Een andere regressie? Edward Omey HUB Stormstraat Brussel Lente 2008

Transcriptie

1 Ee dere regresse? Edwrd Ome HUB Stormstrt 000 Brussel ete 008 Iledg I Utwskelg / 008 stelle J. Deprez e J. erscheure de formule op voor de fstd v ee put tot ee rechte. Zj vde de volgede utdrukkg voor de loodrechte fstd v ee put P met coördte x tot de rechte r met vergeljkg ux v w 0: ux v w d P r u v Er zj ook og dere mere om de lggg v ee put P te opzchte v ee rechte r te krktersere. De keuze v ee fstdsmtstf heeft oder meer gevolge lere regresse. Bj lere regresse vertrekt me v ee putewolk e gt me op zoek r ee rechte de zo goed mogeljk slut j deze putewolk. Het s v groot elg om te precsere wt me edoelt met zo goed mogeljk. Ee veelgerukt crterum s het kleste kwdrte crterum. Bj dt crterum eple we dé rechte wrvoor de som v de gemkte foute mml s. I deze jdrge wl k llustrere dt verschllede deftes v foute lede tot dere este rechte De fstd tot ee rechte Stel dt we vertrekke v ee putekoppel P x e v ee rechte r met vergeljkg ux v w 0. We g er v ut dt u e v llee verschlle v e e

2 Neem jvooreeld de rechte r met vergeljkg -05 5x of equvlet de rechte met vergeljkg x We ekjke ze fguur de poste v het put P 5 te opzchte v r. ertcle fstd Ee eerste mer om ee fstd te eple tusse de rechte r e het put P estt er de fstd voor te stelle door e ze fguur. We kjke m..w. hoever we moete g de vertcle rchtg v het put P r de rechte r. I dt vooreeld vde we voor x 5 dt de -coördt v het sjput op de rechte geljk s -05 5*5 6 e d s d Pr e 6-5. Horzotle fstd Ee tweede mer om ee fstd te eple tusse de rechte r e het put P estt er de fstd te erekee volges e ze fguur. We kjke m..w. hoever we moete g de horzotle rchtg v het put P r de rechte r. I dt vooreeld vde we voor dt de x-coördt v het sjput op de rechte geljk s x 0 08* e d s d H Pr e 5 -. oodrechte fstd Ee derde mer om ee fstd te eple tusse de rechte r e het put P estt er de loodrechte fstd te eple. oor P 5 e de rechte r met vergeljkg 05 5x of 5x vde we ux v w 5* d P r u v Bemerk dt d d P r P r. u v Adere mogeljkhede Ee eerste dere mogeljkhed estt er de som v de horzotle e de vertcle fstd te eme. I het vooreeld vde we d dt de fstd v het put P tot de rechte geljk s d S Pr e e 5 9. Deze fstd oemt me soms de Mhtt-fstd of de tx fstd. Grfsch s dt de som v de legtes v de twee rechthoekzjde. Bj de mx-fstd gerukt me het mxmum v e e e dt s d M Pr mx e e Ee voorlopg ltste mogeljkhed estt er de stellg v Pthgors te geruke e te werke met de fstd d P Pr e e. Grfsch komt dt overee met de legte v de schue zjde de drehoek ze fguur. Opmerkg Het s dudeljk dt voor pute P op de rechte r elke fstd de wrde 0 geeft.

3 De este rechte De kleste kwdrte methode Bj lere regresse vertrekt me v ee putewolk e gt me op zoek r ee rechte de zo goed mogeljk slut j deze putewolk. Het s v groot elg om te precsere wt me edoelt met zo goed mogeljk. Bj het kleste kwdrtecrterum volgt me de volgede procedure: - kes ee fstdsmtstf dp r; - ereke voor elk put P de fstd dp r; - ereke u de som v het kwdrt v lle fstde S dp r dp r... dp r; - de este rechte s dè rechte wrvoor S mml s. Opmerkge - De mtstf S s ee dctor voor de glole fstd tusse àlle pute e de rechte r. Me k evegoed dere glole mtstve htere. - Omdt we kwdrtere worde grote foute meer d everedg estrft vergeljkg met klee foute. - I de klsseke lere regresse-lse gerukt me de fstdsmt d Pr. I dt gevl ledt het kleste kwdrtecrterum tot ee rechte met vergeljkg x e me oemt dt de lere regresse v op x - Bj lere regresse v x op gerukt me de fstdsmt d H Pr. - Uterrd lede verschllede fstdsmte tot verschllede este rechte. ooreelde ooreeld I dt vooreeld geruke we de vertcle fstdsfucte d e vertrekke we v de volgede gegeves. De grfek wjst op ee rechtljge d. x

