Lees onderstaande goed door. Je niet houden aan de instructies heeft direct gevolgen voor de beoordeling.

Transcriptie

1 Universiteit Twente Faculteit Construerende Technische Wetenschappen Opleidingen Werktuigbouwkunde & Industrieel Ontwerpen Kenmerk: CTW.14/TM-5739 ONDERDEEL : Statica DATUM : 10 oktober 2014 TIJD : 14:00 17:00 TOETS Lees onderstaande goed door. Je niet houden aan de instructies heeft direct gevolgen voor de beoordeling. Lees de vragen goed door. Aan de aanpak wordt meer waarde toegekend dan aan de uitkomst; volg de Systematische Probleem Aanpak bij alle opgaven, geef zoveel mogelijk ook de vergelijking in symbolen vóór het oplossen. VLS-en worden beoordeeld op duidelijkheid, compleetheid en correctheid. Het gebruik van een grafische rekenmachine is niet toegestaan. Breuken hoeven niet uitgewerkt te worden in decimale uitkomsten. Fouten in eenheden worden streng beoordeeld. De toets is een gesloten boek toets. Antwoorden (inclusief tekeningen) in potlood worden niet geaccepteerd. Tip: je kunt wel de tekening eerst in potlood maken en daarna overtrekken in pen. Het gebruik van de bijgevoegde antwoordbladen is verplicht (niet gebruiken betekent punten aftrek). Schrijf op alle bladen die je inlevert duidelijk je naam en je student nummer. (De vakcode is (WB) en (IO), de code CTW.15/TM-.. is een document kenmerk). Lever alles in als 1 gebundeld pakket, in een Universiteit Twente tentamenpapier, en niet als stapel losse vellen. Je hoeft het nietje niet te laten zitten. Verlaat de zaal in stilte als je klaar bent.

2

3 Opgave 1 Gegeven de vakwerkconstructie in figuur 1. B D y L AB = L CD = 12m L AC = L BD = 16m L CE = 9m P = 25P P y = 16P LAB = LCD A C E P L AC = L BD L CE P y Figuur 1: Opgave 1. a. Bepaal de steunpuntreactiekrachten in A en C. Gebruik figuur 3 van het antwoordblad voor de VLS. b. Bepaal de krachten in de balk elementen AC, AD en BD. Gebruik, afhankelijk van de methode die je kiest een van de figuren 4 en 5 (waar meer vakken staan dan nodig!). c. Geef van de in b gevonden krachten aan of het druk of trekkrachten zijn. Je antwoord moet consistent zijn met het voorgaande deel van de opgave en hier uit te herleiden zijn.

4 Opgave 2 Gegeven de constructie in figuur 2, waarvoor geldt: AB, BC, en CD zijn starre lichamen. In A bevindt zich een inklemming. In B, C, en D bevinden zich wrijvingsloze scharnieren. K 1, K 2 en K 3 zijn katrollen; de kabels die over de katrollen lopen zijn verbonden met massa m 1 (K 1 ) en m 2 (K 2 en K 3 ) en met CD. De kabels staan loodrecht op de hulplijn van C naar D. De onderbroken lijnen zijn hulplijnen en maken geen deel uit van de constructie. De verdeelde belasting q werkt alleen op AB en is constant van grootte. L 1 = 2L L 2 = 3L L 3 = 3L L 4 = L L 5 = L 1 = 30 o = π 6 rad 2 = 60 o = π 3 rad 3 = 30 o = π 6 rad m 1 = m 2 = m q = 2mg/L L 1 L2 q B 1 K 3 K 2 A D m 2 L 5 y C 2 3 L 4 K 1 m 1 L 3 Beantwoord de volgende vragen: Figuur 2: Opgave 2. a. Maak op het antwoordblad, figuur 6, een VLS van de gehele constructie. b. Welke onderdeel is een Two Force Member? Wat zijn de belangrijkste eigenschappen van een Two Force Member? c. Identificeer het bijzondere moment. d. Maak op het antwoordblad, figuur 7, een VLS van onderdeel AB. e. Maak op het antwoordblad, figuur 8, een VLS van onderdeel BC. f. Maak op het antwoordblad, figuur 9, een VLS van onderdeel CD. g. Stel de evenwichtsvergelijkingen van de drie VLS-en van 2d 2f op in termen van m, g en L en beoordeel of er voldoende vergelijkingen zijn om de reactiekrachten op te lossen.

