizontae component van de kabekracht is daarbij een schaingsfactor: z k Fab a b M = + = C Ook voor een kabe beast onder een geijkmatig verdeede beasting kan worden onderzocht of de gevonden reatie gedig is. In het onderstaande probeem wordt een kabe beast met een geijkmatig verdeede beasting per eenheid van horizontaa gemeten engte. q B x v zk ( x ) B v z Figuur.4 : Kabe met geijkmatig verdeede beasting. Geijkmatig verdeede beasting per eenheid kabeengte wordt in een vogende paragraaf behanded. Ir J.W. Weeman Oktober 0 5

10 Vanwege symmetrie is in te zien dat de verticae opegreacties even groot zuen zijn en geijk zijn aan de heft van de totae beasting. q snede q zk V ( x ) x-as x z-as Figuur.5 : Vrijgemaakt kabedee. Door een verticae snede aan te brengen op een afstand x vanaf en vervogens het momentenevenwicht om de snede te nemen, ontstaat de vogende evenwichtseis: q x qx x zk ( x) = 0 zk ( x) = qx( x) De stand van de kabe voor iedere waarde van x is hiermee te bepaen indien de horizontae component van de kracht in de kabe bekend is. et rechterid in vergeijking () is juist geijk aan de paraboische momentenijn van een igger op twee steunpunten, beast met een geijkmatig verdeede beasting (ga dat zef maar eens na). Ook nu weer gedt: qx( x) M ( x) zk ( x) = = De stand van de kabe onder de suitijn -B is op een schaingsconstante na, geijk aan de momentenijn van de igger op twee steunpunten met een identieke beasting. averwege de overspanning za de hierboven geschetste kabe een doorhang hebben van: () z ( ) = k q 8 Deze aanpak gedt uiteraard ook voor een kabe met steunpunten op ongeijke hoogten en beast met een geijkmatig verdeede beasting. De waarde van vogt meesta uit een gegeven kabeengte of een bekende spankracht op het kabesysteem. ierop za ater verder worden ingegaan. Deze evenwichtsaanpak staat ook we bekend as de ingenieursmethode voor kabes en is de tegenhanger van een meer wiskundige aanpak op basis van de differentiaavergeijking voor de kabe. Ir J.W. Weeman Oktober 0 6

11 . Kabevergeijking Een meer formee afeiding voor de stand van de kabe kan worden gevonden door naar een kein dee van een kabe te kijken. In de onderstaande figuur is een kabemootje getekend waar bij in de inkersnede en rechtersnede de krachten op de kabe zijn aangegeven met en V. Uiteraard moet de samensteing van deze componenten de kabekracht T opeveren die de richting heeft van de kabe t.p.v. de snede. In de rechtersnede is de verticae component van de kracht in de kabe een beetje gewijzigd. De horizontae component, is bij afwezigheid van horizontae beasting, geijk. De paatsfunctie van de kabe is aangegeven met z. T snede V q snede α z x-as V + V x T + T z-as Figuur.6 : Kabemootje Ter paatse van de inkersnede gedt dat de heing van de kabe geijk is aan: dz tanα = (3a) angezien de horizontae en verticae component van de kracht in de kabe een resutante hebben in de richting van de kabe moet ook geden: en V tanα = (3b) V T = + V = + = + tan α zie noot Uit het verticae evenwicht vogt: V + q x + V + V = 0 V x = q (3c) Merk op dat de kabekracht T maximaa is daar waar de kabe de grootste heing heeft. Ir J.W. Weeman Oktober 0 7

12 In de imiet waarbij de engte van het kabemootje nadert tot nu gaat (3a) over in: dv q = Door (3a) te substitueren in (3b) ontstaat: (3d) dz dv d z V = tanα = = (3e) In evenwichtsvergeijking (3d) wordt de afgeeide van V gebruikt. Echter met (3e) hebben we een reatie tussen de veranderijke V en de afgeeide van de paatsfunctie en nog niet een reatie tussen de beasting q en de paatsfunctie z van de kabe. In het gehee kabeprobeem is een constante. Door de aatste vergeijking eenmaa te differentiëren naar x en dit resutaat te substitueren in (3d) ontstaat uiteindeijk: d z d q x = (4) Deze aatste vergeijking staat bekend as de differentiaavergeijking voor de kabe. De constante horizontae component van de kracht in de kabe geeft direct de beperking weer van deze vergeijking. Deze DV is aeen gedig voor kabes beast met outer en aeen verticae beastingen. Met deze DV is er een reatie geegd tussen de stand van de kabe z en de beasting op de kabe. In het onderstaande schema is de aanpak nog eens systematisch samengevat: uitwendig inwendig uitwendig w α V q (a) (b) (c) Differentiaavergeijking (DV) De differentiaavergeijkingen voor ae basisdraagsystemen in de mechanica kunnen met dit schema worden afgeeid. De reaties (a), (b) en (c) hebben ook een eigen naam: - kinematische reatie, egt een verband tussen de verpaatsingen (uitwendig) en de vervormingen (inwendig) - constitutieve reatie, egt een verband tussen de (inwendige) vervorming en de (inwendige) spanning of gegeneraiseerde spanning (krachtsgrootheid) - evenwichtsreatie, egt een verband tussen de (inwendige) spanning of gegeneraiseerde spanning en de (uitwendige) beasting. De aangegeven vogorde waarin de vergeijkingen worden gesubstitueerd om de DV te verkrijgen staat bekend as de verpaatsingenmethode. Immers de verpaatsing is de onbekende in de DV. Voor het opossen van de differentiaavergeijking gedt standaard: gemene opossing DE opossing = homogene opossing + particuiere opossing = verwerken van de randvoorwaarden in de agemene opossing Ir J.W. Weeman Oktober 0 8

13 Met een eenvoudige toepassing kan tevens een reatie worden geegd met het eerder gevonden resutaat m.b.v. de ingenieursmethode. De kabe beast met een geijkmatig verdeede beasting per eenheid van horizontaa gemeten engte is hieronder nog eens weergegeven. q B x v zk ( x ) B v z Figuur.7 : Kabemootje Toepassen van de differentiaavergeijking betekent dat we voor deze e orde DV twee randvoorwaarden moeten opsteen. Door de randvoorwaarden in de agemene opossing te verwerken kan de opossing van de DV worden bepaad. In het bovenstaande voorbeed is sne in te zien dat de paatsfunctie van de kabe bekend is voor x = 0 en x =. De waarde z is daar immers nu. De agemene opossing van de DV kan eenvoudig worden gevonden door de DV twee maa te integreren (aternatief voor de nette aanpak m.b.v. de homogene en particuiere opossing) : = + + z qx Cx C De beide integratieconstanten vogen uit het verwerken van de randvoorwaarden: x = 0; z = 0 : 0 = C C = 0 x = ; z = 0 : 0 = q + C C = q Met deze opossing voor de constanten wordt de opossing voor dit specifieke probeem: z = qx( x) () Deze uitkomst is identiek aan uitdrukking () die m.b.v. de ingenieursmethode werd gevonden. De kabevergeijking is aeen gedig op een ved waar de in de afeiding aangenomen beasting werkt. Daar waar de beasting verandert of waar puntasten worden aangebracht moet een vedrand worden aangebracht. Kabes met verschiende beastingen zuen moeten worden opgedeed in veden en per ved moet een kabevergeijking (DV) worden opgeost. Uiteraard moet aan de randen van het probeem worden vodaan aan de randvoorwaarden en in de overgang van ved naar ved moet worden vodaan aan overgangsvoorwaarden. Met een voorbeed za deze aanpak worden gedemonstreerd. Ir J.W. Weeman Oktober 0 9

14 Voorbeed: Kabevergeijking voor meerdere veden Een kabe met ophangpunten op ongeijke hoogte, wordt beast met een puntast en een geijkmatig verdeede beasting zoas aangegeven in de onderstaande figuur. Gegeven is dat de kabeconstante bekend is. q F x z zk ( x ) a b -a-b ved ved ved 3 B h Gegeven: q F a b h = 5 kn/m = 5 kn =,0 m =,0 m = 6,0 m =,0 m = 30 kn Figuur.8 : Kabevergeijking voor meerdere veden Gevraagd wordt om de stand van de kabe te bepaen in het aangegeven assenstese. We kiezen hier nu niet voor de ingenieursaanpak maar voor de formee wiskundige route op basis van de DV. Bij het opossen za de kabe in drie veden moeten worden opgedeed aangezien de beasting niet constant is. Voor ieder ved wordt een paatsfunctie geïntroduceerd met de daarbij behorende differentiaavergeijking: ved d z = q z = qx + C + Cx ved d z = 0 z = C3 + C4x ved 3 d z3 = 0 z 3 = C5 + C6x De paatsfunctie z(x) bestaat uit drie segmenten met totaa zes onbekende integratieconstanten. an de randen van de kabe geden de randvoorwaarden. angezien de differentiaavergeijking van de e orde is, moeten er ook twee randvoorwaarden worden gedefinieerd: x = 0; z = 0 x = ; z = h 3 Deze randvoorwaarde zeggen iets over de verpaatsing en worden daarom ook we kinematische randvoorwaarden genoemd. Dit in tegensteing tot voorwaarden die iets zeggen Ir J.W. Weeman Oktober 0 0

15 over krachten. Deze worden dynamische randvoorwaarden genoemd. Op de overgang van veden geden om dezefde reden ook twee overgangsvoorwaarden. Voor de overgang van ved naar ved gedt: x = a; z = z dz dz = is indentiek aan : V = V Dat de heing in de overgang van ved naar ved geijk is vogt eigenijk uit een evenwichtseis voor de verticae component van de krachten in de snede op de overgang. Feiteijk is hier dus sprake van een dynamische overgangsvoorwaarde. Voor de overgang van ved naar ved 3 gedt naast de eis dat de kabe inks en rechts aan moet suiten tevens de eis dat de verticae component van de kabekracht inks en recht van de puntast F evenwicht moet maken met deze puntast (maak zef een schetsje!): x = a + b; z = z 3 dz dz3 V + F + V3 = 0 met: V = ; V3 = In deze overgang zien we dus ook zowe een kinematische- as een dynamische overgangsvoorwaarde verschijnen. V V iermee zijn zes vergeijkingen geformueerd waarmee de zes onbekende integratieconstanten kunnen worden bepaad. Met deze constanten kan uiteindeijk de stand van de kabe worden bepaad. andwerk is hier uit den boze, met MPLE kan een dergeijk probeem zeer eenvoudig worden beschreven en opgeost. De compete MPLE invoer is daarom hieronder opgenomen. > restart; > z:=(-/)*((/)*q*x^+c+c*x); > z:=(-/)*(c3+c4*x); > z3:=(-/)*(c5+c6*x); > V:=*diff(z,x); V:=*diff(z,x); V3:=*diff(z3,x); > x:=0; eq:=z=0; > x:=a; eq:=z=z; eq3:=v=v; > x:=a+b; eq4:=z=z3; eq5:=-v+f+v3=0; > x:=; eq6:=z3=h; > so:=sove({eq,eq,eq3,eq4,eq5,eq6},{c,c,c3,c4,c5,c6}); assign(so); > :=30; a:=; b:=; :=6; h:=; q:=5; F:=5; > x:=a; print(z); x:=a+b; print(z); > x:='x'; > with (pots): > :=pot(-z,x=0..a,tite="paatsfunctie van de kabe"): B:=pot(-z,x=a..a+b): C:=pot(-z3,x=a+b..): > dispay({,b,c}); Figuur.9 : MPLE invoer De zes vergeijkingen worden aangeduid met eq t/m eq6. De verticae component van de kracht in ieder kabesegment is aangeduid met V t/m V3. Ir J.W. Weeman Oktober 0

16 Op de vedranden wordt voor de paatsfunctie van de kabe gevonden: x =,0 m z = m 9 9 x = 4,0 m z = m 9 De uiteindeijke paatsfunctie kan met MPLE worden gepot. Figuur.0 : Paatsfunctie van de kabe Noot: Om de kabe omaag te aten verpaatsen in de figuur moet in MPLE een negatieve z-ordinaat worden ingevoerd. Opmerking: et opdeen in veden is noodzakeijk i.v.m. het niet continu zijn van de beasting. In MPLE kan echter een puntast worden ingevoerd as een dirac functie (pus). ermee kan a.h.w. een continue beasting worden verkregen en kan de kabe met één ved worden opgeost. Bij het onderwerp bogen za deze aanpak worden toegeicht. oewe deze formee methode uitstekend werkt met behup van MPLE, is het toch we behoorijk zwaar geschut voor een tameijk eenvoudig probeem. Ga zef na dat dit probeem ook hee eenvoudig op te ossen is met de ingenieursmethode door eerst de momentijn te bepaen van een horizontae igger op twee steunpunten met dezefde beasting. De paatsfunctie van de kabe onder de suitijn tussen de steunpunten is dan vervogens op een schaingsconstante na, geijk aan deze momentenijn. Ir J.W. Weeman Oktober 0

17 .3 Kettingijn In de aanpak tot nu toe is voor de geijkmatig verdeede beasting aangenomen dat deze werkt per eenheid van horizontaa gemeten engte. Voor een dakconstructie waarbij een verhoudingsgewijs zwaar dak hangt aan een kabe is dit een redeijke benadering. q B dak Werkeijke beasting van het dak wordt geschematiseerd as een geijkmatig verdeede beasting per eenheid van horizontaa gemeten engte Werkeijke beasting van aeen de zware kabe wordt geschematiseerd as een geijkmatig verdeede beasting per eenheid van gemeten engte angs de kabe Figuur. : Typen verdeede beasting Voor echter aeen het gewicht van een zware kabe is dit mode niet correct en za de beasting moeten worden bepaad per eenheid van engte gemeten angs de kabe. Op het oog ijkt dit geen grote verandering. De consequenties zuen netjes worden bekeken door opnieuw door de afeiding te open van de kabevergeijking. V s α q V + V z x-as x x z-as s z Figuur. : angepast mode met verdeede beasting per eenheid van engte angs de kabe Ir J.W. Weeman Oktober 0 3

18 een de vergeijking voor het verticae evenwicht verandert. V s V + q s + V + V = 0 = q x x De engte van de kabe, angs de boog gemeten, voor een kein mootje van de kabe kan worden bepaad met behup van Pythagoras, zie figuur.: z s = x + z s = x + x Door deze uitdrukking te verwerken in de evenwichtsvergeijking ontstaat: z x + V x V z = q = q + x x x x In de imiet overgang waarbij de engte van het mootje naar nu nadert, gaat deze uitdrukking over in: dv dz = q + Door (3a) te substitueren in (3b) en dat resutaat net as eerder te substitueren in de bovenstaande evenwichtsvergeijking ontstaat: d z dz = q + (5) Deze differentiaavergeijking heeft een rechterid waarin ook termen zitten die afhankeijk zijn van de paatsfunctie z. We kunnen nu niet sne een agemene opossing vinden door inks en rechts direct te integreren. De opossing van deze DV kan gevonden worden door eerst een substitutie uit te voeren: dz = sinhς (stap ) iermee ontstaat: d( sinh ς ) = q + sinh ς Deze uitdrukking aat zich verder vereenvoudigen tot: dς d cosh cosh d q ς ς = ς = x q Van deze eerste orde DV kunnen we door integreren de opossing bepaen: qx ς = + C (stap ) Ir J.W. Weeman Oktober 0 4

