Enkele geselecteerde onderwerpen uit de maattheoretische kansrekening

Transcriptie

1 Ekele geselecteerde oderwerpe uit de maattheoretische kasrekeig Vicet Hsu 24 juli 2014 Bachelorproject Wiskude Begeleidig: prof. dr. Roald Meester Korteweg-De Vries Istituut voor Wiskude Faculteit der Natuurweteschappe, Wiskude e Iformatica Uiversiteit va Amsterdam

2 Samevattig Als we het iterval (0, 1] bekijke i zij biaire represetatie, da blijkt de gemiddelde waarde va de eerste cijfers aar 1/2 te covergere als. Verder blijke bija alle getalle uit (0, 1] ormaal te zij, d.w.z., op ee ulverzamelig a ket elke ω (0, 1] ee biaire represetatie met eveveel ulle als ee. Dit laatste resultaat is ee speciaal geval va de sterke wet va de grote aatalle. Als we verder kijke aar ee rij {A } N va oafhakelijke gebeurteisse, da is =1 P (A ) < equivalet met P (lim sup A ) = 1 e =1 P (A ) = is da equivalet met P (lim sup A ) = 0. Deze resultate vorme de lemma s va Borel- Catelli e zij voorbeelde va de zogehete ul-ééwette. Bovedie geldt er voor A =1 σ(a, A +1,... ) óf P (A) = 1 óf P (A) = 0. Bij het spel ruïerig der spelers met wikas p e verlieskas q = 1 p, blijkt ee speler met kas 1 blut te rake waeer p q. Ee tactiek waarmee me probeert dit te omzeile is om ee izetcriterium te hatere. Dat beteket dat de speler op basis va de voorgaade resultate besluit al da iet i te zette. Dit zal iet werke: waeer we os beperke tot de rodes waari we wel izette, blijkt de kasverdelig precies hetzelfde te zij als voorhee. Ook het hatere va ee stoptijd (stoppe aa de had va ee criterium) zal iet helpe. I verwachtig blijkt de speler er amelijk iets mee op te schiete. Tot slot: de voorwaardelijke verwachtig gegeve ee sigma-algebra E(XG) is ee G- meetbare e itegreerbare stochast die voldoet aa G E(X G)dP = G EXdP voor alle G G. De voorwaardelijke kas gegeve ee sigma-algebra P (A G) is ee speciaal geval hierva, wat P (A G) = E(1 A G). Idie G = σ(b 1, B 2,... ) met {B } N ee partitie va Ω, de gehele verzamelig, da bestaat de volgede relatie tusse de voorwaardelijke kas gegeve ee sigma-algebra e die gegeve ee gebeurteis: P (A G) = =1 P (A B )1 B. Titel: Ekele geselecteerde oderwerpe uit de maattheoretische kasrekeig Auteur: Vicet Hsu, @studet.uva.l, Begeleidig: prof. dr. Roald Meester Tweede beoordelaar: prof. dr. Ja de Boer Eiddatum: 24 juli 2014 Korteweg-De Vries Istituut voor Wiskude Uiversiteit va Amsterdam Sciece Park 904, 1098 XH Amsterdam

3 Ihoudsopgave 1. Ileidig 2 2. Wette va de grote aatalle Het eeheidsiterval Zwakke wet va de grote aatalle Sterke wet va de grote aatalle Aftelbare kasrekeig Limietverzamelige e π- e λ-systeme Oafhakelijke gebeurteisse Nul-ééwette Goksysteme Ruïerig der spelers I Ruïerig der spelers II Selectiesysteme Gokbeleid Coditioerig Coditioerig op gebeurteisse Voorwaardelijke verwachtige Voorwaardelijke kase A. Kasrekeig 45 B. Maat- e itegratietheorie 48 C. Populaire samevattig 51 Bibliografie 53 1

4 1. Ileidig De maattheoretische kasrekeig is de tak va weteschap waar twee belagrijke wiskudige disciplies samekome; de maattheorie e de kasrekeig. Met de maattheorie, die het begrip grootte (dek aa legte, oppervlak, ihoud e aatalle) beschrijft e geeraliseert, kue we de kasrekeig eeduidig beschrijve. Waar me voorhee bie de kasrekeig vele resultate apart voor het discrete e cotiue geval moest bewijze, ka dit voortaa i éé keer m.b.v. de maattheorie. I deze scriptie wordt deze maattheoretische beaderigswijze gebruikt om de kasrekeig elegat te beschrijve. We zulle begie met ee beperkte defiitie va ee kasmaat e otdekke dat we met zeer elemetaire middele al tamelijk krachtige resultate kue bewijze. De zwakke e sterke wette va de grote aatalle zulle i ee speciale vorm volge uit deze elemetaire middele. Vervolges kijke we aar aftelbare combiaties va gebeurteisse (meetbare verzamelige). Ee otie va oafhakelijkheid wordt itroduceerd e het, bij de maattheoretici bekede, begrip sigma-algebra zal ook zij itrede doe. Belagrijke resultate die da beweze zulle worde, zij o.a. de bekede lemma s va Borel-Catelli. Dit wordt allemaal toegepast i het toepassigshoofdstuk era, wat da kome goksysteme aa bod. Het spel ruïerig der spelers zal uitgebreid beschreve worde e er zulle ee aatal methode, waarmee me tracht het toeval te verslaa, oderzocht worde. Te slotte beschouwe we de coditioele kasrekeig. Er zal iet allee gecoditioeerd worde op gebeurteisse, maar ook op sigma-algebra s. De lik tusse coditioerig op deze twee verschillede objecte zal cetraal staa. Met allerlei voorbeelde zal door de scriptie hee aagetood worde, dat al deze oderwerpe met elkaar te make hebbe, odaks dat ze i hu defiitie heel verschilled zij. De tekst i deze scriptie is geschreve met het oog op de gemiddelde derdejaarsstudet wiskude. Er wordt derhalve rekeig gehoude met het keisiveau va de derdejaarsstudet. Dit houdt oder meer i dat de lezer ee ileidigscursus kasrekeig e ee cursus maattheorie moet hebbe gehad. We zulle amelijk veel gebruik make va resultate e costructies uit de maattheorie. Ook zulle we igewikkelde uitdrukkige voor de kas tegekome, waardoor hadigheid ermee vereist is. De UvA-vakke Stochastiek 1 & 2 e de VU-vakke Kasrekeig 1 & 2, Measure Theory dekke de vereiste voorkeis. Idie de voorkeis te kort schiet, is het aa te rade eerst de appedices over kasrekeig e maattheorie door te eme. Deze scriptie is geschreve door mij, Vicet Hsu, ter verkrijgig va de graad Bachelor of Sciece i de wiskude é atuurkude aa deuva. Dit geschiedde oder toezicht va prof. dr. Roald Meester, die verbode is aa de VU. Ik wil Roald Meester bedake voor de tijd e moeite die hij i mij e dit project heeft gestoke. Teves wil ik de VU bedake voor het beschikbaar stelle va hu capaciteit aa ee UvA-studet. Ik zie dit als ee krachtige, eerste opstap aar ee vruchtbare samewerkig tusse de bètafaculteite va de UvA e de VU. 2