5 Naam: Studentnummer: Figuur 3: VLS vraag 1a.

6 Naam: Studentnummer: Figuur 4: VLS vraag 1b Optie 1.

7 Naam: Studentnummer: Figuur 5: VLS-en vraag 1b Optie 2.

8 Naam: Studentnummer: Figuur 6: VLS vraag 2a geheel.

9 Naam: Studentnummer: Figuur 7: VLS vraag 2d deel AB.

10 Naam: Studentnummer: Figuur 8: VLS vraag 2e deel BC.

11 Naam: Studentnummer: Figuur 9: VLS vraag 2f deel CD.

12 Vraag 1 25 punten a. (13 punten) De volgende stappen moeten genomen worden om de steunpuntreactiekrachten uit te rekenen: 1. Teken een VLS van het gehele vakwerk (4 punten). 2. Stel de evenwichtsvergelijkingen op (6 punten, 2 per vergelijking). 3. Los de evenwichtsvergelijkingen op (3 punten, 1 per reactiekracht). Noot: de keuze van de richtingen van de reactiekrachten is onlogisch op grond van statisch inzicht, maar automatisch bepaald door het Matlab c -script dat gebruikt is voor de oplossing. De evenwichtsvergelijkingen y B D L AB A A C E P A y L AC C y L CE P y Figuur 10: Vrije Lichaam Structuur van het gehele vakwerk. De keuze van de richtingen van de reactiekrachten is onlogisch op grond van statisch inzicht, maar automatisch bepaald door het Matlab c -script dat gebruikt is voor de oplossing. voor de krachten in en y richting: F = 0 : A +P = 0 (1) Fy = 0 : A y +C y P y = 0 (2) De evenwichtsvergelijking voor het moment hangt af van het gekozen referentie punt dat daarom ook duidelijk genoemd moet worden. Hieronder zijn de moment vergelijkingen voor 5 verschillende referentie punten gegeven (A, C): slechts één van deze vergelijkingen is voldoende, wanneer meer vergelijkingen gegeven zijn, worden deze allemaal beoordeeld! De moment vergelijkingen luiden: Mz,A : C y L AC P y (L AC +L CE ) = 0 (3) Mz,C : A y L AC P y L CE = 0 (4) 1

13 Met getallen: Mz,A : 16C y 25P y = 0 (5) Mz,C : 16A y 9P y = 0 (6) De oplossing via M z,a : A = P = 25P (7) C y = L AC +L CE P y = 25 16P = 25P L AC 16 (8) A y = P y C y = 16P 25P = 9P (9) De oplossing via M z,c : A = P = 25P (10) A y = L CE P y = 9 16P = 9P L AC 16 (11) C y = P y A y = 16P ( 9)P = 25P (12) b. (9 punten) Er kunnen twee methoden gevolgd worden: 1. De knooppuntsmethode 2. De snedemethode Er zijn verschillende manieren om bij de eind oplossing te komen. Het is daarom ook lastig om eact aan te geven hoeveel punten er maimaal aan een item zijn toegekend. Er is echter wel in alle gevallen en onderscheid te maken tussen VLS-en en evenwichtsvergelijkingen. Ongeveer de helft van de punten zijn te halen bij een perfect VLS en ongeveer de helft bij volledige juiste vergelijkingen. 1. Knooppuntsmethode Hiervoor moeten VLS-en van de knooppunten gemaakt worden. Er zijn verschillende routes naar de oplossing. Als eerst geanalyseerd wordt wat mogelijk de beste oplossing is, kan veel tijd en werk bespaard worden. Dat is echter niet altijd direct te zien (oefening baart kunst!) en daarom is het soms handig eerst van alle punten een VLS te maken. Dat is hier ook gedaan, maar wel in de volgorde: B, A, C, D, E. Deze volgorde is gekozen omdat de eerste twee VLS-en voldoende zijn om de vraag op te lossen. Daarnaast zijn meteen te evenwichtsvergelijkingen opgesteld. 2

14 y B F BD F AB Figuur 11: Vrije Lichaam Structuur knooppunt B. F = 0 : F BD = 0 (13) Fy = 0 : F AB = 0 (14) Zowel AB als BD zijn dus Zero-Force-Members. y F AB F AD A A F AC A y Figuur 12: Vrije Lichaam Structuur knooppunt A. F = 0 : A +F AC +F AD 4 5 = 0 (15) Fy = 0 : A y +F AB +F AD 3 5 = 0 (16) 3

15 y F CD C F CE F AC C y Figuur 13: Vrije Lichaam Structuur knooppunt C. F = 0 : F AC +F CE = 0 (17) Fy = 0 : C y +F CD = 0 (18) y F BD D F AD F DE F CD Figuur 14: Vrije Lichaam Structuur knooppunt D. 3 F = 0 : F BD +F DE 5 F 4 AD 5 = 0 (19) 3 Fy = 0 : F AD 5 F 4 CD F DE 5 = 0 (20) 4