19 Dit resutaat vuen we vervogens in, in de formue van stap. Dit evert: dz qx = sinhς = sinh + C Na nog een integratie-stap ontstaat de agemene opossing van de DV: qx z = cosh + C + C q (stap 3) (6) Deze cosinus hyperboicus staat ook we bekend as de kettingijn. De opossing van de integratieconstanten veroopt as eerder beschreven. Door de randvoorwaarden van de kabe in te vuen in de agemene opossing kunnen de integratieconstanten worden bepaad en wordt de opossing verkregen van de paatsfunctie van de kabe uitgedrukt in q en. De vorm wijkt niet zo hee vee af van de paraboo. s we een Tayor-benadering ontwikkeen rond x = 0 dan vinden we de eerder gevonden paraboische opossing. Paraboisch resutaat : z = D + D x + D x 3 et verschi tussen de kettingijn en de paraboische opossing kan dimensieoos zichtbaar worden gemaakt door de kracht uit te drukken in de beasting q : β = q De paatsfunctie z = f van de kabe haverwege de overspanning kan ook dimensieoos worden gemaakt met: y = f In de figuur rechts is de doorhang y gepot tegen de kracht β in de kabe. Voor hoge kabekrachten, en daarmee strak gespannen kabes, is de paraboische opossing geijk aan de kettingijn en is de eenvoudige DV vogens vergeijking (4) van pagina 8 prima toepasbaar. Figuur.3 : Vergeijk paraboo met kettingijn Ir J.W. Weeman Oktober 0 5

20 .4 Spankracht in de kabe In de uiteg tot nu toe wordt uitgegaan van een bekende (constante) horizontae component van de kabekracht T. Deze kracht kan angs twee routes worden bepaad: Bekende engte van de kabe Bekende spankracht op het kabesysteem an de hand van voorbeeden worden beide routes toegeicht..4. Kabes met een bekende engte In deze paragraaf wordt de eerste route onderzocht aan de hand van twee voorbeeden. Voorbeed : Kabe met puntasten s een kabe van een gegeven engte wordt beast, za de stand die de kabe inneemt geijkvormig zijn aan de momentenijn van het iggersysteem onder een identieke beasting. s voorbeed wordt de kabeconstructie van de onderstaande figuur nader bekeken. B suitijn B z k z k 0 kn 60 kn 3,0 m 4,0 m,0 m 6,0 m C 3,0 m 3,0 m Figuur.4 : Kabe met gegeven kabeengte Van het kabedee B is gegeven dat de totae engte geijk is aan,6344 m. Met deze kabeengte wordt de dag van 9,0 m overspannen. De kabe heeft dus een finke overengte. oe de kabe op dit dee er precies bij staat is niet bekend, ter paatse van de puntasten zuen er we knikken optreden maar verder is de stand van de kabe ter paatse van de beide puntasten onbekend. Uiteraard zijn ae segmenten we rechte ijnen aangezien er geen verdeede beasting aangrijpt op de kabe. Gevraagd wordt om met dit gegeven de horizontae component van de kabekracht te bepaen. Er wordt in dit voorbeed gebruik gemaakt van de ingenieursaanpak: De stand die de kabe inneemt onder de suitijn B is op een constante na geijk aan de momentenijn van de igger op twee steunpunten met een identieke beasting. Ir J.W. Weeman Oktober 0 6

21 Toepassen van dit concept op dit probeem evert voor de momentenijn: 0 kn 60 kn 3,0 m 4,0 m,0 m 0 kn 50 kn M-ijn. z k. z k 60 knm Figuur.5: Liggersysteem met identieke beasting 00 knm De stand die de kabe inneemt onder de suitijn B is geijkvormig aan de hierboven weergegeven momentenijn. ieruit is op te maken dat gedt: z = z ; 00 = z ; = z = z k k k k k zk 00 6 Uit de geometrie van figuur.4 is vervogens op te maken dat de totae kabeengte geijk is aan de som van de drie segmenten: 7 k k k k L = 3 + ( z ) z ( z ) + + z Deze engte moet geijk zijn aan de gegeven engte van,6344 m. ieruit vogt: z =,0 m; z = 3 m; k k 3 Vervogens kan de horizontae component van de kabekracht worden bepaad met: 60 zk = 60 = = 30 kn,0 Met dit resutaat kan ten sotte de exacte stand van de kabe onder de gegeven beasting worden getekend. Ga zef na dat de kabe horizontaa oopt tussen de beide puntasten en merk op dat de opegreacties van het kabesysteem niet geijk zijn aan die van de igger! Ir J.W. Weeman Oktober 0 7

22 Voorbeed : Een kabe met een geijkmatig verdeede beasting De onderstaande kabe met een gegeven engte L wordt beast met een geijkmatig verdeede beasting. De kabe heeft haverwege een doorhang van f, ook we de pij van de paraboo genoemd. Bepaa de horizontae component van de kracht in de kabe. q B f L Figuur.6: Kabe met verdeede beasting Uit de eerdere anayse is afgeeid dat het kabeveroop paraboisch is en dat hiervoor de vogende uitdrukking is afgeeid: qx( x) z ( ) 4 fx( x) k x = of: zk ( x) = De engte van de totae kabe is gegeven. Om de engte van de kabe angs een boogsegment te bepaen is eerder gebruik gemaakt van: dz ds = + Voor de totae engte angs de boog gedt dan: x= x= dz L = ds = + x= 0 x= 0 Uitwerken van deze expressie eidt tot noga een pittige integraa. Voorgested wordt daarom om de boogengte te benaderen door een Tayor-benadering waardoor we verost raken van de diaboische worte onder het integraateken. Dit evert: dz dz q L = ds + = + = + 4 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= x= x= x= 3 Voor een gegeven beasting en overspanning kan de onbekende worden bepaad. s de overengte van de kabe wordt voorgested met dan gedt: q 4 3 = = L met: Ir J.W. Weeman Oktober 0 8

23 Vaak is het ook handig om sne de reatie te zien tussen de overengte en f, de pij van de paraboo. s de f kein is ten opzichte van de overspanning, spreken we van strak gespannen kabes. Uit de expressie voor de engte angs de kabe vinden we: 3 q = L = (7) 4 averwege de kabe moet tevens geden: f = q 8 ieruit vogt : 8 f 3 = of: f = 8 (8) 3 Dit zijn veea handige formues om sne de engte van de kabe te vertaen naar een maximae doorhang voor paraboische kabes..4. Kabes met een spankracht Met een voorbeed za worden uiteengezet hoe met een spankracht op een kabesysteem de horizontae component van de kabekracht kan worden bepaad. et voorbeed is outer iustratief voor een van de vee mogeijkheden die de ezer verder zef kan bedenken en kan uitwerken. In de onderstaande figuur is een kabe weergegeven die op spanning wordt gehouden met behup van een gewicht F aan de kabe die over een katro wordt geeid. q f L B. katro F opegreactie van de as van het katro componenten van de kabekracht F V krachtenveehoek voor het katro F krachten op het katro F F F Figuur.7: Kabe met een spankracht Ir J.W. Weeman Oktober 0 9

24 De kracht uit het gewicht za via het katro eiden tot een kracht in de kabe die even groot is. Deze kabekracht kan worden ontbonden in een verticae component V en een horizontae component. Deze aatste wien we bepaen. opegreactie van de as van het q B katro V T V f L V F. katro F Figuur.8: Vrijgemaakt kabeichaam met ae daarop werkende krachten De verticae component V moet op basis van verticaa evenwicht geijk zijn aan: V = q De kabekracht T is bekend en geijk aan de kracht F t.g.v. het gewicht. ieruit vogt voor : = F q (9) Voor een totae beasting q die kein is t.o.v. F aat uitkomst (9) zien dat min of meer geijk is aan F, bij toenemende beasting echter za afnemen. Met de uitdrukking voor kan de zakking haverwege worden bepaad met: f = q 8 q f = 8 F q Deze aatste expressie is aeen nog afhankeijk van de beasting q, de kracht F uit het gewicht en de overspanning. Opvaend aan deze expressie is dat de maximae doorhang f niet ineair afhankeijk is van de totae beasting q. Dat houdt in dat in geva van kabes niet zonder meer het superpositiebeginse kan worden toegepast. Immers een twee maa zo grote beasting eidt niet tot een twee maa zo grote doorhang. Op dit aspect za verderop worden ingegaan. Ir J.W. Weeman Oktober 0 0

25 .5 Kabeverenging Een kabe za in het agemeen rekken t.g.v. de optredende kabekracht T. De invoed hiervan is tot nu toe buiten beschouwing geaten. De verenging van een ineair eastisch op trek beast eement is eenvoudig te bepaen met behup van de wet van ooke. s de axiae stijfheid E is en de engte van het eement, dan za de verenging t.g.v. een normaakracht N geijk zijn aan: N = E De kabe heeft een trekkracht T in de kabe die op iedere paats de richting heeft die geijk is aan de raakijn aan de kabe. De trekkracht T is niet constant maar is de samensteing van de horizontae (constante) component en de verticae component V: dz dz T = + V = + = + Voor een infinitesimaa kabemootje ds kan de verenging δ worden bepaad met: T α Tds δ = E De engte angs de boog van de kabe kan, zoas we eerder hebben gezien, worden uitgedrukt met: dz ds = + ds Figuur.9: Verenging per mootje T ds dz dz De totae verenging van de kabe is de som van de verenging van ieder mootje: s= L x= x= Tds dz dz L = = + = + E E E E s= 0 x= 0 x= 0 (0) Voor een kabe onder een geijkmatig verdeede beasting (paraboisch veroop) evert dit: q 6 L = + = + f E E E 3 3 s de kabekracht op basis van een bekende engte wordt bepaad kan met deze uitkomst de uitdrukking voor de overengte vogens (7) worden verfijnd tot: = L + L (7b) In het ontwerpstadium is het redeijk om aeen de eerste term van (0) te gebruiken om de orde van grootte te bepaen van de verenging van de kabe. Daarom kan vaak worden vostaan met: L = E (voor paraboisch veroop met f 0, bijft de fout onder de 5 %) Ir J.W. Weeman Oktober 0

26 .6 Gevoeigheid van voor variatie in de beasting et feit dat een kabesysteem in feite een niet ineair systeem is maakt het noodzakeijk om iets verder te kijken naar de zgn. kabeconstante. s nameijk afhankeijk is van de beasting zoas in het voorgaande voorbeed duideijk werd, dan kunnen we niet meer spreken over een kabeconstante en kunnen we ook niet het superpositiebeginse toepassen zoas we dat bij andere constructies veea doen. Om de gevoeigheid van te onderzoeken za worden gekeken naar de opossing van een kabe t.g.v. een niet constante q-ast. In gedachte aten we op de inker heft van de kabe een q-ast werken die een beetje groter is geworden en op de rechter heft een q-ast die evenvee keiner is geworden. q = q + p q q = q p B L L Figuur.0 : Kabe met niet-symmetrische beasting Van de hierboven weergegeven kabe wordt onderzocht in hoeverre de horizontae component van de kabekracht afwijkt van die van een geijkmatig verdeede beasting q. De opossing van dit probeem aat zich gemakkeijk uitschrijven met behup van de kabevergeijking. We gaan er hierbij vanuit dat de kabeconstante is van de kabe met de geijkmatig verdeede beasting q en dat + de horizontae component van de kabekracht is van het nietsymmetrische beastingsgeva. Vanwege deze beasting spitsen we de constructie op in twee veden: ved d z ( + ) = q ( + ) z = q x + C + Cx ved d z ( + ) = q ( + ) z = qx + C3 + C4x De igging van de kabe is bekend as de vier integratieconstanten zijn bepaad. Met twee rand- en twee overgangsvooraarden zijn deze vier constanten te bepaen: x = 0 : z = 0; x = : z = z ; z ' = z ' x = ; z = 0; Voor de engte L van de kabe maken we gebruik van de uitkomst voor de kabe met een geijkmatig verdeede beasting q over de gehee dag: 3 q L = + 4 Ir J.W. Weeman Oktober 0

27 s we vervogens de opossing bepaen van de paatsfunctie van de kabe ten gevoge van de gewijzigde beasting za de totae engte van de kabe in dit geva natuurijk niet verandert zijn. Wiskundig houdt dit in: 3 x= x= q dz d z 4 0 x= x= L = + = Noot: Er wordt hierbij gebruik gemaakt van de vereenvoudigde Tayor-benadering voor de ontwikkede engte angs de kromme. Uitwerken van deze vergeijking geeft de opossing voor de toename van de horizontae component van de kabekracht: p = + () 4q Dit resutaat kan sne met MPLE worden verkregen, de code is hieronder weergegeven. > restart; > q:=q+p; q:=q-p; > z:=(-/(+d))*((/)*q*x^+c+c*x): z:=(-/(+d))*((/)*q*x^+c3+c4*x): > V:=(+d)*diff(z,x): V:=(+d)*diff(z,x): > x:=0: eq:=z=0: > x:=/: eq:=z=z: eq3:=v=v: > x:=; eq4:=z=0: > so:=sove({eq,eq,eq3,eq4},{c,c,c3,c4}); assign(so); x:='x': > eq5:=int(+(/)*(diff(z,x))^,x=0../)+ int(+(/)*(diff(z,x))^,x=/..)=+(q^*^3)/(4*^); > so:=sove(eq5,d); d:=so[]; Figuur. : MPLE invoer Met resutaat () kan ingezien worden dat indien de beasting met ca 5% fuctueert: q = q + p = q + q; q = q p = q q 4 4 De horizontae component van de kabekracht toeneemt met: = Dat betekent dat 5% beastingvariatie eidt tot een variatie van 0,78% in de horizontae component van de kabekracht. De kabeconstante is dus behoorijk constant. Een soortgeijke beschouwing kan ook worden uitgevoerd op de paatsfunctie van de kabe. Bij een geijkmatige beasting za op een kwart en driekwart van de overspanning de kabe een doorhang hebben van driekwart van de maximae doorhang: q 3q x = 4 ; z = 4 f = 4 z = 3 De opossing met de niet-symmetrische beasting vogens de MPLE invoer van figuur., za op een kwart van de overspanning bij een variatie van 5% in de beasting, een toename van de doorhang van de kabe geven van 7,5%. Deze gevoeigheid in stijfheid is niet te verwaarozen. Ir J.W. Weeman Oktober 0 3

