Tentamen CTB2210. ConstructieMechanica 3

Transcriptie

1 Subfaculteit iviele Technie Vermeld op bladen van uw wer: onstructiemechanica STUDIENUER : N : Tentamen T10 onstructieechanica 9 februari xxx van 09:00 1:00 uur Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven. ls de andidaat niet voldoet aan de eisen tot deelname wordt het wer niet beoordeeld. Wer de opgaven uit op het antwoordformulier en lever alleen deze bladen in. l uw ladpapier wordt oo ingenomen en vernietigd. Vermeld op el blad rechtsboven uw naam en studienummer In de beoordeling van het wer wordt oo de netheid van de presentatie betroen Het gebrui van een grafische reenmachine zonder pdf weergave en/of internetverbinding is toegestaan Het gebrui van mobiele telefoons en/of tablets of pda s met of zonder internetverbinding is tijdens het tentamen is niet toegestaan, dus uitzetten en van tafel verwijderen! Let op de aangegeven tijd per vraagstu Tenzij anders vermeld speelt het eigen gewicht geen rol en zijn atrollen en scharnierende verbindingen wrijvingsloos. Voor de valversnelling g mag 10 m/s worden aangehouden.

2 Tentamen T10 onstructieechanica 9 februari xxx OPGVE 1 : Krachtenmethode ( ca 0 min ) In het hieronder weergegeven raamwer hebben alle staven dezelfde buigstijfheid. Vervorming door normaalracht wordt verwaarloosd. In noop omen drie staven samen die hier momentvast aan elaar verbonden zijn. D lle staven x 5a z a Gegeven : 1000 Nm a1,0 m 16 N Vragen : a) Teen de te verwachte vervormde constructie en geef daarbij de vervormingsteens aan. b) epaal de rachtsverdeling in deze constructie m.b.v. hoeveranderingsvergelijingen. c) Teen voor de gehele constructie de momentenlijn en de dwarsrachtenlijn. Vermeld daarbij alle relevante waarden en de vervormingsteens. ontroleer vervolgens met dit resultaat het antwoord op vraag a). d) epaal de oplegreacties - -

3 Tentamen T10 onstructieechanica 9 februari xxx OPGVE : Krachtenmethode (vervolg) ( ca 40 min ) De constructie uit de vorige opgave is een lein beetje gemodificeerd. De vaste ondersteuning in is een horizontale rol geworden. Overige gegevens zijn identie aan de vorige opgave. D lle staven x 5a z a Gegeven : 1000 N/m a1,0 m 16 N Vragen : a) Teen de vervormde constructie. Wat verandert er in de bereeningsmethodie t.o.v. het vorige vraagstu? Voor de bereening van de rachtsverdeling wordt een scharnier aangebracht in staaf, direct lins van. Er ontstaat dan een statisch bepaald hoofdsysteem waarbij de inlemming in wordt gehandhaafd. b) Teen dit statisch bepaalde hoofdsysteem en geef daarbij de statisch onbepaalde(n) aan. c) ormuleer de vormveranderingsvoorwaarde(n). d) Los de statisch onbepaalde(n) op. e) Teen voor de gehele constructie de momentenlijn. f) epaal de verplaatsing van punt D. - -

4 Tentamen T10 onstructieechanica 9 februari xxx OPGVE : Elasticiteitstheorie (ca 40 min) Van een plaat in een homogene isotrope vlaspanningstoestand zijn van de randen en de spanningen beend en in de onderstaande figuur aangegeven in N/mm. Gegevens: E 0000 N/mm ; ν 0, 5; f y 50 N/mm Vragen: a) Wat is een dwarscontractie-coëfficiënt en zijn er eisen gesteld aan deze parameter? b) Teen de cirel van ohr voor de spanningen en geef duidelij het richtingencentrum en de hoofdrichtingen aan. Er mag bij het teenen afgerond worden naar het dichts bij zijnde rasterpunt. c) epaal met behulp van de cirel van ohr de spanningstensor in het x-z-assenstelsel en geef het resultaat hieronder weer. d) epaal met de cirel van ohr de ontbreende spanningen van het proefstu en geef in een figuur de spanningen weer zoals ze op alle vlajes van het proefstu weren, schrijf de waarden erbij! e) epaal de deviatorische spanningen in het 1---vla. f) epaal de hoofdreen. g) ontroleer de veiligheid van de gegeven spanningssituatie op basis van de vloeivoorwaarde van von ises