5 2. Wette va de grote aatalle Stel dat we ee kasexperimet doe: we gaa heel vaak mute gooie e bekijke wat het limietgedrag is, oftewel hoe vaak hebbe we kop e hoe vaak mut als we de omvag va het experimet steeds groter make (willekeurig groot). Beschouw daaraast ee tweede kasexperimet: trek uit het eeheidsiterval ee getal. Het opmerkelijke is dat deze twee experimete i zekere zi equivalet zij, d.w.z., beide experimete kee overeekomede kastheoretische eigeschappe. Hoe dit precies zit, zal og worde uitgelegd. I dit hoofdstuk zal dus het verbad tusse deze twee kasexperimete cetraal staa. Verder leide we i deze cotext twee wette va de grote aatalle af. Het opmerkelijke hieraa is dat hiervoor uitsluited lichte gereedschappe (lees: calculus) gebruikt gaat worde Het eeheidsiterval Het speelveld va dit hoofdstuk is het eeheidsiterval Ω = (0, 1]. Merk op dat het getal 0 wordt weggelate. De rede hiervoor zal beked worde i Opmerkig 2.6. We zulle trouwes allee maar itervalle bekijke die liks ope e rechts geslote zij. Elemete va Ω worde altijd aageduid met ω tezij aders wordt aagegeve. Op Ω defiiëre we ee kasmaat waarvoor we ee aatal eigeschappe gaa afleide, die wellicht beked zij va ee eerste college kasrekeig. Defiitie 2.1. Zij I = (a, b] ee iterval. Da wordt de legte l va het iterval gedefiieerd door l(i) = b a. (2.1) Opmerkig 2.2. De legte l va Defiitie 2.1 komt i feite overee met de Lebesguemaat. Dit is iet zo heel verwoderljk, aagezie de kasmaat P, die we zo gaa defiiëre iks aders is da de Lebesguemaat op (0, 1]. Defiitie 2.3. Zij {I i = (a i, b i ] a i < b i } ee collectie va disjucte itervalle. Bekijk verzamelige va de vorm: Da wordt de kasmaat P op A gedefiieerd door de kas A = I i = (a i, b i ] Ω. (2.2) i=1 i=1 P (A) = i=1 l(i i ) = i=1 I deze cotext heet Ω de uitslageruimte e A ee gebeurteis. b i a i. (2.3) 3

6 Hoewel de kasmaat P gedefiieerd ka worde voor ee veel grotere collectie va deelverzamelige va Ω beperke we os voorlopig tot die va de vorm (2.2). Odaks deze beperkig ket P allerlei eigeschappe die we gewed zij va de algemeere kasmaat. Zo volgt uit (2.3) al dat 0 P (A) 1. De volgede propositie zal je ook beked voorkome. Propositie 2.4. Laat A e B verzamelige zij zoals i (2.2), dus A e B zij beide eidige, disjucte vereigige va itervalle uit Ω. Da is A B ook zo ee verzamelig e als A B =, da geldt er bovedie: P (A B) = P (A) + P (B). (2.4) Bewijs. De eerste bewerig is triviaal. Noteer de idicatorfucties va A e B met resp. 1 A resp. 1 B. Da volgt uit de additiviteit va de Riema-itegraal e de disjuctie va A e B dat P (A) + P (B) = A (ω)dω B (ω)dω = A B (ω)dω = P (A B). (2.5) We gaa u kijke aar het experimet waarbij oeidig vaak mute worde geworpe e koppele dit aa het willekeurig trekke va ee getal uit Ω. Om dit i te zie is het hadig om over te schakele op de biaire represetatie va getalle. De cijfers 1 e 0 i die represetatie/expasie zulle da gaa correspodere met het kop e mut. Defiitie 2.5. Bekijk ω Ω i zij biaire (dyadische) represetatie. Schrijf d (ω) voor het -de cijfer i deze represetatie va ω Ω, dus d (ω) ω = = 0, d =1 2 1 (ω)d 2 (ω)d 3 (ω)..., (2.6) waarbij de tweede gelijkheid de overgag va het decimale aar het biaire getallestelsel voorstelt. Opmerkig 2.6. Sommige getalle kee twee biaire represetaties, bijv. 1 2 = e 1 2 = , dus we zulle da ee keuze moete make: we kieze da voor de oeidige expasie e schrijve dus 1 2 = Merk op dat Ω het getal 0 iet bevat, dus alle getalle uit Ω kee ee oeidige, biaire expasie. Dit is ook de rede waarom we 0 weglate uit Ω. De d (ω) uit Defiitie 2.5 ka beschouwd worde als fuctie va ω Ω (ook als fuctie va, maar dat terzijde). De d (ω) zij blokfucties met afwisseled de waarde 0 e 1. Zie hieroder bijvoorbeeld de grafieke va d 1 e d 2. d 1 d 2 4

7 Algemeer: d geeft ee partitie va het eeheidsiterval i 2 subitervalle va gelijke legte waarop afwisseled de waarde 0 e 1 worde aageome. De subitervalle zij liks ope e rechts geslote. Dit zij de dyadische itervalle va rag. Uit de bovestaade afbeeldige zie we dus dat de dyadische itervalle va rag 1 (0, 0.5] e (0.5, 1] zij e die va rag 2 zij (0, 0.25], (0.25, 0.5], (0.5, 0.75] e (0.75, 1]. Voor algemee zij de dyadische itervalle va rag va de vorm ( i 2, i ] met i {0,..., 2 1}. (2.7) Merk op dat d (ω) = 0 op de itervalle met eve i e d (ω) = 1 op de itervalle met i oeve. We wete u hoe d eruit ziet op ee dyadisch iterval va rag, maar hoe ziet deze fuctie eruit op ee dyadisch iterval va rag m? Lemma 2.7. Als m, da is d costat (afwisseled 0 e 1) op alle dyadische itervalle va rag m. Bewijs. Omdat d afwisseled de waarde 0 e 1 aaeemt op de dyadische itervalle va rag, is d costat erop. Neem ee m e ee dyadisch iterval va rag m. Deze is per costructie bevat i ee dyadisch iterval va rag, dus d is ook costat op dit dyadische iterval va rag m. I het volgede voorbeeld zie we m.b.v. de fucties d i dat het werpe va mute (kastheoretisch) iet verschilt va het trekke va ee getal uit Ω. Voorbeeld 2.8. Stel dat va het getal ω de eerste cijfers (i de biaire represetatie) vaststaa, dus stel dat voor i {1,..., } geldt d i (ω) = u i waarbij u i {0, 1}. Het doel va dit voorbeeld is de kas op dit bovegeoemde te bepale. Allereerst wete we dat u i i=1 2 < ω i i=1 u i 2 + i De eerste ogelijkheid wordt verkrege door voor i > te kieze d i (ω) = 0. De ogelijkheid is strict omdat het likerlid ee eidige biaire represetatie ket. De tweede ogelijkheid wordt verkrege door voor i > te kieze d i (ω) = 1. We kue de ogelijkheid m.b.v. de geometrische reeks ook opschrijve als i=+1 u i {ω d i (ω) = u i, i = 1,..., } = ( 2, u i i i= i 2 ]. (2.8) Met vergelijkige (2.3) e (2.8) zie we i dat i=1 1 2 i. P [ ω d i (ω) = u i, i = 1,..., ] = 1 2. (2.9) We kue (2.9) allee gebruike als we werke met de eerste cijfers va de represetatie va ω. I ee kasexperimet met = 10 zoude we bijvoorbeeld ook kue kijke aar allee het derde e zevede cijfer. Ituïtief is duidelijk dat, met ee kas 1 4, er i beide gevalle ee 1 staat. Dit kue we ook met (2.9) afleide. 5

8 Kies verschillede i 1,..., i k {1,..., }. Geef de overige, (iet-gekoze) atuurlijke getalle tusse 1 e ook ee aam: j 1,..., j k. Da wille we de kas P [ ω d im (ω) = u im, m = 1,..., k] bepale. Merk op dat op j 1,..., j k gee eis wordt gelegd i de kas, dus, a overstap op ee bodigere otatie, kue we afleide dat P [ d im = u im, m = 1,..., k] = P [ d im = u im, m = 1,..., k, d jl {0, 1}, l = 1,... k] = u jl {0, 1} l = 1,... k u jl {0, 1} l = 1,... k P [ d im = u im, m = 1,..., k, d jl = u jl, l = 1,... k] = 1 2 = 1 2 k 2 = 1 2. (2.10) k Als we u terugkere aar het voorbeeld va et met = 10, da zie we dat k = 2 met i 1 = 3 e i k = 7. De kas dat het derde e zevede cijer 1 zij, is volges (2.10) 1 2 = hetgee overeekomt met dat wat we verwachte. We zie dat (2.10) precies de kas is, die je zou verwachte als je (zuivere) mute oafhakelijk va elkaar werpt (waarbij 1 kop voorstelt e 0 mut). Voor elke ω Ω hebbe we ee oeidige represetatie gekoze, dus door willekeurig groot te make kue we ω = d 1 (ω)d 2 (ω) Ω zie als ee uitslag va ee mutewerpproces (d 1 (ω), d 2 (ω),... ), waarva de omvag willekeurig groot gemaakt ka worde Zwakke wet va de grote aatalle We gaa door met het kasexperimet (d 1 (ω), d 2 (ω),... ). We vrage os u af hoe vaak kop e hoe vaak mut voorkomt. Om preciezer te zij: wat is de relatieve frequetie (verhoudig tusse gustige e alle uitkomste) va kop e mut. We verwachte dat deze voor allebei aar 1 2 covergeert als we de omvag va het experimet willekeurig groot make. De zwakke wet va de grote aatalle bevestigd dat de kas hierop aar 1 gaat e het bewijze va deze wet staat cetraal i deze sectie. Stellig 2.9. Zwakke wet va de grote aatalle. Voor alle ɛ > 0 geldt lim P [ ω 1 i=1 d i (ω) 1 ɛ] = 0. (2.11) 2 Om de situatie eve te problematisere: hebbe we de kas i (2.11) überhaupt gedefiieerd, oftewel is de verzamelig (oem hem A) tusse de blokhake va de vorm (2.2)? Dit is zo, wat alle d i zij costat op de dyadische itervalle va rag (per costructie), dus de som va de d i ook. Als er geldt ω A, da zit het hele dyadische iterval, waar ω va komt, ook i A, dus A is de disjucte vereigig va deze itervalle. We zulle eerst (2.11) omschrijve aar ee adere vorm, die makkelijker is om te bewijze. Daarvoor moete we twee ieuwe klasse va fucties defiiëre. 6