28 .7 orizontae verpaatsingen in kabesystemen In de vorige paragraaf is beschreven hoe de gevoeigheid van een kabesysteem kan worden onderzocht bij variaties in de beasting. In figuur.0 is te zien dat het kabesysteem zich zet naar een nieuwe beasting. Te zien is dat in het inkerdee de kromming wat toeneemt en dat het rechterdee wat rechter wordt. et midden van de kabe za daardoor iets naar inks verpaatsen met een horizontae verpaatsing h zoas aangegeven. q = q + p q q = q p h L L B Figuur.: Kabe met niet-symmetrische beasting In de toegepaste modevorming met behup van de DV is echter aeen de verticae verpaatsing een vrijheidsgraad die kan worden opgeost. We hebben echter gezien in de vorige paragraaf dat de horizontae component van de kabekracht niet of nauweijks varieert bij variatie van de beasting. Door nu gebruik te maken van deze eigenschap kan het probeem van de variatie in de beasting ook anders worden beschreven. Ste dat de paatsfunctie z van de kabe hoort bij een geijkmatig verdeede beasting q en dat bovenop deze paatsfunctie een additionee verpaatsing w t.g.v. een variatie p in de beasting wordt aangebracht. Er gedt dan: ( + ) d z w d z ( + ) = q + p met: = q Door de verandering van te verwaarozen kan de verpaatsing w worden bepaad met: ( + ) d z w d z = q + p met: = q dus : d w = p De superpositie van de verpaatsing w op de paatsfunctie z is in de vogende figuur weergegeven. Kabedee B za door een additionee beasting p een verpaatsing ondergaan naar B. De oorspronkeijke punten van de kabe zuen daarbij ook een horizontae verpaatsing u ondergaan. Ir J.W. Weeman Oktober 0 4

29 w ds α B dz x u z α ds Figuur.3: Kabe met horizontae verpaatsing u t.g.v. additionee verpaatsing w De horizontae verpaatsing u die in deze situatie optreedt ontstaat outer en aeen t.g.v. de additionee verpaatsing w. Uit de bovenstaande figuur is af te ezen dat voor de horizontae verpaatsing du t.g.v. de additionee verpaatsing dw gedt: ieruit vogt: dz du = tanα dw met: tanα = d d d d du = z dw u = z w Door integratie van deze aatste uitdrukking is de horizontae verpaatsing te bepaen: dz dw u = x + C d () Meesta za bij een kabe in de beide ophangpunten geen horizontae verpaatsing mogeijk zijn waarmee moet geden: x= dz dw u( ) u(0) = = 0 (3) x= 0 B du α Dit resutaat kan ook verkregen worden op basis van de ontwikkede engte angs de kabe 3. Dat betekent dat met (3) twee viegen in een kap worden gesagen, ten eerste is deze uitdrukking hetzefde as de eis dat de engte van de kabe niet verandert en ten tweede evert () het gereedschap om de horizontae verpaatsing, t.o.v. de paatsfunctie, van punten op de kabe t.g.v. een additionee beasting p te bepaen. De hier afgeeide eis za ook in het vogende hoofdstuk over bogen een ro speen. dw 3 Bewijs hiervan is te vinden in de bijage. Ir J.W. Weeman Oktober 0 5

30 .8 Kabe en buigigger as parae draagsysteem Kabes worden vee toegepast as verstijvend eement bij het creëren van grote overspanningen zoas bijvoorbeed hangdaken en hangbruggen. Figuur.4: Severn Bridge nabij Bristo foto J.W. Weeman Over het agemeen is de permanente beasting bij dit soort constructies hoog ten opzichte van de veranderijke (mobiee) beasting. Bij de montage van bijvoorbeed een hangbrug wordt de brugigger veea spanningsoos gemonteerd, dat wi zeggen dat het eigen gewicht van de brugigger voedig wordt gedragen door de kabe waardoor in de brugigger, veea een buigigger, geen krachten optreden door de permanente beasting q. Een voorbeed van een mode voor de hoofdoverspanning van een brug is in figuur.5 gegeven. x z stijve hangers z(x) kabe h EI igger Figuur.5: Kabe en buigigger as draagsysteem voor een hangbrug Direct na montage gedt voor het draagsysteem: d z = q ( voedige permanente beasting gedragen door de kabe ) Na gereedkomen van de constructie za de veranderijke beasting p aaneiding geven tot vervormingen waarbij de extra optredende verticae verpaatsing w ten opzichte van de paatsfunctie z van de oorspronkeijke stand van de kabe, voor zowe de kabe as de brugigger identiek moeten zijn. We nemen dan gemakshave aan dat de hangers waarmee de brugigger aan de draagkabe is verbonden, niet vervormen door de optredende normaakracht. Uitgaande van het gegeven dat de veranderijke beasting kein is ten opzichte Ir J.W. Weeman Oktober 0 6

31 van de permanente beasting, mogen we ervan uitgaan dat de horizontae component van de kracht in de kabe niet of nauweijks verandert. Daarmee ontstaat een parae draagsysteem van kabe en brugigger. s de brugigger een buigigger is, za de totae draagwerking de som van de draagwerking zijn van de afzonderijke kabe en buigigger. ierbij za de kabe een nieuwe stand innemen die kan worden aangeduid met z+w terwij de buigigger een zakking ondergaat van w. ( z + w) d = q 4 d w EI = q 4 kabe buigigger Merk hierbij op dat uitgegaan wordt van een ongewijzigde. De totae beasting op het systeem is de permanente beasting q en de veranderijke beasting p. Deze totae beasting is uiteraard geijk aan de draagwerking van de kabe en de buigigger: q + p = q + q kabe buigigger iermee ontstaat de vogende differentiaavergeijking voor het draagsysteem. ( z + w) 4 d w d EI = q + p 4 angezien de voedige permanente beasting p wordt gedragen door aeen de kabe, zie de uitdrukking op de vorige badzijde, kan dat uitgangspunt worden verwerkt in de bovenstaande vergeijking. Er ontstaat dan: ( z + w) 4 d w d d z EI = + p 4 In deze vergeijking vat de term voor de permanente beasting er uit en resteert een differentiaavergeijking met aeen w as onbekende verpaatsingsgrootheid. 4 d d d EI w w = p met: z q (4) 4 Deze vergeijking is een bekende, een parae systeem van kabe en buiging waarbij de horizontae component van de kracht in de kabe bekend is m.b.v. de paatsfunctie z van de kabe en de permanente beasting q. De strategie vogens deze aanpak bijkt dan vrij eenvoudig te worden: stap : Los de onbekende op met de D.V. : stap : Los de additionee zakking w op met : d z = q 4 d w d w EI = p 4 s de veranderijke beasting aaneiding geeft tot een verandering van de horizontae component van de kabekracht, kan deze vereenvoudigde aanpak niet worden gevogd. et verwerken van de verandering van kan echter vrij eenvoudig worden meegenomen. Ir J.W. Weeman Oktober 0 7

32 Op basis van de draagwerking gedt: ( z + w) 4 d w d EI 4 ( + ) = q + p De permanente beasting wordt in eerste instantie nog steeds gedragen door aeen de kabe: d z = q s dit wordt verwerkt ontstaat: ( z + w) 4 d w d d z EI 4 ( + ) = + p Uitwerken evert in een aanta stappen: ( z + w) d ( z + w) 4 d w d d z EI = + p 4 4 d w d w d ( z + w) EI = p 4 4 d w d w d w d z EI = p d w d w d z EI 4 ( + ) = p + 4 d w d w q EI ( + ) = p + d d 4 x x Uiteindeijk resteert hiermee: 4 d w d 4 ( ) w d EI + = p q met: z = q (6) In deze differentiaavergeijking zijn w en nog onbekend. Er is een tweede vergeijking nodig om de twee onbekenden op te kunnen ossen. iervoor kan gebruik worden gemaakt van het gegeven (3) dat de engte van de kabe niet za veranderen: x= dz dw = 0 (3) x= 0 Voor het opossen van de compete differentiaavergeijking voor kabe en buigigger moet een stese vergeijkingen worden opgeost. Met de hand is dit een moeizame route maar MPLE is bijzonder geschikt voor het opossen van (6) en (3). s de verenging van de draagkabe wordt meegenomen kan (3) worden uitgebreid tot: x= 0 ( + ) = dz dw d x = (3b) E E x In deze uitdrukking wordt de kabeverenging afgeschat m.b.v. het rechterid, hetgeen veea vodoende nauwkeurigheid biedt in het ontwerpstadium. Ir J.W. Weeman Oktober 0 8

33 Voorbeed: angbrug vogens vereenvoudigd draagsysteem Een hangbrug bestaat uit een paraboisch veropende draagkabe met een gegeven axiae stijfheid E en een buigigger met buigstijfheid EI zoas in de onderstaande figuur is weergegeven. f=8.0 m brugigger met buigstijfheid EI Figuur.6: angbrug, kabe en buigigger as paraesysteem Van de constructie is gegeven: = 40,0 m e.g. kabe 0,6 kn/m e.g. igger 9, kn/m E EI 3 kabe 650,0 0 kn igger 800 knm Nadat de brugigger spanningoos is gemonteerd, wordt een veranderijke beasting van,0 kn/m aangebracht. Gevraagd wordt om de benodigde kabeengte te bepaen en de zakking van de constructie t.g.v. de mobiee beasting te bepaen haverwege de overspanning. Er mag daarbij worden uitgegaan van het gegeven dat de zakking w t.g.v. de veranderijke beasting kein is t.o.v. de paatsfunctie z van de kabe en dat de horizontae component van de kracht in de kabe min of meer constant bijft na het aanbrengen van de veranderijke beasting. De engte van de kabe kan gevonden worden met het gegeven dat het kabeveroop paraboisch is en dat zowe de overspanning as de pij f van de paraboo zijn gegeven. Met de eerder afgeeide Tayorbenadering is hiervoor met (8) gevonden: x= x= 8 f dz L = + = 44,667 m of exact met L = ds 43,99 m 3 = + = x= 0 x= 0 Deze engte moet nog worden gecorrigeerd voor de verenging van de kabe. iervoor is de horizontae component van de kabekracht nodig. De permanente beasting wordt voedig gedragen door het kabesysteem: d z 4 fx( x) 8 x(40 x) = q = 9,8 met z = = en 600 ieruit vogt : d z 8 f = 9, = = 45 kn 8 Ir J.W. Weeman Oktober 0 9

34 De verenging van de kabe kan hiermee worden bepaad. Een redeijke schatting vogt uit: = = = 0,0059 m E ( merk op : 6 mm ) De totaa benodigde kabeengte wordt hierdoor 43,93 m. Incusief de verenging is daarmee gegarandeerd dat onder het eigen gewicht de kabe de paraboo inneemt zoas in de figuur is weergegeven. De verenging van de kabe is erg kein t.o.v. de kabeengte waardoor er hier geen grote onnauwkeurigheid is ontstaan door de afschatting van de verenging. De veranderijke beasting p van,0 kn/m wordt gedragen door het paraesysteem van kabe en buigigger vogens: 4 4 d w d w d w d w p EI = p α = met: α = 4 4 EI EI De agemene opossing van deze D.V. uidt (toon dit zef aan met MPLE) : α x α x px 3 4 w = C + C x + C e + C e De integratieconstanten kunnen worden bepaad met behup van de randvoorwaarden: x = 0 w = 0 M = 0 x = w = 0 M = 0 ieruit vogt voor de integratieconstanten (toon dit zef aan met MPLE) : α p p p p e C = ; C = ; C3 = ; C 4 = ; α α α α ( e + ) α ( e + ) De zakkingsfunctie w t.g.v. de veranderijke beasting is hiermee bepaad. α p p p x p e x px w = α α x e e α α α + + α ( e + ) + α ( e + ) averwege de overspanning wordt voor de doorbuiging een waarde van,606 m gevonden. In de oude tijd werden dergeijke opossingen bepaad mb.v. Fourierreeksen. iermee konden dan vergeet-mij-nietjes voor gevorderen worden bepaad. Voor dit geva bestaat er ook een en hiermee wordt een zakking van,599 m gevonden: 4 4 q w = +... met γ = 4 π π EI + γ 9( 9 + γ ) 3 π EI Deze zakking is bepaad niet kein t.o.v. de paatsfunctie z van de paraboo. et igt daarom voor de hand om deze constructie ook nog eens door te rekenen met de uitgebreide differentiaavergeijking. Ir J.W. Weeman Oktober 0 30

35 .9 Opdrachten Vraagstuk De onderstaande kabe heeft twee ophangpunten en C die niet op geijke hoogte iggen. De kabe wordt beast met een geijkmatig verdeede beasting van 850 N/m per eenheid van horizontaa gemeten engte. Punt B is het aagste punt van de kabe. x-as 40,0 m z-as tekening niet op schaa C 850 N/m B 0,0 m 00,0 m Gevraagd : Figuur.4: Kabe vraagstuk a) Bepaa met behup van de D.V. de kracht in de kabe in de punten, B en C. b) Bepaa met de evenwichtsmethode de kracht in de kabe in de punten, B en C. c) Bepaa de engte van de kabe. Vraagstuk De onderstaande kabe heeft in onbeaste toestand een engte van 0,0 m, precies geijk aan de afstand tussen en B. De kabe wordt beast met de twee aangegeven puntasten. 5 kn 8 kn kabe, E=0000 kn B x-as 3,0 m 3,0 m z-as 0,0 m Gevraagd: Figuur.5: Kabe vraagstuk Bepaa de krachtsverdeing en de maximum zakking waarbij rekening wordt gehouden met de invoed van de normaakrachtvervorming. Ir J.W. Weeman Oktober 0 3

36 Vraagstuk 3 Een kabe met vodoende engte, is opgehangen in de steunpunten en B. De kabe wordt beast met de aangegeven beasting. Gegeven is dat de horizontae component van de kracht in de kabe geijk is aan 56 kn. 8 kn/m C 40 kn B x kabe z 4,0 m 4,0 m Gevraagd: Figuur.6: Kabe vraagstuk 3 a) Schets de vorm die de kabe inneemt en geef duideijk aan wat er bekend is t.a.v. het kabeveroop. b) Bereken voor x = 4,0 m de z-coordinaat van de kabe. c) Bereken de maximae trekkracht in de kabe en geef aan waar deze optreedt. d) Bepaa de engte van de kabe as de normaakrachtvervorming wordt verwaaroosd. Ir J.W. Weeman Oktober 0 3

37 Vraagstuk 4 De boveneiding van de spoorwegen bestaat uit een draagkabe met daaraan een rijkabe. De rijkabe is de stroomvoerende kabe en moet i.v.m. het contact met de pantograaf, een zo recht mogeijk veroop hebben. Deze kabe is gespannen met een kracht van 0 kn. In de figuur is het draagsysteem weergegeven. draagkabe q =5 N/m f =,53 m q =0 N/m f =0 m rijkabe α =0-5 =70.0 m Figuur.7: Kabe vraagstuk 4 De draagkabe heeft een paraboisch veroop en wordt aangeduid met index, de rijkabe met index. De ineaire uitzettingscoëfficiënt wordt met α aangeduid. e overige gegevens van het systeem zijn in de figuur weergegeven. Gevraagd: a) oe groot is de engte van de draagkabe? b) Wek dee van de beasting draagt de draagkabe? c) oe groot is de horizontae spankracht in de draagkabe? d) Ste de ucht warmt met 30 o op. Weke invoed heeft dit op het draagsysteem? e) Wat is nu de doorhang van de rijkabe? f) Wek dee van de beasting wordt door de rijkabe gedragen? g) Ste er is heemaa geen draagkabe, hoe groot is dan de doorhang? h) Wat is het nut van de draagkabe? Ir J.W. Weeman Oktober 0 33