4 We gokke e g hoe de rechte r met vergeljkg 3 08x presteert. oor elke x de tel erekee we de jhorede -wrde volges de vergeljkg v de rechte r. We vde x rechte r e - r d oor het eerste putekoppel vde we j x eerzjds de echte -wrde 3 e derzjds de wrde r 308* 38 de we vde v de rechte r met vergeljkg 3 08x. Met deze ederg mke we ee fout geljk e - r De d -fstd s geljk Op deze mer erekee we lle foute e fstde. Als mtstf voor de glole fout de we mke eme we de som v de gekwdrteerde fstde S oor de rechte r met vergeljkg 3 08x vde we dus S 6. oor ee rechte met ee dere vergeljkg kue we ook S erekee. olges het kleste kwdrtecrterum s de este rechte dè rechte r met vergeljkg x zodg dt de som v de gekwdrteerde foute S zo kle mogeljk s. Om de optmle e te erekee g we ls volgt tewerk. oor het putekoppel P x vde we de fstd d P r x x x... x e S [ ] Bemerk u dt x x x x... x wrj N kwdrtere vde we x het rekekudg gemddelde s v de x-wrde. x x x Omdt het rekekudg gemddelde het mdde lgt vde we het eme v somme dt S geljk s : S

5 wrj x e x I de ltst gevode formule voor S s de ltste term groter d of ul tezj we zodg keze dt de ltste term geljk s ul. We keze u zo dt 0 e we vde d dt S geljk s S. Om u te mmlsere erekee we de fgelede v S r e stelle deze geljk 0. We vde d dt 0. Ide verschlt v 0 vde we. We eslute dt de optmle e geljk zj : Opmerkge. Bemerk dt gerelteerd s de dt-vrte ls volgt: we hee x s e dus ook dt. oor vde we. De correltecoëffcët tusse de dt omtret e s geljk r s s 3 Ide 0 d zj lle x geljk elkr! I ooreeld vde we 5/ 9; 85/ 9; 60 ; 69 / 9; 85 / 9; 6 ; 675 / 9; 79 We vde met cjfers de komm: De este rechte volges dt crterum s dus de rechte r met vergeljkg of x ooreeld I dt vooreeld geruke we dezelfde dt e htere we de fstdsmt d H. I dt gevl zj de rolle v x e omgewsseld e kue we heleml dezelfde redeerg volge. Het kleste kwdrtecrterum ledt u tot ee este rechte r met de volgede optmle u e v-wrde: ls verschlt v ul s vh u H vh We vde v H 05 e u H 0856 e de este rechte x H u H v H of x H De resultte v de twee modelle zj terug te vde de volgede tel:

6 x model model dmodel dmodel Smodel Smodel oor het eerste koppel 3 vde we volges ooreeld het koppel.00 met ls fstd de wrde olges het tweede model vde we het koppel.75 3 met ls fstd de wrde 75. We merke ook dt de totle foutelst geljk s Smodel 983 e S model 753 Oder dele omstdghede zj modelle e volledg equvlet. Ut x volgt mmers dt x e vervolges x -/ /. Oder dele omstdghede vde we dus u -/ e v / of v I os cjfervooreeld vde we u H / -088 v H 05 / e v H 07. We strde her op ee wrde v v H 07. I vergeljkg met het del v s oze score her geljk 7%. I de volgede fguur stt ee grfsche voorstellg v modelle e. De rechte de j x het hoogst lgt s fkomstg v model. model e model

7 Opmerkg I formulevorm vde we v H. De dchtge lezer zl opmerke dt dt geljk s r het kwdrt v de correltecoeffcët tusse de x- e -wrde ut de dtk. ooreeld 3 I dt vooreeld geruke we de loodrechte fstdsfucte d e vertrekke we v de gegeves zols ooreeld. We zoeke ee rechte r v de vorm x wrj > 0 ze fguur. oor het putekoppel P x vde we de fstd x r P d e dus ook x r P d We erekee u S e vde: [ ]... x x x S Zols ooreeld e met de ottes v ooreeld volgt dt S geljk s : S We keze opeuw zodt 0 e we vde d dt S geljk s : S Om te mmlsere erekee we de fgelede v S r e stelle deze geljk 0. We vde d chtereevolges: 0 of 0 of 0 of 0 Als verschlt v ul vde we dt de dscrmt v deze verktsvergeljkg postef s e we vde de oplossge: ± Omdt ze fguur > 0 volgt dt de formte over vde we.

8 oor os cjfervooreeld vde we 688 e e de este rechte s her de rechte met vergeljkg x. Slotopmerkge Ee merkwrdg resultt Weer we werke met gestdrdseerde gegeves d vde we 0; s s ; ; r I dt gevl vde we ls r > 0 voor de dre modelle dt: r 0 e rx e vh r ; uh 0 e x r e r ; 0 e rx Weer wt? Bj lere regresse s me meestl geïteresseerd de vrg welke mte éé vrele de dere verklrt. Weer r groot s s het dkwjls mogeljk om met logsche stppe te verklre met of om te verklre met. Als de prjs v ee product toeeemt d zl de vrg dle. Bj meer ure oefee zl het studeresultt veretere. I weer dere gevlle s ee dergeljke logc uweljks wezg. Bj studeresultte jvooreeld stelt me vst dt de pute voor twee vkke sterk gecorreleerd zj mr s het moeljk om ee oorzkeljk verd te vde. I dergeljke gevlle k me overwege om te modellere m..v. de loodrechte fstdsmtstf. Ee zelfde eutrle houdg k me ook eme weer me j twee lde de tjdsevolute v jv. sprquote proporte defeseutgve evolkgsdchthed ez. met elkr vergeljkt.