hoofdstuk 3 bisimulatie checken

Transcriptie

1 hoofdstuk isimultie heken 1

2 PROCESSEN Bsi Proess Alger 2. Bisimultie. Bisimultie heken. Reursie 5. Contextvrije proessen 6. Prllelle proessen: interleving 7. Dedlok en ommunitie 8. Curious queues 9. De sheduler 10. Astrtie: de stille stp 11. Aties met prioriteiten 12. Proessen met dt 1. Alternting Bit Protool 2

3

4 Let P nd Q e regulr proesses whose underlying NFA hve totl of n sttes nd m trnsitions. Then, s ws shown y Knellkis nd Smolk [20], whether or not P nd Q re isimilr n e deided in polynomil time, O(nm) time to e ext. (This lgorithm ws susequently improved upon y Pige nd Trjn who devised one tht runs in O(mlog n) time [0].) This is in strk ontrst to the equivlene prolem for regulr expressions, whih ws shown y Stokmeyer nd Meyer to e PSPACE-omplete []. Moreover, isimultion ws originlly defined y Milner s the limit of sequene of suessively finer equivlene reltions k, where 1 is lnguge equivlene. Knellkis nd Smolk showed tht, for eh fixed k, deiding k is PSPACE-omplete, omplexity tht disppers in the limit; i.e., upon rehing.

5 Milner [2] proposed isimilrity to formlly pture the notion of ehviourl equivlene, nd gve it, long with Dvid Prk [2], simple nd elegnt mthemtil definition in terms of isimultions. A isimultion is inry reltion R on proesses suh tht whenever R(P, Q), if P n perform some -trnsition to eome P then Q n perform the sme -trnsition to eome some Q suh tht R(P,Q ); nd onversely if Q n perform some - trnsition to eome Q then P n perform the sme - trnsition to eome some P suh tht R(P,Q ). Note the reursive nture of the definition. Now, two proesses P nd Q re isimilr if there exists isimultion R suh tht R(P,Q). It is well-known tht isimultions re losed under union nd tht the lrgest isimultion, under set inlusion, exists. In ft, this lrgest isimultion,, isn equivlene reltion nd tken to e isimultion equivlene.

6 pgve: ps het KS lgoritme toe op de grf in figuur 1() g: h: d d d Figure 1 () ()

7 .1.1. DEFINITIE. Lten g = (N, E, r) en g = (N, E, r ) twee proesgrfen zijn over de verzmeling A. We definiëren een reeks vn equivlentierelties n (voor n 0) tussen proesgrfen, ls volgt. (i)g 0 h geldt voor lle proesgrfen g, h. (ii) g n+1 h, ls elke -stp vnuit de wortel vn g gemtht kn worden door een -stp vnuit de wortel vn h, zodnig dt voor de eindpunten s, t vn deze -stppen (preiezer, de sugrfen g s en g t epld door deze eindpunten) geldt s n t, en vie vers. Tenslotte: g h ls n g n h. De grfen g, h heten dn oservtioneel equivlent.

8 .2. Het minimliseren ( ollpsen ) vn een proesgrf. In de theorie vn eindige utomten heen we stte minimlistion. Zo ook voor proessen. Een isimultie vn proesgrf g met zihzelf, R: g g, heet een uto-isimultie. Bij een proesgrf g nemen we nu zijn mximle utoisimultie. (Die is er, omdt de vereniging vn twee isimulties tussen g,h weer een isimultie is; door de vereniging vn lle isimulties tussen g en h te nemen, heen we de unieke mximle isimultie.) Deze mximle utoisimultie R mx : g g geeft dus n welke knopen vn g met elkr isimilir zijn. Door deze isimilire knopen met elkr te identifieren, krijgen we de minimlistie g min vn g.

9 g min kn niet nog verder ge-ollpst worden. Bovendien heen we:.2.1. PROPOSITIE. Voor proesgrfen g, h en hun minimlisties g min en h min geldt: g h g min = h min. (Hierij is de = in de rehterknt, de gelijkheid op grfen, soms ook wel grf-isomorfie genoemd.) Deze propositie houdt dus in dt om te heken of g en h isimilir zijn, we lleen mr hoeven te eplen of hun minimlisties hetzelfde zijn.

10 0 α 0: {(, α), (,α), (,α)} 1: {(,α)} 2: {(,α)} : {(,α)} : {(,α)} 5: {(,α)} 6: {(,α)} 5 6

11 0 α 0: {(, γ), (, γ), (, β)} 1: {(, γ)} 2: {(, β)} β : {(, γ)} : {(, γ)} γ 5: {(, γ)} 6: {(, γ)} 5 6

12 0 α 0: {(, δ), (, γ), (, β)} 1: {(, δ)} 2: {(, β)} γ : {(, γ)} : {(, δ), (, γ)} β δ 5: {(, δ)} 6: {(, δ)} 5 6

13 0 5 6

14