9 Defiitie De Rademacher-fucties r worde gedefiieerd door r (ω) = 2d (ω) 1 = { +1 als d (ω) = 1 1 als d (ω) = 0 (2.12) e de partiële somme s door s (ω) = i=1 r i (ω). (2.13) Gebruik Lemma 2.7 e merk op dat r (ω) = 1 als d (ω) = 0. Door te kijke aar de partitie va Ω i dyadische itervalle va rag zie je direct dat 1 0 r (ω)dω = 0 e dus ook 1 0 s (ω)dω = 0. Ook geldt er op dezelfde maier dat 1 0 r i(ω)r j (ω)dω = 0 als i j. Met ri 2 (ω) krijge we 0 1 s 2 (ω) dω =. (2.14) Met deze fucties kue we de zwakke wet va de grote aatalle herformulere. I deze vorm zulle we de stellig ook bewijze. Stellig Zwakke wet va de grote aatalle. Voor alle ɛ > 0 geldt lim P [ ω 1 s (ω) ɛ] = 0. (2.15) Bewijs. Laat allereerst f ee simpele fuctie zij die de waarde c i aaeemt op (x i 1, x i ] waarbij 0 = x 0 < < x k = 1. De bewerig is da dat P [ ω f(ω) α] 1 1 α f(ω) dω. (2.16) voor α > 0. Dit is iet moeilijk om aa te toe. Merk op dat { ω f(ω) α} gelijk is aa ee eidige vereigig va itervalle (x i 1, x i ], wat f is simpel (e eemt dus ee eidig aatal waarde aa). De kas i het likerlid bestaat dus volges Defiitie 2.3. Schrijf i voor de som over alle i waarbij c i α. Herier je verder dat simpele fucties allee iet-egatieve waarde aaeme, da 0 1 f(ω) dω = k i=1 c i (x i x i 1 ) i 0 c i (x i x i 1 ) α(x i x i 1 ). (2.17) i Deel i vergelijkig (2.17) allebei de kate door α e gebruik (2.3) om (2.16) te krijge. Vul u i: α = 2 ɛ 2 e f(ω) = s 2 (ω). Met s 2 (ω) 2 ɛ 2 1 s (ω) ɛ wordt verkrege: P [ ω 1 s (ω) ɛ] ɛ 2 s 2 (ω) dω = 1 0 ɛ. (2.18) 2 De gelijkheid komt va (2.14). Neem te slotte de limiet om (2.15) te krijge. 7

10 2.3. Sterke wet va de grote aatalle Naast de zwakke wet bestaat er og ee sterke wet va de grote aatalle. I de cotext va het kasexperimet (d 1 (ω), d 2 (ω),... ) zegt dit dat de kas op 1 N = { ω lim i=1 d i (ω) = 1 2 } = { ω lim 1 s (ω) = 0} (2.19) gelijk is aa 1. Ee ω N heet ee ormaal getal e i het licht hierva heet de sterke wet va de grote aatalle ook wel de ormalegetallestellig va Borel. We sprake et over de kas P (N), maar is deze kas wel gedefiieerd? De gebeurteis N voldoet.l. iet aa Defiitie 2.3. We voere om die rede ee ieuw begrip i e breide aa de had daarva de defiitie va P uit, d.w.z., we breide het aatal verzamelige A, waarvoor P (A) bestaat, uit. Defiitie Ee deelverzamelig A Ω heet ee ulverzamelig als er voor alle ɛ > 0 aftelbaar veel itervalle I 1, I 2,... bestaa met A k I k e l(i k ) < ɛ. (2.20) k We zegge ook wel dat A verwaarloosbaar is. Voor ulverzamelige A spreke we af P (A) = 0. We hebbe og ee resultaat odig om de sterke wet va de grote aatalle te bewijze. Lemma Er geldt Bewijs. Eerst schrijve we 0 1 s 4 (ω) dω 3 2. (2.21) s 4 (ω) = r α (ω)r β (ω)r γ (ω)r δ (ω) (2.22) waarbij de som loopt over alle mogelijke combiaties va waarde (1, 2,..., ) voor α, β, γ, δ. We krijge de volgede soort terme (met i, j, k, l alle verschilled): r 2 i (ω)r j(ω)r k (ω) = r j (ω)r k (ω), (2.23) ri 4 (ω) = 1, ri 2(ω)r2 j (ω) = 1, r 3 i (ω)r j(ω) = r i (ω)r j (ω), r i (ω)r j (ω)r k (ω)r l (ω). De eerste twee geve 1 omdat ri 2 (ω) = 1 zoals we eerder hebbe gezie. Ook i de derde e vierde regel va (2.23) gebruike we dit feit. De itegrale erover geve 0 wat 8

11 1 0 r j(ω)r j (ω) dω = 0 als i j. Ook dit hebbe we eerder gezie. Met ee soortgelijk argumet ka aagetood worde dat de over r i (ω)r j (ω)r k (ω)r l (ω) ook 0 is. Kijk hiervoor aar dyadische itervalle va rag max{i, j, k, l}. Het is duidelijk dat s 4 terme bevat va de vorm ri 4. De bewerig is dat er 3( 1) terme va de vorm ri 2(ω)r2 j (ω) zij, wat er zij mogelijkhede α. Verder is óf β óf γ óf δ gelijk aa α. Dit geeft drie mogelijkhede. Voor de adere twee zij er da og 1 mogelijkhede over. Hiermee krijge we 0 1 s 4 (ω) dω = + 3( 1) 3 2. (2.24) We kue u de ormalegetallestellig va Borel bewijze. Merk op dat waeer ee verzamelig A verwaarloosbaar is, er moet gelde P (A) k P (I k ) = k l(i k ) < ɛ voor alle ɛ > 0. Verwaarloosbaar beteket dus zoiets als praktisch omogelijk. Stellig Normalegetallestellig va Borel (Sterke wet va de grote aatalle). Bija alle getalle zij ormaal, oftewel N c is verwaarloosbaar. Bewijs. We moete dus ee overdekkig I 1, I 2,... va N c vide die willekeurig klei gemaakt ka worde. Neem ogelijkheid (2.16) e vul i f(ω) = s 4 (ω) e α = 4 ɛ 4. I combiatie met Lemma 2.13 geeft dit P [ ω 1 s (ω) ɛ] 3 2 ɛ 4. (2.25) Defiieer ɛ = 1/8 e A = { ω 1 s (ω) ɛ }. Da geldt er P (A ) 3ɛ 4 2 = 3 3/2 volges (2.25), dus P (A ) < 1. De bewerig is u dat N c =ma voor alle m. Dit is equivalet met =ma c N. Als het likerlid leeg is, is dit triviaal. Neem derhalve aa dat hij iet leeg is e pak ee ω =ma c. Da 1 s (ω) < ɛ voor m. Omdat ɛ 0 wete we met (2.19) dat ω N. Uit de collectie va A gaa we de gezochte overdekkig va N c costruere. Elke A is ee eidige disjucte vereigig va itervalle I k. Kijk daarvoor aar de defiitie erva e het feit dat s simpel is. Om die rede is =ma ee aftelbare vereigig va itervalle I k. Omdat P (A ) < kieze we m groot geoeg zodat =m P (A ) < ɛ. Er geldt N c =ma = =m k I k e =m k l(i k ) = =m P (A ) < ɛ. De collectie {I k m, k N} is dus de gezochte overdekkig. We hebbe dus de twee wette va de grote aatalle beweze voor ee specifiek kasexperimet,.l. voor dat va het trekke va ω Ω. De algemeere formulerig va de wette va de grote aatalle luidt: lim P ( X µ > ɛ) = 0 (zwak), P ( lim X = µ) = 1 (sterk). Hierbij is X het gemiddelde va ee oafhakelijk, idetiek verdeelde steekproef met verwachtig µ. De volgede logische vraag rijst u: wat is het verschil tusse de zwakke 1 Vawege deze ogelijkheid koze we ɛ = 1/8. Elke adere iet-egatieve rij ɛ die aar ul covergeert e i deze ogelijkheid resulteert, is ee geschikt alteratief voor 1/8. 9