16 y F DE E P F CE P y Figuur 15: Vrije Lichaam Structuur knooppunt E. F = 0 : P F CE F DE 3 5 = 0 F BEcos BE F CE +P = 0 (21) Fy = 0 : P y +F DE 4 5 = 0 (22) De oplossing start met de constatering dat AB en BD Zero-Force-Members zijn (vergelijkingen (13) en (14)). Dan met respectievelijk de vergelijkingen (16) en (15): F AD = 5 3 A y = 5 9P = 15P (23) 3 F AC = A 4 5 F AD = 25P 4 15P = 13P (24) 5 De VLS-en in de figuren 13 tot en met 15 zijn inclusief bijbehorende vergelijkingen dus overbodig. Om de ideale route te bepalen is het soms wel handig de VLS-en getekend te hebben, maar het is met name een kwestie van oefening: een geoefend persoon zal sneller inzien dat de Onderdelen AB en BD Zero-Force-Members zijn en dus vandaar uit de oplosroute beginnen. 5

17 2. Snedemethode Hiervoor moet een VLS gemaakt worden, waarbij maimaal 3 balken doorgesneden mogen worden. Er kan het linker of het rechter deel van het vakwerk gekozen worden. y B F AD F BD A A F AC A y Figuur 16: Vrije Lichaam Structuur van het linker deel. De evenwichtsvergelijkingen: F : A +F AC +F AD 4 5 +F BD = 0 (25) Fy : A y +F AD 3 5 = 0 (26) Mz,A : F BD L AB = 0 (27) Uit vergelijking (27) volgt meteen dat BD een Zero-Force-Member is. Vervolgens via respectievelijk de vergelijkingen (26) en (25): c. (2 punten) Samengevat wordt gevonden dat: F AD = 5 3 A y = 5 9P = 15P 3 (28) 4 F AC = A F AD 5 = 25P 4 15P = 13P 5 (29) F AC F AD = 13P trekkracht = 15P trekkracht F BD = 0P Zero-Force-Member (30) Aangezien alle krachten als trekkrachten in de balk zijn aangenomen (merk op: de kracht op de knooppunten is de kracht waarmee de balk aan het knooppunt trekt!), komen de positieve waardes overeen met een trekkracht in de balk en de negatieve met een drukkracht. Het gegeven moet consistent zijn met de antwoorden die in onderdeel b gegeven zijn en daar dus ook uit te herleiden zijn. Zonder b dus geen punten voor c: het is dan immers niet duidelijk op basis waarvan bepaald is of er een trek of drukkracht in de balk heerst. 6

18 Vraag 2 25 punten a. (5 punten) De VLS van het geheel is weergegeven in figuur 17. De keuze van de richting van de reactie krachten in A en D is redelijk vrij: Het is lastig in te schatten wat de werkelijke richting van deze krachten zal zijn. Wel is het logisch dat de kracht in -richting in A tegengesteld is aan die in D. 2L 3L q B D y 1 F z,2 D A A D M A A y L y 2 3 C L F z,1 3L Figuur 17: Vrije Lichaam Structuur van gehele constructie. b.(3 punten) Onderdeel BC; (1 punt) Resulterende kracht werkt in de richting van de werklijn (= kortste afstand tussen B en C); (2 punten) Het is essentieel hier de werklijn te noemen. Het is onvoldoende om te noemen dat er twee krachten op werken die tegengesteld zijn aan elkaar, of elkaar opheffen. Dat kan ook voor andere constructie gelden zonder dat het dan een TFM is. c. (2 punten) Het koppel (1 punt) van krachten F z,1 en F z,2 (1 punt): 1. de krachten zijn even groot en tegengesteld; 2. de werklijnen zijn parallel; 3. voor de grootte van het koppel is alleen de loodrechte afstand tussen de werklijnen van beide krachten nodig (koppel is een vrije vector). 7

19 De hierboven genoemde punten werden niet gevraagd, maar zijn hier slechts ter informatie genoemd. d. (3 punten) De VLS van onderdeel AB is weergegeven in figuur 18. De keuze van de reactie krachten in A is niet meer vrij: deze zijn immers al gekozen! Zorg dus dat ze overeenkomenmet de krachten in A zoals weergegevenin figuur 17. De keuze van de reactiekrachten in B is enigszins, maar verre van volledig vrij wanneer het antwoord op vraag 2b in ogenschouw genomen wordt: de resulterende kracht zal in de richting van de werklijn van component BC moeten liggen (er moet dus een klein beetje vooruit gedacht worden!). Of er een drukkracht of een trekkracht aangenomen wordt is niet van belang dat is immers lastig in te schatten. 2L q B B A A 1 B y M A A y y Figuur 18: Vrije Lichaam Structuur van onderdeel AB. 8