38 3 BOGEN q F w z x Bogen vormen een (krom-) ijnig draagsysteem waarbij de draagwerking gebaseerd is op voornameijk drukkrachten. angezien bogen naast axiae stijfheid ook over buigstijfheid beschikken kunnen bogen ook buiging opnemen. Deze combinatie van druk en buiging maakt dat bogen anders reageren dan kabes. Voor de berekening van bogen worden twee methoden afgeeid, de eerste staat bekend as de kassieke boogaanpak maar deze is aeen geschikt voor enkevoudig statisch onbepaade bogen met scharnierende steunpunten. De tweede berekeningsmethode is gebaseerd op de differentiaavergeijking voor de boog. Deze methode kan uitstekend met MPLE worden toegepast waardoor diverse boogvormen sne kunnen worden geanayseerd. 3. Eenvoudige boog en de drukijn De meest eenvoudige boog kan worden verkregen door een kabesysteem om te draaien. De kabe heeft aeen trekkrachten in zich die ook nog eens samenvaen met de kabe. q B x kabe v E zk ( x ) B v z q E, EI z ( ) b x B x boog v B v Figuur 3.: Kabe en boog z nders gezegd, de krachtijn (trekijn) van het draagsysteem vat samen met de constructie-as. s het kabesysteem wordt omgedraaid en in gedachte de kabe vormvast wordt gedacht, dan worden ae trekkrachten drukkrachten en spreken we van een drukijn die samenvat met de constructie-as. De Romeinen kenden dit principe a en pasten het veevudig toe. Recenter, en wered beroemd, zijn uiteraard de studies naar kracht en vorm van ntoni Gaudi (85-96). Ir J.W. Weeman Oktober 0 34

39 Gaudi maakte eerst met fijne kettingen een hangend mode. Vanwege het eigen gewicht waren deze vormen geijkvormig aan de kettingijn. Vervogens werd een spiege onder het mode geegd. s in de spiege wordt gekeken, wordt het kabemode een bogenmode. In de onderstaande figuur wordt dit effect gesimueerd. Figuur 3.: ntoni Gaudi, studies naar boogwerking m.b.v. kettingmodeen angezien op druk beaste constructies veea ook enige buigstijfheid hebben is het niet noodzakeijk dat de krachtijn exact samenvat met de staafas. Zoang de drukijn binnen de kern van de doorsnede bijft za de gehee doorsnede onder druk bijven en kan in het geva van een steenachtig materiaa veiig worden geconstrueerd. Gaudi is op dit punt een perfecte eermeester en inspirator voor constructief ontwerpers. Figuur 3.3: ntoni Gaudi, Sagrada Famiia, Barceona Ir J.W. Weeman Oktober 0 35

40 3.. Voorbeed : Drukijn van een drie-scharnierspant Ter iustratie wordt in het vogende probeem nog eens nagegaan, hoe van een drie scharnierspant, de krachtijn kan worden bepaad. 8 kn/m C S D 4,0 m B 6,0 m 3,0 m Figuur 3.4: Drie-scharnier spant met verdeede beasting Van de bovenstaande constructie wordt gevraagd om een aternatieve constructie te ontwerpen die outer en aeen op druk wordt beast en door de punten, S en B gaat. Door de constructie te ontwerpen angs de krachtijn za nergens in de constructie buiging ontstaan. De excentriciteit van de krachtijn is gedefinieerd as de oodrechte afstand tot de staafas vogens: M e = N Voor het bepaen van de krachtijn is daarom een M-ijn en een N-ijn noodzakeijk. Met de opegreacties: B = kn = 3 kn = kn B = 6 kn V V zijn vervogens sne de M-ijn en de N-ijn te bepaen. In figuur 3.5 zijn deze afgebeed M-ijn [knm] N-ijn [kn] Figuur 3.5: M- en N-ijn van een drie-scharnier spant met verdeede beasting Ir J.W. Weeman Oktober 0 36

41 s aeen gekeken wordt naar de drukijn van de bovenrege CSD dan moet de momentenijn van de bovenrege worden gedeed door de normaakracht van de bovenrege. Deze is in het voorbeed constant. Voor het dee SD kan sne ingezien worden dat de excentriciteit ineair toeneemt en dat de drukijn van S naar de opegging in B oopt. Voor het paraboische dee nemen we in de inker bovenhoek een x-z-assenstese en steen we de functie op van de M- ijn: M ( x) = 8 (6 x) + 8 x (6 x) 0, 0 x 6, 0 De normaakracht op dit dee is constant en geijk aan N = - kn. iermee wordt voor de excentriciteit van de drukijn gevonden (oodrecht op de bovenrege): e( x) = x x Dit is een paraboo die door en S gaat en in S een raakijn heeft die geijk is aan de heing van SB. De drukijn van de bovenrege ziet er dus uit zoas in de onderstaande figuur is weergegeven met de in vet getekende ijn. 8 kn/m C S S 3 D x,33 m M, e 4,0 m B 6,0 m 3,0 m Figuur 3.6: Drukijn voor de gegeven verdeede beasting De drukijnen van de stijen hoeven niet meer te worden bepaad. Door een constructie te ontwerpen die de gevonden drukijn vogt, za nergens in de constructie buiging optreden bij deze gegeven beasting. et scharnier S kan dus ook rustig worden verwijderd. Deze constructie heeft de grootste drukkracht in daar waar de heing van de drukijn het grootst is: T = 3 + = 34,8 kn (druk) Ir J.W. Weeman Oktober 0 37

42 Op 4,0 m vanaf is de heing van de drukijn horizontaa, in dit punt (,33 m boven CD) is de drukkracht geijk aan de horizontae opegreactie en gedt T =,0 kn (druk). et moment in het spant moet hier geijk zijn aan M =,33 = 6 knm, ga zef na dat dit kopt. In de drukijn, met as dwangpunt het scharnier S, wordt de omgekeerde kabe opossing herkend. De vorm van de drukijn is identiek aan de omgekeerde momentenijn van de igger op twee steunpunten met de aangegeven beasting. Speen met de igging van het scharnier in de bovenrege van het spant za eiden tot een drukijn die geijkvormig (congruent) bijft maar uiteraard in de hoogte anders za schaen. Dit is in figuur 3.6 met twee gestippede opossingen weergegeven. De igging van het scharnier za op deze manier aaneiding geven tot een andere horizontae component van de drukkracht in de boog en daarmee ook de drukkracht zef. 3.. Voorbeed : Boogbrug met meerdere veden Met een tweede voorbeed wordt nogmaas aangetoond dat een zuivere boog, zonder buigend moment, as een omgekeerde kabe kan worden beschouwd. Een boogbrug over meerdere veden is zodanig geconstrueerd dat de tussensteunpunten geen horizontae opegreacties hoeven op te nemen. Dit betekent dat bij een dergeijke brug in iedere overspanning de horizontae component van de drukkracht in de boog constant moet zijn. In de foto is een fraai voorbeed gegeven van een dergeijke brug. Figuur 3.7: Boogbrug met meerdere veden, Uvsund bij Kavehave te Denemarken De vorm van de boog is op een schaingsconstante na, geijk aan de momentenverdeing in de boog van een doorgaande igger over meerdere veden. Net as bij de kabe is deze schaingsconstante de horizontae component van de drukkracht in de boog. Om rekenwerk te beperken zuen we een voorbeed bekijken met sechts drie veden. 5 kn/m 7,5 kn/m 5 kn/m EI = 0000 knm = 00 kn 5,0 m 5,0 m 0,0 m Figuur 3.8: Voorbeed van een boogbrug met drie veden = 00 kn Ir J.W. Weeman Oktober 0 38

43 Ieder ved wordt beast met een geijkmatig verdeede beasting zoas is aangegeven in figuur 3.8. Er wordt gevraagd om de boogvorm te bepaen voor een horizontae component van de drukkracht van 00 kn. Om de vorm van de zuivere boog te vinden za eerst de momentenverdeing worden bepaad van de doorgaande igger over vier steunpunten met de aangegeven geijkmatig verdeede beasting. 5 kn/m 7,5 kn/m 5 kn/m 5,0 m 5,0 m 0,0 m Figuur 3.9: Doorgaande igger et drie veden en de beasting op de boog Met de krachtenmethode is dit met de hand prima uitvoerbaar. Ook kan uiteraard de toevucht worden gezocht tot raamwerkprogrammatuur. s echter de vorm van de momentenijn as functie bepaad moet worden om direct de boogvorm in een CD-programma op te kunnen nemen is weicht de kassieke route m.b.v. de differentiaavergeijking voor buiging meer geschikt. De zakkingsfuncties w i voor de drie verpaatsingsveden kunnen worden bepaad met: 4 d w EI = q 4 0 x 4 d w EI = q 4 x + 4 d w3 EI = q x De overspanning van ieder ved en de geijkmatig verdeede beasting op ieder ved kunnen vrij worden gevarieerd. Uiteraard moet op de randen van het mode de opossing vodoen aan de in totaa vier randvoorwaarden en op de overgangen tussen de veden moet worden vodaan aan de vier overgangsvoorwaarden per overgang 4 : x = 0 w = 0; M = 0; x = w = 0; w = 0; ϕ = ϕ ; M = M ; x = + w = 0; w = 0; ϕ = ϕ ; M = M ; x = + + w = 0; M = 0; Met deze twaaf voorwaarden zijn de twaaf integratieconstanten van de vedopossingen voor de zakkingen w i op ved t/m 3 op te ossen. Daarvoor kan gebruik gemaakt worden van hupgereedschap in de vorm van afgeeide betrekkingen 5 : dw dϕ dm ϕi = ; κi = ; M i = EIκi; Vi = i i i Met de zakkingsijn kan vervogens de momentenverdeing worden bepaad. 4 De DV voor buiging is een 4 e orde DV waardoor er vier integratieconstanten ontstaan in de homogene opossing. Per ved zijn er daarom vier onbekenden, twee voor iedere rand. Dit evert op de randen twee randvoorwaarden op, en op de overgangen vier overgangsvoorwaarden. 5 Zie hiervoor de basismechanica boeken. Ir J.W. Weeman Oktober 0 39

44 Uitwerken van het gehee wordt aan de ezer overgeaten. De MPLE invoer is hieronder weergegeven. > restart; Boogbrug met drie veden van ongeijke overspanning en ongeijke q-ast maar met constante (c) 0 : ans Weeman > DV:=EI*diff(w(x),x$4)=q; > DV:=EI*diff(w(x),x$4)=q; > DV3:=EI*diff(w3(x),x$4)=q3; > so:=dsove({dv,dv,dv3},{w(x),w(x),w3(x)}): assign(so): > w:=w(x); w:=w(x); w3:=w3(x); > phi:=-diff(w,x): kappa:=diff(phi,x): M:=EI*kappa: V:=diff(M,x): > phi:=-diff(w,x): kappa:=diff(phi,x): M:=EI*kappa: V:=diff(M,x): > phi3:=-diff(w3,x): kappa3:=diff(phi3,x): M3:=EI*kappa3: V3:=diff(M3,x): > x:=0: eq:=w=0: eq:=m=0: > x:=l: eq3:=w=0: eq4:=w=0: eq5:=phi=phi: eq6:=m=m: > x:=l+l: eq7:=w=0: eq8:=w3=0: eq9:=phi=phi3: eq0:=m=m3: > x:=l+l+l3: eq:=w3=0: eq:=m3=0: > x:='x': > so:=sove({eq,eq,eq3,eq4,eq5,eq6,eq7,eq8,eq9,eq0,eq,eq}, {_C,_C,_C3,_C4,_C5,_C6,_C7,_C8,_C9,_C0,_C,_C}): assign(so): > q:=5; q:=7.5; q3:=5; L:=5: L:=5: L3:=0: EI:=0000; :=00; > with(pots): > P:=pot(M/,x=0..L): P:=pot(M/,x=L..(L+L)): P3:=pot(M3/,x=(L+L)..(L+L+L3)): > dispay({p,p,p3}); Figuur 3.0 : MPLE invoer Door de momentenijn te spiegeen en te deen door de gegeven, kan de boogvorm worden gevonden. et resutaat is hieronder weergegeven. Figuur 3. : MPLE resutaat Uiteraard is met de gevonden opossing voor de gegeven parameters er ook een parametrische opossing bekend. De vorm van de boog is hiermee nu voedig beschreven voor de drie veden. Een zefde resutaat voor de gegeven parameters kan uiteraard ook met bijvoorbeed MatrixFrame worden gevonden maar het parametriseren van de opossing is dan niet mogeijk. Ir J.W. Weeman Oktober 0 40

45 3. Kassieke opossingsmethode voor bogen De kassieke methode om de krachtsverdeing in een boog te bepaen is gebaseerd op de krachtenmethode. De methode is eigenijk aeen toepasbaar op enkevoudig statisch onbepaade boogconstructies zoas hieronder is afgebeed. q E, EI z ( ) b x B x boog v B v z Figuur 3.: Enkevoudig statisch onbepaade boog Deze boog heeft vier onbekende opegreacties en drie evenwichtsvergeijkingen voor de gehee constructie. Daarmee is de boog enkevoudig statisch onbepaad ( n = ). Intermezzo : Krachtenmethode De krachtenmethode gaat uit van een statisch bepaad hoofdsysteem met een (aanta) statisch onbepaade(n). Om de statisch onbepaade(n) op te ossen zijn net zovee vormveranderingsvoorwaarden nodig as het aanta aangenomen statisch onbepaaden. De vormveranderingsvoorwaarde bij de krachtenmethode is een voorwaarde die iets zegt over de bij de krachtsgrootheid behorende verpaatsinggrootheid. Voor een kracht is dat een verpaatsing en voor een moment is dat een hoekverdraaiing. De hierboven afgebeede boog kan statisch bepaad gemaakt worden door opegging B te vervangen door een horizontae ro. q z ( ) b x E, EI x h B z Figuur 3.3: Statisch bepaad hoofdsystem en statisch onbepaade Ten gevoge van de beasting op het statisch bepaade hoofdsysteem za in B een horizontae verpaatsing optreden. Dit is uiteraard in werkeijkheid niet mogeijk en daarom wordt as statisch onbepaade de horizontae spatkracht aangebracht. Ir J.W. Weeman Oktober 0 4