5 Tentamen T10 onstructieechanica 9 februari xxx OPGVE 4 : Stabiliteit van de verend ondersteunde buigzame staaf ( ca 0 min ) In de aanwezige handboeen op het ingenieursbureau ontbreet een basis-niformule voor het onderstaande niprobleem. U offert uw lunch op om hier een oplossing voor te zoeen. l y αl α l ρ 100 ρ 5 1 ρ 4 ρ ρ 10 a) Teen op basis van uw ennis over standaard-nigevallen de uitbuigingsvormen waartussen de uitbuigingsvorm van het bovenstaande probleem zal moeten liggen en geef daarbij aan tussen wele waarden de nilengte zal moeten liggen. b) Toon aan dat voor dit niprobleem de onderstaande transcedente vergelijing moet worden opgelost : ( αl) l tan α l αl met : ρ (1) ρ Van het niprobleem zijn de volgende gegevens beend : 00 Nm ; 150 N/m; l 4,0 m Tevens is er een grafische weergave gegeven van de transcedente vergelijing voor verschillende waarden van ρ. Hierdoor is het mogelij de volgende vragen te beantwoorden : c) epaal de niracht en de nilengte voor de hierboven vermelde gegevens. d) Laat zien dat de bovenstaande uitdruing (1) tot de juiste oplossingen leidt voor de uitersten die u onder a) heeft beschreven

6 Tentamen T10 onstructieechanica 9 februari xxx OPGVE 5 : ezwijen door instabiliteit ( ca 40 min ) Van de onderstaande constructie zijn de beide stijlen oneindig stijf. De regels hebben een buigstijfheid. Staaf D is scharnierend verbonden met de beide regels, staaf heeft een volplastisch moment p. De afmetingen en de belastingen zijn in de onderstaande figuur weergegeven. E H u D a a star star, p a Gegevens : a,0 m; 50 Nm; p 6 Nm; 00 N; H 15 N; Vragen: a) epaal de evenwichtsvergelijing voor deze constructie voor zowel de elastische als de plastische fase. b) epaal de nilast. c) epaal de eerste orde verplaatsing van punt voor H 15 N. d) epaal de eerste orde bezwijbelasting H p en de verplaatsing u p waarbij de regel plastisch wordt. e) epaal de tweede orde verplaatsing van punt voor de gegeven H en. f) epaal de ritiee belasting c waarbij bezwijen door instabiliteit optreedt. g) Teen voor H15 N het last-verplaatsingsdiagram voor de horizontale verplaatsing van punt en geef alle relevante punten en waarden hierin aan. Geef oo aan hoe deze lijn zich verhoudt tot de nilast

7 Tentamen T10 onstructieechanica ORULELD (scheur dit blad en verder los van het wer) 9 februari xxx Spanningen en reen : 1 E ε xx ( σ xx νσ yy ) xx ( xx yy ) E σ ε + νε 1 ν 1 E ε ( σ νσ ) of σ ( ε + νε ) met G E ν σ xy σ xy Gε xy ε xy G yy yy xx yy yy xx 1 (1 + ) von ises : ( σ σ ) ( σ σ ) ( σ σ ) Tresca E ν f y : straal van de maatgevende cirel van ohr is bepalend ε u u voor, x, y j i 1 i j ij + i j