12 e sterke wet va de grote aatalle e hoe staa deze twee met elkaar i verbad? I eerste opzicht lijkt de verwisselig va de kas P e de limietoperatie het eige belagrijke verschil. Wellicht is het ook ituïtief duidelijk (door de aamgevig) dat de zwakke wet volgt uit de sterke wet, maar er is meer aa de had. Het volgede voorbeeld zal dit probere te verduidelijke. Voorbeeld Sterke wet versus zwakke wet. Beschouw ee kasexperimet waarbij zuivere dobbelstee worde geworpe e laat X 1,... X de oafhakelijk e idetiek verdeelde uitkomste zij va de worpe zij. Voor alle i geldt dus X i (ω i ) {1, 2, 3, 4, 5, 6} voor alle ω i Ω. De verwachtig va X i (e dus ook va X ) is µ = = 3,5. Laat u steeds groter worde. De sterke wet va de grote aatalle zegt u dat het zeker is (met kas 1) dat X gelijk is aa µ i de limiet. Als we dus ee steekproef va steeds grotere omvag eme, da zal X dus altijd covergere aar µ. Dat is ituïtief duidelijk. Ee logisch gevolg erva zou zij, dat voor grote het steekproefgemiddelde iet ver meer ligt va µ (zeg hoogstes ɛ), oftewel de kas dat X meer da ɛ va µ afligt, zou zeer klei moete worde (aar 0 gaa). Dit is precies wat de zwakke wet va de grote aatalle bevestigt. De sterke wet doet dus ee uitspraak over de limietsituatie {lim X = µ},.l. dat deze met kas 1 optreedt. Oftewel, i de oeidige limiet geeft X altijd precies µ. De zwakke wet zegt iets over de maier waarop deze situatie tot stad komt:.l. voor grote moet de kas op { X µ > ɛ} aar 0 gaa, d.w.z., de kas dat X ver va µ afligt wordt steeds kleier ( X komt steeds dichter bij µ te ligge). Het is i het licht hierva duidelijk dat de sterke wet de zwakke tot gevolg heeft. I het vorige voorbeeld zage we dat de sterke wet de zwakke impliceerde: covergetie va X aar µ impliceerde ee afwijkig X µ die willekeurig klei werd (kleier da elke ɛ > 0). Adersom hoeft ee kleie afwijkig gee covergetie te implicere, d.w.z., er bestaa voorbeelde waari de zwakke wet va de grote aatalle wel va kracht is, maar de sterke iet. Zie daarvoor o.a. Voorbeeld

13 3. Aftelbare kasrekeig I dit hoofdstuk gaa we os bezighoude met ee aatal oderwerpe bie de kasrekeig waarbij slechts aftelbaar veel gebeurteisse betrokke zij. Oftewel, beschouw rije {A } N va oafhakelijke gebeurteisse. Het blijkt dat we hiermee gebeurteisse kue costruere die met kas 0 of 1 optrede. Eerst moet er voorbereided werk verricht worde. Dit werk is sterk va verzameligtheoretische aard. Verder gaa we door met de aalyse va dyadische itervalle die we i het vorige hoofdstuk zij begoe. De i dit hoofdstuk otwikkelde theorie ka erop toegepast worde, zo zal blijke. Op die maier houdt dit hoofdstuk verbad met het vorige Limietverzamelige e π- e λ-systeme Defiitie 3.1. Zij {A } N ee rij va verzamelige. Da defiiëre we lim sup A = =1 k= A k e lim if A = Als beide uitdrukkige aa elkaar gelijk zij, schrijve we =1 k= A k. (3.1) lim A = lim sup A = lim if A. (3.2) De twee hierbove gedefiieerde verzamelige kee ee eevoudige iterpretatie. Lemma 3.2. Beschouw lim sup A e lim if A. (1) Als ω lim sup A ω A voor oeidig veel. (2) Als ω lim if A ω A voor eidig veel. (3) Er geldt lim if A lim sup A. Bewijs. (1) Neem ω lim sup A. Da geldt voor alle dat ω k= A k, dus voor alle is er ee k met ω A k, oftewel ω A voor oeidig veel. Omgekeerde implicatie is triviaal. (2) Neem ω lim if A. Da is er ee met ω k= A k. Da ω A k voor k e het is daarbij iet uitgeslote dat ω A k voor k. Va de laatste categorie zij er eidig veel k dus ω A voor eidig veel. Voor het omgekeerde ka de redeerig gewoo omgedraaid worde. (3) Er zij oeidig veel A e stel ω A voor eidig veel, da geldt atuurlijk ω A voor oeidig veel dus lim if A lim sup A. 11

14 Lemma 3.3. Bekijk {A } N, ee rij va verzamelige. Defiieer B = k= A k e C = k= A k. Da B lim if A e C lim sup A. Bewijs. Neem ω B, da ω A k voor k. Voor te hoogste eidig veel A k geldt dat iet,.l. allee voor k {1,..., 1} is iet uitgeslote dat ω A k. Uit Lemma 3.2(2) volgt da dat ω lim if A dus voor alle hebbe we B lim if A. I het bijzoder: lim B lim if A. Neem u ω lim if A. Da, volges datzelfde lemma, is er ee N zodaig dat ω A k voor k > N, dus er geldt ook ω B k voor k > N, oftewel ω lim B waarmee lim if A lim B dus lim if A = lim B. Omdat B B +1 wete we dat B lim if A. Nu kijke we aar C. Neem ω lim sup A, da (e slechts da) volgt (wederom m.b.v. Lemma 3.2(2)) dat voor alle er ee N > bestaat met ω A N. Om die rede: ω C voor alle, dus ook ω lim C, dus lim sup A lim C. Omdat alle hierbij gebruikte stappe equivaleties zij, ka de redeerig omgedraaid worde, waarmee de omgekeerde iclusie beweze is, dus lim sup A = lim C. Omdat C C +1, geldt er C lim sup A. Defiitie 3.4. Ee verzamelig A waarvoor P (A) bestaat heet meetbaar. Opmerkig 3.5. Tot u toe moge we allee verzamelige va de vorm (2.2) e ulverzamelige meetbaar oeme, aagezie we allee aa deze twee types verzamelige ee kas hebbe toegeked. De sigma-algebra F bevat i deze cotext dus allee verzamelige va die twee vorme of aftelbare combiaties erva. Tot dusverre ware alle A gewoe verzamelige. Laat vaaf u A ee meetbare verzamelig zij omdat we aar kase wille kijke. We bestudere de kase P (lim sup A ) e P (lim if A ) e vergelijke deze met P (A ). We zulle otdekke dat de kasmaat P cotiu is. Alle probabilistische kwesties spele zich af op ee kasruimte (Ω, F, P ) 1. Vaaf u zulle we hier ook expliciet gebruik va make. Lemma 3.6. Beschouw ee rij meetbare verzamelige {A } N i F met kasmaat P. Laat verder A F. (1) Als A A, da P (A ) P (A). (2) Als A A, da P (A ) P (A). Bewijs. (1) Omdat A k A k+1 volgt uit de mootoiciteit dat {P (A )} N ee stijgede rij is. Defiieer ee ieuwe rij va meetbare verzamelige {B } N d.m.v. B 1 = A 1, e B k = A k /A k 1. Het is duidelijk dat we te make hebbe met meetbare verzamelige. Verder zij alle B k disjuct e geldt er A = k=1 B k. We toe u aa dat deze rij aar P (A) covergeert: P (A) = k=1 P (B k ) = lim k=1 P (B k ) = lim P (A ). (3.3) (2) Als A A, da A c A c dus P (A c ) P (A c ), oftwel P (A ) = 1 P (A c ) 1 P (A c ) = P (A). 1 Zie Defiitie A.1. 12