46 De vormveranderingsvoorwaarde is nu dat de horizontae verpaatsing h ten gevoge van geijk is aan de verpaatsing van de ro t.g.v. de beasting op het statisch bepaade hoofdsysteem. Om deze vormveranderingsvoorwaarde uit te kunnen werken za eerst moeten worden afgeeid hoe de horizontae verpaatsing van een kromijnige iggerconstructie kan worden bepaad. s dit probeem is opgeost kan de vormveranderingsvoorwaarde worden uitgewerkt en kan de statisch onbepaade worden bepaad. Van een rechte buigigger is bekend dat de kromming bepaad kan worden uit de afgeeide van de hoekverandering en dat deze kromming geijk is aan het moment gedeed door de buigstijfheid: dϕ M M κ = = dϕ = d x (momenten-vaksteingen) EI EI Voor een kromijnig eement wordt nu niet de engtemaat angs de x-as genomen maar de engtemaat angs de kromme: dϕ M M κ = = dϕ = ds () ds EI EI Een kein eementair stukje uit de boog is hieronder afgebeed. De z-as van het assenstese is omaag gericht (gebruikeijk) waardoor de paatsfunctie z van de boog veea een negatieve waarde heeft (dit is dus de verkaring voor de z in de figuur). dϕ -z B dh Figuur 3.4: horizontae verpaatsing ten gevoge van een rotatie Ten gevoge van een keine verandering dϕ van de hoekverdraaiing za B verdraaien om. Punt B za hierdoor horizontaa verpaatsen met dh. Met de basiskennis is bekend dat voor keine rotaties gedt: horizontae verpaatsing verticae verpaatsing = rotatie maa de verticae afstand tot het draaipunt = rotatie maa de horizontae afstand tot het draaipunt In dit geva evert dit: dh = zdϕ () Combineren van () en () evert: Mz h = ds (3) EI boog iermee is een dee van het probeem opgeost en zijn we in staat om horizontae verpaatsingen te bepaen op basis van een bekende momentenverdeing. Ir J.W. Weeman Oktober 0 4

47 De totae horizontae verpaatsing van steunpunt B moet geijk zijn aan nu. Deze vormveranderingsvoorwaarde noteren we as: a so h + h + h = 0 met: h h h a so : t.g.v beasting op statisch bepaad hoofdsysteem : t.g.v statisch onbepaade : axiae vervorming van de boog (4) a) Invoed van de beasting op het statisch bepaade hoofdsysteem De momentenverdeing van het statisch bepaade hoofdsysteem wordt bepaad t.o.v. de x-as en is daarmee feiteijk de momentenijn van de igger op twee steunpunten t.g.v. de beasting a op de boog. Deze momentenverdeing wordt aangeduid met M. De horizontae verpaatsing t.g.v. dit moment wordt hiermee: h a a M z ds = EI boog b) Invoed van de statisch onbepaade De momentenverdeing t.g.v. de statisch onbepaade in het statisch bepaade hoofdsysteem is geijk aan: so M = z Dit moment za voor de aangenomen richting van en de over het agemeen negatieve paatsfunctie z van de boog, negatief zijn. De horizontae verpaatsing t.g.v. dit moment wordt hiermee: h so boog ( ) d d z z s z s = = EI EI boog c) Invoed van de axiae vervorming van de boog De axiae vervorming van de boog kan afgeschat worden met: h = E Dit is aangetoond in het vorige hoofdstuk bij de bepaing van de verening van de kabe t.g.v. de variërende kabekracht. s de drie bijdragen worden ingevud in de vormveranderingsvoorwaarde ontstaat: a M z ds z ds = 0 EI EI E (4) boog boog In deze vergeijking is aeen de statisch onbepaade de onbekende. et mag duideijk zijn dat eventuee andere invoeden op de horizontae verpaatsing van de opegpunten op soortgeijke wijze kunnen worden verwerkt in vergeijking (4). Ir J.W. Weeman Oktober 0 43

48 Voor fauwe bogen is de boogengte ds veea geijk aan en kan de vergeijking worden vereenvoudigd tot de kassieke boogvergeijking: = boog boog a M z EI z + EI E (5) Met (5) kan de horizontae spatkracht worden bepaad. De werkeijke momentenverdeing in de boog (uitgezet t.o.v. de x-as) kan vervogens worden bepaad met: a M = M + z (6) Met deze aatste twee vergeijkingen kan de krachtsverdeing in de boog worden bepaad. In feite is voor het opossen aeen de paatsfunctie van de boog en de momentenverdeing van het statisch bepaade systeem nodig t.g.v. de beasting op de boog. Met twee voorbeeden za de methode worden gedemonstreerd. 3.. Voorbeed : paraboische boog met een geijkmatig verdeede beasting De paraboische boog uit figuur 3. met haverwege een pij f heeft as paatsfunctie: 4 fx( x) z = De momentenverdeing van het statisch bepaade hoofdsysteem t.g.v. een geijkmatig verdeede beasting is de bekende paraboische momentenijn: a M = qx( x) Uitwerken van (5) onder verwaarozing van de normaakrachtvervorming, evert: 4 fx( x) qx( x) EI boog q = = 4 fx( x) 8 f EI boog Deze uitkomst was voorspebaar. De momentenverdeing in de boog wordt met (6): q 4 fx( x) M = qx( x) + 0 = 8 f Dit wisten de Romeinen ook a zonder formue (5) en (6). Drukijn en constructieijn iggen boven op ekaar waardoor de momentenverdeing nu wordt. Uiteraard is de evauatie van deze integraen uitstekend uit te voeren met MPLE. Met een vogend voorbeed za dit worden gedemonstreerd. Ir J.W. Weeman Oktober 0 44

49 3.. Voorbeed : sinus boog met een geijkmatig verdeede beasting In de onderstaande figuur is een sinusvormige boog getekend. De invoed van de normaakrachtvervorming mag worden verwaaroosd. q E, EI ( ) sin π x zb x = f B x boog v B v Gegeven: = 00 m f = 5 m q = 4,0 kn/m Figuur 3.5: Sinusvormige boog De sinusboog met haverwege een pij f heeft as paatsfunctie: π x z = f sin De momentenverdeing van het statisch bepaade hoofdsysteem t.g.v. een geijkmatig verdeede beasting is de bekende paraboische momentenijn: a M = qx( x) Evaueren van de integraen kan prima met de hand maar hier za de compete berekening met MPLE worden uitgevoerd. > restart; Berekening van een sinus boog z(x) met een geijkmatig verdeede beasting q(x). De momentenverdeing van het statisch bepaade hoofdsysteem wordt Ma genoemd. M is de uiteindeijke momentenverdeing in de boog t.g.v. de gegeven beasting. > :=00; q:=4; f:=5; > z:=-f*sin(pi*x/); > pot(-z,x=0.., ,tite="boog"); moment Ma in het statisch bepaade hoofdsysteem > Ma:=(/)*q*x*(-x); > pot(-ma,x=0..,tite="momentenverdeing Ma"); os op met de kassieke methode: > :=-int(ma*z,x=0..)/int(z^,x=0..); > M:=simpify(Ma+*z); > pot(-m,x=0..,tite="momentenverdeing in de boog"); Figuur 3.6: MPLE invoer Ir J.W. Weeman Oktober 0 45

50 De sinusvorm van de boog wijkt af van de paraboische drukijn waadoor er momenten in de boog zuen optreden. De momentenijn uit MPLE is hieronder weergegeven. Figuur 3.7: Momentenijn Op het verschi tussen boogvorm en drukijn is a eerder ingegaan Momentenverdeing in het statisch bepaade hoofdsysteem De geijkmatig verdeede beasting in dit voorbeed evert een bekende momentenverdeing voor het statisch bepaade hoofdsysteem. Ook voor puntasten of gedeeteijke geijkmatig verdeede beastingen kan eenvoudig de momentenverdeing voor het statisch bepaade hoofdsysteem worden gevonden. iervoor wordt uit de basismechanica de evenwichtsvergeijkingen voor het verticae- en momentenevenwicht van de igger in herinnering geroepen: a dv dm a = q( x) = V a d M a = q( x) Dit betekent voor de toepassing met MPLE dat iedere wiekeurige beastingsfunctie kan worden ingevoerd. De agemene opossing van de differentiaavergeijking evert het moment a M van het statisch bepaade hoofdsysteem. Dit is een tweede orde differentiaavergeijking waarvoor twee randvoorwaarden noodzakeijk zijn. Bij de enkevoudig statisch onbepaade boog za atijd geden dat zowe in de ondersteuning as B het moment nu moet zijn. a a x = 0 M = 0; x = M = 0; Daarmee kunnen de twee integratieconstanten worden bepaad en is de opossing van het moment in het statisch bepaade hoofdsysteem bepaad. MPLE heeft het voordee dat ook stap-functies (heaviside) en pus-functies (dirac) kunnen worden gehanteerd waardoor de boog niet hoeft te worden opgespitst in meerdere veden. e beastingen, continue en discreet, kunnen in één beastingsfunctie q(x) worden opgenomen. Met de komst van de symboische agebra pakketten zoas MPLE is het toepassen van de kassieke methode daardoor we hee erg eenvoudig geworden. Ir J.W. Weeman Oktober 0 46

51 an de hand van een voorbeed wordt deze procedure toegeicht. Van de onderstaande igger wordt gevraagd de momentenijn te bepaen met MPLE. De beasting is niet continu en bestaat uit een verdeede beasting en een puntast. z q o a b -a-b F B x Gegeven: q F a b = 5 kn/m = 5 kn =,0 m =,0 m = 6,0 m Figuur 3.8: Momentenijn met MPLE voor statisch bepaad hoofdsysteem De beasting za continu worden gemaakt door gebruik te maken van de stapfunctie en de deta of pusfunctie. In MPLE noemen we deze heaviside en dirac. De heaviside functie is nu tot aan de waarde waarvoor het argument nu wordt, daarna krijgt de functie de waarde,0. De Dirac functie heeft overa de waarde nu en precies op de paats waar het argument nu is, de waarde,0. Om de bovenstaande beasting in te voeren za daarom de vogende expressie moeten worden gebruikt: ( ) q( x) = q eaviside( x a) + F Dirac( x a b) o Vervogens kan de differentiaavergeijking voor het buigend moment worden opgeost. De voedige MPLE code is hieronder weergegeven. > restart; > a:=; b:=; L:=6; qo:=5;f:=5; > q:=qo*(-eaviside(x-a))+f*dirac(x-a-b): > DV:=diff(M(x),x$)=-q: > M:=rhs(dsove(DV,M(x))); > x:=0: eq:=m=0: > x:=l; eq:=m=0: > so:=sove({eq,eq},{_c,_c}); assign(so); x:='x'; > pot(-m,x=0..l,tite="m-ijn"); Figuur 3.9: MPLE invoer De momentenijn is hiernaast afgebeed. MPLE heeft geen enke probeem met de knikken en de dees paraboische en ineaire opossing. Figuur 3.0: M-ijn Ir J.W. Weeman Oktober 0 47

52 3..4 Voorbeed: boog met gedeeteijke ast Met een tweede voorbeed za de kassieke methode voor het bepaen van de krachtsverdeing in bogen worden toegeicht. iervoor za teruggegrepen worden op de beasting van het drie scharnierspant uit het begin van dit hoofdstuk. s boogvorm wordt gekozen voor de eerder gebruikte paraboo. 8 kn/m 4,0 m B 9,0 m Figuur 3.: Paraboische boog met gedeeteijke geijkmatig verdeede beasting Met behup van de eerder uitgeegde strategie za deze boog worden berekend. > restart; Berekening van een paraboische boog z(x) met een geijkmatig verdeede beasting q(x) over een dee van de boog. De momentenverdeing van het statisch bepaade hoofdsysteem wordt Ma genoemd. M is de uiteindeijke momentenverdeing in de boog t.g.v. de gegeven beasting. > L:=9; a:=6; qo:=8; f:=4; > z:=-4*f*x*(l-x)/l^; > pot(-z,x=0..l,-0..0,tite="boog"); moment Ma in het statisch bepaade hoofdsysteem > q:=qo*(-eaviside(x-a)): > DV:=diff(M(x),x$)=-q: > Ma:=rhs(dsove(DV,M(x))); > x:=0: eq:=ma=0: > x:=l: eq:=ma=0: > so:=sove({eq,eq},{_c,_c}): assign(so): x:='x': > pot(-ma,x=0..l,tite="momentenverdeing Ma"); os op met de kassieke methode: > :=-int(ma*z,x=0..l)/int(z^,x=0..l); > M:=simpify(Ma+*z): > pot(-m,x=0..l,tite="momentenverdeing in de boog"); Figuur 3.: MPLE invoer De momentenijn die ontstaat is op de vogende badzijde weergegeven. Ir J.W. Weeman Oktober 0 48

53 Figuur 3.3: M-ijn De boogvorm wijkt af van de eerder gevonden drukijn dus momenten zijn te verwachten. Doordat deze boog ook nog eens niet voedig is beast ontstaat het bovenstaande beed. De gevoeigheid van bogen voor gedeeteijk beast zijn, kan met deze procedure sne worden onderzocht. Met de MPLE invoer van figuur 3. hoeft hiervoor aeen de beasting q en de paatsfunctie z te worden aangepast. Ir J.W. Weeman Oktober 0 49

54 3.3 Differentiaavergeijking voor bogen et nadee van de krachtenmethode is dat de boog atijd scharnierend moet zijn opgeegd om zo enkevoudig statisch onbepaad te zijn. Ingekemde bogen of bogen met een inkemming en een scharnierende ondersteuning kunnen niet met de kassieke aanpak worden opgeost zonder aanpassingen. q E, EI z ( ) b x B x Figuur 3.4: Ingekemde boog Voor de afeiding van de differentiaavergeijking voor de boog za gebruik worden gemaakt van de a aanwezige kennis over buiging en kabes. Deze beide draagsystemen eiden tot de vogende DV s: 4 d z d w q kabe en EI q 4 = = buiging De boog kan worden beschouwd as een omgekeerde kabe en as de horizontae component van de drukkracht in de kabe, positief wordt gekozen gedt voor bogen en buiging: d z = q 4 d w EI = q 4 boog z buiging Bij de constructie van bogen is veea de totae beasting permanent. Deze wordt tijdens de bouw aeen gedragen door de boogwerking. Na gereedkomen van de constructie wordt de ondersteuningsconstructie verwijderd en za de eventuee toenemende beasting worden gedragen door boogwerking en buiging. Ten opzichte van de paatsfunctie z van de boog ontstaan dan additionee verpaatsingen w. De draagwerking van boog en buigigger kunnen we sommeren aangezien beide constructiedeen dezefde vervorming ondergaan. We kunnen boog en igger a.h.w. beschouwen as twee paraee veren die samen de totae beasting dragen: 4 d w d ( z + w) EI + = q 4 kabe + qbuiging = q In deze vergeijking za w ten opzichte van z kein zijn en daarom is het gerechtvaardigd om de vergeijking te vereenvoudigen tot: 4 d w d z EI = q (7) 4 Ir J.W. Weeman Oktober 0 50