8 Tentamen T10 onstructieechanica ORULELD (vervolg) 9 februari xxx Eulerse nivergelijing: echanica relaties: π dw dϕ ϕ κ κ l dx dx Enelzijdig verend ingelemde nistaaf: l 4l rl Differentiaalvergelijingen: w'' + α w 0 met: α algemene oplossing: w( x) cosα x + sinα x : w'''' + α w'' 0 met: α l l 4 + r π ρ en S ( x) ' w' met: ρ Of algemene oplossing: w( x) + x + cosα x + sinα x dus: Ongeschoorde aan twee zijden verend ingelemde nistaaf: 10 r1 l η1 4 + ; ρ1 ( η1 + η ) π ρ1 met : η ( ) l 10 r l 1η η1 + η 4 η 4 + ; ρ ρ Geschoorde aan twee zijden verend ingelemde nistaaf: ( 5 + ρ1 )( 5 + ρ ) π. 5 + ρ 5 + ρ l met : ( )( ) 1 r1l ρ1 Regel van erchant: c H c + 1 H p rl ρ Vrije romming t.g.v lineair temperatuursverloop over de hoogte h van de doorsnede: T α T κ h z 1 4 ϕ( x) α sinα x α cosα x + 4 ( x) α cosα x + 4α sinα x S ( x) z - 8 -

9 Tentamen T10 onstructieechanica 9 februari xxx ORULE LD Eulerse nivergelijing: echanica relaties: π dw dϕ ϕ κ κ l dx dx Enelzijdig verend ingelemde nistaaf: r π l 4l 10 l l 4 + ρ rl met : ρ Differentiaalvergelijingen: w' ''' + α w'' 0 en S algemene oplossing : w( x) dus : 1 ϕ( x) ( x) ' w' ( x) S ( x). z z + x + [ α cosαx + α sinαx] met : α cosαx + + α sinαx α cosαx sinαx Ongeschoorde aan twee zijden verend ingelemde nistaaf: 10 r1 l η1 4 + ; ρ1 ( η1 + η ) π ρ1 met : η ( ) l 10 r l 1η η1 + η 4 η 4 + ; ρ ρ Geschoorde aan twee zijden verend ingelemde nistaaf: ( 5 + ρ1 )( 5 + ρ ) π. 5 + ρ 5 + ρ l met : ( )( ) 1 r1l ρ1 Regel van erchant: c H c + 1 H p rl ρ Gonio uitomsten: π tanαl αl αl 4,49 0,7-9 -

10 Tentamen T10 onstructieechanica 9 februari xxx OPGVE 1 : Krachtenmethode EKNOPTE UITWERKING a) De vervormde constructie is hieronder geteend. D lle staven x 5a z a De vervormingsteens van de staafdelen zijn aangegeven. Duidelij is te zien dat de nopen niet verplaatsen. b) De constructie is tweevoudig statisch onbepaald. Het statisch bepaalde hoofdsysteem is hieronder weergegeven. De racht in D wordt vervangen door een oppel a en een racht op. Deze laatste speelt voor de bepaling van de momentenverdeling geen rol (!) en is weggelaten. a 5a ls statisch onbepaalde worden geozen : - het moment in - Het moment in staaf in Opmering : De richting van de momenten wordt geozen a.h.v. de geschetste vervormingsteens. Voor het oplossen van de statisch onbepaalden zijn twee vormveranderingsvoorwaarden nodig : ϕ ϕ ϕ 0 Let op: Er unnen slechts twee statisch onbepaalden geozen worden! Knoop moet in evenwicht zijn, van de aangegeven momenten is er hier dus slechts één onbeend!