15 We moge u dus limiete e kase verwissele zolag er sprake is va covergerede rije va meetbare verzamelige die mootoo zij. I de volgede stellig wordt dit resultaat gegeeraliseerd waarbij de mootoie iet lager meer verlagd wordt. Stellig 3.7. Voor elke rij meetbare verzamelige {A } N met meetbare limiet A geldt P (A ) P (A). Bewijs. Met het oog op (3.2) volstaat het om aa te toe dat P (lim if A ) lim P (A ) P (lim sup A ) (3.4) Neem B = k= A k e C = k= A k. Volges Lemma 3.3 kue we gebruike dat B lim if A e C lim sup A. Uit de mootoiciteit va P volgt P (B ) P (A ) P (C ). (3.5) Neem u de limiet e gebruik Lemma 3.6 om limiet e kas te verwissele i de buiteste lede va de ogelijkheid. Hiermee krijge we (3.4). Voorbeeld 3.8. I dit voorbeeld beschouwe we weer de dyadische itervalle. We defiiëre allereerst de zogehete legtefuctie l als volgt: l (ω) = k (3.6) als d (ω) = = d +k 1 (ω) = 0 e d +k (ω) = 1. Gegeve, geeft elke l (ω) dus aa hoeveel ulle elkaar direct opvolge startede vaaf het de cijfer i de biaire represetatie va ω. Neem ter illustratie ω = 0, Da l 3 (ω) = 4, l 7 (ω) = 0 e l 10 (ω) = 1. We zulle de gebeurteis {ω l (ω) = k} iets auwkeuriger bestudere. Stel dat d 1 (ω),..., d 1 (ω) beked zij. Dat beteket dat we os beperke tot ee dyadisch iterval I va rag 1. De uitspraak l (ω) = k impliceert de k + 1 uitsprake d (ω) = 0,..., d +k 1 (ω) = 0, d +k (ω) = 1. Alle ω I, die aa deze k + 1 eise voldoe, zij same (als verzamelig) va legte 2 (k+1) l(i) = 2 (k+1) 2 ( 1) = 2 k. Omdat er i totaal 2 1 keuzes bestaa voor d 1 (ω),..., d 1 (ω), zie we dat P [ω l (ω) = k] = Om die rede; P [ω l (ω) = k, d 1 (ω) = u 1,..., d 1 (ω) = u 1 ] u 1,...,u 1 {0,1} = 2 k = k = 2 k 1. u 1,...,u 1 {0,1} P [ω l (ω) r] = k=r P [ω l (ω) = k] = k=r 2 k 1 = 2 r. (3.7) Defiieer u A = {ω l (ω) r}. Da bestaat lim sup A uit alle elemete ω waarvoor l (ω) r voor oeidig veel geldt. Met ogelijkheid (3.4) zie we dat P (lim sup A ) lim P (A ) = lim P [ω l (ω) r] = lim 2 r = 2 r. (3.8) 13

16 Op dit put hebbe we bija voldoede verzameligtheoretische gereedschappe otwikkeld. Er blijke og twee wiskudige objecte te zij, die voor het vervolg va belag zij. Deze twee worde derhalve u gedefiieerd. Defiitie 3.9. Ee π-systeem op ee ruimte Ω is ee collectie A va deelverzamelige va Ω met de volgede eigeschappe: (1) A, (2) A, B A A B A. Ee π-systeem is dus ee iet-lege collectie die geslote is oder eidige doorsede. Defiitie Ee λ-systeem (ook wel ee Dykisysteem geoemd) op ee ruimte Ω is ee collectie A va deelverzamelige va Ω met de volgede eigeschappe: (1) Ω A, (2) A A A c A, (3) {A } N A met A i A j = voor i j, da =1 A A. Ee λ-systeem is dus ee iet-lege collectie die geslote is oder het eme va complemete e aftelbare, disjucte vereigige. Defiitie Laat A 1, A 2, Ω. Da schrijve we σ(a 1, A 2,... ) voor de kleiste sigma-algebra die A 1, A 2,... bevat. We oeme σ(a 1, A 2,... ) ook we de sigma-algebra gegeereerd door A 1, A 2,.... Het belagrijkste resultaat dat we va π- e λ-systeme odig hebbe is de volgede stellig. Dit resultaat gaa we iet bewijze, aagezie de costructie die leidt tot deze stellig zeer lag e techisch is e verder iet de rode draad va deze sectie diet. Stellig πλ-stellig va Dyki. Stel, A π is ee π-systeem e A λ ee λ-systeem. Neem aa dat A π A λ. Da σ(a π ) A λ Oafhakelijke gebeurteisse I de ileidig va dit hoofdstuk is verteld dat we gaa kijke aar gebeurteisse die zij gecostrueerd uit hoogstes aftelbaar veel oafhakelijke gebeurteisse. Dat gaa we u ook doe, maar de eerste vraag die gesteld moet worde, is wat oafhakelijk precies is. Uit ee eerste college kasrekeig is beked 2 dat A 1, A 2,..., A oafhakelijk zij als P (A 1 A 2... A ) = P (A 1 )P (A 2 ) P (A ), (3.9) maar deze defiitie is allee va toepassig op ee eidig aatal gebeurteisse. Hoe zit het da, als we werke met oeidige collecties? De volgede defiitie tracht alles te verheldere. 2 Zie Defiitie A.3. 14

17 Defiitie Oafhakelijkheid va collecties. (1) Zij A ee collectie va gebeurteisse. De collectie A heet oafhakelijk als voor alle eidige deelverzamelige {A 1, A 2,..., A } A geldt P (A 1 A 2... A ) = P (A 1 )P (A 2 ) P (A ). (3.10) Met adere woorde, A heet oafhakelijk als elke eidige deelcollectie erva oafhakelijk is. (2) Stel u dat A 1, A 2,..., A collecties zij (ook wel klasse geoemd). Da zij deze klasse same oafhakelijk va elkaar als (3.10) geldt voor A 1 A 1, A 2 A 2,..., A A. Let op: alle A i kome u iet uit ee dezelfde collectie! (3) Laat Θ ee parameterruimte zij. Beschouw de collecties A θ met θ Θ. Da zij deze collecties oafhakelijk va elkaar als voor elke keuze va A θ A θ de collectie {A θ θ Θ} oafhakelijk is. Opmerkig I Defiitie 3.13 gaat (1) over oafhakelijkheid va gebeurteisse bie éé collectie, terwijl (2) defiieert wat oafhakelijkheid tusse (twee of meer) collecties ihoudt. Dit wordt i (3) gegeeraliseerd aar het oeidige geval. Opmerkig I Defiitie 3.13 bestaat (3) dakzij (1), wat de oafhakelijkheid va {A θ θ Θ} is i (1) gedefiieerd. Voorbeeld Beschouw de gebeurteisse B uv = {ω d u (ω) = d v (ω)}. (3.11) Dit zij de gebeurteisse dat de u de e v de (mute)worp hetzelfde zij. De adere iterpretatie is atuurlijk dat B uv de verzamelig va getalle ω (0, 1] is waarvoor het u de e de cijfer i de biaire expasie hetzelfde zij. De bewerig is dat P (B uv ) = 1 2. Dit is zo omdat er i totaal vier mogelijkhede zij,.l. (d u(ω), d v (ω)) {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}. Va deze vier zij er twee gustige.l. (0, 0) e (1, 1). Volges (2.10) is de kas op elk va deze twee 1 4, dus P [B uv ] = P [(0, 0), (1, 1)] = P [(0, 0)] + P [(1, 1)] = 1 2. Bekijk u de gebeurteisse B 12, B 13 e B 23. We late eerst zie dat deze gebeurteisse paarsgewijs oafhakelijk zij. Beschouw daarom (i iets algemeere zi) B uv e B vw. We bepale eerst de gustige combiaties va d u (ω), d v (ω), d w (ω) voor de gebeurteis {B uv B vw } e achterhale vervolges de kas P (B uv B vw ) op ee soortgelijke maier als et. Alle mogelijkhede zij: (0, 0, 0) (0, 0, 1) (0, 1, 0) (1, 0, 0) (0, 1, 1) (1, 0, 1) (1, 1, 0) (1, 1, 1) met als gustige mogelijkhede (0, 0, 0) e (1, 1, 1). Volges (2.10) is de kas op elk va deze twee 1 8, dus P [B uv B vw ] = P [(0, 0, 0), (1, 1, 1)] = P [(0, 0, 0)] + P [(1, 1, 1)] = 1 4 = P (B uv)p (B vw ) 15