55 Dit is de DV voor de boog in a zijn eenvoud. In deze vergeijking zit nog de onbekende horizontae component van de drukkracht in de boog. Deze kan gevonden worden met de eis dat de totae horizontae verpaatsing bij de ondersteuning nu moet zijn. Eerder is bij het onderdee kabes hiervoor afgeeid: x= dz dw u( ) u(0) = = 0 (8) x= 0 ierbij verwaarozen we de invoed van de normaakrachtvervorming gemakshave maar even. Deze uitdrukking is voor een paraboische boog verder te vereenvoudigen. Door partiëe integreren kan voor (7) ook worden geschreven: x= x= x= dz dw dw d w = z + z = 0 x= 0 x= 0 x= 0 of x= x= x= z w z d d dz d = w + w 0 = x= 0 x= 0 x= 0 Voor beide opties gedt dat vanwege de randvoorwaarden de (eerste) stokterm nu moet zijn. De tweede variant aat voor een paraboische boog een interessante opossing zien. De tweede afgeeide van de paraboo is immers een constante: x= x= x= d z w = C w = 0 w = 0 (8b) x= 0 x= 0 x= 0 Vergeijking (8) reduceert voor de paraboische boog tot een eenvoudige eis dat de integraa van de additionee verpaatsing w nu moet zijn. In het geva de normaakrachtvervorming we wordt meegenomen za (8) moeten worden aangepast tot: x= dz dw = E (8c) x= 0 ierbij is de vervorming van de boog benaderd zoas eerder ook voor kabes is afgeeid. Uiteraard mag dit ook preciezer, MPLE heeft daar geen enkee moeite mee. Dit wordt aan de ezer overgeaten. Ook andere invoeden die kunnen eiden tot horizontae verpaatsingen van de opeggingen kunnen in (8c) worden meegenomen. Met vergeijking (7) en (8) kan met MPLE de krachtswerking worden bepaad. Met een voorbeed za dit worden toegeicht. Ir J.W. Weeman Oktober 0 5

56 3.3. Voorbeed: boog met inkemming en scharnierende ondersteuning De paraboische boog is in ingekemd en in B scharnierend ondersteund. Bepaa de krachtsverdeing in deze boog. q E, EI z ( ) b x B x Figuur 3.5: Boog met inkemming en scharnierende ondersteuning Voor de paatsfunctie van de boog wordt de bekende paraboo aangehouden: 4 fx( x) z = De onbekende verpaatsing w en zuen met (7) en (8) met behup van MPLE worden bepaad. De randvoorwaarden van deze boog zijn van beang, de 4 e orde DV vereist vier randvoorwaarden, twee per rand: x = 0; w = 0; dw ϕ = = 0 x = ; w = 0; d w M = EI = 0 Voor dit reatief eenvoudige probeem kan met de hand de agemene opossing worden bepaad, het rechterid van de DV is bekend dus inks en rechts kan door rechtstreekse integratie worden verkregen: 8f + q w = x + D x + D x + D x + D 4EI De integratieconstanten moeten nog worden bepaad met de randvoorwaarden. In de uitdrukking van w resteert dan nog de onbekende. deze wordt opgeost met eis (8). Uitwerken van het gehee evert: = 8 q f w( x) = 0 M ( x) = 0 z Ir J.W. Weeman Oktober 0 5

57 Dit resutaat is te verwachten aangezien de boog de drukijn vogt van de gegeven beasting. et feit dat de boog is ingekemd in doet er in, deze situatie, heemaa niet toe. De MPLE invoer is hieronder integraa afgebeed. > restart; > z:=-4*f*x*(-x)/^; > DV:=EI*diff(w(x),x$4)+*diff(z,x$)-q=0; > w:=rhs(dsove(dv,w(x))); > phi:=-diff(w,x): M:=EI*diff(phi,x): randvoorwaarden: > x:=0: eq:=w=0: eq:=phi=0: > x:=: eq3:=w=0: eq4:=m=0: > so:=sove({eq,eq,eq3,eq4},{_c,_c,_c3,_c4}); assign(so): x:='x'; bepaen van de kracht uit intergraa over de (dwdz/) is nu > g:=diff(w,x)*diff(z,x): > eq:=int(g,x=0..)=0; > :=sove(eq,); > evaf(); Figuur 3.6: MPLE invoer Na deze vingeroefening kan echter met de hierboven weergegeven MPLE invoer eenvoudig de beasting worden aangepast, bijvoorbeed door de boog aeen op de rechterheft te beasten met de verdeede beasting. q E, EI z z ( ) b x B x Gegeven: q = 5 kn/m = 80 m f = 5 m EI = knm Figuur 3.7: Boog met inkemming en scharnierende ondersteuning, niet-symmetrisch beast Door de beastingsfunctie in het voorgaande voorbeed aan te passen tot: q = 5,0 eaviside( x ) kan het probeem worden doorgerekend. Voor de horizontae component van de drukkracht in de boog wordt gevonden: = 6, kn De momentenijn en de additionee zakking w zijn op de vogende badzijde weergegeven. De inkemming gaat een fors positief moment voor zijn kiezen krijgen. Ir J.W. Weeman Oktober 0 53

58 Figuur 3.8: M-ijn Figuur 3.9: Zakking w t.o.v. de paatsfunctie z Ir J.W. Weeman Oktober 0 54

59 3.4 De uitgebreide differentiaavergeijking voor de boog * In de afeiding van de differentiaavergeijking (7) 4 d w d z EI = q (7) 4 voor bogen met reatief keine verpaatsingen werd in de opgestede basisvergeijking in de boogterm de zakking w t.o.v. de paatsfunctie z verwaaroosd. s die term we wordt meegenomen resteert 4 d w d w d z EI + = q (9) 4 Deze vierde orde DV heeft een agemene opossing die er anders uitziet dan die van vergeijking (7). Dit wordt toegeicht aan de hand van een bijzondere beasting. Eerder is a opgemerkt dat een paraboische boog met een geijkmatig verdeede beasting geen spannend resutaat opevert. Daarom wordt gekozen voor een keersymmetrische beasting q o z ( b x ) E, EI B x Figuur 3.30: Keersymmetrische sinusvormige beasting op een boog in de vorm van een voedige sinus die precies past op de dag van de boog π x q = qo sin op een paraboische boog met pij f eidt (7) tot een agemene opossing: 4 π x qo sin f w( x) = x + D x + D x + D x + D 4 6EIπ 3EI Terwij (9) as agemene opossing heeft: z Ir J.W. Weeman Oktober 0 55

60 q π x sin w x 4π 4 x D x D x D x D 4 o 4 f EI ( ) = ( sin β + cos β ) ( π EI ) met : β = EI De aard van beide opossingen is totaa verschiend. Opossing (9) aat zien dat het particuiere dee van de verpaatsing w naar oneindig gaat indien gedt: EI = 4π 0 4π EI π EI = = ( ) Deze waarde van is de knikast van de boog en aat zien dat de knikengte van de boog de heft is van de overspanning van de boog. Ir J.W. Weeman Oktober 0 56

61 3.5 Krachten in de boog, vergeijking met raamwerkprogrammatuur De hier gepresenteerde kassieke methode en de route vogens de DV voor bogen in combinatie met MPLE geeft ontwerpers de mogeijkheid om sne parametrisch modeen door te rekenen. Uiteraard kan een boog prima worden berekend met raamwerkprogrammatuur. iervoor zijn diverse programma s voorhanden. De axiae vervorming wordt dan atijd meegenomen en daar moet op worden geet bij de vergeijking van de resutaten. Door in de raamwerkprogrammatuur de E hee groot te maken, kan de normaakrachtvervorming kunstmatig naar nu worden gebracht. Er is nog een tweede aandachtspunt waar op geet moet worden. In de gangbare raamwerkprogrammatuur worden de momenten en dwarskrachten atijd berekend t.o.v. de constructie-as van het eement. V N okae x-as okae z-as V N Figuur 3.3: Lokae eement-assen in eindige- eementenmethode (EEM) software De hier gepresenteerde methode evert op dat punt een momentenverdeing die atijd wordt gepresenteerd angs de x-as. Differentiëren van deze momentenverdeing evert niet de dwarskracht die uit de raamwerkprogrammatuur te voorschijn komt maar sechts de verticae component van de snedekracht ten gevoge van buiging. Er is dus een vertaasag nodig van de resutaten uit MPLE naar de resutaten van de raamwerkprogrammatuur. N V α V boog gobae x-as gobae z-as V buiging Figuur 3.3: Reatie tussen krachten uit MPLE modeen en raamwerkmodeen Ga zef na dat voor de normaakracht en dwarskracht t.o.v. de boog-as kan worden gevonden: 3 d w dz dz N = cosα + EI sin : tan 3 α met α = 3 d w dz V = sinα + EI cosα 3 Ir J.W. Weeman Oktober 0 57

62 In de term met EI tussen haakjes wordt de normae dwarskracht V van de igger herkend. Deze werkt echter in een verticae snede en moet nog worden ontbonden in een component evenwijdig aan de boog-as en een component oodrecht op de boog-as. De drukkracht T in de boog (positief = druk) kan ook worden bepaad met: 3 dz d w dz T = + EI sin α met : tanα 3 = Deze uitdrukking is identiek aan N. Met deze uitdrukking kan ook eventuee een nauwkeurigere berekening van de normaakrachtvervorming worden verkregen. Ook kan de aanpak vogens paragraaf.5 worden gevogd: s= L x= Tds dz dw = d x of : E s= 0 x= 0 x= x= dz dz dw + E E = x= 0 x= 0 (8d) et enige probeem dat dan nog resteert is dat de momenten, dwarskrachten en normaakrachten in een raamwerkprogramma atijd grafisch worden weergegeven waarbij de waarden oodrecht op de staaf-as (okae x-as) worden uitgezet. Figuur 3.33: Typische presentatie van een momentenijn uit raamwerkprogrammatuur De figuren uit MPLE zuen aemaa de gobae x-as as as hebben maar we overeenkomstige uitkomsten aten zien. Met een voorbeed wordt e.e.a. toegeicht. Ir J.W. Weeman Oktober 0 58

63 3.5. Voorbeed : EEM versus MPLE Voor een vergeijkende studie naar de uitkomsten van een raamwerkprogramma en die vogens de MPLE aanpak wordt teruggegrepen op de sinus vormige boog uit paragraaf 3... De beasting bestaat uit een geijkmatig verdeede beasting. De invoed van de normaakrachtvervorming za worden meegenomen in de bepaing van de krachtsverdeing. q E, EI ( ) sin π x zb x = f B x boog z,w v B v Gegeven: = 9 m f = 4 m q = 5,0 kn/m EI = 000 knm E = kn Figuur 3.34: Sinus boog met geijkmatig verdeede beasting In dit voorbeed is de DV-route gevogd. De invoed van de normaakrachtvervorming is meegenomen in de berekening. De verhouding tussen de E en de EI kan dimensieoos worden uitgedrukt met behup van de sankheid van de boog: E λ EI λ = = = E = EI i i Voor de boogsankheid is een waarde van rond de 300 aangehouden. Beangrijk bij deze vergeijking is om op te merken dat de verpaatsingen t.o.v. de boogvorm kein moeten zijn. s dat niet het geva is dan gedt de gehanteerde DV niet en zuen ook de uitkomsten uit de ineair eastische berekening van de EEM onjuist zijn. Immers een op druk beaste constructie met grote verpaatsingen za geometrisch niet-ineair moeten worden doorgerekend. Uitgangspunt in deze vergeijking is echter een ineair eastische vergeijking. De maximae zakking w t.o.v. de boog bedraagt voor dit voorbeed 0,4 m hetgeen kein is t.o.v. de 4,0 m van de sinus boogvorm. Niet-ineaire effecten worden daarom niet verwacht. De momentenverdeing angs de x-as is hieronder weergegeven. Figuur 3.35: Sinus boog, M-ijn Ir J.W. Weeman Oktober 0 59

64 De totae verticae snedekracht kan worden bepaad met: 3 d w dz Vz = EI 3 Deze uitkomst moet niet verward worden met de dwarskracht in de boogsegmenten want daarvoor moet de momentenijn worden gedifferentieerd naar de okae richting van de boog. Eerder werd voor de dwarskracht gevonden: 3 d w dz dz V = sinα + EI cos α met : tanα 3 = et veroop angs de x-as is voor beiden hieronder weergegeven. Figuur 3.36: Sinus boog, V- en V z -ijn et opvaende resutaat voor V z aat duideijk zien hoe de totae beasting in verticae zin wordt gedragen door de kabe en de boog samen en is as zodanig een herkenbaar resutaat. De drukkracht in de boog, as normaakracht, kan worden bepaad met: 3 d w dz dz T = cosα EI sin α met : tanα 3 = et veroop hiervan is angs de x-as uitgezet. Figuur 3.37: Sinus boog, T-ijn (druk is positief) Ir J.W. Weeman Oktober 0 60

65 De horizontae component van de drukkracht is 90,9 kn en deze waarde is de minimum drukkracht in de sinus boog, haverwege de overspanning op x = 9,50 m. De waarde van is bij verwaarozing van de normaakrachtvervorming iets hoger, 9, kn. De compete MPLE invoer is hieronder weergegeven. Verpaatsingen methode m.b.v. de Differentiaa Vergeijking voor bogen (c) 00 : ans Weeman > restart; Mode incusief vervorming door normaakracht (angs de boog gemeten). > q:=q; > z:=-f*sin(pi*x/); > DV:=EI*diff(w(x),x$4)+*diff(z,x$)-q=0; > w:=rhs(dsove(dv,w(x))); > M:=-EI*diff(w,x$): Randvoorwaarden: scharnierende ondersteuningen, zakking en moment is geijk aan nu > x:=0: eq:=w=0: eq:=m=0: > x:=: eq3:=w=0: eq4:=m=0: > so:=sove({eq,eq,eq3,eq4},{_c,_c,_c3,_c4}): assign(so): x:='x': Bepaen van de kracht uit integraa over de -(dz/)(dw/) is geijk aan de horizontae verpaatsing door vervorming t.g.v. de normaakracht > g:=diff(z,x)*diff(w,x): > apha:=arctan(diff(z,x)): > Vz:=-EI*diff(diff(diff(w,x),x),x)-*diff(z,x): # verticae kracht > V:= *sin(apha)+vz*cos(apha): # V angs de boog > N:=-*cos(apha)+Vz*sin(apha): # N angs de boog > T:=-N: # pos T is druk! > verkorting:=int(t*sqrt(+(diff(z,x))^),x=0..)/e; > eq:=int(g,x=0..)=-verkorting: > :=sove(eq,): Geef de parameters waarden en bepaa de opossing: > :=9; Q:=5; f:=4; EI:=000; E:=50000; # E:=e0; > ambda:=evaf(sqrt(e*^/ei)); > evaf(); evaf(verkorting); evaf(verkorting/); > pot(-z,x=0..,tite="boog met EI=000 knm en E=50000 kn"); > pot([v,vz],x=0..,egend=["vz","v"],tite="verticae snede kracht Vz versus dwarskracht V"); > pot(-w,x=0..,tite="w"); evaf(eva(w,x=/)); > pot(-m,x=0..,tite="moment"); > pot(t,x=0..,y=0..400,tite="normaa (druk)kracht"); tabe met getasuitkomsten: > n:=9; # n steps for output > print("x z w M V T Tboog"); > for i from 0 by to n do printf("%8.3f %8.3f %8.3f %8.3f %8.3f %8.3f %8.3f\n",evaf(i*/n),evaf(eva(z,x=i*/n)),evaf(eva(w,x=i*/n)),evaf(eva(M,x=i*/n) ),evaf(eva(v,x=i*/n)),evaf(eva(t,x=i*/n)),evaf(eva(*sqrt(+(diff(z,x$))^),x=i* /n)) ); end do; Figuur 3.38: Sinus boog, MPLE invoer In de bovenstaande invoer is rekening gehouden met de invoed van de normaakrachtvervorming m.b.v. de variabee verkorting. et hierboven beschreven probeem is vervogens doorgerekend met behup van FEMDEM 6 en MatrixFrame 7. et voordee van het programma FEMDEM is, dat het een parametrische beschrijving van het compete mode toestaat. De boogcoördinaten kunnen met een functie worden beschreven. 6 FEMDEM is discreet eementenmethode programma ontwikked in C door J.W. Weeman. 7 MatrixFrame, onderwijsversie, everancier Matrix-CE Nijmegen. Ir J.W. Weeman Oktober 0 6