11 Tentamen T10 onstructieechanica 9 februari xxx Uitweren van de v.v.v. levert : 5a Uit het noopevenwicht volgt : + a 0 a Dit invullen in de bovenstaande v.v.v. levert : 0 a 0 Nm Nm Uit het evenwicht van noop volgt: 18 Nm De gevonden antwoorden zijn allen positief, de aangenomen richting van de momenten was dus juist. c) Invullen van de gegevens en verder uitweren levert de onderstaande -lijn en V-lijn. 18,0 48,0 16,0,6 -lijn in Nm V-lijn in N 15,0 11,5 er op dat de vervormingsteens overeenomen met die van vraag a). d) De oplegreacties, zoals ze in werelijheid weren, zijn hieronder weergegeven: H V H V T 11,5 N,6 N 11,5 N 19,6 N 15,0 Nm er op dat de racht in noop nu wel meegenomen moet worden bij de bepaling van de verticale oplegreactie in!

12 Tentamen T10 onstructieechanica 9 februari xxx OPGVE : Krachtenmethode (vervolg) a) Door de rol in an de constructie naar rechts verplaatsen. We spreen dus nu van een constructie met verplaatsbare nopen. De nog onbeende horizontale verplaatsing u is een extra onbeende t.o.v. het probleem in de voorgaande opgave. De vervormde constructie is hieronder weergegeven. u lle staven D 5a a b) Het statisch bepaalde hoofdsysteem is hieronder weergegeven. Staaf an horizontaal verplaatsen. Deze verplaatsing u moet oo staaf in ondergaan. In noop moeten de staafdelen en oo dezelfde rotatie ondergaan. Immers deze staven zitten momentvast aan elaar verbonden. Uiteraard geldt oo hier dat noop in evenwicht moet zijn. Er is dus in één moment onbeend. a u 5a u - 1 -

13 Tentamen T10 onstructieechanica 9 februari xxx c) et behulp van de vergeet-mij-nietjes op het formuleblad an nu de rachtsverdeling worden bepaald : ϕ ϕ 5 a Knoopevenwicht van levert : + a d) Hieruit volgt : 15 a Nm 17 6 a Nm 17 De horizontale verplaatsing in an worden bepaald met een vergeet-mij-nietje : ( ) 10a u 0,11 m 17 e) De momentenlijn voor de gehele constructie is hieronder weergegeven :,88 48,0,88/ 48,0/ θ -lijn in Nm gereduceerde -lijn in 1/m θ 1 14,1 14,1/ f) Voor het bepalen van de verplaatsingen van noop D an gebrui worden gemaat van de gereduceerde momentenlijn. Deze is in dit geval gelijvormig aan de geschetste - lijn, zie hiervoor oo de stof van het 1 e jaar. 10a u D θ1 * a 0,11 m a 9a w D θ1 *a + θ * a + 0,1 m 17 Deze oplossing an oo gevonden worden m.b.v. vergeet-mij-nietjes maar let er dan wel op dat voor de verticale verplaatsing het wispeleffect niet wordt vergeten! - 1 -

14 Tentamen T10 onstructieechanica 9 februari xxx Een alternatief voor deze bereening is de aanpa met behulp van de gemengde methode waarbij door het aanbrengen van scharnieren in de nopen er een mechanisme ontstaat met één vrijheidsgraad θ. u u a θ 5a Het systeem heeft onbeende momenten en één onbeende verplaatsing, θ. Om deze drie onbeenden op te lossen zijn er twee hoeveranderingsvergelijingen nodig en één evenwichtsvergelijing : de virtuele arbeidsvergelijing voor het mechanisme. Let er daarbij op dat de starre rotatie θ van staaf in de hoeveranderingsvergelijingen moet worden verwert. 1) 5a ϕ ϕ + θ 6 ) ϕ 0 θ 0 6 ) δ δθ + δθ 0 Uit het noopevenwicht volgt : + a 0 a Hiermee an (1) en () worden herschreven tot: θ / a Uit () volgt: + 6 θ / a 0a Hiermee wordt uiteindelij dezelfde rachtsverdeling en de verplaatsing gevonden : 0a 14,1 Nm 4 14,1 Nm,88 Nm ,1 θ 0,08 rad u θ 0,11 m