18 dus er is sprake va paarsgewijze oafhakelijkheid. Hoewel B 12, B 13 e B 23 paarsgewijs oafhakelijk zij, zij ze iet simultaa oafhakelijk. Omdat voor ω B 12 B 13 geldt dat d 1 (ω) = d 2 (ω) = d 3 (ω), wete we dat B 12 B 13 B 23, dus P (B 12 B 13 B 23 ) = P (B 12 B 13 ) = = P (B 12)P (B 13 )P (B 23 ). Hieruit cocludere we dat B 12, B 13, B 23 iet (simultaa) oafhakelijk zij. De volgede stellig koppelt oafhakelijkheid va π-systeme aa die va sigmaalgebra s. Stellig Beschouw de kasruimte (Ω, F, P ). Laat A 1, A 2,..., A oafhakelijke π-systeme zij. Da zij de sigma-algebra s σ(a 1 ), σ(a 2 ),..., σ(a ) ook oafhakelijk. Bewijs. Defiieer B i = A i {Ω}. Dit is iet oodzakelijk ee uitbreidig wat Ω ka al i A i zitte. Da is B i uiteraard og steeds ee π-systeem e ze zij ook og steeds oafhakelijk, wat bekijk gelijkheid (3.10). Als A i = Ω B i voor ee zekere i, da ka A i i de doorsijdig liks weggelate worde omdat Ω de hele verzamelig is e rechts ook wat P (Ω) = 1. De gelijkheid reduceert dus tot ee uitdrukkig met allee maar elemete va A i, welke per aaame klopt. Kies willekeurig B 2, B 3,..., B uit resp. B 2, B 3,..., B. Defiieer L als de collectie va B 1 F zodaig dat P (B 1 B 2 B ) = P (B 1 )P (B 2 ) P (B ). (3.12) De bewerig is dat L ee λ-systeem is. Allereerst Ω L. Stel B 1 L, schrijf B 1 = Ω/B c 1 e vul dit i i (3.12). Dit geeft P (ΩB 2 B 3... B /B c 1B 2 B 3... B ) = (1 P (B c 1)) P (B 2 ) P (B ). Het likerlid ka je verder uitschrijve tot P (Ω)P (B 2 ) P (B ) P (B c 1 B 2 B ). Vergelijk u met het rechterlid, merk op dat P (Ω) = 1. Er volgt dat P (B c 1B 2... B ) = P (B c 1) P (B 2 ) P (B ). We zie i dat B1 c L dus L is geslote oder complemete. Stel u dat B1 1,..., Bk 1 L (oderlig disjuct). Vul deze k verzamelige i op de plek va B 1 i gelijkheid (3.12). Tel vervolges deze k gelijkhede bij elkaar op. Uit de aftelbare additiviteit va de (kas)maat volgt da P ( k B1 i B 2... B ) = P ( k B1) k P (B 2 ) P (B ) i=1 i=1 dus k i=1 Bk 1 L. De collectie L is dus ook geslote oder aftelbare vereigige e voldoet aa alle eise va ee λ-systeem. Uit de oafhakelijkheid va B 1, B 2,..., B volgt dat B 1 L. Omdat B 1 ee π-systeem is, cocludere we m.b.v. Stellig 3.12 dat σ(b 1 ) L. Omdat σ(a 1 ) = σ(b 1 ) (ze verschille slechts ee elemet Ω e dit is ee effectloze geerator voor ee sigma-algebra) wete we dat σ(a 1 ), B 2,..., B oafhakelijk zij. Vawege A i B i zij σ(a 1 ), A 2,..., A ook oafhakelijk. We kue deze procedure opieuw doorlope voor A 2,..., A i.p.v. A 1 waarmee we uiteidelijk krijge dat σ(a 1 ),..., σ(a ) alle oafhakelijk zij. 16

19 Deze stellig ket ee direct gevolg,.l. de geeralisatie aar het geval met oeidig veel π-systeme. Gevolg Laat Θ ee parameterruimte zij. Beschouw de collectie va oafhakelijke π-systeme {A θ θ Θ}. Da zij alle σ(a θ ) oafhakelijk va elkaar. Bewijs. Omdat alle A θ oafhakelijk zij, geldt dat A θ1,..., A θ uit resp. A θ1,..., A θ oafhakelijk zij voor elke keuze va e θ 1,..., θ volges (1) e (3) va Defiitie Volges (2) va dezelfde defiitie is dit equivalet met het feit dat A θ1,..., A θ oafhakelijk zij. Da zij σ(a θ1 ),..., σ(a θ ) oafhakelijk dakzij Stellig M.b.v. dezelfde stappe zie we dat alle σ(a θ ) u oafhakelijk zij. Gevolg Beschouw de lijst A 11 A A 21 A (3.13) va oafhakelijke gebeurteisse A ij. De rije (vaste j) i deze lijst zij eidig of oeidig e er zij mogelijk (maar iet oodzakelijk) oeidig veel rije. Als F i de sigma-algebra gegeereerd door de i de rij is, da zij F 1, F 2,... oafhakelijk. Bewijs. Laat A i de collectie va alle eidige doorsede va elemete va de i de rij zij. Da is A i per costructie ee π-systeem e verder σ(a i ) = σ(a i1, A i2,... ) = F i, aagezie A i t.o.v.{a i1, A i2,... } slechts ee aatal eidige doorsedes meer bevat, maar deze hebbe als geerator va ee sigma-algebra gee effect. Als we u aatoe dat alle A i oafhakelijk zij, da volgt het gevraagde uit Gevolg Neem daarom voor alle i ee A i A i. Volges Defiitie 3.13(3) moet {A i } i ee oafhakelijke collectie zij. Volges Defitie 3.13(1) moete A i1,..., A i da oafhakelijk zij voor willekeurige i 1,..., i (e N). Omdat A i1,..., A i elemete zij va resp. A i1,..., A i kue we schrijve voor alle k {1,..., }: A ik = A ik j j J k met J k ee eidige verzamelig va idices. Nu volgt uit de oafhakelijkheid va alle A ij dat P ( A ik ) = P ( A ik j) = A ik j = k=1 k=1 j J k j J k k=1 k=1 P ( j J k A ik,j) = k=1 P (A ik ). Hierbij hebbe we i de tweede e derde stap gebruikt dat we te make hebbe met eidig veel A ij. Stappe twee e drie lijke i ee keer gemaakt te kue worde, maar door deze tussestap make we expliciet gebruik va het feit dat de A ij oafhakelijk zij e iet dat de doorsedes erva dat zij. Al met al cocludere we dat A i1,..., A i oafhakelijk zij. Voorbeeld We late zie dat i Stellig 3.17 de eis dat A i ee π-systeem moet zij voor alle i, essetieel is. We bordure daarvoor voort op Voorbeeld De gebeurteisse B 12, B 13 e B 23 zij paarsgewijs oafhakelijk. Defiieer A 1 = {B 12, B 13 } e 17