66 Uiteraard kunnen soortgeijke resutaten worden gevonden met ieder ander programma. De compete invoer voor FEMDEM is hieronder opgenomen. # FEMDEM: boogeem.dat # Sinus boog met geijkmatig verdeede # beasting, voedig parametrisch mode # nov 00, ans Weeman #... SET VRIBLE _n 9 # aanta segmenten VRIBLE _L 9 # overspanning L VRIBLE _f 4 # hoogte van de boog VRIBLE _dx _L/_n # eement grootte angs x-as VRIBLE _Emod 000 # E-moduus VRIBLE _ 50 # voor axiae vervorming VRIBLE _inf # =inf voor afschuifvervorming VRIBLE _Izz # I om de sterke as (=Iy) VRIBLE _q 5 # q-ast per eenheid van hor. engte VRIBLE _qeg 0 # q-ast per eenheid van boogengte, nu in dit voorbeed VRIBLE _Foad (_q*_l)/_n # equivaente puntast per knoop PROBLEM 3 JOBTITLE SINUS BOOG PLOTTITLE parametrisch mode GRPTITLE SINUS BOOG COORDINTES _n+ _NODE= _X=0.0 REPET _n+ NODE _NODE X _X Z -_f*sin(_pi*_x/_l) _NODE=_NODE+ _X=_X+_dX ELEMENTS _n GEN _n BEM NNODE STEP STEP BEM E _Emod IZ _Izz X _ Y _inf NU 0.0 rho 0.0 FREE # beasting vogens kettingijn, angs de boog gemeten ELLODING _n GENE _n STRTELE STEP DIRE Z FIXED Q _qeg # beasting per eenheid van hor. engte as puntast per knoop DOFLOD _n+ NODE Z F 0.5*_Foad GENE _n- NODE Z STEP F _Foad NODE _n+ Z F 0.5*_Foad SUPPORT 4 NODE X FIXED NODE Z FIXED NODE _n+ X FIXED NODE _n+ Z FIXED EXECUTE static inear PRINT 4 DISP LL LOD LL STRESS LL SUPP LL PLOT 3 DISP NDOF _n+ FIRST NODE Z STEP LOD NDOF _n+ FIRST NODE Z STEP STRESS LL end Figuur 3.39: Sinus boog, FEMDEM invoer De resutaten van FEMDEM kunnen worden opgevraagd angs de x-as. Daarmee zijn deze resutaten direct te vergeijken met de uitkomsten vogens MPLE. Ir J.W. Weeman Oktober 0 6

67 De discretisatie in FEMDEM en MatrixFrame is uitgevoerd met 9 rechte staafeementen. In MatrixFrame is een eementast gehanteerd in de gobae z-richting, in FEMDEM zijn equivaente knoopasten aangebracht. De MPLE en FEMDEM resutaten zijn verzamed in EXCEL waardoor de verschien grafisch kunnen worden weergegeven. De resutaten zijn vergeeken voor: horizontae component van de drukkracht in de boog verpaatsing momentenverdeing normaakrachtverdeing De dwarskracht is niet grafisch vergeeken aangezien in FEMDEM de beasting m.b.v. puntasten is ingevoerd. ierdoor is de dwarskracht per eement constant. Ook zijn vanwege de knik tussen de rechte eementen, de dwarskrachten inks en rechts van de staafaansuiting niet geijk. De grootste dwarskracht direct naast de opegging is vogens MatrixFrame 37,74 kn, MPLE geeft 38,5 kn, een verschi van %. orizontae component van de drukkracht in de boog Uit de onderstaande vergeijking vogt dat de drie modeen overeenkomstige uitkomsten geven. De verschien zijn minder dan 0,5%. Tabe : Kracht [ kn ] MPLE 90,98 FEMDEM 9,4 MTRIXFRME 9,0 De verpaatsing w t.o.v. de boog In de onderstaande figuur zijn de verpaatsingen t.o.v. de boog met ekaar vergeeken. Sinus boog verpaatsingen w t.o.v boogvorm w 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0-0, , -0,5-0, x FemDem Mape MatrixFrame Figuur 3.40: Vergeijking van zakkingen De resutaten van MatrixFrame en FEMDEM iggen zeer dicht bij ekaar, de MPLE opossing reageert iets stijver maar vogt het veroop uitstekend. De verschien zijn overigens kein. Ir J.W. Weeman Oktober 0 63

68 De momentenverdeing M in de boog In de onderstaande figuur zijn de momenten in de boog met ekaar vergeeken. Sinus boog momenten in de boog (t.o.v. de x-as) M x FemDem Mape MatrixFrame Figuur 3.4: Vergeijking van momenten De resutaten van MatrixFrame, FEMDEM en MPLE iggen weer zeer dicht bij ekaar. Dit keer is de match tussen FEMDEM en MPLE zeer goed en wijkt MatrixFrame een beetje af. De normaakracht N in de boog In de onderstaande figuur zijn de normaakrachten in de boog met ekaar vergeeken. Sinus boog normaakracht in de boog (t.o.v. de x-as) N FemDem Mape MatrixFrame x Figuur 3.4: Vergeijking van normaakracht De overeenkomst tussen de drie modeen is bijzonder goed. Ir J.W. Weeman Oktober 0 64

69 Met deze vergeijking kan worden geconcudeerd dat de MPLE modeering zeer goed aansuit bij de te verwachten resutaten met behup van raamwerk- of EEM-programmatuur. Verschien zijn er ook, het MPLE mode reageert iets te stijf maar geeft m.b.t. de krachtsverdeing zeer goede resutaten. De axiae stijfheid van de boog is overigens we een zeer gevoeige parameter. Indien de axiae vervorming te groot wordt dan zuen niet-ineaire berekeningen noodzakeijk zijn. Toch mag de eindconcusie zijn dat deze kassieke manier van modeeren gecombineerd met de inzet van moderne symboische agebra pakketten, het mogeijk maakt om snee parametrische modeen te bouwen die uitstekend gebruikt kunnen worden voor ontwerpstudies. Ir J.W. Weeman Oktober 0 65

70 3.6 Opdrachten Vraagstuk Een paraboische boog met pij z o en overspanning wordt beast met een driehoekvormige verdeede beasting zoas hieronder is aangegeven. De vervorming door samendrukking wordt verwaaroosd en de optredende verpaatsingen zijn kein t.o.v. de afmetingen van de boog. q ( x ) = q o qo x z(x) z o x z,w Gevraagd: Figuur 3.43: Boog vraagstuk a) Weke opossingsmethode(n) staan tot uw beschikking om de krachtsverdeing in de boog te bepaen? Geef daarbij met behup van schetsjes aan hoe deze methode(n) in principe werken en geef ook aan weke eventuee beperkingen dan we nadeen verbonden zijn aan de geschetste methode(n). b) Bepaa de horizontae component van de drukkracht in de boog. c) Weke controemogeijkheid heeft u om uw antwoord in dit specifieke geva eenvoudig te kunnen verifiëren? d) Bepaa de uitdrukking voor het momentenveroop in de boog as functie van x. e) Bepaa het buigend moment in de middendoorsnede van de boog. f) Schets het veroop van het buigendmoment angs de x-as. Ir J.W. Weeman Oktober 0 66

71 Vraagstuk De onderstaande paraboische boog is aan beide zijden scharnierend ondersteund. Er is echter met het rechter steunpunt een probeem met de fundering. De horizontae ondersteuning is daarom gemodeeerd as een veer met een veerstijfheid k. De boog wordt beast met een geijkmatig verdeede beasting zoas in de onderstaande figuur is aangegeven. q= 0 kn/m z(x) boog EI boog =0000 knm k=00 kn/m m x z =40 m Figuur 3.44: Boog vraagstuk De boog is zodanig qua afmetingen uitgevoerd dat de invoed van de normaakrachtvervorming mag worden verwaaroosd. Ook zijn de verticae verpaatsingen kein t.o.v. de afmetingen van de boog. Gevraagd: a) oe kan de krachtswerking in de boog vogens de kassieke aanpak m.b.v. de krachtenmethode worden bepaad? Geef aan wat de onbekende(n) zijn in uw modevorming. b) Bepaa de formue waarmee vogens u de onbekend(n) kunnen worden bepaad. c) Wat is uw verwachting t.a.v. de optredende momenten in de boog t.g.v. de invoed van de veer. (graag een korte kwaitatieve beschouwing) d) Laat zien dat de horizontae component van de drukkracht in de boog geijk is aan: = 64 kn e) Bepaa het maximum moment in de boog en waar treedt dit op? f) Bepaa de horizontae verpaatsing van de boog t.p.v. het rechter steunpunt. g) oe groot zou zijn voor k=? Ir J.W. Weeman Oktober 0 67

72 Vraagstuk 3 Van een boogbrug is de geometrie gegeven. De brug is bedoed as boegbeed in een ingesapen provinciestadje ergens in het Noorden van het and. De architect heeft daarom besoten om een spannende constructie neer te zetten. Deze boog heeft om die reden geen paraboische vorm. De geometrie is beschreven met: z = 75 0 x ( x ) 6 averwege de overspanning heeft deze boog een maximae hoogte van precies,0 m. De beide andhoofden mogen as voedige inkemmingen worden beschouwd. In een bouwovereg waar kritische vragen worden gested over deze vrijzinnige vorm buft de ontwerper dat deze vorm het heemaa niet zo gek doet in de vergeijking met een paraboische boogvorm met exact dezefde hoogte, randcondities en beasting. q= 0 kn/m EI boog =0000 knm z(x) boog x m z 0 m =40 m Figuur 3.45: Boog vraagstuk 3 Gevraagd: Geef uw mening over de steing van de ontwerper op basis van een anayse met MPLE. Vergeijk daartoe de M-ijn voor de gegeven boog met die van een paraboische boog voor de gegeven beasting en randcondities. Durft U een uitspraak te doen over de haabaarheid van dit ontwerp? Ir J.W. Weeman Oktober 0 68

73 LITERTUURVERWIJZINGEN [] Weeman J.W., Basisboek Toegepaste Mechanica, ThiemeMeuenhoff, ISBN , 003 [a] artsuijker C en J.W. Weeman, Engineering Mechanics, voume, Springer, ISBN [b] artsuijker C en J.W. Weeman, Engineering Mechanics, voume, Springer, ISBN [c] artsuijker C en J.W. Weeman, Toegepaste Mechanica dee 3, cademic Service, ISBN [3] Nijhuis W, De verpaatsingsmethode, gon Esevier, ISBN900043, 973 [4] Bathe K.J., Finite Eement Procedures in Engineering naysis, Prentice a, ISBN , 98 [5] Bouma.L., Mechanica van Constructies, east-statica van sanke structuren, DUM, ISBN , 993. [6] E Naschie M.S., Stress, stabiity and chaos in structura engineering : an energy approach, McGraw-i, ISBN X, 990. Ir J.W. Weeman Oktober 0 69

74 4 BIJLGEN 4. yperboische functies De cosh en sinh zijn hyperboische functies die as vogt zijn gedefinieerd: e sinh( x) = x e cosh( x) = x e + e x x De afgeeiden en de primitieven van deze functies bestaan uiteraard ook en zijn: cosh( x) = sinh( x) sinh( x) = cosh( x) = arc(sinh( x)) x + Ir J.W. Weeman Oktober 0 70

75 4. Tayorreeks ontwikkeing Met behup van een Tayor-reeks ontwikkeing is een continu differentieerbare functie f(x) as vogt te beschrijven : 3 4 h h h f ( a + h) = f ( a) + hf '( a) + f ''( a) + f '''( a) + f ''''( a) +! 3! 4! ierin is a het steunpunt van waaruit de functie wordt ontwikked en h is een keine omgeving rondom dit steunpunt. Voor de hieronder staande functie za een Tayor-reeks ontwikkeing worden uitgewerkt. De functie wordt ontwikked rond de oorsprong met een stapgrootte x. Dus as we vogens het recept te werk gaan gedt dat a=0 en h=x. f x x x ( ) = ( + ) = ( + ) f '( x) = ( + x ) x = x( + x ) f ''( x) = ( + x ) x ( + x ) 3 f '''( x) = 3 x( + x ) + 3 x ( + x ) f ''''( x) = 3( + x ) + 8 x ( + x ) 5 x ( + x ) Tayor : 3 4 x x x f (0 + x) + x ( 3) x x f ( x) Met MPLE is handwerk niet meer nodig. De onderstaande uitvoer maakt dit inzichteijk. > restart; > f:=sqrt(+x^); > tayor(f,x=0,5); f := + x + + x 8 x4 O( x 6 ) Ir J.W. Weeman Oktober 0 7

76 4.3 Lengteverandering voor de boog door additionee beasting Bogen met een gegeven engte die worden beast door een additionee beasting zuen een andere stand innemen. De totae engte angs de kromme za niet wezenijk veranderen. Met deze eis kan een opvaend resutaat worden geboekt. Situatie is een boog met een paatsfunctie z en een ontwikkede engte L angs de kromme. Situatie is een boog met een paatsfunctie z + w en een horizontae component van de kabekracht. 0 L 0 0 dz L = ds = + d x (initieë gepaatste boog) 0 0 d( z + w) L = d x (beaste boog) E + L = L = L (fysieke engte) dz d( z + w) + = + d x ( Tayor) + E dz dz = dzdw dw E Uitwerken van deze aatste vergeijking evert: dwdz dw dw dz + 0 met : + = E dwdz d x = E indien E = : 0 dwdz = 0 Voor een paraboische boog kan m.b.v. partiee integreren worden aangetoond: x= x= x= dz dw dz d z = w + w = 0 x= 0 x= 0 x= 0 De stokterm is vanwege de randvoorwaarden nu. De integraa die vervogens resteert bevat in d z geva van een paraboo een constante term waardoor de expressie vereenvoudigd wordt tot: x= x= 0 w = 0 Ir J.W. Weeman Oktober 0 7