15 Tentamen T10 onstructieechanica 9 februari xxx OPGVE : Elasticiteitstheorie a) Zie dictaat over de theorie. De helft van de punten voor een correcte uitleg en de helft van de punten voor de juiste range waarbinnen de waarde van deze parameter moet liggen. Onzinnige antwoorden unnen aanleiding zijn om geen punten toe te ennen. b) irel heeft als middelpunt 1 N/mm. Hoofdspanningen zijn en -8 N/mm. Het R ligt linsonder in de cirel. irel goed maar R niet op de juiste plaats is helft van de punten, leine onnauweurigheden levert 75% van de punten. c) Spanningstensor netjes uit de cirel afleiden m.b.v. R: 0 8 σ 8 6 (niet symmetrische tensor is een blunder!) d) Zie voorbeeld dictaat en simulatie m.b.v. computerprogramma

16 Tentamen T10 onstructieechanica 9 februari xxx e) Splits de hoofdspanningstensor in een isotroop en deviatorisch deel, zie theorie dictaat en sheets. er op dat de hoofdruimte in D wordt afgebeeld! f) Hoofdreen op basis van hoofdspanningen, zie dictaat. g) Let op wadratisch criterium van von ises m.b.t. de hoofdspanningen, 0 en -8 N/mm. De veiligheidsmarge is 1,

17 Tentamen T10 onstructieechanica 9 februari xxx OPGVE 4 : Stabiliteit van de verend ondersteunde buigzame staaf a) Standaard gevallen (a) voor 0 en (d) voor oneindig b) Oplossen m.b.v. de D.V. en de r.v.w : 1) (0) 0 ) w( l) 0 ) S z (0) H. w(0) 4) ϕ( l) 0 Uitweren (zie formuleblad) levert: 1) α 0 ) + l + 1 sinαl 0 ) 1 4) + α4 cosαl 0 Dit levert het homogene stelsel: l + sin 0 4 sinαl 0 l αl + 1 α cosαl cos α αl Een niet-triviale oplossing an alleen gevonden worden indien de determinant nul is: α l α cosαl sinαl 0 tanαl αl met : α tanαl αl ( αl) ( αl) l tanαl αl ρ c) De niracht an worden bepaald door voor ρ,0 uit de grafie de αl af te lezen : l l ρ,0 αl, ( αl), 968 N π l l 1,4l 5,7 m, d) De twee gevallen die gecontroleerd unnen worden zijn : π tanαl αl αl 4,49 l 0,7l 0,7 0 tanαl 0 4 l stel : ρ αl 1 π l l

18 Tentamen T10 onstructieechanica 9 februari xxx OPGVE 5 : ezwijen door instabiliteit a) De algemene evenwichtsvergelijing wordt gevonden uit de e.v. in de verplaatste stand voor de liner en de rechter (vrijgemaate) stijl: deel 1 :. u + H. a S. a 0 deel : u + S. a 0 Hieruit volgt met : 6 6 θ u a a Voor de elastische fase : Voor de plastische fase : 1. u + H. a u 0 (1). u + H. a 0 p () a 4 b) Voor H0 wordt de nilast gevonden : 1000 N a c) De eerste orde verplaatsing van punt wordt gevonden met (1) voor 0: 15 7 u 1 0,015 m 1 50 d) De eerste orde bezwijbelasting wordt gevonden met () voor 0 : p pa H p 4 N en up 0,04 m a 6 e) De tweede orde verplaatsing voor 00 N en H15 N : H. a 15 u 0,01875 m a 9 n 5 controle : u u 15 18,75 mm, lopt! n f) De ritiee belasting waar voor H15 N bezwijen door instabiliteit optreedt : 6 15 c 64,857 N 0,04 H c 15 64,857 controle : ,57 + 0,64 1, 0, lopt! H g) Zie onderstaande figuur p [N] stabiel H15 N labiel Knilast, neutraal Horizontale verplaatsing van punt in mm