20 A 2 = {B 23 }. Da zij A 1, A 2 oafhakelijke collecties. De sigma-algebra s σ(a 1 ), σ(a 2 ) zij echter iet oafhakelijk, wat B 23 = (B 12 B 13 ) c A 1. De gelijkheid va verzamelige kue we als volgt izie. B 12 B 13 bevat precies alle ω waarvoor óf d 1 (ω) = d 2 (ω) óf d 1 (ω) = d 3 (ω) (e dus iet allebei). Dit zij dus precies alle ω waarvoor d 2 (ω) d 3 (ω), vadaar dat B 23 het complemet is va B 12 B 13. Dit resultaat is iet i tegespraak met Stellig 3.17 aagezie A 1 gee π-systeem is, immers B 12 B 13 A 1 terwijl B 12, B 13 A Nul-ééwette I de vorige sectie hebbe we gekeke aar oafhakelijkheid i ee cotext met mogelijk oeidig veel gebeurteisse e hebbe ee paar iteressate resultate afgeleid. We zulle deze secties om ee drietal resultate af te leide uit de klasse va zogeaamde ul-ééwette. Nul-ééwette zij resultate die zegge dat bepaalde gebeurteisse óf met kas 0 óf met kas 1 optrede. Tusseliggede waarde zij hierbij uitgeslote. Stellig Eerste lemma va Borel-Catelli. Zij {A } N ee rij gebeurteisse. Als P (A ) covergeert, da P (lim sup A ) = 0. Bewijs. Uit (3.1) zie we dat lim sup A k=m A k, dus P (lim sup A ) P ( A k ) P (A k ) 0, k=m k=m omdat k=m P (A k ) de staart is va A e deze laatste covergeert. Voorbeeld We kijke weer aar de legtefuctie l e eem ee rij {r } N. Stel dat =1 1/2 r covergeert, da is allereerst de bewerig dat P [ω l (ω) r o.v.] = 0 (3.14) waarbij o.v. staat voor oeidig vaak, oftewel voor oeidig veel. Dit is gewoo de limit superior (limsup) volges Lemma 3.2(1). Om (3.14) aa te toe, merke we allereerst op dat l (ω) N. Als s = r, da zie we met (3.7) dat Kies A = {ω l (ω) r }. Da P [ω l (ω) r ] = P [ω l (ω) s ] = 2 s 2 r. (3.15) P (A ) 2 r <. Uit Stellig 3.21 volgt da dat wat we zochte. Specificeer r = (1 + ɛ) 2 log(). Da volgt (o.a. met de itegraaltest) dat 1/2 r = 1/ 1+ɛ <, dus P [ω l (ω) (1 + ɛ) 2 log() o.v.]. 18

21 Merk op dat we i Stellig 3.21 oafhakelijkheid iet odig hadde. Dit maakt het resultaat erg bruikbaar. Er bestaat voor deze stellig ook ee partiële omkerig,.l. voor het geval dat de collectie {A } N wel oafhakelijk is. Stellig Tweede lemma va Borel-Catelli. Zij {A } N ee rij oafhakelijke gebeurteisse. Als P (A ) divergeert, da P (lim sup A ) = 1. Bewijs. Omdat (lim sup A ) c = =1 k= Ac k, is het voldoede om te bewijze dat P ( =1 k= Ac k ) = 0, oftewel dat P ( k= Ac k ) = 0. Uit de aalyse is beked dat 1 x ex. Hiermee volgt +j +j P ( A c k ) = (1 P (A k )) k= k= +j k= +j exp( P (A k )) = exp [ k= P (A k )]. Omdat k P (A k ) divergeert, covergeert het rechterlid aar 0 als j, dus P ( A c k ) = P (lim k= j +j k= A c +j k ) = lim P ( A c k ) = 0 j waarbij voor het tweede =-teke Stellig 3.7 gebruikt is. Met het tweede lemma va Borel-Catelli kue we aatoe dat de zwakke wet va de grote aatalle ka gelde ook waeer de sterke wet iet va toepassig is. Hierover gaat het volgede voorbeeld. Voorbeeld Wel zwakke wet maar gee sterke wet. Beschouw ee rij va oafhakelijke stochaste die de waarde 0 of 1 aaeme: {X } N. De kasverdelig va X legge we vast aa de had va P [X = 0] = 1 k= e P [X = 1] = 1. We hebbe te make met ee afwijkig die willekeurig klei gemaakt ka worde: P [X 0] = P [X = 1] = 1 0. Echter, er is met kas 1 gee sprake va covergetie. Defiieer voor alle de gebeurteis A = {X = 1}. 1 Da (A ) = =, dus volges Lemma 3.2 e Stellig 3.23 geldt Voor het complemet geldt da P [X = 1 voor oeidig veel ] = P [lim sup A ] = 1. P [X 0] = P [X = 0 vaaf ee zekere ] = 0. 19

22 Gevolg Zij {A } N ee oafhakelijke rij va meetbare gebeurteisse. Da P (A ) covergeert P (lim sup A ) = 0, (3.16) P (A ) divergeert P (lim sup A ) = 1. (3.17) Bewijs. Eerst bewijze we (3.16). De implicatie aar rechts is Stellig Voor de implicatie aar liks, eem aa dat P (lim sup A ) = 0 e stel dat P (A ) iet covergeert. Met dit laatste gegeve volgt uit Stellig 3.23 dat P (lim sup A ) = 1 0. Tegespraak! Hiermee is (3.16) beweze. Het bewijs va (3.17) gaat aaloog. Als laatst kijke we aar zogehete staartgebeurteisse. Voor dit soort gebeurteisse bestaat ee ul-ééwet die toegeschreve wordt aa de Russische wiskudige Adrej Kolmogorov. Defiitie Beschouw ee rij {A } N va gebeurteisse. Da is F, gedefiieerd door F = σ(a, A +1,... ), (3.18) =1 de staartsigma-algebra va {A } N. Elemete va F hete staartgebeurteisse. Stellig Nul-ééwet va Kolmogorov. Laat A ee rij va oafhakelijke gebeurteisse zij met staartsigma-algebra F. Voor alle A F geldt P (A) = 0 of P (A) = 1. Bewijs. Beschouw de lijst A 1 A 2 A 1 A A Volges Gevolg 3.19 zij σ(a 1 ),..., σ(a 1 ), σ(a, A +1,... ) oafhakelijk. Neem u ee A F. Da, i het bijzoder, A σ(a, A +1,... ), dus A, A 1,..., A 1 zij oafhakelijk. Hiermee zij A, A 1, A 2,... oafhakelijk (zie defiitie va oafhakelijkheid). We passe Gevolg 3.19 ogmaals toe om te zie dat σ(a) e σ(a 1, A 2,... ) oafhakelijk zij. Er geldt uiteraard A σ(a) maar omdat A F hebbe we ook A σ(a 1, A 2,... ), dus we hebbe aagetood dat A oafhakelijk is va zichzelf. Hiermee leide we af dat P (A) = P (A A) = P (A)P (A) = P (A) 2. Dit is ee kwadratische vergelijkig i P (A) e heeft dus als oplossig P (A) = 0 of P (A) =

23 4. Goksysteme Gokspelle i het casio hebbe iet allee ee zeer aatrekkede werkig op meig gokverslaafde, maar ook op vele kasrekeaars. Veel va dit soort spelle kue op ee elegate, wiskudige maier beschreve worde waaruit opmerkelijke resultate kue worde afgeleid. Allereerst beschrijve we ee zeer beked gokspel, het spel achter ruïerig der spelers. Vervolges bespreke we de effectiviteit va ee aatal gokstrategieë e bestudere ee voorbeeld aa de had va de zwakke wet va de grote aatalle die we kee uit het eerste hoofdstuk Ruïerig der spelers I Wiskudig gezie is het spel achter ruïerig der spelers (ook vaak aageduid met de Egelse aam gambler s rui) het meest eevoudige gokspel dat er bestaat e derhalve ee logisch startput voor dit hoofdstuk. Ituïtief ka het als volgt beschreve worde: stel we begie met ee geldbedrag a (eem ter eevoud aa dat alle geldbedrage atuurlijke getalle zij). We werpe ee mut met kas p op kop e kas q = 1 p op mut e spreke af dat os geldbedrag stijgt met 1 als er sprake is va kop e daalt met 1 als er sprake is va mut. De eerste vraag die we stelle is: Hoe groot is de kas dat we uiteidelijk geruïeerd rake?, oftewel hoe waarschijlijk is het dat we ee restbedrag va 0 overhoude? Om de vraag te kue beatwoorde, moet de situatie eerst wiskudig gepreciseerd worde. We beschouwe dus ee proces va het werpe va mute e bekijke de rij va oafhakelijke stochaste X 1, X 2, X 3,... met (voor alle N) X = { 1 ( de worp kop) -1 ( de worp mut). (4.1) Omdat we erva uitgaa dat kop met kas p e mut met kas q = 1 p optreedt, geldt voor alle X : P (X = 1) = p, P (X = 1) = q. (4.2) Laat verder R 0 het totale geldbedrag op tijdstip zij (d.w.z. a worpe). Dit kue we dus schrijve als R = { a ( = 0) a + X X ( 1). (4.3) We kue R zie als ee toevalsbewegig (stochastische wadelig) op N met de 21