77 5 NTWOORDEN VRGSTUKKEN 5. KBELS Vraagstuk Dit vraagstuk wordt op twee manieren opgeost. De eerste variant is met behup van de differentiaavergeijking, dit wordt de nette methode genoemd. De tweede methode is en handige methode op basis van wat ingenieursgevoe. Nette methode Los eerst de vergeijking op van de kabe, differentieer deze opossing twee maa en substitueer deze in de D.V. van de kabe. De horizontae component van de kabekracht is daarmee bepaad. Vervogens kan met de heing van de kabe in de punten, B en C de kabekracht worden berekend. Kabevergeijking : z( x) = ax + bx + c r. v. w : z(0) = 0, uitwerken : a =,6 0 x max = 58,576 z max ( x max b =,366 ) = 40, c = 0 z(00) = 0 Invuen in de D.V. : z( x) =,66 0 z"( x) = 0,033 invuen : 0,033 = 850 = N x +,366 x Kabekracht : tanα = z' ( x) z' (0) =,366 z' (00) = 0,966 T (0) = T (00) = T (58,58) = (,366) + (,0) ( 0,966) + (,0) = 6,7 kn = 50,7 kn Ir J.W. Weeman Oktober 0 73

78 Ingenieursmethode Op het aagste punt van de kabe is in een snede aeen de horizontae component van de kabekracht aanwezig. Voor het momentenevenwicht voor zowe inks as rechts gedt : qx = 40 opossen : x = 58,58 m heing in : heing in B : en krachten zie boven q ( x) = 36,45 kn 40 58, ,4 =,36 = 0,966 = 0 De engte van de kabe moet angs de koorde worden bepaad. De is te bepaen door de vogende integraa uit te werken. dw L = + s de kabefunctie is bepaad vogens de nette route is dit verder geen probeem, uitwerken evert (gebruik hiervoor evt. MPLE): z( x) =,66 0 x +,366 x z '( x) = 0,033x +,366 x= x= dz ( 0, 033,366) 0, 73 m L = + = + x + = x= 0 x= 0 Ir J.W. Weeman Oktober 0 74

79 Vraagstuk De verticae opegreacties van de kabeconstructie zijn eenvoudig uit het (uitwendige) evenwicht te bepaen: B V V = = 6,3 kn 8 = 6,7 kn De horizontae opegreacties zijn nog onbekend. Immers de spanning in de kabe is nog onbekend. Deze horizontae opegreactie wordt aangeduid met. Op basis van het evenwicht moet de horizontae component van de kabekracht overa constant en geijk zijn aan. Ook de verpaatsing van de kabe is nog onbekend. In de onderstaande figuur is dit weergegeven. Er zijn nu drie onbekenden op te ossen. V α u u β B V 3,0 m 3,0 m 4,0 m angezien de kabe aeen trekkrachten kan overdragen za de resutante van de opegreacties in en B geijk maar tegengested moeten zijn aan de kabekracht die dezefde richting heeft as de stand van de kabe in resp. en B. De stand van de kabe in deze punten kan uit de bovenstaande figuur worden afgeezen. ieruit vogt: tanα = tan β = V B V u = 3,0 u = 4,0 0, u = 5, u = ( en ) De engte van de kabe is gegeven. Door de beasting za de engte angs de koorde in de verpaatste stand geijk zijn aan: ( u u ) L = u u + De verenging in de kabe wordt hiermee: = L 0 Deze wordt veroorzaakt door de normaakrachtvervorming in de drie rechte kabestukken. Een redeijke benadering hiervoor is: E 0 = L 0 = u ( u u ) u (3) iermee zijn de drie extra vergeijkingen opgested waarmee de drie onbekenden kunnen worden bepaad. Door () en () in (3) te substitueren wordt een vergeijking verkregen met as enige onbekende de kracht. Ir J.W. Weeman Oktober 0 75

80 et rekenwerk is verder met b.v. MPLE eenvoudig uit te voeren. MPLE in- en uitvoer: > restart; > u:=0./; u:=5./; E:=0000; u := 0. u := 5. E := 0000 > L:=sqrt(u^+9)+sqrt((u-u)^+9)+sqrt(u^+6); > DELT:=L-0; L := DELT := > eq:==delt*e/0; eq := = > sove(eq,); I, , I > :=53.93; > evaf(u); evaf(u); > N:=sqrt(^+(6.7)^); := N := > N:=sqrt(^+(6.7-5)^); N := > N3:=sqrt(^+(6.3)^); N3 := > De opossing moet reëe zijn, aeen de opossing = 53,93 kn komt in aanmerking. De normaakracht in de kabe is voor de drie rechte stukken hierboven bepaad. De verschien zijn kein t.o.v. de horizontae component hetgeen ook de praktijk is bij initiëe rechte kabeconstructies. De maximae zakking onder de puntast van 8 kn is iets meer dan 47 cm. Ir J.W. Weeman Oktober 0 76

81 Ir J.W. Weeman Oktober 0 77 De opossing van dit probeem is op deze manier aeen te vinden met een programma zoas MPLE. et uitwerken met de hand is feiteijk onbegonnen werk. Een praktische handmethode is door in de vergeijking voor de engte van de vervormde kabe de uitdrukkingen onder de worte te vervangen door een Tayor-benadering. ierdoor ontstaat de onderstaande (benaderende) uitdrukking voor L : ( ) ( ) ( ) ( ) u u u u L u u u u L u u u u L u u u u L = = Met () en () wordt (3) hiermee: 53,5 kn , 68,84 34,67 5, ; 0, : met = = = + = = = + = = u u E u u u u E L Deze uitkomst voor verschit sechts 0,% met de exact gevonden uitkomst. NOOT : De hier genoemde exacte uitkomst is natuurijk niet echt exact. We hebben immers de verenging t.g.v. de normaakracht afgeschat. s echter deze opgave met een niet- ineair programma 8 wordt nagerekend dan wordt gevonden: 53,064 kn 0,377 m 0, 473 m u u = = = 8 FEMDEM, ans Weeman, Linux impementatie

82 Vraagstuk 3 a) De stand die de kabe inneemt heeft op een schaingsconstante na, dezefde vorm as de momentenijn van een igger op twee steunpunten met een identieke beasting. De momentenijn is voor het inkerdee paraboisch en voor de rechter heft ineair. In het midden is het maximum moment geijk aan knm. De schets wordt aan de ezer overgeaten. b) ieruit vogt voor de zakking van de kabe haverwege de overspanning: z = M 56,0 z(4,0) = M (4,0) = knm z(4,0) =,0 m c) De grootste trekkracht treedt op waar de heing maximaa is. De heing in is geijk aan: (gebruik de momentenijn en de kennis van de paraboische M-ijn) tanα = = = 0, ,0 4 De heing in B is geijk aan,0/4,0 = 0,5 en is dus niet maatgevend. De kracht in de kabe wordt hiermee: T = + = = 0,787 56,0,7 7, kn d) De engte van de kabe kan gevonden worden door per dee angs de kabe te integreren. De stand van de kabe vogt weer uit de momentenijn: z( x),0 x 8,0 x (4,0 x) + z 4 = 0 x 4,0 8 4 = 4,0 x 8,0 = x + z De engte kan worden gevonden door per segment de noodzakeijke integraa uit te werken: x= 4 x= 8 ( ) ( ) L = + z '( x) + + z '( x) x= 0 x= 4 et tweede dee van deze integraa kan uiteraard direct met Pythagoras worden opgeost (ineair veroop). Met behup van MPLE wordt as uitkomst gevonden 8,98 m. Ir J.W. Weeman Oktober 0 78

83 Vraagstuk 4 a) dz dz 8 f L = + 70, m + = + = b) 00% naar de draagkabe c) 8 ( 0 + 5) 70 = = 0000 N,53 d) L = α T L = 0,006 m * L = 70,03 m * ( f ) e) 8 * * L = + f =,707 m 3 f) doorhang rijkabe : f = 0,707 m f = 8 q q = 5,57 N/m * q = 5 q = 9,46 N/m * * 8 q * f = = 699 N concusie: 30% afname van en 0% afname van q! g) 0 70 Geen draagkabe dan: f = = 0,3065 m (onafh van temp!) h) Systeem is stijfheidsverhogend Opmerking: Let op de reatie tussen gewicht G van een bok dat kangt aan een kabe weke over een katro wordt geeid en de daarbij behorende kabekracht T. Deze veroopt niet ineair, zie ook toeichting in paragraaf.4.. Voor keine aspectratio van de kabe gedt G. Ir J.W. Weeman Oktober 0 79

84 5. BOGEN Vraagstuk a) De boog is enkevoudig statisch onbepaad en de krachtsverdeing in de boog kan daarom of met de kassieke aanpak of m.b.v. de differentiaavergeijking voor de boog worden opgeost. De kassieke aanpak is eenvoudig indien het momentenveroop van het statisch bepaade hoofdsysteem eenvoudig te bepaen is. Dat is hier het geva. Nadee is we dat de vervorming van de boog niet eenvoudig te bepaen is. Daarvoor is het beter om de D.V. voor de boog op te ossen. b) De momentenverdeing in het statisch bepaade hoofdsysteem van de boog is te bepaen met behup van de D.V. voor het evenwicht van een iggermootje. d M qo = q( x) = q 0 + x met r.v.w. M (0) = 0 en M ( ) = 0 3 a x M ( x) = qox + 6 qo + 3 qox De horizontae component van de drukkracht in de boog kan nu bepaad worden met de formue op het formuebad: a q f x ( ) ( )d ( 3 ) d q f M x z x x x + + x x x = = = 3 0 = 4 fx( x) 8 f 6 f z ( x) o 3 ( ) o qo c) Dit is geen opmerkeijk resutaat want voor een constante q-ast wordt een -maa zo grote horizontae component van de drukkracht verwacht. Immers een eenvoudige snede haverwege de boog evert voor het momentenevenwicht voor de boog onder een geijkmatig verdeede (constante) q-ast : f = q 8 De constante beasting kan opgebouwd gedacht worden uit twee maa een driehoeksvormige beasting. Ek dee is dan vanwege de symmetrie verantwoordeijk voor de heft van het aandee in de horizontae component van de drukkracht in de boog. d) et momentenveroop in de boog is nu te bepaen met: a M ( x) = M ( x) + z 3 x q o 4 fx( x) M ( x) = q ox + q 6 o + q 3 ox 6 f 3 x M ( x) = qox + 6 qo + 3 qox 4 qox( x) e) et moment haverwege de boog is gezien de eerdere opmerking over de symmetrie geijk aan nu! Ir J.W. Weeman Oktober 0 80

85 et momentenveroop is hieronder schetsmatig weegegeven. x-as M-as q o 5 Vraagstuk a) Zie theorie. Let op, de invoed van de veer moet nu op de horizontae verpaatsing meegenomen worden! b) De kassieke formue moet een beetje aangepast worden. De invoed van de normaakrachtvervorming wordt buiten beschouwing geaten maar de indrukking van de veer niet. Door een aanwezige kracht in de boog za de veer wien indrukken met: u = k De kassieke formue zoas gegeven op het formuebad moet dus een kein beetje worden aangepast: a M z EI 0 a = en M ( x) = M + z z + EI k 0 c) Door de horizontae verpaatsing za de boogwerking voor een dee teniet worden gedaan. Er za dus een zekere mate van iggerwerking optreden waardoor keiner wordt en er momenten zuen optreden. d) Uitwerken van de bovenstaande formue met de wiskundige handreikingen op het formuebad everen voor de onbekende kracht : Ir J.W. Weeman Oktober 0 8

86 4 fx( x) x= 5 z = a fqx ( x) a fq M z = M z a = 30 M = 0 qx( x) x= 3 fq = = 63,997 kn 5EI 8 f + k x= 5 6 f 6 f = ( ) 4 4 = x= 0 z x x z e) Met de formue voor het boogmoment van het formuebad kan worden bepaad dat het maximummoment (haverwege de boog) geijk is aan: 30 M = q f = 8 3,03 knm f) De veerindrukking vogt direct uit de waarde van : 3 fq q g) = 66,67 kn 5EI = 8 f 8 f = + 64 u = = = 0,8 m k 00 Vraagstuk 3 De open vraagsteing nodigt uit tot een fiosofische verhandeing maar doe is concreet aan te geven wat het verschi in opossing is tussen een paraboische boog en de gegeven boog voor met name de geijkmatig verdeede beasting over de have dag. boogvorm en et moge duideijk zijn dat de paraboische boog het meer dan goed doet voor een geijkmatig verdeede beasting over de gehee overspanning. Een uitgangspunt bij de beantwoording zou kunnen zijn dat indien de maximae momenten in beide opossingen qua orde van grootte ekaar niet vee ontopen, de boog constructief reaiseerbaar moet zijn. Immers inventieve constructeurs kunnen toch aes maken ook a is de vorm niet gehee in overeenstemming met het mechanica geweten. Dat is op zich toch niet erg en vormt juist een uitdaging, zeker as de opdrachtgever hiervoor wi betaen vaak omdat een dergeijk object een eye-catcher is. Deze finae concusie was overigens niet bepaend voor de beoordeing, as grondsag dient de vogende vergeijking van de krachtsverdeing in de boog. Modevorming: De boog is niet een enkevoudig statisch onbepaade boog en de opossing kan niet m.b.v. de kassieke boogvergeijking worden gevonden maar moet met de D.V. worden gevonden. M-ijn in 4 d w d w EI = q( x) 4 De beasting za hierbij ingevoerd moeten worden m.b.v. een stapfunctie (eaviside). De nog onbekende horizontae (constante) component van de drukkracht in de boog kan Ir J.W. Weeman Oktober 0 8

87 worden gevonden met een extra gegeven. angezien we de normaakrachtvervorming van de boog mogen verwaarozen gedt: 0 dw dz dz = 0 Beangrijk bij de modevorming is te meden wat de randvoorwaarden zijn voor deze tweezijdig ingekemde boog. Uitwerken van deze aanpak in MPLE evert de hierboven weergegeven momentenijnen die kunnen worden vergeeken. We zien dat de orde van grootte van de momenten niet extreem verschien. et inkemmingsmoment wordt we fors groter maar bijft beperkt tot een factor,89 hetgeen beter is dan verwacht. NOOT : De architect had beter de boog niet kunnen inkemmen, een anayse aat dan nameijk zien dat in de niet paraboische boog het maximae moment niet groter wordt dan ca,48 keer die van de paraboische boog. Ir J.W. Weeman Oktober 0 83