20 e. (3 punten) De VLS van onderdeel BC is weergegeven in figuur 19. Let er op dat 1. De richting van de resulterende kracht in de richting van de werklijn wijst, zowel in punt B als in punt C. 2. De derde wet van Newton correct toegepast is: Actie = Reactie, oftewel, de krachten in B zijn tegengesteld aan die in B in het VLS van AB. Als de richting van de resulterende kracht niet gelijk is aan de richting van de werklijn, dan zijn punten in mindering gebracht. Met name als antwoord 2b wél correct beantwoord is, omdat dit direct aangeeft dat er wel kennis, maar nog geen inzicht is: de consequentie van het in 2b gegeven antwoord is immers niet ingezien en toegepast! B y B B 3L 2 y C C C y Figuur 19: Vrije Lichaam Structuur van onderdeel BC. f. (3 punten) De VLS van onderdeel CD is weergegeven in figuur 20. Let ook hier weer op de derde wet van Newton. g. (6 punten) De evenwichtsvergelijkingen voor de krachten in en y richting van VLS AB luiden: F = 0 : A +B q 2Lsin 1 = 0 (31) Fy = 0 : A y B y +q 2Lcos 1 = 0 (32) De evenwichtsvergelijking voor het moment hangt af van het gekozen referentie punt dat daarom ook duidelijk genoemd moet worden. Hieronder zijn de moment vergelijkingen voor 2 verschillende referentie punten gegeven (A, B): slechts één van deze vergelijkingen is voldoende, wanneer meer vergelijkingen gegeven zijn, worden deze allemaal beoordeeld! Mz,A = 0 : M A q(2l)2 B 2Lsin 1 B y 2Lcos 1 = 0 (33) Mz,B = 0 : M A 1 2 q(2l)2 A 2Lsin 1 A y 2Lcos 1 = 0 (34) 9

21 D y F z,2 D D C y L y C C 3 L F z,1 3L Figuur 20: Vrije Lichaam Structuur van onderdeel CD. Merk op dat 1 2 q(2l)2 = 2qL 2. De evenwichtsvergelijkingen voor de krachten in en y richting van VLS BC luiden: F = 0 : B +C = 0 (35) Fy = 0 : B y C y = 0 (36) Dit betreft een Two-Force-Member, dus de moment vergelijking hoeft niet opgesteld te worden: de resulterende kracht is geörienteerd in de richting van de werklijn BC, dus de verhouding tussen de krachten is: B y B = C y C = 3Lsin 2 3Lcos 2 = tan 2 (37) Velen hebben slechts de twee evenwichtsvergelijkingen genoemd, andere ook een moment vergelijking. Het eerste is onvoldoende (er zal een vergelijking te weinig zijn, die laatste punt van de opgave), het tweede getuigt van te weinig inzicht van een Two-Force-Member : Uit de moment vergelijking volgt de verhouding van de - en y-componenten van de krachten in B en C. Die verhouding is echter al bekend, want de richting van de werklijn BC is uit de geometry bekend. De evenwichtsvergelijkingen voor de krachten in en y richting van VLS CD luiden: F = 0 : C +D +F z,1 sin 1 F z,2 sin 1 = C +D = 0 (38) Fy = 0 : C y D y F z,1 cos 1 +F z,2 cos 1 = C y D y = 0 (39) Het volstaat om de evenwichtsvergelijkingen zonder de krachten F z,1 en F z,2 te noemen: F z,1 en F z,2 vormen immers een koppel en een koppel draagt alleen bij aan het momentenevenwicht, niet aan het krachten evenwicht: de termen vallen per definitie tegen elkaar weg! De evenwichtsvergelijking voor het moment hangt af van het gekozen referentie punt dat daarom ook duidelijk genoemd moet worden. Hieronder zijn de moment vergelijkingen voor 2 verschillende referentie punten gegeven (C, D): slechts één van deze vergelijkingen is voldoende, wanneer meer vergelijkingen gegeven zijn, worden deze 10

22 allemaal beoordeeld! Merk op dat gebruik gemaakt wordt van het gegeven dat de beide zwaartekrachten een koppel vormen. Mz,C = 0 : F z L D 3Lcos 1 D y 3Lsin 1 = 0 (40) Mz,D = 0 : F z L C 3Lcos 1 C y 3Lsin 1 = 0 (41) Merk op dat de krachten F z,1 en F z,1 een bijdrage aan de moment vergelijking leveren gelijk aan de grootte van de kracht (F z,1 = F z,2 = F z ) maal de (loodrechte) afstand tussen beide (werklijnen). Er hoeft dus niet van beide krachten een arm naar een bepaald punt (C of D) uitgerekend te worden. Als dat wel gedaan is, is meteen te zien dat effectief alleen de term F z L overblijft. Je kunt jezelf dus werk besparen... 11