24 volgede visualiserig: 0 p p p q q q q. (4.4) Merk op dat de overgagskas va 0 aar 1 gelijk is aa 0, wat als ee speler eemaal blut is, beteket dat dat hij gee geld ka izette e dus ka hij ook iks wie et als i ee echt casio. We zulle er ook va uitgaa dat het casio oeidig veel geld i kas heeft, oftewel dat (4.4) oeidig groot is. Defiieer voor i N: h i = P [X = 0 voor ee zekere X 1 = i ], dus h i is de kas om, started i i, i 0 te belade. We kue hiermee het volgede stelsel va differetievergelijkige opstelle: h 0 = 1, h i = ph i+1 + qh i 1 (i 1). Ituïtief ka je je dit stelsel als volgt voorstelle: startede i 0, is de speler al i 0, dus met kas 1 wordt 0 bereikt. Start de speler i i met i 0, da gaat de speler met kas p aar i+1 e met kas q aar i-1. De kas om vauit i i 0 te kome hagt dus af va de kas om vauit i-1 e i+1 i 0 te kome e wel via de recursie h i = ph i+1 + qh i 1. Opmerkig 4.1. Deze sectie maakt gebruik va de theorie va differetievergelijkige. We zulle echter iet igaa op deze theorie, maar geve gelijk de oplossig va deze vergelijkige op het momet dat deze odig zij e cotrolere dat deze oplossige ook werkelijk voldoe aa de vergelijkig. I het geval p q is de oplossig va dit stelsel va de volgede vorm: h i = A + B ( q p ) i (i 0). (4.5) Deze voldoet allereerst aa de tweede vergelijkig. Er geldt immers, vawege p + q = 1, ph i+1 + qh i 1 = p (A + B ( q p ) i+1 ) + q (A + B ( q p ) i 1) = (p + q)a + B ( qi+1 p i = A + B ( qi+1 + pq i p i ) = A + B ( qi (p + q) p i ) = A + B ( q i p ) = h i. + qi p i 1 ) 22

25 I alle (succesvolle) casio s is er ooit sprake va p > q, dus we eme aa dat p < q. Omdat kase tusse 0 e 1 ligge, moete we B = 0 cocludere (aders blaast (q/p) i op), dus h i = A voor alle i 0. We wete al dat h 0 = 1, dus u ook dat h i = 1. Beschouw u het geval p = q. De algemee oplossig i dit geval is Ook i dit geval voldoet hij aa de tweede vergelijkig: h i = A + Bi (i 0). (4.6) ph i+1 + qh i 1 = p(a + B(i + 1)) + q(a + B(i 1)) = (p + q)a + (p + q)bi + pb qb = A + Bi = h i. We hebbe hier et als i het eerst geval gebruikt dat p + q = 1, maar i tegestellig daartoe hebbe we hier ook gebruikt dat p = q. Om dezelfde redee als i het geval p < q cocludere we dat h i = 1 voor alle i. De moraal va het verhaal: i succesvolle casio s waar p q geldt, staat bij dit spel vast dat spelers geruïeerd rake idie ze zo lag door blijve spele als mogelijk. Dit geldt zelfs i het eerlijke geval p = q. Dit laatste gegeve is beked oder de oemer ruïerig der spelers Ruïerig der spelers II Ee variat op ruïerig der spelers ka als volgt bedacht worde: stel u dat de speler op de hoogte is va de keis va de vorige sectie e dat hij besluit te stoppe als hij ee zeker bedrag heeft bereikt. We kue os da afvrage hoe waarschijlijk is dat hij zij doel haalt of juist iet. Stel dat we begie met ee variabel startbedrag a e ee streefbedrag c hebbe. Ga uit va 0 a c. We oderzoeke eerst de grootte va s c (a), de kas dat het streefbedrag gehaald wordt i die situatie. Laat de rij va stochaste X 1, X 2, X 3,... als voorhee, dus vastgelegd door (4.2) e bekijk voor dit geval weer de willekeurige wadelig R die gedefiieerd is i (4.3). Door het afspreke va het streefbedrag c krijge we ditmaal ee ader plaatje da i (4.4),.l. ee met ee eidig aatal toestade: 0 p p p p p c-1 c 1 q q q q q 0. (4.7) Merk op dat de overgagskase P (0 1) e P (c c 1) gelijk zij aa 0, wat eemaal i 0 of i c eidigt het proces. Als we begie met a = 0, da krijge we omogelijk ee bedrag c op de duur e als we begie met a = c, da is het zeker dat we het streefbedrag hale (we hebbe het immers al bereikt). Om die redee eme we als radvoorwaarde s c (0) = 0 e s c (c) = 1. We stelle het volgede stelsel va 23

26 differetievergelijkige op: s c (i) = 0 (i = 0), s c (i) = ps c (i + 1) + qs c (i 1) (1 i c 1), s c (i) = 1 (i = c). (4.8) Laat ρ = q/p. We hebbe weer twee gevalle voor de oplossig; ρ 1 (dus p q) e ρ = 1 (dus p = q). De algemee oplossig is da s c (i) = { A + Bρi (ρ 1), A + Bi (ρ = 1). De algemee oplossig is va dezelfde vorm als i de vorige sectie, maar door afwijkede radvoorwaarde wordt de uiteidelijke oplossig aders. We hebbe ditmaal te make met de radvoorwaarde s c (0) = 0 e s c (c) = 1. Hiermee kue A e B bepaald worde i beide gevalle. Dit resulteert i: s c (i) = { ρ i 1 ρ c 1 (ρ 1), i c (ρ = 1), i {0,..., c}. (4.9) Op dezelfde maier kue we achterhale dat de kas op ruïerig r c i die situatie (streefbedrag c) gelijk is aa r c (i) = { ρ (c i) 1 ρ c 1 (ρ 1), c i c (ρ = 1), i {0,..., c}. (4.10) I allebei de situaties geldt s c (i) + r c (i) = 1. I woorde beteket dit, ogeacht het streefbedrag c e het begibedrag i, dat het spel iet oeidig lag door blijft gaa. Voor ee zekere zal dus gelde X {0, c} Selectiesysteme We gaa terug aar de situatie va (4.4) e late het streefbedrag c va de vorige sectie eve buite beschouwig. I de costructies va deze sectie is het iet verplicht om elke rode iets i te zette, dus als er i de de rode iet wordt igezet, da heeft de stochast X gee ivloed op het geldbedrag va de gokker. Om de opbregst te maximalisere, is het duidelijk dat de gokker iks i moet zette gedurede de rode dat X = 1. De grote vraag is echter, hoe va tevore te beslisse al da iet i te zette. Op basis va de voorgaade resultate (X 1,..., X 1 ) zal amelijk beslote moete worde of er moet worde igezet of iet i de de rode. Dit selectieprobleem geeft aaleidig tot het formulere va selectiestrategieë. De grote verrassig zal echter zij dat dit soort strategieë gee verschil make e derhalve utteloos zij. Eerst modellere we op wiskudige wijze de keuze om wel of iet i te zette. Herier je daarvoor de defiitie va het totale geldbedrag (a rode) R va (4.3). Defiitie 4.2. Zij N. De izetfuctie (voor de de rode) is ee stochast B die waarde 0 of 1 ka aaeme met de eigeschap dat voor de opbregstfuctie R geldt: R = { R 1 + X (B = 1), R 1 (B = 0). (4.11) 24